Представительство группы

Group homomorphism into the general linear group over a vector space

Представление группы « воздействует» на объект. Простой пример — как симметрии правильного многоугольника , состоящие из отражений и вращений, преобразуют многоугольник.

В математической области теории представлений представления групп описывают абстрактные группы в терминах биективных линейных преобразований векторного пространства в себя (т.е. автоморфизмы векторного пространства ) ; в частности, их можно использовать для представления элементов группы в виде обратимых матриц , чтобы групповую операцию можно было представить путем умножения матриц .

В химии представление группы может связать элементы математической группы с симметричными вращениями и отражениями молекул.

Представления групп важны, поскольку они позволяют свести многие теоретико-групповые проблемы к задачам линейной алгебры , что хорошо понятно. ^{[ сомнительно ]} Они также важны в физике , потому что, например, они описывают, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему.

Термин « представление группы» также используется в более общем смысле для обозначения любого «описания» группы как группы преобразований некоторого математического объекта. Более формально, «представление» означает гомоморфизм группы в группу автоморфизмов объекта. Если объект является векторным пространством, у нас есть линейное представление . Некоторые люди используют реализацию в качестве общего понятия и оставляют термин « представление» для частного случая линейных представлений. Основная часть этой статьи описывает теорию линейного представления; см. последний раздел для обобщений.

Разделы теории представлений групп

Теория представлений групп делится на подтеории в зависимости от типа представляемой группы. Различные теории сильно различаются в деталях, хотя некоторые основные определения и концепции схожи. Наиболее важными подразделениями являются:

• Конечные группы . Представления групп являются очень важным инструментом в изучении конечных групп. Они также возникают в приложениях теории конечных групп к кристаллографии и геометрии. Если поле скаляров векторного пространства имеет характеристику p и если p делит порядок группы, то это называется модулярной теорией представлений ; этот особый случай имеет совсем другие свойства. См. Теорию представлений конечных групп .
• Компактные группы или локально компактные группы . Многие результаты теории представлений конечных групп доказываются путем усреднения по группе. Эти доказательства могут быть перенесены на бесконечные группы путем замены среднего интегралом при условии, что можно определить приемлемое понятие интеграла. Это можно сделать для локально компактных групп, используя меру Хаара . Полученная теория является центральной частью гармонического анализа . Двойственность Понтрягина описываеттеорию коммутативных групп как обобщенное преобразование Фурье . См. также: Теорема Питера–Вейля .
• Группы Ли . Многие важные группы Ли компактны, поэтому к ним применимы результаты теории компактных представлений. Используются и другие методы, специфичные для групп Ли. Большинство групп, важных в физике и химии, являются группами Ли, и их теория представлений имеет решающее значение для применения теории групп в этих областях. См. «Представления групп Ли» и «Представления алгебр Ли» .
• Линейные алгебраические группы (или, в более общем смысле, схемы аффинных групп ) . Это аналоги групп Ли, но над более общими полями, чем просто R или C. Хотя линейные алгебраические группы имеют классификацию, очень похожую на классификацию групп Ли, и порождают одни и те же семейства алгебр Ли, их представления весьма различны (и гораздо менее понятны). Аналитические методы, используемые для изучения групп Ли, должны быть заменены методами алгебраической геометрии , где относительно слабая топология Зарисского вызывает множество технических сложностей.
• Некомпактные топологические группы . Класс некомпактных групп слишком широк, чтобы построить какую-либо общую теорию представлений, но конкретные частные случаи изучались, иногда с использованием специальных методов. Полупростые группы Ли имеют глубокую теорию, основанную на компактном случае. Дополнительные разрешимые группы Ли не могут быть классифицированы таким же образом. Общая теория групп Ли имеет дело с полупрямыми произведениями двух типов посредством общих результатов, называемых теорией Макки , которые являются обобщением методов классификации Вигнера .

Теория представлений также сильно зависит от типа векторного пространства , в котором действует группа. Различают конечномерные представления и бесконечномерные. В бесконечномерном случае важны дополнительные структуры (например, является ли пространство гильбертовым , банаховым и т. д.).

Необходимо также учитывать тип поля , над которым определяется векторное пространство. Наиболее важным случаем является поле комплексных чисел . Другими важными случаями являются поля действительных чисел , конечные поля и поля p-адических чисел . В общем, с алгебраически замкнутыми полями работать легче, чем с неалгебраически замкнутыми. Характеристика поля также имеет значение; многие теоремы для конечных групп зависят от характеристики поля, не делящего порядок группы .

Определения

Представление группы G в векторном пространстве V над полем K представляет собой гомоморфизм группы из G в GL( V ), общую линейную группу на V. То есть представление — это карта

${\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} \left(V\right)}$

такой, что

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{for all }}g_{1},g_{2}\in G.}$

Здесь V называется пространством представления , а размерность V называется размерностью или степенью представления. Обычно V сам по себе называют представлением, когда гомоморфизм ясен из контекста.

