Неразличимые частицы

Концепция квантовой механики совершенно взаимозаменяемых частиц

В квантовой механике неразличимые частицы (также называемые идентичными или неразличимыми частицами ) — это частицы , которые невозможно отличить друг от друга даже в принципе. Виды идентичных частиц включают, помимо прочего, элементарные частицы (такие как электроны ), составные субатомные частицы (такие как атомные ядра ), а также атомы и молекулы . Квазичастицы также ведут себя таким же образом. Хотя все известные неразличимые частицы существуют только в квантовом масштабе, не существует ни исчерпывающего списка всех возможных видов частиц, ни четкого предела применимости, как это исследовалось в квантовой статистике . Впервые они были рассмотрены Вернером Гейзенбергом и Полем Дираком в 1926 году. ^[1]

Существует две основные категории идентичных частиц: бозоны , которые могут разделять квантовые состояния , и фермионы , которые не могут (как описано в принципе исключения Паули ). Примерами бозонов являются фотоны , глюоны , фононы , ядра гелия-4 и все мезоны . Примерами фермионов являются электроны , нейтрино , кварки , протоны , нейтроны и ядра гелия-3 .

Тот факт, что частицы могут быть идентичными, имеет важные последствия в статистической механике , где вычисления опираются на вероятностные аргументы, которые чувствительны к тому, идентичны ли изучаемые объекты. В результате идентичные частицы демонстрируют заметно отличающееся статистическое поведение от различимых частиц. Например, неразличимость частиц была предложена в качестве решения парадокса смешивания Гиббса .

Различение частиц

Существует два метода различения частиц. Первый метод основан на различиях во внутренних физических свойствах частиц, таких как масса , электрический заряд и спин . Если существуют различия, можно различить частицы, измерив соответствующие свойства. Однако, насколько можно определить, микроскопические частицы одного и того же вида обладают полностью эквивалентными физическими свойствами. ^{[ необходима цитата ]} Например, каждый электрон имеет одинаковый электрический заряд .

Даже если частицы имеют эквивалентные физические свойства, остается второй метод различения частиц, который заключается в отслеживании траектории каждой частицы. Пока положение каждой частицы может быть измерено с бесконечной точностью (даже когда частицы сталкиваются), не будет никакой двусмысленности относительно того, какая частица есть какая.

Проблема со вторым подходом заключается в том, что он противоречит принципам квантовой механики . Согласно квантовой теории, частицы не обладают определенными положениями в периоды между измерениями. Вместо этого они управляются волновыми функциями , которые дают вероятность нахождения частицы в каждом положении. С течением времени волновые функции имеют тенденцию распространяться и перекрываться. Как только это происходит, становится невозможным определить в последующем измерении, какие из положений частиц соответствуют измеренным ранее. Тогда говорят, что частицы неразличимы.

Квантово-механическое описание

Симметричные и антисимметричные состояния

Антисимметричная волновая функция для (фермионного) 2-частичного состояния в бесконечной прямоугольной потенциальной яме

Симметричная волновая функция для (бозонного) 2-частичного состояния в бесконечной прямоугольной потенциальной яме

Ниже приведен пример, конкретизирующий вышеизложенное обсуждение, с использованием формализма, развитого в статье о математической формулировке квантовой механики .

Пусть n обозначает полный набор (дискретных) квантовых чисел для задания одночастичных состояний (например, для задачи о частице в ящике возьмите n как квантованный волновой вектор волновой функции.) Для простоты рассмотрим систему, состоящую из двух частиц, которые не взаимодействуют друг с другом. Предположим, что одна частица находится в состоянии n ₁ , а другая — в состоянии n ₂ . Квантовое состояние системы обозначается выражением

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$

где порядок тензорного произведения имеет значение (если , то частица 1 занимает состояние n ₂ , а частица 2 занимает состояние n ₁ ). Это канонический способ построения базиса для пространства тензорного произведения объединенной системы из отдельных пространств. Это выражение справедливо для различимых частиц, однако, оно не подходит для неразличимых частиц, поскольку и в результате обмена частицы, как правило, находятся в разных состояниях. ${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$ ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

• «частица 1 занимает состояние n ₁ , а частица 2 занимает состояние n ₂ » ≠ «частица 1 занимает состояние n ₂ , а частица 2 занимает состояние n ₁ ».

