Проективная линейная группа

Построение в теории групп

Связь между проективной специальной линейной группой PSL и проективной общей линейной группой PGL; каждая строка и столбец являются короткой точной последовательностью . Множество ( F ^* ) ⁿ здесь является множеством n- х степеней мультипликативной группы F .

В математике , особенно в теоретико-групповой области алгебры , проективная линейная группа (также известная как проективная общая линейная группа или PGL) — это индуцированное действие общей линейной группы векторного пространства V на ассоциированное проективное пространство P( V ). Явно, проективная линейная группа — это фактор-группа

ПГЛ( В ) = ГЛА( В ) / Z( В )

где GL( V ) — общая линейная группа V , а Z( V ) — подгруппа всех ненулевых скалярных преобразований V ; они факторизуются, поскольку действуют тривиально на проективном пространстве и образуют ядро ​​действия, а обозначение «Z» отражает, что скалярные преобразования образуют центр общей линейной группы.

Проективная специальная линейная группа , PSL, определяется аналогично, как индуцированное действие специальной линейной группы на ассоциированном проективном пространстве. Явно:

ПСЛ( В ) = СЛ( В ) / СЗ( В )

где SL( V ) — специальная линейная группа над V , а SZ( V ) — подгруппа скалярных преобразований с единичным определителем . Здесь SZ — центр SL, и естественным образом отождествляется с группой корней n-й степени из единицы в F (где n — размерность V , а F — базовое поле ).

PGL и PSL являются некоторыми из основных групп изучения, частью так называемых классических групп , а элемент PGL называется проективным линейным преобразованием , проективным преобразованием или гомографией . Если V является n -мерным векторным пространством над полем F , а именно V = F ⁿ , то также используются альтернативные обозначения PGL( n , F ) и PSL( n , F ) .

Обратите внимание, что PGL( n , F ) и PSL( n , F ) изоморфны тогда и только тогда, когда каждый элемент F имеет корень степени n в  F . В качестве примера отметим, что PGL(2, C ) = PSL(2, C ) , но PGL(2, R ) > PSL(2, R ) ; ^[1] это соответствует тому, что вещественная проективная прямая является ориентируемой, а проективная специальная линейная группа является только преобразованиями, сохраняющими ориентацию.

PGL и PSL также можно определить над кольцом , важным примером является модулярная группа PSL (2, Z ) .

Имя

Название происходит от проективной геометрии , где проективная группа, действующая на однородные координаты ( x ₀  : x ₁  : ... : x _n ), является базовой группой геометрии. ^{[примечание 1]} Другими словами, естественное действие GL( V ) на V сводится к действию PGL( V ) на проективном пространстве P ( V ).

Таким образом, проективные линейные группы обобщают случай PGL(2, C ) преобразований Мёбиуса (иногда называемый группой Мёбиуса ), который действует на проективной прямой .

Обратите внимание, что в отличие от общей линейной группы, которая обычно определяется аксиоматически как «обратимые функции, сохраняющие линейную (векторное пространство) структуру», проективная линейная группа определяется конструктивно, как фактор общей линейной группы связанного векторного пространства, а не аксиоматически как «обратимые функции, сохраняющие проективную линейную структуру». Это отражено в обозначении: PGL( n , F ) — это группа, связанная с GL( n , F ) , и является проективной линейной группой ( n − 1) -мерного проективного пространства, а не n -мерного проективного пространства.

Коллинеации

Родственная группа — это группа коллинеаций , которая определяется аксиоматически. Коллинеация — это обратимое (или, в более общем смысле, взаимно однозначное) отображение, которое переводит коллинеарные точки в коллинеарные точки. Можно определить проективное пространство аксиоматически в терминах структуры инцидентности (множество точек P , прямых L и отношение инцидентности I, указывающее, какие точки лежат на каких прямых), удовлетворяющей определенным аксиомам — автоморфизм проективного пространства, определенного таким образом, тогда являющийся автоморфизмом f множества точек и автоморфизмом g множества прямых, сохраняющим отношение инцидентности, ^{[примечание 2],} которое является в точности коллинеацией пространства в себя. Проективные линейные преобразования являются коллинеациями (плоскости в векторном пространстве соответствуют прямым в связанном проективном пространстве, а линейные преобразования отображают плоскости в плоскости, поэтому проективные линейные преобразования отображают прямые в прямые), но в общем случае не все коллинеации являются проективными линейными преобразованиями — PGL в общем случае является собственной подгруппой группы коллинеаций.

В частности, для n = 2 (проективная прямая) все точки коллинеарны, поэтому группа коллинеаций — это в точности симметрическая группа точек проективной прямой, и за исключением F ₂ и F ₃ (где PGL — полная симметрическая группа), PGL является собственной подгруппой полной симметрической группы в этих точках.

