Уравнение четвертой степени

Полиномиальное уравнение

В математике уравнение четвертой степени — это уравнение, которое можно выразить как функцию четвертой степени , равную нулю. Общий вид уравнения четвертой степени:

График полиномиальной функции 4-й степени с 4 корнями и 3 критическими точками .

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

где а  ≠ 0.

Квартика — это полиномиальное уравнение высшего порядка , которое в общем случае может быть решено радикалами (т. е. такое, в котором коэффициенты могут принимать любые значения).

История

Лодовико Феррари приписывают открытие решения квартики в 1540 году, но поскольку это решение, как и все алгебраические решения квартики, требует нахождения решения кубики , оно не могло быть опубликовано немедленно. ^[1] Решение квартики было опубликовано вместе с решением кубики наставником Феррари Джероламо Кардано в книге Ars Magna (1545).

Доказательство того, что это был общий полином высшего порядка, для которого можно было найти такие решения, было впервые дано в теореме Абеля-Руффини в 1824 году, доказав, что все попытки решения полиномов более высокого порядка будут тщетными. Записи, оставленные Эваристом Галуа перед его смертью на дуэли в 1832 году, позже привели к созданию элегантной полной теории корней многочленов, одним из результатов которой стала эта теорема. ^[2]

Решение уравнения четвертой степени, частные случаи

Рассмотрим уравнение четвертой степени, выраженное в виде : ${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}=0}$

Существует общая формула для нахождения корней уравнений четвертой степени при условии, что коэффициент при главном члене отличен от нуля. Однако, поскольку общий метод достаточно сложен и подвержен ошибкам при выполнении, по возможности лучше применить один из перечисленных ниже частных случаев.

Вырожденный случай

Если постоянный член a ₄  = 0, то один из корней равен x  = 0, а остальные корни можно найти путем деления на x и решения полученного кубического уравнения :

${\displaystyle a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0.\,}$

Очевидные корни: 1 и −1 и − k

Назовите наш полином четвертой степени Q ( x ) . Поскольку 1, возведенная в любую степень, равна 1,

${\displaystyle Q(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\ .}$

Таким образом, если Q (1) = 0 и поэтому x = 1 является корнем Q ( x ) . Аналогично можно показать, что если x = −1 является корнем. ${\displaystyle \ a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{0}+a_{2}+a_{4}=a_{1}+a_{3}\ ,}$

В любом случае полную квартику можно затем разделить на коэффициент ( x − 1) или ( x + 1) соответственно, получив новый кубический полином , который можно решить, чтобы найти другие корни квартики.

Если и то является корнем уравнения. Затем полную квартику можно факторизовать следующим образом: ${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{2}=0\ }$ ${\displaystyle \ a_{4}=a_{3}k\ ,}$ ${\displaystyle \ x=-k\ }$

${\displaystyle \ a_{0}x^{4}+a_{0}kx^{3}+a_{3}x+a_{3}k=a_{0}x^{3}(x+k)+a_{3}(x+k)=(a_{0}x^{3}+a_{3})(x+k)\ .}$

Альтернативно, если и тогда x = 0 и x = − k станут двумя известными корнями. Q ( x ), разделенный на x ( x + k ), представляет собой квадратичный многочлен. ${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{3}=a_{2}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{4}=0\ ,}$

Биквадратные уравнения

Уравнение четвертой степени, где a ₃ и a ₁ равны 0, принимает вид

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{4}=0\,\!}$

и, таким образом, представляет собой биквадратное уравнение , которое легко решить: пусть , поэтому наше уравнение превращается в ${\displaystyle z=x^{2}}$

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{2}z+a_{4}=0\,\!}$

которое представляет собой простое квадратное уравнение, решения которого легко находятся по квадратной формуле:

${\displaystyle z={\frac {-a_{2}\pm {\sqrt {a_{2}^{2}-4a_{0}a_{4}}}}{2a_{0}}}\,\!}$

Когда мы решили задачу (т. е. нашли эти два значения z ), мы можем извлечь из них x .

${\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

Если любое из решений z было отрицательным или комплексным числом, то некоторые решения x являются комплексными числами.

