Теорема об экстремальном значении

Continuous real function on a closed interval has a maximum and a minimum

Непрерывная функция на замкнутом интервале, показывающая абсолютный максимум (красный) и абсолютный минимум (синий). ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

В исчислении теорема об экстремальном значении гласит, что если вещественная функция непрерывна на замкнутом и ограниченном интервале , то она должна достигать максимума и минимума , каждый по крайней мере один раз. То есть существуют числа и в такие, что : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle f(c)\leq f(x)\leq f(d)\quad \forall x\in [a,b].}$$

Теорема об экстремальном значении более конкретна, чем связанная с ней теорема об ограниченности , которая просто утверждает, что непрерывная функция на замкнутом интервале ограничена на этом интервале; то есть существуют действительные числа и такие, что: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b].}$$

Это не означает, что и обязательно являются максимальным и минимальным значениями на интервале , что и предполагает теорема об экстремальных значениях. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b],}$

Теорема об экстремальном значении используется для доказательства теоремы Ролля . В формулировке Карла Вейерштрасса эта теорема утверждает, что непрерывная функция из непустого компактного пространства в подмножество действительных чисел достигает максимума и минимума.

История

Теорема об экстремальном значении была первоначально доказана Бернардом Больцано в 1830-х годах в работе «Теория функций», но работа оставалась неопубликованной до 1930 года. Доказательство Больцано состояло в том, чтобы показать, что непрерывная функция на замкнутом интервале ограничена, а затем показать, что функция достигает максимального и минимального значения. Оба доказательства включали то, что сегодня известно как теорема Больцано–Вейерштрасса . ^[1]

Функции, к которым теорема неприменима

Следующие примеры показывают, почему область определения функции должна быть замкнутой и ограниченной для того, чтобы теорема была применима. Ни один из них не достигает максимума на заданном интервале.

1. ${\displaystyle f(x)=x}$определено более, чем не ограничено сверху. ${\displaystyle [0,\infty )}$
2. ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+x}}}$определено над ограничено, но не достигает своей точной верхней границы . ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle 1}$
3. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$определено более, чем не ограничено сверху. ${\displaystyle (0,1]}$
4. ${\displaystyle f(x)=1-x}$определено над ограничено, но никогда не достигает своей наименьшей верхней границы . ${\displaystyle (0,1]}$ ${\displaystyle 1}$

Определение в последних двух примерах показывает, что обе теоремы требуют непрерывности на . ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Обобщение на метрические и топологические пространства

При переходе от действительной прямой к метрическим пространствам и общим топологическим пространствам соответствующим обобщением замкнутого ограниченного интервала является компактное множество . Множество называется компактным, если оно обладает следующим свойством: из любого набора открытых множеств, такого что , можно выбрать конечный поднабор, такой что . Обычно это кратко формулируется как «каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие». Теорема Гейне–Бореля утверждает, что подмножество действительной прямой компактно тогда и только тогда, когда оно одновременно замкнуто и ограничено. Соответственно, метрическое пространство обладает свойством Гейне–Бореля, если каждое замкнутое и ограниченное множество также компактно. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\textstyle \bigcup U_{\alpha }\supset K}$ ${\displaystyle U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}}$ ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}U_{\alpha _{i}}\supset K}$ ${\displaystyle K}$

Понятие непрерывной функции может быть также обобщено. При наличии топологических пространств функция называется непрерывной, если для каждого открытого множества , также открыто. При наличии этих определений можно показать, что непрерывные функции сохраняют компактность: ^[2] ${\displaystyle V,\ W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle U\subset W}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)\subset V}$

Теорема  —  Если — топологические пространства, — непрерывная функция и — компакт, то — также компакт. ${\displaystyle V,\ W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle K\subset V}$ ${\displaystyle f(K)\subset W}$

В частности, если , то эта теорема подразумевает, что замкнуто и ограничено для любого компактного множества , что в свою очередь подразумевает, что достигает своей супремума и инфимума на любом (непустом) компактном множестве . Таким образом, мы имеем следующее обобщение теоремы об экстремальном значении: ^[2] ${\displaystyle W=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$

Теорема  —  Если — непустой компакт и — непрерывная функция, то — ограничено и существуют такие, что и . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:K\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p,q\in K}$ ${\displaystyle f(p)=\sup _{x\in K}f(x)}$ ${\displaystyle f(q)=\inf _{x\in K}f(x)}$

В более общем случае это справедливо и для полунепрерывной сверху функции. (см. компактное пространство#Функции и компактные пространства ).

