Мотив (алгебраическая геометрия)

Структура для объединения теорий когомологий

В алгебраической геометрии мотивы ( или иногда мотивы , согласно французскому использованию) — это теория, предложенная Александром Гротендиком в 1960-х годах для объединения огромного множества схоже ведущих себя теорий когомологий, таких как сингулярные когомологии , когомологии де Рама , этальные когомологии и кристаллические когомологии . С философской точки зрения, «мотив» — это «сущность когомологии» многообразия .

В формулировке Гротендика для гладких проективных многообразий мотив — это тройка , где — гладкое проективное многообразие, — идемпотентное соответствие , а m — целое число , однако такая тройка не содержит почти никакой информации вне контекста категории чистых мотивов Гротендика, где морфизм из в задается соответствием степени . Более объектно-ориентированный подход принят Пьером Делинем в работе Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points . В этой статье мотив — это «система реализаций», то есть кортеж ${\displaystyle (X,p,m)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\vdash X}$ ${\displaystyle (X,p,m)}$ ${\displaystyle (Y,q,n)}$ ${\displaystyle n-m}$

${\displaystyle \left(M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p},\operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} },W,F_{\infty },F,\phi ,\phi _{p}\right)}$

состоящий из модулей

${\displaystyle M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p}}$

над кольцами

${\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {A} ^{f},\mathbb {Q} _{p},}$

соответственно, различные изоморфизмы сравнения

${\displaystyle \operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} }}$

между очевидными базовыми изменениями этих модулей, фильтрациями , -действием на и автоморфизмом "Фробениуса" . Эти данные моделируются на основе когомологий гладкого проективного -многообразия и структур и совместимых типов, которые они допускают, и дают представление о том, какой тип информации содержится в мотиве. ${\displaystyle W,F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }},\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M_{\mathbb {A} ^{f}},}$ ${\displaystyle \phi _{p}}$ ${\displaystyle M_{\operatorname {cris} ,p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Введение

Теория мотивов изначально предполагалась как попытка объединить быстро размножающийся массив теорий когомологий, включая когомологии Бетти , когомологии де Рама , l -адические когомологии и кристаллические когомологии . Общая надежда состоит в том, что уравнения типа

• [проективная прямая] = [прямая] + [точка]
• [проективная плоскость] = [плоскость] + [прямая] + [точка]

можно поставить на все более прочную математическую основу с глубоким смыслом. Конечно, вышеприведенные уравнения уже известны как истинные во многих смыслах, например, в смысле CW-комплекса , где "+" соответствует присоединению ячеек, и в смысле различных теорий когомологии, где "+" соответствует прямой сумме.

С другой точки зрения, мотивы продолжают последовательность обобщений от рациональных функций на многообразиях до делителей на многообразиях и групп Чжоу многообразий. Обобщение происходит более чем в одном направлении, поскольку мотивы могут рассматриваться относительно большего количества типов эквивалентности, чем рациональная эквивалентность. Допустимые эквивалентности задаются определением адекватного отношения эквивалентности .

Определение чистых мотивов

Категория чистых мотивов часто протекает в три этапа. Ниже мы описываем случай мотивов Чжоу , где k — любое поле. ${\displaystyle \operatorname {Chow} (k)}$

Первый шаг: категория соответствий (степени 0), Corr(к)

Объектами являются просто гладкие проективные многообразия над k . Морфизмы являются соответствиями . Они обобщают морфизмы многообразий , которые могут быть связаны с их графиками в , на фиксированные размерные циклы Чжоу на . ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Будет полезно описать соответствия произвольной степени, хотя морфизмы в являются соответствиями степени 0. Подробно, пусть X и Y — гладкие проективные многообразия и рассмотрим разложение X на связные компоненты: ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle X=\coprod _{i}X_{i},\qquad d_{i}:=\dim X_{i}.}$

Если , то соответствия степени r от X до Y равны ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {Corr} ^{r}(k)(X,Y):=\bigoplus _{i}A^{d_{i}+r}(X_{i}\times Y),}$

где обозначает циклы Чжоу коразмерности k . Соответствия часто обозначаются с помощью "⊢"-обозначения, например, . Для любого и их композиция определяется как ${\displaystyle A^{k}(X)}$ ${\displaystyle \alpha :X\vdash Y}$ ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Corr} ^{r}(X,Y)}$ ${\displaystyle \beta \in \operatorname {Corr} ^{s}(Y,Z),}$

${\displaystyle \beta \circ \alpha :=\pi _{XZ*}\left(\pi _{XY}^{*}(\alpha )\cdot \pi _{YZ}^{*}(\beta )\right)\in \operatorname {Corr} ^{r+s}(X,Z),}$

где точка обозначает произведение в кольце Чжоу (т.е. пересечение).

