Вейвлет-преобразование

Математический метод, используемый при сжатии и анализе данных

Пример двумерного дискретного вейвлет-преобразования , используемого в JPEG2000

В математике ряд вейвлетов — это представление квадратично-интегрируемой ( действительной или комплексной ) функции с помощью определенного ортонормированного ряда, сгенерированного вейвлетом . В этой статье дается формальное математическое определение ортонормированного вейвлета и интегрального вейвлет-преобразования . ^{[1] [2] [3] [4] [5]}

Определение

Функция называется ортонормированным вейвлетом, если ее можно использовать для определения базиса Гильберта , то есть полной ортонормированной системы , для гильбертова пространства квадратично интегрируемых функций. ${\displaystyle \psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

Базис Гильберта строится как семейство функций посредством диадических сдвигов и растяжений , ${\displaystyle \{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \psi \,}$

${\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}x-k\right)\,}$

для целых чисел . ${\displaystyle j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} }$

Если под стандартным внутренним произведением на , ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx}$

это семейство ортонормально, это ортонормированная система:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx\\&=\delta _{jl}\delta _{km}\end{aligned}}}$

где находится дельта Кронекера . ${\displaystyle \delta _{jl}\,}$

Полнота удовлетворяется, если каждая функция может быть разложена по базису как ${\displaystyle f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)}$

причем сходимостью ряда следует понимать сходимость по норме . Такое представление f известно как ряд вейвлета . Это означает, что ортонормированный вейвлет является самодвойственным .

Интегральное вейвлет-преобразование — это интегральное преобразование, определяемое как

${\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}f(x)dx\,}$

Коэффициенты вейвлета затем определяются как ${\displaystyle c_{jk}}$

${\displaystyle c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)}$

Здесь называется бинарным расширением или диадическим расширением , а является бинарным или диадическим положением . ${\displaystyle a=2^{-j}}$ ${\displaystyle b=k2^{-j}}$

Принцип

Основная идея вейвлет-преобразований заключается в том, что преобразование должно допускать только изменения во временном расширении, но не в форме, накладывая ограничение на выбор подходящих базисных функций. Изменения во временном расширении должны соответствовать соответствующей частоте анализа базисной функции. Основываясь на принципе неопределенности обработки сигнала,

${\displaystyle \Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}}$

где представляет время и угловую частоту ( , где - обычная частота ). ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle f}$

Чем выше требуемое разрешение по времени, тем ниже должно быть разрешение по частоте. Чем больше выбрано расширение окон анализа , тем больше значение . ${\displaystyle \Delta t}$

Когда большой, ${\displaystyle \Delta t}$

1. Плохое разрешение времени
2. Хорошее разрешение по частоте
3. Низкая частота, большой коэффициент масштабирования

Когда маленький ${\displaystyle \Delta t}$

1. Хорошее временное разрешение
2. Плохое разрешение по частоте
3. Высокая частота, малый коэффициент масштабирования

Другими словами, базисную функцию можно рассматривать как импульсную характеристику системы, с помощью которой функция была отфильтрована. Преобразованный сигнал предоставляет информацию о времени и частоте. Таким образом, вейвлет-преобразование содержит информацию, аналогичную кратковременному преобразованию Фурье , но с дополнительными специальными свойствами вейвлетов, которые проявляются при разрешении по времени на более высоких частотах анализа базисной функции. Разница во временном разрешении на возрастающих частотах для преобразования Фурье и вейвлет-преобразования показана ниже. Однако следует отметить, что разрешение по частоте уменьшается с ростом частот, в то время как временное разрешение увеличивается. Это следствие принципа неопределенности Фурье некорректно отображено на рисунке. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x(t)}$

Это показывает, что вейвлет-преобразование обеспечивает хорошее временное разрешение высоких частот, в то время как для медленно меняющихся функций разрешение по частоте является замечательным.