Доказательство теорем

Рассмотрим доказательство для верхней границы и максимума . Применяя эти результаты к функции , следует существование нижней границы и результат для минимума . Также обратите внимание, что все в доказательстве выполняется в контексте действительных чисел . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -f}$ ${\displaystyle f}$

Сначала мы докажем теорему об ограниченности, которая является шагом в доказательстве теоремы об экстремальном значении. Основные шаги, включенные в доказательство теоремы об экстремальном значении, следующие:

1. Докажите теорему об ограниченности.
2. Найдите последовательность, образ которой сходится к супремуму . ${\displaystyle f}$
3. Покажите, что существует подпоследовательность , которая сходится к точке в области .
4. Используя непрерывность, покажите, что образ подпоследовательности сходится к супремуму.

Доказательство теоремы об ограниченности

Теорема об ограниченности  —  Если непрерывна на , то она ограничена на ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle [a,b].}$

Доказательство

Предположим, что функция не ограничена сверху на интервале . Тогда для каждого натурального числа существует такое , что . Это определяет последовательность . Поскольку ограничена, теорема Больцано–Вейерштрасса подразумевает, что существует сходящаяся подпоследовательность . Обозначим ее предел через . Так как замкнута, она содержит . Поскольку непрерывна в , мы знаем, что сходится к действительному числу (так как последовательно непрерывна в ). Но для любого , что подразумевает, что расходится к , противоречие. Следовательно, ограничена сверху на .  ∎ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\in [a,b]}$ ${\displaystyle f(x_{n})>n}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle ({x_{n}})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})>n_{k}\geq k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Альтернативное доказательство

Рассмотрим множество точек в , такое что ограничено на . Заметим, что — одна из таких точек, для ограничено на значением . Если — другая точка, то все точки между и также принадлежат . Другими словами — это интервал, замкнутый на левом конце значением . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,p]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,a]}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle e>a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$

Теперь непрерывна справа при , следовательно, существует такое, что для всех из . Таким образом, ограничена и на интервале так, что все эти точки принадлежат . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,a+\delta ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)-1}$ ${\displaystyle f(a)+1}$ ${\displaystyle [a,a+\delta ]}$ ${\displaystyle B}$

На данный момент мы знаем, что — интервал ненулевой длины, закрытый на левом конце числом . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$

Далее, ограничено сверху . Следовательно, множество имеет супремум в  ; назовем его . Из ненулевой длины можно вывести, что . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle s>a}$

Предположим , что . Теперь непрерывно при , следовательно, существует такое, что для всех в , так что ограничено на этом интервале. Но из превосходства следует , что существует точка, принадлежащая , скажем, которая больше . Таким образом, ограничено на , которое перекрывается , так что ограничено на . Однако это противоречит превосходству . ${\displaystyle s<b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(s)|<1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle s-\delta /2}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,e]}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,s+\delta ]}$ ${\displaystyle s}$

Поэтому мы должны иметь . Теперь непрерывна слева при , следовательно, существует такое, что для всех в , так что ограничена на этом интервале. Но из превосходства следует , что существует точка, принадлежащая , скажем, которая больше . Таким образом, ограничена на , которая перекрывается , так что ограничена на .   ∎ ${\displaystyle s=b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(s)|<1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle s-\delta /2}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,e]}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,s]}$

Доказательства теоремы об экстремальном значении

Доказательство теоремы об экстремальном значении

По теореме об ограниченности f ограничена сверху, следовательно, по полноте по Дедекинду действительных чисел, точная верхняя граница (супремум) M функции f существует. Необходимо найти точку d в [ a , b ] такую, что M = f ( d ). Пусть n — натуральное число. Так как M — точная верхняя граница, M – 1/ n не является верхней границей для f . Следовательно, существует d _n в [ a , b ] такой, что M – 1/ n < f ( d _n ). Это определяет последовательность { d _n }. Поскольку M — верхняя граница для f , то M – 1/ n < f ( d _n ) ≤ M для всех n . Следовательно, последовательность { f ( d _n )} сходится к M .

