Квинтическая функция

В математике функция квинтики — это функция вида

g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,

где $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ и $f$ — члены поля , обычно это рациональные числа , действительные числа или комплексные числа , а $a$ не равно нулю. Другими словами, функция пятой степени определяется полиномом пятой степени .

Поскольку они имеют нечетную степень, нормальные функции пятой степени на графике кажутся похожими на нормальные кубические функции , за исключением того, что они могут иметь один дополнительный локальный максимум и один дополнительный локальный минимум. Производная функции квинтики является функцией квартики .

Полагая $g (x) = 0$ и предполагая $a \neq 0$ , получаем уравнение пятой степени вида:

ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,

Решение уравнений пятой степени в радикалах ( корни n -й степени) было основной проблемой алгебры с 16 века, когда решались уравнения кубической и четвертой степени , до первой половины 19 века, когда была доказана невозможность такого общего решения. с теоремой Абеля–Руффини .

Нахождение корней уравнения пятой степени

Поиск корней (нулей) заданного многочлена был важной математической проблемой.

Решение линейных , квадратных , кубических и четвертых уравнений в терминах радикалов и элементарных арифметических операций над коэффициентами всегда можно осуществить, независимо от того, являются ли корни рациональными или иррациональными, вещественными или комплексными; существуют формулы, дающие искомые решения. Однако не существует алгебраического выражения (т. е. в терминах радикалов) решений общих уравнений пятой степени над рациональными числами; это утверждение известно как теорема Абеля-Руффини , впервые утвержденная в 1799 году и полностью доказанная в 1824 году. Этот результат справедлив и для уравнений более высокой степени. Примером квинтики, корни которой не могут быть выражены через радикалы, является $x$ $5$ $-$ $x$ $+ 1 = 0$ .

Некоторые квинтики можно решить в терминах радикалов. Однако решение, как правило, слишком сложное, чтобы его можно было использовать на практике. Вместо этого численные аппроксимации рассчитываются с использованием алгоритма поиска корней для полиномов .

Разрешимые квинтики

Некоторые уравнения пятой степени можно решить в радикалах. К ним относятся уравнения пятой степени, определяемые приводимым полиномом , например $x 5 - x 4 - x + 1 = (x 2 + 1)(x + 1)(x - 1) 2$ . Например, было показано ^[1] , что

x^{5}-xr=0

имеет решения в радикалах тогда и только тогда, когда оно имеет целочисленное решение или r имеет одно из значений ±15, ±22440 или ±2759640, и в этих случаях многочлен приводим.

Поскольку решение приводимых уравнений пятой степени немедленно сводится к решению полиномов более низкой степени, в оставшейся части этого раздела рассматриваются только неприводимые уравнения пятой степени, а термин «квинтика» будет относиться только к неприводимым уравнениям пятой степени. Таким образом, разрешимая квинтика представляет собой неприводимый многочлен квинтики, корни которого могут быть выражены через радикалы.

Чтобы охарактеризовать разрешимую квинтику и, в более общем смысле, разрешимые полиномы более высокой степени, Эварист Галуа разработал методы, которые дали начало теории групп и теории Галуа . Применяя эти методы, Артур Кэли нашел общий критерий определения разрешимости той или иной квинтики. ^[2] Этот критерий заключается в следующем. ^[3]

Учитывая уравнение

ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,

преобразование Чирнхауза $x = y −.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}б/5 а$ , что понижает квинтику (то есть удаляет член четвертой степени), дает уравнение

y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0

где

{\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^ {3}}{25a^{3}}}\\r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^ {4}}}\\s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5 }}{3125a^{5}}}\end{aligned}}

Обе квинтики разрешимы радикалами тогда и только тогда, когда либо они факторизуемы в уравнениях младших степеней с рациональными коэффициентами, либо в полиноме $P 2 - 1024 z Δ$ , называемомРезольвента Кэли имеет рациональный корень в $z$ , где

{\begin{aligned}P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r ^{2}+400кв-3п^{4})\\&-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2 }-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}\\&+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq\end{aligned}}

{\begin{aligned}\Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2} s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}\\&-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3} -900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2} -3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}\\&+2250q^ {2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3 }q^{2}r^{2}.\end{aligned}}

Результат Кэли позволяет нам проверить, разрешима ли квинтика. Если это так, то найти его корни - более сложная задача, которая состоит в выражении корней через радикалы, включающие коэффициенты квинтики и рациональный корень резольвенты Кэли.

