В геометрии многогранником называется фигура, состоящая из нескольких многогранников , имеющих общий центр . Они являются трехмерными аналогами многоугольных соединений, таких как гексаграмма .
Внешние вершины соединения могут быть соединены, образуя выпуклый многогранник , называемый его выпуклой оболочкой . Соединение — это огранка его выпуклой оболочки. [ нужна цитата ]
Другой выпуклый многогранник образован небольшим центральным пространством, общим для всех членов соединения. Этот многогранник можно использовать в качестве ядра для набора звездочек .
Правильное многогранное соединение можно определить как соединение, которое, как и правильный многогранник , является транзитивным по вершинам , транзитивным по ребрам и транзитивным по граням . В отличие от случая многогранников, это не эквивалентно тому, что группа симметрии действует транзитивно на свои флаги ; соединение двух тетраэдров — единственное правильное соединение, обладающее таким свойством. Существует пять правильных соединений многогранников:
Наиболее известно правильное соединение двух тетраэдров , часто называемое звездой октангулы , имя, данное ему Кеплером . Вершины двух тетраэдров определяют куб , а их пересечение определяет правильный октаэдр , который имеет те же грани, что и составное соединение. Таким образом, соединение двух тетраэдров есть звёздчатость октаэдра, и фактически единственная его конечная звёздчатость.
Правильное соединение пяти тетраэдров существует в двух энантиоморфных вариантах, которые вместе составляют правильное соединение десяти тетраэдров. [1] Правильное соединение десяти тетраэдров также можно рассматривать как соединение пяти звездочек-октангулов. [1]
Каждое из правильных тетраэдрических соединений самодуально или двойственно своему хиральному двойнику; правильное соединение пяти кубов и правильное соединение пяти октаэдров двойственны друг другу.
Следовательно, правильные многогранные соединения также можно рассматривать как дуально-правильные соединения .
Обозначения Коксетера для регулярных соединений приведены в таблице выше с использованием символов Шлефли . Материал внутри квадратных скобок [ d { p , q } ] обозначает компоненты соединения: d отдельные { p , q }. Материал перед квадратными скобками обозначает расположение вершин соединения: c { m , n } [ d { p , q }] представляет собой соединение d { p , q }, разделяющее подсчитанные вершины { m , n } ц раз. Материал после квадратных скобок обозначает расположение граней соединения: [ d { p , q }] e { s , t } представляет собой соединение d { p , q }, имеющих общие грани { s , t }, посчитанные е раз. Их можно комбинировать: таким образом, c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t } представляет собой соединение d { p , q }, разделяющее вершины { m , n }, подсчитанные c раз . и грани { s , t } посчитаны e раз. Эти обозначения можно обобщить на соединения любого количества измерений. [2]
Двойственное соединение состоит из многогранника и его двойника, расположенных взаимно относительно общей средней сферы , так что ребро одного многогранника пересекает двойственное ребро двойственного многогранника. Существует пять двойственных соединений правильных многогранников.
Ядро – это выпрямление обоих твердых тел. Корпус является двойником этого выпрямления, и его ромбические грани имеют пересекающиеся края двух тел как диагонали (и имеют четыре альтернативные вершины). Для выпуклых тел это выпуклая оболочка .
Тетраэдр самодуален, поэтому двойственным соединением тетраэдра с его двойником является правильный звездчатый октаэдр .
Октаэдрические и икосаэдрические двойные соединения являются первыми звездчатыми формами кубооктаэдра и икосододекаэдра соответственно .
Двойное соединение малого звездчатого додекаэдра (или большого додекаэдра) имеет большой додекаэдр, полностью расположенный внутри малого звездчатого додекаэдра. [3]
В 1976 году Джон Скиллинг опубликовал « Однородные соединения однородных многогранников» , в которых перечислил 75 соединений (в том числе 6 как бесконечные призматические наборы соединений, № 20– № 25), состоящих из однородных многогранников с вращательной симметрией. (Каждая вершина является вершинно-транзитивной , и каждая вершина транзитивна по отношению к любой другой вершине.) Этот список включает пять регулярных соединений, приведенных выше. [1]
75 однородных соединений перечислены в таблице ниже. Большинство из них показаны в индивидуальном цвете для каждого элемента многогранника. Некоторые киральные пары групп граней окрашены в зависимости от симметрии граней внутри каждого многогранника.
Два многогранника, которые являются составными, но элементы которых жестко зафиксированы на месте, — это малый сложный икосододекаэдр (соединение икосаэдра и большого додекаэдра ) и большой сложный икосододекаэдр (соединение малого звездчатого додекаэдра и большого икосаэдра ). Если обобщить определение однородного многогранника , то они однородны.
Раздел пар энантиоморфов в списке Скиллинга не содержит соединения двух больших курносых додецикосододекаэдров , поскольку грани пентаграммы совпадали бы. Удаление совпадающих граней приводит к соединению двадцати октаэдров .
В 4-мерном измерении существует большое количество правильных соединений правильных многогранников. Коксетер перечисляет некоторые из них в своей книге «Регулярные многогранники» . [4] МакМаллен добавил шесть в своей статье «Новые регулярные соединения 4-многогранников» . [5]
Самодвойственные:
Двойные пары:
Однородные соединения и дуальные с выпуклыми 4-многогранниками:
Верхний индекс (var) в таблицах выше указывает на то, что помеченные соединения отличаются от других соединений с таким же количеством компонентов.
Самодвойственные звездчатые соединения:
Двойные пары составных звезд:
Однородные составные звезды и двойники :
Двойные позиции:
С точки зрения теории групп , если G — группа симметрии многогранного соединения, и группа действует на многогранники транзитивно (так что каждый многогранник может быть отправлен в любой из других, как в однородных соединениях), то если H — это Стабилизатор одного выбранного многогранника, многогранники можно отождествить с пространством орбит G / H – смежный класс gH соответствует тому, в какой многогранник g отправляет выбранный многогранник.
Существует восемнадцать двухпараметрических семейств правильных составных мозаик евклидовой плоскости. В гиперболической плоскости известны пять однопараметрических семейств и семнадцать единичных случаев, но полнота этого списка не подсчитана.
Евклидовы и гиперболические составные семейства 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p целое число) аналогичны сферической звезде-октангуле , 2 {3,3}.
Известное семейство правильных евклидовых составных сот в любом количестве измерений представляет собой бесконечное семейство составных гиперкубических сот , все вершины и грани которых имеют общие вершины и грани с другими гиперкубическими сотами. Это соединение может иметь любое количество гиперкубических сот.
Существуют также соединения для плитки с двойной регулярностью . Простым примером является соединение E 2 шестиугольной мозаики и ее двойной треугольной мозаики , которая разделяет свои края с дельтовидной тригексагональной мозаикой . Евклидовы соединения двух гиперкубических сот одновременно являются правильными и двойственно правильными.
{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ).