Вписанный угол

Угол, образованный внутри круга

Вписанный угол θ окружности.

  Центральный угол 2 θ

  Вписанный угол θ на большой дуге

  Дополнительный вписанный угол θ на малой дуге

В геометрии вписанный угол — это угол, образованный внутри окружности , когда две хорды пересекаются на окружности. Его также можно определить как угол, опирающийся на точку на окружности двумя данными точками на окружности.

Эквивалентно, вписанный угол определяется двумя хордами окружности, имеющими общую конечную точку.

Теорема о вписанном угле связывает величину вписанного угла с величиной центрального угла, опирающегося на ту же дугу .

Теорема о вписанном угле представлена ​​как предложение 20 в третьей книге « Начал» Евклида .

Обратите внимание, что эту теорему не следует путать с теоремой о биссектрисе угла , которая также включает биссектрису угла (но угла треугольника, не вписанного в окружность).

Теорема

Заявление

Для фиксированных точек A и B множество точек M на плоскости, для которых угол ∠ AMB равен  α, является дугой окружности. Мера ∠ AOB , где O — центр окружности, равна  2 α .

Теорема о вписанном угле гласит, что угол θ, вписанный в окружность, равен половине центрального угла 2 θ , опирающегося на ту же дугу окружности. Таким образом, угол не меняется при перемещении его вершины в различные положения на окружности.

Доказательство

Вписанные углы, где одна хорда является диаметром

Случай: Одна хорда — диаметр

Пусть O будет центром окружности, как на диаграмме справа. Выберите две точки на окружности и назовите их V и A. Проведите линию OV и продолжите ее за O так, чтобы она пересекла окружность в точке B , которая диаметрально противоположна точке V. Начертите угол, вершина которого находится в точке V , а стороны проходят через точки A, B.

Проведите линию OA . Угол ∠ BOA — центральный угол ; назовем его θ . Линии OV и OA — обе радиусы окружности, поэтому они имеют одинаковую длину. Следовательно, треугольник △ VOA — равнобедренный , поэтому угол ∠ BVA (вписанный угол) и угол ∠ VAO равны; обозначим каждый из них как ψ .

Углы ∠ BOA и ∠ AOV являются дополнительными , в сумме они дают развернутый угол (180°), поэтому угол ∠ AOV равен 180° − θ .

Три угла треугольника △ VOA должны в сумме давать 180° :

$${\displaystyle (180^{\circ }-\theta )+\psi +\psi =180^{\circ }.}$$

Добавление к обеим сторонам дает ${\displaystyle \theta -180^{\circ }}$

$${\displaystyle 2\psi =\theta .}$$

Вписанные углы с центром окружности внутри них

Корпус: Центр интерьера к углу

  ψ ₀ = ∠ DVC , θ ₀ = ∠ DOC

  ψ ₁ = ∠ EVD , θ ₁ = ∠ EOD

  ψ ₂ = ∠ EVC , θ ₂ = ∠ EOC

Дана окружность с центром в точке O , выберите три точки V, C, D на окружности. Проведите линии VC и VD : угол ∠ DVC — вписанный угол. Теперь проведите линию OV и продлите ее за точку O так, чтобы она пересекла окружность в точке E . Угол ∠ DVC опирается на дугу DC на окружности.

Предположим, что эта дуга включает в себя точку E. Точка E диаметрально противоположна точке V. Углы ∠ DVE , ∠ EVC также являются вписанными углами, но оба этих угла имеют одну сторону, проходящую через центр окружности, поэтому к ним можно применить теорему из Части 1 выше.

Поэтому,

$${\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.}$$

тогда пусть

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle DVE,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

так что

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)}$$

Проведем линии OC и OD . Угол ∠ DOC является центральным углом, но также являются углами ∠ DOE и ∠ EOC , и $${\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.}$$

Позволять

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle DOE,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

так что

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)}$$

Из первой части мы знаем, что и что . Объединение этих результатов с уравнением (2) дает ${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2(\psi _{1}+\psi _{2})}$$

следовательно, по уравнению (1),

$${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$

Вписанные углы с центром окружности во внешней стороне

Корпус: Центральная внешняя часть к углу

  ψ ₀ = ∠ DVC , θ ₀ = ∠ DOC

  ψ ₁ = ∠ EVD , θ ₁ = ∠ EOD

  ψ ₂ = ∠ EVC , θ ₂ = ∠ EOC

Предыдущий случай можно распространить и на случай, когда мерой вписанного угла является разность двух вписанных углов, как обсуждалось в первой части этого доказательства.