Другой пример: анализ трех наложенных синусоидальных сигналов с помощью STFT и вейвлет-преобразования. ${\displaystyle y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)}$

Вейвлет-сжатие

Сжатие вейвлетов — это форма сжатия данных , хорошо подходящая для сжатия изображений (иногда также для сжатия видео и аудио ). Известными реализациями являются JPEG 2000 , DjVu и ECW для неподвижных изображений, JPEG XS , CineForm и BBC's Dirac . Цель состоит в том, чтобы хранить данные изображения в как можно меньшем пространстве в файле . Сжатие вейвлетов может быть как без потерь, так и с потерями . ^[6]

Используя вейвлет-преобразование, методы вейвлет-сжатия подходят для представления переходных процессов , таких как ударные звуки в аудио или высокочастотные компоненты в двумерных изображениях, например, изображение звезд на ночном небе. Это означает, что переходные элементы сигнала данных могут быть представлены меньшим объемом информации, чем это было бы в случае использования какого-либо другого преобразования, такого как более распространенное дискретное косинусное преобразование .

Дискретное вейвлет-преобразование успешно применялось для сжатия сигналов электрокардиографа (ЭКГ) ^[7]. В этой работе высокая корреляция между соответствующими вейвлет-коэффициентами сигналов последовательных сердечных циклов используется с использованием линейного прогнозирования.

Сжатие вейвлетов не эффективно для всех типов данных. Сжатие вейвлетов хорошо обрабатывает переходные сигналы. Но гладкие периодические сигналы лучше сжимаются с использованием других методов, в частности традиционного гармонического анализа в частотной области с преобразованиями, связанными с Фурье . Сжатие данных, которые имеют как переходные, так и периодические характеристики, может быть выполнено с помощью гибридных методов, которые используют вейвлеты вместе с традиционным гармоническим анализом. Например, аудиокодек Vorbis в первую очередь использует модифицированное дискретное косинусное преобразование для сжатия звука (который, как правило, является плавным и периодическим), однако позволяет добавлять гибридный банк вейвлет-фильтров для улучшенного воспроизведения переходных процессов. ^[8]

См. Дневник разработчика x264: Проблемы с вейвлетами (2010) для обсуждения практических вопросов современных методов использования вейвлетов для сжатия видео.

Метод

Сначала применяется вейвлет-преобразование. Это создает столько коэффициентов , сколько пикселей в изображении (т. е. пока нет сжатия, так как это всего лишь преобразование). Затем эти коэффициенты можно сжать проще, поскольку информация статистически сконцентрирована всего в нескольких коэффициентах. Этот принцип называется кодированием преобразования . После этого коэффициенты квантуются , а квантованные значения кодируются энтропией и/или кодируются длиной серии .

Некоторые 1D и 2D приложения вейвлет-сжатия используют технику, называемую «вейвлет-следы». ^{[9] [10]}

Оценка

Требование к сжатию изображения

Для большинства естественных изображений спектральная плотность более низкой частоты выше. ^[11] В результате информация о низкочастотном сигнале (опорный сигнал) обычно сохраняется, в то время как информация в детальном сигнале отбрасывается. С точки зрения сжатия и реконструкции изображений вейвлет должен соответствовать следующим критериям при выполнении сжатия изображений:

• Возможность преобразовать исходное изображение в опорный сигнал.
• Реконструкция высочайшей точности на основе опорного сигнала.
• Не должно приводить к появлению артефактов на изображении, восстановленном только с использованием опорного сигнала.

Требование к дисперсии сдвига и поведению звона

Система сжатия изображений Wavelet включает фильтры и децимацию, поэтому ее можно описать как систему с линейным сдвигом-вариантом. Типичная схема преобразования Wavelet представлена ​​ниже:

Система преобразования содержит два фильтра анализа (фильтр нижних частот и фильтр верхних частот ), процесс прореживания, процесс интерполяции и два фильтра синтеза ( и ). Система сжатия и реконструкции обычно включает низкочастотные компоненты, которые являются фильтрами анализа для сжатия изображения и фильтрами синтеза для реконструкции. Чтобы оценить такую ​​систему, мы можем ввести импульс и наблюдать его реконструкцию ; Оптимальным вейвлетом является тот, который приносит минимальную дисперсию сдвига и боковой лепесток к . Несмотря на то, что вейвлет со строгой дисперсией сдвига нереалистичен, можно выбрать вейвлет с небольшой дисперсией сдвига. Например, мы можем сравнить дисперсию сдвига двух фильтров: ^[12] ${\displaystyle h_{0}(n)}$ ${\displaystyle h_{1}(n)}$ ${\displaystyle g_{0}(n)}$ ${\displaystyle g_{1}(n)}$ ${\displaystyle h_{0}(n)}$ ${\displaystyle g_{0}(n)}$ ${\displaystyle \delta (n-n_{i})}$ ${\displaystyle h(n-n_{i})}$ ${\displaystyle h(n-n_{i})}$

Наблюдая за импульсными характеристиками двух фильтров, можно сделать вывод, что второй фильтр менее чувствителен к местоположению входа (т.е. имеет меньший вариант сдвига).

