Платоново твердое тело

Выпуклый многогранник с одинаковыми правильными гранями многоугольника.

В геометрии Платоново тело — это выпуклый правильный многогранник в трёхмерном евклидовом пространстве . Правильный многогранник означает, что грани представляют собой конгруэнтные (идентичные по форме и размеру) правильные многоугольники (все углы равны и все ребра конгруэнтны), и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней . Таких многогранников всего пять:

Геометры изучали Платоновы тела на протяжении тысячелетий. ^[1] Они названы в честь древнегреческого философа Платона , который в одном из своих диалогов « Тимей» выдвинул гипотезу , что классические элементы состоят из этих правильных твердых тел. ^[2]

История

Платоническая твердотельная модель Солнечной системы Кеплера из Mysterium Cosmographicum (1596 г.)

Отнесение к элементам в «Harmonices Mundi» Кеплера.

Платоновы тела известны с античных времен. Было высказано предположение, что эти формы представляют собой определенные резные каменные шары , созданные жителями Шотландии позднего неолита ; однако эти шары имеют закругленные выступы, а не многогранники, число выступов часто отличалось от количества вершин платоновых тел, не существует шара, выступы которого соответствовали бы 20 вершинам додекаэдра, и расположение выступов не было всегда симметричен. ^[3]

Древние греки широко изучали Платоновы тела. Некоторые источники (например, Прокл ) приписывают свое открытие Пифагору . Другие данные свидетельствуют о том, что он, возможно, был знаком только с тетраэдром, кубом и додекаэдром и что открытие октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету , современнику Платона. В любом случае Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, был ответственным за первое известное доказательство того, что других выпуклых правильных многогранников не существует.

Платоновые тела занимают видное место в философии Платона , их тезки. Платон писал о них в диалоге «Тимей» ок. 360 г. до н.э., в котором он связал каждый из четырех классических элементов ( землю , воздух , воду и огонь ) с правильным твердым телом. Земля ассоциировалась с кубом, воздух — с октаэдром, вода — с икосаэдром, а огонь — с тетраэдром.

О пятом платоновом теле, додекаэдре, Платон неясно заметил: «...бог использовал [его] для расположения созвездий на всем небе». Аристотель добавил пятый элемент, аитер (эфир по-латыни, «эфир» по-английски) и постулировал, что небеса состоят из этого элемента, но он не был заинтересован в сопоставлении его с пятым телом Платона. ^[4]

Евклид полностью математически описал Платоновы тела в «Началах» , последняя книга (книга XIII) которых посвящена их свойствам. Предложения 13–17 в книге XIII описывают построение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в указанном порядке. Для каждого твердого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В предложении 18 он утверждает, что больше не существует выпуклых правильных многогранников. Андреас Спейзер отстаивал точку зрения, согласно которой построение пяти правильных тел является главной целью дедуктивной системы, канонизированной в « Элементах» . ^[5] Большая часть информации в Книге XIII, вероятно, взята из работ Теэтета.

В 16 веке немецкий астроном Иоганн Кеплер попытался связать пять известных в то время внеземных планет с пятью Платоновыми телами. В книге «Mysterium Cosmographicum» , опубликованной в 1596 году, Кеплер предложил модель Солнечной системы , в которой пять твердых тел помещены друг в друга и разделены серией вписанных и описанных сфер. Кеплер предположил, что соотношения расстояний между шестью планетами, известными в то время, можно понять с точки зрения пяти платоновых тел, заключенных в сферу, которая представляла орбиту Сатурна . Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет ( Меркурию , Венере , Земле , Марсу , Юпитеру и Сатурну). Твердые тела были упорядочены так, что самым внутренним был октаэдр, за ним следовали икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб, тем самым диктуя структуру Солнечной системы и отношения расстояний между планетами с помощью платоновых тел. В конце концов от первоначальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но в результате его исследований появились три закона орбитальной динамики , первый из которых заключался в том, что орбиты планет представляют собой эллипсы , а не круги, что изменило ход физики и астрономии. Он также открыл тела Кеплера , представляющие собой два невыпуклых правильных многогранника.

Декартовы координаты

Для платоновых тел с центром в начале координат простые декартовы координаты вершин приведены ниже. Греческая буква φ используется для обозначения золотого сечения. 1 + √ 5/2≈ 1,6180.

