Вейвлет

Функция интегрального преобразования Фурье

Вейвлет — это волнообразное колебание с амплитудой , которая начинается с нуля, увеличивается или уменьшается , а затем возвращается к нулю один или несколько раз. Вейвлеты называются «краткими колебаниями». Установлена ​​таксономия вейвлетов, основанная на количестве и направлении их импульсов. Вейвлеты обладают особыми свойствами, которые делают их полезными для обработки сигналов .

Сейсмический вейвлет

Например, можно создать вейвлет с частотой средней до и короткой продолжительностью примерно в одну десятую секунды. Если этот вейвлет свернуть с сигналом, созданным при записи мелодии, то полученный сигнал будет полезен для определения того, когда в песне появилась средняя нота «до». Математически вейвлет коррелирует с сигналом, если часть сигнала аналогична. Корреляция лежит в основе многих практических вейвлет-приложений.

В качестве математического инструмента вейвлеты можно использовать для извлечения информации из многих видов данных, включая аудиосигналы и изображения. Для полного анализа данных необходимы наборы вейвлетов. «Дополнительные» вейвлеты разлагают сигнал без пропусков и перекрытий, так что процесс разложения математически обратим. Таким образом, наборы дополнительных вейвлетов полезны в алгоритмах сжатия/декомпрессии на основе вейвлетов , где желательно восстановить исходную информацию с минимальными потерями.

Формально это представление представляет собой представление в виде вейвлет-серии функции , интегрируемой с квадратом, относительно либо полного ортонормированного набора базисных функций , либо сверхполного набора или фрейма векторного пространства для гильбертова пространства функций, интегрируемых с квадратом. . Это достигается посредством согласованных государств .

В классической физике явление дифракции описывается принципом Гюйгенса-Френеля , который рассматривает каждую точку распространяющегося волнового фронта как совокупность отдельных сферических вейвлетов. ^[1] Характерная картина изгиба наиболее выражена, когда волна от когерентного источника (например, лазера) сталкивается с щелью/апертурой, размер которой сопоставим с ее длиной волны . Это происходит из-за сложения или интерференции различных точек волнового фронта (или, что то же самое, каждого вейвлета), которые проходят по путям разной длины к регистрирующей поверхности. Несколько близко расположенных отверстий (например, дифракционная решетка ) могут привести к образованию сложной картины различной интенсивности.

Этимология

Слово «вейвлет» десятилетиями использовалось в цифровой обработке сигналов и разведочной геофизике. ^[2] Эквивалентное французское слово ondelette , означающее «маленькая волна», использовалось Морле и Гроссманном в начале 1980-х годов.

Теория вейвлетов

Теория вейвлетов применима к нескольким предметам. Все вейвлет-преобразования можно рассматривать как формы частотно-временного представления для непрерывных (аналоговых) сигналов и поэтому они связаны с гармоническим анализом . Дискретное вейвлет-преобразование (непрерывное во времени) дискретного ( выборочного) сигнала с использованием наборов фильтров дискретного времени диадической (октавной полосы) конфигурации представляет собой вейвлет-аппроксимацию этого сигнала. Коэффициенты такого набора фильтров называются коэффициентами сдвига и масштабирования в номенклатуре вейвлетов. Эти наборы фильтров могут содержать фильтры с конечной импульсной характеристикой (FIR) или с бесконечной импульсной характеристикой (IIR). Вейвлеты, образующие непрерывное вейвлет-преобразование (CWT), подчиняются принципу неопределенности анализа Фурье, соответствующей теории выборки: учитывая сигнал с некоторым событием в нем, нельзя одновременно назначить этому событию точную шкалу времени и частотной характеристики. Произведение неопределенностей шкалы времени и частотной характеристики имеет нижнюю границу. Таким образом, на скалограмме непрерывного вейвлет-преобразования этого сигнала такое событие отмечает целую область в плоскости шкалы времени, а не только одну точку. Кроме того, базы дискретных вейвлетов можно рассматривать в контексте других форм принципа неопределенности. ^{[3] [4] [5] [6]}

Вейвлет-преобразования в целом делятся на три класса: непрерывные, дискретные и на основе множественного разрешения.

Непрерывное вейвлет-преобразование (параметры непрерывного сдвига и масштабирования)

В непрерывных вейвлет-преобразованиях данный сигнал конечной энергии проецируется на непрерывное семейство частотных диапазонов (или аналогичные подпространства функционального пространства L p L ² ( R ) ). Например, сигнал может быть представлен в каждой полосе частот формы [ f , 2 f ] для всех положительных частот f > 0. Затем исходный сигнал может быть восстановлен путем подходящего интегрирования по всем результирующим частотным компонентам.

Полосы частот или подпространства (поддиапазоны) представляют собой масштабированные версии подпространства в масштабе 1. Это подпространство, в свою очередь, в большинстве ситуаций генерируется сдвигами одной производящей функции ψ в L ² ( R ), материнском вейвлете . Для примера полосы частот масштаба один [1, 2] эта функция равна

$${\displaystyle \psi (t)=2\,\operatorname {sinc} (2t)-\,\operatorname {sinc} (t)={\frac {\sin(2\pi t)-\sin(\pi t)}{\pi t}}}$$

функцией sinc

Подпространство масштаба a или частотного диапазона [1/ a , 2/ a ] генерируется функциями (иногда называемыми дочерними вейвлетами )

$${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right),}$$

ababR ₊R.

Тогда проекция функции x на подпространство масштаба a имеет вид

$${\displaystyle x_{a}(t)=\int _{\mathbb {R} }WT_{\psi }\{x\}(a,b)\cdot \psi _{a,b}(t)\,db}$$

вейвлет-коэффициентами

$${\displaystyle WT_{\psi }\{x\}(a,b)=\langle x,\psi _{a,b}\rangle =\int _{\mathbb {R} }x(t){\psi _{a,b}(t)}\,dt.}$$

Для анализа сигнала x можно собрать вейвлет-коэффициенты в масштабограмму сигнала.

См. список некоторых непрерывных вейвлетов .