Возвращаясь к построению категории, заметим, что композиция соответствий степени 0 является степенью 0. Поэтому мы определяем морфизмы как соответствия степени 0. ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k),}$ ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

Следующая ассоциация является функтором (здесь обозначает график ): ${\displaystyle \Gamma _{f}\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle F:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)\longrightarrow \operatorname {Corr} (k)\\X\longmapsto X\\f\longmapsto \Gamma _{f}\end{cases}}}$

Точно так же, как категория имеет прямые суммы ( X ⊕ Y  := X ∐ Y ) и тензорные произведения ( X ⊗ Y  := X × Y ). Это предаддитивная категория . Сумма морфизмов определяется как ${\displaystyle \operatorname {SmProj} (k),}$ ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle \alpha +\beta :=(\alpha ,\beta )\in A^{*}(X\times X)\oplus A^{*}(Y\times Y)\hookrightarrow A^{*}\left(\left(X\coprod Y\right)\times \left(X\coprod Y\right)\right).}$

Второй шаг: категория чистых эффективных мотивов Чоу, Чоуэфф(к)

Переход к мотивам осуществляется путем взятия псевдоабелевой оболочки : ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k):=Split(\operatorname {Corr} (k))}$.

Другими словами, эффективные мотивы Чжоу представляют собой пары гладких проективных многообразий X и идемпотентных соответствий α: X ⊢ X , а морфизмы имеют определенный тип соответствия:

${\displaystyle \operatorname {Ob} \left(\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)\right):=\{(X,\alpha )\mid (\alpha :X\vdash X)\in \operatorname {Corr} (k){\mbox{ such that }}\alpha \circ \alpha =\alpha \}.}$

${\displaystyle \operatorname {Mor} ((X,\alpha ),(Y,\beta )):=\{f:X\vdash Y|f\circ \alpha =f=\beta \circ f\}.}$

Композиция — это определенная выше композиция соответствий, а тождественный морфизм ( X , α ) определяется как α  : X ⊢ X.

Ассоциация,

${\displaystyle h:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)&\longrightarrow \operatorname {Chow^{eff}} (k)\\X&\longmapsto [X]:=(X,\Delta _{X})\\f&\longmapsto [f]:=\Gamma _{f}\subset X\times Y\end{cases}}}$,

где Δ _X  := [ id _X ] обозначает диагональ X × X , является функтором. Мотив [ X ] часто называют мотивом, связанным с многообразием X.

Как и предполагалось, Chow ^eff ( k ) является псевдоабелевой категорией . Прямая сумма эффективных мотивов определяется как

${\displaystyle ([X],\alpha )\oplus ([Y],\beta ):=\left(\left[X\coprod Y\right],\alpha +\beta \right),}$

Тензорное произведение эффективных мотивов определяется как

${\displaystyle ([X],\alpha )\otimes ([Y],\beta ):=(X\times Y,\pi _{X}^{*}\alpha \cdot \pi _{Y}^{*}\beta ),}$

где

${\displaystyle \pi _{X}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to X\times X,\quad {\text{and}}\quad \pi _{Y}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to Y\times Y.}$

Тензорное произведение морфизмов также может быть определено. Пусть f ₁  : ( X ₁ , α ₁ ) → ( Y ₁ , β ₁ ) и f ₂  : ( X ₂ , α ₂ ) → ( Y ₂ , β ₂ ) — морфизмы мотивов. Тогда пусть γ ₁ ∈ A ^* ( X ₁ × Y ₁ ) и γ ₂ ∈ A ^* ( X ₂ × Y ₂ ) — представители f ₁ и f ₂ . Тогда

${\displaystyle f_{1}\otimes f_{2}:(X_{1},\alpha _{1})\otimes (X_{2},\alpha _{2})\vdash (Y_{1},\beta _{1})\otimes (Y_{2},\beta _{2}),\qquad f_{1}\otimes f_{2}:=\pi _{1}^{*}\gamma _{1}\cdot \pi _{2}^{*}\gamma _{2}}$,

где π _i  : X ₁ × X ₂ × Y ₁ × Y ₂ → X _i × Y _i — проекции.