В 1888 году Джордж Пакстон Янг описал, как решить разрешимое уравнение пятой степени, не приводя явной формулы; ^[4] В 2004 году Дэниел Лазард выписал трехстраничную формулу. ^[5]

Квинтикс в форме Бринга-Джеррарда

Существует несколько параметрических представлений разрешимых квинтик вида $x 5 + ax + b = 0$ , называемых формой Бринга–Джеррарда .

Во второй половине XIX века Джон Стюарт Глэшан, Джордж Пакстон Янг и Карл Рунге дали такую параметризацию: неприводимая квинтика с рациональными коэффициентами в форме Бринга – Джеррарда разрешима тогда и только тогда, когда либо $a = 0$ , либо она может быть написано

x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5 }(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0

где $µ$ и $ν$ рациональны.

В 1994 году Блэр Спирман и Кеннет С. Уильямс предложили альтернативу:

x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11) {c^{2}+1}}=0.

Взаимосвязь между параметризациями 1885 и 1994 годов можно увидеть, определив выражение

b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)

где $а = 5(4 ν + 3) / ν 2 + 1$ . Использование отрицательного случая квадратного корня дает после масштабирования переменных первую параметризацию, а положительный случай дает вторую.

Замена $c = - м / л 5$ , $е = 1 / л$ в параметризации Спирмена-Вильямса позволяет не исключать частный случай $a = 0$ , что дает следующий результат:

Если $a$ и $b$ — рациональные числа, то уравнение $x 5 + ax + b = 0$ разрешимо в радикалах, если либо его левая часть является произведением многочленов степени меньше 5 с рациональными коэффициентами, либо существуют два рациональных числа $l$ и $я$ такой, что

a={\frac {5l(3l^{5}-4m)}{m^{2}+l^{10}}}\qquad b={\frac {4(11l^{5}+2m)}{m^{2}+l^{10}}}.

Корни разрешимой квинтики

Полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах, если его группа Галуа является разрешимой группой . В случае неприводимых квинтик группа Галуа является подгруппой симметрической группы $S5$ всех перестановок пятиэлементного множества, которая разрешима тогда и только тогда, когда она является подгруппой $группы$ $F5$ $порядка$ 20 $,$ порожденной циклическими перестановками $(1 2 3 4 5)$ и $(1 2 4 3)$ .

Если квинтика разрешима, одно из решений может быть представлено алгебраическим выражением , включающим корень пятой степени и не более двух квадратных корней, обычно вложенных . Другие решения затем могут быть получены либо путем замены корня пятой степени, либо путем умножения всех вхождений корня пятой степени на одну и ту же степень примитивного корня пятой степени из единицы , например:

{\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.

Фактически, все четыре примитивных корня пятой степени из единицы можно получить, соответствующим образом изменив знаки квадратных корней; а именно, выражение

{\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},

где , дает четыре различных примитивных корня пятой степени из единицы. $\alpha ,\beta \in \{-1,1\}$

Отсюда следует, что для записи всех корней разрешимой квинтики могут потребоваться четыре разных квадратных корня. Даже для первого корня, содержащего не более двух квадратных корней, выражение решений через радикалы обычно весьма сложно. Однако, когда квадратный корень не требуется, форма первого решения может быть довольно простой, как для уравнения $x 5 - 5 x 4 + 30 x 3 - 50 x 2 + 55 x - 21 = 0$ , для которого единственное реальное решение

x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.

Примером более сложного (хотя и достаточно маленького, чтобы его можно было написать здесь) решения является уникальный действительный корень $x 5 - 5 x + 12 = 0$ . Пусть $a = \sqrt 2 φ -1$ , $b = \sqrt 2 φ$ и $c = 4 \sqrt 5$ , где $φ = 1+ \sqrt 5 / 2$ это золотое сечение . Тогда единственное действительное решение $x = -1,84208...$ имеет вид

-cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,

или, что то же самое,

x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,

где $yi —$ четыре корня уравнения четвертой степени

y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.