Координаты тетраэдра, додекаэдра и икосаэдра заданы в двух положениях так, что каждую можно вывести из другой: в случае тетраэдра - путем изменения всех координат знака ( центральная симметрия ) или, в остальных случаях, путем обмена двумя координатами ( отражение относительно любой из трех диагональных плоскостей).

Эти координаты раскрывают определенные отношения между платоновыми телами: вершины тетраэдра представляют половину вершин куба, как {4,3} или, один из двух наборов из 4 вершин в двойных положениях, например h{4,3} или. Обе позиции тетраэдра образуют составной звездчатый октаэдр .

Координаты икосаэдра связаны с двумя чередующимися наборами координат неоднородного усеченного октаэдра t{3,4} или, также называемый курносым октаэдром , как s{3,4} или, и виден в соединении двух икосаэдров .

Восемь вершин додекаэдра являются общими с кубом. Выполнение всех ориентаций приводит к соединению пяти кубов .

Комбинаторные свойства

Выпуклый многогранник является платоновым телом тогда и только тогда, когда выполняются все три следующих требования.

• Все его грани представляют собой конгруэнтные выпуклые правильные многоугольники .
• Ни одна из его граней не пересекается, кроме как по краям.
• В каждой его вершине сходится одинаковое количество граней .

Таким образом, каждому Платонову телу можно присвоить пару целых чисел { p ,  q }, где p — количество ребер (или, что то же самое, вершин) каждой грани, а q — количество граней (или, что то же самое, ребер), которые встречаются в каждой вершине. Эта пара { p ,  q }, называемая символом Шлефли , дает комбинаторное описание многогранника. Символы Шлефли пяти Платоновых тел приведены в таблице ниже.

Вся остальная комбинаторная информация об этих телах, такая как общее количество вершин ( V ), ребер ( E ) и граней ( F ), может быть определена из p и q . Поскольку любое ребро соединяет две вершины и имеет две смежные грани, мы должны иметь:

${\displaystyle pF=2E=qV.\,}$

Другая связь между этими значениями определяется формулой Эйлера :

${\displaystyle V-E+F=2.\,}$

Это можно доказать многими способами. Вместе эти три отношения полностью определяют V , E и F :

${\displaystyle V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}$

Замена p и q меняет местами F и V , оставляя E неизменным. Геометрическую интерпретацию этого свойства см. в § Двойственные многогранники.

В качестве конфигурации

Элементы многогранника можно выразить в виде матрицы конфигурации . Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам и граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем многограннике. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Матрицы конфигураций двойных пар многогранников повернуты на 180 градусов друг от друга. ^[6]

Классификация

Классический результат состоит в том, что существует только пять выпуклых правильных многогранников. Два общих аргумента, приведенных ниже, показывают, что может существовать не более пяти Платоновых тел, но положительная демонстрация существования любого данного твердого тела - это отдельный вопрос, требующий явной конструкции.

Геометрическое доказательство

Следующий геометрический аргумент очень похож на тот, который приводит Евклид в «Началах» :

1. Каждая вершина тела должна быть вершиной как минимум трёх граней.
2. В каждой вершине твердого тела сумма углов между смежными гранями между соответствующими смежными сторонами должна быть строго меньше 360°. Величина менее 360° называется угловым дефектом .
3. Правильные многоугольники с шестью и более сторонами имеют только углы 120° и более, поэтому общей гранью должен быть треугольник, квадрат или пятиугольник. Для этих разных форм лиц справедливо следующее:

   Треугольные лица

   Каждая вершина правильного треугольника имеет угол 60°, поэтому фигура может иметь три, четыре или пять треугольников, сходящихся в вершине; это тетраэдр, октаэдр и икосаэдр соответственно.

   Квадратные лица

   Каждая вершина квадрата имеет угол 90°, поэтому возможно только одно расположение с тремя гранями в вершине - кубе.

   Пятиугольные лица

   Каждая вершина равна 108°; опять-таки возможно только одно расположение трех граней в вершине — додекаэдр.

   В общей сложности это дает пять возможных платоновых тел.

Топологическое доказательство

Чисто топологическое доказательство можно провести, используя только комбинаторную информацию о твердых телах. Ключевым моментом является наблюдение Эйлера о том, что V  −  E  +  F  = 2, и тот факт, что pF  = 2 E  =  qV , где p обозначает количество ребер каждой грани, а q — количество ребер, встречающихся в каждой вершине. Объединяя эти уравнения, получаем уравнение

Ортографические проекции и диаграммы Шлегеля с гамильтоновыми циклами вершин пяти платоновых тел - только октаэдр имеет эйлеров путь или цикл, расширяя его путь пунктиром.

