Угловая трисекция

Построение угла, равного одной трети данного угла.

Углы можно разделить на три части с помощью конструкции neusis, используя инструменты, помимо немаркированной линейки и циркуля. В примере показано трисекция любого угла θ >3π/4линейкой длиной, равной радиусу круга, что дает угол трисекции φ =θ/3.

Трисекция угла — классическая задача построения линейки и циркуля древнегреческой математики . Речь идет о построении угла , равного одной трети заданного произвольного угла, с использованием всего двух инструментов: немаркированной линейки и циркуля .

В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что поставленную задачу невозможно решить для произвольных углов. Однако некоторые специальные углы можно разделить на три части: например, разделить прямой угол на три части тривиально .

Произвольный угол можно разделить на три части, используя другие инструменты, кроме линейки и циркуля. Например, конструкция неусиса , также известная древним грекам, предполагает одновременное скольжение и вращение отмеченной линейки, чего невозможно добиться оригинальными инструментами. Другие методы разрабатывались математиками на протяжении веков.

Поскольку проблема трисекции угла определена в простых терминах, но ее сложно доказать, что она неразрешима, она является частым предметом псевдоматематических попыток решения наивных энтузиастов. Эти «решения» часто включают ошибочную интерпретацию правил или просто неверны. ^[1]

Предыстория и постановка проблемы

Биссекция произвольных углов уже давно решена .

Используя только немаркированную линейку и циркуль, греческие математики нашли способы разделить линию на произвольный набор равных отрезков, провести параллельные линии, разделить углы пополам , построить множество многоугольников и построить квадраты , площадь которых равна или вдвое больше заданный многоугольник.

Три задачи оказались неразрешимыми, а именно: разделение угла на три части, удвоение куба и квадратура круга . Задача о трисекции угла гласит:

Постройте угол , равный одной трети заданного произвольного угла (или разделите его на три равных угла), используя всего два инструмента:

1. немаркированная линейка и
2. компас.

Доказательство невозможности

Правители . Отображенные отмечены — идеальная линейка не отмечена

Компасы

Пьер Ванцель опубликовал доказательство невозможности классического разделения произвольного угла на три части в 1837 году. ^[2] Доказательство Ванцеля, переформулированное в современной терминологии, использует концепцию расширений полей , тему, которую сейчас обычно объединяют с теорией Галуа . Однако Ванцель опубликовал эти результаты раньше Эвариста Галуа (работа которого, написанная в 1830 г., была опубликована только в 1846 г.) и не использовал понятия, введенные Галуа. ^[3]

Задача построения угла заданной меры θ эквивалентна построению двух отрезков, отношение их длин равно cos  θ . От решения одной из этих двух задач можно перейти к решению другой с помощью построения циркуля и линейки. Формула тройного угла дает выражение, связывающее косинусы исходного угла и его трисекции: cos  θ  =  4 cos ³ θ/3− 3 потому чтоθ/3.

Отсюда следует, что для сегмента, длина которого определена как единица, задача трисекции угла эквивалентна построению сегмента, длина которого является корнем кубического многочлена . Эта эквивалентность сводит исходную геометрическую задачу к чисто алгебраической задаче.

Каждое рациональное число конструктивно. Каждое иррациональное число , которое можно построить за один шаг из некоторых заданных чисел, является корнем многочлена степени 2 с коэффициентами в поле , порожденном этими числами. Следовательно, любое число, которое можно построить с помощью последовательности шагов, является корнем минимального многочлена , степень которого равна степени двойки . Уголπ/3 радианы (60 градусов , пишется 60°) можно построить . Приведенные ниже рассуждения показывают, что невозможно построить угол в 20°. Это означает, что угол 60 ° нельзя разделить на три части, а значит, и произвольный угол нельзя разделить на три части.

Обозначим множество рациональных чисел через Q . Если бы 60° можно было разделить на три части, степень минимального многочлена cos 20° над Q была бы степенью двойки. Теперь пусть x = cos 20° . Обратите внимание, что cos 60° = cosπ/3"="1/2. Тогда по формуле тройного угла cosπ/3= 4 x ³ − 3 x и, следовательно, 4 x ³ − 3 x =1/2. Таким образом, 8 Икс ³ - 6 Икс - 1 знак равно 0 . Определите p ( t ) как многочлен p ( t ) знак равно 8 t ³ - 6 t - 1 .

