Пространство последовательности

Вектор пространства бесконечных последовательностей

В функциональном анализе и смежных областях математики пространство последовательностей — это векторное пространство , элементами которого являются бесконечные последовательности действительных или комплексных чисел . Эквивалентно, это функциональное пространство , элементами которого являются функции из натурального ряда в поле K действительных или комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всех возможных бесконечных последовательностей с элементами из K и может быть превращено в векторное пространство с помощью операций поточечного сложения функций и поточечного скалярного умножения. Все пространства последовательностей являются линейными подпространствами этого пространства. Пространства последовательностей обычно снабжены нормой или , по крайней мере, структурой топологического векторного пространства .

Наиболее важными пространствами последовательностей в анализе являются пространства ℓ ^p , состоящие из последовательностей, суммируемых в степени p , с нормой p . Это особые случаи пространств L p для меры подсчета на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или нулевые последовательности, образуют пространства последовательностей, обозначаемые соответственно c и c ₀ , с нормой sup . Любое пространство последовательностей также может быть снабжено топологией поточечной сходимости , при которой оно становится особым видом пространства Фреше, называемым FK-пространством .

Определение

Последовательность в наборе — это просто -значное отображение, значение которого в обозначается вместо обычного обозначения в скобках ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x(n).}$

Пространство всех последовательностей

Пусть обозначает поле действительных или комплексных чисел. Множество всех последовательностей элементов является векторным пространством для покомпонентного сложения ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },}$

и покомпонентное скалярное умножение

${\displaystyle \alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$

Пространство последовательностей — это любое линейное подпространство ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$

Как топологическое пространство, естественно наделено топологией произведения . В этой топологии находится Фреше , что означает, что это полное , метризуемое , локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS). Однако эта топология довольно патологическая: на нет непрерывных норм (и, таким образом, топология произведения не может быть определена никакой нормой ). ^[1] Среди пространств Фреше минимально в том, что не имеет непрерывных норм: ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Теорема ^[1]  —  Пусть — пространство Фреше над Тогда следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

1. ${\displaystyle X}$не допускает непрерывной нормы (то есть любая непрерывная полунорма на имеет нетривиальное нулевое пространство). ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$содержит векторное подпространство TVS-изоморфное . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$
3. ${\displaystyle X}$содержит дополненное векторное подпространство TVS, изоморфное . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Но топология произведения также неизбежна: она не допускает строго более грубой хаусдорфовой, локально выпуклой топологии. ^[1] По этой причине изучение последовательностей начинается с нахождения строго линейного подпространства , представляющего интерес, и наделения его топологией, отличной от топологии подпространства . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

ℓ ппространства

Для — это подпространство, состоящее из всех последовательностей, удовлетворяющих ${\displaystyle 0<p<\infty ,}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ $${\displaystyle \sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .}$$

Если тогда вещественная функция на , определенная равенством , определяет норму на Фактически, является полным метрическим пространством относительно этой нормы и, следовательно, является банаховым пространством . ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}~=~\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\qquad {\text{ for all }}x\in \ell ^{p}}$$ ${\displaystyle \ell ^{p}.}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Если тогда также является гильбертовым пространством , наделенным своим каноническим внутренним произведением , называемым ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$Евклидово скалярное произведение , определяемое для всехкак Каноническая норма, индуцируемая этим скалярным произведением, является обычной-нормой, что означает, чтодля всех ${\displaystyle x_{\bullet },y_{\bullet }\in \ell ^{p}}$ $${\displaystyle \langle x_{\bullet },y_{\bullet }\rangle ~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}.}$$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \ell ^{p}.}$

Если тогда определяется как пространство всех ограниченных последовательностей, наделенное нормой, также является банаховым пространством. ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }~=~\sup _{n}|x_{n}|,}$$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Если тогда не несет нормы, а скорее метрики, определяемой ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ $${\displaystyle d(x,y)~=~\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.\,}$$

с,с0и с00

Сходящаяся последовательность — это любая последовательность, такая что существует. Множество ${\displaystyle x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle c}$всех сходящихся последовательностей есть векторное подпространство, называемое ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$пространство сходящихся последовательностей . Поскольку каждая сходящаяся последовательность ограничена,является линейным подпространством Более того, это пространство последовательностей является замкнутым подпространствомотносительносупремум-нормы, и поэтому оно является банаховым пространством относительно этой нормы. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Последовательность, которая сходится к, называется нулевой последовательностью и, как говорят, ${\displaystyle 0}$. Множество всех последовательностей, которые сходятся к , является замкнутым векторным подпространством, которое при наделениисупремум-нормойстановится банаховым пространством, которое обозначается как ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c_{0}}$и называетсяпространство нулевых последовательностей илипространство исчезающих последовательностей .

