Частотно-временной анализ

В обработке сигналов частотно-временной анализ включает в себя те методы, которые изучают сигнал как во временной, так и в частотной областях одновременно, используя различные частотно-временные представления . Вместо того, чтобы рассматривать одномерный сигнал (функцию, действительную или комплексную, областью определения которой является действительная линия) и некоторое преобразование (другую функцию, областью определения которой является действительная линия, полученную из исходной с помощью некоторого преобразования), частотно-временной анализ изучает двумерный сигнал — функцию, областью определения которой является двумерная действительная плоскость, полученную из сигнала с помощью частотно-временного преобразования. ^{[1] [2]}

Математическая мотивация этого исследования заключается в том, что функции и их представление преобразования тесно связаны, и их можно лучше понять, изучая их совместно, как двумерный объект, а не по отдельности. Простым примером является то, что 4-кратная периодичность преобразования Фурье — и тот факт, что двукратное преобразование Фурье меняет направление — можно интерпретировать, рассматривая преобразование Фурье как поворот на 90° в связанной плоскости время-частота: 4 таких поворота дают тождество, а 2 таких поворота просто меняют направление на противоположное ( отражение относительно начала координат ).

Практическая мотивация для частотно-временного анализа заключается в том, что классический анализ Фурье предполагает, что сигналы бесконечны во времени или периодические, в то время как многие сигналы на практике имеют короткую продолжительность и существенно изменяются в течение своей продолжительности. Например, традиционные музыкальные инструменты не производят синусоиды бесконечной продолжительности, а вместо этого начинаются с атаки, а затем постепенно затухают. Это плохо представлено традиционными методами, что мотивирует частотно-временной анализ.

Одной из самых основных форм частотно-временного анализа является кратковременное преобразование Фурье (STFT), но были разработаны и более сложные методы, в частности, вейвлеты и методы спектрального анализа наименьших квадратов для неравномерно распределенных данных.

Мотивация

В обработке сигналов частотно-временной анализ ^[3] представляет собой совокупность методов и приемов, используемых для характеристики и обработки сигналов, статистика которых изменяется во времени, например, переходных сигналов.

Это обобщение и уточнение анализа Фурье для случая, когда частотные характеристики сигнала изменяются со временем. Поскольку многие интересующие нас сигналы, такие как речь, музыка, изображения и медицинские сигналы, имеют изменяющиеся частотные характеристики, частотно-временной анализ имеет широкую сферу применения.

В то время как метод преобразования Фурье может быть расширен для получения частотного спектра любого медленно растущего локально интегрируемого сигнала, этот подход требует полного описания поведения сигнала во всем времени. Действительно, можно думать о точках в (спектральной) частотной области как о размазывании информации со всей временной области. Хотя математически он элегантен, такой метод не подходит для анализа сигнала с неопределенным будущим поведением. Например, нужно предположить некоторую степень неопределенного будущего поведения в любых телекоммуникационных системах, чтобы достичь ненулевой энтропии (если вы уже знаете, что скажет другой человек, вы не можете ничего узнать).

Чтобы использовать мощь частотного представления без необходимости полной характеристики во временной области, сначала получают распределение сигнала по времени и частоте, которое представляет сигнал как во временной, так и в частотной области одновременно. В таком представлении частотная область будет отражать только поведение локализованной во времени версии сигнала. Это позволяет разумно говорить о сигналах, чьи составляющие частоты изменяются во времени.

Например, вместо того, чтобы использовать темперированные распределения для глобального преобразования следующей функции в частотную область, можно было бы вместо этого использовать эти методы для описания ее как сигнала с изменяющейся во времени частотой.

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(2\pi t);&t>20\end{cases}}}$

После создания такого представления к сигналу можно применять другие методы частотно-временного анализа, чтобы извлечь из него информацию, отделить сигнал от шума или мешающих сигналов и т. д.

