Квадратичная взаимность

Гаусс опубликовал первое и второе доказательства закона квадратичной взаимности для искусств 125–146 и 262 из *Disquisitiones Arithmeticae* в 1801 году.

В теории чисел закон квадратичной взаимности представляет собой теорему о модулярной арифметике , которая дает условия разрешимости квадратных уравнений по модулю простых чисел . В силу своей тонкости он имеет множество формулировок, но самая стандартная формулировка такова:

Закон квадратичной взаимности . Пусть p и q — различные нечетные простые числа, и определите символ Лежандра как:

\left({\frac {q}{p}}\right)={\begin{cases}1 & {\text{if }}n^{2}\equiv q{\bmod {p}}{ \text{ для некоторого целого числа }}n\\-1&{\text{иначе}}\end{cases}}

Затем:

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1} {2}}{\frac {q-1}{2}}}.

Этот закон вместе с дополнениями к нему позволяет легко вычислить любой символ Лежандра, давая возможность определить, существует ли целочисленное решение для любого квадратного уравнения вида для нечетного простого числа ; то есть определить «совершенные квадраты» по модулю . Однако это неконструктивный результат: он вообще не помогает найти конкретное решение; для этого необходимы другие методы. Например, в случае использования критерия Эйлера можно дать явную формулу для «квадратных корней» по модулю квадратичного вычета , а именно: $x^{2}\equiv a{\bmod {p}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ $p\equiv 3{\bmod {4}}$ ${\ displaystyle p}$ $а$

\pm a^{\frac {p+1}{4}}

действительно,

\left(\pm a^{\frac {p+1}{4}}\right)^{2}=a^{\frac {p+1}{2}}=a\cdot a^ {\frac {p-1}{2}}\equiv a\left({\frac {a}{p}}\right)=a{\bmod {p}}.

Эта формула работает только в том случае, если заранее известно, что это квадратичный вычет , что можно проверить с помощью закона квадратичной взаимности. $а$

Квадратичная теорема взаимности была выдвинута Эйлером и Лежандром и впервые доказана Гауссом ^[1] , который называл ее «фундаментальной теоремой» в своих «Disquisitiones Arithmeticae» и своих статьях, написав

Фундаментальную теорему, безусловно, следует считать одной из самых элегантных в своем роде. (Статья 151)

В частном порядке Гаусс называл это «золотой теоремой». ^[2] Он опубликовал шесть доказательств этого, и еще два были найдены в его посмертных статьях. Сейчас опубликовано более 240 доказательств. ^[3] Ниже приводится самое короткое известное доказательство вместе с краткими доказательствами дополнений к закону (символы Лежандра для −1 и 2).

Обобщение закона взаимности на высшие степени было ведущей проблемой в математике и имело решающее значение для развития большей части механизма современной алгебры , теории чисел и алгебраической геометрии , достигнув кульминации в взаимности Артина , теории поля классов и теории Ленглендса. программа .

Мотивирующие примеры

Квадратичная взаимность возникает из-за определенных тонких схем факторизации, включающих идеальные квадратные числа. В этом разделе мы приведем примеры, которые приводят к общему случаю.

Факторинг н2 − 5

Рассмотрим полином и его значения. Простые факторизации этих значений задаются следующим образом: $f(n)=n^{2}-5$ $n\in \mathbb {N}.$

Делящимися простыми множителями являются , и каждое простое число, последняя цифра которого равна или ; никакие простые числа не заканчиваются на и никогда не появляются. Теперь, является простым фактором некоторых , когда , то есть всякий раз , когда 5 является квадратичным вычетом по модулю . Это происходит для и тех простых чисел с и последних чисел и являются в точности квадратичными остатками по модулю . Следовательно, за исключением , мы имеем, что это квадратичный вычет по модулю тогда и только тогда, когда является квадратичным вычетом по модулю . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle f (n)}$ $p=2,5$ $1$ $9$ $3$ $7$ ${\ displaystyle p}$ $n^{2}-5$ $n^{2}-5\equiv 0{\bmod {p}}$ $n^{2}\equiv 5{\bmod {p}},$ ${\ displaystyle p}$ $p=2,5$ $p\equiv 1,4{\bmod {5}},$ $1=(\pm 1)^{2}$ $4=(\pm 2)^{2}$ $5$ $p=2,5$ $5$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ $5$

Закон квадратичной взаимности дает аналогичную характеристику простых делителей для любого простого числа q , что приводит к характеристике для любого целого числа . $f(n)=n^{2}-q$ $q$

Закономерности среди квадратичных остатков

Пусть p — нечетное простое число. Число по модулю p является квадратичным вычетом , если оно конгруэнтно квадрату (mod p ); в противном случае это квадратичный невычет. («Квадратичный» можно опустить, если это ясно из контекста.) Здесь мы исключаем ноль как особый случай. Тогда как следствие того, что мультипликативная группа конечного поля порядка p является циклической порядка p-1 , справедливы следующие утверждения:

Квадратичных остатков и невычетов одинаковое количество; и
Произведение двух квадратичных остатков является остатком, произведение остатка и невычета является невычетом, а произведение двух невычетов является остатком.

