Синусоидальная плоская волна

В физике синусоидальная плоская волна — это частный случай плоской волны : поле , значение которого меняется как синусоидальная функция времени и расстояния от некоторой фиксированной плоскости. Ее также называют монохроматической плоской волной с постоянной частотой (как в монохроматическом излучении ).

Базовое представление

Для любой позиции в пространстве и в любое время значение такого поля можно записать как ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi \right)}$$

вектор единичной длинынаправление распространенияскалярное произведениеамплитудойпространственная частотаначальной фазойфазовым сдвигом ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \varphi }$

Скалярная величина дает (со знаком) смещение точки от плоскости, которая перпендикулярна началу системы координат и проходит через него. Эта величина постоянна в каждой плоскости, перпендикулярной . ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

Во время поле изменяется со смещением как синусоидальная функция ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle F({\vec {x}},0)=A\cos \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}})+\varphi \right)}$$

${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle c}$

Для каждого смещения движущаяся плоскость, перпендикулярная на расстоянии от начала координат, называется волновым фронтом . Эта плоскость лежит на расстоянии от начала координат при и движется в направлении также со скоростью ; и тогда значение поля будет одинаковым и постоянным во времени в каждой его точке. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle d+ct}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle c}$

Синусоидальная плоская волна может быть подходящей моделью звуковой волны в объеме воздуха, малом по сравнению с расстоянием до источника (при условии, что нет эха от близких объектов). В этом случае это будет скалярное поле, отклонение давления воздуха в определенный момент времени от нормального уровня. ${\displaystyle F({\vec {x}},t)\,}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$

В любой фиксированной точке поле также будет изменяться со временем синусоидально; это будет скалярное кратное амплитуды между и ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle +A}$ ${\displaystyle -A}$

Когда амплитуда является вектором, ортогональным , волна называется поперечной . Такие волны могут иметь поляризацию , если могут быть ориентированы по двум неколлинеарным направлениям. Если вектор коллинеарен с , то волна называется продольной . Эти две возможности иллюстрируются S-волнами (поперечными) и P-волнами (давления), изучаемыми в сейсмологии . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

Приведенная выше формула дает чисто «кинематическое» описание волны без ссылки на какой-либо физический процесс, который может вызывать ее движение. В механической или электромагнитной волне, распространяющейся через изотропную среду, вектор кажущегося распространения волны также является направлением, в котором фактически течет энергия или импульс. Однако в анизотропной среде эти два направления могут быть разными . (См. Также: Волновой вектор # Направление волнового вектора .) ${\displaystyle {\hat {n}}}$

Альтернативные представления

Ту же самую синусоидальную плоскую волну, описанную выше, также можно выразить через синус вместо косинуса, используя элементарное тождество ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \cos a=\sin(a+\pi /2)}$

$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi '\right)}$$

${\displaystyle \varphi '=\varphi +\pi /2}$

Добавление любого целого числа, кратного , к начальной фазе не влияет на поле. Добавление нечетного числа, кратного , имеет тот же эффект, что и отрицание амплитуды . Назначение отрицательного значения пространственной частоты приводит к изменению направления распространения с соответствующей регулировкой начальной фазы. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu }$

При времени, равном нулю, положительный фазовый сдвиг приводит к смещению волны влево.

По мере увеличения t волна движется вправо, и значение в данной точке x колеблется синусоидально .

Анимация 3D плоской волны. Каждый цвет представляет собой отдельную фазу волны.

Формулу синусоидальной плоской волны можно записать и несколькими другими способами:

• $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi [({\vec {x}}\cdot {\hat {n}})/\lambda -t/T]+\varphi )}$$
  Вот длина волны , расстояние между двумя волновыми фронтами, где поле равно амплитуде ; и представляет собой период изменения поля во времени, наблюдаемый в любой фиксированной точке пространства. Ее обратной величиной является временная частота волны, измеряемая в полных циклах в единицу времени. ${\displaystyle \lambda =1/\nu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T=\lambda /c}$ ${\displaystyle f=1/T}$
• $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos(k({\vec {x}}\cdot {\hat {n}})-\omega t+\varphi )}$$
  Здесь есть параметр, называемый угловым волновым числом (измеряется в радианах на единицу длины), а — угловая частота изменения в фиксированной точке (в радианах на единицу времени). ${\displaystyle k=2\pi \nu =2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$
• $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi ({\vec {x}}\cdot {\vec {\nu }})-\omega t+\varphi )}$$
  где - вектор пространственной частоты или волновой вектор , трехмерный вектор , где - количество полных циклов, происходящих на единицу длины в любой фиксированный момент времени вдоль любой прямой, параллельной оси координат . ${\displaystyle {\vec {\nu }}=\nu {\hat {n}}={\hat {n}}/\lambda }$ ${\displaystyle {\vec {\nu }}=(\nu _{1},\nu _{2},\nu _{3})}$ ${\displaystyle \nu _{i}}$ ${\displaystyle i}$