В более общем смысле, если уравнение $P (x) = 0$ простой степени $p$ с рациональными коэффициентами разрешимо в радикалах, то можно определить вспомогательное уравнение $Q (y) = 0$ степени $p - 1$ , также с рациональными коэффициентами, такое, что каждый корень $P$ представляет собой сумму корней $p$ -й степени корней $Q$ . Эти корни $p$ -й степени были введены Жозефом-Луи Лагранжем , а их произведения на $p$ обычно называют резольвентами Лагранжа . Вычисление $Q$ и его корней можно использовать для решения $P (x) = 0$ . Однако эти корни $p$ -й степени не могут быть вычислены независимо (это приведет к получению корней $p p -1$ вместо $p$ ). Таким образом, правильное решение должно выразить все эти $p$ -корни через один из них. Теория Галуа показывает, что это всегда теоретически возможно, даже если полученная формула может оказаться слишком большой, чтобы ее можно было использовать.

Возможно, что некоторые корни $Q$ рациональны (как в первом примере этого раздела), а некоторые равны нулю. В этих случаях формула корней значительно проще, как и для разрешимой квинтики Муавра

x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,

где вспомогательное уравнение имеет два нулевых корня и путем их факторизации сводится к квадратному уравнению

y^{2}+by-a^{5}=0\,,

такие, что пять корней квинтики де Муавра имеют вид

x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},

где yi — любой корень вспомогательного квадратного уравнения, а _ω — любой из четырёх примитивных корней пятой степени из единицы . Это можно легко обобщить для построения разрешимого септика и других нечетных степеней, не обязательно простых.

Другие решаемые квинтики

Существует бесконечно много разрешимых квинтик в форме Бринга-Джеррарда, которые были параметризованы в предыдущем разделе.

С точностью до масштабирования переменной существует ровно пять разрешимых квинтик формы , которые равны ^[6] (где s — масштабный коэффициент): $x^{5}+ax^{2}+b$

x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}

x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}

x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}

x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}

x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}

Пакстон Янг (1888) привел ряд примеров разрешимых квинтик:

Можно построить бесконечную последовательность разрешимых квинтик, корни которой представляют собой суммы корней $n$ -й степени из единицы , где $n = 10 k + 1$ является простым числом:

Существуют также два параметризованных семейства разрешимых квинтик: квинтика Кондо – Брумера,

x^{5}+(a-3)\,x^{4}+(-a+b+3)\,x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)\,x^{2}+b\,x+a=0

и семья в зависимости от параметров $a,\ell ,m$

x^{5}-5\,p\left(2\,x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\right)-p\,c=0

где

p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,

b=\ell \,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,

c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.

Казус нередуцируемый

Аналогично кубическим уравнениям существуют разрешимые квинтики, которые имеют пять действительных корней, все решения которых в радикалах включают корни комплексных чисел. Это casus нередуцируемый для квинтики, о котором говорится в «Даммите». ^[7]^{: стр.17} Действительно, если все корни неприводимой квинтики вещественны, ни один корень не может быть выражен чисто через действительные радикалы (как это верно для всех полиномиальных степеней, не являющихся степенями 2).

За пределами радикалов

Около 1835 года Джеррард продемонстрировал, что квинтики можно решать с помощью ультрарадикалов (также известных как радикалы Бринга), уникального действительного корня из $t 5 + t - a = 0$ для действительных чисел $a$ . В 1858 году Чарльз Эрмит показал, что радикал Бринга можно охарактеризовать с помощью тета-функций Якоби и связанных с ними эллиптических модулярных функций , используя подход, аналогичный более известному подходу решения кубических уравнений с помощью тригонометрических функций . Примерно в то же время Леопольд Кронекер , используя теорию групп , разработал более простой способ вывода результата Эрмита, как и Франческо Бриоски . Позже Феликс Кляйн придумал метод, который связывает симметрии икосаэдра , теории Галуа и эллиптических модулярных функций, фигурирующих в решении Эрмита, давая объяснение, почему они вообще должны появляться, и разработал собственное решение в терминах обобщенных гипергеометрических функций . ^[8] Подобные явления происходят в степени $7$ ( септические уравнения ) и $11$ , как это изучалось Кляйном и обсуждалось в разделе «Икосаэдральная симметрия § Связанные геометрии» .

Решение с помощью Принесите радикалы

Преобразование Чирнхауза , которое можно вычислить путем решения уравнения четвёртой степени , сводит общее уравнение пятой степени вида

x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,

к нормальной форме Бринга–Джеррарда $x 5 - x + t = 0$ .

