Теория колец

В алгебре теория колец — это изучение колец , алгебраических структур , в которых определены сложение и умножение, имеющие свойства, аналогичные свойствам операций, определенных для целых чисел . Теория колец изучает структуру колец; их представления , или, на другом языке, модули ; специальные классы колец ( групповые кольца , деления , универсальные обертывающие алгебры ); связанные структуры, такие как rngs ; а также ряд свойств, которые представляют интерес как для самой теории, так и для ее приложений, таких как гомологические свойства и полиномиальные тождества .

Коммутативные кольца гораздо лучше изучены, чем некоммутативные. Алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел , которые дают много естественных примеров коммутативных колец, во многом способствовали развитию теории коммутативных колец, которая теперь под названием коммутативная алгебра является основной областью современной математики. Поскольку эти три области (алгебраическая геометрия, алгебраическая теория чисел и коммутативная алгебра) настолько тесно связаны, обычно трудно и бессмысленно решить, к какой области принадлежит конкретный результат. Например, теорема Гильберта о нулевых числах является фундаментальной для алгебраической геометрии и сформулирована и доказана в терминах коммутативной алгебры. Аналогично, Великая теорема Ферма сформулирована в терминах элементарной арифметики , которая является частью коммутативной алгебры, но ее доказательство включает глубокие результаты как алгебраической теории чисел, так и алгебраической геометрии.

Некоммутативные кольца весьма отличаются по вкусу, поскольку может возникнуть более необычное поведение. В то время как теория развивалась сама по себе, сравнительно недавняя тенденция стремилась провести параллель коммутативному развитию, построив теорию определенных классов некоммутативных колец геометрическим способом, как если бы они были кольцами функций на (несуществующих) «некоммутативных пространствах». Эта тенденция началась в 1980-х годах с развитием некоммутативной геометрии и открытием квантовых групп . Она привела к лучшему пониманию некоммутативных колец, особенно некоммутативных нётеровых колец . ^[1]

Определения кольца, а также основные понятия и их свойства см. в разделе Кольцо (математика) . Определения терминов, используемых в теории колец, можно найти в разделе Глоссарий теории колец .

Коммутативные кольца

Кольцо называется коммутативным, если его умножение коммутативно . Коммутативные кольца напоминают знакомые числовые системы, и различные определения для коммутативных колец предназначены для формализации свойств целых чисел . Коммутативные кольца также важны в алгебраической геометрии . В теории коммутативных колец числа часто заменяются идеалами , а определение простого идеала пытается уловить суть простых чисел . Целостные области , нетривиальные коммутативные кольца, где никакие два ненулевых элемента не умножаются, чтобы дать ноль, обобщают другое свойство целых чисел и служат надлежащей областью для изучения делимости. Главные идеальные области являются целостными областями, в которых каждый идеал может быть порожден одним элементом, еще одно свойство, общее для целых чисел. Евклидовы области являются целостными областями, в которых может быть выполнен алгоритм Евклида . Важные примеры коммутативных колец могут быть построены как кольца многочленов и их фактор-кольца. Резюме: Евклидова область ⊂ область главных идеалов ⊂ область однозначной факторизации ⊂ область целостности ⊂ коммутативное кольцо .

Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия во многих отношениях является зеркальным отражением коммутативной алгебры. Это соответствие началось с Nullstellensatz Гильберта , который устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками алгебраического многообразия и максимальными идеалами его координатного кольца . Это соответствие было расширено и систематизировано для перевода (и доказательства) большинства геометрических свойств алгебраических многообразий в алгебраические свойства ассоциированных коммутативных колец. Александр Гротендик завершил это, введя схемы , обобщение алгебраических многообразий, которые могут быть построены из любого коммутативного кольца. Точнее, спектр коммутативного кольца — это пространство его простых идеалов, снабженное топологией Зариского и дополненное пучком колец. Эти объекты представляют собой «аффинные схемы» (обобщение аффинных многообразий ), а общая схема получается затем путём «склеивания» (чисто алгебраическими методами) нескольких таких аффинных схем , по аналогии со способом построения многообразия путём склеивания карт атласа .

Некоммутативные кольца

Некоммутативные кольца во многих отношениях напоминают кольца матриц . Следуя модели алгебраической геометрии , в последнее время были предприняты попытки определить некоммутативную геометрию на основе некоммутативных колец. Некоммутативные кольца и ассоциативные алгебры (кольца, которые также являются векторными пространствами ) часто изучаются через их категории модулей. Модуль над кольцом — это абелева группа , на которую кольцо действует как кольцо эндоморфизмов , очень похоже на то, как поля (области целостности, в которых каждый ненулевой элемент обратим) действуют на векторные пространства. Примерами некоммутативных колец являются кольца квадратных матриц или, в более общем смысле, кольца эндоморфизмов абелевых групп или модулей, а также моноидные кольца .

