Набор Мандельброта

Фрактал имени математика Бенуа Мандельброта

Набор Мандельброта в непрерывно окрашенной среде.

Множество Мандельброта ( / ˈ m æ n d əl b r oʊ t , - br ɒ t / ) ^{[1] [2]} представляет собой двумерное множество с относительно простым определением, которое демонстрирует большую сложность, особенно при его увеличении . . Он популярен благодаря своей эстетической привлекательности и фрактальным структурам. Набор определяется в комплексной плоскости как комплексные числа , для которых функция не стремится к бесконечности при итерации , начиная с , т. е. для которых последовательность , и т. д. остается ограниченной по абсолютной величине . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle f_{c}(0)}$ ${\displaystyle f_{c}(f_{c}(0))}$

Этот набор был впервые определен и нарисован Робертом Бруксом и Питером Мательски в 1978 году в рамках исследования кляйнианских групп . ^[3] Впоследствии, в 1980 году, Бенуа Мандельброт получил высококачественные визуализации набора, работая в Исследовательском центре Томаса Дж. Уотсона IBM в Йорктаун-Хайтс, Нью-Йорк .

Увеличение масштаба границы множества Мандельброта

Изображения множества Мандельброта демонстрируют бесконечно сложную границу , которая при увеличении раскрывает все более мелкие рекурсивные детали; математически граница множества Мандельброта представляет собой фрактальную кривую . «Стиль» этой рекурсивной детали зависит от исследуемой области заданной границы. Изображения множества Мандельброта могут быть созданы путем выборки комплексных чисел и проверки для каждой точки выборки , стремится ли последовательность к бесконечности . Рассматривая действительную и мнимую части как координаты изображения на комплексной плоскости , пиксели затем можно раскрасить в зависимости от того, как скоро последовательность пересекает произвольно выбранный порог (порог должен быть не менее 2, поскольку -2 — это комплексное число с наибольшим значением). величина внутри набора, но в остальном порог является произвольным). Если оставить постоянным и вместо этого изменить начальное значение, получается соответствующий набор Жюлиа для точки . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$

Множество Мандельброта стало популярным за пределами математики как из-за своей эстетической привлекательности, так и как пример сложной структуры, возникающей в результате применения простых правил. Это один из самых известных примеров математической визуализации , математической красоты и мотива .

История

Первое опубликованное изображение множества Мандельброта, сделанное Робертом В. Бруксом и Питером Мательски в 1978 году.

Множество Мандельброта берет свое начало в сложной динамике — области, впервые исследованной французскими математиками Пьером Фату и Гастоном Жюли в начале 20 века. Фрактал был впервые определен и нарисован в 1978 году Робертом Бруксом и Питером Мательски в рамках исследования кляйнианских групп . ^[3] 1 марта 1980 года в Исследовательском центре Томаса Дж. Уотсона компании IBM в Йорктаун-Хайтс , штат Нью-Йорк , Бенуа Мандельброт впервые визуализировал этот набор. ^[4]

Мандельброт изучил пространство параметров квадратичных многочленов в статье, появившейся в 1980 году. ^[5] Математическое исследование множества Мандельброта действительно началось с работ математиков Адриана Дуади и Джона Х. Хаббарда (1985), ^[6] которые установили множество своих фундаментальных свойств и назвал набор в честь Мандельброта за его влиятельную работу во фрактальной геометрии .

Математики Хайнц-Отто Пейтген и Петер Рихтер стали хорошо известны благодаря продвижению набора с помощью фотографий, книг (1986 г.), ^[7] и международной передвижной выставки немецкого Института Гете (1985 г.). ^{[8] [9]}

В обложке журнала Scientific American за август 1985 года был представлен алгоритм вычисления множества Мандельброта. Обложку создали Пайтген, Рихтер и Саупе в Бременском университете . ^[10] Набор Мандельброта стал известен в середине 1980-х годов как демонстрация компьютерной графики , когда персональные компьютеры стали достаточно мощными, чтобы рисовать и отображать набор в высоком разрешении. ^[11]

Работа Дуади и Хаббарда возникла во время роста интереса к сложной динамике и абстрактной математике ^[12] , и с тех пор изучение множества Мандельброта стало центральным элементом этой области. ^{[ нужна цитата ]}

Формальное определение

Множество Мандельброта - это набор значений c на комплексной плоскости , для которых орбита критической точки при итерации квадратичного отображения ${\textstyle z=0}$

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$ ^[13]

остается ограниченным . ^[14] Таким образом, комплексное число c является членом множества Мандельброта, если при запуске и повторном применении итерации абсолютное значение остается ограниченным для всех . ${\displaystyle z_{0}=0}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle n>0}$

Например, для c = 1 последовательность равна 0, 1, 2, 5, 26, ..., которая стремится к бесконечности , поэтому 1 не является элементом множества Мандельброта. С другой стороны, для последовательность равна 0, −1, 0, −1, 0, ..., которая ограничена, поэтому −1 действительно принадлежит множеству. ${\displaystyle c=-1}$

Множество Мандельброта также можно определить как локус связности семейства квадратичных многочленов , подмножества пространства параметров, для которого множество Жюлиа соответствующего многочлена образует связное множество . Точно так же границу множества Мандельброта можно определить как место бифуркации этого квадратичного семейства, подмножества параметров, вблизи которого динамическое поведение полинома (при его повторении ) резко меняется. ${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$

Основные свойства

Множество Мандельброта является компактным , так как оно замкнуто и содержится в замкнутом круге радиуса 2 вокруг начала координат . Точка принадлежит множеству Мандельброта тогда и только тогда, когда для всех . Другими словами, абсолютное значение должно оставаться на уровне 2 или ниже, чтобы находиться в множестве Мандельброта , и если это абсолютное значение превышает 2, последовательность устремится в бесконечность. Поскольку , отсюда следует, что , устанавливая, что всегда будет в замкнутом диске радиуса 2 вокруг начала координат. ^[15] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |z_{n}|\leq 2}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c=z_{1}}$ ${\displaystyle |c|\leq 2}$ ${\displaystyle c}$

