Сингулярность (математика)

Точка, в которой функция, кривая или другой математический объект ведет себя нерегулярно.

В математике сингулярность — это точка, в которой данный математический объект не определен, или точка, в которой математический объект перестает вести себя правильно каким-то определенным образом, например, из-за отсутствия дифференцируемости или аналитичности . ^{[1] [2] [3]}

Например, обратная функция имеет особенность при , где значение функции не определено, так как включает деление на ноль . Функция абсолютного значения также имеет особенность при , так как там она не дифференцируема . ^[4] ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle g(x)=|x|}$ ${\displaystyle x=0}$

Алгебраическая кривая , определенная в системе координат, имеет особенность (называемую точкой возврата ) в точке . Об особенностях алгебраической геометрии см. особую точку алгебраического многообразия . Для особенностей в дифференциальной геометрии см. теорию особенностей . ${\displaystyle \left\{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\right\}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (0,0)}$

Реальный анализ

В реальном анализе особенности — это либо разрывы , либо разрывы производной ( иногда также разрывы производных более высокого порядка). Существует четыре вида разрывов: тип I , который имеет два подтипа, и тип II , который также можно разделить на два подтипа (хотя обычно это не так).

Чтобы описать способ использования этих двух типов пределов, предположим, что это функция реального аргумента , и для любого значения его аргумента, скажем , тогда левый предел , и правый предел , равны определяется: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$

${\displaystyle f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)}$, ограниченный и ${\displaystyle x<c}$

${\displaystyle f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)}$, ограничено . ${\displaystyle x>c}$

Значение — это значение, к которому стремится функция по мере приближения значения снизу , а значение — это значение, к которому функция стремится по мере приближения значения сверху , независимо от фактического значения, которое функция имеет в точке, где  . ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x=c}$

Есть функции, для которых эти пределы вообще не существуют. Например, функция

${\displaystyle g(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

не стремится ни к чему по мере приближения . Пределы в этом случае не бесконечны, а, скорее, неопределенны : не существует никакой ценности, которая бы устанавливалась на них. Заимствуя из комплексного анализа, это иногда называют существенной сингулярностью . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle g(x)}$

Возможные случаи при заданном значении аргумента следующие. ${\displaystyle c}$

• Точкой непрерывности называется значение , при котором , как и следует ожидать от гладкой функции. Все значения должны быть конечными. Если не является точкой непрерывности, то при . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$
• Разрыв типа I возникает, когда оба и существуют и конечны, но также применимо хотя бы одно из следующих трех условий: ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$
  • ${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$;
  • ${\displaystyle f(x)}$не определено для случая ; или ${\displaystyle x=c}$
  • ${\displaystyle f(c)}$имеет определенное значение, которое, однако, не соответствует значению двух пределов.

  Разрывы типа I можно дополнительно разделить на один из следующих подтипов:

  • Разрыв скачка возникает, когда , независимо от того, определена ли она, и независимо от ее значения, если она определена. ${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$ ${\displaystyle f(c)}$
  • Устранимый разрыв возникает , когда , также независимо от того, определен ли он, и независимо от его значения, если он определен (но который не соответствует значению двух пределов). ${\displaystyle f(c^{-})=f(c^{+})}$ ${\displaystyle f(c)}$
• Разрыв типа II возникает, когда либо существует , либо не существует (возможно, и то, и другое). Имеет два подтипа, которые обычно не рассматриваются отдельно: ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$
  • Бесконечный разрыв — это особый случай, когда ни левый, ни правый предел не существует, в частности потому, что он бесконечен, а другой предел либо также бесконечен, либо представляет собой некоторое четко определенное конечное число. Другими словами, функция имеет бесконечный разрыв, когда ее график имеет вертикальную асимптоту .
  • Существенная сингулярность — термин, заимствованный из комплексного анализа (см. ниже). Это тот случай, когда то или иное ограничено или не существует, но не потому, что это бесконечный разрыв . Существенные особенности не приближаются к пределу, даже если действительные ответы распространяются на включение . ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$ ${\displaystyle \pm \infty }$

В реальном анализе сингулярность или разрыв являются свойством только функции. Любые особенности, которые могут существовать в производной функции, считаются принадлежащими производной, а не исходной функции.

Координатные особенности

Сингулярность координат возникает, когда в одной системе координат возникает кажущаяся особенность или разрыв, которые можно устранить, выбрав другую систему координат. Примером этого является видимая сингулярность на широте 90 градусов в сферических координатах . Объект, движущийся строго на север (например, по линии 0 градусов долготы) по поверхности сферы, внезапно испытает мгновенное изменение долготы на полюсе (в случае примера — прыжок с долготы 0 на долготу 180 градусов). . Однако этот разрыв только кажущийся; это артефакт выбранной системы координат, сингулярный на полюсах. Другая система координат устранила бы кажущуюся неоднородность (например, заменив представление широты/долготы представлением n -векторов ).

Комплексный анализ

В комплексном анализе существует несколько классов особенностей. К ним относятся изолированные особенности, неизолированные особенности и точки ветвления.