Theпространство последовательностей, в конечном счете равных нулю , ${\displaystyle c_{00},}$— это подпространство из , состоящее из всех последовательностей, которые имеют только конечное число ненулевых элементов. Это не замкнутое подпространство и, следовательно, не является банаховым пространством относительно нормы бесконечности. Например, последовательность , где для первых элементов (для ) и равен нулю везде в остальных случаях (то есть ), является последовательностью Коши , но она не сходится к последовательности в ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{nk}=1/k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(1,1/2,\ldots ,1/(n-1),1/n,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle c_{00}.}$

Пространство всех конечных последовательностей

Позволять

${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}}$,

обозначает пространство конечных последовательностей над . Как векторное пространство, равно , но имеет другую топологию. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$

Для каждого натурального числа обозначим обычное евклидово пространство, наделенное евклидовой топологией , и обозначим каноническое включение ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$.

Изображение каждого включения

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$

и, следовательно,

${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right).}$

Это семейство включений дает окончательную топологию , определяемую как наилучшая топология на , такая, что все включения непрерывны (пример когерентной топологии ). С этой топологией становится полным , хаусдорфовым , локально выпуклым , последовательным , топологическим векторным пространством , которое не является пространством Фреше–Урысона . Топология также строго тоньше топологии подпространства , индуцированной на . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Сходимость в имеет естественное описание: если и является последовательностью в , то в тогда и только тогда, когда в конечном итоге содержится в одном изображении и в рамках естественной топологии этого изображения. ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$

Часто каждое изображение отождествляется с соответствующим ; явно, элементы и отождествляются. Это облегчается тем фактом, что топология подпространства на , топология фактора из карты и евклидова топология на всех совпадают. При таком отождествлении является прямым пределом направленной системы , где каждое включение добавляет конечные нули: ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$

${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right)}$.

Это показывает, что это LB-пространство . ${\displaystyle \left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$

Другие пространства последовательностей

Пространство ограниченных рядов , обозначаемое bs , — это пространство последовательностей , для которых ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infty .}$

Это пространство, оборудованное по норме

${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert ,}$

является банаховым пространством, изометрически изоморфным посредством линейного отображения ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$

${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$

Подпространство cs, состоящее из всех сходящихся рядов, является подпространством, переходящим в пространство c при этом изоморфизме.

Пространство Φ или определяется как пространство всех бесконечных последовательностей с конечным числом ненулевых членов (последовательности с конечным носителем ). Это множество плотно во многих пространствах последовательностей. ${\displaystyle c_{00}}$

Свойства ℓппространства и пространствос0

Пространство ℓ ² является единственным пространством ℓ ^p , которое является гильбертовым пространством , поскольку любая норма, индуцируемая скалярным произведением, должна удовлетворять закону параллелограмма

${\displaystyle \|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}.}$

Подстановка двух различных единичных векторов вместо x и y непосредственно показывает, что тождество неверно, если только p  = 2.

Каждое ℓ ^p отлично в том смысле, что ℓ ^p является строгим подмножеством ℓ s всякий раз, когда p  <  ^s ; более того, ℓ ^p не является линейно изоморфным ℓ s ^, когда  p ≠ s . Фактически, по теореме Питта (Pitt 1936), каждый ограниченный линейный оператор из ℓ ^s в ℓ ^p является компактным, когда p < s . Ни один такой оператор не может быть изоморфизмом; и, кроме того, он не может быть изоморфизмом ни на каком бесконечномерном подпространстве ℓ ^s , и поэтому называется строго сингулярным .

Если 1 <  p  < ∞, то (непрерывное) сопряженное пространство ℓ ^p изометрически изоморфно ℓ ^q , где q — сопряжение Гельдера с p : 1/ p  + 1/ q  = 1. Конкретный изоморфизм сопоставляет элементу x из ℓ ^q функционал для y в ℓ ^p . Неравенство Гельдера подразумевает, что L _x — ограниченный линейный функционал на ℓ ^p , и фактически так, что норма оператора удовлетворяет $${\displaystyle L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}}$$ $${\displaystyle |L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}}$$

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\sup _{y\in \ell ^{p},y\not =0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}.}$

Фактически, если взять y как элемент ℓ ^p с

${\displaystyle y_{n}={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x_{n}=0\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&{\text{if}}~x_{n}\neq 0\end{cases}}}$

дает L _x ( y ) = || x || _q , так что на самом деле

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}.}$

Наоборот, если задан ограниченный линейный функционал L на ℓ ^p , последовательность, определяемая x _n = L ( e _n ), лежит в ℓ ^q . Таким образом, отображение дает изометрию ${\displaystyle x\mapsto L_{x}}$ $${\displaystyle \kappa _{q}:\ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}.}$$

Карта

${\displaystyle \ell ^{q}\xrightarrow {\kappa _{q}} (\ell ^{p})^{*}\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}} (\ell ^{q})^{**}}$

полученный путем композиции κ _p с обратным его транспонированием совпадает с канонической инъекцией ℓ ^q в его двойной дуальный . Как следствие ℓ ^q является рефлексивным пространством . Злоупотребляя обозначениями , типично отождествлять ℓ ^q с дуальным ℓ ^p : (ℓ ^p ) ^*  = ℓ ^q . Тогда рефлексивность понимается как последовательность отождествлений (ℓ ^p ) ^**  = (ℓ ^q ) ^*  = ℓ ^p .