Дискретные вейвлет-преобразования (дискретные параметры сдвига и масштаба, непрерывные во времени)

Вычислительно невозможно проанализировать сигнал, используя все вейвлет-коэффициенты, поэтому можно задаться вопросом, достаточно ли выбрать дискретное подмножество верхней полуплоскости, чтобы иметь возможность восстановить сигнал из соответствующих вейвлет-коэффициентов. Одной из таких систем является аффинная система для некоторых действительных параметров a > 1, b > 0. Соответствующее дискретное подмножество полуплоскости состоит из всех точек ( a ^m , nb a ^m ) с m , n в Z . Соответствующие дочерние вейвлеты теперь задаются как

$${\displaystyle \psi _{m,n}(t)={\frac {1}{\sqrt {a^{m}}}}\psi \left({\frac {t-nba^{m}}{a^{m}}}\right).}$$

Достаточное условие восстановления любого сигнала x конечной энергии по формуле

$${\displaystyle x(t)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\sum _{n\in \mathbb {Z} }\langle x,\,\psi _{m,n}\rangle \cdot \psi _{m,n}(t)}$$

базис L ²R ${\displaystyle \{\psi _{m,n}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

Дискретные вейвлет-преобразования на основе множественного разрешения (непрерывные во времени)

Вейвлет D4

В любом дискретном вейвлет-преобразовании существует только конечное число вейвлет-коэффициентов для каждой ограниченной прямоугольной области в верхней полуплоскости. Тем не менее, каждый коэффициент требует оценки интеграла. В особых ситуациях этой числовой сложности можно избежать, если масштабированные и сдвинутые вейвлеты образуют анализ с множественным разрешением . Это означает, что должна существовать вспомогательная функция , родительский вейвлет φ в L ² ( R ), и что a является целым числом. Типичный выбор — a = 2 и b = 1. Самая известная пара родительских и материнских вейвлетов — это 4-отводный вейвлет Добеши . Обратите внимание, что не каждый ортонормированный дискретный вейвлет-базис может быть связан с анализом с множественным разрешением; например, вейвлет Журна не допускает анализа с несколькими разрешениями. ^[7]

Из вейвлетов матери и отца строятся подпространства

$${\displaystyle V_{m}=\operatorname {span} (\phi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ where }}\phi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi (2^{-m}t-n)}$$

$${\displaystyle W_{m}=\operatorname {span} (\psi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ where }}\psi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi (2^{-m}t-n).}$$

${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle W_{i}}$

Отсюда требуется, чтобы последовательность

$${\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset V_{-2}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$$

множественный анализ²_W m _{является}V mV _{m -1} ${\displaystyle \dots ,W_{1},W_{0},W_{-1},\dots }$

$${\displaystyle V_{m}\oplus W_{m}=V_{m-1}.}$$

По аналогии с теоремой о выборке можно заключить, что пространство V _m с расстоянием выборки 2 ^м более или менее покрывает полосу частот модулирующего сигнала от 0 до 1/2 ^{м -1} . В качестве ортогонального дополнения W _m примерно покрывает полосу [1/2 ^{м -1} , 1/2 ^м ].

Из этих включений и отношений ортогональности, особенно , следует существование последовательностей и удовлетворяющих тождествам ${\displaystyle V_{0}\oplus W_{0}=V_{-1}}$ ${\displaystyle h=\{h_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle g=\{g_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$

$${\displaystyle g_{n}=\langle \phi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$$

${\textstyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }g_{n}\phi (2t-n),}$

$${\displaystyle h_{n}=\langle \psi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$$

уточняющее уравнениебыстрого вейвлет-преобразования ${\textstyle \psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }h_{n}\phi (2t-n).}$

Из многоразрешительного анализа выводится ортогональное разложение пространства L ² как

$${\displaystyle L^{2}=V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}-1}\oplus W_{j_{0}-2}\oplus W_{j_{0}-3}\oplus \cdots }$$

${\displaystyle S\in L^{2}}$

$${\displaystyle S=\sum _{k}c_{j_{0},k}\phi _{j_{0},k}+\sum _{j\leq j_{0}}\sum _{k}d_{j,k}\psi _{j,k}}$$

$${\displaystyle c_{j_{0},k}=\langle S,\phi _{j_{0},k}\rangle }$$

$${\displaystyle d_{j,k}=\langle S,\psi _{j,k}\rangle .}$$

Временные вейвлеты

Для обработки временных сигналов в реальном времени важно, чтобы вейвлет-фильтры не обращались к значениям сигналов из будущего, а также чтобы можно было получить минимальные временные задержки. Представления вейвлетов, зависящих от времени, были разработаны Сью и др. ^[8] и Линдебергом ^[9] , причем последний метод также включает в себя эффективно рекурсивную по времени реализацию.

Материнский вейвлет

Для практических приложений и по соображениям эффективности предпочитают непрерывно дифференцируемые функции с компактной поддержкой в ​​качестве материнского (прототипного) вейвлета (функций). Однако для удовлетворения аналитических требований (в непрерывном WT) и в целом по теоретическим причинам вейвлет-функции выбираются из подпространства пространства. Это пространство измеримых по Лебегу функций, которые являются как абсолютно интегрируемыми , так и интегрируемыми с квадратом в том смысле, что ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} ).}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|\,dt<\infty }$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt<\infty .}$$

Находясь в этом пространстве, можно сформулировать условия нулевого среднего и единицы квадратичной нормы:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0}$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt=1}$$

Чтобы ψ был вейвлетом для непрерывного вейвлет-преобразования (точные формулировки см. здесь), материнский вейвлет должен удовлетворять критерию допустимости (грубо говоря, своего рода полудифференцируемости), чтобы получить стабильно обратимое преобразование.

Для дискретного вейвлет-преобразования необходимо, по крайней мере, условие, что вейвлет-ряд является представлением тождества в пространстве L 2 ⁽ R ) . Большинство конструкций дискретного WT используют мультиразрешающий анализ , который определяет вейвлет с помощью масштабирующей функции. Эта масштабирующая функция сама по себе является решением функционального уравнения.