Сложная экспоненциальная форма

Плоскую синусоидальную волну также можно выразить через комплексную показательную функцию

$${\displaystyle e^{\mathrm {i} z}=\exp(\mathrm {i} z)=\cos z+\mathrm {i} \sin z}$$

основаниепоказательной функциимнимая единица я 2 знак равно - 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1} сложную экспоненциальную плоскую волну ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$

$${\displaystyle U({\vec {x}},t)\;=\;A\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi )]\;=\;A\exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]}$$

комплексное число ${\displaystyle A,\nu ,{\hat {n}},c,{\vec {v}},\omega ,\varphi }$ ${\displaystyle U({\vec {x}},t)}$

$${\displaystyle F({\vec {x}},t)=\operatorname {Re} {\left[U({\vec {x}},t)\right]}}$$

Чтобы оценить связь этого уравнения с предыдущими, ниже приведено то же уравнение, выраженное с использованием синусов и косинусов. Обратите внимание, что первый член соответствует реальной форме только что обсуждавшейся плоской волны.

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccc}U({\vec {x}},t)&=&A\cos(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )&+&\mathrm {i} A\sin(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )\\[1ex]U({\vec {x}},t)&=&F({\vec {x}},t)&+&\mathrm {i} A\sin(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )\end{array}}}$$

Введенную комплексную форму плоской волны можно упростить, используя комплексную амплитуду, заменяющую вещественную амплитуду . В частности, поскольку комплексная форма ${\displaystyle C\,}$ ${\displaystyle A\,}$

$${\displaystyle \exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]\;=\;\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]\,e^{\mathrm {i} \varphi }}$$

фазовый коэффициенткомплексную амплитуду ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }}$ ${\displaystyle C=Ae^{\mathrm {i} \varphi }}$

$${\displaystyle U({\vec {x}},t)=C\exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t)]}$$

Хотя комплексная форма имеет мнимую составляющую, после выполнения необходимых вычислений в комплексной плоскости ее реальное значение (которое соответствует волне, которую можно фактически физически наблюдать или измерять) может быть извлечено, что дает уравнение с действительным знаком, представляющее реальную плоскую волну. .

$${\displaystyle \operatorname {Re} [U({\vec {x}},t)]=F({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )}$$

Основная причина, по которой предпочитают работать со сложной экспоненциальной формой плоских волн, заключается в том, что со сложными экспонентами часто алгебраически легче работать, чем с тригонометрическими синусами и косинусами. В частности, правила сложения углов для экспонент чрезвычайно просты.

Кроме того, при использовании методов анализа Фурье для волн в среде с потерями с результирующим затуханием легче справиться, используя сложные коэффициенты Фурье . Если волна распространяется через среду с потерями, амплитуда волны больше не является постоянной, и, следовательно, волна, строго говоря, больше не является настоящей плоской волной.

В квантовой механике решения волнового уравнения Шредингера по своей природе являются комплексными и в простейшем случае принимают форму, идентичную представлению комплексных плоских волн, приведенному выше. Однако мнимая составляющая в данном случае введена не в целях математической целесообразности, а фактически является неотъемлемой частью «волны».

В специальной теории относительности можно использовать еще более компактное выражение, используя четыре вектора .