Два состояния физически эквивалентны, только если они отличаются максимум на комплексный фазовый фактор. Для двух неразличимых частиц состояние до обмена частицами должно быть физически эквивалентно состоянию после обмена, поэтому эти два состояния отличаются максимум на комплексный фазовый фактор. Этот факт предполагает, что состояние для двух неразличимых (и невзаимодействующих) частиц задается следующими двумя возможностями: ^{[2] [3] [4]}

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

Состояния, где это сумма, называются симметричными , в то время как состояния, включающие разность, называются антисимметричными . Более полно, симметричные состояния имеют вид

${\displaystyle |n_{1},n_{2};S\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

в то время как антисимметричные состояния имеют вид

${\displaystyle |n_{1},n_{2};A\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle -|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

Обратите внимание, что если n ₁ и n ₂ одинаковы, то антисимметричное выражение дает ноль, который не может быть вектором состояния, поскольку его нельзя нормализовать. Другими словами, более одной одинаковой частицы не могут занимать антисимметричное состояние (одно антисимметричное состояние может занимать только одна частица). Это известно как принцип исключения Паули , и это фундаментальная причина химических свойств атомов и стабильности материи .

Обмен симметрией

Важность симметричных и антисимметричных состояний в конечном счете основана на эмпирических данных. Кажется, это факт природы, что идентичные частицы не занимают состояния смешанной симметрии, такие как

${\displaystyle |n_{1},n_{2};?\rangle ={\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +i|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

На самом деле есть исключение из этого правила, которое будет обсуждаться позже. С другой стороны, можно показать, что симметричные и антисимметричные состояния являются в некотором смысле особенными, исследуя особую симметрию многочастичных состояний, известную как обменная симметрия .

Определим линейный оператор P , называемый оператором обмена. Когда он действует на тензорное произведение двух векторов состояния, он обменивает значения векторов состояния:

${\displaystyle P{\bigg (}|\psi \rangle |\phi \rangle {\bigg )}\equiv |\phi \rangle |\psi \rangle }$

P является как эрмитовым , так и унитарным . Поскольку он унитарен, его можно рассматривать как оператор симметрии . Эту симметрию можно описать как симметрию относительно обмена метками, прикрепленными к частицам (т. е. к одночастичным гильбертовым пространствам).

Очевидно, (оператор тождества), поэтому собственные значения P равны +1 и −1. Соответствующие собственные векторы — это симметричные и антисимметричные состояния : ${\displaystyle P^{2}=1}$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};S\rangle =+|n_{1},n_{2};S\rangle }$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};A\rangle =-|n_{1},n_{2};A\rangle }$

Другими словами, симметричные и антисимметричные состояния по сути не изменяются при обмене метками частиц: они только умножаются на коэффициент +1 или −1, а не «вращаются» где-то еще в гильбертовом пространстве. Это указывает на то, что метки частиц не имеют физического смысла, в соответствии с предыдущим обсуждением неразличимости.

Напомним, что P является эрмитовым. В результате его можно рассматривать как наблюдаемую величину системы, что означает, что в принципе можно выполнить измерение, чтобы выяснить, является ли состояние симметричным или антисимметричным. Кроме того, эквивалентность частиц указывает на то, что гамильтониан может быть записан в симметричной форме, например, как

${\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+U(|x_{1}-x_{2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})}$

Можно показать, что такие гамильтонианы удовлетворяют коммутационному соотношению

${\displaystyle \left[P,H\right]=0}$

Согласно уравнению Гейзенберга , это означает, что значение P является константой движения. Если квантовое состояние изначально симметрично (антисимметрично), оно останется симметричным (антисимметричным) по мере развития системы. Математически это означает, что вектор состояния ограничен одним из двух собственных пространств P и не может распространяться на все гильбертово пространство. Таким образом, это собственное пространство можно также рассматривать как фактическое гильбертово пространство системы. Это идея, лежащая в основе определения пространства Фока .

Фермионы и бозоны

Выбор симметрии или антисимметрии определяется видом частицы. Например, симметричные состояния всегда должны использоваться при описании фотонов или атомов гелия-4 , а антисимметричные состояния — при описании электронов или протонов .

Частицы, которые проявляют симметричные состояния, называются бозонами . Природа симметричных состояний имеет важные последствия для статистических свойств систем, состоящих из многих идентичных бозонов. Эти статистические свойства описываются как статистика Бозе-Эйнштейна .

Частицы, которые проявляют антисимметричные состояния, называются фермионами . Антисимметрия порождает принцип исключения Паули , который запрещает идентичным фермионам разделять одно и то же квантовое состояние. Системы многих идентичных фермионов описываются статистикой Ферми–Дирака .