Третий шаг: категория чистых мотивов Чау, Чау(к)

Чтобы перейти к мотивам, мы присоединяем к Chow ^eff ( k ) формальную обратную (относительно тензорного произведения) мотива, называемого мотивом Лефшеца. Эффект состоит в том, что мотивы становятся тройками вместо пар. Мотив Лефшеца L есть

${\displaystyle L:=(\mathbb {P} ^{1},\lambda ),\qquad \lambda :=pt\times \mathbb {P} ^{1}\in A^{1}(\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1})}$.

Если мы определим мотив 1 , называемый тривиальным мотивом Тейта , как 1  := h(Spec( k )), то элегантное уравнение

${\displaystyle [\mathbb {P} ^{1}]=\mathbf {1} \oplus L}$

имеет место, так как

${\displaystyle \mathbf {1} \cong \left(\mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{1}\times \operatorname {pt} \right).}$

Тензорный обратный мотив Лефшеца известен как мотив Тейта , T  := L ⁻¹ . Затем мы определяем категорию чистых мотивов Чжоу как

${\displaystyle \operatorname {Chow} (k):=\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)[T]}$.

Тогда мотив — это тройка

${\displaystyle (X\in \operatorname {SmProj} (k),p:X\vdash X,n\in \mathbb {Z} )}$

таким образом, что морфизмы задаются соответствиями

${\displaystyle f:(X,p,m)\to (Y,q,n),\quad f\in \operatorname {Corr} ^{n-m}(X,Y){\mbox{ such that }}f\circ p=f=q\circ f,}$

а композиция морфизмов происходит из композиции соответствий.

Как и предполагалось, это жесткая псевдоабелева категория. ${\displaystyle \operatorname {Chow} (k)}$

Другие типы мотивов

Чтобы определить продукт пересечения, циклы должны быть «подвижными», чтобы мы могли пересекать их в общем положении. Выбор подходящего отношения эквивалентности на циклах гарантирует, что каждая пара циклов имеет эквивалентную пару в общем положении, которую мы можем пересечь. Группы Чжоу определяются с использованием рациональной эквивалентности, но возможны и другие эквивалентности, и каждая определяет другой вид мотива. Примерами эквивалентностей, от самой сильной до самой слабой, являются

• Рациональная эквивалентность
• Алгебраическая эквивалентность
• Эквивалентность сокрушительной нильпотентности (иногда называемая эквивалентностью Воеводского)
• Гомологическая эквивалентность (в смысле когомологий Вейля)
• Числовая эквивалентность

В литературе каждый тип чистого мотива иногда называют мотивом Чжоу, и в этом случае мотив относительно алгебраической эквивалентности будет называться мотивом Чжоу по модулю алгебраической эквивалентности .

Смешанные мотивы

Для фиксированного базового поля k категория смешанных мотивов является предполагаемой абелевой тензорной категорией вместе с контравариантным функтором ${\displaystyle MM(k)}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (k)\to MM(k)}$

принимающие значения на всех многообразиях (а не только на гладких проективных, как это было в случае с чистыми мотивами). Это должно быть так, что мотивные когомологии, определяемые

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{MM}^{*}(1,?)}$

совпадает с предсказанным алгебраической К-теорией и содержит категорию мотивов Чжоу в подходящем смысле (и другие свойства). Существование такой категории было предположено Александром Бейлинсоном .

Вместо того, чтобы строить такую ​​категорию, Делинь предложил сначала построить категорию DM, имеющую свойства, которые можно ожидать от производной категории.

${\displaystyle D^{b}(MM(k))}$.

Получение MM обратно из DM тогда будет достигнуто с помощью (предполагаемой) мотивной t-структуры .

Текущее состояние теории таково, что у нас есть подходящая категория DM . Эта категория уже полезна в приложениях. Доказательство гипотезы Милнора, полученное Владимиром Воеводским и удостоенное медали Филдса , использует эти мотивы в качестве ключевого ингредиента.

Существуют различные определения, данные Ханамурой, Левином и Воеводским. Известно, что они эквивалентны в большинстве случаев, и мы приведем определение Воеводского ниже. Категория содержит мотивы Чжоу как полную подкатегорию и дает «правильные» мотивные когомологии. Однако Воеводский также показывает, что (с целыми коэффициентами) она не допускает мотивную t-структуру.