Пространство c ₀ определяется как пространство всех последовательностей, сходящихся к нулю, с нормой, идентичной || x || _∞ . Это замкнутое подпространство ℓ ^∞ , следовательно, банахово пространство. Двойственное к c ₀ — это ℓ ¹ ; двойственное к ℓ ¹ — это ℓ ^∞ . Для случая набора индексов натуральных чисел ℓ ^p и c ₀ являются разделимыми , за исключением ℓ ^∞ . Двойственным к ℓ ^∞ является пространство ba .

Пространства c ₀ и ℓ ^p (для 1 ≤ p  < ∞) имеют канонический безусловный базис Шаудера { ei _| i  = 1, 2,...}, где ei _— последовательность, которая равна нулю  , за исключением 1 в i ^-м элементе.

Пространство ℓ ¹ обладает свойством Шура : в ℓ ¹ любая последовательность, которая слабо сходится, также является сильно сходящейся (Шур 1921). Однако, поскольку слабая топология на бесконечномерных пространствах строго слабее сильной топологии , существуют сети в ℓ ¹ , которые слабо сходятся, но не сильно сходятся.

Пространства ℓ ^p могут быть вложены во многие банаховы пространства . Вопрос о том, содержит ли каждое бесконечномерное банахово пространство изоморф некоторого ℓ ^p или c ₀ , был решен отрицательно конструкцией пространства Цирельсона Б. С. Цирельсона в 1974 году. Двойственное утверждение о том, что каждое сепарабельное банахово пространство линейно изометрично факторпространству ℓ 1 ^, было дано утвердительно Банахом и Мазуром (1933). То есть для каждого сепарабельного банахова пространства X существует факторотображение , так что X изоморфно . В общем случае ker Q не дополняемо в ℓ ¹ , то есть не существует подпространства Y ℓ ¹ такого, что . На самом деле, ℓ ¹ имеет несчетное число недополняемых подпространств, которые не изоморфны друг другу (например, возьмем ; поскольку таких X несчетное число , и поскольку ни одно ℓ ^p не изоморфно никакому другому, то, таким образом, существует несчетное число ker Q ) . ${\displaystyle Q:\ell ^{1}\to X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}/\ker Q}$ ${\displaystyle \ell ^{1}=Y\oplus \ker Q}$ ${\displaystyle X=\ell ^{p}}$

За исключением тривиального конечномерного случая, необычной особенностью ℓ ^p является то, что он не является полиномиально рефлексивным .

ℓппространства увеличиваются вп

Для пространства возрастают по , причем оператор включения непрерывен: для , имеем . Действительно, неравенство однородно по , поэтому его достаточно доказать в предположении, что . В этом случае нам нужно показать только, что для . Но если , то для всех , и тогда . ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$ ${\displaystyle \|x\|_{q}\leq \|x\|_{p}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$ ${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq 1}$ ${\displaystyle q>p}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$ ${\displaystyle |x_{i}|\leq 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq \textstyle \sum |x_{i}|^{p}=1}$

ℓ2изоморфно всем сепарабельным бесконечномерным гильбертовым пространствам

Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство . Каждое ортогональное множество в H не более чем счетно (т.е. имеет конечную размерность или ). ^[2] Следующие два пункта связаны между собой: ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

• Если H бесконечномерен, то он изоморфен ℓ ²
• Если dim( H ) = N , то H изоморфен ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

Свойстваℓ1пространства

Последовательность элементов из ℓ ¹ сходится в пространстве комплексных последовательностей ℓ ¹ тогда и только тогда, когда она слабо сходится в этом пространстве. ^[3] Если K — подмножество этого пространства, то следующие условия эквивалентны: ^[3]

1. К компактен;
2. K слабо компактен;
3. K ограничен, замкнут и равномал на бесконечности.

Здесь K, будучи равномалым на бесконечности, означает, что для каждого существует натуральное число такое, что для всех . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n_{\varepsilon }\geq 0}$ ${\textstyle \sum _{n=n_{\epsilon }}^{\infty }|s_{n}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle s=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in K}$

Смотрите также

• L ^p пространство
• пространство Цирельсона
• бета-дуальное пространство
• Пространство последовательностей Орлича
• Гильбертово пространство

Ссылки

1. Jarchow 1981, стр. 129–130.
2. Debnath, Lokenath; Mikusinski, Piotr (2005). Гильбертовы пространства с приложениями . Elsevier. стр. 120–121. ISBN 978-0-12-2084386.
3. Treves 2006, стр. 451–458.

Библиография

• Банах, Стефан; Мазур, С. (1933), «Zur Theorie der Linear Dimension», Studia Mathematica , 4 : 100–112..
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том I , Wiley-Interscience.
• Jarchow, Hans (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Питт, HR (1936), «Заметка о билинейных формах», J. London Math. Soc. , 11 (3): 174–180, doi :10.1112/jlms/s1-11.3.174.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шур, Дж. (1921), «Über Lineare Transformationen in der Theorie der Unendlichen Reihen», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 151 : 79–111, doi : 10.1515/crll.1921.151.79.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.