Другой важной проблемой для сжатия и реконструкции изображений является колебательное поведение системы, которое может привести к серьезным нежелательным артефактам в реконструированном изображении. Чтобы достичь этого, вейвлет-фильтры должны иметь большое отношение пика к боковым лепесткам.

До сих пор мы обсуждали одномерное преобразование системы сжатия изображений. Этот вопрос можно распространить на два измерения, при этом предлагается более общий термин — смещаемые многомасштабные преобразования. ^[13]

Вывод импульсного отклика

Как упоминалось ранее, импульсный отклик можно использовать для оценки системы сжатия/реконструкции изображений.

Для входной последовательности опорный сигнал после одного уровня разложения проходит через прореживание с коэффициентом два, в то время как является фильтром нижних частот. Аналогично, следующий опорный сигнал получается путем прохождения через прореживание с коэффициентом два. После L уровней разложения (и прореживания) отклик анализа получается путем сохранения одного из каждых образцов: . ${\displaystyle x(n)=\delta (n-n_{i})}$ ${\displaystyle r_{1}(n)}$ ${\displaystyle x(n)*h_{0}(n)}$ ${\displaystyle h_{0}(n)}$ ${\displaystyle r_{2}(n)}$ ${\displaystyle r_{1}(n)*h_{0}(n)}$ ${\displaystyle 2^{L}}$ ${\displaystyle h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})}$

С другой стороны, для восстановления сигнала x(n) можно рассмотреть опорный сигнал . Если детальные сигналы равны нулю для , то опорный сигнал на предыдущем этапе ( этапе) равен , который получается путем интерполяции и свертки с . Аналогично процедура повторяется для получения опорного сигнала на этапе . После L итераций вычисляется импульсная характеристика синтеза: , которая связывает опорный сигнал и восстановленный сигнал. ${\displaystyle r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})}$ ${\displaystyle d_{i}(n)}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq L}$ ${\displaystyle L-1}$ ${\displaystyle r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})}$ ${\displaystyle r_{L}(n)}$ ${\displaystyle g_{0}(n)}$ ${\displaystyle r(n)}$ ${\displaystyle L-2,L-3,....,1}$ ${\displaystyle h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})}$ ${\displaystyle r_{L}(n)}$

Для получения общей системы анализа/синтеза уровня L ответы анализа и синтеза объединяются следующим образом:

${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)}$.

Наконец, отношение пикового значения к первому боковому лепестку и среднее значение второго бокового лепестка общего импульсного отклика можно использовать для оценки эффективности сжатия вейвлет-изображения. ${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})}$

Сравнение с преобразованием Фурье и частотно-временным анализом

Вейвлеты имеют некоторые небольшие преимущества по сравнению с преобразованиями Фурье в сокращении вычислений при исследовании определенных частот. Однако они редко бывают более чувствительными, и действительно, общий вейвлет Морле математически идентичен кратковременному преобразованию Фурье с использованием функции окна Гаусса. ^[14] Исключением является поиск сигналов известной несинусоидальной формы (например, сердцебиения); в этом случае использование согласованных вейвлетов может превзойти стандартные анализы STFT/Morlet. ^[15]

Другие практические применения

Вейвлет-преобразование может предоставить нам частоту сигналов и время, связанное с этими частотами, что делает его очень удобным для применения в многочисленных областях. Например, обработка сигналов ускорений для анализа походки, ^[16] для обнаружения неисправностей, ^[17] для анализа сезонных смещений оползней, ^[18] для проектирования маломощных кардиостимуляторов, а также в сверхширокополосной (UWB) беспроводной связи. ^{[19] [20] [21]}

1. Дискретизация оси ${\displaystyle c-\tau }$

   Применена следующая дискретизация частоты и времени:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}}$

   Приводя к вейвлетам вида, дискретная формула для базисного вейвлета:

   ${\displaystyle \Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}$

   Для преобразования можно использовать такие дискретные вейвлеты:

   ${\displaystyle Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}$

2. Реализация через БПФ (быстрое преобразование Фурье)

   Как видно из представления вейвлет-преобразования (показано ниже)

   ${\displaystyle Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt}$

   где - коэффициент масштабирования, представляет собой коэффициент сдвига во времени ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \tau }$

   и как уже упоминалось в этом контексте, вейвлет-преобразование соответствует свертке функции и вейвлет-функции. Свертка может быть реализована как умножение в частотной области. При этом следующий подход к реализации приводит к: ${\displaystyle y(t)}$

   • Фурье-преобразование сигнала с помощью БПФ ${\displaystyle y(k)}$
   • Выбор дискретного масштабного коэффициента ${\displaystyle c_{n}}$
   • Масштабирование вейвлет-базисной функции по этому коэффициенту и последующее БПФ этой функции ${\displaystyle c_{n}}$
   • Умножение с преобразованным сигналом YFFT первого шага
   • Обратное преобразование произведения во временную область приводит к для различных дискретных значений и дискретному значению ${\displaystyle Y_{W}(c,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle c_{n}}$
   • Возвращаемся ко второму шагу, пока не будут обработаны все дискретные значения масштабирования ${\displaystyle c_{n}}$
   Существует множество различных типов вейвлет -преобразований для определенных целей. См. также полный список преобразований, связанных с вейвлетами , но наиболее распространенные из них перечислены ниже: вейвлет мексиканской шляпы , вейвлет Хаара , вейвлет Добеши , треугольный вейвлет.
3. Обнаружение неисправностей в электроэнергетических системах. ^[22]
4. Локально адаптивная статистическая оценка функций, гладкость которых существенно варьируется в пределах области определения, или, более конкретно, оценка функций, которые разрежены в области вейвлетов. ^[23]

Временно-причинные вейвлеты

Для обработки временных сигналов в реальном времени важно, чтобы вейвлет-фильтры не обращались к значениям сигнала из будущего, а также чтобы можно было получить минимальные временные задержки. Временно-каузальные вейвлет-представления были разработаны Сзу и др. ^[24] и Линдебергом ^[25] , причем последний метод также включал в себя эффективную по памяти реализацию рекурсивного времени.

Синхронно-сжатое преобразование

Синхронно-сжатое преобразование может значительно улучшить временное и частотное разрешение частотно-временного представления, полученного с помощью обычного вейвлет-преобразования. ^{[26] [27]}

Смотрите также

• Биномиальный QMF (также известный как вейвлет Добеши )
• Биортогональный почти койфлетный базис , который показывает, что вейвлет для сжатия изображений также может быть почти койфлетным (почти ортогональным)
• Преобразование Chirplet
• Комплексное вейвлет-преобразование
• Преобразование Constant-Q
• Непрерывное вейвлет-преобразование
• Вейвлет Добеши
• Дискретное вейвлет-преобразование
• Формат DjVu использует вейвлет-алгоритм IW44 для сжатия изображений.
• Двойной вейвлет
• ECW — геопространственный формат изображений на основе вейвлет-преобразования, разработанный для повышения скорости и эффективности обработки.
• вейвлет Габора
• вейвлет Хаара
• JPEG 2000 — стандарт сжатия изображений на основе вейвлет-преобразования
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Морле вейвлет
• Многомасштабный анализ
• MrSID — формат изображения, разработанный на основе оригинального исследования вейвлет-сжатия в Лос-Аламосской национальной лаборатории (LANL)
• S-преобразование
• Скалограммы — тип спектрограммы, созданный с использованием вейвлетов вместо кратковременного преобразования Фурье.
• Установить разбиение на иерархические деревья
• Кратковременное преобразование Фурье
• Стационарное вейвлет-преобразование
• Частотно-временное представление
• Вейвлет