Для n ≥ 3 группа коллинеаций является проективной полулинейной группой , PΓL – это PGL, скрученная полевыми автоморфизмами ; формально PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K  /  k ) , где k – простое поле для K ; это фундаментальная теорема проективной геометрии . Таким образом, для K – простого поля ( F _p или Q ) мы имеем PGL = PΓL , но для K – поля с нетривиальными автоморфизмами Галуа (такими как F _{p ⁿ} для n ≥ 2 или C ) проективная линейная группа является собственной подгруппой группы коллинеаций, которую можно рассматривать как «преобразования, сохраняющие проективную полулинейную структуру». Соответственно, фактор-группа PΓL / PGL = Gal( K  /  k ) соответствует «выбору линейной структуры», причем единицей (базовой точкой) является существующая линейная структура.

Можно также определить группы коллинеаций для аксиоматически определенных проективных пространств, где нет естественного понятия проективного линейного преобразования. Однако, за исключением недезарговых плоскостей , все проективные пространства являются проективизацией линейного пространства над телом , хотя, как отмечено выше, существует несколько вариантов линейной структуры, а именно торсор над Gal( K  /  k ) (для n ≥ 3 ).

Элементы

Элементы проективной линейной группы можно понимать как «наклон плоскости» вдоль одной из осей, а затем проецирование на исходную плоскость, и они также имеют размерность n .

Вращение вокруг осей z вращает проективную плоскость, тогда как проективизация вращения вокруг прямых, параллельных осям x или y , приводит к проективным вращениям плоскости.

Более привычный геометрический способ понимания проективных преобразований — через проективные вращения (элементы PSO( n + 1) ), что соответствует стереографической проекции вращений единичной гиперсферы и имеет размерность ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle {1+2+\cdots +n={\binom {n+1}{2}}}}$ . Визуально это соответствует нахождению в начале координат (или размещению камеры в начале координат) и повороту угла зрения, а затем проецированию на плоскую плоскость. Вращения по осям, перпендикулярным гиперплоскости, сохраняют гиперплоскость и дают вращение гиперплоскости (элемент SO( n ), который имеет размерность ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle {1+2+\cdots +(n-1)={\binom {n}{2}}}}$ .), в то время как вращения по осям, параллельным гиперплоскости, являются собственными проективными отображениями и учитывают оставшиеся n измерений.

Характеристики

• PGL переводит коллинеарные точки в коллинеарные точки (сохраняет проективные прямые), но это не полная группа коллинеаций , которая вместо этого является либо PΓL (для n > 2 ), либо полной симметрической группой для n = 2 (проективная прямая).
• Каждый ( бирегулярный ) алгебраический автоморфизм проективного пространства является проективно-линейным. Бирациональные автоморфизмы образуют большую группу, группу Кремоны .
• PGL действует верно на проективном пространстве: нетождественные элементы действуют нетривиально.
  Конкретно, ядро ​​действия GL на проективном пространстве — это именно скалярные отображения, которые факторизуются в PGL.
• PGL действует 2-транзитивно на проективном пространстве.
  Это происходит потому, что 2 различные точки в проективном пространстве соответствуют 2 векторам, которые не лежат на одном линейном пространстве, и, следовательно, являются линейно независимыми , а GL действует транзитивно на k -элементных наборах линейно независимых векторов.
• PGL(2, K ) действует точно 3-транзитивно на проективной прямой.
  Три произвольные точки условно отображаются в [0, 1], [1, 1], [1, 0]; в альтернативной записи, 0, 1, ∞. В записи дробно-линейного преобразования функция ⁠х − а/х − с⁠ ⋅ ⁠б − в/б − а⁠ отображает a ↦ 0 , b ↦ 1 , c ↦ ∞ , и является единственным отображением, которое делает это. Это перекрестное отношение ( x , b ; a , c ) – см. Перекрестное отношение § Трансформационный подход для получения подробной информации.
• Для n ≥ 3 PGL ( n , K ) не действует 3-транзитивно, поскольку он должен отправлять 3 коллинеарные точки в 3 другие коллинеарные точки, а не в произвольный набор. Для n = 2 пространство является проективной прямой, поэтому все точки коллинеарны, и это не является ограничением.
• PGL(2, K ) не действует 4-транзитивно на проективной прямой (за исключением PGL(2, 3) , так как P ¹ (3) имеет 3 + 1 = 4 точки, поэтому 3-транзитивность подразумевает 4-транзитивность); инвариант, который сохраняется, — это перекрестное отношение , и оно определяет, куда отправляется каждая другая точка: указание того, куда отображаются 3 точки, определяет отображение. Таким образом, в частности, это не полная группа коллинеаций проективной прямой (за исключением F ₂ и F ₃ ).
• PSL(2, q ) и PGL(2, q ) (для q > 2 и q нечетного для PSL) являются двумя из четырех семейств групп Цассенхауза .
• PGL( n , K ) — алгебраическая группа размерности n ² − 1 и открытая подгруппа проективного пространства P ^{n 2 −1} . Как определено, функтор PSL( n , K ) не определяет алгебраическую группу или даже fppf-пучок, а его пучкообразование в топологии fppf на самом деле есть PGL( n , K ) .
• PSL и PGL не имеют центра – это происходит потому, что диагональные матрицы являются не только центром, но и гиперцентром (частное группы по ее центру не обязательно не имеет центра). ^{[примечание 3]}