Парастатистика математически возможна, но в природе ее примеров не существует. ^[5]

В некоторых двумерных системах может возникнуть смешанная симметрия. Эти экзотические частицы известны как анионы , и они подчиняются дробной статистике . Экспериментальное доказательство существования анионов существует в дробном квантовом эффекте Холла , явлении, наблюдаемом в двумерных электронных газах, которые образуют инверсионный слой МОП-транзисторов . Существует другой тип статистики, известный как статистика кос , которая связана с частицами, известными как плектоны .

Теорема о спиновой статистике связывает обменную симметрию идентичных частиц с их спином . Она утверждает, что бозоны имеют целый спин, а фермионы — полуцелый спин. Энионы обладают дробным спином.

Нчастицы

Приведенное выше обсуждение легко обобщается на случай N частиц. Предположим, что имеется N частиц с квантовыми числами n ₁ , n ₂ , ..., n _N . Если частицы являются бозонами, они занимают полностью симметричное состояние , которое симметрично относительно обмена любыми двумя метками частиц:

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle ={\sqrt {\frac {\prod _{n}m_{n}!}{N!}}}\sum _{p}\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle }$

Здесь сумма берется по всем различным состояниям при перестановках p, действующих на N элементов. Квадратный корень слева от суммы является нормализующей константой . Величина m _n обозначает количество раз, которое каждое из одночастичных состояний n появляется в N -частичном состоянии. Обратите внимание, что Σ _n m _n = N .

В том же духе фермионы занимают полностью антисимметричные состояния :

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\operatorname {sgn} (p)\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle \ }$

Здесь sgn( p ) — знак каждой перестановки (т. е. если состоит из четного числа транспозиций, а если нечетного). Обратите внимание, что нет члена, поскольку каждое одночастичное состояние может появиться только один раз в фермионном состоянии. В противном случае сумма снова была бы равна нулю из-за антисимметрии, тем самым представляя физически невозможное состояние. Это принцип исключения Паули для многих частиц. ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \Pi _{n}m_{n}}$

Эти состояния были нормализованы таким образом, что

${\displaystyle \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle =1,\qquad \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.}$

Измерение

Предположим, что имеется система из N бозонов (фермионов) в симметричном (антисимметричном) состоянии

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangle }$

и измерение выполняется на некотором другом наборе дискретных наблюдаемых, m . В общем случае это дает некоторый результат m ₁ для одной частицы, m ₂ для другой частицы и т. д. Если частицы являются бозонами (фермионами), состояние после измерения должно оставаться симметричным (антисимметричным), т. е.

${\displaystyle |m_{1}m_{2}\cdots m_{N};S/A\rangle }$

Вероятность получения конкретного результата для измерения m равна

${\displaystyle P_{S/A}\left(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}\right)\equiv {\big |}\left\langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\,|\,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big |}^{2}}$

Можно показать, что

${\displaystyle \sum _{m_{1}\leq m_{2}\leq \dots \leq m_{N}}P_{S/A}(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N})=1}$

что подтверждает, что общая вероятность равна 1. Сумма должна быть ограничена упорядоченными значениями m ₁ , ..., m _{N ,} чтобы гарантировать, что каждое многочастичное состояние не будет учтено более одного раза.

Представление волновой функции

До сих пор обсуждение включало только дискретные наблюдаемые. Его можно расширить до непрерывных наблюдаемых, таких как положение  x .

Напомним, что собственное состояние непрерывной наблюдаемой представляет собой бесконечно малый диапазон значений наблюдаемой, а не одно значение, как в случае дискретных наблюдаемых. Например, если частица находится в состоянии | ψ ⟩, вероятность ее нахождения в области объема d ³ x , окружающей некоторую позицию x, равна

${\displaystyle |\langle x|\psi \rangle |^{2}\;d^{3}x}$

В результате непрерывные собственные состояния | x ⟩ нормализуются к дельта-функции вместо единицы:

${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta ^{3}(x-x')}$

Симметричные и антисимметричные многочастичные состояния могут быть построены из непрерывных собственных состояний таким же образом, как и раньше. Однако принято использовать другую нормировочную константу:

${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle &={\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \\|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A\rangle &={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \end{aligned}}}$

Многочастичную волновую функцию можно записать,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&={\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\end{aligned}}}$

где одночастичные волновые функции определяются, как обычно, как

${\displaystyle \psi _{n}(x)\equiv \langle x|n\rangle }$

Наиболее важным свойством этих волновых функций является то, что замена любых двух координатных переменных изменяет волновую функцию только на знак плюс или минус. Это проявление симметрии и антисимметрии в представлении волновой функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{aligned}}}$