Функции распределения частоты и времени

Формулировки

Существует несколько различных способов сформулировать допустимую функцию распределения времени и частоты, что приводит к нескольким хорошо известным распределениям времени и частоты, таким как:

• Кратковременное преобразование Фурье (включая преобразование Габора ),
• Вейвлет-преобразование ,
• Билинейная функция распределения времени и частоты ( функция распределения Вигнера , или WDF),
• Модифицированная функция распределения Вигнера , функция распределения Габора–Вигнера и т. д. (см. преобразование Габора–Вигнера ).
• Преобразование Гильберта–Хуанга

Более подробную информацию об истории и мотивации развития частотно-временного распределения можно найти в статье Частотно-временное представление .

Идеальная функция распределения TF

Функция распределения частоты времени в идеале имеет следующие свойства: ^{[ необходима ссылка ]}

1. Высокое разрешение как по времени, так и по частоте, что облегчает анализ и интерпретацию.
2. Перекрестные члены отсутствуют , чтобы избежать путаницы между реальными компонентами и артефактами или шумом.
3. Список желаемых математических свойств, гарантирующих, что такие методы принесут пользу при применении в реальной жизни.
4. Более низкая вычислительная сложность , гарантирующая время, необходимое для представления и обработки сигнала на частотно-временной плоскости, позволяет реализовать реализацию в реальном времени.

Ниже приведено краткое сравнение некоторых выбранных функций распределения времени и частоты. ^[4]

Для хорошего анализа сигналов важен выбор подходящей функции распределения по времени и частоте. Какую функцию распределения по времени и частоте следует использовать, зависит от рассматриваемого приложения, как показано при рассмотрении списка приложений. ^[5] Высокая ясность функции распределения Вигнера (WDF), полученной для некоторых сигналов, обусловлена ​​функцией автокорреляции, присущей ее формулировке; однако последняя также вызывает проблему перекрестных членов. Поэтому, если мы хотим проанализировать сигнал с одним членом, использование WDF может быть наилучшим подходом; если сигнал состоит из нескольких компонентов, некоторые другие методы, такие как преобразование Габора, распределение Габора-Вигнера или модифицированные функции B-распределения, могут быть лучшим выбором.

В качестве иллюстрации, величины из нелокализованного анализа Фурье не могут различить сигналы:

${\displaystyle x_{1}(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(2\pi t);&t>20\end{cases}}}$

${\displaystyle x_{2}(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(2\pi t);&10\leq t<20\\\cos(3\pi t);&t>20\end{cases}}}$

Но частотно-временной анализ может.

Анализ TF и ​​случайные процессы[6]

Для случайного процесса x(t) мы не можем найти явное значение x(t).

Значение x(t) выражается как функция вероятности.

Общие случайные процессы

• Автоковариационная функция (АКФ) ${\displaystyle R_{x}(t,\tau )}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]}$

Обычно мы предполагаем, что для любого t, ${\displaystyle E[x(t)]=0}$

${\displaystyle E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]}$

${\displaystyle =\iint x(t+\tau /2,\xi _{1})x^{*}(t-\tau /2,\xi _{2})P(\xi _{1},\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}}$

(альтернативное определение функции автоковариации)

${\displaystyle {\overset {\land }{R_{x}}}(t,\tau )=E[x(t)x(t+\tau )]}$

• Спектральная плотность мощности (СПМ) ${\displaystyle S_{x}(t,f)}$

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$

• Связь между WDF (функцией распределения Вигнера) и PSD

${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]\cdot e^{-j2\pi f\tau }\cdot d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )\cdot e^{-j2\pi f\tau }\cdot d\tau }$ ${\displaystyle =S_{x}(t,f)}$

• Связь между функцией неоднозначности и ACF

${\displaystyle E[A_{X}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]e^{-j2\pi t\eta }dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi t\eta }dt}$

Стационарные случайные процессы

• Стационарный случайный процесс : статистические свойства не меняются с t. Его автоковариационная функция:

${\displaystyle R_{x}(t_{1},\tau )=R_{x}(t_{2},\tau )=R_{x}(\tau )}$ для любого , Следовательно, PSD, Белый шум: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle R_{x}(\tau )=E[x(\tau /2)x^{*}(-\tau /2)]}$ ${\displaystyle =\iint x(\tau /2,\xi _{1})x^{*}(-\tau /2,\xi _{2})P(\xi _{1},\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}}$ ${\displaystyle S_{x}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$

${\displaystyle S_{x}(f)=\sigma }$ , где — некоторая константа. ${\displaystyle \sigma }$

• Когда x(t) стационарен,

${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]=S_{x}(f)}$ , (инвариантно с ) ${\displaystyle t}$

${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )\cdot e^{-j2\pi t\eta }\cdot dt}$ ${\displaystyle =R_{x}(\tau )\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi t\eta }\cdot dt}$ ${\displaystyle =R_{x}(\tau )\delta (\eta )}$ , (ненулевое только когда ) ${\displaystyle \eta =0}$

Аддитивный белый шум

• Для аддитивного белого шума (AWN),

${\displaystyle E[W_{g}(t,f)]=\sigma }$

${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\sigma \delta (\tau )\delta (\eta )}$

• Проектирование фильтра для сигнала в аддитивном белом шуме

${\displaystyle E_{x}}$: энергия сигнала

${\displaystyle A}$  : область частотно-временного распределения сигнала

PSD белого шума равен ${\displaystyle S_{n}(f)=\sigma }$

${\displaystyle SNR\approx 10\log _{10}{\frac {E_{x}}{\iint \limits _{(t,f)\in {\text{signal part}}}S_{x}(t,f)dtdf}}}$

${\displaystyle SNR\approx 10\log _{10}{\frac {E_{x}}{\sigma \mathrm {A} }}}$

Нестационарные случайные процессы

• Если изменяется с и отличен от нуля при , то — нестационарный случайный процесс. ${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle x(t)}$
• Если
  1. ${\displaystyle h(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+x_{3}(t)+......+x_{k}(t)}$
  2. ${\displaystyle x_{n}(t)}$имеют нулевое среднее значение для всех ${\displaystyle t}$
  3. ${\displaystyle x_{n}(t)}$'s взаимно независимы для всех 's и 's ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau }$

затем:

${\displaystyle E[x_{m}(t+\tau /2)x_{n}^{*}(t-\tau /2)]=E[x_{m}(t+\tau /2)]E[x_{n}^{*}(t-\tau /2)]=0}$

• если , то ${\displaystyle m\neq n}$

${\displaystyle E[W_{h}(t,f)]=\sum _{n=1}^{k}E[W_{x_{n}}(t,f)]}$

${\displaystyle E[A_{h}(\eta ,\tau )]=\sum _{n=1}^{k}E[A_{x_{n}}(\eta ,\tau )]}$

Кратковременное преобразование Фурье

• Случайный процесс для STFT (кратковременное преобразование Фурье)

${\displaystyle E[x(t)]\neq 0}$ должно быть удовлетворено. В противном случае, для случайного процесса с нулевым средним, ${\displaystyle E[X(t,f)]=E[\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau ]}$ ${\displaystyle =\int _{t-B}^{t+B}E[x(\tau )]w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$ ${\displaystyle E[X(t,f)]=0}$

• Разложить по AF и FRFT. Любой нестационарный случайный процесс можно выразить как сумму дробного преобразования Фурье (или умножения чирпа) стационарного случайного процесса.

Приложения

Следующие приложения нуждаются не только в функциях распределения времени и частоты, но и в некоторых операциях с сигналом. Линейное каноническое преобразование (ЛКП) действительно полезно. С помощью ЛКП форма и местоположение сигнала на плоскости времени и частоты могут быть в произвольной форме, которую мы хотим. Например, ЛКП могут сдвигать распределение времени и частоты в любое место, расширять его в горизонтальном и вертикальном направлении без изменения его площади на плоскости, сдвигать (или скручивать) его и вращать его ( дробное преобразование Фурье ). Эта мощная операция, ЛКП, делает его более гибким для анализа и применения распределений времени и частоты.