Теория представления

Теория представлений — это раздел математики , который в значительной степени опирается на некоммутативные кольца. Она изучает абстрактные алгебраические структуры , представляя их элементы как линейные преобразования векторных пространств , и изучает модули над этими абстрактными алгебраическими структурами. По сути, представление делает абстрактный алгебраический объект более конкретным, описывая его элементы матрицами и алгебраическими операциями в терминах сложения матриц и умножения матриц , что некоммутативно. Алгебраические объекты, поддающиеся такому описанию, включают группы , ассоциативные алгебры и алгебры Ли . Наиболее выдающейся из них (и исторически первой) является теория представлений групп , в которой элементы группы представлены обратимыми матрицами таким образом, что групповая операция — это умножение матриц.

Некоторые соответствующие теоремы

Общий

Структурные теоремы

Теорема Артина –Веддерберна определяет структуру полупростых колец
Теорема плотности Джекобсона определяет структуру примитивных колец
Теорема Голди определяет структуру полупервичных колец Голди.
Теорема Зариского–Самуэля определяет структуру коммутативного кольца главных идеалов
Теорема Хопкинса –Левицкого дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы нётерово кольцо было артиновым кольцом.
Теория Мориты состоит из теорем, определяющих, когда два кольца имеют «эквивалентные» модульные категории.
Теорема Картана–Брауэра–Хуа дает представление о структуре деления колец
Малая теорема Веддерберна утверждает, что конечные области являются полями.

Другой

Теорема Скулема –Нётер характеризует автоморфизмы простых колец

Структуры и инварианты колец

Размерность коммутативного кольца

В этом разделе R обозначает коммутативное кольцо. Размерность Крулля кольца R — это супремум длин n всех цепочек простых идеалов . Оказывается, что кольцо многочленов над полем k имеет размерность n . Основная теорема теории размерности утверждает, что для нётерова локального кольца следующие числа совпадают : ^[2] ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ $k[t_{1},\cdots ,t_{n}]$ $(R,{\mathfrak {m}})$

Размерность Крулла R.
Минимальное число генераторов -первичных идеалов. ${\mathfrak {m}}$
Размерность градуированного кольца (эквивалентно 1 плюс степень его полинома Гильберта ). $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$

Коммутативное кольцо R называется цепным , если для каждой пары простых идеалов существует конечная цепочка простых идеалов , которая является максимальной в том смысле, что невозможно вставить дополнительный простой идеал между двумя идеалами в цепочке, и все такие максимальные цепочки между и имеют одинаковую длину. Практически все нётеровы кольца, которые появляются в приложениях, являются цепными. Ратлифф доказал, что нётерова локальная область целостности R является цепной тогда и только тогда, когда для каждого простого идеала , ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'$ ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}'$ ${\mathfrak {p}}$

\operatorname {dim} R=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}

где высота . ^[3 ] $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$

Если R — целостная область, которая является конечно порожденной k -алгеброй, то ее размерность — это степень трансцендентности ее поля дробей над k . Если S — целостное расширение коммутативного кольца R , то S и R имеют одинаковую размерность.

Тесно связанными понятиями являются глубина и глобальная размерность . В общем случае, если R — нётерово локальное кольцо, то глубина R меньше или равна размерности R. Когда равенство выполняется, R называется кольцом Коэна–Маколея . Регулярное локальное кольцо является примером кольца Коэна–Маколея. Теорема Серра гласит, что R является регулярным локальным кольцом тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность, и в этом случае глобальная размерность является размерностью Крулля кольца R. Значение этого в том, что глобальная размерность является гомологическим понятием.

Морита эквивалентность

Два кольца R , S называются эквивалентными по Морите, если категория левых модулей над R эквивалентна категории левых модулей над S . Фактически, два коммутативных кольца, которые эквивалентны по Морите, должны быть изоморфны, поэтому это понятие не добавляет ничего нового к категории коммутативных колец. Однако коммутативные кольца могут быть эквивалентны по Морите некоммутативным кольцам, поэтому эквивалентность по Морите грубее изоморфизма. Эквивалентность по Морите особенно важна в алгебраической топологии и функциональном анализе.