Соответствие множества Мандельброта бифуркационной диаграмме квадратичного отображения

Если итерации отложены на вертикальной оси, можно увидеть, что множество Мандельброта раздваивается на компонентах периода 2 ^k . ${\displaystyle z_{n}}$

Пересечение с действительной осью есть интервал . Параметры в этом интервале можно привести во взаимно однозначное соответствие с параметрами реального логистического семейства . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left[-2,{\frac {1}{4}}\right]}$

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad r\in [1,4].}$

Переписка предоставлена

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right),\quad c={\frac {r}{2}}\left(1-{\frac {r}{2}}\right).}$

Это дает соответствие между всем пространством параметров логистического семейства и пространством множества Мандельброта. ^[16]

Дуади и Хаббард показали, что множество Мандельброта связно . Они построили явный конформный изоморфизм между дополнением множества Мандельброта и дополнением замкнутого единичного круга . Первоначально Мандельброт предположил, что множество Мандельброта несвязно . Эта гипотеза была основана на компьютерных изображениях, созданных программами, которые не способны обнаружить тонкие нити, соединяющие разные части . После дальнейших экспериментов он пересмотрел свою гипотезу, решив, что это должно быть связано. Топологическое доказательство связности было обнаружено в 2001 году Джереми Каном . ^[17] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Внешние лучи следов вблизи континента периода 1 множества Мандельброта

Динамическая формула униформизации дополнения множества Мандельброта, вытекающая из доказательства Дуади и Хаббарда связности , порождает внешние лучи множества Мандельброта. Эти лучи можно использовать для изучения множества Мандельброта в комбинаторных терминах и сформировать основу параголоволомки Йоккоза . ^[18] ${\displaystyle M}$

Границей множества Мандельброта является место бифуркации семейства квадратичных многочленов. Другими словами, граница множества Мандельброта — это набор всех параметров, для которых динамика квадратичного отображения чувствительно зависит от т. е. резко изменяется при сколь угодно малых изменениях. Его можно построить как предельное множество последовательности плоских алгебраических кривые — кривые Мандельброта общего типа, известные как полиномиальные лемнискаты . Кривые Мандельброта определяются путем установки , а затем интерпретации набора точек на комплексной плоскости как кривой на действительной декартовой плоскости степени по x и y . ^[19] Каждая кривая представляет собой отображение исходной окружности радиуса 2 под . Эти алгебраические кривые появляются на изображениях множества Мандельброта, вычисленных с использованием упомянутого ниже «алгоритма времени выхода». ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z_{n}=z_{n-1}^{2}+c}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle p_{0}=z,\ p_{n+1}=p_{n}^{2}+z}$ ${\displaystyle |p_{n}(z)|=2}$ ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle p_{n}}$

Другие объекты недвижимости

Основные кардиоидные и периодические лампы

Периоды гиперболических компонент

Основная кардиоида – это период 1 континента. Это область параметров, для которых карта ${\displaystyle c}$

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$

имеет притягивающую неподвижную точку . Он состоит из всех параметров вида

${\displaystyle c(\mu ):={\frac {\mu }{2}}\left(1-{\frac {\mu }{2}}\right)}$

для некоторых в открытом блоке диска . ${\displaystyle \mu }$

Слева от основной кардиоиды, прикрепленной к ней в точке , видна круглая лампочка, лампочка периода-2 . Луковица состоит из , для которых имеет цикл притяжения с периодом 2 . Это закрашенный круг радиуса 1/4 с центром вокруг −1. ${\displaystyle c=-3/4}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}}$

В более общем смысле, для каждого положительного целого числа существуют круглые лампочки, касающиеся основной кардиоиды, называемые лампочками периода q (где обозначает фи-функцию Эйлера ), которые состоят из параметров , для которых имеется притягивающий цикл периода . Более конкретно, для каждого примитивного корня из единицы (где ) существует одна лампочка с периодом q, называемая лампочкой, которая касается основной кардиоиды при параметре ${\displaystyle q>2}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r=e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$ ${\displaystyle 0<{\frac {p}{q}}<1}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$

${\displaystyle c_{\frac {p}{q}}:=c(r)={\frac {r}{2}}\left(1-{\frac {r}{2}}\right),}$

Притягивающий цикл в 2/5 лампочке, построенный на наборе Джулии (анимация)

и который содержит параметры с -циклами, имеющими комбинаторное число вращения . Точнее, все периодические компоненты Фату , содержащие притягивающий цикл, соприкасаются в общей точке (обычно называемой -неподвижной точкой ). Если мы пометим эти компоненты в ориентации против часовой стрелки, то компонент будет сопоставлен с компонентом . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle U_{0},\dots ,U_{q-1}}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle U_{j+p\,(\operatorname {mod} q)}}$

Притягивающие циклы и наборы Джулии для параметров лампочек 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4 и 1/5.

Изменение поведения, происходящее при, известно как бифуркация : притягивающая неподвижная точка «столкнется» с отталкивающим циклом периода q . Когда мы переходим через параметр бифуркации в -лампочку , притягивающая фиксированная точка превращается в отталкивающую фиксированную точку (-неподвижная точка), и цикл периода q становится притягивающим. ${\displaystyle c_{\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Гиперболические компоненты

Лампочки, являющиеся внутренними компонентами множества Мандельброта, в которых отображения имеют притягивающий периодический цикл, называются гиперболическими компонентами . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle f_{c}}$

Предполагается, что это единственные внутренние области и что они плотны в . Эта проблема, известная как плотность гиперболичности , является одной из наиболее важных открытых проблем в сложной динамике . ^[20] Гипотетические негиперболические компоненты множества Мандельброта часто называют «странными» или призрачными компонентами. ^{[21] [22]} Для вещественных квадратичных полиномов этот вопрос был доказан в 1990-х годах независимо Любичем, а также Грачиком и Свёнтеком. (Обратите внимание, что гиперболические компоненты, пересекающие действительную ось, точно соответствуют периодическим окнам на диаграмме Фейгенбаума . Таким образом, этот результат утверждает, что такие окна существуют вблизи каждого параметра на диаграмме.) ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Не к каждой гиперболической компоненте можно добраться последовательностью прямых бифуркаций от главной кардиоиды множества Мандельброта. К такому компоненту можно прийти последовательностью прямых бифуркаций от главной кардиоиды маленькой копии Мандельброта (см. ниже).