• в
• т
• е

${\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.}$

Тогда простая алгебраическая манипуляция дает

${\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}$

Поскольку E строго положительно, мы должны иметь

${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}$

Используя тот факт, что p и q должны быть не менее 3, можно легко увидеть, что существует только пять возможностей для { p ,  q }:

{3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.

Геометрические свойства

Углы

С каждым платоновым телом связано несколько углов . Двугранный угол — это внутренний угол между любыми двумя плоскостями граней. Двугранный угол θ твердого тела { p , q } определяется формулой

${\displaystyle \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}.}$

Иногда это удобнее выражать через тангенс :

${\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{h}}\right)}}.}$

Величина h (называемая числом Кокстера ) равна 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Недостаток угла в вершине многогранника — это разница между суммой углов граней в этой вершине и 2 π . Дефект δ в любой вершине платоновых тел { p , q } равен

${\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).}$

По теореме Декарта это равно 4 π , делённому на количество вершин (т.е. общий дефект во всех вершинах равен 4 π ).

Трехмерным аналогом плоского угла является телесный угол . Телесный угол Ω в вершине платонова тела определяется через двугранный угол выражением

${\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,}$

Это следует из формулы сферического избытка сферического многоугольника и того факта, что вершинная фигура многогранника { p , q } является правильным q -угольником.

Телесный угол грани, вытянутой из центра платонового тела, равен телесному углу полной сферы (4 π стерадиана), разделенному на количество граней. Это равно угловому недостатку его двойника.

Различные углы, связанные с Платоновыми телами, сведены в таблицу ниже. Численные значения телесных углов приведены в стерадианах . Константа φ =1 + √ 5/2это золотое сечение .

Радиусы, площади и объёмы

Еще одним достоинством регулярности является то, что все Платоновы тела обладают тремя концентрическими сферами:

• описанная сфера , проходящая через все вершины,
• средняя сфера , касающаяся каждого края в средней точке края, и
• вписанная сфера , касающаяся каждой грани в центре грани.

Радиусы этих сфер называются описанным радиусом , средним радиусом и внутренним радиусом . Это расстояния от центра многогранника до вершин, середин ребер и центров граней соответственно. Радиус описанной окружности R и внутренний радиус r твердого тела { p ,  q } с длиной ребра a определяются выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$

где θ — двугранный угол. Средний радиус ρ определяется выражением

${\displaystyle \rho ={\frac {a}{2}}\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\,{\csc }{\biggl (}{\frac {\pi }{h}}{\biggr )}}$

где h — величина, использованная выше при определении двугранного угла ( h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношение радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу симметрично относительно p и q :

${\displaystyle {\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.}$

Площадь поверхности A платонова тела { p ,  q } легко вычисляется как произведение площади правильного p -угольника на количество граней F. Это:

${\displaystyle A={\biggl (}{\frac {a}{2}}{\biggr )}^{2}Fp\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right).}$

Объем вычисляется как F , умноженный на объем пирамиды , основанием которой является правильный p -угольник, а высотой – внутренний радиус r . То есть,

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}rA.}$

В следующей таблице перечислены различные радиусы платоновых тел, а также их площадь поверхности и объем. Общий размер фиксируется путем принятия длины ребра a равной 2.

Константы φ и ξ, указанные выше, определяются выражением

${\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}={\sqrt {3-\varphi }}.}$

Среди платоновых тел додекаэдр или икосаэдр можно рассматривать как лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее количество граней и наибольший двугранный угол, он наиболее плотно охватывает вписанную сферу, а отношение площади его поверхности к объему наиболее близко к соотношению сферы того же размера (т. е. либо той же площади поверхности, либо тот же объем). С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, самый большой телесный угол при вершине и больше всего заполняет описанную сферу.