Геометрические смешанные мотивы

Обозначение

Здесь мы зафиксируем поле k характеристики0 и пусть будет нашим кольцом коэффициентов. Заданная как категория квазипроективных многообразий над k — это разделенные схемы конечного типа. Мы также положим — подкатегория гладких многообразий. ${\displaystyle A=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {Var}}/k}$ ${\displaystyle {\mathcal {Sm}}/k}$

Гладкие многообразия с соответствиями

Для данного гладкого многообразия X и многообразия Y назовем целочисленную замкнутую подсхему , которая конечна над X и сюръективна над компонентой Y, простым соответствием из X в Y . Затем мы можем взять множество простых соответствий из X в Y и построить свободный A -модуль . Его элементы называются конечными соответствиями . Затем мы можем образовать аддитивную категорию , объектами которой являются гладкие многообразия, а морфизмы задаются гладкими соответствиями. Единственной нетривиальной частью этого «определения» является тот факт, что нам нужно описать композиции. Они задаются формулой push-pull из теории колец Чжоу. ${\displaystyle W\subset X\times Y}$ ${\displaystyle C_{A}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {SmCor}}}$

Примеры соответствий

Типичные примеры простых соответствий можно найти в графе морфизма многообразий . ${\displaystyle \Gamma _{f}\subset X\times Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

Локализация гомотопической категории

Отсюда мы можем образовать гомотопическую категорию ограниченных комплексов гладких соответствий. Здесь гладкие многообразия будут обозначаться . Если мы локализуем эту категорию относительно наименьшей толстой подкатегории (имея в виду, что она замкнута относительно расширений), содержащей морфизмы ${\displaystyle K^{b}({\mathcal {SmCor}})}$ ${\displaystyle [X]}$

${\displaystyle [X\times \mathbb {A} ^{1}]\to [X]}$

и

${\displaystyle [U\cap V]{\xrightarrow {j_{U}'+j_{V}'}}[U]\oplus [V]{\xrightarrow {j_{U}-j_{V}}}[X]}$

тогда мы можем сформировать триангулированную категорию эффективных геометрических мотивов. Обратите внимание, что первый класс морфизмов является локализующими -гомотопиями многообразий, тогда как второй даст категории геометрических смешанных мотивов последовательность Майера–Виеториса . ${\displaystyle {\mathcal {DM}}_{\text{gm}}^{\text{eff}}(k,A).}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

Также обратите внимание, что эта категория имеет тензорную структуру, заданную произведением многообразий, поэтому . ${\displaystyle [X]\otimes [Y]=[X\times Y]}$

Инвертируя мотив Тейта

Используя триангулированную структуру, мы можем построить треугольник

${\displaystyle \mathbb {L} \to [\mathbb {P} ^{1}]\to [\operatorname {Spec} (k)]{\xrightarrow {[+1]}}}$

из канонического отображения . Мы установим и назовем его мотивом Тейта . Взяв итеративное тензорное произведение, мы можем построить . Если у нас есть эффективный геометрический мотив M, мы обозначим Более того, он ведет себя функториально и образует триангулированный функтор. Наконец, мы можем определить категорию геометрических смешанных мотивов как категорию пар для M — эффективного геометрического смешанного мотива и n — целого числа, представляющего поворот мотивом Тейта. Тогда hom-группы являются копределом ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle A(1)=\mathbb {L} [-2]}$ ${\displaystyle A(k)}$ ${\displaystyle M(k)}$ ${\displaystyle M\otimes A(k).}$ ${\displaystyle {\mathcal {DM}}_{gm}}$ ${\displaystyle (M,n)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {DM}}((A,n),(B,m))=\lim _{k\geq -n,-m}\operatorname {Hom} _{{\mathcal {DM}}_{gm}^{\operatorname {eff} }}(A(k+n),B(k+m))}$

Примеры мотивов

мотивы Тейта

Есть несколько элементарных примеров мотивов, которые легко доступны. Одним из них являются мотивы Тейта, обозначаемые , , или , в зависимости от коэффициентов, используемых при построении категории Мотивов. Это фундаментальные строительные блоки в категории мотивов, поскольку они образуют «другую часть» помимо абелевых многообразий. ${\displaystyle \mathbb {Q} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (n)}$ ${\displaystyle A(n)}$

Мотивы кривых

Мотив кривой можно понять явно с относительной легкостью: их кольцо Чжоу справедливо для любой гладкой проективной кривой , поэтому якобианы вписываются в категорию мотивов. $${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$$ ${\displaystyle C}$