Центры 983 гиперболических компонент множества Мандельброта.

Каждый из гиперболических компонентов имеет центр , который представляет собой точку c , такую, что внутренняя область Фату имеет цикл суперпритяжения, то есть притяжение бесконечно. Это означает, что цикл содержит критическую точку 0, так что 0 после нескольких итераций возвращается к самому себе. Следовательно, для некоторого n . Если мы назовем этот полином (позволив ему зависеть от c вместо z ), мы получим то, что и степень равна . Поэтому построение центров гиперболических компонент возможно путем последовательного решения уравнений . ^{[ нужна ссылка ]} Число новых центров, созданных на каждом этапе, определяется OEIS Слоана : A000740 . ${\displaystyle f_{c}(z)}$ ${\displaystyle f_{c}^{n}(0)=0}$ ${\displaystyle Q^{n}(c)}$ ${\displaystyle Q^{n+1}(c)=Q^{n}(c)^{2}+c}$ ${\displaystyle Q^{n}(c)}$ ${\displaystyle 2^{n-1}}$ ${\displaystyle Q^{n}(c)=0,n=1,2,3,...}$

Локальное подключение

Предполагается, что множество Мандельброта локально связно . Эта гипотеза известна как MLC (от локально связного Мандельброта ). Благодаря работе Адриана Дуади и Джона Х. Хаббарда эта гипотеза привела к созданию простой абстрактной модели «сжатого диска» множества Мандельброта. В частности, это подразумевало бы важную гипотезу гиперболичности, упомянутую выше. ^{[ нужна цитата ]}

Работа Жана-Кристофа Йоко установила локальную связность множества Мандельброта при всех конечно перенормируемых параметрах; то есть, грубо говоря, содержащиеся лишь в конечном числе маленьких копий Мандельброта. ^[23] С тех пор локальная связность была доказана во многих других точках , но полная гипотеза все еще остается открытой. ${\displaystyle M}$

Самоподобие

Самоподобие в множестве Мандельброта показано увеличением круглого объекта при панорамировании в отрицательном направлении x . Центр дисплея перемещается влево от пятого к седьмому раунду от (-1,4002, 0) до (-1,4011, 0), а изображение увеличивается в 21,78 раза, чтобы приблизиться к квадрату отношения Фейгенбаума .

Множество Мандельброта самоподобно при увеличении в окрестностях точек Мисюревича . Также предполагается, что он самоподобен вокруг обобщенных точек Фейгенбаума (например, -1,401155 или -0,1528 + 1,0397i ) в смысле сходимости к предельному множеству. ^{[24] [25]} Множество Мандельброта в целом является квазисамоподобным, поскольку небольшие, слегка отличающиеся версии самого себя можно найти в сколь угодно малых масштабах. Все эти копии набора Мандельброта немного отличаются, в основном из-за тонких нитей, соединяющих их с основной частью набора. ^{[ нужна цитата ]}

Дальнейшие результаты

Хаусдорфова размерность границы множества Мандельброта равна 2, как это определено Мицухиро Шишикурой . ^[26] Тот факт, что это целое число больше, чем его топологическая размерность, равная 1, отражает крайнюю фрактальную природу границы множества Мандельброта. Грубо говоря, результат Шишикуры утверждает, что граница множества Мандельброта настолько «волнистая», что локально заполняет пространство так же эффективно, как двумерная плоская область. Кривые с размерностью Хаусдорфа 2, несмотря на то, что они (топологически) одномерны, часто могут иметь ненулевую площадь (более формально, ненулевую плоскую меру Лебега ). Так ли обстоит дело с границей множества Мандельброта, остается нерешенной проблемой. ^{[ нужна цитата ]}

Было показано, что обобщенное множество Мандельброта в многомерных гиперкомплексных числовых пространствах (т.е. когда степень повторяемой переменной стремится к бесконечности) сходится к единичной ( -1)-сфере. ^[27] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \alpha }$

В модели реальных вычислений Блюма-Шуба-Смейла множество Мандельброта не вычислимо, но его дополнение вычислимо перечислимо . Многие простые объекты (например, график возведения в степень) также не вычислимы в модели BSS. В настоящее время неизвестно, вычислимо ли множество Мандельброта в моделях реальных вычислений, основанных на вычислимом анализе , которые более точно соответствуют интуитивному понятию «построение множества с помощью компьютера». Гертлинг показал, что множество Мандельброта вычислимо в этой модели, если гипотеза гиперболичности верна. ^{[ нужна цитата ]}

Отношения с Юлей налаживаются

Мозаика, созданная путем сопоставления наборов Джулии со значениями c на комплексной плоскости. Множество Мандельброта представляет собой карту связных множеств Жюлиа.