Точка в пространстве

Для произвольной точки пространства платонова тела с радиусом описанной окружности R , расстояния которой до центра тяжести платонова тела и его n вершин равны L и d _i соответственно, и

${\displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$,

у нас есть ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\\[4px]S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2},\\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+4R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right),\\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+8R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {16}{5}}R^{4}L^{4},\\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+16R^{4}L^{4}\left(R^{2}+L^{2}\right).\end{aligned}}}$

Для всех пяти Платоновых тел имеем ^[7]

${\displaystyle S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=\left(S_{[n]}^{(2)}+{\frac {2}{3}}R^{2}\right)^{2}.}$

Если d _i — расстояния от n вершин Платонова тела до любой точки описанной им сферы, то ^[7]

${\displaystyle 4\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.}$

Руперт недвижимость

Говорят, что многогранник P обладает свойством Руперта , если многогранник того же или большего размера и той же формы, что и P , может пройти через отверстие в P. ^[8] Все пять Платоновых тел обладают этим свойством. ^{[8] [9] [10]}

Симметрия

Двойные многогранники

Двойные соединения

Каждый многогранник имеет двойственный (или «полярный») многогранник с перепутанными гранями и вершинами . Двойником каждого Платонова тела является другое Платоново тело, так что мы можем расположить пять тел в двойственные пары.

• Тетраэдр самодуален (т.е. ему двойственным является другой тетраэдр).
• Куб и октаэдр образуют двойственную пару.
• Додекаэдр и икосаэдр образуют двойственную пару.

Если многогранник имеет символ Шлефли { p ,  q }, то его двойственный многогранник имеет символ { q ,  p }. Действительно, каждое комбинаторное свойство одного Платонова тела можно интерпретировать как другое комбинаторное свойство двойственного.

Двойственный многогранник можно построить, приняв вершины двойственного многогранника за центры граней исходной фигуры. Соединение центров соседних граней в оригинале образует ребра двойственной и тем самым меняет местами количество граней и вершин, сохраняя при этом количество ребер.

В более общем смысле, можно дуализировать платоново тело относительно сферы радиуса d, концентрической с телом. Радиусы ( R ,  ρ ,  r ) твердого тела и радиусы двойственного ему тела ( R *,  ρ *,  r *) связаны соотношением

${\displaystyle d^{2}=R^{\ast }r=r^{\ast }R=\rho ^{\ast }\rho .}$

Дуализация по средней сфере ( d  =  ρ ) часто удобна, поскольку средняя сфера имеет одинаковое отношение к обоим многогранникам. Взяв d ²  =  Rr , получим двойное твердое тело с одинаковыми радиусами описанной и внутренней окружности (т.е. R * =  R и r * =  r ).

Группы симметрии

В математике понятие симметрии изучается с помощью понятия математической группы . Каждый многогранник имеет связанную с ним группу симметрии , которая представляет собой набор всех преобразований ( евклидовых изометрий ), которые оставляют многогранник инвариантным. Порядок группы симметрии — это число симметрий многогранника. Часто различают полную группу симметрии , включающую отражения , и собственную группу симметрии , включающую только вращения .

Группы симметрии Платоновых тел представляют собой особый класс трехмерных точечных групп, известных как многогранные группы . Высокую степень симметрии Платоновых тел можно интерпретировать по-разному. Самое главное, что вершины каждого тела эквивалентны под действием группы симметрии, как и ребра и грани. Говорят, что действие группы симметрии транзитивно на вершинах, ребрах и гранях. Фактически, это еще один способ определения правильности многогранника: многогранник является правильным тогда и только тогда, когда он однороден по вершинам , однороден по ребрам и однороден по граням .

С платоновыми телами связаны только три группы симметрии, а не пять, поскольку группа симметрии любого многогранника совпадает с группой симметрии двойственного ему многогранника. В этом легко убедиться, рассмотрев конструкцию двойственного многогранника. Любая симметрия оригинала должна быть симметрией двойственного и наоборот. Три многогранные группы:

• тетраэдрическая группа Т ,
• октаэдрическая группа O (которая также является группой симметрии куба) и
• группа икосаэдра I (которая также является группой симметрии додекаэдра).

Порядки собственных групп (вращения) равны 12, 24 и 60 соответственно — ровно в два раза больше числа ребер в соответствующих многогранниках. Порядки полных групп симметрии снова вдвое больше (24, 48 и 120). См. (Coxeter 1973) вывод этих фактов. Все Платоновы тела, за исключением тетраэдра, центрально симметричны, то есть сохраняются при отражении через начало координат .

В следующей таблице перечислены различные свойства симметрии платоновых тел. Перечисленные группы симметрии представляют собой полные группы с подгруппами вращения, указанными в скобках (аналогично количеству симметрий). Конструкция калейдоскопа Витгофа — это метод построения многогранников непосредственно из их групп симметрии. Они перечислены для справки с символом Витхоффа для каждого из Платоновых тел.