Квазисимметричные уравнения

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0\,}$

Шаги:

1. Разделить на х  ² .
2. Используйте изменение переменной z = x + m / x .
3. Итак, z  ² = x  ² + ( м / x )  ² + 2 м .

Это ведет к:

${\displaystyle a_{0}(x^{2}+m^{2}/x^{2})+a_{1}(x+m/x)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle a_{0}(z^{2}-2m)+a_{1}(z)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle z^{2}+(a_{1}/a_{0})z+(a_{2}/a_{0}-2m)=0}$(квадратичное по z = x + m / x )

Множественные корни

Если квартика имеет двойной корень , его можно найти, взяв наибольший общий делитель многочлена с его производной. Затем их можно разделить и решить полученное квадратное уравнение.

В общем, существует только четыре возможных случая уравнений четвертой степени с кратными корнями, которые перечислены ниже: ^[3]

1. Кратность-4 (M4): когда общее уравнение четвертой степени может быть выражено как для некоторого действительного числа . Этот случай всегда можно свести к биквадратному уравнению. ${\displaystyle a(x-l)^{4}=0}$ ${\displaystyle l}$
2. Кратность-3 (M3): когда общее уравнение четвертой степени может быть выражено как , где  и  – пара двух разных действительных чисел. Это единственный случай, который никогда не может быть сведен к биквадратному уравнению. ${\displaystyle a(x-l)^{3}(x-m)=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$
3. Двойная кратность-2 (DM2): когда общее уравнение четвертой степени может быть выражено как , где  и  — пара двух разных действительных чисел или пара недействительных комплексно-сопряженных чисел. Этот случай также всегда можно свести к биквадратному уравнению. ${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)^{2}=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$
4. Одинарная кратность-2 (SM2): когда общее уравнение четвертой степени может быть выражено как , где ,  , и  — три разных действительных числа или — действительное число,  и — пара недействительных комплексно-сопряженных чисел. Этот случай разбивается на два подслучая: те, которые можно свести к биквадратному уравнению, и те, в которых это невозможно. ${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)(x-n)=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Итак, если три немонических коэффициента подавленного уравнения четвертой степени, , через пять коэффициентов общего уравнения четвертой степени заданы следующим образом: ,  и , то критерии априорной идентификации каждого случая уравнений четвертой степени с кратными корнями и их соответствующие решения представлены ниже. ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$ ${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$ ${\displaystyle q={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$ ${\displaystyle r={\frac {16ab^{2}c-64a^{2}bd-3b^{4}+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$

• М4. Общее уравнение четвертой степени соответствует этому случаю всякий раз, когда , поэтому четыре корня этого уравнения задаются следующим образом: . ${\displaystyle p=q=r=0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=-{\frac {b}{4a}}}$
• М3. Общее уравнение четвертой степени соответствует этому случаю всякий раз, когда и , поэтому четыре корня этого уравнения задаются следующим образом:   и  , ли ; в противном случае   и  . ${\displaystyle p^{2}=-12r>0}$ ${\displaystyle 27q^{2}=-8p^{3}>0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{4}={\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$
• ДМ2. Общее уравнение четвертой степени соответствует этому случаю всякий раз , когда , поэтому четыре корня этого уравнения задаются следующим образом:  и . ${\displaystyle p^{2}=4r>0=q}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{2}=x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$
• Биквадратичный SM2. Общее уравнение четвертой степени соответствует этому подслучаю уравнений SM2, когда , поэтому четыре корня этого уравнения задаются следующим образом: ,  и . ${\displaystyle p\neq q=r=0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{3}={\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$
• Небиквадратичный SM2. Общее уравнение четвертой степени соответствует этому подслучаю уравнений SM2, когда , поэтому четыре корня этого уравнения задаются следующей формулой: ^[4] , где , и . ${\displaystyle (p^{2}+12r)^{3}=[p(p^{2}-36r)+{\frac {27}{2}}q^{2}]^{2}>0\neq {q}}$ ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left[\xi {\sqrt {s_{1}}}\pm {\sqrt {2{\biggl (}s_{2}-{\frac {\xi q}{\sqrt {s_{1}}}}{\biggr )}}}\right]-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle s_{1}={\frac {9q^{2}-32pr}{p^{2}+12r}}>0}$ ${\displaystyle s_{2}=-{\frac {2p(p^{2}-4r)+9q^{2}}{2(p^{2}+12r)}}\neq 0}$ ${\displaystyle \xi =\pm 1}$

Общий случай

Формула четвертой степени.

