В исчислении тест производной использует производные функции для определения критических точек функции и определения, является ли каждая точка локальным максимумом , локальным минимумом или седловой точкой . Тесты производной также могут дать информацию о вогнутости функции.
Полезность производных для нахождения экстремумов математически доказана теоремой Ферма о стационарных точках .
Тест первой производной проверяет монотонные свойства функции (где функция возрастает или убывает ), фокусируясь на определенной точке в ее области определения . Если функция «переключается» с возрастания на убывание в точке, то функция достигнет наибольшего значения в этой точке. Аналогично, если функция «переключается» с убывания на возрастание в точке, то она достигнет наименьшего значения в этой точке. Если функция не «переключается» и остается возрастающей или убывающей, то никакого наибольшего или наименьшего значения не достигается.
Можно исследовать монотонность функции без исчисления. Однако исчисление обычно полезно, поскольку существуют достаточные условия , гарантирующие указанные выше свойства монотонности, и эти условия применимы к подавляющему большинству функций, с которыми можно столкнуться.
Точнее говоря, предположим, что f — действительная функция, определенная на некотором открытом интервале, содержащем точку x, и предположим далее, что f непрерывна в точке x .
Обратите внимание, что в первом случае f не обязательно должна строго возрастать или строго убывать слева или справа от x , тогда как в последнем случае f обязательно должна строго возрастать или строго убывать. Причина в том, что в определении локального максимума и минимума неравенство не обязательно должно быть строгим: например, каждое значение постоянной функции считается как локальным максимумом, так и локальным минимумом.
Тест первой производной зависит от "теста возрастания-убывания", который сам по себе в конечном итоге является следствием теоремы о среднем значении . Это прямое следствие способа определения производной и ее связи с уменьшением и увеличением функции локально, в сочетании с предыдущим разделом.
Предположим, что f — это вещественная функция вещественной переменной, определенная на некотором интервале, содержащем критическую точку a. Далее предположим, что f непрерывна в a и дифференцируема на некотором открытом интервале , содержащем a , за исключением, возможно, самой a .
Опять же, в соответствии с комментариями в разделе о свойствах монотонности, отметим, что в первых двух случаях неравенство не обязательно должно быть строгим, тогда как в третьем случае строгое неравенство обязательно.
Тест первой производной полезен при решении задач оптимизации в физике, экономике и инженерии. В сочетании с теоремой об экстремальном значении его можно использовать для нахождения абсолютного максимума и минимума действительной функции, определенной на замкнутом и ограниченном интервале. В сочетании с другой информацией, такой как вогнутость, точки перегиба и асимптоты , его можно использовать для построения графика функции .
После установления критических точек функции тест второй производной использует значение второй производной в этих точках, чтобы определить, являются ли такие точки локальным максимумом или локальным минимумом . [1] Если функция f дважды дифференцируема в критической точке x (т. е. точке, где f ′ ( x ) = 0), то:
В последнем случае теорему Тейлора иногда можно использовать для определения поведения f вблизи x с использованием высших производных .
Предположим, что (доказательство для аналогично). По предположению, . Тогда
Таким образом, для достаточно малого h получаем
что означает, что если (интуитивно, f убывает по мере приближения слева), и что если (интуитивно, f увеличивается по мере приближения справа от x ). Теперь, по тесту первой производной , имеет локальный минимум при .
Связанное, но отличное использование вторых производных заключается в определении того, является ли функция вогнутой вверх или вогнутой вниз в точке. Однако это не дает информации о точках перегиба . В частности, дважды дифференцируемая функция f является вогнутой вверх, если и вогнутой вниз, если . Обратите внимание, что если , то имеет нулевую вторую производную, но не является точкой перегиба, поэтому вторая производная сама по себе не дает достаточной информации для определения того, является ли заданная точка точкой перегиба.
Тест производной высшего порядка или общий тест производной способен определить, являются ли критические точки функции максимумами, минимумами или точками перегиба для более широкого спектра функций, чем тест производной второго порядка. Как показано ниже, тест производной второго порядка математически идентичен особому случаю n = 1 в тесте производной высшего порядка.
Пусть f — вещественная, достаточно дифференцируемая функция на интервале , пусть , и пусть — натуральное число . Также пусть все производные f в точке c равны нулю до n -й производной включительно, но при этом ( n + 1)-я производная не равна нулю:
Существует четыре возможности: первые два случая, когда c является экстремумом, вторые два случая, когда c является (локальной) седловой точкой:
Поскольку n должно быть либо нечетным, либо четным, этот аналитический тест классифицирует любую стационарную точку f , если в конечном итоге появляется ненулевая производная.
Допустим, мы хотим выполнить общий тест производной функции в точке . Для этого мы вычисляем производные функции, а затем оцениваем их в интересующей точке до тех пор, пока результат не станет ненулевым.
Как показано выше, в точке функция имеет все свои производные в точке 0, равные 0, за исключением 6-й производной, которая положительна. Таким образом, n = 5, и по тесту существует локальный минимум в точке 0.
Для функции более чем одной переменной тест второй производной обобщается до теста, основанного на собственных значениях матрицы Гессе функции в критической точке. В частности, если предположить, что все частные производные второго порядка функции f непрерывны в окрестности критической точки x , то если все собственные значения матрицы Гессе в точке x положительны, то x является локальным минимумом. Если все собственные значения отрицательны, то x является локальным максимумом, а если некоторые из них положительны, а некоторые отрицательны, то точка является седловой . Если матрица Гессе является сингулярной , то тест второй производной не дает окончательного результата.