Как следствие определения множества Мандельброта, существует тесное соответствие между геометрией множества Мандельброта в данной точке и структурой соответствующего множества Жюлиа . Например, значение c принадлежит множеству Мандельброта тогда и только тогда, когда соответствующее множество Жюлиа связно. Таким образом, множество Мандельброта можно рассматривать как отображение связных множеств Жюлиа. ^{[ нужна цитата ]}

Этот принцип используется практически во всех глубоких результатах на множестве Мандельброта. Например, Шишикура доказал, что для плотного набора параметров на границе множества Мандельброта множество Жюлиа имеет хаусдорфовую размерность два, а затем переносит эту информацию на плоскость параметров. ^[26] Точно так же Йоккоз сначала доказал локальную связность множеств Жюлиа, прежде чем установить ее для множества Мандельброта при соответствующих параметрах. ^[23]

Геометрия

Для каждого рационального числа , где p и q взаимно простые , гиперболическая компонента периода q отделяется от основной кардиоиды в точке на краю кардиоиды, соответствующей внутреннему углу . ^[28] Часть множества Мандельброта, соединенная с основной кардиоидой в этой точке бифуркации, называется p / q -лимбом . Компьютерные эксперименты показывают, что диаметр конечности стремится к нулю, как . Наилучшая известная на данный момент оценка — это неравенство Йоккоза, которое утверждает, что размер стремится к нулю, как . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\pi p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{q^{2}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$

Лимб с периодом q будет иметь «усики» наверху конечности. Период данной лампочки определяется путем подсчета этих антенн. Числитель числа вращения p находится путем нумерации каждой антенны против часовой стрелки, начиная с конечности от 1 до, и определения того, какая антенна является самой короткой. ^[28] ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle q-1}$

Пи в множестве Мандельброта

Пытаясь продемонстрировать, что толщина p / q -лимба равна нулю, Дэвид Болл в 1991 году провел компьютерный эксперимент, в ходе которого вычислил количество итераций, необходимое для того, чтобы ряд расходился ( это его местоположение). Поскольку ряд не расходится при точном значении , количество требуемых итераций увеличивается с небольшим . Оказывается, что умножение значения на количество требуемых итераций дает приближение, которое становится лучше при меньшем . Например, для = 0,0000001 количество итераций равно 31415928, а произведение — 3,1415928. ^[29] В 2001 году Аарон Клебанов доказал открытие Болла. ^[30] ${\displaystyle z=-{\tfrac {3}{4}}+i\varepsilon }$ ${\displaystyle -{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle z=-{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Последовательность Фибоначчи в множестве Мандельброта

Набор Мандельброта имеет фундаментальную кардиоидную форму, украшенную многочисленными лампочками, непосредственно прикрепленными к нему. ^[31] Понимание расположения этих луковиц требует детального изучения границы множества Мандельброта. При увеличении масштаба конкретных частей с геометрической точки зрения появляется точная выводимая информация о местоположении внутри границы и соответствующем динамическом поведении параметров, полученных из связанных лампочек. ^[32]

Итерация квадратичного полинома , где  параметр, взятый из одной из лампочек, прикрепленных к основной кардиоиде в множестве Мандельброта, приводит к появлению карт с притягивающими циклами заданного периода  и числа вращения . В этом контексте притягивающий цикл демонстрирует вращательное движение вокруг центральной фиксированной точки, совершая в среднем  обороты на каждой итерации. ^{[32] [33]} ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle p/q}$

Луковицы в множестве Мандельброта отличаются как циклами притяжения, так и геометрическими особенностями своей структуры. Каждая лампочка характеризуется прикрепленной к ней антенной, исходящей из точки соединения и имеющей определенное количество спиц, указывающих ее период. Например, лампочка идентифицируется по циклу ее притяжения с числом оборотов . Его характерная антенноподобная структура включает точку соединения, из которой выходят пять спиц. Среди этих спиц так называемая главная спица непосредственно прикреплена к колбе, а «самая маленькая» неосновная спица расположена примерно на оборот против часовой стрелки от основной спицы, что обеспечивает отличительную идентификацию как -лампочка . ^[34] Возникает вопрос: как определить, какая из этих спиц является «самой маленькой»? ^{[31] [34]} В теории внешних лучей , разработанной Дуади и Хаббардом. ^{В [35]} имеется ровно два внешних луча, приземляющихся в корневой точке спутниковой гиперболической компоненты множества Мандельброта. Каждый из этих лучей имеет внешний угол, который удваивается по карте удвоения угла . Согласно этой теореме, когда два луча попадают в одну точку, никакие другие лучи между ними не могут пересечься. Таким образом, «размер» этой области измеряется путем определения длины дуги между двумя углами. ^[32] ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle \theta \mapsto }$ ${\displaystyle 2\theta }$

Если корневой точкой главной кардиоиды является точка возврата в точке , то основной кардиоидой является -луковица . Корневая точка любой другой лампочки — это точка, в которой эта лампочка крепится к основной кардиоиде. Это вызывает вопрос: какая луковица является самой большой между корневыми точками и -луковиц? Это явно лампочка. И обратите внимание, что получается из двух предыдущих дробей сложением Фарея , т. е. сложением числителей и сложением знаменателей. ${\displaystyle c=1/4}$ ${\displaystyle 0/1}$ ${\displaystyle 0/1}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 1/3}$

${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$

Точно так же самая большая луковица между и -луковицами - это -луковица, опять-таки полученная сложением Фарея. ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 2/5}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$

Самая большая луковица между -лампочкой и -лампочка - это -лампочка, а самая большая луковица между -лампочками и -лампочка - это -лампочка, и так далее. ^{[32] [36]} Расположение лампочек в множестве Мандельброта следует замечательному образцу, управляемому деревом Фарея , структурой, охватывающей все рациональные числа между и . Такое упорядочение располагает лампочки вдоль границы главной кардиоиды точно в соответствии с рациональными числами в единичном интервале . ^[34] ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 3/7}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 3/8}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Последовательность Фибоначчи в множестве Мандельброта

Начиная с лампочки вверху и продвигаясь к кругу, последовательность разворачивается систематически: самая большая лампочка между и есть , между и есть и так далее. ^[37] Интересно, что знаменатели периодов круглых лампочек в последовательных масштабах множества Мандельброта соответствуют последовательности чисел Фибоначчи , последовательности, которая получается путем сложения двух предыдущих членов – 1, 2, 3, 5, 8, 13. , 21... ^{[38] [39]} ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 3/8}$

Последовательность Фибоначчи проявляется в количестве спиральных рукавов в уникальном месте множества Мандельброта, зеркально отраженных сверху и снизу. Это уникальное расположение требует максимального количества итераций для детального фрактального изображения со сложными деталями, повторяющимися при увеличении масштаба. ^[40]

Галерея изображений последовательности масштабирования

Граница множества Мандельброта показывает более сложные детали по мере приближения или увеличения изображения. Ниже приведен пример последовательности изображений, масштабируемой до выбранного значения c .