Для начала квартику необходимо сначала преобразовать в депрессивную квартику .

Преобразование в депрессивную квартику

Позволять

— общее уравнение четвертой степени, которое требуется решить. Разделим обе части на А ,

${\displaystyle \ x^{4}+{B \over A}x^{3}+{C \over A}x^{2}+{D \over A}x+{E \over A}=0\ .}$

Первым шагом, если B еще не равно нулю, должно быть исключение члена x ³ . Для этого измените переменные с x на u так, чтобы

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ .}$

Затем

${\displaystyle \ \left(u-{B \over 4A}\right)^{4}+{B \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{3}+{C \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{2}+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

Расширение степеней биномов дает

${\displaystyle \ \left(u^{4}-{B \over A}u^{3}+{6u^{2}B^{2} \over 16A^{2}}-{4uB^{3} \over 64A^{3}}+{B^{4} \over 256A^{4}}\right)+{B \over A}\left(u^{3}-{3u^{2}B \over 4A}+{3uB^{2} \over 16A^{2}}-{B^{3} \over 64A^{3}}\right)+{C \over A}\left(u^{2}-{uB \over 2A}+{B^{2} \over 16A^{2}}\right)+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

Собрав одинаковые степени u , вы получите

${\displaystyle \ u^{4}+\left({-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\right)u^{2}+\left({B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\right)u+\left({-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\right)=0\ .}$

Теперь переименуйте коэффициенты u . Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\ ,\\b&={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\ ,\\c&={-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\ .\end{aligned}}}$

Полученное уравнение:

которое представляет собой уравнение депрессивной четвертой степени .

Если тогда мы имеем частный случай биквадратного уравнения, которое легко решается, как объяснено выше. Обратите внимание, что общее решение, приведенное ниже, не подойдет для частного случая. Уравнение необходимо решать как биквадратное. ${\displaystyle \ b=0\ }$ ${\displaystyle \ b=0\ .}$

В любом случае, как только депрессивная квартика будет решена для u , подставив эти значения в

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ }$

выдает значения x , которые решают исходную квартику.

Решение депрессивной квартики, когда b ≠ 0

После преобразования к депрессивному уравнению четвертой степени

${\displaystyle u^{4}+au^{2}+bu+c=0}$

и исключая частный случай b = 0, который решается как биквадратное уравнение, с этого момента мы предполагаем, что b ≠ 0 .

Мы разделим термины «лево» и «право» как

${\displaystyle u^{4}=-au^{2}-bu-c}$

и прибавьте слагаемые к обеим сторонам, чтобы превратить их в правильные квадраты .

Пусть y — любое решение этого кубического уравнения :

${\displaystyle 2y^{3}-ay^{2}-2cy+(ac-{\tfrac {1}{4}}b^{2})=(2y-a)(y^{2}-c)-{\tfrac {1}{4}}b^{2}=0\ .}$

Тогда (поскольку b ≠ 0)

${\displaystyle 2y-a\neq 0}$

поэтому мы можем разделить на него, давая

${\displaystyle y^{2}-c={\frac {b^{2}}{4(2y-a)}}\ .}$

Затем

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}=u^{4}+2yu^{2}+y^{2}=(2y-a)u^{2}-bu+(y^{2}-c)=(2y-a)u^{2}-bu+{\frac {b^{2}}{\ 4(2y-a)\ }}=\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}\ .}$

Вычитая, мы получаем разность двух квадратов, которая является произведением суммы и разности их корней.