В большинстве ситуаций полезно ограничить ψ непрерывной функцией с большим числом M исчезающих моментов, т.е. для всех целых m < M

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{m}\,\psi (t)\,dt=0.}$$

Материнский вейвлет масштабируется (или расширяется) в коэффициент a и переводится (или сдвигается) в коэффициент b , что дает (согласно исходной формулировке Морле):

$${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({t-b \over a}\right).}$$

Для непрерывного WT пара ( a , b ) меняется во всей полуплоскости R ₊ × R ; для дискретного WT эта пара меняется на его дискретном подмножестве, которое также называется аффинной группой .

Эти функции часто ошибочно называют базисными функциями (непрерывного) преобразования. Фактически, как и в случае с непрерывным преобразованием Фурье, в непрерывном вейвлет-преобразовании нет основы. Частотно-временная интерпретация использует немного другую формулировку (по Дельпрату).

Ограничение:

1. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{a1,b1}(t)\varphi \left({\frac {t-b}{a}}\right)\,dt}$когда a ₁ = a и b ₁ = b ,
2. ${\displaystyle \Psi (t)}$имеет конечный интервал времени

Сравнение с преобразованием Фурье (непрерывное время)

Вейвлет-преобразование часто сравнивают с преобразованием Фурье , в котором сигналы представляются как сумма синусоид. Фактически преобразование Фурье можно рассматривать как частный случай непрерывного вейвлет-преобразования с выбором материнского вейвлета . Основное различие в целом заключается в том, что вейвлеты локализованы как по времени, так и по частоте, тогда как стандартное преобразование Фурье локализовано только по частоте . Кратковременное преобразование Фурье (STFT) похоже на вейвлет-преобразование тем, что оно также локализовано по времени и частоте, но существуют проблемы с компромиссом между частотой и разрешением по времени. ${\displaystyle \psi (t)=e^{-2\pi it}}$

В частности, предполагая прямоугольную область окна, можно думать о STFT как о преобразовании с немного другим ядром.

$${\displaystyle \psi (t)=g(t-u)e^{-2\pi it}}$$

uтеорему Парсеваля ${\displaystyle g(t-u)}$ ${\textstyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-u}{\Delta _{t}}}\right)}$ ${\displaystyle \Delta _{t}}$

$${\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$$

u

$${\displaystyle \sigma _{u}^{2}={\frac {1}{E}}\int |t-u|^{2}|\psi (t)|^{2}\,dt}$$

и квадрат спектральной опоры окна, действующего на частоте ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\xi }^{2}={\frac {1}{2\pi E}}\int |\omega -\xi |^{2}|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$$

Умножение на прямоугольное окно во временной области соответствует свертке с функцией в частотной области, что приводит к ложным артефактам звона для коротких/локализованных временных окон. С помощью преобразования Фурье с непрерывным временем, и эта свертка выполняется с дельта-функцией в пространстве Фурье, что приводит к истинному преобразованию Фурье сигнала . Оконной функцией может быть какой-либо другой аподизирующий фильтр , например, гауссов . Выбор оконной функции повлияет на ошибку аппроксимации относительно истинного преобразования Фурье. ${\displaystyle \operatorname {sinc} (\Delta _{t}\omega )}$ ${\displaystyle \Delta _{t}\to \infty }$ ${\displaystyle x(t)}$

Произведение временной полосы пропускания ячейки данного разрешения не может быть превышено с помощью STFT. Все базовые элементы STFT поддерживают единую спектральную и временную поддержку для всех временных сдвигов или смещений, тем самым достигая одинакового разрешения во времени для более низких и более высоких частот. Разрешение определяется исключительно шириной выборки.

Напротив, свойства мультиразрешения вейвлет-преобразования обеспечивают большую временную поддержку для более низких частот, сохраняя при этом короткую временную ширину для более высоких частот за счет масштабирующих свойств вейвлет-преобразования. Это свойство расширяет традиционный частотно-временной анализ до анализа в масштабе времени. ^[10]

Атомы частоты времени STFT (слева) и атомы шкалы времени DWT (справа). Частотно-временные атомы представляют собой четыре различные базисные функции, используемые для STFT (т.е. требуются четыре отдельных преобразования Фурье ). Атомы временной шкалы DWT достигают небольшой временной ширины для высоких частот и хорошей временной ширины для низких частот с помощью одного базисного набора преобразований.

Дискретное вейвлет-преобразование является менее сложным в вычислительном отношении и занимает время O( N ) по сравнению с O( N  log  N ) для быстрого преобразования Фурье . Это вычислительное преимущество не присуще преобразованию, а отражает выбор логарифмического деления частоты, в отличие от равноотстоящих друг от друга частотных делений БПФ (быстрого преобразования Фурье), которое использует те же базисные функции, что и ДПФ (дискретное преобразование Фурье). . ^[11] Также важно отметить, что эта сложность применима только тогда, когда размер фильтра не имеет отношения к размеру сигнала. Вейвлет без компактной поддержки , такой как вейвлет Шеннона , потребует O( N ² ). (Например, логарифмическое преобразование Фурье также существует со сложностью O( N ), но исходный сигнал должен быть логарифмически дискретизирован во времени, что полезно только для определенных типов сигналов. ^[12] ).

Определение вейвлета

Вейвлет (или семейство вейвлетов) можно определить различными способами:

Масштабирующий фильтр

Ортогональный вейвлет полностью определяется масштабирующим фильтром – фильтром нижних частот с конечной импульсной характеристикой (FIR) длиной 2 N и суммой 1. В биортогональных вейвлетах определены отдельные фильтры разложения и реконструкции.

Для анализа с использованием ортогональных вейвлетов фильтр верхних частот рассчитывается как квадратурный зеркальный фильтр нижних частот, а фильтры реконструкции являются временными обратными фильтрами разложения.

Вейвлеты Добеши и Симлета могут быть определены с помощью масштабирующего фильтра.

Функция масштабирования

Вейвлеты определяются вейвлет-функцией ψ( t ) (т.е. материнским вейвлетом) и функцией масштабирования φ( t ) (также называемой родительским вейвлетом) во временной области.

Вейвлет-функция по сути представляет собой полосовой фильтр, масштабирование которого для каждого уровня уменьшает вдвое полосу пропускания. Это создает проблему: чтобы охватить весь спектр, потребуется бесконечное количество уровней. Функция масштабирования фильтрует самый низкий уровень преобразования и обеспечивает охват всего спектра. Подробное объяснение см. в ^{[13] .}

Для вейвлета с компактной поддержкой φ( t ) можно считать конечной по длине и эквивалентной масштабирующему фильтру g .