Корни этого уравнения не могут быть выражены через радикалы. Однако в 1858 году Чарльз Эрмит опубликовал первое известное решение этого уравнения в терминах эллиптических функций . ^[9] Примерно в то же время Франческо Бриоски ^[10] и Леопольд Кронекер ^[11] пришли к эквивалентным решениям.

Подробную информацию об этих и некоторых связанных с ними решениях см. в разделе «Принесите радикал» .

Приложение к небесной механике

Поиск местоположения лагранжевых точек астрономической орбиты, на которой массы обоих объектов не пренебрежимо малы, включает в себя решение квинтики.

Точнее, положения L ₂ и L ₁ являются решениями следующих уравнений, где гравитационные силы двух масс на третью (например, Солнца и Земли на таких спутниках, как Гайя и космический телескоп Джеймса Уэбба на L ₂ и SOHO в точке L ₁ ) обеспечивают центростремительную силу спутника, необходимую для нахождения на синхронной орбите с Землей вокруг Солнца:

{\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)

Знак ± соответствует L ₂ и L ₁ соответственно; G — гравитационная постоянная , ω — _{угловая} скорость , r — расстояние от спутника до Земли, R — расстояние от Солнца до Земли (то есть большая полуось орбиты Земли), а m , ME и MS _— соответствующие массы спутника, Земли и Солнца .

Использование третьего закона Кеплера и перестановка всех членов дает квинтику. $\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}$

ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0

с:

{\begin{aligned}&a=\pm (M_{S}+M_{E}),\\&b=+(M_{S}+M_{E})3R,\\&c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2},\\&d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}\ (thus\ d=0\ for\ L_{2}),\\&e=\pm M_{E}2R^{4},\\&f=\mp M_{E}R^{5}\end{aligned}}

Решение этих двух квинтик дает $r = 1,501 x 10 9 м$ для L ₂ и $r = 1,491 x 10 9 м$ для L ₁ . Точки Лагранжа Солнца и Земли L 2 _и L 1 _обычно принимают за 1,5 миллиона км от Земли.

Если масса меньшего объекта ( ME ₎ намного меньше массы большего объекта ( MS ₎ , то уравнение пятой степени можно значительно уменьшить, и L ₁ и L ₂ находятся примерно на радиусе сферы Хилла , предоставлено:

r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}

Это также дает $r = 1,5 x 10 9 м$ для спутников L ₁ и L ₂ в системе Солнце-Земля.

Смотрите также

Примечания

^ Элия, М.; Филиппони, П. (1998). «Уравнения формы Бринга-Джеррарда, золотого сечения и квадратные числа Фибоначчи» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 36 (3): 282–286.
^ А. Кэли, «О новом вспомогательном уравнении в теории уравнений пятого порядка», Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 : 263-276 (1861) doi : 10.1098/rstl.1861.0014
^ Эта формулировка результата Кэли взята из статьи Лазарда (2004).
^ Джордж Пакстон Янг, «Разрешимые уравнения пятой степени с соизмеримыми коэффициентами», Американский журнал математики 10 : 99–130 (1888), JSTOR 2369502
^ Лазард (2004, стр. 207)
^ Элкис, Ноам. «Триномы a xn + bx + c с интересными группами Галуа». Гарвардский университет .
^ Дэвид С. Даммит Решение решаемых квинтиков
^ (Кляйн 1888); современное изложение дано в (Tóth 2002, раздел 1.6, Дополнительная тема: теория икосаэдра Кляйна, стр. 66).
^ Эрмит, Чарльз (1858). «Сюр-ла-решение о равенстве пятой степени». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . XLVI (I): 508–515.
^ Бриоски, Франческо (1858). «Метод Кронекера для расчета уравнений Quinto Grado». Атти Делли. Р. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti . Я : 275–282.
^ Кронекер, Леопольд (1858). «Sur la resolution de l'equation du cinquième degree, extrait d'une Letter adressée à M. Hermite». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . XLVI (I): 1150–1152.

Внешние ссылки

Mathworld - Quintic Equation – более подробная информация о методах решения Quintic.
Решение разрешимых квинтик - метод решения разрешимых квинтик, предложенный Дэвидом С. Даммитом.
Метод удаления всех промежуточных членов из данного уравнения - недавний английский перевод статьи Чирнхауса 1683 года.