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}-\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}=\left(u^{2}+y+{\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)\left(u^{2}+y-{\sqrt {2y-a\ }}\,u+{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)=0}$

которую можно решить, применив квадратичную формулу к каждому из двух факторов. Итак, возможные значения u :

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$или

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ .}$

Использование другого y из трех корней кубического числа просто приводит к тому, что те же четыре значения u появляются в другом порядке. Решения кубика:

${\displaystyle \ y={\frac {a}{6}}+w-{\frac {p}{3w}}\ }$

${\displaystyle \ w={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\ }}\ }}}$

используя любой из трех возможных кубических корней. Разумная стратегия — выбрать такой знак квадратного корня, который сделает абсолютное значение w как можно большим.

${\displaystyle \ p=-{\frac {a^{2}}{12}}-c\ ,}$

${\displaystyle \ q=-{\frac {a^{3}}{108}}+{\frac {ac}{3}}-{\frac {b^{2}}{8}}\ .}$

Решение Феррари

В противном случае депрессивную квартику можно решить с помощью метода, открытого Лодовико Феррари . После получения депрессивной квартики следующим шагом будет добавление действительного тождества.

${\displaystyle \left(u^{2}+a\right)^{2}-u^{4}-2au^{2}=a^{2}}$

к уравнению ( 1 ), что дает

В результате член u ⁴ свернулся в правильный квадрат : ( u ²  + a) ² . Второй член au ² не исчез, но его знак изменился и он был перенесен в правую часть.

Следующий шаг — вставить переменную y в идеальный квадрат в левой части уравнения ( 2 ) и соответствующую 2 y в коэффициент при u ² в правой части. Для выполнения этих вставок к уравнению ( 2 ) будут добавлены следующие действительные формулы :

${\displaystyle {\begin{aligned}(u^{2}+a+y)^{2}-(u^{2}+a)^{2}&=2y(u^{2}+a)+y^{2}\ \ \\&=2yu^{2}+2ya+y^{2},\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle 0=(a+2y)u^{2}-2yu^{2}-au^{2}\,}$

Эти две формулы, сложенные вместе, дают

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}-\left(u^{2}+a\right)^{2}=\left(a+2y\right)u^{2}-au^{2}+2ya+y^{2}\qquad \qquad (y{\hbox{-insertion}})\,}$

которое добавлено к уравнению ( 2 ), дает

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}+bu+c=\left(a+2y\right)u^{2}+\left(2ya+y^{2}+a^{2}\right).\,}$

Это эквивалентно

Теперь цель состоит в том, чтобы выбрать значение y такое, чтобы правая часть уравнения ( 3 ) стала идеальным квадратом. Это можно сделать, если дискриминант квадратичной функции станет равным нулю. Чтобы объяснить это, сначала разверните идеальный квадрат так, чтобы он был равен квадратичной функции:

${\displaystyle \left(su+t\right)^{2}=\left(s^{2}\right)u^{2}+\left(2st\right)u+\left(t^{2}\right).\,}$

Квадратичная функция в правой части имеет три коэффициента. Можно проверить, что возведение в квадрат второго коэффициента и затем четырехкратное вычитание произведения первого и третьего коэффициентов дает ноль:

${\displaystyle \left(2st\right)^{2}-4\left(s^{2}\right)\left(t^{2}\right)=0.\,}$

Следовательно, чтобы превратить правую часть уравнения ( 3 ) в правильный квадрат, необходимо решить следующее уравнение:

${\displaystyle (-b)^{2}-4\left(2y+\right)\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=0.\,}$

Умножьте бином на полином,

${\displaystyle b^{2}-4\left(2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac\right)\right)=0\,}$

Разделим обе части на −4 и переместим − b ^2/4 вправо,

${\displaystyle 2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac-{\frac {b^{2}}{4}}\right)=0}$

Разделим обе части на 2,

Это кубическое уравнение относительно y . Решите для y , используя любой метод решения таких уравнений (например, преобразование в сокращенную кубическую форму и применение формулы Кардано). Подойдет любой из трех возможных корней.