Дробно-линейные преобразования

Что касается преобразований Мёбиуса , группа PGL(2, K ) может быть интерпретирована как дробные линейные преобразования с коэффициентами в K. Точки на проективной прямой над K соответствуют парам из ^K2 , причем две пары эквивалентны, когда они пропорциональны. Когда вторая координата не равна нулю, точка может быть представлена ​​как [ z , 1] . Тогда, когда ad − bc ≠ 0 , действие PGL(2, K ) осуществляется линейным преобразованием:

${\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [az+b,\ cz+d]\ =\ \left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}$

Таким образом, последовательные преобразования можно записать как правое умножение на такие матрицы, а матричное умножение можно использовать для группового произведения в PGL(2, K ) .

Конечные поля

Проективные специальные линейные группы PSL( n , F _q ) для конечного поля F _q часто записываются как PSL( n , q ) или L _n ( q ). Они являются конечными простыми группами , когда n не меньше 2, за двумя исключениями: ^[2] L ₂ (2), которая изоморфна S ₃ , симметрической группе с 3 буквами, и является разрешимой ; и L ₂ (3), которая изоморфна A ₄ , знакопеременной группе с 4 буквами, и также является разрешимой. Эти исключительные изоморфизмы можно понимать как возникающие из действия на проективной прямой.

Специальные линейные группы SL( n , q ) являются, таким образом, квазипростыми : совершенными центральными расширениями простой группы (если только n = 2 и q = 2 или 3).

История

Группы PSL(2, p ) для любого простого числа p были построены Эваристом Галуа в 1830-х годах и были вторым семейством конечных простых групп после знакопеременных групп . ^[3] Галуа построил их как дробные линейные преобразования и заметил, что они были простыми, за исключением случаев, когда p было равно 2 или 3; это содержится в его последнем письме Шевалье. ^[4] В том же письме и прилагаемых рукописях Галуа также построил общую линейную группу над простым полем , GL( ν , p ) , при изучении группы Галуа общего уравнения степени p ^ν .

Группы PSL( n , q ) (общее n , общее конечное поле) для любой степени простого числа q были затем построены в классическом тексте 1870 года Камиля Жордана « Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» .

Заказ

Порядок PGL( n , q ) равен

( q ⁿ − 1)( q ⁿ − q )( q ⁿ − q ² ) ⋅⋅⋅ ( q ⁿ − q ^{n −1} )/( q − 1) = q ^{n 2 −1} − O( q ^{n 2 −3} ),

что соответствует порядку GL( n , q ) , делённому на q − 1 для проективизации; см. q -аналог для обсуждения таких формул. Обратите внимание, что степень равна n ² − 1 , что согласуется с размерностью как алгебраической группы. «O» означает большую нотацию O , что означает «члены, включающие низший порядок». Это также равно порядку SL( n , q ) ; там деление на q − 1 обусловлено определителем.

Порядок PSL( n , q ) равен порядку PGL( n , q ) , как указано выше, делённому на gcd( n , q − 1) . Это равно | SZ( n , q ) | , числу скалярных матриц с определителем 1; | F ^×  / ( F ^× ) ⁿ |, числу классов элементов, не имеющих корня n-й степени; и это также число корней n- й степени из единицы в F _q . ^{[примечание 4]}

Исключительные изоморфизмы

В дополнение к изоморфизмам

L ₂ (2) ≅ S ₃ , L ₂ (3) ≅ A ₄ , и PGL(2, 3) ≅ S ₄ ,

Существуют и другие исключительные изоморфизмы между проективными специальными линейными группами и знакопеременными группами (все эти группы являются простыми, поскольку знакопеременная группа над 5 или более буквами является простой):

Л ₂ (4) ≅ А ₅

L ₂ (5) ≅ A ₅ (см. § Действие по p точкам для доказательства)

Л ₂ (9) ≅ А ₆

Л ₄ (2) ≅ А ₈ ^[5]

Изоморфизм L ₂ (9) ≅ A ₆ позволяет увидеть экзотический внешний автоморфизм A ₆ в терминах полевого автоморфизма и матричных операций. Изоморфизм L ₄ (2) ≅ A ₈ представляет интерес в структуре группы Матье M ₂₄ .

