Изгиб

Математическая идеализация следа, оставленного движущейся точкой

Парабола , одна из простейших кривых, после (прямых) линий

В математике кривая (в старых текстах также называемая кривой линией ) — это объект, похожий на линию , но не обязательно прямой .

Интуитивно кривую можно представить как след, оставленный движущейся точкой . Это определение появилось более 2000 лет назад в «Началах» Евклида : «[Изогнутая] линия ^[a] есть […] первый вид величины, которая имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины или глубины, и есть не что иное, как поток или бег точки, которая […] оставит после своего воображаемого движения некоторый след в длине, без какой-либо ширины». ^[1]

Это определение кривой было формализовано в современной математике следующим образом: Кривая — это изображение интервала в топологическом пространстве непрерывной функцией . В некоторых контекстах функция, определяющая кривую, называется параметризацией , а кривая — параметрической кривой . В этой статье эти кривые иногда называются топологическими кривыми , чтобы отличать их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые . Это определение охватывает большинство кривых, которые изучаются в математике; заметными исключениями являются кривые уровня (которые являются объединениями кривых и изолированных точек) и алгебраические кривые (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называются неявными кривыми , поскольку они, как правило, определяются неявными уравнениями .

Тем не менее, класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые выглядят не так, как можно было бы ожидать от кривой, или даже не могут быть нарисованы. Это случай заполняющих пространство кривых и фрактальных кривых . Для обеспечения большей регулярности часто предполагается, что функция, определяющая кривую, дифференцируема , и тогда говорят, что кривая является дифференцируемой кривой .

Плоская алгебраическая кривая — это нулевое множество многочлена от двух неизвестных . В более общем смысле алгебраическая кривая — это нулевое множество конечного множества многочленов, которое удовлетворяет дополнительному условию быть алгебраическим многообразием размерности один . Если коэффициенты многочленов принадлежат полю k , говорят, что кривая определена над k . В общем случае действительной алгебраической кривой , где k — поле действительных чисел , алгебраическая кривая — это конечное объединение топологических кривых. Когда рассматриваются комплексные нули, получается комплексная алгебраическая кривая , которая с топологической точки зрения является не кривой, а поверхностью , и часто называется римановой поверхностью . Хотя они и не являются кривыми в общепринятом смысле, алгебраические кривые, определенные над другими полями, широко изучались. В частности, алгебраические кривые над конечным полем широко используются в современной криптографии .

История

Мегалитическое искусство из Ньюгрейнджа, демонстрирующее ранний интерес к изгибам

Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математического изучения. Это можно увидеть в многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на повседневных предметах, относящихся к доисторическим временам. ^[2] Кривые, или, по крайней мере, их графические изображения, легко создавать, например, палкой на песке на пляже.

Исторически термин линия использовался вместо более современного термина кривая . Поэтому термины прямая линия и прямая линия использовались для различения того, что сегодня называется линиями, от кривых линий. Например, в книге I « Начал» Евклида линия определяется как «длина без ширины» (Определение 2), в то время как прямая линия определяется как «линия, которая лежит равномерно с точками на себе» (Определение 4). Идея Евклида о линии, возможно, проясняется утверждением «Концы линии являются точками» (Определение 3). ^[3] Более поздние комментаторы дополнительно классифицировали линии по различным схемам. Например: ^[4]

• Составные линии (линии, образующие угол)
• Некомпозитные линии
  • Определенные (линии, которые не простираются бесконечно, например, окружность)
  • Неопределенные (линии, которые простираются бесконечно, например, прямая линия и парабола)

Кривые, полученные путем разрезания конуса ( конические сечения ), входили в число кривых, изучавшихся в древнегреческой математике .

Греческие геометры изучали много других видов кривых. Одной из причин был их интерес к решению геометрических задач, которые нельзя было решить с помощью стандартного построения циркуля и линейки . Эти кривые включают:

• Конические сечения, глубоко изученные Аполлонием Пергским
• Циссоида Диокла , изученная Диоклом и использованная им как метод удвоения куба . ^[5]
• Конхоида Никомеда , изученная Никомедом как метод удвоения куба и трисекции угла . ^[6]
• Архимедова спираль , изученная Архимедом как метод трисекции угла и квадратуры круга . ^[7]
• Спиральные сечения , сечения торов, изученные Персеем, как сечения конусов, изучались Аполлонием.

Аналитическая геометрия позволила определять кривые, такие как лист Декарта , с помощью уравнений, а не геометрических построений.