Дана окружность с центром в точке O , выберите три точки V, C, D на окружности. Проведите линии VC и VD : угол ∠ DVC — вписанный угол. Теперь проведите линию OV и продлите ее за точку O так, чтобы она пересекла окружность в точке E . Угол ∠ DVC опирается на дугу DC на окружности.

Предположим, что эта дуга не включает в себя точку E. Точка E диаметрально противоположна точке V. Углы ∠ EVD , ∠ EVC также являются вписанными углами, но оба этих угла имеют одну сторону, проходящую через центр окружности, поэтому к ним можно применить теорему из Части 1 выше.

Поэтому,

$${\displaystyle \angle DVC=\angle EVC-\angle EVD}$$.

тогда пусть

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}&=\angle DVC,\\\psi _{1}&=\angle EVD,\\\psi _{2}&=\angle EVC,\end{aligned}}}$$

так что

$${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}.\qquad \qquad (3)}$$

Проведем линии OC и OD . Угол ∠ DOC является центральным углом, но также являются углами ∠ EOD и ∠ EOC , и

$${\displaystyle \angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.}$$

Позволять

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}&=\angle DOC,\\\theta _{1}&=\angle EOD,\\\theta _{2}&=\angle EOC,\end{aligned}}}$$

так что

$${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}.\qquad \qquad (4)}$$

Из Части 1 мы знаем, что и что . Объединяя эти результаты с уравнением (4), получаем , следовательно, по уравнению (3), ${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$ $${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}}$$ $${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$$

Анимированный gif-файл доказательства теоремы о вписанном угле. Большой треугольник, вписанный в окружность, делится на три меньших треугольника, все из которых равнобедренные, поскольку их верхние две стороны являются радиусами окружности. Внутри каждого равнобедренного треугольника пара углов при основании равна друг другу и составляет половину от 180° за вычетом угла при вершине в центре окружности. Сложение этих равнобедренных углов при основании дает теорему, а именно, что вписанный угол ψ равен половине центрального угла θ .

Следствие

По аналогичному рассуждению, угол между хордой и касательной в одной из точек пересечения равен половине центрального угла, опирающегося на хорду. См. также Касательные линии к окружностям .

Приложения

Доказательство без слов с использованием теоремы о вписанном угле, что противолежащие углы вписанного четырехугольника являются дополнительными:
2𝜃 + 2𝜙 = 360° ∴ 𝜃 + 𝜙 = 180°

Теорема о вписанном угле используется во многих доказательствах элементарной евклидовой геометрии плоскости . Частным случаем теоремы является теорема Фалеса , которая утверждает, что угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90°, т. е. прямой угол. Как следствие теоремы, сумма противолежащих углов вписанных четырехугольников составляет 180°; наоборот, любой четырехугольник, для которого это верно, может быть вписан в окружность. В качестве другого примера, теорема о вписанном угле является основой для нескольких теорем, связанных со степенью точки относительно окружности. Кроме того, она позволяет доказать, что при пересечении двух хорд в окружности произведения длин их частей равны.

Теоремы о вписанных углах для эллипсов, гипербол и парабол

Теоремы о вписанном угле существуют также для эллипсов, гипербол и парабол. Существенные различия заключаются в измерениях угла. (Угол считается парой пересекающихся прямых.)

• Эллипс
• Гипербола
• Парабола

Ссылки

• Огилви, CS (1990). Экскурсии в геометрию . Дувр. стр. 17–23. ISBN 0-486-26530-7.
• Геллерт В., Кюстнер Х., Хеллвич М., Кестнер Х. (1977). Краткая математическая энциклопедия ВНР . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд. п. 172. ИСБН 0-442-22646-2.
• Moise, Edwin E. (1974). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint (2nd ed.). Чтение: Addison-Wesley. стр. 192–197. ISBN 0-201-04793-4.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Вписанный угол». MathWorld .
• Соотношение между центральным углом и вписанным углом
• Жуем вписанные углы на cut-the-knot
• Центральный угол дуги с интерактивной анимацией
• Дуга Периферийный (вписанный) Угол С интерактивной анимацией
• Теорема о центральном угле дуги с интерактивной анимацией
• На bookofproofs.github.io