Многочастичная волновая функция имеет следующее значение: если система изначально находится в состоянии с квантовыми числами n ₁ , ..., n _N , и выполняется измерение положения, то вероятность обнаружения частиц в бесконечно малых объемах вблизи x ₁ , x ₂ , ..., x _N равна

${\displaystyle N!\;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}\;d^{3N}\!x}$

Множитель N ! исходит из нашей нормировочной константы, которая была выбрана таким образом, чтобы по аналогии с одночастичными волновыми функциями

${\displaystyle \int \!\int \!\cdots \!\int \;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d^{3}\!x_{N}=1}$

Поскольку каждый интеграл пробегает все возможные значения x , каждое многочастичное состояние появляется в интеграле N ! раз. Другими словами, вероятность, связанная с каждым событием, равномерно распределена по N ! эквивалентным точкам в интегральном пространстве. Поскольку обычно удобнее работать с неограниченными интегралами, чем с ограниченными, была выбрана нормирующая константа, отражающая это.

Наконец, антисимметричную волновую функцию можно записать в виде определителя матрицы , известного как определитель Слейтера :

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|}$

Операторный подход и парастатистика

Гильбертово пространство для частиц задается тензорным произведением . Группа перестановок действует на это пространство, переставляя записи. По определению ожидаемые значения для наблюдаемой неразличимых частиц должны быть инвариантны относительно этих перестановок. Это означает, что для всех и ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \bigotimes _{n}H}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi \in H}$ ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle (\sigma \Psi )^{t}a(\sigma \Psi )=\Psi ^{t}a\Psi ,}$

или эквивалентно для каждого ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle \sigma ^{t}a\sigma =a}$.

Два состояния эквивалентны, когда их ожидаемые значения совпадают для всех наблюдаемых. Если мы ограничимся наблюдаемыми идентичными частицами, и, следовательно, наблюдаемыми, удовлетворяющими уравнению выше, мы обнаружим, что следующие состояния (после нормализации) эквивалентны ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Psi \sim \sum _{\sigma \in S_{n}}\lambda _{\sigma }\sigma \Psi }$.

Классы эквивалентности находятся во взаимно однозначном отношении с неприводимыми подпространствами пространства . ${\textstyle \bigotimes _{n}H}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Два очевидных неприводимых подпространства — это одномерное симметричное/бозонное подпространство и антисимметричное/фермионное подпространство. Однако существуют и другие типы неприводимых подпространств. Состояния, связанные с этими другими неприводимыми подпространствами, называются парастатистическими состояниями . ^[6] Таблицы Юнга предоставляют способ классификации всех этих неприводимых подпространств.

Статистические свойства

Статистические эффекты неразличимости

Неразличимость частиц оказывает глубокое влияние на их статистические свойства. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим систему из N различимых, невзаимодействующих частиц. Еще раз, пусть n _j обозначает состояние (т. е. квантовые числа) частицы j . Если частицы имеют одинаковые физические свойства, n _j s пробегают один и тот же диапазон значений. Пусть ε ( n ) обозначает энергию частицы в состоянии n . Поскольку частицы не взаимодействуют, полная энергия системы является суммой энергий отдельных частиц. Статистическая сумма системы равна

${\displaystyle Z=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}\exp \left\{-{\frac {1}{kT}}\left[\varepsilon (n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N})\right]\right\}}$

где k — постоянная Больцмана , а T — температура . Это выражение можно разложить на множители, чтобы получить

${\displaystyle Z=\xi ^{N}}$

где

${\displaystyle \xi =\sum _{n}\exp \left[-{\frac {\varepsilon (n)}{kT}}\right].}$

Если частицы идентичны, это уравнение неверно. Рассмотрим состояние системы, описываемое состояниями отдельных частиц [ n ₁ , ..., n _N ]. В уравнении для Z каждая возможная перестановка n s встречается один раз в сумме, хотя каждая из этих перестановок описывает одно и то же многочастичное состояние. Таким образом, число состояний было пересчитано.

Если пренебречь возможностью перекрытия состояний, что справедливо при высокой температуре, то количество раз, когда каждое состояние подсчитывается, составляет приблизительно N !. Правильная функция распределения имеет вид

${\displaystyle Z={\frac {\xi ^{N}}{N!}}.}$

Обратите внимание, что это «высокотемпературное» приближение не делает различий между фермионами и бозонами.