Ссылки

1. Мейер, Ив (1992), Вейвлеты и операторы, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN  0-521-42000-8
2. Чуй, Чарльз К. (1992), Введение в вейвлеты, Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, ISBN 0-12-174584-8 
3. Добеши, Ингрид. (1992), Десять лекций о вейвлетах, SIAM, ISBN 978-0-89871-274-2 
4. Акансу, Али Н.; Хаддад, Ричард А. (1992), Разложение сигнала с множественным разрешением: преобразования, поддиапазоны и вейвлеты, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6 
5. Гадерпур, Э.; Пагиатакис, С.Д.; Хассан, К.К. (2021). «Обзор обнаружения изменений и анализа временных рядов с приложениями». Прикладные науки . 11 (13): 6141. doi : 10.3390/app11136141 . hdl : 11573/1655273 .
6. JPEG 2000 , например, может использовать вейвлет 5/3 для преобразования без потерь (обратимого) и вейвлет 9/7 для преобразования с потерями (необратимого).
7. Рамакришнан, АГ; Саха, С. (1997). «Кодирование ЭКГ с помощью линейного предсказания на основе вейвлетов» (PDF) . IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 44 (12): 1253–1261. doi :10.1109/10.649997. PMID  9401225. S2CID  8834327.
8. "Спецификация Vorbis I". Фонд Xiph.Org . 4 июля 2020 г. Архивировано из оригинала 3 апреля 2022 г. Получено 10 апреля 2022 г. Vorbis I — это монолитный кодек с адаптивным преобразованием, основанный на модифицированном дискретном косинусном преобразовании. Кодек структурирован так, чтобы позволить добавление гибридного вейвлет-фильтра в Vorbis II для обеспечения лучшего переходного отклика и воспроизведения с использованием преобразования, лучше подходящего для локализованных временных событий.
9. Н. Малмуруган, А. Шанмугам, С. Джаяраман и В.В. Динеш Чандер. «Новый и оригинальный алгоритм сжатия изображений с использованием следов вейвлетов»
10. Хо Татт Вэй и Джеоти, В. "Схема сжатия на основе вейвлет-отпечатков для сигналов ЭКГ". Хо Татт Вэй; Джеоти, В. (2004). "Схема сжатия на основе вейвлет-отпечатков для сигналов ЭКГ". 2004 IEEE Region 10 Conference TENCON 2004. Vol. A. p. 283. doi :10.1109/TENCON.2004.1414412. ISBN 0-7803-8560-8. S2CID  43806122.
11. Дж. Филд, Дэвид (1987). «Связь между статистикой естественных изображений и свойствами реагирования корковых клеток» (PDF) . J. Opt. Soc. Am. A . 4 (12): 2379–2394. Bibcode :1987JOSAA...4.2379F. doi :10.1364/JOSAA.4.002379. PMID  3430225.
12. Вилласенор, Джон Д. (август 1995 г.). «Оценка вейвлет-фильтра для сжатия изображений». Труды IEEE по обработке изображений . 4 (8): 1053–60. Bibcode : 1995ITIP....4.1053V. doi : 10.1109/83.403412. PMID  18291999.
13. Симончелли, EP; Фриман, WT; Адельсон, Э.Х.; Хигер, диджей (1992). «Сдвигаемые многомасштабные преобразования». Транзакции IEEE по теории информации . 38 (2): 587–607. дои : 10.1109/18.119725. S2CID  43701174.
14. Брунс, Андреас (2004). «Анализ сигналов на основе Фурье, Гильберта и вейвлетов: действительно ли это разные подходы?». Журнал методов нейронауки . 137 (2): 321–332. doi :10.1016/j.jneumeth.2004.03.002. PMID  15262077. S2CID  21880274.
15. Кранц, Стивен Г. (1999). Панорама гармонического анализа . Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-031-1.
16. Мартин, Э. (2011). «Новый метод оценки длины шага с помощью сетевых акселерометров области тела». Тематическая конференция IEEE 2011 года по биомедицинским беспроводным технологиям, сетям и системам датчиков . С. 79–82. doi :10.1109/BIOWIRELESS.2011.5724356. ISBN 978-1-4244-8316-7. S2CID  37689047.
