Переменная (математика)

В математике переменная (от латинского variabilis , «изменяемый») — это символ , обычно буква, который заменяет константы , часто числа. ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^{[6] В разговорной речи говорят,}что переменная представляет или обозначает объект, а объект является значением переменной.

Первоначально термин «переменная» использовался в основном для аргумента функции , в этом случае его значение может изменяться в области определения функции . Это мотивирует выбор термина. Также переменные используются для обозначения значений функций, например $y$ в $y=f(x).$

Переменная может представлять собой неопределенное число, которое остается неизменным во время решения проблемы; в этом случае ее часто называют параметром . Переменная может обозначать неизвестное число, которое необходимо определить; в этом случае ее называют неизвестным ; например, в квадратном уравнении переменные являются параметрами, а — неизвестным. $ax^{2}+bx+c=0,$ $а,б,в$ $x$

Иногда один и тот же символ может использоваться для обозначения как переменной, так и константы , то есть четко определенного математического объекта. Например, греческая буква $π$ обычно представляет число $π$ , но также использовалась для обозначения проекции . Аналогично буква $e$ часто обозначает число Эйлера , но использовалась для обозначения неназначенного коэффициента для функции четвертой степени и полиномов более высокой степени . Даже символ ⁠ ⁠ $1$ использовался для обозначения единичного элемента произвольного поля . Эти два понятия используются почти идентично, поэтому обычно необходимо указать, обозначает ли данный символ переменную или константу. ^[7]

Переменные часто используются для представления матриц , функций , их аргументов, множеств и их элементов , векторов , пространств и т. д. ^[8]

В математической логике переменная — это либо символ, представляющий неопределенную константу теории, либо переменная, которая подвергается квантификации . ^[9]^[10]^[11]

История

В древних трудах, таких как «Элементы» Евклида , отдельные буквы обозначают геометрические точки и формы. В VII веке Брахмагупта использовал разные цвета для обозначения неизвестных в алгебраических уравнениях в « Брахмаспхутасиддханте ». Один из разделов этой книги называется «Уравнения нескольких цветов». ^[12]

В конце XVI века Франсуа Виет выдвинул идею представления известных и неизвестных чисел буквами, которые в настоящее время называются переменными, и идею вычислений с ними, как если бы они были числами, чтобы получить результат простой заменой. Соглашение Виета состояло в том, чтобы использовать согласные для известных значений и гласные для неизвестных. ^[13]

В 1637 году Рене Декарт «изобрел соглашение о представлении неизвестных в уравнениях через x , y и z , а известных через a , b и c ». ^[14] В отличие от соглашения Виета, соглашение Декарта до сих пор широко используется. История буквы x в математике обсуждалась в статье в журнале Scientific American 1887 года . ^[15]

Начиная с 1660-х годов Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых , которое по сути состоит из изучения того, как бесконечно малое изменение переменной величины вызывает соответствующее изменение другой величины, которая является функцией первой переменной. Почти столетие спустя Леонард Эйлер зафиксировал терминологию исчисления бесконечно малых и ввел обозначение $y = f (x)$ для функции $f$ , ее переменной $x$ и ее значения $y$ . До конца 19 века слово переменная относилось почти исключительно к аргументам и значениям функций.

Во второй половине XIX века оказалось, что основа исчисления бесконечно малых не была достаточно формализована, чтобы иметь дело с очевидными парадоксами, такими как нигде не дифференцируемая непрерывная функция . Чтобы решить эту проблему, Карл Вейерштрасс ввел новый формализм, состоящий в замене интуитивного понятия предела формальным определением. Старое понятие предела было «когда переменная $x$ изменяется и стремится к $a$ , то $f (x)$ стремится к $L$ », без какого-либо точного определения «стремится». Вейерштрасс заменил это предложение формулой

(\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|xa|<\eta

\Rightarrow |Lf(x)|<\epsilon ,

в котором ни одна из пяти переменных не рассматривается как изменяющаяся.

Эта статическая формулировка привела к современному понятию переменной, которая является просто символом, представляющим математический объект , который либо неизвестен, либо может быть заменен любым элементом заданного множества (например, множества действительных чисел ).