В природе и технике

Тетраэдр, куб и октаэдр естественным образом встречаются в кристаллических структурах . Этим ни в коем случае не исчерпывается число возможных форм кристаллов. Однако среди них нет ни правильного икосаэдра, ни правильного додекаэдра. Одна из форм, называемая пиритоэдром (по названию группы минералов , для которой она типична), имеет двенадцать пятиугольных граней, расположенных по тому же принципу, что и грани правильного додекаэдра. Однако грани пиритоэдра неправильные, поэтому пиритоэдр тоже неправильный. Аллотропы бора и многих соединений бора , таких как карбид бора , включают в себя дискретные икосаэдры B ₁₂ внутри своих кристаллических структур. Карборановые кислоты также имеют молекулярную структуру, приближающуюся к правильным икосаэдрам.

Циргониевые икосаэдры — разновидность радиолярий , по форме напоминающая правильный икосаэдр .

В начале 20 века Эрнст Геккель описал (Haeckel, 1904) ряд видов радиолярий , скелеты некоторых из которых имеют форму различных правильных многогранников. Примеры включают Circoporus октаэдр , Circogonia икосаэдры , Lithocubus геометрический и Circorregma dodecahedra . Формы этих существ должны быть очевидны из их названий.

Многие вирусы , например вирус герпеса ^[11] , имеют форму правильного икосаэдра. Вирусные структуры построены из повторяющихся идентичных белковых субъединиц, и икосаэдр — самая простая форма для сборки с использованием этих субъединиц. Правильный многогранник используется потому, что его можно построить из одной базовой единицы белка, используемой снова и снова; это экономит место в вирусном геноме .

В метеорологии и климатологии все больший интерес вызывают глобальные численные модели атмосферных потоков, в которых используются геодезические сетки , основанные на икосаэдре (уточненном триангуляцией ) вместо более часто используемой сетки долготы / широты . Преимущество этого метода состоит в равномерном распределении пространственного разрешения без сингулярностей (т.е. полюсов) за счет несколько большей вычислительной сложности.

Икосаэдр как часть памятника Спинозе в Амстердаме

Геометрия пространственных рамок часто основана на платоновых телах. В системе MERO Платоновы тела используются для обозначения различных конфигураций пространственных рамок. Например,1/2O+T относится к конфигурации, состоящей из половины октаэдра и тетраэдра.

Было синтезировано несколько платоновых углеводородов , в том числе кубан и додекаэдр , но не тетраэдран .

• 
  Тетраэдр
• 
  Кубинский
• 
  Додекаэдр

Набор многогранных игральных костей.

Платоновы тела часто используются для изготовления игральных костей , поскольку игральные кости такой формы можно сделать справедливыми . Шестигранные игральные кости очень распространены, но в ролевых играх обычно используются и другие числа . Такие игральные кости обычно обозначаются как d n , где n — количество граней (d8, d20 и т. д.); более подробную информацию см. в обозначении кубиков .

Эти формы часто встречаются в других играх или головоломках. Головоломки, похожие на кубик Рубика, бывают всех пяти форм – см. волшебные многогранники .

Жидкие кристаллы с симметрией платоновых тел.

Для промежуточной материальной фазы, называемой жидкими кристаллами , существование такой симметрии было впервые предложено в 1981 году Х. Кляйнертом и К. Маки. ^{[12] [13] Через три года после этого} Дэн Шехтман обнаружил в алюминии икосаэдрическую структуру , что принесло ему Нобелевскую премию по химии в 2011 году.

Связанные многогранники и многогранники

Однородные многогранники

Существуют четыре правильных многогранника, которые не являются выпуклыми, которые называются многогранниками Кеплера – Пуансо . Все они имеют икосаэдрическую симметрию и могут быть получены как звездочки додекаэдра и икосаэдра.

Следующими наиболее правильными выпуклыми многогранниками после Платоновых тел являются кубооктаэдр , являющийся спрямлением куба и октаэдра, и икосододекаэдр , являющийся спрямлением додекаэдра и икосаэдра (спрямление самодвойственного тетраэдра - это правильный октаэдр). Оба они квазирегулярны , что означает, что они однородны по вершинам и ребрам и имеют правильные грани, но не все грани конгруэнтны (относятся к двум разным классам). Они образуют два из тринадцати архимедовых тел , которые представляют собой выпуклые однородные многогранники с многогранной симметрией. Их двойники, ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр , транзитивны по ребрам и граням, но их грани не являются правильными, и каждая из их вершин бывает двух типов; это два из тринадцати каталонских тел .