Ассоциированные расширения SL( n , q ) → PSL( n , q ) являются покрывающими группами знакопеременных групп ( универсальными совершенными центральными расширениями ) для A ₄ , A ₅ в силу единственности универсального совершенного центрального расширения; для L ₂ (9) ≅ A ₆ ассоциированное расширение является совершенным центральным расширением, но не универсальным: существует 3-кратная покрывающая группа .

Группы над F5 имеют ряд исключительных изоморфизмов _:

PSL(2, 5) ≅ A ₅ ≅ I , знакопеременная группа из пяти элементов или, что эквивалентно, икосаэдрическая группа ;

PGL(2, 5) ≅ S ₅ , симметрическая группа из пяти элементов;

SL(2, 5) ≅ 2 ⋅ A ₅ ≅ 2 I двойное покрытие знакопеременной группы A ₅ или, что эквивалентно, бинарная икосаэдрическая группа .

Их также можно использовать для построения экзотического отображения S ₅ → S ₆ , как описано ниже. Однако следует отметить, что GL(2, 5) не является двойным покрытием S ₅ , а скорее 4-кратным покрытием.

Еще один изоморфизм:

L ₂ (7) ≅ L ₃ (2) — простая группа порядка 168, вторая по величине неабелева простая группа и не является знакопеременной группой; см. PSL(2, 7) .

Вышеуказанные исключительные изоморфизмы, включающие проективные специальные линейные группы, являются почти всеми исключительными изоморфизмами между семействами конечных простых групп; единственным другим исключительным изоморфизмом является PSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3) между проективной специальной унитарной группой и проективной симплектической группой . ^[3]

Действие на проективной прямой

Некоторые из приведенных выше отображений можно увидеть непосредственно в терминах действия PSL и PGL на соответствующей проективной прямой: PGL( n , q ) действует на проективное пространство P ^{n −1} ( q ), которое имеет ( q ⁿ − 1)/( q − 1) точек, и это дает отображение из проективной линейной группы в симметрическую группу на ( q ⁿ − 1)/( q − 1) точках. Для n = 2 это проективная прямая P ¹ ( q ), которая имеет ( q ² − 1)/( q − 1) = q + 1 точек, поэтому существует отображение PGL(2, q ) → S _{q +1} .

Чтобы понять эти карты, полезно вспомнить следующие факты:

• Порядок PGL(2, q ) равен

  ( q ² − 1)( q ² − q )/( q − 1) = q ³ − q = ( q − 1) q ( q + 1);

порядок PSL(2, q ) либо равен этому (если характеристика равна 2), либо равен половине этого (если характеристика не равна 2).

• Действие проективной линейной группы на проективной прямой строго 3-транзитивно ( точно и 3- транзитивно ), поэтому отображение взаимно однозначно и имеет в качестве образа 3-транзитивную подгруппу.

Таким образом, изображение представляет собой 3-транзитивную подгруппу известного порядка, что позволяет его идентифицировать. Это дает следующие отображения:

• PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S ₃ порядка 6, что является изоморфизмом.
  • Обратное отображение (проективное представление S ₃ ) может быть реализовано ангармонической группой и, в более общем случае, дает вложение S ₃ → PGL(2, q ) для всех полей.
• PSL(2, 3) < PGL(2, 3) → S ₄ , порядков 12 и 24, последний из которых является изоморфизмом, причем PSL(2, 3) является знакопеременной группой.
  • Ангармоническая группа дает частичное отображение в противоположном направлении, отображая S ₃ → PGL(2, 3) как стабилизатор точки −1.
• PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S ₅ , порядка 60, что даёт знакопеременную группу A ₅ .
• PSL(2, 5) < PGL(2, 5) → S ₆ , порядков 60 и 120, что даёт вложение S ₅ (соответственно, A ₅ ) как транзитивной подгруппы S ₆ (соответственно, A ₆ ). Это пример экзотического отображения S ₅ → S ₆ , и его можно использовать для построения исключительного внешнего автоморфизма S ₆ . ^[6] Обратите внимание, что изоморфизм PGL(2, 5) ≅ S ₅ не является прозрачным из этого представления: не существует особенно естественного набора из 5 элементов, на которые действует PGL(2, 5) .