Обозначение

Переменные обычно обозначаются одной буквой, чаще всего из латинского алфавита и реже из греческого , которая может быть строчной или заглавной. За буквой может следовать нижний индекс: число (например, $x 2$ ), другая переменная ( $x i$ ), слово или сокращение слова ( $x total$ ) или математическое выражение ( $x 2 i + 1$ ). Под влиянием компьютерной науки некоторые имена переменных в чистой математике состоят из нескольких букв и цифр. После Рене Декарта (1596–1650) буквы в начале алфавита, такие как a , b , c , обычно используются для известных значений и параметров, а буквы в конце алфавита, такие как ( x , y , z ), обычно используются для неизвестных и переменных функций. ^[16] В печатной математике нормой является набор переменных и констант курсивным шрифтом. ^[17]

Например, общая квадратичная функция обычно записывается как , где a , b и c являются параметрами (также называемыми константами , потому что они являются постоянными функциями ), в то время как x является переменной функции. Более явный способ обозначения этой функции — , который проясняет статус аргумента функции x и постоянный статус a , b и c . Поскольку c встречается в члене, который является постоянной функцией x , он называется постоянным членом . ^[18] ${\textstyle ax^{2}+bx+c\,}$ ${\textstyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\,}$

Определенные разделы и приложения математики имеют определенные соглашения об именовании переменных. Переменным с похожими ролями или значениями часто назначаются последовательные буквы или одна и та же буква с разными индексами. Например, три оси в трехмерном координатном пространстве традиционно называются x , y и z . В физике имена переменных в значительной степени определяются физической величиной , которую они описывают, но существуют различные соглашения об именовании. Соглашение, часто соблюдаемое в теории вероятности и статистике, заключается в использовании X , Y , Z для имен случайных величин , сохраняя x , y , z для переменных, представляющих соответствующие лучше определенные значения.

Конкретные виды переменных

Обычно переменные играют разные роли в одной и той же математической формуле, и для их различения были введены имена или квалификаторы. Например, общее кубическое уравнение

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,

интерпретируется как имеющая пять переменных: четыре, $a, b, c, d$ , которые считаются заданными числами, а пятая переменная, $x,$ понимается как неизвестное число. Чтобы различать их, переменная $x$ называется неизвестным , а другие переменные называются параметрами или коэффициентами , или иногда константами , хотя эта последняя терминология неверна для уравнения и должна быть зарезервирована для функции, определяемой левой частью этого уравнения.

В контексте функций термин переменная обычно относится к аргументам функций. Это обычно имеет место в предложениях типа « функция действительной переменной », « $x$ — переменная функции $f : x \mapsto f (x)$ », « $f$ — функция переменной $x$ » (имея в виду, что аргумент функции ссылается на переменную $x$ ).

В том же контексте переменные, не зависящие от $x,$ определяют постоянные функции и поэтому называются константами . Например, константа интегрирования — это произвольная постоянная функция, которая добавляется к конкретной первообразной для получения других первообразных. Из-за сильной связи между полиномами и полиномиальными функциями термин «константа» часто используется для обозначения коэффициентов полинома, которые являются постоянными функциями неопределенных.

Другие конкретные названия переменных:

Неизвестная величина — это переменная в уравнении , которую необходимо решить.
Неопределенность — это символ, обычно называемый переменной, который появляется в полиноме или формальном степенном ряду . Формально говоря, неопределенность — это не переменная, а константа в кольце полиномов или кольце формальных степенных рядов . Однако из-за сильной связи между полиномами или степенными рядами и функциями , которые они определяют, многие авторы рассматривают неопределенности как особый вид переменных.
Параметр — это величина (обычно число), которая является частью ввода задачи и остается постоянной в течение всего решения этой задачи. Например, в механике масса и размер твердого тела являются параметрами для изучения его движения. В информатике параметр имеет другое значение и обозначает аргумент функции.
Свободные переменные и связанные переменные
Случайная величина — это разновидность переменной, используемая в теории вероятностей и ее приложениях.

Все эти наименования переменных имеют семантическую природу, и способ вычислений с ними ( синтаксис ) для всех одинаков.

Зависимые и независимые переменные

В исчислении и его применении в физике и других науках довольно часто рассматривается переменная, скажем, $y$ , возможные значения которой зависят от значения другой переменной, скажем, $x$ . В математических терминах зависимая переменная $y$ представляет собой значение функции x . Для упрощения формул часто бывает полезно использовать один и тот же символ для зависимой переменной $y$ и функции, отображающей $x на y$ $.$ Например $,$ состояние физической системы зависит от измеримых величин, таких как давление , температура , пространственное положение, ..., и все эти величины изменяются, когда система развивается, то есть они являются функцией времени. В формулах, описывающих систему, эти величины представлены переменными, которые зависят от времени, и, таким образом, неявно рассматриваются как функции времени.