Фундаментальным достижением в теории кривых стало введение аналитической геометрии Рене Декартом в семнадцатом веке. Это позволило описать кривую с помощью уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраическими кривыми , которые можно определить с помощью полиномиальных уравнений , и трансцендентными кривыми , которые нельзя. Ранее кривые описывались как «геометрические» или «механические» в зависимости от того, как они были или предположительно могли быть получены. ^[2]

Конические сечения применялись в астрономии Кеплером . Ньютон также работал над ранним примером в вариационном исчислении . Решения вариационных задач, таких как вопросы брахистохроны и таутохроны , ввели свойства кривых новыми способами (в данном случае циклоиды ). Цепная линия получила свое название как решение задачи о висячей цепи, тип вопроса, который стал обычно доступен с помощью дифференциального исчисления .

В восемнадцатом веке появились зачатки теории плоских алгебраических кривых в целом. Ньютон изучал кубические кривые , в общем описании действительных точек в «овалы». Формулировка теоремы Безу показала ряд аспектов, которые не были напрямую доступны геометрии того времени, связанных с особыми точками и комплексными решениями.

С девятнадцатого века теория кривых рассматривается как частный случай размерности один теории многообразий и алгебраических многообразий . Тем не менее, многие вопросы остаются специфичными для кривых, такие как заполняющие пространство кривые , теорема Жордана о кривых и шестнадцатая проблема Гильберта .

Топологическая кривая

Топологическая кривая может быть задана непрерывной функцией из интервала I действительных чисел в топологическое пространство X. Строго говоря, кривая является образом Однако в некоторых контекстах само по себе называется кривой, особенно когда изображение не похоже на то, что обычно называют кривой, и не характеризует в достаточной степени ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma .}$

Например, изображение кривой Пеано или, в более общем смысле, заполняющей пространство кривой полностью заполняет квадрат и, следовательно, не дает никакой информации о том, как она определяется. ${\displaystyle \gamma }$

Кривая замкнута ^[b] или является петлей, если и . Замкнутая кривая, таким образом, является образом непрерывного отображения окружности . Незамкнутая кривая может также называться открытой кривой . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$

Если область топологической кривой представляет собой замкнутый и ограниченный интервал , то кривая называется путем , также известным как топологическая дуга (или просто ${\displaystyle I=[a,b]}$дуга ).

Кривая является простой , если она является образом интервала или окружности посредством инъективной непрерывной функции. Другими словами, если кривая определяется непрерывной функцией с интервалом в качестве области, кривая является простой тогда и только тогда, когда любые две различные точки интервала имеют различные образы, за исключением, возможно, случая, когда точки являются конечными точками интервала. Интуитивно простая кривая — это кривая, которая «не пересекает сама себя и не имеет недостающих точек» (непрерывная несамопересекающаяся кривая). ^[8] ${\displaystyle \gamma }$

Плоская кривая — это кривая, для которой является евклидова плоскость (это первые примеры, с которыми мы столкнулись) или, в некоторых случаях, проективная плоскость . ${\displaystyle X}$Пространственная кривая — это кривая, которая является по крайней мере трехмерной; косая кривая ${\displaystyle X}$ является пространственной кривой, которая не лежит ни в одной плоскости. Эти определения плоскости, пространства и косых кривых применимы также к действительным алгебраическим кривым , хотя приведенное выше определение кривой не применимо (действительная алгебраическая кривая может быть несвязной ).

Кривая дракона с положительной площадью

Плоская простая замкнутая кривая также называется жордановой кривой . Она также определяется как несамопересекающаяся непрерывная петля на плоскости. ^[9] Теорема о жордановой кривой утверждает, что дополнение множества в плоскости жордановой кривой состоит из двух связных компонент (то есть кривая делит плоскость на две непересекающиеся области, которые обе связаны). Ограниченная область внутри жордановой кривой известна как жорданова область .

Определение кривой включает в себя фигуры, которые в обиходе вряд ли можно назвать кривыми. Например, изображение кривой может покрывать квадрат на плоскости ( кривая, заполняющая пространство ), а простая кривая может иметь положительную площадь. ^[10] Фрактальные кривые могут иметь свойства, странные для здравого смысла. Например, фрактальная кривая может иметь размерность Хаусдорфа больше единицы (см. снежинка Коха ) и даже положительную площадь. Примером может служить кривая дракона , которая имеет много других необычных свойств.

Дифференцируемая кривая

Грубо говоря, дифференцируемая кривая — это кривая, которая определяется как локальное изображение инъективной дифференцируемой функции из интервала I действительных чисел в дифференцируемое многообразие X , часто ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Точнее, дифференцируемая кривая — это подмножество C множества X , где каждая точка C имеет окрестность U , которая диффеоморфна интервалу действительных чисел. ^{[ необходимо пояснение ]} Другими словами, дифференцируемая кривая — это дифференцируемое многообразие размерности один . ${\displaystyle C\cap U}$

Дифференцируемая дуга

В евклидовой геометрии дуга (символ: ⌒ ) — это связное подмножество дифференцируемой кривой.