Вейвлеты Мейера можно определить с помощью функций масштабирования.

Вейвлет-функция

Вейвлет имеет только представление во временной области как вейвлет-функция ψ( t ).

Например, вейвлеты мексиканской шляпы могут быть определены с помощью вейвлет-функции. См. список нескольких непрерывных вейвлетов .

История

Развитие вейвлетов можно связать с несколькими отдельными направлениями мысли, начиная с работы Хаара в начале 20 века. Более поздняя работа Денниса Габора выявила атомы Габора (1946), которые устроены аналогично вейвлетам и применяются для аналогичных целей.

Заметный вклад в теорию вейвлетов с тех пор можно отнести к открытию Цвейгом непрерывного вейвлет-преобразования (CWT) в 1975 году (первоначально называемого кохлеарным преобразованием и открытого при изучении реакции уха на звук), ^[14] Пьера Гупийо, Формулировка Гроссмана и Морле того, что сейчас известно как CWT (1982), ранняя работа Яна-Олова Стрёмберга по дискретным вейвлетам (1983), набор неортогональных фильтров Ле Галля-Табатабай (LGT) с 5/3 отводами с линейная фаза (1988), ^{[15] [16] [17]} Ортогональные вейвлеты с компактной поддержкой Ингрид Добеши (1988), неортогональная структура множественного разрешения Маллата (1989), Биномиальная QMF Али Акансу (1990), Натали Частотно-временная интерпретация CWT Дельпратом (1991), гармоническое вейвлет-преобразование Ньюленда (1993) и разделение множеств в иерархических деревьях (SPIHT), разработанные Амиром Саидом совместно с Уильямом А. Перлманом в 1996 году. ^[18]

Стандарт JPEG 2000 разрабатывался с 1997 по 2000 год комитетом Объединенной группы экспертов по фотографии (JPEG) под председательством Тураджа Эбрахими (впоследствии президента JPEG). ^[19] В отличие от алгоритма DCT, используемого в исходном формате JPEG , JPEG 2000 вместо этого использует алгоритмы дискретного вейвлет-преобразования (DWT). Он использует вейвлет-преобразование CDF 9/7 (разработанное Ингрид Добеши в 1992 году) для алгоритма сжатия с потерями и набор фильтров дискретного времени Ле Галля-Табатабай (LGT) 5/3 (разработанный Дидье Ле Галлем и Али Дж. Табатабаи в 1988 году) за алгоритм сжатия без потерь . ^{[20] Технология} JPEG 2000 , включающая расширение Motion JPEG 2000 , была выбрана в качестве стандарта кодирования видео для цифрового кино в 2004 году. ^[21]

График

• Первый вейвлет ( Haar Wavelet ) Альфреда Хаара (1909)
• С 1970-х: Джордж Цвейг , Жан Морле , Алекс Гроссманн.
• С 1980-х: Ив Мейер , Дидье Ле Галль, Али Ж. Табатабай, Стефан Малла , Ингрид Добеши , Рональд Койфман , Али Акансу , Виктор Викерхаузер
• С 1990-х годов: Натали Дельпрат, Ньюленд, Амир Саид, Уильям А. Перлман, Турадж Эбрахими, JPEG 2000.

Вейвлет-преобразования

Вейвлет — это математическая функция, используемая для разделения заданной функции или сигнала непрерывного времени на различные компоненты масштаба. Обычно каждому компоненту шкалы можно назначить частотный диапазон. Затем каждый компонент масштаба можно изучить с разрешением, соответствующим его масштабу. Вейвлет-преобразование — это представление функции вейвлетами. Вейвлеты представляют собой масштабированные и преобразованные копии (известные как «дочерние вейвлеты») осциллирующей формы конечной длины или быстро затухающей формы (известной как «материнский вейвлет»). Вейвлет-преобразования имеют преимущества перед традиционными преобразованиями Фурье для представления функций, имеющих разрывы и острые пики, а также для точного деконструирования и восстановления конечных, непериодических и /или нестационарных сигналов .

Вейвлет-преобразования подразделяются на дискретные вейвлет-преобразования (DWT) и непрерывные вейвлет-преобразования (CWT). Обратите внимание, что и DWT, и CWT являются преобразованиями непрерывного времени (аналоговыми). Их можно использовать для представления непрерывных (аналоговых) сигналов. CWT работают со всеми возможными масштабами и трансляциями, тогда как DWT используют определенное подмножество масштабов и значений перевода или сетку представления.

Существует большое количество вейвлет-преобразований, каждое из которых подходит для разных приложений. Полный список см. в списке преобразований, связанных с вейвлетами, но наиболее распространенные из них перечислены ниже:

• Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT)
• Дискретное вейвлет-преобразование (DWT)
• Быстрое вейвлет-преобразование (FWT)
• Схема подъема и обобщенная схема подъема
• Вейвлет-разложение пакетов (WPD)
• Стационарное вейвлет-преобразование (SWT)
• Дробное преобразование Фурье (FRFT)
• Дробное вейвлет-преобразование (FRWT)

Обобщенные преобразования

Существует ряд обобщенных преобразований, частным случаем которых является вейвлет-преобразование. Например, Йосеф Джозеф Сегман ввел масштаб в группу Гейзенберга , породив пространство непрерывного преобразования, которое является функцией времени, масштаба и частоты. CWT представляет собой двумерный срез полученного трехмерного объема в масштабе времени и частоте.

Другим примером обобщенного преобразования является преобразование лирплета , в котором CWT также является двумерным срезом преобразования лирплета.

Важная область применения обобщенных преобразований включает системы, в которых решающее значение имеет высокое разрешение по частоте. Например, темнопольные электронно-оптические преобразования, промежуточные между прямым и обратным пространством , широко используются при гармоническом анализе кластеризации атомов, т. е. при исследовании кристаллов и кристаллических дефектов . ^[22] Теперь, когда трансмиссионные электронные микроскопы способны предоставлять цифровые изображения с пикометрической информацией об атомной периодичности в наноструктурах всех видов, диапазон приложений распознавания образов ^[23] и деформации ^[24] / метрологии ^[25] для промежуточных преобразований с высоким частотным разрешением (например, кисти ^[26] и риджлеты ^[27] ) быстро растет.