В случае, когда V имеет конечную размерность n, обычно выбирают базис для V и отождествляют GL( V ) с GL( n , K ) , группой обратимых матриц в поле K . ${\displaystyle n\times n}$

• Если G — топологическая группа , а V — топологическое векторное пространство , непрерывное представление G на V — это представление ρ такое, что приложение Φ: G × V → V , определенное формулой Φ( g , v ) = ρ ( g )( v ) является непрерывным .
• Ядро представления ρ группы G определяется как нормальная подгруппа группы G , образ которой под действием ρ является тождественным преобразованием:

${\displaystyle \ker \rho =\left\{g\in G\mid \rho (g)=\mathrm {id} \right\}.}$

Точным представлением является представление , в котором гомоморфизм G → GL( V ) инъективен ; другими словами, тот, ядром которого является тривиальная подгруппа { e }, состоящая только из единичного элемента группы.

• Для двух K векторных пространств V и W два представления ρ  : G → GL( V ) и π  : G → GL( W ) называются эквивалентными или изоморфными , если существует изоморфизм векторного пространства α  : V → W , так что для все г в г ,

${\displaystyle \alpha \circ \rho (g)\circ \alpha ^{-1}=\pi (g).}$

Примеры

Рассмотрим комплексное число u = e ^2πi/3 , обладающее свойством u ³ = 1. Множество C ₃ = {1, u , u ² } образует циклическую группу при умножении. Эта группа имеет представление ρ в виде: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}.}$

Это представление является точным, поскольку ρ является взаимно однозначным отображением .

Другое представление C ₃ на , изоморфное предыдущему, — это σ, заданное формулой: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \sigma \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.}$

Группу C ₃ также можно точно представить с помощью τ, заданного следующим образом: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \tau \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}}$

где

${\displaystyle a={\text{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b={\text{Im}}(u)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$

Другой пример:

Пусть – пространство однородных многочленов степени 3 над комплексными числами от переменных ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$

Затем действует перестановкой трех переменных. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle V}$

Например, отправляет в . ${\displaystyle (12)}$ ${\displaystyle x_{1}^{3}}$ ${\displaystyle x_{2}^{3}}$

сводимость

Подпространство W в V , инвариантное относительно действия группы, называется подпредставлением . Если V имеет ровно два подпредставления, а именно нульмерное подпространство и само V , то представление называется неприводимым ; если оно имеет собственное подпредставление ненулевой размерности, то представление называется приводимым . Представление нулевой размерности не считается ни приводимым, ни неприводимым ^[1] , так же как число 1 не считается ни составным , ни простым .

В предположении, что характеристика поля К не делит размер группы, представления конечных групп можно разложить в прямую сумму неприводимых подпредставлений (см. теорему Машке ). Это справедливо, в частности, для любого представления конечной группы над комплексными числами , поскольку характеристика комплексных чисел равна нулю, что никогда не делит размер группы.

В приведенном выше примере первые два заданных представления (ρ и σ) оба можно разложить на два одномерных подпредставления (задаваемые span{(1,0)} и span{(0,1)}), а третье представление (τ) неприводим.

Обобщения

Теоретико-множественные представления

Теоретико -множественное представление (также известное как групповое действие или представление перестановок ) группы G на множестве X задается функцией ρ : G → X ^X , набором функций от X до X , такой, что для всех g ₁ , g ₂ в G и все x в X :

${\displaystyle \rho (1)[x]=x}$

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]],}$

где - единичный элемент G . Из этого условия и аксиом группы следует, что ρ( g ) является биекцией (или перестановкой ) для всех g в G. Таким образом, мы можем эквивалентно определить представление перестановки как гомоморфизм группы из G в симметрическую группу S _X группы X . ${\displaystyle 1}$

Более подробную информацию по этой теме можно найти в статье о групповых действиях .

Представительства в других категориях

Каждую группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом; морфизмы в этой категории — это просто элементы G . Для произвольной категории C представление G в C является функтором из G в C. _ Такой функтор выбирает объект X в C и групповой гомоморфизм из G в Aut( X ) , группу автоморфизмов X.

В случае, когда C — это Vect _K , категория векторных пространств над полем K , это определение эквивалентно линейному представлению. Аналогично, теоретико-множественное представление — это просто представление G в категории множеств .

Когда C является Ab , категорией абелевых групп , полученные объекты называются G -модулями .

В качестве другого примера рассмотрим категорию топологических пространств Top . Представления в Top — это гомоморфизмы из G в группу гомеоморфизмов топологического пространства X.

Два типа представлений, тесно связанных с линейными представлениями:

• Проективные представления : в категории проективных пространств . Их можно описать как «линейные представления с точностью до скалярных преобразований».
• аффинные представления : в категории аффинных пространств . Например, евклидова группа действует аффинно в евклидовом пространстве .

Смотрите также

• Неприводимые представления
• Таблица символов
• Теория персонажей
• Молекулярная симметрия
• Список тем гармонического анализа
• Список тем теории представлений
• Теория представлений конечных групп
• Полупростое представление

Примечания

1. «1.4: Представления». Химия LibreTexts . 04.09.2019 . Проверено 23 июня 2021 г.

Рекомендации

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. МР  1153249. OCLC  246650103.. Введение в теорию представлений с акцентом на группы Ли .
• Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод русскоязычного издания 1985 года (Харьков, Украина). Биркхойзер Верлаг. 1988.