Мгновенная оценка частоты

Определение мгновенной частоты — это скорость изменения фазы во времени, или

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dt}}\phi (t),}$

где — мгновенная фаза сигнала. Мы можем узнать мгновенную частоту непосредственно из плоскости время-частота, если изображение достаточно четкое. Поскольку высокая четкость имеет решающее значение, мы часто используем WDF для его анализа. ${\displaystyle \phi (t)}$

Фильтрация TF и ​​разложение сигнала

Целью проектирования фильтра является удаление нежелательного компонента сигнала. Традиционно мы можем просто фильтровать во временной области или в частотной области по отдельности, как показано ниже.

Методы фильтрации, упомянутые выше, не могут хорошо работать для каждого сигнала, который может перекрываться во временной области или в частотной области. Используя функцию распределения времени и частоты, мы можем фильтровать в евклидовой области времени и частоты или в дробной области, используя дробное преобразование Фурье . Пример показан ниже.

Проектирование фильтров в частотно-временном анализе всегда имеет дело с сигналами, состоящими из нескольких компонентов, поэтому нельзя использовать WDF из-за перекрестных членов. Преобразование Габора, функция распределения Габора–Вигнера или функция распределения классов Коэна могут быть лучшим выбором.

Концепция разложения сигнала связана с необходимостью отделения одного компонента от других в сигнале; это может быть достигнуто с помощью операции фильтрации, которая требует этапа проектирования фильтра. Такая фильтрация традиционно выполняется во временной области или в частотной области; однако, это может быть невозможно в случае нестационарных сигналов, которые являются многокомпонентными, поскольку такие компоненты могут перекрываться как во временной области, так и в частотной области; как следствие, единственный возможный способ добиться разделения компонентов и, следовательно, разложения сигнала — это реализовать фильтр времени и частоты.

Теория выборки

По теореме Найквиста-Шеннона о выборке можно сделать вывод, что минимальное количество точек выборки без наложения спектров эквивалентно площади частотно-временного распределения сигнала. (На самом деле это всего лишь приближение, поскольку площадь ПФ любого сигнала бесконечна.) Ниже приведен пример до и после объединения теории выборки с частотно-временным распределением:

Заметно, что количество точек выборки уменьшается после применения частотно-временного распределения.

При использовании WDF может возникнуть проблема перекрестных членов (также называемая интерференцией). С другой стороны, использование преобразования Габора приводит к улучшению ясности и читаемости представления, тем самым улучшая его интерпретацию и применение к практическим задачам.

Следовательно, когда сигнал, который мы склонны выбирать, состоит из одного компонента, мы используем WDF; однако, если сигнал состоит из более чем одного компонента, использование преобразования Габора, функции распределения Габора-Вигнера или других TFD с уменьшенными помехами может дать лучшие результаты.

Теорема Балиана–Лоу формализует это и устанавливает ограничение на минимально необходимое количество выборок времени и частоты.

Модуляция и мультиплексирование

Традиционно, операция модуляции и мультиплексирования концентрируется во времени или в частоте, отдельно. Используя преимущество распределения времени и частоты, мы можем сделать модуляцию и мультиплексирование более эффективными. Все, что нам нужно сделать, это заполнить плоскость времени и частоты. Мы представляем пример, как показано ниже.

Как показано в верхнем примере, использование WDF не является разумным решением, поскольку серьезная проблема перекрестных членов затрудняет мультиплексирование и модуляцию.

Распространение электромагнитных волн

Мы можем представить электромагнитную волну в виде матрицы 2 на 1

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

что похоже на плоскость время-частота. Когда электромагнитная волна распространяется в свободном пространстве, происходит дифракция Френеля . Мы можем работать с матрицей 2 на 1

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

по LCT с матрицей параметров

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}},}$

где z — расстояние распространения, а — длина волны. Когда электромагнитная волна проходит через сферическую линзу или отражается от диска, матрица параметров должна быть ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}}$

соответственно, где ƒ — фокусное расстояние линзы, а R — радиус диска. Эти соответствующие результаты можно получить из

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

Оптика, акустика и биомедицина

Свет — это электромагнитная волна, поэтому частотно-временной анализ применяется к оптике так же, как и к общему распространению электромагнитных волн.