Поэтому в формуле зависимая переменная — это переменная, которая неявно является функцией другой (или нескольких других) переменных. Независимая переменная — это переменная, которая не является зависимой. ^[19]

Свойство переменной быть зависимой или независимой часто зависит от точки зрения и не является внутренним. Например, в обозначении $f (x, y, z)$ три переменные могут быть все независимыми, и обозначение представляет собой функцию трех переменных. С другой стороны, если $y$ и $z$ зависят от $x$ (являются зависимыми переменными ), то обозначение представляет собой функцию единственной независимой переменной $x$ . ^[20]

Примеры

Если определить функцию f из действительных чисел в действительные числа с помощью

f(x)=x^{2}+\sin(x+4)

тогда x — переменная, обозначающая аргумент определяемой функции, который может быть любым действительным числом.

В идентичности

\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}

переменная i является суммирующей переменной, которая поочередно обозначает каждое из целых чисел 1, 2, ..., n (она также называется индексом , поскольку ее изменение происходит по дискретному набору значений), в то время как n является параметром (он не изменяется внутри формулы).

В теории многочленов многочлен степени 2 обычно обозначается как ax ² + bx + c , где a , b и c называются коэффициентами (они считаются фиксированными, т. е. параметрами рассматриваемой задачи), а x называется переменной. При изучении этого многочлена для его полиномиальной функции этот x обозначает аргумент функции. При изучении многочлена как объекта самого по себе x считается неопределенным и часто пишется с заглавной буквы, чтобы указать на этот статус.

Пример: закон идеального газа

Рассмотрим уравнение, описывающее закон идеального газа. Это уравнение обычно интерпретируется как имеющее четыре переменные и одну константу. Константа — это , постоянная Больцмана . Одна из переменных, , число частиц, является положительным целым числом (и, следовательно, дискретной переменной), в то время как другие три, и , для давления, объема и температуры, являются непрерывными переменными. $PV=Nk_{B}T.$ $k_{B}$ $N$ $П,В$ $Т$

Можно переставить это уравнение, чтобы получить как функцию других переменных, Тогда , как функция других переменных, является зависимой переменной, в то время как ее аргументы, и , являются независимыми переменными. Можно подойти к этой функции более формально и подумать о ее области определения и диапазоне: в нотации функций, здесь есть функция . $P$ $P(V,N,T)={\frac {Nk_{B}T}{V}}.$ $P$ $V,N$ $Т$ $P$ $P:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {N} \times \mathbb {R} _{>0}\rightarrow \mathbb {R}$

Однако в эксперименте, чтобы определить зависимость давления от одной из независимых переменных, необходимо зафиксировать все переменные, кроме одной, скажем . Это дает функцию , где теперь и также считаются константами. Математически это представляет собой частичное применение более ранней функции . $Т$ $P(T)={\frac {Nk_{B}T}{V}},$ $N$ $V$ $P$

Это иллюстрирует, как независимые переменные и константы во многом зависят от принятой точки зрения. Можно даже рассматривать как переменную, чтобы получить функцию $k_{B}$ $P(V,N,T,k_{B})={\frac {Nk_{B}T}{V}}.$

Пространства модулей

Рассмотрение констант и переменных может привести к концепции модульных пространств. Для иллюстрации рассмотрим уравнение параболы , где и считаются действительными. Множество точек на двумерной плоскости, удовлетворяющих этому уравнению, вычерчивает график параболы. Здесь и рассматриваются как константы, которые определяют параболу, в то время как и являются переменными. $y=ax^{2}+bx+c,$ $а,б,в,х$ $y$ $(x,y)$ $а,б$ $с$ $x$ $y$

Тогда вместо того, чтобы рассматривать и как переменные, мы наблюдаем, что каждый набор из 3-кортежей соответствует отдельной параболе. То есть, они задают координаты на «пространстве парабол»: это известно как модульное пространство парабол . $а,б$ $с$ $(а,б,в)$

Обычные имена переменных

a , b , c , d (иногда расширяется до e , f ) для параметров или коэффициентов
a ₀ , a ₁ , a ₂ , ... для ситуаций, когда отдельные буквы неудобны
a _i или u _i для i -го члена последовательности или i -го коэффициента ряда
f , g , h для функций (как в ) $f(x)$
i , j , k (иногда l или h ) для различных целых чисел или индексов в индексированном семействе или единичных векторов
l и w для длины и ширины фигуры
l также для линии или в теории чисел для простого числа, не равного p
n (с m в качестве второго варианта) для фиксированного целого числа , такого как количество объектов или степень уравнения
p для простого числа или вероятности
q для степени простого числа или частного
r для радиуса , остатка или коэффициента корреляции
t для времени
x , y , z для трех декартовых координат точки в евклидовой геометрии или соответствующих осей
z для комплексного числа , или в статистике нормальная случайная величина
α , β , γ , θ , φ для угловых мер
ε (с δ в качестве второго варианта) для произвольно малого положительного числа
λ для собственного значения
Σ (заглавная сигма) для суммы или σ (строчная сигма) в статистике для стандартного отклонения ^[21]
μ для среднего