Дробное вейвлет-преобразование (FRWT) представляет собой обобщение классического вейвлет-преобразования в областях дробного преобразования Фурье. Это преобразование способно одновременно предоставлять информацию во временной и дробной области и представлять сигналы в плоскости дробно-временной частоты. ^[28]

Приложения

Обычно аппроксимация DWT используется для сжатия данных , если сигнал уже дискретизирован, а CWT — для анализа сигнала . ^[29] Таким образом, аппроксимация DWT обычно используется в инженерии и информатике, ^[30] и CWT в научных исследованиях. ^[31]

Как и некоторые другие преобразования, вейвлет-преобразования можно использовать для преобразования данных, а затем кодирования преобразованных данных, что приводит к эффективному сжатию. Например, JPEG 2000 — это стандарт сжатия изображений, использующий биортогональные вейвлеты. Это означает, что хотя кадр и переполнен, но это плотный кадр (см. типы кадров векторного пространства ), и для анализа и синтеза используются одни и те же функции кадра (кроме сопряжения в случае комплексных вейвлетов), т.е. , как при прямом, так и при обратном преобразовании. Подробнее см. вейвлет-сжатие .

Связанное использование — сглаживание/шумоподавление данных на основе порогового значения вейвлет-коэффициента, также называемого вейвлет-сжатием. Путем адаптивного определения порога вейвлет-коэффициентов, которые соответствуют нежелательным частотным компонентам, могут быть выполнены операции сглаживания и/или шумоподавления.

Вейвлет-преобразования также начинают использоваться в коммуникационных приложениях. Wavelet OFDM — это базовая схема модуляции, используемая в HD-PLC ( технология связи по линиям электропередачи , разработанная Panasonic ), а также в одном из дополнительных режимов, включенных в стандарт IEEE 1901 . Вейвлет OFDM может достигать более глубоких вырезов, чем традиционный FFT OFDM, а вейвлет OFDM не требует защитного интервала (который обычно представляет собой значительные накладные расходы в системах FFT OFDM). ^[32]

Как представление сигнала

Часто сигналы можно представить в виде суммы синусоид. Однако рассмотрим прерывистый сигнал с резким скачком; этот сигнал все еще можно представить как сумму синусоид, но требуется бесконечное число, что является наблюдением, известным как феномен Гиббса . Таким образом, для этого требуется бесконечное число коэффициентов Фурье, что непрактично для многих приложений, таких как сжатие. Вейвлеты более полезны для описания этих сигналов с разрывами из-за их поведения, локализованного во времени (как преобразования Фурье, так и вейвлет-преобразования локализованы по частоте, но вейвлеты обладают дополнительным свойством локализации во времени). Из-за этого многие типы сигналов на практике могут быть неразреженными в области Фурье, но очень разреженными в области вейвлетов. Это особенно полезно при реконструкции сигналов, особенно в популярной в последнее время области измерения сжатых данных . (Обратите внимание, что кратковременное преобразование Фурье (STFT) также локализовано во времени и частоте, но часто возникают проблемы с компромиссом между разрешением и частотой. Вейвлеты являются лучшим представлением сигнала из-за анализа с множественным разрешением .)

Это объясняет, почему вейвлет-преобразования в настоящее время применяются для огромного количества приложений, часто заменяя обычное преобразование Фурье . Во многих областях физики произошел этот сдвиг парадигмы, включая молекулярную динамику , теорию хаоса , ^[33] расчеты ab initio , астрофизику , анализ данных переходных процессов гравитационных волн , ^{[34] [35]} локализацию матрицы плотности , сейсмологию , оптику , турбулентность и квантовую теорию . механика . Это изменение также произошло в обработке изображений , ЭЭГ , ЭМГ , ^[36] анализе ЭКГ , мозговых ритмах , анализе ДНК , анализе белков , климатологии , анализе сексуальной реакции человека, ^[37] общей обработке сигналов , распознавании речи , акустике, вибрационных сигналах, ^[38] компьютерная графика , мультифрактальный анализ и разреженное кодирование . В компьютерном зрении и обработке изображений понятие представления масштабного пространства и операторов производной Гаусса рассматривается как каноническое многомасштабное представление.

Вейвлетное шумоподавление

Шумоподавление сигнала с помощью порогового значения вейвлет-преобразования

Предположим, мы измеряем шумный сигнал , где представляет сигнал и представляет шум. Предположим, что оно имеет разреженное представление в определенном вейвлет-базисе, и ${\displaystyle x=s+v}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle v\ \sim \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

Пусть вейвлет-преобразование будет , где – вейвлет-преобразование компонента сигнала, а – вейвлет-преобразование шумового компонента. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=W^{T}x=W^{T}s+W^{T}v=p+z}$ ${\displaystyle p=W^{T}s}$ ${\displaystyle z=W^{T}v}$

Большинство элементов имеют значение 0 или близкое к 0, и ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle z\ \sim \ \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

Поскольку он ортогонален, проблема оценки сводится к восстановлению сигнала в гауссовском шуме . Из-за редкости один из методов заключается в применении модели гауссовой смеси для . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Предположим априорное значение , где – дисперсия «значимых» коэффициентов, а – дисперсия «незначимых» коэффициентов. ${\displaystyle p\ \sim \ a{\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{1}^{2})+(1-a){\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{2}^{2})}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Тогда , называется коэффициентом усадки, который зависит от предыдущих отклонений и . При установке коэффициентов, которые падают ниже порога сжатия, на ноль, после применения обратного преобразования ожидаемо небольшое количество сигнала теряется из-за предположения о разреженности. Ожидается, что более крупные коэффициенты в первую очередь будут представлять сигнал из-за разреженности, и статистически ожидается, что очень небольшая часть сигнала, хотя и большая часть шума, будет представлена ​​в таких коэффициентах с более низкой величиной... поэтому ожидается, что операция обнуления будет удалить большую часть шума и не так много сигнала. Обычно коэффициенты над порогом не изменяются в ходе этого процесса. Некоторые алгоритмы шумоподавления на основе вейвлетов также могут ослаблять более крупные коэффициенты на основе статистической оценки количества шума, которое, как ожидается, будет удалено в результате такого ослабления. ${\displaystyle {\tilde {p}}=E(p/y)=\tau (y)y}$ ${\displaystyle \tau (y)}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Наконец, примените обратное вейвлет-преобразование, чтобы получить ${\displaystyle {\tilde {s}}=W{\tilde {p}}}$

Многомасштабная климатическая сеть

Агарвал и др. предложил усовершенствованные линейные ^[39] и нелинейные ^[40] методы на основе вейвлетов для построения и исследования климата как сложных сетей в разных временных масштабах. Климатические сети, построенные с использованием наборов данных ТПО в разных временных масштабах, показали, что многомасштабный анализ климатических процессов на основе вейвлетов обещает лучшее понимание динамики системы, которую можно упустить, если процессы анализируются только в одном временном масштабе ^[41].