Складываем второй идеальный квадрат

Теперь , когда значение y выбрано таким образом, известно, что правая часть уравнения ( 3 ) представляет собой идеальный квадрат вида

${\displaystyle \left(s^{2}\right)u^{2}+(2st)u+\left(t^{2}\right)=\left(\left({\sqrt {s^{2}}}\right)u+{(2st) \over 2{\sqrt {s^{2}}}}\right)^{2}}$

(Это верно для обоих знаков квадратного корня, при условии, что для обоих квадратных корней используется один и тот же знак. A ± является избыточным, так как оно будет поглощено другим ± несколькими уравнениями ниже на этой странице.)

чтобы его можно было сложить:

${\displaystyle (a+2y)u^{2}+(-b)u+\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=\left(\left({\sqrt {a+2y}}\right)u+{(-b) \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)^{2}.}$

Примечание. Если b ≠ 0, то a + 2 y ≠ 0. Если b = 0, то это будет биквадратное уравнение, которое мы решили ранее.

Поэтому уравнение ( 3 ) становится

Уравнение ( 5 ) содержит пару сложенных идеальных квадратов, по одному на каждой стороне уравнения. Два идеальных квадрата уравновешивают друг друга.

Если два квадрата равны, то стороны двух квадратов также равны, как показано:

Собирая одинаковые силы, вы производите

Примечание. Нижний индекс s и означает , что они зависимы. ${\displaystyle \pm _{s}}$ ${\displaystyle \mp _{s}}$

Уравнение ( 6 ) представляет собой квадратное уравнение для u . Его решение

${\displaystyle u={\frac {\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {(a+2y)-4\left(a+y\pm _{s}{b \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)}}}{2}}.}$

Упрощая, получаем

${\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over {\sqrt {a+2y}}}\right)}} \over 2}.}$

Это решение пониженной квартики, поэтому решения исходного уравнения квартики имеют вид

Помните: эти два значения происходят из одного и того же места в уравнении ( 5' ), и оба должны иметь одинаковый знак, а знак независим. ${\displaystyle \pm _{s}}$ ${\displaystyle \pm _{t}}$

Краткое изложение метода Феррари

Учитывая уравнение четвертой степени

${\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,\,}$

ее решение можно найти посредством следующих вычислений:

${\displaystyle a=-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}$

${\displaystyle b={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},}$

${\displaystyle c=-{3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}.}$

Если тогда ${\displaystyle \,b=0,}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-a\pm _{t}{\sqrt {a^{2}-4c}} \over 2}}\qquad {\mbox{(for }}b=0{\mbox{ only)}}.}$

В противном случае продолжайте

${\displaystyle P=-{a^{2} \over 12}-c,}$

${\displaystyle Q=-{a^{3} \over 108}+{ac \over 3}-{b^{2} \over 8},}$

${\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}},}$

(подойдет любой знак квадратного корня)

${\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}},}$

(есть 3 сложных корня, подойдет любой из них)

${\displaystyle y=-{5 \over 6}a+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad }$

${\displaystyle W={\sqrt {a+2y}}}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over W}\right)}} \over 2}.}$

Два ± _s должны иметь одинаковый знак, ± _t независим. Чтобы получить все корни, вычислите x для ± _s ,± _t = +,+ и для +,−; и для −,+ и для −,−. Эта формула без проблем обрабатывает повторяющиеся корни.

^{Феррари был} первым, кто открыл одно ^из этих запутанных решений ^. Уравнение, которое он решил, было

${\displaystyle x^{4}+6x^{2}-60x+36=0}$

которая уже была в депрессивной форме. У него есть пара решений, которые можно найти с помощью набора формул, показанных выше.

Решение Феррари в частном случае действительных коэффициентов

Если коэффициенты уравнения четвертой степени вещественны, то вложенное депрессивное кубическое уравнение ( 5 ) также имеет действительные коэффициенты, следовательно, оно имеет хотя бы один действительный корень.

Кроме того, кубическая функция

${\displaystyle C(v)=v^{3}+Pv+Q,}$

где P и Q заданы формулами ( 5 ), обладает свойствами, которые

${\displaystyle C\left({a \over 3}\right)={-b^{2} \over 8}<0}$и

${\displaystyle \lim _{v\to \infty }C(v)=\infty ,}$где a и b определяются как ( 1 ).