• Четырехпозиционный​ ${\displaystyle {\vec {x}}=(ct,{\vec {x}})}$
• Четырехволновой вектор ${\displaystyle 2\pi \nu {\hat {n}}=\left({\frac {\omega }{c}},2\pi \nu {\hat {n}}\right)}$
• Скалярное произведение ${\displaystyle 2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}=\omega t-2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$

Таким образом,

$${\displaystyle U({\vec {x}},t)=C\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]}$$

$${\displaystyle U({\vec {x}})=C\exp[-\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}})]}$$

Приложения

Уравнения, описывающие электромагнитное излучение в однородной диэлектрической среде, допускают в качестве специальных решений плоские синусоидальные волны. В электромагнетизме поле обычно представляет собой электрическое поле , магнитное поле или векторный потенциал , который в изотропной среде перпендикулярен направлению распространения . Тогда амплитуда представляет собой вектор той же природы, равный полю максимальной силы. Скорость распространения будет равна скорости света в среде. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$

Уравнения, описывающие колебания однородного упругого твердого тела, допускают также решения в виде синусоидальных плоских волн, как поперечных, так и продольных. Эти два типа имеют разные скорости распространения, которые зависят от плотности и параметров Ламе среды.

Тот факт, что среда налагает скорость распространения, означает, что параметры и должны удовлетворять дисперсионному соотношению, характерному для среды. Дисперсионное соотношение часто выражается как функция . Отношение дает величину фазовой скорости , а производная дает групповую скорость . Для электромагнетизма в изотропной среде с показателем преломления фазовая скорость равна , что равно групповой скорости, если показатель не зависит от частоты. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega (k)}$ ${\displaystyle \omega /|k|}$ ${\displaystyle \partial \omega /\partial k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c/r}$

В линейных однородных средах общее решение волнового уравнения может быть выражено как суперпозиция синусоидальных плоских волн. Этот подход известен как метод углового спектра . Форма плосковолнового решения на самом деле является общим следствием трансляционной симметрии . В более общем смысле, для периодических структур, имеющих дискретную трансляционную симметрию, решения принимают форму волн Блоха , наиболее известных в кристаллических атомных материалах, но также в фотонных кристаллах и других периодических волновых уравнениях. В качестве другого обобщения для структур, которые однородны только в одном направлении (например, волновод вдоль направления), решения (моды волновода) имеют вид, умноженный на некоторую амплитудную функцию . Это частный случай сепарабельного уравнения в частных производных . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle exp[i(kx-\omega t)]}$ ${\displaystyle a(y,z)}$

Поляризованные электромагнитные плоские волны

Блоки векторов показывают, насколько величина и направление электрического поля постоянны для всей плоскости, перпендикулярной направлению движения.

На первой иллюстрации справа изображена линейно поляризованная электромагнитная волна . Поскольку это плоская волна, каждый синий вектор , указывающий перпендикулярное смещение от точки на оси к синусоидальной волне, представляет величину и направление электрического поля для всей плоскости, перпендикулярной оси.

На второй иллюстрации представлена ​​плоская электромагнитная волна с круговой поляризацией . Каждый синий вектор, указывающий перпендикулярное смещение от точки оси к спирали, также представляет величину и направление электрического поля для всей плоскости, перпендикулярной оси.

На обеих иллюстрациях вдоль осей расположен ряд более коротких синих векторов, которые представляют собой уменьшенные версии более длинных синих векторов. Эти более короткие синие векторы экстраполируются в блок черных векторов, заполняющих объем пространства. Обратите внимание, что для данной плоскости черные векторы идентичны, что указывает на то, что величина и направление электрического поля постоянны вдоль этой плоскости.

В случае линейно поляризованного света напряженность поля от плоскости к плоскости меняется от максимума в одном направлении до нуля, а затем снова возрастает до максимума в противоположном направлении.

В случае света с круговой поляризацией напряженность поля остается постоянной от плоскости к плоскости, но ее направление постоянно меняется по типу вращения.

Ни на одной из иллюстраций не указано соответствующее электрическому полю магнитное поле , которое пропорционально напряженности электрическому полю в каждой точке пространства, но расположено к нему под прямым углом. Иллюстрации векторов магнитного поля были бы практически идентичны этим, за исключением того, что все векторы были бы повернуты на 90 градусов вокруг оси распространения так, чтобы они были перпендикулярны как направлению распространения, так и вектору электрического поля.

Отношение амплитуд компонент электрического и магнитного поля плоской волны в свободном пространстве известно как волновое сопротивление свободного пространства , равное 376,730313 Ом.

Смотрите также

• Метод углового спектра
• Коллимированный луч
• Плоские волны в вакууме
• Плосковолновое расширение
• Прямолинейное распространение
• Волновое уравнение

Рекомендации

• Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика (Wiley: Нью-Йорк, 1998).
• Л. М. Бреховских, "Волны в слоистых средах", Серия: Прикладная математика и механика, Т. 16, (Академик Пресс, 1980).