Поскольку x = cos 20° является корнем p ( t ) , минимальный полином для cos 20° является фактором p ( t ) . Поскольку p ( t ) имеет степень 3, если его можно сократить с помощью Q , то он имеет рациональный корень . По теореме о рациональном корне этот корень должен быть ±1, ±1/2, ±1/4или ±1/8, но ни один из них не является корнем. Следовательно, p ( t ) неприводим по Q , а минимальный полином для cos 20° имеет степень  3 .

Следовательно, угол измерения 60° нельзя разделить на три части.

Углы, которые можно разделить на три части

Однако некоторые углы можно разделить на три части. Например, для любого конструктивного угла θ угол меры 3 θ можно тривиально разделить на три части, игнорируя данный угол и напрямую создавая угол меры θ . Есть углы, которые не являются конструктивными, но являются трисекционными (несмотря на то, что угол в одну треть сам по себе неконструируемый). Например,3 π/7такой угол: пять углов измерения3 π/7объединить, чтобы получить угол измерения15 π/7, что представляет собой полный круг плюс желаемоеπ/7.

Для положительного целого числа N угол измерения2 π/Нявляется трисекционным тогда и только тогда, когда 3 не делит N . ^{[4] [5]} Напротив,2 π/Нявляется конструктивным тогда и только тогда, когда N является степенью 2 или произведением степени 2 на произведение одного или нескольких различных простых чисел Ферма .

Алгебраическая характеристика

Снова обозначим множество рациональных чисел через Q .

Теорема : Угол меры θ можно разделить на три части тогда и только тогда, когда q ( t ) = 4 t ³ - 3 t - cos( θ ) приводимо над расширением поля Q (cos( ​​θ )) .

Доказательство представляет собой относительно прямое обобщение приведенного выше доказательства того, что угол 60 ° не делится пополам. ^[6]

Другое количество деталей

Для любого ненулевого целого числа N угол размером 2 π ⁄ N радиан можно разделить на n равных частей с помощью линейки и циркуля тогда и только тогда, когда n является либо степенью 2 , либо степенью 2, умноженной на произведение единицы или более различные простые числа Ферма, ни одно из которых не делит N . В случае трисекции ( n = 3 , которое является простым числом Ферма), этим условием становится вышеупомянутое требование, чтобы N не делилось на 3 . ^[5]

Другие методы

Общую проблему трисекции угла можно решить, используя дополнительные инструменты и, таким образом, выходя за рамки исходной греческой структуры циркуля и линейки.

Было предложено множество неправильных методов разделения общего угла на три части. Некоторые из этих методов обеспечивают разумные приближения; другие (некоторые из которых упомянуты ниже) используют инструменты, не разрешенные в классической задаче. Математик Андервуд Дадли подробно описал некоторые из этих неудачных попыток в своей книге «Трисекторы» . ^[1]

Приближение последовательными делениями пополам

Трисекцию можно аппроксимировать повторением метода циркуля и линейки для деления угла пополам. Геометрический ряд1/3"="1/4+1/16+1/64+1/256+ ⋯ или1/3"="1/2−1/4+1/8−1/16+ ⋯ можно использовать в качестве основы для делений пополам. Аппроксимацию с любой степенью точности можно получить за конечное число шагов. ^[7]

Использование оригами

Трисекцию, как и многие конструкции, невозможные с помощью линейки и циркуля, можно легко выполнить с помощью операций складывания бумаги или оригами . Аксиомы Хузиты (типы операций складывания) могут создавать кубические расширения (кубические корни) заданной длины, тогда как линейка и циркуль могут создавать только квадратичные расширения (квадратные корни).