17. Лю, Цзе (2012). «Анализ спектра вейвлета Шеннона на усеченных сигналах вибрации для обнаружения зарождающихся неисправностей машины». Measurement Science and Technology . 23 (5): 1–11. Bibcode : 2012MeScT..23e5604L. doi : 10.1088/0957-0233/23/5/055604. S2CID  121684952.
18. Томас, Р.; Ли, З.; Лопес-Санчес, Дж. М.; Лю, П.; Синглтон, А. (1 июня 2016 г.). «Использование вейвлет-инструментов для анализа сезонных колебаний на основе данных временных рядов InSAR: пример оползня Хуангтупо». Оползни . 13 (3): 437–450. Bibcode : 2016Lands..13..437T. doi : 10.1007/s10346-015-0589-y. ISSN  1612-5118.
19. Akansu, AN; Serdijn, WA; Selesnick, IW (2010). «Новые приложения вейвлетов: обзор» (PDF) . Physical Communication . 3 : 1–18. doi :10.1016/j.phycom.2009.07.001.
20. Шейбани, Э.; Джавиди, Г. (декабрь 2009 г.). «Уменьшение размерности и удаление шума в наборах данных беспроводных сенсорных сетей». Вторая международная конференция по вычислительной технике и электротехнике 2009 г. Том 2. стр. 674–677. doi :10.1109/ICCEE.2009.282. ISBN 978-1-4244-5365-8. S2CID  17066179.
21. Шейбани, Э.О.; Джавиди, Г. (май 2012 г.). «Многоуровневые банки фильтров для улучшенной визуализации SAR». Международная конференция по системам и информатике 2012 г. (ICSAI2012) . стр. 2702–2706. doi :10.1109/ICSAI.2012.6223611. ISBN 978-1-4673-0199-2. S2CID  16302915.
22. Сильва, К. М.; Соуза, Б. А.; Брито, Н. С. Д. (октябрь 2006 г.). «Обнаружение и классификация неисправностей в линиях электропередачи на основе вейвлет-преобразования и ИНС». Труды IEEE по доставке электроэнергии . 21 (4): 2058–2063. doi :10.1109/TPWRD.2006.876659. S2CID  36881450.
23. Вассерман, Л. А. (2005). Вся непараметрическая статистика .
24. Szu, Harold H.; Telfer, Brian A.; Lohmann, Adolf W. (1992). "Причинное аналитическое вейвлет-преобразование". Optical Engineering . 31 (9): 1825. Bibcode : 1992OptEn..31.1825S. doi : 10.1117/12.59911.
25. Линдеберг, Т. (23 января 2023 г.). «Причинно-следственное и рекурсивное по времени масштабно-ковариантное масштабно-пространственное представление временных сигналов и прошедшего времени». Биологическая кибернетика . 117 (1–2): 21–59. doi : 10.1007/s00422-022-00953-6 . PMC 10160219. PMID  36689001 . 
26. Добеши, Ингрид; Лу, Цзяньфэн; У, Хау-Тиенг (12 декабря 2009 г.). «Синхронизированные вейвлет-преобразования: инструмент для эмпирической модовой декомпозиции». arXiv : 0912.2437 [math.NA].
27. Цюй, Хонгья; Ли, Тяньтянь; Чэнь, Гэнда (1 января 2019 г.). «Синхронно-сжатое адаптивное вейвлет-преобразование с оптимальными параметрами для произвольных временных рядов». Механические системы и обработка сигналов . 114 : 366–377. Bibcode : 2019MSSP..114..366Q. doi : 10.1016/j.ymssp.2018.05.020 . S2CID  126007150.

Дальнейшее чтение

• Maan, Jeetendrasingh; Prasad, Akhilesh (1 мая 2024 г.). «Преобразование волнового пакета и произведение свертки вейвлетов с использованием индексного преобразования Уиттекера». The Ramanujan Journal . 64 (1): 19–36. doi :10.1007/s11139-023-00793-3. ISSN  1572-9303.
• Прасад, Ахилеш; Маан, Джитендрасингх; Верма, Сандип Кумар (2021). «Вейвлет-преобразования, связанные с индексным преобразованием Уиттекера». Математические методы в прикладных науках . 44 (13): 10734–10752. Bibcode : 2021MMAS...4410734P. doi : 10.1002/mma.7440. ISSN  1099-1476. S2CID  235556542.

Внешние ссылки

• Amara Graps (июнь 1995 г.). «Введение в вейвлеты». IEEE Computational Science and Engineering . 2 (2): 50–61. doi :10.1109/99.388960.
• Роби Поликар (12 января 2001 г.). «Учебник по вейвлетам».
• Краткое введение в вейвлеты Рене Пушингера