Расхождение в функциях распределения различимых и неразличимых частиц было известно еще в 19 веке, до появления квантовой механики. Это приводит к затруднению, известному как парадокс Гиббса . Гиббс показал , что в уравнении Z = ξ ^N энтропия классического идеального газа равна

${\displaystyle S=Nk\ln \left(V\right)+Nf(T)}$

где V — объем газа, а f — некоторая функция только T. Проблема с этим результатом в том, что S не является экстенсивным — если N и V удваиваются, S соответственно не удваивается. Такая система не подчиняется постулатам термодинамики .

Гиббс также показал, что использование Z = ξ ^N / N ! изменяет результат на

${\displaystyle S=Nk\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nf(T)}$

что совершенно обширно. Однако причина этой поправки к статистической сумме оставалась неясной до открытия квантовой механики

Статистические свойства бозонов и фермионов

Существуют важные различия между статистическим поведением бозонов и фермионов, которые описываются статистикой Бозе-Эйнштейна и статистикой Ферми-Дирака соответственно. Грубо говоря, бозоны имеют тенденцию собираться в одно и то же квантовое состояние, что лежит в основе таких явлений, как лазер , конденсация Бозе-Эйнштейна и сверхтекучесть . Фермионам, с другой стороны, запрещено делиться квантовыми состояниями, что приводит к появлению таких систем, как ферми-газ . Это известно как принцип исключения Паули и отвечает за большую часть химии, поскольку электроны в атоме (фермионы) последовательно заполняют множество состояний внутри оболочек, а не все лежат в одном и том же самом состоянии с самой низкой энергией.

Различия между статистическим поведением фермионов, бозонов и различимых частиц можно проиллюстрировать с помощью системы из двух частиц. Частицы обозначены A и B. Каждая частица может существовать в двух возможных состояниях, обозначенных и , которые имеют одинаковую энергию. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Составная система может эволюционировать со временем, взаимодействуя с шумной средой. Поскольку состояния и энергетически эквивалентны, ни одно из состояний не является предпочтительным, поэтому этот процесс имеет эффект рандомизации состояний. (Это обсуждается в статье о квантовой запутанности .) Через некоторое время составная система будет иметь равную вероятность занять каждое из доступных ей состояний. Затем измеряются состояния частиц. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Если A и B — различимые частицы, то составная система имеет четыре различных состояния: , , , и . Вероятность получения двух частиц в состоянии равна 0,25; вероятность получения двух частиц в состоянии равна 0,25; и вероятность получения одной частицы в состоянии и другой в состоянии равна 0,5. ${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle |0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Если A и B — идентичные бозоны, то составная система имеет только три различных состояния: , , и . При проведении эксперимента вероятность получения двух частиц в состоянии теперь равна 0,33; вероятность получения двух частиц в состоянии равна 0,33; и вероятность получения одной частицы в состоянии и другой в состоянии равна 0,33. Обратите внимание, что вероятность нахождения частиц в одном и том же состоянии относительно больше, чем в различимом случае. Это демонстрирует тенденцию бозонов «сгущаться». ${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle +|1\rangle |0\rangle )}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Если A и B — идентичные фермионы, то для составной системы доступно только одно состояние: полностью антисимметричное состояние . При проведении эксперимента одна частица всегда находится в состоянии , а другая — в состоянии . ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle -|1\rangle |0\rangle )}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Результаты приведены в таблице 1:

Как можно видеть, даже система из двух частиц демонстрирует различное статистическое поведение между различимыми частицами, бозонами и фермионами. В статьях по статистике Ферми–Дирака и статистике Бозе–Эйнштейна эти принципы распространяются на большое число частиц с качественно схожими результатами.

Гомотопический класс

Чтобы понять, почему статистика частиц работает так, как она работает, сначала отметим, что частицы являются точечно-локализованными возбуждениями и что частицы, которые пространственно-подобно разделены, не взаимодействуют. В плоском d -мерном пространстве M в любой момент времени конфигурация двух идентичных частиц может быть задана как элемент M × M . Если между частицами нет перекрытия, так что они не взаимодействуют напрямую, то их местоположения должны принадлежать пространству [ M × M ] \ {совпадающие точки}, подпространству с удаленными совпадающими точками. Элемент ( x , y ) описывает конфигурацию с частицей I в точке x и частицей II в точке y , в то время как ( y , x ) описывает взаимозаменяемую конфигурацию. Для идентичных частиц состояние, описываемое ( x , y ) должно быть неотличимо от состояния, описываемого ( y , x ) . Теперь рассмотрим гомотопический класс непрерывных путей из ( x , y ) в ( y , x ) внутри пространства [ M × M ] \ {совпадающие точки} . Если M есть ⁠ ⁠ , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ где d ≥ 3 , то этот гомотопический класс имеет только один элемент. Если M есть ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , то этот гомотопический класс имеет счетное число элементов (т. е. перестановка против часовой стрелки на пол-оборота, перестановка против часовой стрелки на полтора оборота, два с половиной оборота и т. д., перестановка по часовой стрелке на пол-оборота и т. д.). В частности, перестановка против часовой стрелки на пол-оборота не гомотопна перестановке по часовой стрелке на пол-оборота. Наконец, если M есть ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , то этот гомотопический класс пуст.