Действие попточки

В то время как PSL( n , q ) естественным образом действует на ( q ⁿ − 1)/( q − 1) = 1 + q + ... + q ^{n −1} точек, нетривиальные действия на меньшем количестве точек встречаются реже. Действительно, для PSL(2, p ) действует нетривиально на p точках тогда и только тогда, когда p = 2 , 3, 5, 7 или 11; для 2 и 3 группа не является простой, в то время как для 5, 7 и 11 группа является простой — более того, она не действует нетривиально на менее чем p точках. ^{[примечание 5]} Это впервые заметил Эварист Галуа в своем последнем письме Шевалье в 1832 году. ^[7]

Это можно проанализировать следующим образом; обратите внимание, что для 2 и 3 действие не является точным (это нетривиальный фактор, и группа PSL не является простой), тогда как для 5, 7 и 11 действие является точным (так как группа является простой, а действие нетривиальным) и дает вложение в S _p . Во всех случаях, кроме последнего, PSL(2, 11) , это соответствует исключительному изоморфизму, где самая правая группа имеет очевидное действие на p точек:

• L ₂ (2) ≅ S ₃ S ₂ через карту знаков; ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$
• L ₂ (3) ≅ A ₄ A ₃ ≅ C ₃ через фактор по 4-группе Клейна; ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$
• L ₂ (5) ≅ A ₅ . Чтобы построить такой изоморфизм, нужно рассмотреть группу L ₂ (5) как группу Галуа накрытия Галуа a ₅ : X (5) → X (1) = P ¹ , где X ( N ) — модулярная кривая уровня N . Это накрытие разветвлено в 12 точках. Модулярная кривая X(5) имеет род 0 и изоморфна сфере над полем комплексных чисел, и тогда действие L ₂ (5) на эти 12 точек становится группой симметрии икосаэдра . Затем нужно рассмотреть действие группы симметрии икосаэдра на пять связанных тетраэдров .
• L ₂ (7) ≅ L ₃ (2) , которое действует на 1 + 2 + 4 = 7 точек плоскости Фано (проективной плоскости над F ₂ ); это также можно рассматривать как действие на биплоскости порядка 2 , которая является дополнительной плоскостью Фано.
• L ₂ (11) более тонок и подробно описан ниже; он действует на биплоскость порядка 3. ^[8]

Далее, L ₂ (7) и L ₂ (11) имеют два неэквивалентных действия на p точек; геометрически это реализуется действием на биплоскость, которая имеет p точек и p блоков – действие на точки и действие на блоки являются действиями на p точек, но не сопряженными (они имеют разные стабилизаторы точек); вместо этого они связаны внешним автоморфизмом группы. ^[9]

Совсем недавно эти последние три исключительных действия были интерпретированы как пример классификации ADE : ^[10] эти действия соответствуют произведениям (как наборам, а не как группам) таких групп, как A ₄ × Z  / 5 Z , S ₄ × Z  / 7 Z , и A ₅ × Z  / 11 Z , где группы A ₄ , S ₄ и A ₅ являются группами изометрий Платоновых тел и соответствуют E ₆ , E ₇ и E ₈ в соответствии с Маккеем . Эти три исключительных случая также реализуются как геометрии многогранников (эквивалентно, мозаики римановых поверхностей ), соответственно: соединение пяти тетраэдров внутри икосаэдра (сфера, род 0), биплоскость 2-го порядка (дополнительная плоскость Фано ) внутри квартики Клейна (род 3) и биплоскость 3-го порядка ( биплоскость Пейли ) внутри поверхности бакибола (род 70). ^{[11] [12]}

Действие L ₂ (11) можно рассматривать алгебраически как следствие исключительного включения L ₂ (5) L ₂ (11) ${\displaystyle \hookrightarrow }$ – существует два класса сопряженности подгрупп L ₂ (11), которые изоморфны L ₂ (5), каждая из которых содержит 11 элементов: действие L ₂ (11) сопряжением на них является действием на 11 точек, и, кроме того, два класса сопряженности связаны внешним автоморфизмом L ₂ (11). (То же самое верно для подгрупп L ₂ (7), изоморфных S ₄ , и это также имеет биплоскостную геометрию.)

Геометрически это действие можно понять через биплоскостную геометрию , которая определяется следующим образом. Биплоскостная геометрия — это симметричная конструкция (набор точек и равное количество «линий», или, скорее, блоков), такая, что любой набор из двух точек содержится в двух линиях, в то время как любые две линии пересекаются в двух точках; это похоже на конечную проективную плоскость, за исключением того, что вместо двух точек, определяющих одну линию (и двух линий, определяющих одну точку), они определяют две линии (соответственно, точки). В этом случае ( биплоскость Пейли , полученная из орграфа Пейли порядка 11) точки являются аффинной линией (конечным полем) F ₁₁ , где первая линия определяется как пять ненулевых квадратичных вычетов (точки, которые являются квадратами: 1, 3, 4, 5, 9), а другие линии являются аффинными переносами этой (добавьте константу ко всем точкам). Тогда L ₂ (11) изоморфна подгруппе S ₁₁ , которая сохраняет эту геометрию (переводит прямые в прямые), давая набор из 11 точек, на которые она действует — фактически две: точки или прямые, что соответствует внешнему автоморфизму, — в то время как L ₂ (5) является стабилизатором данной прямой или, что двойственно, данной точки.