Пояснение для неспециалистов

Широко применяемый метод в математике заключается в изучении объектов, несущих определенную структуру, путем введения категории , морфизмы которой сохраняют эту структуру. Затем можно спросить, когда два данных объекта изоморфны, и попросить «особенно хорошего» представителя в каждом классе изоморфизма. Классификация алгебраических многообразий, т. е. применение этой идеи в случае алгебраических многообразий , очень сложна из-за крайне нелинейной структуры объектов. Расслабленный вопрос изучения многообразий вплоть до бирационального изоморфизма привел к области бирациональной геометрии . Другой способ решения вопроса — присоединить к данному многообразию X объект более линейной природы, т. е. объект, поддающийся методам линейной алгебры , например, векторное пространство . Эта «линеаризация» обычно называется когомологиями .

Существует несколько важных теорий когомологий, которые отражают различные структурные аспекты многообразий. (Частично предположительная) теория мотивов является попыткой найти универсальный способ линеаризации алгебраических многообразий, т. е. мотивы должны предоставлять теорию когомологий, которая воплощает все эти конкретные когомологии. Например, род гладкой проективной кривой C , которая является интересным инвариантом кривой, является целым числом, которое можно считать из размерности первой группы когомологий Бетти C. Таким образом, мотив кривой должен содержать информацию о роде. Конечно, род является довольно грубым инвариантом, поэтому мотив C — это больше, чем просто это число.

Поиск универсальных когомологий

Каждому алгебраическому многообразию X соответствует мотив [ X ], поэтому простейшими примерами мотивов являются:

• [точка]
• [проективная прямая] = [точка] + [прямая]
• [проективная плоскость] = [плоскость] + [прямая] + [точка]

Эти «уравнения» справедливы во многих ситуациях, а именно для когомологий де Рама и когомологий Бетти , l -адических когомологий , числа точек над любым конечным полем и в мультипликативной записи для локальных дзета-функций .

Общая идея заключается в том, что один мотив имеет одну и ту же структуру в любой разумной теории когомологий с хорошими формальными свойствами; в частности, любая теория когомологий Вейля будет иметь такие свойства. Существуют различные теории когомологий Вейля, они применяются в разных ситуациях и имеют значения в разных категориях, а также отражают различные структурные аспекты рассматриваемого многообразия:

• Когомологии Бетти определены для многообразий над (подполями) комплексных чисел , они имеют то преимущество, что определены над целыми числами и являются топологическим инвариантом.
• Когомологии де Рама (для многообразий над ) имеют смешанную структуру Ходжа , это дифференциально-геометрический инвариант ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• l -адические когомологии (над любым полем характеристики ≠ l) имеют каноническое действие группы Галуа , т.е. имеют значения в представлениях (абсолютной) группы Галуа
• кристаллические когомологии

Все эти теории когомологий имеют общие свойства, например, существование последовательностей Майера-Виеториса , гомотопическую инвариантность ( произведение X с аффинной прямой ) и др. Более того, они связаны изоморфизмами сравнения, например, когомологии Бетти гладкого многообразия X над с конечными коэффициентами изоморфны l -адическим когомологиям с конечными коэффициентами. ${\displaystyle H^{*}(X)\cong H^{*}(X\times \mathbb {A} ^{1}),}$ ${\displaystyle H_{\text{Betti}}^{*}(X,\mathbb {Z} /n)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Теория мотивов представляет собой попытку найти универсальную теорию, которая воплощает все эти частные когомологии и их структуры и обеспечивает основу для «уравнений», подобных

[проективная прямая] = [прямая]+[точка].

В частности, вычисление мотива любого многообразия X напрямую дает всю информацию о нескольких теориях когомологий Вейля H ^* _Betti ( X ), H ^* _DR ( X ) и т. д.

Начиная с Гротендика, люди на протяжении многих лет пытались точно определить эту теорию.

Мотивные когомологии

Сама мотивная когомология была изобретена до создания смешанных мотивов с помощью алгебраической K-теории . Вышеуказанная категория предоставляет изящный способ (пере)определить ее с помощью

${\displaystyle H^{n}(X,m):=H^{n}(X,\mathbb {Z} (m)):=\operatorname {Hom} _{DM}(X,\mathbb {Z} (m)[n]),}$

где n и m — целые числа, а m — m -я степень тензора объекта Тейта , который в установке Воеводского представляет собой комплекс, сдвинутый на –2, а [n] означает обычный сдвиг в триангулированной категории. ${\displaystyle \mathbb {Z} (m)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (1),}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {pt} }$

Предположения, связанные с мотивами

Стандартные гипотезы были впервые сформулированы в терминах взаимодействия алгебраических циклов и теорий когомологий Вейля. Категория чистых мотивов обеспечивает категориальную структуру для этих гипотез.