Теорема Больцано –Вейерштрасса гласит, что существует подпоследовательность { }, которая сходится к некоторому d и, поскольку [ a , b ] замкнуто, d принадлежит [ a , b ]. Поскольку f непрерывна в d , последовательность { f ( )} сходится к f ( d ). Но { f ( d _{n k} )} является подпоследовательностью { f ( d _n )} , которая сходится к M , поэтому M = f ( d ). Следовательно, f достигает своей верхней границы M в d .  ∎ ${\displaystyle d_{n_{k}}}$ ${\displaystyle d_{n_{k}}}$

Альтернативное доказательство теоремы об экстремальном значении

Множество { y ∈ R  : y = f ( x ) для некоторого x ∈ [ a , b ]} является ограниченным множеством. Следовательно, его наименьшая верхняя граница существует по свойству наименьшей верхней границы действительных чисел. Пусть M = sup( f ( x ))  на  [ a , b ] . Если на [ a ,  b ] нет точки x такой, что f ( x ) =  M , то f ( x ) < M на [ a ,  b ]. Следовательно, 1/( M − f ( x )) непрерывно на [ a , b ].

Однако для каждого положительного числа ε всегда существует некоторый x в [ a ,  b ] такой, что M − f ( x ) < ε , поскольку M является наименьшей верхней границей. Следовательно, 1/( M − f ( x )) > 1/ ε , что означает, что 1/( M − f ( x )) не ограничена. Поскольку каждая непрерывная функция на [ a , b ] ограничена, это противоречит выводу о том, что 1/( M − f ( x )) была непрерывной на [ a ,  b ]. Следовательно, должна быть точка x в [ a ,  b ] такая, что f ( x ) =  M. ∎

Доказательство с использованием гиперреалов

Доказательство

В условиях нестандартного исчисления пусть N   будет бесконечным гиперцелым числом . Интервал [0, 1] имеет естественное гипердействительное расширение. Рассмотрим его разбиение на N подынтервалов одинаковой бесконечно малой длины 1/ N с точками разбиения x _i  = i  / N , когда i «бежит» от 0 до N. Функция ƒ   также естественным образом расширяется до функции ƒ *, определенной на гипердействительных числах между 0 и 1. Обратите внимание, что в стандартных условиях (когда N   конечно) точка с максимальным значением ƒ всегда может быть выбрана среди N +1 точек x _i по индукции. Следовательно, по принципу переноса существует гиперцелое число i ₀ такое, что 0 ≤ i ₀  ≤ N и   для всех i  = 0, ...,  N. Рассмотрим действительную точку , где st — стандартная частичная функция . Произвольная вещественная точка x лежит в подходящем подынтервале разбиения, а именно , так что  st ( x _i ) = x . Применяя st к неравенству , получаем . В силу непрерывности ƒ   имеем ${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$ $${\displaystyle c=\mathbf {st} (x_{i_{0}})}$$ ${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$ ${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$ ${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))\geq \mathbf {st} (f^{*}(x_{i}))}$

${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))=f(\mathbf {st} (x_{i_{0}}))=f(c)}$.

Следовательно, ƒ ( c ) ≥ ƒ ( x ) для всех действительных x , что доказывает, что c является максимумом ƒ . ^[3] ∎

Доказательство из первых принципов

Утверждение      Если непрерывно на , то оно достигает своей супремума на ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Доказательство

По теореме об ограниченности ограничено сверху на и по свойству полноты действительных чисел имеет супремум в . Назовем его , или . Ясно, что ограничение на подынтервал , где имеет супремум , который меньше или равен , и который возрастает от до при увеличении от до . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,x]}$ ${\displaystyle x\leq b}$ ${\displaystyle M[a,x]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[a,x]}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Если то мы закончили. Предположим поэтому, что и пусть . Рассмотрим множество точек в такое, что . ${\displaystyle f(a)=M}$ ${\displaystyle f(a)<M}$ ${\displaystyle d=M-f(a)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle M[a,x]<M}$

Ясно , что  ; более того, если есть другая точка в , то все точки между и также принадлежат , поскольку монотонно возрастает. Следовательно, есть непустой интервал, замкнутый на левом конце . ${\displaystyle a\in L}$ ${\displaystyle e>a}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M[a,x]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle a}$

Теперь непрерывна справа при , следовательно, существует такое, что для всех из . Таким образом, меньше на интервале , так что все эти точки принадлежат . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<d/2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,a+\delta ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M-d/2}$ ${\displaystyle [a,a+\delta ]}$ ${\displaystyle L}$

Далее, ограничено сверху и имеет, следовательно, супремум в : назовем его . Из вышесказанного видно, что . Покажем, что это искомая нами точка, т.е. точка, в которой достигает своего супремума, или, другими словами . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s>a}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(s)=M}$

Предположим противное, а именно . Пусть и рассмотрим следующие два случая: ${\displaystyle f(s)<M}$ ${\displaystyle d=M-f(s)}$