Еще более удивительно, что пространство смежных классов L ₂ (11) / ( Z  / 11 Z ), имеющее порядок 660/11 = 60 (и на котором действует группа икосаэдра), естественным образом имеет структуру бакибола , которая используется при построении поверхности бакибола .

Группы Матье

Группа PSL(3, 4) может быть использована для построения группы Матье M ₂₄ , одной из спорадических простых групп ; в этом контексте PSL(3, 4) называют M ₂₁ , хотя она сама по себе не является группой Матье. Начинается с проективной плоскости над полем с четырьмя элементами, которая является системой Штейнера типа S(2, 5, 21) – что означает, что она имеет 21 точку, каждая линия («блок», в терминологии Штейнера) имеет 5 точек, и любые 2 точки определяют линию – и на которой действует PSL(3, 4) . Эту систему Штейнера называют W ₂₁ («W» от Witt ), а затем расширяют ее до большей системы Штейнера W ₂₄ , попутно расширяя группу симметрии: до проективной общей линейной группы PGL(3, 4) , затем до проективной полулинейной группы PΓL(3, 4) и, наконец, до группы Матье M ₂₄ .

M ₂₄ также содержит копии PSL(2, 11) , который является максимальным в M ₂₂ , и PSL(2, 23) , который является максимальным в M ₂₄ и может быть использован для построения M _24. ^[13]

Поверхности Гурвица

Некоторые группы PSL возникают как группы автоморфизмов поверхностей Гурвица, т. е. как факторы группы треугольников (2,3,7) , которая является симметрией семиугольной мозаики порядка 3, разделенной пополам .

Группы PSL возникают как группы Гурвица (группы автоморфизмов поверхностей Гурвица – алгебраических кривых максимально возможной группы симметрии). Поверхность Гурвица самого низкого рода, квартика Клейна (род 3), имеет группу автоморфизмов, изоморфную PSL(2, 7) (эквивалентно GL(3, 2) ), тогда как поверхность Гурвица второго по низшему роду, поверхность Макбита (род 7), имеет группу автоморфизмов, изоморфную PSL(2, 8) .

На самом деле, многие, но не все простые группы возникают как группы Гурвица (включая группу-монстр , хотя и не все чередующиеся группы или спорадические группы), хотя PSL примечателен тем, что включает в себя самые маленькие такие группы.

Модульная группа

Группы PSL(2, Z  /  n Z ) возникают при изучении модулярной группы PSL(2, Z ) как факторы по приведению всех элементов mod n ; ядра называются главными конгруэнц-подгруппами .

Примечательной подгруппой проективной общей линейной группы PGL(2, Z ) (и проективной специальной линейной группы PSL(2, Z [ i ]) ) является симметрия множества {0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( C ) ^{[примечание 6]} , которая известна как ангармоническая группа и возникает как симметрия шести перекрестных отношений . Подгруппа может быть выражена как дробные линейные преобразования или представлена ​​(неединственно) матрицами, как:

Обратите внимание, что верхняя строка представляет собой тождество и два 3-цикла, сохраняющие ориентацию и образующие подгруппу в PSL(2, Z ) , тогда как нижняя строка представляет собой три 2-цикла, которые находятся в PGL(2, Z ) и PSL(2, Z [ i ]) , но не в PSL(2, Z ) , поэтому реализованы либо как матрицы с определителем −1 и целыми коэффициентами, либо как матрицы с определителем 1 и целыми коэффициентами Гаусса .

Это отображается в симметрии {0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( n ) при редукции mod n . Примечательно, что для n = 2 эта подгруппа отображается изоморфно в PGL(2, Z  / 2 Z ) = PSL(2, Z  / 2 Z ) ≅ S ₃ , ^{[примечание 7]} и, таким образом, обеспечивает расщепление PGL(2, Z  / 2 Z ) PGL(2, Z ) ${\displaystyle \hookrightarrow }$ для фактор-отображения PGL(2, Z ) PGL(2, Z  / 2 Z ) ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$ .

Подгруппы стабилизатора {0, 1, ∞} дополнительно стабилизируют точки {−1, 1/2, 2} и { ζ ₋ , ζ ₊ }.