Увеличение последнего изображения относительно первого составляет примерно 10 ¹⁰ к 1. Применительно к обычному компьютерному монитору оно представляет собой сечение множества Мандельброта диаметром 4 миллиона километров.

• 
  Начинать. Множество Мандельброта с непрерывно окрашенной средой.
• 
  Зазор между «головой» и «телом», также называемый «долиной морского конька».
• 
  Слева двойные спирали, справа «морские коньки».
• 
  «Морской конёк» вверх тормашками

«Тело» морского конька состоит из 25 «спиц», состоящих из двух групп по 12 «спиц» в каждой и одной «спицы», соединяющейся с основной кардиоидой. Эти две группы можно отнести посредством некоторой метаморфозы к двум «пальцам» «верхней руки» множества Мандельброта; следовательно, число «спиц» увеличивается от одного «морского конька» к другому на 2; «концентратор» — это точка Мисюревича . Между «верхней частью тела» и «хвостом» находится искаженная копия множества Мандельброта, называемая «спутником».

• 
  Центральная конечная точка «хвоста морского конька» также является точкой Мисюревича .
• 
  Часть «хвоста» – существует только один путь, состоящий из тонких структур, проходящих через весь «хвост». Этот зигзагообразный путь проходит через «ступицы» крупных объектов с 25 «спцами» на внутренней и внешней границе «хвоста»; таким образом, множество Мандельброта представляет собой односвязное множество, а это означает, что вокруг дыры нет островов и кольцевых дорог.
• 
  Спутник. Два «хвоста морского конька» являются началом серии концентрических корон со спутником в центре.
• 
  Каждая из этих корон состоит из одинаковых «хвостов морского конька»; их число увеличивается со степенью 2, что является типичным явлением в среде спутников. Уникальный путь к центру спирали проходит спутник от канавки кардиоиды к вершине «антенны» на «голове».
• 
  «Антенна» спутника. Имеется несколько спутников второго порядка.
• 
  «Долина морских коньков» спутника. Все структуры с самого начала появляются снова.
• 
  Двойные спирали и «морские коньки» — в отличие от второго изображения с самого начала, у них есть отростки, состоящие из структур типа «хвостов морского конька»; это демонстрирует типичное соединение n + 1 различных структур в среде спутников порядка n , здесь для простейшего случая n = 1.
• 
  Двойные спирали со сателлитами второго порядка – по аналогии с «морскими коньками», двойные спирали можно интерпретировать как метаморфозу «антенны».
• 
  Во внешней части приложений можно узнать островки сооружений; они имеют форму, подобную множествам Юлии J _c ; самый крупный из них можно найти в центре «двойного крючка» с правой стороны.
• 
  Часть «двойного крючка».
• 
  Острова.
• 
  Деталь одного острова.
• 
  Деталь спирали.

Острова на предпоследнем шаге кажутся состоящими из бесконечного числа частей, как и в случае соответствующего множества Жюлиа . Они соединены крошечными структурами, так что целое представляет собой односвязное множество. Крошечные структуры встречаются друг с другом на спутнике в центре, который слишком мал, чтобы его можно было распознать при таком увеличении. Значение для соответствующего не является центром изображения, но относительно основной части множества Мандельброта имеет то же положение, что и центр этого изображения относительно спутника, показанного на 6-м шаге. ${\displaystyle J_{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle J_{c}}$

Внутренняя структура

Хотя множество Мандельброта обычно визуализируется с отображением деталей внешних границ, также может быть выявлена ​​структура внутри ограниченного множества. Например, при вычислении того, является ли данное значение c связанным или несвязанным, пока оно остается связанным, максимальное значение, которого достигает это число, можно сравнить со значением c в этом месте. Если используется метод суммы квадратов, вычисленное число будет иметь вид max:(действительное^2 + мнимое^2) - c:(действительное^2 + мнимое^2). Величину этого расчета можно представить как значение градиента.

Это приводит к следующим результатам: градиенты с четкими краями и контурами по мере приближения к границам. Анимации служат для выделения границ градиента.

• 
  Анимированная структура градиента внутри множества Мандельброта
• 
  Анимированная структура градиента внутри множества Мандельброта, деталь
• 
  Рендеринг прогрессивных итераций от 285 до примерно 200 000 с анимированными соответствующими ограниченными градиентами.
• Миниатюра градиента в прогрессивных итерациях

Обобщения

Анимации набора Мультиброт для d от 0 до 5 (слева) и от 0,05 до 2 (справа).

4D-множество Жюлиа можно спроецировать или разделить на 3D, поэтому также возможно 4D-множество Мандельброта.

Наборы Мультиброт

Мультибротные множества - это ограниченные множества, найденные в комплексной плоскости для членов общего семейства одномерных полиномиальных рекурсий.

${\displaystyle z\mapsto z^{d}+c}$. ^{[ нужна цитата ]}

Для целого числа d эти наборы являются локусами связности для множеств Жюлиа, построенных по той же формуле. Также был изучен локус полной кубической связности; здесь рассматривается двухпараметрическая рекурсия , две критические точки которой являются комплексными квадратными корнями параметра k . Параметр находится в локусе кубической связности, если обе критические точки стабильны. ^[41] Для общих семейств голоморфных функций граница множества Мандельброта обобщается до места бифуркации . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle z\mapsto z^{3}+3kz+c}$

Множество Мультибро получается путем изменения значения показателя d . В статье есть видео, где показано развитие от d =0 до 7, в этот момент по периметру 6 т.е. лепестков . В общем, когда d является положительным целым числом, центральная область в каждом из этих наборов всегда представляет собой эпициклоиду точек возврата. Аналогичное развитие событий с отрицательными целыми показателями приводит к образованию расщелин внутри кольца, где основная центральная область набора представляет собой гипоциклоиду выступов . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle (1-d)}$ ${\displaystyle (1-d)}$