Список вейвлетов

Дискретные вейвлеты

• Бейлкин (18)
• Вейвлет Мура
• Биортогональные почти койфлетные вейвлеты (BNC)
• Койфлет (6, 12, 18, 24, 30)
• Вейвлет Коэна-Добеши-Фово (иногда называемый CDF N/P или биортогональными вейвлетами Добеши)
• Вейвлет Добеши (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 и т. д.)
• Биномиальный QMF (также называемый вейвлетом Добеши)
• Вейвлет Хаара
• вейвлет Матье
• Вейвлет Лежандра
• Вейвлет Вилласенор
• Симлет ^[42]

Непрерывные вейвлеты

Реальная стоимость

• Бета-вейвлет
• Эрмитовский вейвлет
• Вейвлет Мейера
• Мексиканская шляпа-вейвлет
• Пуассоновский вейвлет
• Шеннонский вейвлет
• Сплайновый вейвлет
• Вейвлет Стрёмберга

Комплексный

• Сложный вейвлет мексиканской шляпы
• вейвлет fbsp
• Вейвлет Морле
• Шеннонский вейвлет
• Модифицированный вейвлет Морле

Смотрите также

• Преобразование чирплета
• Курвлет
• Цифровое кино
• Уменьшение размеров
• Банки фильтров
• Преобразования, связанные с Фурье
• Фрактальное сжатие
• Дробное преобразование Фурье
• Вейвлет Габора § Вейвлет-пространство ^[43]
• Принцип Гюйгенса – Френеля (физические вейвлеты)
• JPEG 2000
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов для вычисления периодичности любых данных, включая неравномерно расположенные.
• Мультиразрешительный анализ
• Шумлет
• Неразделимый вейвлет
• Масштабировать пространство
• Масштабированная корреляция
• Шерлет
• Кратковременное преобразование Фурье
• Спектрограмма
• Сверхширокополосное радио - передает вейвлеты