Неподвижные точки обоих 3-циклов являются "наиболее симметричными" перекрестными отношениями, решениями для x ² − x + 1 ( примитивные шестые корни из единицы ). 2-циклы меняют их местами, как и любые другие точки, кроме своих неподвижных точек, что реализует фактор-отображение S ₃ → S ₂ посредством группового действия на этих двух точках. То есть подгруппа C ₃ < S _{3 ,} состоящая из тождества и 3-циклов, {(), (0 1 ∞), (0 ∞ 1)} , фиксирует эти две точки, в то время как другие элементы меняют их местами. ${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$

Неподвижные точки отдельных 2-циклов равны, соответственно, −1, 1/2, 2, и этот набор также сохраняется и переставляется 3-циклами. Это соответствует действию S ₃ на 2-циклы (его силовские 2-подгруппы ) сопряжением и реализует изоморфизм с группой внутренних автоморфизмов , S ₃ ~→Inn(S ₃ ) ≅ S ₃ .

Геометрически это можно представить как группу вращения треугольной бипирамиды , которая изоморфна диэдральной группе треугольника D ₃ ≅ S ₃ ; см. ангармоническая группа .

Топология

Топологию PGL и PSL над действительными и комплексными числами можно определить из пучков волокон , которые их определяют:

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {Z} &\cong &K^{\times }&\to &\mathrm {GL} &\to &\mathrm {PGL} \\\mathrm {SZ} &\cong &\mu _{n}&\to &\mathrm {SL} &\to &\mathrm {PSL} \end{matrix}}}$

через длинную точную последовательность расслоения .

Для вещественных чисел и комплексов SL является накрывающим пространством PSL с числом листов, равным числу корней n-й степени в K ; таким образом, в частности, все их высшие гомотопические группы совпадают. Для вещественных чисел SL является 2-кратным покрытием PSL для четных n и 1-кратным покрытием для нечетных n , т. е. изоморфизмом:

{±1} → SL(2n , R ) → PSL( 2n , R )

СЛ( 2n + 1, R )~→ПСЛ( 2n +1, R )

Для комплексов SL является n -кратным покрытием PSL.

Для PGL, для действительных чисел, волокно равно R ^× ≅ {±1} , поэтому с точностью до гомотопии GL → PGL является двукратным накрывающим пространством, и все высшие гомотопические группы с этим согласны.

Для PGL над комплексами волокно равно C ^× ≅ S ¹ , поэтому с точностью до гомотопии GL → PGL является расслоением окружности. Высшие гомотопические группы окружности обращаются в нуль, поэтому гомотопические группы GL( n , C ) и PGL( n , C ) совпадают для n ≥ 3 . Фактически, π ₂ всегда обращается в нуль для групп Ли, поэтому гомотопические группы совпадают для n ≥ 2 . Для n = 1 имеем π ₁ (GL( n , C )) = π ₁ ( S ¹ ) = Z . Фундаментальная группа PGL(2, C ) является конечной циклической группой порядка 2.

Группы покрытия

Над действительными и комплексными числами проективные специальные линейные группы являются минимальными ( без центра ) реализациями групп Ли для специальной линейной алгебры Ли, каждая связная группа Ли, алгебра Ли которой является покрытием PSL( n , F ) . Наоборот, ее универсальная покрывающая группа является максимальным ( односвязным ) элементом, а промежуточные реализации образуют решетку покрывающих групп . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)\colon }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)}$

Например, SL(2, R ) имеет центр {±1} и фундаментальную группу Z , и, таким образом, имеет универсальное покрытие SL(2, R ) и покрывает бесцентровый PSL(2, R ) .

Теория представления

Проективное представление группы G можно свести к линейному представлению центрального расширения C группы G. K ^* = K × ^.

Групповой гомоморфизм G → PGL( V ) из группы G в проективную линейную группу называется проективным представлением группы G , по аналогии с линейным представлением (гомоморфизмом G → GL( V ) ). Они были изучены Иссаем Шуром , который показал, что проективные представления G можно классифицировать в терминах линейных представлений центральных расширений G . Это привело к множителю Шура , который используется для решения этого вопроса.

Низкие габариты

Проективная линейная группа в основном изучается для n ≥ 2 , хотя ее можно определить и для низких размерностей.

Для n = 0 (или фактически n < 0 ) проективное пространство K ⁰ пусто, поскольку нет 1-мерных подпространств 0-мерного пространства. Таким образом, PGL(0, K ) является тривиальной группой, состоящей из единственного пустого отображения из пустого множества в себя. Кроме того, действие скаляров на 0-мерном пространстве тривиально, поэтому отображение K ^× → GL(0, K ) является тривиальным, а не включением, как в более высоких размерностях.

Для n = 1 проективное пространство K ¹ является единственной точкой, поскольку существует единственное 1-мерное подпространство. Таким образом, PGL(1, K ) является тривиальной группой, состоящей из единственного отображения из одноэлементного множества в себя. Кроме того, общая линейная группа 1-мерного пространства — это в точности скаляры, поэтому отображение K ^× ~→GL(1, K ) — изоморфизм, соответствующий тривиальности PGL(1, K ) := GL(1, K ) /  K ^× ≅ {1} .