Использование связи

Фанат связи Сильвестра

Существует ряд простых соединений , которые можно использовать для создания инструмента для разделения углов пополам, включая Трисектор Кемпе и Веер Сильвестра или Изоклиностат. ^[8]

С правильной треугольной линейкой

Трисекция угла Бибербаха (синим цветом) с помощью прямой треугольной линейки (красного цвета)

В 1932 году Людвиг Бибербах опубликовал в Journal für die reine und angewandte Mathematik свою работу Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen . ^[9] Там он утверждает (вольный перевод):

« Как известно... всякое кубическое построение можно свести к трисекции угла и к умножению куба, т. е. к извлечению корня третьей степени. Мне остается только показать, как можно решить эти две классические задачи. решается с помощью крючка под прямым углом » .

Построение начинается с рисования окружности , проходящей через вершину P угла, который нужно разделить на три части, с центром в точке A на ребре этого угла и имеющей B в качестве второго пересечения с ребром. Окружность с центром в точке P и того же радиуса пересекает линию, поддерживающую ребро в A и O.

Теперь правую треугольную линейку располагают на чертеже следующим образом: одна катет ее прямого угла проходит через О ; вершина ее прямого угла помещена в точку S на прямой PC таким образом, что вторая катушка линейки касается в точке E окружности с центром в точке A. Отсюда следует , что исходный угол делится пополам линией PE , и линией PD, перпендикулярной SE и проходящей через P. Эту линию можно провести либо снова используя правую треугольную линейку, либо используя традиционную линейку и циркуль . С помощью аналогичной конструкции можно улучшить расположение E , воспользовавшись тем, что это пересечение линии SE и ее перпендикуляра, проходящего через A.

Доказательство: необходимо доказать равенство углов и три прямые OS , PD и AE параллельны. Поскольку отрезки OP и PA равны, эти три параллельные прямые ограничивают два равных отрезка на каждой второй секущей линии, в частности на их общем перпендикуляре SE . Таким образом, SD ' = D' E , где D' — пересечение прямых PD и SE . Отсюда следует, что прямоугольные треугольники PD 'S и PD'E конгруэнтны, а значит, выполнено первое желаемое равенство . С другой стороны, треугольник ПАЕ равнобедренный , так как все радиусы круга равны; это означает, что Один имеет также , поскольку эти два угла являются альтернативными углами трансверсали к двум параллельным прямым. Это доказывает второе желаемое равенство и, следовательно, корректность конструкции. ${\displaystyle {\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}}$ ${\displaystyle {\widehat {BPE}}={\widehat {EPD}}.}$ ${\displaystyle {\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},}$ ${\displaystyle {\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.}$ ${\displaystyle {\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},}$

Со вспомогательной кривой

• 
  Трисекция по спирали Архимеда.
• 
  Трисекция с использованием трисектрисы Маклорена.

Существуют определенные кривые, называемые трисектрисами , которые, если их нарисовать на плоскости другими методами, можно использовать для разделения произвольных углов пополам. ^[10] Примеры включают трисектрису Колина Маклорена , заданную в декартовых координатах неявным уравнением.

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}$

и спираль Архимеда . Фактически, спираль можно использовать для разделения угла на любое количество равных частей. Архимед описал, как разделить угол пополам с помощью спирали Архимеда в книге «На спиралях» около 225 г. до н.э.

С отмеченной линейкой

Трисекция угла размеченной линейкой.

Другой способ разделить произвольный угол на три части на «маленький» шаг за пределами греческих рамок — это использовать линейку с двумя отметками на заданном расстоянии друг от друга. Следующая конструкция первоначально принадлежит Архимеду и называется конструкцией Нейсиса , т. е. которая использует инструменты, отличные от немаркированной линейки. На диаграммах, которые мы используем, эта конструкция показана для острого угла, но она действительно работает для любого угла до 180 градусов.

Для этого требуются три факта из геометрии (справа):

1. Любой полный набор углов на прямой равен 180°.
2. Сумма углов любого треугольника равна 180°, а ,
3. Любые две равные стороны равнобедренного треугольника встретятся с третьей стороной под тем же углом .