Предположим сначала, что d ≥ 3. Универсальное покрывающее пространство [ M × M ] ∖ {совпадающие точки} , которое есть не что иное, как само [ M × M ] ∖ {совпадающие точки} , имеет только две точки, которые физически неотличимы от ( x , y ) , а именно ( x , y ) само по себе и ( y , x ) . Таким образом, единственный допустимый обмен — это поменять местами обе частицы. Этот обмен является инволюцией , поэтому его единственным эффектом является умножение фазы на квадратный корень из 1. Если корень равен +1, то точки имеют статистику Бозе, а если корень равен –1, то точки имеют статистику Ферми.

В случае, если универсальное покрывающее пространство [ M × M ] ∖ {совпадающие точки} имеет бесконечно много точек, которые физически неотличимы от ( x , y ) . Это описывается бесконечной циклической группой, порожденной совершением полуоборотного обмена против часовой стрелки. В отличие от предыдущего случая, выполнение этого обмена дважды подряд не восстанавливает исходное состояние; поэтому такой обмен может в общем случае привести к умножению на exp( iθ ) для любого действительного θ (в силу унитарности абсолютное значение умножения должно быть равно 1). Это называется анионной статистикой. Фактически, даже с двумя различимыми частицами, хотя ( x , y ) теперь физически отличимы от ( y , x ) , универсальное покрывающее пространство все еще содержит бесконечно много точек, которые физически неотличимы от исходной точки, теперь порожденной поворотом против часовой стрелки на один полный оборот. Этот генератор, таким образом, приводит к умножению на exp( iφ ) . Этот фазовый фактор здесь называется взаимной статистикой. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2},}$

Наконец, в случае, когда пространство [ M × M ] ∖ {совпадающие точки} не связано, то даже если частица I и частица II идентичны, их все равно можно различить с помощью меток, таких как "частица слева" и "частица справа". Здесь нет симметрии обмена. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ,}$

Смотрите также

• Теория квазимножеств
• гипотеза ДеБройля

Сноски

1. Готфрид, Курт (2011). "PAM Дирак и открытие квантовой механики". American Journal of Physics . 79 (3): 2, 10. arXiv : 1006.4610 . Bibcode : 2011AmJPh..79..261G. doi : 10.1119/1.3536639. S2CID  18229595.
2. Хейнс, П. Методы линейного масштабирования в квантово-механических расчетах из первых принципов. Дисс. Кембриджский университет, 1998. Раздел 2.3 Идентичные частицы
3. Такерман (2010, стр. 385)
4. Либофф, Ричард (2003). Введение в квантовую механику . Эддисон-Уэсли. стр. 597. ISBN 978-0805387148.
5. Бейкер, Дэвид Джон; Халворсон, Ганс; Свонсон, Ноэль (2015-12-01). «Условность парастатистики». Британский журнал философии науки . 66 (4): 929–976. doi :10.1093/bjps/axu018. ISSN  0007-0882.
6. Бах, Алексанер (1993). «Классификация неразличимых частиц». Europhysics Letters . 21 (5): 515–520. Bibcode : 1993EL.....21..515B. doi : 10.1209/0295-5075/21/5/002. S2CID  250835341.

Ссылки

• Такерман, Марк (2010), Статистическая механика , OUP Oxford, ISBN 978-0198525264

Внешние ссылки

• Фейнмановские лекции по физике, том III, гл. 4: Идентичные частицы
• Обмен идентичными и, возможно, неразличимыми частицами Джона С. Денкера
• Идентичность и индивидуальность в квантовой теории ( Стэнфордская энциклопедия философии )
• Многоэлектронные состояния в Э. Паварини, Э. Кохе и У. Шольвеке: возникающие явления в коррелированной материи, Юлих 2013, ISBN 978-3-89336-884-6