Стандартные гипотезы обычно считаются очень сложными и открытыми в общем случае. Гротендик с Бомбьери показали глубину мотивного подхода, представив условное (очень короткое и элегантное) доказательство гипотез Вейля (которые были доказаны другими способами Делинем ), предполагая, что стандартные гипотезы верны.

Например, стандартная гипотеза Кюннета , утверждающая существование алгебраических циклов π ⁱ ⊂ X × X, индуцирующих канонические проекторы H ^* ( X ) → H ⁱ ( X ) ↣ H ^* ( X ) (для любых когомологий Вейля H ), подразумевает, что каждый чистый мотив M разлагается на градуированные части веса n : M = ⨁ Gr _n M . Терминология веса происходит от похожего разложения, скажем, когомологий де Рама гладких проективных многообразий, см. теорию Ходжа .

Гипотеза D , утверждающая согласованность численной и гомологической эквивалентности , подразумевает эквивалентность чистых мотивов относительно гомологической и численной эквивалентности. (В частности, первая категория мотивов не зависела бы от выбора теории когомологий Вейля). Яннсен (1992) доказал следующий безусловный результат: категория (чистых) мотивов над полем является абелевой и полупростой тогда и только тогда, когда выбранное отношение эквивалентности является численной эквивалентностью.

Гипотеза Ходжа может быть аккуратно переформулирована с использованием мотивов: она верна тогда и только тогда, когда реализация Ходжа, отображающая любой чистый мотив с рациональными коэффициентами (над подполем ) в его структуру Ходжа, является полным функтором (рациональные структуры Ходжа ). Здесь чистый мотив означает чистый мотив относительно гомологической эквивалентности. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H:M(k)_{\mathbb {Q} }\to HS_{\mathbb {Q} }}$

Аналогично гипотеза Тейта эквивалентна: так называемая реализация Тейта, т. е. ℓ-адические когомологии, являются полным функтором (чистые мотивы с точностью до гомологической эквивалентности, непрерывные представления абсолютной группы Галуа базового поля k ), который принимает значения в полупростых представлениях. (Последняя часть является автоматической в ​​случае аналога Ходжа). ${\displaystyle H:M(k)_{\mathbb {Q} _{\ell }}\to \operatorname {Rep} _{\ell }(\operatorname {Gal} (k))}$

Таннакианский формализм и мотивная группа Галуа

Чтобы мотивировать (предполагаемую) мотивную группу Галуа, зафиксируем поле k и рассмотрим функтор

конечные отделимые расширения K множества k → непустые конечные множества с (непрерывным) транзитивным действием абсолютной группы Галуа множества k

который отображает K в (конечное) множество вложений K в алгебраическое замыкание k . В теории Галуа этот функтор показан как эквивалентность категорий. Обратите внимание, что поля являются 0-мерными. Мотивы такого рода называются мотивами Артина . Путем -линеаризации вышеуказанных объектов другой способ выразить вышесказанное состоит в том, чтобы сказать, что мотивы Артина эквивалентны конечным -векторным пространствам вместе с действием группы Галуа. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Цель мотивной группы Галуа — распространить указанную выше эквивалентность на многообразия более высокой размерности. Для этого используется технический аппарат теории категорий Таннаки (возвращающийся к двойственности Таннаки–Крейна , но чисто алгебраическая теория). Ее цель — пролить свет как на гипотезу Ходжа , так и на гипотезу Тейта , нерешенные вопросы в алгебраической теории циклов . Зафиксируем теорию когомологий Вейля H . Она дает функтор из M _num (чистые мотивы, использующие числовую эквивалентность) в конечномерные -векторные пространства. Можно показать, что первая категория является категорией Таннаки. Предполагая эквивалентность гомологической и числовой эквивалентности, т. е. приведенную выше стандартную гипотезу D , функтор H является точным верным тензорным функтором. Применяя формализм Таннакиана, можно прийти к выводу, что M _num эквивалентна категории представлений алгебраической группы G , известной как мотивная группа Галуа. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Мотивная группа Галуа относится к теории мотивов так же, как группа Мамфорда–Тейта относится к теории Ходжа . Опять же, грубо говоря, гипотезы Ходжа и Тейта являются типами инвариантной теории (пространства, которые морально являются алгебраическими циклами, выбираются инвариантностью относительно группы, если задать правильные определения). Мотивная группа Галуа имеет окружающую теорию представлений. (Чем она не является, так это группой Галуа ; однако в терминах гипотезы Тейта и представлений Галуа на этальных когомологиях она предсказывает образ группы Галуа или, точнее, ее алгебры Ли .)