Дуги линий называются отрезками , лучами или прямыми в зависимости от того, как они ограничены.

Распространенным примером криволинейной фигуры является дуга окружности , называемая дугой окружности .

В сфере (или сфероиде ) дуга большого круга (или большого эллипса ) называется большой дугой .

Длина кривой

Если — -мерное евклидово пространство, а — инъективная и непрерывно дифференцируемая функция, то длина определяется как величина ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.}$

Длина кривой не зависит от параметризации . ${\displaystyle \gamma }$

В частности, длина графика непрерывно дифференцируемой функции, заданной на замкнутом интервале, равна ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x},}$

что можно интуитивно представить как использование теоремы Пифагора в бесконечно малом масштабе непрерывно по всей длине кривой. ^[11]

В более общем случае, если — метрическое пространство с метрикой , то мы можем определить длину кривой как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\},}$

где супремум берется по всем и всем разбиениям . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Спрямляемая кривая — это кривая с конечной длиной. Кривая называется естественной (или единичной скорости или параметризованной длиной дуги), если для любого такого, что , мы имеем ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [a,b]}$ ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.}$

Если является функцией , непрерывной по Липшицу , то она автоматически спрямляема. Более того, в этом случае можно определить скорость (или метрическую производную ) функции в виде ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t\in [a,b]}$

${\displaystyle {\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}$

и затем показать, что

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.}$

Дифференциальная геометрия

Хотя первые примеры кривых, которые встречаются, в основном являются плоскими кривыми (то есть, говоря повседневными словами, кривыми линиями в двумерном пространстве ), есть очевидные примеры, такие как спираль , которые существуют естественным образом в трех измерениях. Потребности геометрии, а также, например, классической механики, состоят в том, чтобы иметь понятие кривой в пространстве любого числа измерений. В общей теории относительности мировая линия является кривой в пространстве-времени .

Если — дифференцируемое многообразие , то мы можем определить понятие дифференцируемой кривой в . Эта общая идея достаточна для охвата многих приложений кривых в математике. С локальной точки зрения можно считать, что — евклидово пространство. С другой стороны, полезно быть более общим, поскольку (например) можно определить касательные векторы к с помощью этого понятия кривой. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Если — гладкое многообразие , то гладкая кривая в — гладкое отображение ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$.

Это базовое понятие. Существуют также все более и более ограниченные идеи. Если — многообразие (т. е. многообразие, графики которого непрерывно дифференцируемы по времени ), то кривая в — это такая кривая, которая только предполагается (т. е . непрерывно дифференцируемой по времени). Если — аналитическое многообразие (т. е. бесконечно дифференцируемое, а графики выражаются в виде степенных рядов ), а — аналитическое отображение, то говорят, что это аналитическая кривая . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Говорят, что дифференцируемая криваярегулярная , если еепроизводнаяникогда не обращается в нуль. (Проще говоря, регулярная кривая никогда не замедляется до остановки и не возвращается к самой себе.) Дведифференцируемые кривые ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X}$и

${\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}$

называются эквивалентными, если существует биективное отображение ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle p\colon J\rightarrow I}$

так что обратное отображение

${\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}$

также , и ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}$

для всех . Отображение называется репараметризацией ; и это создает отношение эквивалентности на множестве всех дифференцируемых кривых в . Дуга — это класс эквивалентности кривых относительно отношения репараметризации. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Алгебраическая кривая

Алгебраические кривые — это кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии . Плоская алгебраическая кривая — это множество точек с координатами x , y, таких, что f ( x , y ) = 0 , где f — многочлен от двух переменных, определенный над некоторым полем F. Говорят, что кривая определена над F. Алгебраическая геометрия обычно рассматривает не только точки с координатами в F, но и все точки с координатами в алгебраически замкнутом поле K.

Если C — кривая , определяемая полиномом f с коэффициентами в F , то говорят, что кривая определена над F.

В случае кривой, определенной над действительными числами , обычно рассматриваются точки с комплексными координатами. В этом случае точка с действительными координатами является действительной точкой , а множество всех действительных точек является действительной частью кривой. Следовательно, только действительная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку действительная часть алгебраической кривой может быть несвязной и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть множество ее комплексных точек, является с топологической точки зрения поверхностью. В частности, неособые комплексные проективные алгебраические кривые называются римановыми поверхностями .