Пусть l — горизонтальная линия на соседней диаграмме. Угол а (слева от точки В ) является предметом трисекции. Сначала рисуется точка A на луче угла , отстоящем на одну единицу от точки B. Начерчена окружность радиуса АВ . Затем в игру вступает маркировка линейки: одна метка линейки ставится в А , а другая в Б. Удерживая линейку (но не метку) касающейся A , линейку сдвигают и поворачивают до тех пор, пока одна метка не окажется на круге, а другая — на линии l . Отметка на круге обозначена буквой C , а отметка на прямой — буквой D. Это гарантирует, что CD = AB . Радиус BC нарисован, чтобы было очевидно, что отрезки AB , BC и CD имеют одинаковую длину. Теперь треугольники ABC и BCD равнобедренные , поэтому (по факту 3 выше) каждый имеет два равных угла.

Гипотеза : Учитывая, что AD — прямая линия, а AB , BC и CD имеют одинаковую длину,

Вывод : угол b =а/3.

Доказательство :

1. Из факта 1) выше, °. ${\displaystyle e+c=180}$
2. Глядя на треугольник BCD , из факта 2) °. ${\displaystyle e+2b=180}$
3. Из последних двух уравнений . ${\displaystyle c=2b}$
4. Из факта 2), °, таким образом ° , поэтому из последнего, ° . ${\displaystyle d+2c=180}$ ${\displaystyle d=180}$ ${\displaystyle -2c}$ ${\displaystyle d=180}$ ${\displaystyle -4b}$
5. Из факта 1) выше, °, таким образом, ° °. ${\displaystyle a+d+b=180}$ ${\displaystyle a+(180}$ ${\displaystyle -4b)+b=180}$

Очистка, a − 3 b = 0 или a = 3 b , и теорема доказана .

Опять же, эта конструкция вышла за рамки разрешенных построений с помощью размеченной линейки.

Со строкой

Томас Хатчесон опубликовал в журнале «Учитель математики» статью ^[11] , в которой вместо циркуля и линейки использовалась веревка. Нить можно использовать как линейку (путем ее растягивания) или как компас (путем фиксации одной точки и определения другой), но ее также можно использовать как цилиндр, что является ключом к решению Хатчесона.

Хатчесон построил цилиндр из угла, который нужно разделить на три части, начертив дугу через угол, завершив ее в виде круга и построив из этого круга цилиндр, в который был вписан, скажем, равносторонний треугольник (угол в 360 градусов, разделенный на три части). ). Затем это было «сопоставлено» с углом, который нужно разделить на три части, с помощью простого доказательства существования подобных треугольников.

С «томагавком»

Томагавк, делящий угол на три части. Томагавк образован толстыми линиями и заштрихованным полукругом.

« Томагавк » — геометрическая фигура, состоящая из полукруга и двух ортогональных отрезков, длина более короткого отрезка равна радиусу круга. Трисекция выполняется путем наклона конца более короткого сегмента томагавка к одному лучу, а края круга к другому, так что «ручка» (более длинный сегмент) пересекает вершину угла; линия трисекции проходит между вершиной и центром полукруга.

Хотя томагавк можно построить с помощью циркуля и линейки, обычно невозможно построить томагавк в любом желаемом положении. Таким образом, приведенная конструкция не противоречит нетрисекции углов только линейкой и циркулем.

Поскольку томагавк можно использовать в качестве угольника , его также можно использовать для определения углов трисекции методом, описанным в § С помощью прямой треугольной линейки.

Томагавк производит тот же геометрический эффект, что и метод складывания бумаги: расстояние между центром круга и кончиком более короткого сегмента в два раза превышает расстояние радиуса, который гарантированно соприкасается с углом. Это также эквивалентно использованию архитектурной L-линейки ( Площадь Плотника ).