Рекомендации

1. Беспроводная связь: принципы и практика, серия «Коммуникационная инженерия и новые технологии Prentice Hall», TS Rappaport, Prentice Hall, 2002, стр. 126.
2. Рикер, Норман (1953). «Вейвлет-сужение, вейвлет-расширение и контроль сейсмического разрешения». Геофизика . 18 (4): 769–792. Бибкод : 1953Geop...18..769R. дои : 10.1190/1.1437927.
3. Мейер, Ив (1992), Вейвлеты и операторы, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-42000-8 
4. Чуи, Чарльз К. (1992), Введение в вейвлеты, Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, ISBN 0-12-174584-8 
5. Добеши, Ингрид. (1992), Десять лекций по вейвлетам, SIAM, ISBN 978-0-89871-274-2 
6. Акансу, Али Н.; Хаддад, Ричард А. (1992), Разложение сигнала с несколькими разрешениями: преобразования, поддиапазоны и вейвлеты, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6 
7. Ларсон, Дэвид Р. (2007), Вейвлет-анализ и приложения (см.: Унитарные системы и наборы вейвлетов) , Appl. Число. Хармон. Anal., Birkhäuser, стр. 143–171.
8. Сзу, Гарольд Х.; Телфер, Брайан А.; Ломанн, Адольф В. (1992). «Каузальное аналитическое вейвлет-преобразование». Оптическая инженерия . 31 (9): 1825. Бибкод : 1992OptEn..31.1825S. дои : 10.1117/12.59911.
9. Линдеберг, Т. (23 января 2023 г.). «Причинно-временное и рекурсивное по времени масштабно-пространственное представление временных сигналов и прошлого времени». Биологическая кибернетика . 117 (1–2): 21–59. дои : 10.1007/s00422-022-00953-6 . ПМЦ 10160219 . ПМИД  36689001. 
10. Маллат, Стефан. «Вейвлет-тур по обработке сигналов. 1998». 250-252.
11. Руководство для ученых и инженеров по цифровой обработке сигналов Стивена В. Смита, доктора философии. глава 8, уравнение 8-1: http://www.dspguide.com/ch8/4.htm
12. Хейнс, В.Г. В.; Джонс, Алан Г. (1988). «Логарифмическое преобразование Фурье» (PDF) . Геофизический журнал (92): 171–178. doi :10.1111/j.1365-246X.1988.tb01131.x. S2CID  9720759.
13. «Действительно дружелюбное руководство по вейвлетам - PolyValens» . www.polyvalens.com .
14. Вайсштейн, Эрик В. «Цвейг, Джордж - из мира научной биографии Эрика Вайсштейна». scienceworld.wolfram.com . Проверено 20 октября 2021 г.
15. Салливан, Гэри (8–12 декабря 2003 г.). «Общие характеристики и соображения по проектированию временного поддиапазонного видеокодирования». МСЭ-Т . Группа экспертов по видеокодированию . Проверено 13 сентября 2019 г.
16. Бовик, Алан С. (2009). Основное руководство по обработке видео. Академическая пресса . п. 355. ИСБН 9780080922508.
17. Галль, Дидье Ле; Табатабай, Али Дж. (1988). «Поддиапазонное кодирование цифровых изображений с использованием симметричных фильтров с коротким ядром и методов арифметического кодирования». ICASSP-88., Международная конференция по акустике, речи и обработке сигналов . С. 761–764 т. 2. дои : 10.1109/ICASSP.1988.196696. S2CID  109186495.
18. Саид, Амир; Перлман, Уильям А. (июнь 1996 г.). «Новый быстрый и эффективный кодек изображений, основанный на разбиении наборов в иерархических деревьях». Транзакции IEEE по схемам и системам видеотехнологий . 6 (3): 243–250. дои : 10.1109/76.499834. ISSN  1051-8215.
19. Таубман, Дэвид; Марселлин, Майкл (2012). Основы, стандарты и практика сжатия изображений JPEG2000: Основы, стандарты и практика сжатия изображений. Springer Science & Business Media . ISBN 9781461507994.
20. Унсер, М.; Блю, Т. (2003). «Математические свойства вейвлет-фильтров JPEG2000» (PDF) . Транзакции IEEE при обработке изображений . 12 (9): 1080–1090. Бибкод : 2003ITIP...12.1080U. дои : 10.1109/TIP.2003.812329. PMID  18237979. S2CID  2765169. Архивировано из оригинала (PDF) 13 октября 2019 г.
21. Шварц, Чарльз С. (2005). Понимание цифрового кино: профессиональный справочник. Тейлор и Фрэнсис . п. 147. ИСБН 9780240806174.
22. П. Хирш, А. Хоуи, Р. Николсон, Д. В. Пэшли и М. Дж. Уилан (1965/1977) Электронная микроскопия тонких кристаллов (Баттервортс, Лондон / Кригер, Малабар, Флорида) ISBN 0-88275-376-2 
23. П. Фраундорф, Дж. Ван, Э. Манделл и М. Роуз (2006) Цифровые таблицы темного поля, Микроскопия и микроанализ 12 : S2, 1010–1011 (ср. arXiv: cond-mat/0403017)
24. Хитч, MJ; Снук, Э.; Килаас, Р. (1998). «Количественное измерение полей смещения и деформации по микрофотографиям HRTEM». Ультрамикроскопия . 74 (3): 131–146. дои : 10.1016/s0304-3991(98)00035-7.
25. Мартин Роуз (2006) Измерения расстояния между полосами решетки на изображении HRTEM с использованием цифрового разложения темного поля (Диссертация магистра по физике, Университет Миссури - Сент-Луис)
26. Ф. Г. Мейер и Р. Р. Койфман (1997) Прикладной и вычислительный гармонический анализ 4 : 147.
27. AG Flesia, H. Hel-Or , A. Averbuch, EJ Candes , RR Coifman и DL Donoho (2001) Цифровая реализация пакетов ridgelet (Academic Press, Нью-Йорк).
28. Ши, Дж.; Чжан, Северная Каролина; Лю, Х.-П. (2011). «Новое дробное вейвлет-преобразование и его приложения». наук. Китай Инф. Наука . 55 (6): 1270–1279. doi : 10.1007/s11432-011-4320-x. S2CID  255201598.
29. AN Akansu, WA Serdijn и IW Selesnick, Новые приложения вейвлетов: обзор, Physical Communication, Elsevier, vol. 3, выпуск 1, стр. 1–18, март 2010 г.
30. Ляхов, Павел; Семенова, Наталья; Нагорнов, Николай; Бергерман, Максим; Абдулсалямова, Альбина (14 ноября 2023 г.). «Высокоскоростная обработка вейвлет-изображений с использованием метода Винограда с понижающей дискретизацией». Математика . 11 (22): 4644. doi : 10.3390/math11224644 . ISSN  2227-7390. Вейвлеты активно используются для решения широкого круга задач обработки изображений в различных областях науки и техники, например, шумоподавления изображений, реконструкции, анализа, анализа и обработки видео. Методы вейвлет-обработки основаны на дискретном вейвлет-преобразовании с использованием одномерной цифровой фильтрации.
31. Донг, Лян; Чжан, Шаохуа; Ган, Тяньсию; Цю, Ян; Сун, Циньфэн; Чжао, Юнтао (01 декабря 2023 г.). «Анализ частотных характеристик потенциала трубы-почвы в условиях помех от блуждающих токов метрополитена с использованием метода непрерывного вейвлет-преобразования». Строительство и строительные материалы . 407 : 133453. doi : 10.1016/j.conbuildmat.2023.133453. ISSN  0950-0618. S2CID  263317973.
32. Стефано Галли; О. Логвинов (июль 2008 г.). «Последние события в стандартизации связи по линиям электропередачи в рамках IEEE». Журнал коммуникаций IEEE . 46 (7): 64–71. дои : 10.1109/MCOM.2008.4557044. S2CID  2650873.Обзор предложения P1901 PHY/MAC.
33. Уотерспун, Т.; и другие. (2009). «Адаптация к грани хаоса с помощью обратной связи в виде случайных вейвлетов». Дж. Физ. Хим . 113 (1): 19–22. Бибкод : 2009JPCA..113...19W. дои : 10.1021/jp804420g. ПМИД  19072712.
34. Эбботт, Бенджамин П.; и другие. (Научное сотрудничество LIGO и сотрудничество Virgo) (2016). «Наблюдение гравитационно-волнового переходного процесса GW150914 с минимальными предположениями». Физ. Преподобный Д. 93 (12): 122004. arXiv : 1602.03843 . Бибкод : 2016PhRvD..93l2004A. doi :10.1103/PhysRevD.93.122004. S2CID  119313566.
35. В. Некула, С. Клименко и Г. Мисельмахер (2012). «Анализ переходных процессов с быстрым частотно-временным преобразованием Вильсона-Добеши». Физический журнал: серия конференций . 363 (1): 012032. Бибкод : 2012JPhCS.363a2032N. дои : 10.1088/1742-6596/363/1/012032 .
36. Дж. Рафи и др. Особенности извлечения сигналов ЭМГ предплечья для протезирования, Экспертные системы с приложениями 38 (2011) 4058–67.
37. Дж. Рафи и др. Женские сексуальные реакции с использованием методов обработки сигналов, Журнал сексуальной медицины 6 (2009) 3086–96. (pdf)
38. Рафи, Дж.; Це, Питер В. (2009). «Использование автокорреляции в вейвлет-коэффициентах для диагностики неисправностей». Механические системы и обработка сигналов . 23 (5): 1554–72. Бибкод : 2009MSSP...23.1554R. дои : 10.1016/j.ymssp.2009.02.008.
39. Агарвал, Анкит; Махешваран, Ратинасами; Марван, Норберт; Цезарь, Левке; Куртс, Юрген (ноябрь 2018 г.). «Многомасштабная мера сходства на основе вейвлетов для сложных сетей» (PDF) . Европейский физический журнал Б. 91 (11): 296. Бибкод : 2018EPJB...91..296A. дои : 10.1140/epjb/e2018-90460-6. eISSN  1434-6036. ISSN  1434-6028. S2CID  125557123.
40. Агарвал, Анкит; Марван, Норберт; Ратинасами, Махешваран; Мерц, Бруно; Куртс, Юрген (13 октября 2017 г.). «Многомасштабный анализ синхронизации событий для раскрытия климатических процессов: подход, основанный на вейвлетах». Нелинейные процессы в геофизике . 24 (4): 599–611. Бибкод : 2017NPGeo..24..599A. дои : 10.5194/npg-24-599-2017 . eISSN  1607-7946. S2CID  28114574.
41. Агарвал, Анкит; Цезарь, Левке; Марван, Норберт; Махешваран, Ратинасами; Мерц, Бруно; Куртс, Юрген (19 июня 2019 г.). «Сетевая идентификация и характеристика телекоммуникационных соединений разных масштабов». Научные отчеты . 9 (1): 8808. Бибкод : 2019NatSR...9.8808A. дои : 10.1038/s41598-019-45423-5. eISSN  2045-2322. ПМК 6584743 . ПМИД  31217490. 
42. Matlab Toolbox – URL: http://matlab.izmiran.ru/help/toolbox/wavelet/ch06_a32.html.
43. Эрик Хьельмас (1999-01-21) URL-адрес Gabor Wavelets : http://www.ansatt.hig.no/erikh/papers/scia99/node6.html