Это означает, что ( 5 ) имеет действительный корень больше, чем , и, следовательно, ( 4 ) имеет действительный корень больше, чем . ${\displaystyle a \over 3}$ ${\displaystyle -a \over 2}$

При использовании этого корня член в ( 8 ) всегда вещественный, что гарантирует, что два квадратных уравнения ( 8 ) имеют действительные коэффициенты. ^[5] ${\displaystyle {\sqrt {a+2y}}}$

Получение альтернативных решений трудным путем

Может случиться так, что с помощью приведенных выше формул можно получить только одно решение, потому что не все четыре шаблона знаков опробованы для четырех решений, и полученное решение является сложным . Также может случиться так, что человек ищет только реальное решение. Пусть x ₁ обозначает комплексное решение. Если все исходные коэффициенты A , B , C , D и E действительны – что должно быть в том случае, когда нужны только действительные решения – тогда существует другое комплексное решение x ₂ , которое является комплексно-сопряженным с x ₁ . Если два других корня обозначить как x ₃ и x ₄ , то уравнение четвертой степени можно выразить как

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0,\,}$

но это уравнение четвертой степени эквивалентно произведению двух квадратных уравнений:

и

С

${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }}$

затем

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\\&=x^{2}-2\operatorname {Re} (x_{1})x+[\operatorname {Re} (x_{1})]^{2}+[\operatorname {Im} (x_{1})]^{2}.\end{aligned}}}$

Позволять

${\displaystyle a=-2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle b=\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}}$

так что уравнение ( 9 ) становится

Также пусть существуют (неизвестные) переменные w и v такие, что уравнение ( 10 ) принимает вид

Умножение уравнений ( 11 ) и ( 12 ) дает

Сравнивая уравнение ( 13 ) с исходным уравнением четвертой степени, можно увидеть, что

${\displaystyle a+w={B \over A},}$

${\displaystyle b+wa+v={C \over A},}$

${\displaystyle wb+va={D \over A},}$

и

${\displaystyle vb={E \over A}.}$

Поэтому

${\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle v={E \over Ab}={\frac {E}{A\left(\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}\right)}}.}$

Уравнение ( 12 ) можно решить относительно x , получив

${\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},}$

${\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.}$

Одно из этих двух решений должно быть желаемым реальным решением.

Альтернативные методы

Быстрое и запоминающееся решение из первых принципов

Большинство хрестоматийных решений уравнения четвертой степени требуют замены, которую трудно запомнить. Вот подход, который облегчает понимание. Работа будет выполнена, если мы сможем разложить уравнение четвертой степени на произведение двух квадратных дробей . Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\\&=\left(x^{2}+px+q\right)\left(x^{2}+rx+s\right)\\&=x^{4}+(p+r)x^{3}+(q+s+pr)x^{2}+(ps+qr)x+qs\end{aligned}}}$

Приравнивая коэффициенты, получаем следующую систему одновременных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=p+r\\c&=q+s+pr\\d&=ps+qr\\e&=qs\end{aligned}}}$

Это решить сложнее, чем кажется, но если мы снова начнем с депрессивной квартики где , которую можно получить заменой на , то , и: ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle (x-b/4)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r=-p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c+p^{2}&=s+q\\d/p&=s-q\\e&=sq\end{aligned}}}$

Теперь легко устранить и то, и другое , выполнив следующие действия: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(c+p^{2}\right)^{2}-(d/p)^{2}&=(s+q)^{2}-(s-q)^{2}\\&=4sq\\&=4e\end{aligned}}}$

Если положить , то это уравнение превращается в кубическое уравнение : ${\displaystyle P=p^{2}}$

${\displaystyle P^{3}+2cP^{2}+\left(c^{2}-4e\right)P-d^{2}=0}$

которая решается в другом месте. Если у вас есть , то: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=-p\\2s&=c+p^{2}+d/p\\2q&=c+p^{2}-d/p\end{aligned}}}$