Однородные многогранники образуют гораздо более широкий класс многогранников. Эти фигуры являются однородными по вершинам и имеют один или несколько типов правильных или звездчатых многоугольников для граней. К ним относятся все упомянутые выше многогранники вместе с бесконечным набором призм , бесконечным набором антипризм и 53 другими невыпуклыми формами.

Твердые тела Джонсона представляют собой выпуклые многогранники с правильными гранями, но не однородные. Среди них пять из восьми выпуклых дельтаэдров , имеющих одинаковые правильные грани (все равносторонние треугольники), но не однородные. (Другие три выпуклых дельтаэдра — это платонов тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.)

Регулярные тесселяции

Три регулярных мозаики плоскости тесно связаны с Платоновыми телами. Действительно, можно рассматривать Платоновы тела как регулярные мозаики сферы . Это делается путем проецирования каждого твердого тела на концентрическую сферу. Грани проецируются на правильные сферические многоугольники , которые точно покрывают сферу. Сферические мозаики обеспечивают два бесконечных дополнительных набора правильных мозаик: осоэдры {2, n } с двумя вершинами в полюсах и лунными гранями, а также двойственные диэдры { n ,2} с двумя полусферическими гранями и регулярно расположенными вершинами на экватор. Такие мозаики будут вырождаться в истинном трехмерном пространстве как многогранники.

Можно показать, что каждая правильная мозаика сферы характеризуется парой целых чисел { p ,  q } с1/п + 1/д > 1/2. Аналогично регулярное замощение плоскости характеризуется условием1/п + 1/д "=" 1/2. Есть три возможности:

Аналогичным образом можно рассматривать регулярные мозаики гиперболической плоскости . Для них характерно состояние1/п + 1/д < 1/2. Существует бесконечное семейство таких мозаик.

Высшие измерения

В более чем трёх измерениях многогранники обобщаются до многогранников , причем многомерные выпуклые правильные многогранники являются эквивалентами трёхмерных Платоновых тел.

В середине 19 века швейцарский математик Людвиг Шлефли открыл четырехмерные аналоги Платоновых тел, названные выпуклыми правильными 4-многогранниками . Таких фигур ровно шесть; пять аналогичны Платоновым телам: 5-ячеечное как {3,3,3}, 16-ячеечное как {3,3,4}, 600-ячеечное как {3,3,5}, тессеракт как {4,3 ,3}, и 120-ячеечный как {5,3,3}, и шестой, самодвойственный 24-клеточный , {3,4,3}.

Во всех измерениях выше четырех существует только три выпуклых правильных многогранника: симплекс {3,3,...,3}, гиперкуб {4,3,...,3} и перекрестный многогранник. как {3,3,...,4}. ^[14] В трёх измерениях они совпадают с тетраэдром как {3,3}, кубом как {4,3} и октаэдром как {3,4}.

Смотрите также

• Архимедово тело
• Каталонский солид
• Дельтаэдр
• Джонсон твердый
• Гольдберг твердое тело
• Твердые тела Кеплера – Пуансо
• Список правильных многогранников
• Куб принца Руперта
• Правильные многогранники
• Правильный косой многогранник
• Тороидальный многогранник