С взаимосвязанными компасами

Угол можно разделить на три части с помощью устройства, которое по сути представляет собой четырехлучевую версию циркуля, со связями между зубцами, предназначенными для поддержания равенства трех углов между соседними зубцами. ^[12]

Использование трисекции угла

Анимация конструкции нейзиса семиугольника с радиусом описанной окружности , основанная на Эндрю М. Глисоне , с использованием трисекции угла с помощью томагавка ^{[13] : с. 186} ${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$

Кубическое уравнение с действительными коэффициентами можно решить геометрически с помощью циркуля, линейки и трисектора угла тогда и только тогда, когда оно имеет три действительных корня . ^{[13] : Thm. 1}

Правильный многоугольник с n сторонами можно построить с помощью линейки, циркуля и трисектора угла тогда и только тогда, когда где r, s, k ≥ 0 и где pi — различные простые числа, большие 3 вида (т. е. простые числа Пьерпонта, _{большие} 3 ). ^{[13] : Thm. 2} ${\displaystyle n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},}$ ${\displaystyle 2^{t}3^{u}+1}$

Смотрите также

• деление пополам
• Конструктивный номер
• Конструируемый многоугольник
• Теорема Морли о трёхсекторах
• Трисектриса

Рекомендации

1. Дадли, Андервуд (1994), Трисекторы , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-514-0
2. Ванцель, PML (1837). «Исследования по проблемам геометрии могут быть найдены с помощью правил и правил» (PDF) . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1. 2 : 366–372. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 3 марта 2014 г.
3. Историческую основу доказательства Ванцеля в более ранних работах Руффини и Абеля, а также его время по сравнению с Галуа см. в Smorynski, Craig (2007), History of Mathematics: A Supplement, Springer, p. 130, ISBN 9780387754802.
4. Макхейл, Десмонд. «Построение целочисленных углов», Mathematical Gazette 66, июнь 1982 г., 144–145.
5. Маклин, К. Робин (июль 2008 г.). «Трисечение углов линейкой и циркулем». Математический вестник . 92 : 320–323. дои : 10.1017/S0025557200183317. S2CID  126351853. См. также Отзыв на эту статью в т. 93, март 2009 г., с. 156.
6. Стюарт, Ян (1989).Теория Галуа. Математика Чепмена и Холла. стр. г. 58. ИСБН 978-0-412-34550-0.
7. Джим Лой (2003) [1997]. «Трисекция угла». Архивировано из оригинала 25 февраля 2012 года . Проверено 30 марта 2012 г.
8. Йейтс, Роберт С. (1942). Задача трисекции (PDF) . Национальный совет учителей математики. стр. 39–42. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
9. Людвиг Бибербах (1932) «Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen», Journal für die reine und angewandte Mathematik , Х. Хассе и Л. Шлезингер, Band 167 Berlin, стр. 142–146 онлайн-копия (ГДЗ). Проверено 2 июня 2017 г.
10. Джим Лой «Трисекция угла». Архивировано из оригинала 4 ноября 2013 года . Проверено 4 ноября 2013 г.
11. Хатчесон, Томас В. (май 2001 г.). «Деление любого угла на любое количество равных частей». Учитель математики . 94 (5): 400–405. дои : 10.5951/MT.94.5.0400.
12. Исаак, Руфус, «Две математические статьи без слов», Mathematics Magazine 48, 1975, стр. 198. Перепечатано в журнале Mathematics Magazine 78, апрель 2005 г., стр. 111.
13. Gleason, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. дои : 10.2307/2323624. JSTOR  2323624. Архивировано из оригинала (PDF) 5 ноября 2014 г.

дальнейшее чтение

• Курант, Ричард, Герберт Роббинс, Ян Стюарт, Что такое математика?: элементарный подход к идеям и методам , Oxford University Press, США, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3 . 

Внешние ссылки

• Сайт MathWorld
• Геометрические задачи древности, в том числе трисекция угла.
• Немного истории
• Одно звено построения отмеченной линейки
• Другой, упоминающий Архимеда
• Длинная статья со множеством приближений и выходом за рамки греческого языка.
• Геометрический сайт

Другие способы трисекции

• Приблизительный угол трисекции в виде анимации, макс. погрешность угла ≈ ±4E-8°
• Трисекция (Архивировано 25 октября 2009 г. ) лимакона Паскаля ; см. также Трисектриса
• Трисекция по спирали Архимеда.
• Трисекция через Раковину Никомеда
• Сайт sciencenews.org об использовании оригами
• Гиперболическая трисекция и спектр правильных многоугольников