Смотрите также

Ссылки

^ Соболев, СК (создатель). "Индивидуальная переменная". Энциклопедия математики . Springer . ISBN 1402006098. Получено 5 сентября 2024 г. .
^ Бекенбах, Эдвин Ф (1982). Студенческая алгебра (5-е изд.). Уодсворт. ISBN 0-534-01007-5.
^ Ландин, Джозеф (1989). Введение в алгебраические структуры. Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 204. ISBN 0-486-65940-2.
^ Эли, Роберт; Адамс, Энн Э. (22 февраля 2012 г.). «Неизвестный, заполнитель или переменная: что такое x?». Журнал исследований в области образования в математике . 24 : 19–38 – через Springer Science+Business Media .
^ Оксфордский словарь английского языка , св. «переменная (сущ.), смысл 1.а», март 2024 г. « Математика и физика . Количество или сила, которая в ходе математического расчета или исследования, как предполагается, изменяется или способна изменять свое значение».
^ Collins English Dictionary . Переменная, (существительное) математика а. выражение, которому может быть присвоено любое из множества значений б. символ, особенно x, y или z, представляющий неопределенный член класса объектов
^ "ISO 80000-2:2019" (PDF) . Величины и единицы, Часть 2: Математика . Международная организация по стандартизации . Архивировано из оригинала 15 сентября 2019 г. . Получено 15 сентября 2019 г. .
^ Стовер и Вайсштейн.
^ ван Дален, Дирк (2008). «Логика и структура» (PDF) . Springer-Verlag (4-е изд.): 57. doi : 10.1007/978-3-540-85108-0. ISBN 978-3-540-20879-2.
^ Фейс, Роберт ; Фитч, Фредерик Брентон (1969). Словарь символов математической логики . Амстердам: North-Holland Pub. Co. LCCN 67030883 .
^ Шапиро, Стюарт; Коури Киссель, Тереза (2024), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Классическая логика», Стэнфордская энциклопедия философии (весеннее издание 2024 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , дата обращения 1 сентября 2024 г.
^ Табак 2014, стр. 40.
^ Фрейли 1989, стр. 276.
^ Сорелл 2000, стр. 19.
↑ Scientific American. Munn & Company. 3 сентября 1887 г., стр. 148.
^ Эдвардс, статья 4
^ Хош 2010, стр. 71.
^ Фёрстер 2006, стр. 18.
^ Эдвардс, статья 5
^ Эдвардс, статья 6
^ Weisstein, Eric W. "Sum". mathworld.wolfram.com . Получено 14 февраля 2022 г. .

Библиография

Эдвардс, Джозеф (1892). Элементарный трактат о дифференциальном исчислении (2-е изд.). Лондон: MacMillan and Co.
Foerster, Paul A. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения (классическое издание). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-165711-3.
Фрейли, Джон Б. (1989). Первый курс абстрактной алгебры (4-е изд.). США: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-52821-3.
Hosch, William L., ред. (2010). Руководство по алгебре и тригонометрии Britannica. Образовательное издательство Britannica. ISBN 978-1-61530-219-2.
Менгер, Карл (1954). «О переменных в математике и естественных науках». Британский журнал философии науки . 5 (18). Издательство Чикагского университета: 134–142. doi :10.1093/bjps/V.18.134. JSTOR 685170.
Перегрин, Ярослав (2000). «Переменные в естественном языке: откуда они берутся?» (PDF) . В Böttner, Michael; Thümmel, Wolf (ред.). Variable-Free Semantics . Osnabrück Secolo. стр. 46–65. ISBN 978-3-929979-53-4.
Куайн, Уиллард В. (1960). «Объясненные переменные» (PDF) . Труды Американского философского общества . 104 (3). Американское философское общество: 343–347. JSTOR 985250.
Сорелл, Том (2000). Декарт: Очень краткое введение. Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-285409-4.
Стовер, Кристофер; Вайсштейн, Эрик В. «Переменная». В Вайсштейн, Эрик В. (ред.). Wolfram MathWorld . Wolfram Research . Получено 22 ноября 2021 г. .
Табак, Джон (2014). Алгебра: множества, символы и язык мысли. Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-6875-3.