Конечно-порожденный проективный модуль над кольцом и группой Пикара

Пусть R — коммутативное кольцо и множество классов изоморфизма конечно порождённых проективных модулей над R ; пусть также подмножества, состоящие из тех, которые имеют постоянный ранг n . (Ранг модуля M — это непрерывная функция . ^[4] ) обычно обозначается Pic( R ). Это абелева группа, называемая группой Пикара R . [ ^5] Если R — область целостности с полем частных F из R , то существует точная последовательность групп: ^[6] $\mathbf {P} (R)$ $\mathbf {P} _{n}(R)$ $\operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ $\mathbf {P} _{1}(R)$

1\to R^{*}\to F^{*}{\overset {f\mapsto fR}{\to }}\operatorname {Cart} (R)\to \operatorname {Pic} (R)\to 1

где — множество дробных идеалов R. Если R — регулярная область ( т.е. регулярная в любом простом идеале), то Pic(R) — это в точности группа классов делителей R. [ ^7] $\operatorname {Cart} (R)$

Например, если R — область главных идеалов, то Pic( R ) обращается в нуль. В алгебраической теории чисел R будет считаться кольцом целых чисел , которое является дедекиндовым и, следовательно, регулярным. Из этого следует, что Pic( R ) — это конечная группа ( конечность числа классов ), которая измеряет отклонение кольца целых чисел от того, чтобы быть PID.

Можно также рассмотреть групповое пополнение ; это приводит к коммутативному кольцу K ₀ (R). Обратите внимание, что K ₀ (R) = K ₀ (S), если два коммутативных кольца R , S эквивалентны по Морите. $\mathbf {P} (R)$

Структура некоммутативных колец

Структура некоммутативного кольца сложнее, чем у коммутативного кольца. Например, существуют простые кольца, которые не содержат нетривиальных собственных (двусторонних) идеалов, но содержат нетривиальные собственные левые или правые идеалы. Для коммутативных колец существуют различные инварианты, тогда как инварианты некоммутативных колец найти трудно. Например, нильрадикал кольца , множество всех нильпотентных элементов, не обязательно является идеалом, если только кольцо не является коммутативным. В частности, множество всех нильпотентных элементов в кольце всех матриц n × n над телом никогда не образует идеала, независимо от выбранного тела. Однако существуют аналоги нильрадикала, определенные для некоммутативных колец, которые совпадают с нильрадикалом, когда предполагается коммутативность.

Понятие радикала Джекобсона кольца; то есть пересечения всех правых (левых) аннуляторов простых правых (левых) модулей над кольцом, является одним из примеров. Тот факт, что радикал Джекобсона можно рассматривать как пересечение всех максимальных правых (левых) идеалов в кольце, показывает, как внутренняя структура кольца отражается его модулями. Также является фактом, что пересечение всех максимальных правых идеалов в кольце совпадает с пересечением всех максимальных левых идеалов в кольце, в контексте всех колец; независимо от того, является ли кольцо коммутативным.

Некоммутативные кольца являются активной областью исследований из-за их повсеместности в математике. Например, кольцо матриц n -на- n над полем некоммутативно, несмотря на его естественное возникновение в геометрии , физике и многих разделах математики. В более общем смысле, кольца эндоморфизмов абелевых групп редко бывают коммутативными, простейшим примером является кольцо эндоморфизмов четверной группы Клейна .

Одним из самых известных строго некоммутативных колец являются кватернионы .

Приложения

Кольцо целых чисел числового поля

Координатное кольцо алгебраического многообразия

Если X — аффинное алгебраическое многообразие , то множество всех регулярных функций на X образует кольцо, называемое координатным кольцом X. Для проективного многообразия существует аналогичное кольцо, называемое однородным координатным кольцом . Эти кольца по сути являются тем же самым, что и многообразия: они соответствуют по сути уникальным образом. Это можно увидеть либо с помощью Nullstellensatz Гильберта , либо с помощью схемно-теоретических конструкций ( т . е. Spec и Proj).

Кольцо инвариантов

Основной (и, возможно, самый фундаментальный) вопрос в классической теории инвариантов — найти и изучить многочлены в кольце многочленов , которые инвариантны относительно действия конечной группы (или, в более общем случае, редуктивной) G на V . Главным примером является кольцо симметрических многочленов : симметрические многочлены — это многочлены, которые инвариантны относительно перестановки переменных. Основная теорема о симметрических многочленах утверждает, что это кольцо есть , где — элементарные симметрические многочлены. $k[V]$ $R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]$ $\sigma _{i}$

История

Теория коммутативных колец возникла в алгебраической теории чисел, алгебраической геометрии и теории инвариантов . Центральными в развитии этих предметов были кольца целых чисел в полях алгебраических чисел и полях алгебраических функций, а также кольца многочленов от двух или более переменных. Теория некоммутативных колец началась с попыток распространить комплексные числа на различные гиперкомплексные числовые системы. Генезис теорий коммутативных и некоммутативных колец восходит к началу 19 века, тогда как их зрелость была достигнута только в третьем десятилетии 20 века.