При n = 2 PGL (2, K ) нетривиален, но необычен тем, что является 3-транзитивным, в отличие от более высоких размерностей, когда он является только 2-транзитивным.

Примеры

• ПСЛ(2, 7)
• Модульная группа , PSL(2, Z )
• ПСЛ(2, Р )
• Группа Мёбиуса , PGL(2, C ) = PSL(2, C )

Подгруппы

• Проективная ортогональная группа , PO – максимальная компактная подгруппа PGL
• Проективная унитарная группа , PU
• Проективная специальная ортогональная группа , PSO – максимальная компактная подгруппа PSL
• Проективная специальная унитарная группа , ПГУ

Большие группы

Проективная линейная группа содержится в более крупных группах, а именно:

• Проективная полулинейная группа PΓL, допускающая автоморфизмы полей .
• Группа Кремоны , Cr ( P ⁿ ( k )) бирациональных автоморфизмов ; любой бирегулярный автоморфизм линейен, поэтому PGL совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов.

Смотрите также

• Проективное преобразование
• Единица

Примечания

1. Следовательно, это PGL( n + 1, F ) для проективного пространства размерности n
2. «Сохранение отношения инцидентности» означает, что если точка p находится на прямой l , то f ( p ) лежит в g ​​( l ); формально, если ( p , l ) ∈ I , то ( f ( p ), g ( l )) ∈ I .
3. Для PSL (за исключением PSL(2, 2) и PSL(2, 3) ) это следует из леммы Грюна , поскольку SL — совершенная группа (следовательно, центр равен гиперцентру), но для PGL и двух исключительных PSL это требует дополнительной проверки.
4. Они равны, поскольку являются ядром и коядром эндоморфизма F ^× х ^н→ F ^× ; формально, | μ _n | ⋅ | ( F ^× ) ⁿ | = | F ^× | . Более абстрактно, первый реализует PSL как SL / SZ, тогда как второй реализует PSL как ядро ​​PGL → F ^×  / ( F ^× ) ⁿ .
5. Поскольку p _делит порядок группы, группа не вкладывается в (или, поскольку проста, нетривиально отображается в) Sk при k < p , поскольку p не делит порядок этой последней группы.
6. В проективных координатах точки {0, 1, ∞} задаются как [0:1], [1:1] и [1:0], что объясняет, почему их стабилизатор представлен целочисленными матрицами.
7. Этот изоморфизм можно увидеть, удалив знаки минус в матрицах, что дает матрицы для PGL(2, 2)

Ссылки

1. Гарет А. Джонс и Дэвид Сингерман. (1987) Комплексные функции: алгебраическая и геометрическая точка зрения. Cambridge UP. Обсуждение PSL и PGL на странице 20 в Google Books
2. Доказательство: Математика 155r 2010, Раздаточный материал № 4, Ноам Элкис
3. Wilson, Robert A. (2009), "Глава 1: Введение", Конечные простые группы , Graduate Texts in Mathematics 251, т. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012[www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html 2007 препринт]{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
4. Галуа, Эварист (1846), «Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , XI : 408–415 , получено 4 февраля 2009 г. , PSL(2, p ) и простота обсуждаются на стр. . 411; исключительные действия по 5, 7 или 11 пунктам, обсуждаемым на стр. 411–412; GL( ν , p ), обсуждаемый на стр. 410{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
5. Мюррей, Джон (декабрь 1999 г.), «Группа знакопеременных чисел A ₈ и общая линейная группа GL(4, 2) », Математические труды Королевской Ирландской академии , 99A (2): 123–132, JSTOR  20459753
6. Карнахан, Скотт (27 октября 2007 г.), «Малые конечные множества», Secret Blogging Seminar , заметки о докладе Жана-Пьера Серра .{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
7. Письмо, стр. 411–412.
8. Костант, Бертрам (1995), «Граф усеченного икосаэдра и последняя буква Галуа» (PDF) , Notices Amer. Math. Soc. , 42 (4): 959–968, см.: Вложение PSl(2, 5) в PSl(2, 11) и Письмо Галуа Шевалье.
9. Ноам Элкис , Математика 155r, Конспект лекций от 14 апреля 2010 г.
10. (Костант 1995, стр. 964)
11. Последнее письмо Галуа. Архивировано 15 августа 2010 г. в Wayback Machine , Never Ending Books.
12. Мартин, Пабло; Сингерман, Дэвид (17 апреля 2008 г.), От бипланов до квартики Клейна и бакибола (PDF)
13. Конвей, Слоан, SPLAG

• Гроув, Ларри К. (2002), Классические группы и геометрическая алгебра , Graduate Studies in Mathematics , т. 39, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2019-3, г-н  1859189