Смотрите также

• Кольцо периодов
• Мотивные когомологии
• Presheaf с трансферами
• Смешанный модуль Ходжа
• L-функции мотивов

Ссылки

Обзорные статьи

• Бейлинсон, Александр ; Вологодский, Вадим (2007), Справочник Генерального директора по мотивам Воеводского, стр. 4004, arXiv : math/0604004 , Bibcode : 2006math......4004B(техническое введение со сравнительно короткими доказательствами)
• Мотивы над конечными полями - Дж. С. Милн
• Мазур, Барри (2004), «Что такое ... мотив?» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 51 (10): 1214–1216, ISSN  0002-9920, MR  2104916(текст мотивов для чайников).
• Серр, Жан-Пьер (1991), «Мотивы» (PDF) , Astérisque (на французском) (198): 11, 333–349 (1992), ISSN  0303-1179, MR  1144336, архивировано из оригинала (PDF) 10.01.2022(введение в мотивы на высоком уровне на французском языке).
• Табауда, Гонсало (2011), «Экскурсия по саду некоммутативных мотивов», Журнал K-теории , arXiv : 1108.3787

Книги

• Андре, Ив (2004), Введение в мотивы (пурпурные мотивы, смешанные мотивы, периоды) , Panoramas et Synthèses, vol. 17, Париж: Математическое общество Франции, ISBN. 978-2-85629-164-1, МР  2115000
• Яннсен, Уве; Клейман, Стивен; Серр, Жан-Пьер , ред. (1994), Мотивы , Труды симпозиумов по чистой математике, т. 55, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1636-3, МР  1265518
  • Л. Брин: Таннакские категории .
  • С. Клейман: Стандартные предположения .
  • А. Шолль: Классические мотивы . (подробное изложение мотивов Чжоу)
• Хубер, Аннетт; Мюллер-Штах, Стефан (20 марта 2017 г.), Периоды и мотивы нори , Springer, ISBN 978-3-319-50925-9
• Мацца, Карло; Воеводский, Владимир ; Вайбель, Чарльз (2006), Конспект лекций по мотивным когомологиям, Clay Mathematics Monographs , т. 2, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3847-1, г-н  2242284
• Левин, Марк (1998). Смешанные мотивы . Математические обзоры и монографии, 57. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0785-9.
• Фридлендер, Эрик М.; Грейсон, Дэниел Р. (2005). Справочник по теории К. Springer. ISBN 978-3-540-23019-9.

Справочная литература

• Яннсен, Уве (1992), «Мотивы, численная эквивалентность и полупростота» (PDF) , Inventiones Math. , 107 : 447–452, Bibcode : 1992InMat.107..447J, doi : 10.1007/BF01231898, S2CID  120799359
• Клейман, Стивен Л. (1972), «Мотивы», в Оорте, Ф. (ред.), Алгебраическая геометрия, Осло 1970 (Труды Пятой скандинавской летней школы по математике, Осло, 1970) , Гронинген: Wolters-Noordhoff, стр. 53–82(адекватные отношения эквивалентности на циклах).
• Милн, Джеймс С. Мотивы — Мечта Гротендика
• Воеводский, Владимир ; Суслин, Андрей ; Фридлендер, Эрик М. (2000), Циклы, трансферы и мотивные теории гомологии, Annals of Mathematics Studies, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04814-7(Определение смешанных мотивов Воеводским. Высокотехнично).
• Хубер, Аннет (2000). «Реализация мотивов Воеводского» (PDF) . Журнал алгебраической геометрии . 9 : 755–799. S2CID  17160833. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-09-26.

Будущие направления

• Размышления о Q ( 1 / 4 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (1/4)} : Арифметические спиновые структуры на эллиптических кривых
• Что такое «дробные мотивы»?

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с Motive (алгебраическая геометрия) в Wikiquote