Высшие измерения

Не существует идеального расширения множества Мандельброта в 3D, потому что не существует 3D-аналога комплексных чисел, по которому можно было бы выполнять итерации. Существует расширение комплексных чисел в 4 измерения, кватернионы , которые создают идеальное расширение множества Мандельброта и множеств Жюлиа в 4 измерения. ^[42] Затем их можно либо разрезать в поперечном сечении , либо спроецировать в трехмерную структуру. Кватернионное (4-мерное) множество Мандельброта представляет собой просто тело вращения 2-мерного множества Мандельброта (в плоскости jk), и поэтому на него неинтересно смотреть. ^[42] Трехмерное поперечное сечение at приводит к получению тела вращения двумерного множества Мандельброта вокруг действительной оси. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle d=0\ (q=a+bi+cj+dk)}$

Другие неаналитические сопоставления

Изображение фрактала Треуголка/Мандельбара

Особый интерес представляет фрактал- треугольник — локус связности антиголоморфного семейства .

${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c}$.

Треуголка (также иногда называемая Мандельбаром ) была встречена Милнором в его исследовании срезов параметров действительных кубических многочленов . Он не подключен локально. Это свойство наследуется локусом связности вещественных кубических многочленов.

Еще одним неаналитическим обобщением является фрактал «Горящий корабль» , который получается повторением следующего:

${\displaystyle z\mapsto (|\Re \left(z\right)|+i|\Im \left(z\right)|)^{2}+c}$.

Компьютерные рисунки

Существует множество различных алгоритмов построения множества Мандельброта с помощью вычислительного устройства. Здесь будет продемонстрирован наиболее широко используемый и простой алгоритм, а именно, наивный «алгоритм времени выхода». В алгоритме времени выхода повторяющийся расчет выполняется для каждой точки x , y в области графика, и на основе поведения этого расчета для этого пикселя выбирается цвет.

Местоположение x и y каждой точки используется в качестве начальных значений в повторяющихся или итерирующих вычислениях (подробно описано ниже). Результат каждой итерации используется в качестве начального значения для следующей. Значения проверяются во время каждой итерации, чтобы увидеть, достигли ли они критического состояния «выхода» или «катастрофы». Если это условие достигнуто, расчет останавливается, пиксель рисуется и исследуется следующая точка x , y .

Цвет каждой точки показывает, насколько быстро значения достигли точки выхода. Часто черный цвет используется для отображения значений, которые не могут выйти за пределы итерации, а для точек, которые выходят за рамки, постепенно используются более яркие цвета. Это дает визуальное представление о том, сколько циклов потребовалось для достижения условия выхода.

Для визуализации такого изображения рассматриваемую нами область комплексной плоскости разбивают на определенное количество пикселей . Чтобы раскрасить любой такой пиксель, пусть это будет середина этого пикселя. Выполните итерацию критической точки 0 под , проверяя на каждом шаге, имеет ли точка орбиты радиус больше 2. В этом случае она не принадлежит множеству Мандельброта и раскрасьте пиксель в соответствии с количеством итераций, использованных для определения . В противном случае продолжайте итерацию до фиксированного количества шагов, после чего мы решаем, что наш параметр «вероятно» принадлежит множеству Мандельброта или, по крайней мере, очень близок к нему, и окрашиваем пиксель в черный цвет. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle c}$

В псевдокоде этот алгоритм будет выглядеть следующим образом. Алгоритм не использует комплексные числа и вручную моделирует операции с комплексными числами, используя два действительных числа, для тех, у кого нет сложного типа данных . Программа может быть упрощена, если язык программирования включает операции со сложными типами данных .

для каждого пикселя (Px, Py) на экране выполните x0 := масштабированная координата x пикселя (масштабированная по шкале Мандельброта X (-2,00, 0,47)) y0 := масштабированная координата y пикселя (масштабированная по шкале Y Мандельброта (-1,12, 1,12)) х := 0,0 у := 0,0 итерация := 0 максимальная_итерация:= 1000 while (x*x + y*y ≤ 2*2 И итерация < max_iteration) do xtemp := x*x - y*y + x0 у := 2*x*y + y0 х := хтемп итерация := итерация + 1

 цвет := палитра[итерация] сюжет (Px, Py, цвет)

Здесь, связывая псевдокод с , и : ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f_{c}}$

• ${\displaystyle z=x+iy}$
• ${\displaystyle z^{2}=x^{2}+i2xy-y^{2}}$
• ${\displaystyle c=x_{0}+iy_{0}}$

и так, как видно из псевдокода при вычислении x и y :

• ${\displaystyle x=\mathop {\mathrm {Re} } (z^{2}+c)=x^{2}-y^{2}+x_{0}}$и . ${\displaystyle y=\mathop {\mathrm {Im} } (z^{2}+c)=2xy+y_{0}}$

Чтобы получить красочные изображения множества, присвоение цвета каждому значению числа выполненных итераций может быть произведено с помощью одной из множества функций (линейной, экспоненциальной и т. д.).

Упоминания в популярной культуре

Множество Мандельброта широко считается самым популярным фракталом ^{[43] [44]} и несколько раз упоминалось в популярной культуре .