Изолированные особенности

Предположим, что это функция, комплексно дифференцируемая в дополнении к точке открытого подмножества комплексных чисел . Тогда: ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} ~.}$

• Точка является устранимой особенностью , если существует голоморфная функция , определенная на всех таких, что для всех в Функция является непрерывной заменой функции ^[5] ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ f(z)=g(z)\ }$ ${\displaystyle \ z\ }$ ${\displaystyle \ U\smallsetminus \{a\}~.}$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ f~.}$
• Точка является полюсом или несущественной особенностью, если существует голоморфная функция , определенная на с ненулевым, и такое натуральное число , что для всех в наименьшем таком числе называется порядком полюса . Производная в несущественной особенности сама по себе имеет несущественную особенность, увеличенную на 1 (за исключением случая, когда она равна 0 , так что особенность устранима). ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ g(a)\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ f(z)={\frac {g(z)}{\ (z-a)^{n}\ }}\ }$ ${\displaystyle \ z\ }$ ${\displaystyle \ U\smallsetminus \{a\}~.}$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$
• Точка является существенной особенностью , если она не является ни устранимой особенностью, ни полюсом. Точка является существенной особенностью тогда и только тогда, когда ряд Лорана имеет бесконечное число степеней отрицательной степени. ^[1] ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ a\ }$

Неизолированные особенности

Помимо изолированных сингулярностей, сложные функции одной переменной могут проявлять и другое сингулярное поведение. Их называют неизолированными особенностями, которые бывают двух типов:

• Точки кластера : предельные точки изолированных особенностей. Если все они являются полюсами, несмотря на допущение разложения в ряд Лорана на каждом из них, то такое разложение в его пределе невозможно.
• Естественные границы : любое неизолированное множество (например, кривая), вокруг которого функции не могут быть аналитически продолжены (или за их пределы, если они представляют собой замкнутые кривые в сфере Римана ).

Точки ветвления

Точки ветвления обычно являются результатом многозначной функции , например или которые определены в определенной ограниченной области, так что функция может быть сделана однозначной в пределах области. Разрез — это линия или кривая, исключенная из области определения, чтобы провести техническое разделение между прерывистыми значениями функции. Когда разрез действительно необходим, функция будет иметь совершенно разные значения на каждой стороне разреза. Форма среза ветки является вопросом выбора, даже если она должна соединять две разные точки ветвления (например, и для ), которые зафиксированы на месте. ${\displaystyle \ {\sqrt {z\ }}\ }$ ${\displaystyle \ \log(z)\ ,}$ ${\displaystyle \ z=0\ }$ ${\displaystyle \ z=\infty \ }$ ${\displaystyle \ \log(z)\ }$

Сингулярность конечного времени

Обратная функция , демонстрирующая гиперболический рост .

Сингулярность с конечным временем возникает, когда одной входной переменной является время, а выходная переменная увеличивается до бесконечности за конечное время. Они важны в кинематике и уравнениях в частных производных — бесконечности физически не встречаются, но поведение вблизи сингулярности часто представляет интерес. Математически простейшие особенности с конечным временем представляют собой степенные законы для различных показателей степени, из которых самым простым является гиперболический рост , где показатель степени (отрицательный) 1: Точнее, чтобы получить особенность в положительное время с течением времени ( поэтому результат растет до бесконечности), вместо этого используется (используя t для времени, меняя направление на так, чтобы время увеличивалось до бесконечности, и сдвигая сингулярность вперед от 0 до фиксированного времени ). ${\displaystyle x^{-\alpha },}$ ${\displaystyle x^{-1}.}$ ${\displaystyle (t_{0}-t)^{-\alpha }}$ ${\displaystyle -t}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Примером может служить подпрыгивающее движение неупругого мяча на плоскости. Если рассматривать идеализированное движение, при котором при каждом отскоке теряется одна и та же доля кинетической энергии , частота отскоков становится бесконечной, поскольку мяч останавливается за конечное время. Другие примеры сингулярностей с конечным временем включают различные формы парадокса Пенлеве (например, склонность мела скакать при перетаскивании по доске) и то, как скорость прецессии монеты , вращающейся на плоской поверхности, ускоряется до бесконечности — перед резкой остановкой (как изучалось с помощью игрушки «Диск Эйлера »).

Гипотетические примеры включают шутливое « Уравнение Судного дня » Хайнца фон Ферстера (упрощенные модели дают бесконечную человеческую популяцию за конечное время).

Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра

В алгебраической геометрии особенностью алгебраического многообразия является точка многообразия, где касательное пространство не может быть определено правильно. Простейшим примером особенностей являются кривые, пересекающие сами себя. Но есть и другие типы особенностей, например, точки возврата . Например, уравнение y ² − x ³ = 0 определяет кривую, имеющую точку возврата в начале координат x = y = 0 . Можно было бы определить ось X как касательную в этой точке, но это определение не может совпадать с определением в других точках. Фактически в этом случае ось X представляет собой «двойную касательную».

Для аффинных и проективных многообразий особенностями являются точки, в которых матрица Якоби имеет ранг ниже, чем в других точках многообразия.

Можно дать эквивалентное определение в терминах коммутативной алгебры , которое распространяется на абстрактные многообразия и схемы : точка является особой , если локальное кольцо в этой точке не является регулярным локальным кольцом .

Смотрите также

• Теория катастроф
• Определенный и неопределенный
• Вырождение (математика)
• Гиперболический рост
• Патологический (математика)
• Единственное решение
• Устранимая особенность

Рекомендации

1. «Особенности, нули и полюса». mathfaculty.fullerton.edu . Проверено 12 декабря 2019 г.
2. «Сингулярность | сложные функции» . Британская энциклопедия . Проверено 12 декабря 2019 г.
3. «Сингулярность (математика)» . TheFreeDictionary.com . Проверено 12 декабря 2019 г.
4. Берресфорд, Джеффри С.; Рокетт, Эндрю М. (2015). Прикладное исчисление. Cengage Обучение. п. 151. ИСБН 978-1-305-46505-3.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Сингулярность». mathworld.wolfram.com . Проверено 12 декабря 2019 г.