Цитаты

1. Гарднер (1987): Мартин Гарднер написал популярный отчет о пяти твердых телах в своей колонке «Математические игры» в декабре 1958 года в журнале Scientific American.
2. Зейл, Дональд (2019). «Тимей» Платона. Стэнфордская энциклопедия философии .
3. Ллойд 2012.
4. Вильдберг (1988): Вильдберг обсуждает соответствие Платоновых тел с элементами в « Тимее» , но отмечает, что это соответствие, по-видимому, было забыто в « Эпиномисе », который он называет «долгим шагом к теории Аристотеля», и указывает, что эфир Аристотеля находится выше остальных четырех элементов, а не на равном с ними основании, что делает соответствие менее уместным.
5. Вейль 1952, с. 74.
6. Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8. Конфигурации.
7. Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 31 января 2024 г.).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of January 2024 (link)
8. Джеррард, Ричард П.; Ветцель, Джон Э.; Юань, Липин (апрель 2017 г.). «Платонические отрывки». Журнал «Математика» . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . 90 (2): 87–98. дои : 10.4169/math.mag.90.2.87. S2CID  218542147.
9. Шрек, DJE (1950), «Проблема принца Руперта и ее расширение Питера Ньюланда», Scripta Mathematica , 16 : 73–80 и 261–267
10. Скриба, Кристоф Дж. (1968), «Проблема принца Рупрехта фон дер Пфальца», Praxis der Mathematik (на немецком языке), 10 (9): 241–246, MR  0497615
11. Сию Ли, Полли Рой , Алекс Травессет и Ройя Занди (октябрь 2018 г.). «Почему крупным икосаэдрическим вирусам нужны каркасные белки». Труды Национальной академии наук . 115 (43): 10971–10976. Бибкод : 2018PNAS..11510971L. дои : 10.1073/pnas.1807706115 . ПМК 6205497 . ПМИД  30301797. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
12. Кляйнерт и Маки (1981)
13. «Жидкокристаллические синие фазы (1989). Тамар Зейдеман, Отчеты о прогрессе в физике, том 53, номер 6» (PDF) .
14. Коксетер 1973, с. 136.

Общие и цитируемые источники

• Атья, Майкл ; Сатклифф, Пол (2003). «Многогранники в физике, химии и геометрии». Милан Дж. Математика . 71 : 33–58. arXiv : math-ph/0303071 . Бибкод : 2003math.ph...3071A. дои : 10.1007/s00032-003-0014-1. S2CID  119725110.
• Бойер, Карл ; Мерцбах, Ута (1989). История математики (2-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-54397-7.
• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.
• Евклид (1956). Хит, Томас Л. (ред.). Тринадцать книг «Элементов Евклида», книги 10–13 (2-е неизданное изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-60090-4.
• Гарднер, Мартин (1987). 2-я книга математических головоломок и развлечений Scientific American , University of Chicago Press, глава 1: Пять Платоновых тел, ISBN 0226282538 
• Геккель, Эрнст , Э. (1904). Kunstformen der Natur . Доступно как Геккель, Э. (1998); Формы искусства в природе , Престель США. ISBN 3-7913-1990-6 . 
• Кеплер. Йоханнес Стрена seu de nive sexangula (О шестиугольной снежинке) , статья Кеплера 1611 года, в которой обсуждается причина шестиугольной формы снежных кристаллов, а также формы и симметрии в природе. Рассказывает о платоновых телах.
• Кляйнерт, Хаген и Маки, К. (1981). «Решеточные текстуры в холестерических жидких кристаллах» (PDF) . Fortschritte der Physik . 29 (5): 219–259. Бибкод : 1981ForPh..29..219K. дои : 10.1002/prop.19810290503.
• Ллойд, Дэвид Роберт (2012). «Сколько лет Платоновым Телам?». Бюллетень BSHM: Журнал Британского общества истории математики . 27 (3): 131–140. дои : 10.1080/17498430.2012.670845. S2CID  119544202.
• Пью, Энтони (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7.
• Вейль, Герман (1952). Симметрия . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3.
• Вильдберг, Кристиан (1988). Критика Иоанном Филопоном теории эфира Аристотеля. Вальтер де Грюйтер. стр. 11–12. ISBN 9783110104462 . 

Внешние ссылки

• Платоновые тела в математической энциклопедии
• Вайсштейн, Эрик В. «Платоновое тело». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр». Математический мир .
• Книга XIII «Начал» Евклида .
• Интерактивные 3D-многогранники на Java
• Платоновые тела в визуальных многогранниках
• Solid Body Viewer — это интерактивный просмотрщик 3D-многогранников, который позволяет сохранять модель в формате svg, stl или obj.
• Интерактивное складывание/разворачивание платоновых тел. Архивировано 9 февраля 2007 г. на Wayback Machine на Java.
• Бумажные модели Платоновых тел, созданные с использованием сетей, созданных в программном обеспечении Stella .
• Платоновые тела Бесплатные бумажные модели (сетки)
• Грайм, Джеймс; Стеклс, Кэти. «Платоновые тела». Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 23 октября 2018 г. Проверено 13 апреля 2013 г.
• Преподавание математики с помощью моделей искусства, созданных учащимися
• Обучение математике с инструкциями учителя рисования по изготовлению моделей
• Фреймы изображений платоновых тел алгебраических поверхностей
• Платоновые тела с некоторыми выводами формул
• Как сделать из куба четыре платоновых тела