дальнейшее чтение

• Хаар А., Zur Theorie der ortagonalen Funktionensysteme , Mathematische Annalen, 69 , стр. 331–371, 1910.
• Ингрид Добеши , Десять лекций по вейвлетам , Общество промышленной и прикладной математики, 1992, ISBN 0-89871-274-2 . 
• Али Акансу и Ричард Хаддад, Разложение сигнала с несколькими разрешениями: преобразования, поддиапазоны, вейвлеты , Academic Press, 1992, ISBN 0-12-047140-X . 
• П. П. Вайдьянатан , Многоскоростные системы и банки фильтров , Prentice Hall, 1993, ISBN 0-13-605718-7 . 
• Джеральд Кайзер, Дружественное руководство по вейвлетам , Birkhauser, 1994, ISBN 0-8176-3711-7 . 
• Младен Виктор Викерхаузер, Адаптированный вейвлет-анализ от теории к программному обеспечению , AK Peters Ltd, 1994, ISBN 1-56881-041-5 . 
• Мартин Веттерли и Елена Ковачевич, «Вейвлеты и кодирование поддиапазонов», Prentice Hall, 1995, ISBN 0-13-097080-8 . 
• Барбара Берк Хаббард , «Мир согласно вейвлетам: история создания математической техники», AK Peters Ltd, 1998, ISBN 1-56881-072-5 , ISBN 978-1-56881-072-0 .  
• Стефан Малла , «Вейвлет-тур по обработке сигналов», 2-е издание, Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X . 
• Дональд Б. Персиваль и Эндрю Т. Уолден, Вейвлет-методы для анализа временных рядов , Cambridge University Press, 2000, ISBN 0-521-68508-7 . 
• Рамазан Генчай, Фарук Сельчук и Брэндон Уитчер, Введение в вейвлеты и другие методы фильтрации в финансах и экономике , Academic Press, 2001, ISBN 0-12-279670-5 . 
• Пол С. Аддисон, Иллюстрированное руководство по вейвлет-преобразованию , Институт физики , 2002, ISBN 0-7503-0692-0 . 
• Б. Боашаш, редактор, «Анализ и обработка частотно-временных сигналов – полный справочник», Elsevier Science, Оксфорд, 2003, ISBN 0-08-044335-4 . 
• Тони Ф. Чан и Джеки (Цзяньхун) Шен, Обработка и анализ изображений – вариационные, PDE, вейвлет-методы и стохастические методы , Общество прикладной математики, ISBN 0-89871-589-X (2005). 
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 13.10. Вейвлет-преобразования», Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, заархивировано из оригинала 11 августа 2011 г. , получено 13 августа 2011 г..
• «Как вейвлеты позволяют исследователям преобразовывать и понимать данные». Журнал Кванта . 13 октября 2021 г. Проверено 20 октября 2021 г.

Внешние ссылки

• «Вейвлет-анализ», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• 1-й симпозиум NJIT по вейвлетам (30 апреля 1990 г.) (Первая конференция вейвлетов в США)
• Биномиальные вейвлеты Добеши-QMF
• Вейвлеты Гилберта Стрэнга, американского ученого 82 (1994) 250–255. (Очень короткое и превосходное введение)
• Курс по вейвлетам в Калифорнийском университете в Санта-Барбаре, 2004 г.
• Вейвлеты для детей (файл PDF) (Вводный (для очень умных детей!))
• УИТС: Где Старлетка? Словарь десятков вейвлетов и терминов, связанных с вейвлетами, оканчивающихся на -let, от активных до x-лет, через бандлеты, контурлеты, кривые, шумлеты, клинья.
• Вейвлет-преобразование дробного сплайна описывает дробное вейвлет-преобразование , основанное на дробных b-сплайнах.
• «Панорама многомасштабных геометрических представлений, переплетения пространственной, направленной и частотной избирательности» представляет собой учебное пособие по двумерным ориентированным вейвлетам и связанным с ними геометрическим многомасштабным преобразованиям.
• Краткое введение в вейвлеты Рене Пушингера
• Действительно дружелюбное руководство по вейвлетам Клеменса Валенса
• «Как вейвлеты позволяют исследователям преобразовывать и понимать данные». Журнал Кванта . 13 октября 2021 г. Проверено 20 октября 2021 г.