• Песня Джонатана Коултона «Mandelbrot Set» — это дань уважения как самому фракталу, так и человеку, в честь которого он назван, Бенуа Мандельброту. ^[45]
• Несколько названий треков на дебютном альбоме Blue Man Group 1999 года Audio относятся к сету Мандельброта. Это «Открытие Мандельброта», «Мандельгрув» и «Кляйн Мандельброт». ^[46]
• Вторая книга серии Mode Пирса Энтони , Fractal Mode , описывает мир, который представляет собой идеальную 3D-модель набора. ^[47]
• В романе Артура Кларка «Призрак с Гранд-Бэнкс» изображено искусственное озеро, повторяющее форму множества Мандельброта. ^[48]
• Бенуа Мандельброт и одноименная группа стали героями дудла Google 20 ноября 2020 года (96-летие покойного Бенуа Мандельброта). ^[49]
• Американская рок-группа Heart разместила изображение Мандельброта на обложке своего альбома 2004 года Jupiters Darling .
• Британская блэк-метал группа Anaal Nathrakh использует изображение, напоминающее набор Мандельброта, на обложке своего альбома Eschaton .
• В телесериале «Холистическое детективное агентство Дирка Джентли» (2016) заметно показано действие Мандельброта в связи с видениями персонажа Аманды. Во втором сезоне на ее куртке на спине большое изображение фрактала. ^[50]
• В книге Яна Стюарта «Флаттерланд» 2001 года есть персонаж по имени Мандельблот, который помогает героям и читателю объяснять фракталы. ^[51]
• Незавершенная серия комиксов Алана Мура 1990 года «Большие числа» использовала работы Мандельброта по фрактальной геометрии и теории хаоса в качестве основы для структуры этой работы. В какой-то момент Мур собирался назвать серию комиксов « множество Мандельброта» . ^[52]
• В манге The Summer Hikaru Died Йошики галлюцинирует набор Мандельброта, когда он проникает в тело ложного Хикару.

Смотрите также

• Буддадброт
• Фрактал Коллатца
• Фрактинт
• Перестановка Гилбрета
• Мандельбокс
• Мандельбулба
• Губка Менгера
• Ньютон фрактал
• Орбитальный портрет
• Орбитальная ловушка
• Пиковерный стебель
• Алгоритмы построения множества Мандельброта