Точки кривой C с координатами в поле G называются рациональными над G и могут быть обозначены C ( G ) . Когда G является полем рациональных чисел , говорят просто о рациональных точках . Например, Великую теорему Ферма можно переформулировать так: При n > 2 каждая рациональная точка кривой Ферма степени n имеет нулевую координату .

Алгебраические кривые также могут быть пространственными кривыми или кривыми в пространстве более высокой размерности, скажем, n. Они определяются как алгебраические многообразия размерности один . Они могут быть получены как общие решения по крайней мере n –1 полиномиальных уравнений от n переменных. Если n –1 полиномов достаточно для определения кривой в пространстве размерности n , то говорят, что кривая является полным пересечением . Исключая переменные (любым инструментом теории исключения ), алгебраическая кривая может быть спроецирована на плоскую алгебраическую кривую , которая, однако, может ввести новые особенности, такие как точки возврата или двойные точки .

Плоская кривая также может быть дополнена до кривой в проективной плоскости : если кривая определяется многочленом f полной степени d , то w ^d f ( u / w , v / w ) упрощается до однородного многочлена g ( u , v , w ) степени d . Значения u , v , w такие, что g ( u , v , w ) = 0 являются однородными координатами точек завершения кривой в проективной плоскости, а точки исходной кривой - это те, для которых w не равно нулю. Примером является кривая Ферма u ⁿ + v ⁿ = w ⁿ , которая имеет аффинную форму x ⁿ + y ⁿ = 1 . Подобный процесс гомогенизации может быть определен для кривых в пространствах более высоких размерностей.

За исключением прямых , простейшими примерами алгебраических кривых являются коники , которые являются неособыми кривыми степени два и рода ноль. Эллиптические кривые , которые являются неособыми кривыми рода один, изучаются в теории чисел и имеют важные приложения в криптографии .

Смотрите также

• Координатная кривая
• Изогнутая дуга
• Подгонка кривой
• Ориентация кривой
• Эскиз кривой
• Дифференциальная геометрия кривых
• Галерея кривых
• Индекс кривой
• Список тем кривых
• Список кривых
• Соприкасающийся круг
• Параметрическая поверхность
• Путь (топология)
• Многоугольная кривая
• Вектор положения
• Векторная функция
  • Бесконечномерная векторная функция
• Номер обмотки

Примечания

1. В современном математическом использовании линия — это прямая. Раньше линии могли быть как изогнутыми, так и прямыми.
2. Этот термин может быть неоднозначным, поскольку незамкнутая кривая может быть замкнутым множеством , как и линия на плоскости.

Ссылки

1. На (довольно старом) французском языке: «La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une измерение à sçavoir долготы, sans aucune latitude ni profondité, и n'est autre выбрал que le flux ou coulement du point, lequel [ …] laissera de son mouvement imaginaire quelque остатки в течение длительного времени, освобожденные от всей широты». Страницы 7 и 8 книги Пьера Марделя «Les quinze livres des élément géométriques d'Eléments d'Elements Géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François» и «augmentez de plusieurs» и демонстраций, с исправлениями ошибок и других переводов , Лион, MDCXLV (1645 г.) .
2. Локвуд стр. ix
3. Хит стр. 153
4. Хит стр. 160
5. Локвуд стр. 132
6. Локвуд стр. 129
7. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Спираль Архимеда», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
8. "Определение Jordan arc на Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc". Dictionary.reference.com . Получено 2012-03-14 .
9. Sulovský, Marek (2012). Глубина, пересечения и конфликты в дискретной геометрии. Logos Verlag Berlin GmbH. стр. 7. ISBN 9783832531195.
10. Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Кривая Жордана с положительной площадью». Труды Американского математического общества . 4 (1). Американское математическое общество : 107–112. doi : 10.2307/1986455 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1986455.
11. Дэвис, Эллери В.; Бренке, Уильям С. (1913). Исчисление. MacMillan Company. стр. 108. ISBN 9781145891982.

• А.С. Пархоменко (2001) [1994], "Линия (кривая)", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Б.И. Голубов (2001) [1994], "Спрямляемая кривая", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Евклид , комментарий и перевод Т. Л. Хита Элементы Том 1 (1908 Кембридж) Google Книги
• Э. Х. Локвуд «Книга кривых» (1961, Кембридж)

Внешние ссылки

• Famous Curves Index, Факультет математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия
• Математические кривые Коллекция из 874 двумерных математических кривых.
• Галерея пространственных кривых, созданных из кругов, включая анимацию Питера Мозеса
• Галерея кривых Бишопа и других сферических кривых, включая анимацию Питера Мозеса
• Статья в энциклопедии математики о линиях.
• Страница Атласа многообразий, посвященная 1-многообразиям.