Точнее, Уильям Роуэн Гамильтон выдвинул кватернионы и бикватернионы ; Джеймс Кокл представил тессарины и кокватернионы ; а Уильям Кингдон Клиффорд был энтузиастом расщепленных бикватернионов , которые он называл алгебраическими моторами . Эти некоммутативные алгебры и неассоциативные алгебры Ли изучались в рамках универсальной алгебры до того, как предмет был разделен на конкретные типы математических структур . Одним из признаков реорганизации было использование прямых сумм для описания алгебраической структуры.

Различные гиперкомплексные числа были отождествлены с кольцами матриц Джозефом Веддерберном (1908) и Эмилем Артином (1928). Структурные теоремы Веддерберна были сформулированы для конечномерных алгебр над полем, в то время как Артин обобщил их на артиновы кольца .

В 1920 году Эмми Нётер в сотрудничестве с В. Шмейдлером опубликовала статью о теории идеалов , в которой они определили левые и правые идеалы в кольце . В следующем году она опубликовала знаменательную статью под названием Idealtheorie in Ringbereichen , в которой анализировала условия возрастающей цепи относительно (математических) идеалов. Известный алгебраист Ирвинг Капланский назвал эту работу «революционной»; ^[8] публикация дала начало термину « нётерово кольцо », а несколько других математических объектов стали называть нётеровыми . ^[8]^[9]

Примечания

^ Гудэрл и Уорфилд (1989).
^ Мацумура 1989, Теорема 13.4
^ Мацумура 1989, Теорема 31.4
^ Weibel 2013, Глава I, Определение 2.2.3.
^ Weibel 2013, Определение, предшествующее предложению 3.2 в гл. I
^ Weibel 2013, Глава I, Предложение 3.5.
^ Weibel 2013, Ch I, Следствие 3.8.1
^ Кимберлинг 1981, стр. 18.
^ Дик, Огюст (1981), Эмми Нётер: 1882–1935 , перевод Блохера, HI, Birkhäuser , ISBN 3-7643-3019-8, стр. 44–45.

Ссылки

Алленби, RBJT (1991), Кольца, поля и группы (второе издание), Эдвард Арнольд, Лондон, стр. xxvi+383, ISBN 0-7131-3476-3, МР 1144518
Блит, ТС; Робертсон, ЭФ (1985), Группы, кольца и поля: алгебра через практику, Книга 3 , Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-27288-2
Фейт, Карл (1999), Кольца и вещи и прекрасный массив ассоциативной алгебры двадцатого века , Математические обзоры и монографии, т. 65, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0993-8, г-н 1657671
Гудэрл, К. Р.; Уорфилд, Р. Б. младший (1989), Введение в некоммутативные нётеровы кольца , Студенческие тексты Лондонского математического общества, т. 16, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-36086-2, МР 1020298
Джадсон, Томас В. (1997), Абстрактная алгебра: теория и приложения
Кимберлинг, Кларк (1981), «Эмми Нётер и её влияние», в Brewer, James W; Smith, Martha K (ред.), Эмми Нётер: дань уважения её жизни и работе , Марсель Деккер , стр. 3–61
Лэм, TY (1999), Лекции по модулям и кольцам , Graduate Texts in Mathematics, т. 189, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 0-387-98428-3, г-н 1653294
Лэм, TY (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Graduate Texts in Mathematics, т. 131 (второе издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, г-н 1838439
Лэм, TY (2003), Упражнения по классической теории колец , Сборник задач по математике (второе изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-00500-5, МР 2003255
Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8 (второе издание), Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6, МР 1011461
Макконнелл, Дж. К.; Робсон, Дж. К. (2001), Некоммутативные нётеровы кольца , Graduate Studies in Mathematics, т. 30, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, doi : 10.1090/gsm/030, ISBN 0-8218-2169-5, г-н 1811901
О'Коннор, Дж. Дж.; Робертсон, Э. Ф. (сентябрь 2004 г.), «Развитие теории колец», Архив истории математики MacTutor
Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры , Graduate Texts in Mathematics, т. 88, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90693-2, МР 0674652
Роуэн, Луис Х. (1988), Теория колец, т. I , Чистая и прикладная математика, т. 127, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 0-12-599841-4, МР 0940245. Том II, Чистая и прикладная математика 128, ISBN 0-12-599842-2 .
Вайбель, Чарльз А. (2013), K-book: Введение в алгебраическую K-теорию, Graduate Studies in Mathematics, т. 145, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-9132-2, МР 3076731