Рекомендации

1. "Набор Мандельброта" . Британский словарь английского языка Lexico . Издательство Оксфордского университета . Архивировано из оригинала 31 января 2022 года.
2. "Набор Мандельброта" . Словарь Merriam-Webster.com . Проверено 30 января 2022 г.
3. Роберт Брукс и Питер Мательски, Динамика 2-порождающих подгрупп PSL(2,C) , в Ирвине Кра (1 мая 1981 г.). Ирвин Кра (ред.). Римановы поверхности и смежные темы: материалы конференции в Стоуни-Брук 1978 г. (PDF) . Бернар Маскит . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08267-7. Архивировано из оригинала (PDF) 28 июля 2019 года . Проверено 1 июля 2019 г.
4. Р. П. Тейлор и Дж. К. Спротт (2008). «Биофильные фракталы и визуальное путешествие органических заставок» (PDF) . Нелинейная динамика, психология и науки о жизни . Общество теории хаоса в психологии и науках о жизни. 12 (1): 117–129. ПМИД  18157930 . Проверено 1 января 2009 г.
5. Мандельброт, Бенуа (1980). «Фрактальные аспекты итерации комплекса ». Анналы Нью-Йоркской академии наук . 357 (1): 249–259. doi :10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x. S2CID  85237669. ${\displaystyle z\mapsto \lambda z(1-z)}$ ${\displaystyle \lambda ,z}$
6. Адриен Дуади и Джон Х. Хаббард, Динамический этюд комплексов полиномов , Prepublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)
7. Пейтген, Хайнц-Отто; Рихтер Питер (1986). Красота фракталов . Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 0-387-15851-0.
8. Границы хаоса, выставка Гёте-Института Х. О. Пейтгена, П. Рихтера, Х. Юргенса, М. Прюфера, Д. Саупе. С 1985 года выставляется более чем в 40 странах.
9. Глейк, Джеймс (1987). Хаос: создание новой науки . Лондон: Кардинал. п. 229.
10. «Изучение множества Мандельброта». Научный американец . 253 (2): 4 августа 1985 г. JSTOR  24967754 – через JSTOR.
11. Паунтейн, Дик (сентябрь 1986 г.). «Турбонаддув Мандельброта». Байт . Проверено 11 ноября 2015 г.
12. Рис, Мэри (январь 2016 г.). «Сто лет сложной динамики». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 472 (2185). Бибкод : 2016RSPSA.47250453R. дои : 10.1098/rspa.2015.0453. ПМЦ 4786033 . ПМИД  26997888. 
13. Вайсштейн, Эрик В. «Набор Мандельброта». mathworld.wolfram.com . Проверено 24 января 2024 г.
14. "Исследователь множеств Мандельброта: Математический глоссарий" . Проверено 7 октября 2007 г.
15. «Радиус побега» . Проверено 17 января 2024 г.
16. thatsmaths (7 декабря 2023 г.). «Логистическая карта скрывается в множестве Мандельброта». Это математика . Проверено 18 февраля 2024 г.
17. Кан, Джереми (8 августа 2001 г.). «Множество Мандельброта связно: топологическое доказательство» (PDF) .
18. Набор Мандельброта, тема и вариации . Тан, Лей. Издательство Кембриджского университета, 2000. ISBN 978-0-521-77476-5 . Раздел 2.1, «Пара-головоломки Йоко», с. 121 
19. Вайсштейн, Эрик В. «Лемниската Мандельброта». Вольфрам Математический мир . Проверено 17 июля 2023 г.
20. Анна Мириам Бенини (2017). «Опрос по MLC, жесткости и смежным темам». arXiv : 1709.09869 [math.DS].
21. Дуади, Адриан; Хаббард, Джон Х. Исследование множества Мандельброта. Записки Орсе . п. 12.
22. Юнг, Вольф (2002). Гомеоморфизмы на ребрах множества Мандельброта (докторская диссертация). RWTH Ахенский университет . урна : nbn:de:hbz:82-opus-3719.
23. Хаббард, Дж. Х. (1993). «Локальная связность множеств Жюлиа и мест бифуркации: три теоремы Ж.-К. Йоко» (PDF) . Топологические методы в современной математике (Стоуни-Брук, Нью-Йорк, 1991) . Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни. стр. 467–511. МР  1215974.. Хаббард цитирует в качестве источника неопубликованную рукопись Йоккоза 1989 года.
24. Лей (1990). «Сходство между множеством Мандельброта и множествами Джулии». Связь в математической физике . 134 (3): 587–617. Бибкод : 1990CMaPh.134..587L. дои : 10.1007/bf02098448. S2CID  122439436.
25. Дж. Милнор (1989). «Самоподобие и волосатость в множестве Мандельброта». В MC Тангора (ред.). Компьютеры в геометрии и топологии. Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис. стр. 211–257. ISBN 9780824780319.)
26. Шишикура, Мицухиро (1998). «Хаусдорфова размерность границы множеств Мандельброта и множеств Жюлиа». Анналы математики . Вторая серия. 147 (2): 225–267. arXiv : math.DS/9201282 . дои : 10.2307/121009. JSTOR  121009. MR  1626737. S2CID  14847943..
27. Катунин, Анджей; Федио, Камил (2015). «О визуализации сходимости границы обобщенного множества Мандельброта к (n-1)-сфере» (PDF) . Журнал прикладной математики и вычислительной механики . 14 (1): 63–69. дои : 10.17512/jamcm.2015.1.06 . Проверено 18 мая 2022 г.
28. «Числовые последовательности в множестве Мандельброта». youtube.com . Гильдия математиков. 4 июня 2020 г. Архивировано из оригинала 30 октября 2021 г.
29. Флейк, Гэри Уильям (1998). Вычислительная красота природы . МТИ Пресс. п. 125. ИСБН 978-0-262-56127-3.
30. Клебанов, Аарон Д. (2001). «π в множестве Мандельброта». Фракталы . 9 (4): 393–402. дои : 10.1142/S0218348X01000828.
31. Девани, Роберт Л. (апрель 1999 г.). «Множество Мандельброта, дерево Фарея и последовательность Фибоначчи». Американский математический ежемесячник . 106 (4): 289–302. дои : 10.2307/2589552. ISSN  0002-9890. JSTOR  2589552.
32. Девани, Роберт Л. (7 января 2019 г.). «Освещение множества Мандельброта» (PDF) .
33. Аллауэй, Эмили (май 2016 г.). «Множество Мандельброта и дерево Фарея» (PDF) .
34. Девани, Роберт Л. (29 декабря 1997 г.). «Множество Мандельброта и дерево Фарея» (PDF) .
35. Дуади, А.; Хаббард, Дж (1982). «Итерация комплексов квадратичных полиномов» (PDF) .
36. "Добро пожаловать на страницу исследователя множеств Мандельброта" . math.bu.edu . Проверено 17 февраля 2024 г.
37. "Математический городок". Патреон . Проверено 17 февраля 2024 г.
38. Клык, Клык; Ашхайм, Раймонд; Ирвин, Кли (декабрь 2019 г.). «Неожиданные фрактальные сигнатуры в цепочках Фибоначчи». Фрактальный и дробный . 3 (4): 49. arXiv : 1609.01159 . дои : 10.3390/fractalfract3040049 . ISSN  2504-3110.
39. «7 Последовательность Фибоначчи». math.bu.edu . Проверено 17 февраля 2024 г.
40. «Угол фибоманделя 0,51» . Десмос . Проверено 17 февраля 2024 г.
41. Руди Ракером CCM: CS.sjsu.edu
42. Барралло, Хавьер (2010). «Расширение множества Мандельброта в более высокие измерения» (PDF) . МостыМатематикаИскусство . Проверено 15 сентября 2021 г.
43. Мандельбаум, Райан Ф. (2018). «Это триповое музыкальное видео сделано из трехмерных фракталов». Проверено 17 января 2019 г.
44. Меллер, Ольга де. (2018). «Что такое фракталы?» Проверено 17 января 2019 г.
45. "Набор Мандельброта". ДжоКопеда . Проверено 15 января 2015 г.
46. "Blue Man Group - Обзоры аудиоальбомов, песни и многое другое" . Allmusic.com . Проверено 4 июля 2023 г.
47. Пирс Энтони (1992). Фрактальный режим. ХарперКоллинз. ISBN 978-0-246-13902-3.
48. Артур Кларк (29 сентября 2011 г.). Призрак из Гранд-Бэнкс. Орион. ISBN 978-0-575-12179-9.
49. Шеридан, Уэйд (20 ноября 2020 г.). «Google чествует математика Бенуа Мандельброта новым дудлом» . Юнайтед Пресс Интернэшнл . Проверено 30 декабря 2020 г.
50. "Черная кожаная куртка Ханны Маркс "Аманда Броцман" от Холистического детективного агентства Дирка Джентли" . www.icollector.com .
51. Траут, Джоди (апрель 2002 г.). «Рецензия на книгу: «Флаттерленд: как Флатландия, только в большей степени» (PDF) . Уведомления АМС . 49 (4): 462–465.
52. "Перечитывание Великого Алана Мура: Большие числа Тима Каллахана" . Тор.com . 21 мая 2012 г.

дальнейшее чтение

• Милнор, Джон В. (2006). Динамика в одной комплексной переменной . Анналы математических исследований. Том. 160 (Третье изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-12488-4.
  (Впервые появилось в 1990 году как препринт Stony Brook IMS, доступный как arXiV:math.DS/9201272)
• Лесмуар-Гордон, Найджел (2004). Цвета бесконечности: красота, сила и смысл фракталов . Очистить Пресс. ISBN 1-904555-05-5.
  (включает DVD с участием Артура Кларка и Дэвида Гилмора )
• Пейтген, Хайнц-Отто ; Юргенс, Хартмут ; Саупе, Дитмар (2004) [1992]. Хаос и фракталы: новые рубежи науки . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-20229-3.

Внешние ссылки

• Хаос и фракталы в Керли
• Видео: фрактальное увеличение Мандельброта до 6,066 e228
• Относительно простое объяснение математического процесса, автор: Холли Кригер , Массачусетский технологический институт.
• Mandelbrot Viewer: средство рендеринга наборов Мандельброта на основе браузера, включая галерею с примерами.
• Различные алгоритмы вычисления множества Мандельброта (на Rosetta Code )
• Фрактальный калькулятор, написанный на Lua Деяном Добромировым, София, Болгария