1. ${\displaystyle s<b}$. Так как непрерывна при , то существует такое, что для всех в . Это означает, что меньше на интервале . Но из превосходства следует , что существует точка, скажем, принадлежащая , которая больше . По определению , . Пусть тогда для всех в , . Принимая за минимум и , имеем для всех в . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M-d/2}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta ]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s-\delta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M[a,e]<M}$ ${\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,e]}$ ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle d/2}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,s+\delta ]}$
   Следовательно, так что . Однако это противоречит превосходству и завершает доказательство. ${\displaystyle M[a,s+\delta ]<M}$ ${\displaystyle s+\delta \in L}$ ${\displaystyle s}$
2. ${\displaystyle s=b}$. Так как непрерывна слева при , то существует такое, что для всех в . Это означает, что меньше, чем на интервале . Но из превосходства следует , что существует точка, скажем, принадлежащая , которая больше, чем . По определению , . Пусть тогда для всех в , . Принимая за минимум и , имеем для всех в . Это противоречит превосходству и завершает доказательство. ∎ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M-d/2}$ ${\displaystyle [s-\delta ,s]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s-\delta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M[a,e]<M}$ ${\displaystyle d_{1}=M-M[a,e]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,e]}$ ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle d/2}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle M}$

Расширение до полунепрерывных функций

Если непрерывность функции f ослабляется до полунепрерывности , то соответствующая половина теоремы об ограниченности и теоремы об экстремальном значении справедливы, и значения –∞ или +∞ соответственно из расширенной действительной числовой прямой могут быть допущены в качестве возможных значений. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Функция называется полунепрерывной сверху, если ${\displaystyle f:[a,b]\to [-\infty ,\infty )}$ $${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)\quad \forall x\in [a,b].}$$

Теорема  —  Если функция f  : [ a , b ] → [–∞, ∞) полунепрерывна сверху, то f ограничена сверху и достигает своей супремума.

Доказательство

Если для всех x из [ a , b ], то супремум также равен и теорема верна. Во всех остальных случаях доказательство является небольшой модификацией доказательств, приведенных выше. В доказательстве теоремы об ограниченности верхняя полунепрерывность f в точке x означает только то, что верхний предел подпоследовательности { f ( x _{n k} )} ограничен сверху значением f ( x ) < ∞, но этого достаточно, чтобы получить противоречие. В доказательстве теоремы об экстремальном значении верхняя полунепрерывность f в точке d означает, что верхний предел подпоследовательности { f ( d _{n k} )} ограничен сверху значением f ( d ), но этого достаточно, чтобы заключить, что f ( d ) = M .  ∎ ${\displaystyle f(x)=-\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Применение этого результата к − f доказывает аналогичный результат для инфимумов нижних полунепрерывных функций. Функция называется нижней полунепрерывной, если ${\displaystyle f:[a,b]\to [-\infty ,\infty )}$ $${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)\quad \forall x\in [a,b].}$$

Теорема  —  Если функция f  : [ a , b ] → (–∞, ∞] полунепрерывна снизу, то f ограничена снизу и достигает своей нижней грани .

Действительная функция полунепрерывна как сверху, так и снизу, если и только если она непрерывна в обычном смысле. Следовательно, эти две теоремы влекут за собой теорему об ограниченности и теорему об экстремальном значении.

Ссылки

1. Rusnock, Paul; Kerr-Lawson, Angus (2005). «Больцано и равномерная непрерывность». Historia Mathematica . 32 (3): 303–311. doi :10.1016/j.hm.2004.11.003.
2. Rudin, Walter (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: McGraw Hill. С. 89–90. ISBN 0-07-054235-X.
3. Кейслер, Х. Джером (1986). Элементарное исчисление: подход к бесконечно малым (PDF) . Бостон: Prindle, Weber & Schmidt. стр. 164. ISBN 0-87150-911-3.

Дальнейшее чтение

• Адамс, Роберт А. (1995). Исчисление: Полный курс . Чтение: Addison-Wesley. стр. 706–707. ISBN 0-201-82823-5.
• Protter, MH ; Morrey, CB (1977). «Теоремы об ограниченности и экстремальных значениях». Первый курс по реальному анализу . Нью-Йорк: Springer. С. 71–73. ISBN 0-387-90215-5.

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы об экстремальном значении в Cut-the-Knot
• Теорема об экстремальных значениях Жаклин Вандзура с дополнительным вкладом Стивена Вандзуры, Wolfram Demonstrations Project .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема об экстремальных значениях». MathWorld .
• Доказательство системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15