Аналогичным образом, для акустических сигналов характерно то, что их частотные компоненты претерпевают резкие изменения во времени и, следовательно, не могут быть хорошо представлены анализом отдельных частотных компонентов, охватывающим всю их длительность.

Поскольку акустические сигналы используются в качестве речи при общении между человеком-отправителем и человеком-получателем, их незамедлительная передача в технических системах связи имеет решающее значение, что делает использование более простых TFD, таких как преобразование Габора, пригодным для анализа этих сигналов в реальном времени за счет снижения вычислительной сложности.

Если скорость частотного анализа не является ограничением, необходимо провести детальное сравнение характеристик с четко определенными критериями перед выбором конкретного TFD. Другой подход заключается в определении TFD, зависящего от сигнала, который адаптирован к данным. В биомедицине можно использовать распределение времени и частоты для анализа электромиографии ( ЭМГ), электроэнцефалографии (ЭЭГ), электрокардиограммы (ЭКГ) или отоакустической эмиссии (ОАЭ).

История

Ранние работы по частотно-временному анализу можно увидеть в вейвлетах Хаара (1909) Альфреда Хаара , хотя они не были существенно применены к обработке сигналов. Более существенная работа была проделана Деннисом Габором , например, атомы Габора (1947), ранняя форма вейвлетов , и преобразование Габора , модифицированное кратковременное преобразование Фурье . Распределение Вигнера–Вилля (Вилль 1948, в контексте обработки сигналов) было еще одним основополагающим шагом.

В частности, в 1930-х и 1940-х годах ранний частотно-временной анализ развивался совместно с квантовой механикой (Вигнер разработал распределение Вигнера–Вилля в 1932 году в квантовой механике, а Габор находился под влиянием квантовой механики – см. Атом Габора ); это отражено в общей математике плоскости положение-импульс и плоскости время–частота – как в принципе неопределенности Гейзенберга (квантовая механика) и пределе Габора (частотно-временной анализ), в конечном счете оба отражающих симплектическую структуру.

Ранней практической мотивацией для частотно-временного анализа стала разработка радара – см. функцию неоднозначности .

Смотрите также

• Движения в частотно-временном распределении
• Многомасштабный анализ
• Оценка спектральной плотности
• Частотно-временной анализ музыкальных сигналов
• Вейвлет-анализ

Ссылки

1. Л. Коэн, «Анализ времени–частоты», Prentice-Hall , Нью-Йорк, 1995. ISBN  978-0135945322
2. Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Представление частотно-временных характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Цифровая обработка сигналов, т. 19, № 1, стр. 153-183, январь 2009 г.
3. П. Фландрин, «Анализ частоты времени/масштаба времени», Вейвлет-анализ и его применение , т. 10, Academic Press , Сан-Диего, 1999.
4. Шафи, Имран; Ахмад, Джамиль; Шах, Сайед Исмаил; Кашиф, FM (2009-06-09). "Методы получения хорошего разрешения и концентрированных распределений времени и частоты: обзор". Журнал EURASIP об успехах в обработке сигналов . 2009 (1): 673539. Bibcode : 2009EJASP2009..109S. doi : 10.1155/2009/673539 . hdl : 1721.1/50243 . ISSN  1687-6180.
5. А. Папандреу-Суппаппола, Приложения в частотно-временной обработке сигналов (CRC Press, Бока-Ратон, Флорида, 2002)
6. Дин, Цзянь-Цзюнь (2022). Заметки к занятиям по частотно-временному анализу и вейвлет-преобразованию . Тайбэй, Тайвань: Институт аспирантуры по инженерии связи, Национальный тайваньский университет (NTU).