Симметрии в этом решении легко увидеть. Есть три корня кубического числа, соответствующие трем способам, которыми квартика может быть разложена на два квадратичных уравнения, и выбор положительных или отрицательных значений для квадратного корня просто меняет местами два квадратичных уравнения друг с другом. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$

Теория Галуа и факторизация

Симметричная группа S ₄ на четырех элементах имеет в качестве нормальной подгруппы четырехгруппу Клейна . Это предполагает использование резольвенты, корни которой можно по-разному описать как дискретное преобразование Фурье или матричное преобразование корней Адамара . Предположим, что r _i для i от 0 до 3 являются корнями

${\displaystyle x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad (1)}$

Если мы теперь установим

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}+r_{2}+r_{3}),\\s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}),\\s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}-r_{2}-r_{3}),\\s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}-r_{2}+r_{3}),\end{aligned}}}$

тогда, поскольку преобразование является инволюцией , мы можем выразить корни через четыре s _i точно таким же образом. Поскольку мы знаем значение s ₀ = − b /2, нам действительно нужны только значения для s ₁ , s ₂ и s ₃ . Их мы можем найти, разложив полином

${\displaystyle \left(z^{2}-s_{1}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{2}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{3}^{2}\right)\qquad (2)}$

что, если мы сделаем упрощающее предположение, что b  = 0, равно

${\displaystyle z^{6}+2cz^{4}+\left(c^{2}-4e\right)z^{2}-d^{2}\qquad (3)}$

Этот многочлен имеет шестую степень, но только третью степень по z ² , поэтому соответствующее уравнение разрешимо. Опытным путем мы можем определить, какие три корня являются правильными, и, следовательно, найти решения квартики.

Мы можем исключить любые требования к пробному использованию, используя для факторинга корень того же резольвентного полинома; если w — любой корень из (3) и если

${\displaystyle F_{1}=x^{2}+wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}-{\frac {cw^{3}}{d}}+2{\frac {ew}{d}}}$

${\displaystyle F_{2}=x^{2}-wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}+{\frac {cw^{3}}{d}}-2{\frac {ew}{d}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}}$

затем

${\displaystyle F_{1}F_{2}=x^{4}+cx^{2}+dx+e\qquad \qquad (4)}$

Таким образом, мы можем решить квартику, найдя w, а затем найдя корни двух факторов, используя квадратичную формулу.

Приблизительные методы

Описанные выше методы, в принципе, являются точными методами поиска корней. Также возможно использовать методы последовательного приближения, которые итеративно сходятся к корням, такие как метод Дюрана – Кернера . Итерационные методы — единственные, доступные для уравнений пятой степени и более высокого порядка, за исключением тривиальных или особых случаев.

Смотрите также

• Линейное уравнение
• Квадратное уравнение
• Кубическое уравнение
• Уравнение квинтики
• Полиномиальный
• метод Ньютона

Рекомендации

• Достижение Феррари
• Формула четвертой степени как четыре отдельных уравнения в PlanetMath .

Примечания

1. "Лодовико Феррари".
2. Стюарт, Ян, Теория Галуа, третье издание (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004)
3. Чавес-Пичардо, Маурисио; Мартинес-Крус, Мигель А.; Трехо-Мартинес, Альфредо; Мартинес-Карбахал, Даниэль; Аренас-Ресендис, Таня (июль 2022 г.). «Полный обзор общего уравнения четвертой степени с действительными коэффициентами и кратными корнями». Математика . 10 (14): 2377. doi : 10.3390/math10142377 . ISSN  2227-7390.
4. Чавес-Пичардо, Маурисио; Мартинес-Крус, Мигель А.; Трехо-Мартинес, Альфредо; Вега-Круз, Ана Беатрис; Аренас-Ресендис, Таня (март 2023 г.). «О практичности аналитических решений всех алгебраических уравнений третьей и четвертой степени с действительными коэффициентами». Математика . 11 (6): 1447. doi : 10.3390/math11061447 . ISSN  2227-7390.
5. Карстенсен, Йенс, Komplekse tal, First Edition , (Systime 1981), ISBN 87-87454-71-8 . (на датском языке) 

Внешние ссылки

• Калькулятор решения квартики