Во избежание сомнений, эти утверждения не верны, если модуль не является простым. Например, в мультипликативной группе по модулю 15 всего 3 квадратичных вычета (1, 4 и 9). Причем, хотя 7 и 8 являются квадратичными невычетами, их произведение 7х8 = 11 также является квадратичным невычетом, в отличие от к простому случаю.

Квадратичные остатки отображаются в виде записей в следующей таблице, индексированных по номеру строки как модулю и номеру столбца как корню:

Эта таблица полна для нечетных простых чисел меньше 50. Чтобы проверить, является ли число m квадратичным вычетом по модулю одного из этих простых чисел p , найдите a ≡ m (mod p ) и 0 ≤ a < p . Если a находится в строке p , то m является остатком (mod p ); если a не находится в строке p таблицы, то m является невычетом (mod p ).

Квадратичный закон взаимности — это утверждение, что определенные закономерности, найденные в таблице, в целом верны.

Версия Лежандра

Другой способ упорядочить данные — посмотреть, какие простые числа являются остатками по модулю других простых чисел, как показано в следующей таблице. Запись в столбце q строки p равна R , если q — квадратичный вычет (mod p ); если это невычет, запись равна N.

Если строка, столбец или оба значения ≡ 1 (по модулю 4), запись имеет синий или зеленый цвет; если и строка, и столбец ≡ 3 (по модулю 4), он желтый или оранжевый.

Синие и зеленые записи симметричны вокруг диагонали: запись для строки p и столбца q равна R (соответственно N ) тогда и только тогда, когда запись в строке q и столбце p равна R (соответственно N ).

Желтый и оранжевый, с другой стороны, антисимметричны: запись для строки p и столбца q равна R (соответственно N ) тогда и только тогда, когда запись в строке q и столбце p равна N (соответственно R ).

Закон взаимности утверждает, что эти закономерности справедливы для всех p и q .

Упорядочение строк и столбцов по модулю 4 делает рисунок более понятным.

Дополнения к квадратичной взаимности

В дополнениях представлены решения конкретных случаев квадратичной взаимности. Их часто цитируют как частичные результаты, не прибегая к полной теореме.

д= ±1 и первое дополнение

Тривиально 1 является квадратичным вычетом для всех простых чисел. Вопрос становится более интересным для −1. Исследуя таблицу, мы находим -1 в строках 5, 13, 17, 29, 37 и 41, но не в строках 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 или 47. Все первые простые числа конгруэнтны. равны 1 по модулю 4, а последние конгруэнтны 3 по модулю 4.

Первое дополнение к квадратичной взаимности. Сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда оно конгруэнтно 1 по модулю 4.

x^{2}\equiv -1{\bmod {p}}

p

д= ±2 и второе дополнение

Исследуя таблицу, мы находим 2 в строках 7, 17, 23, 31, 41 и 47, но не в строках 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 или 43. Все первые простые числа равны ≡ ± 1 (по модулю 8), а последние все ≡ ±3 (по модулю 8). Это ведет к

Второе дополнение к квадратичной взаимности. Сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда оно конгруэнтно ±1 по модулю 8.

x^{2}\equiv 2{\bmod {p}}

p

-2 находится в строках 3, 11, 17, 19, 41, 43, но не в строках 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 или 47. Первые равны ≡ 1 или ≡ 3 (по модулю 8) , а последние ≡ 5, 7 (по модулю 8).

д= ±3

3 находится в строках 11, 13, 23, 37 и 47, но не в строках 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 или 43. Первые равны ≡ ±1 (по модулю 12), а вторые все ≡ ±5 (по модулю 12).

−3 находится в строках 7, 13, 19, 31, 37 и 43, но не в строках 5, 11, 17, 23, 29, 41 или 47. Первые равны ≡ 1 (по модулю 3), а вторые ≡ 2. (мод 3).

Поскольку единственный вычет (mod 3) равен 1, мы видим, что −3 является квадратичным вычетом по модулю каждого простого числа, который является вычетом по модулю 3.

д= ±5

5 находится в строках 11, 19, 29, 31 и 41, но не в строках 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 или 47. Первые равны ≡ ±1 (по модулю 5), а вторые ≡ ±2 (мод. 5).

Поскольку единственные вычеты (по модулю 5) равны ±1, мы видим, что 5 является квадратичным вычетом по модулю каждого простого числа, которое является вычетом по модулю 5.

−5 находится в строках 3, 7, 23, 29, 41, 43 и 47, но не в строках 11, 13, 17, 19, 31 или 37. Первые равны ≡ 1, 3, 7, 9 (по модулю 20 ), а последние ≡ 11, 13, 17, 19 (по модулю 20).

Вышед

Наблюдения относительно −3 и 5 продолжают оставаться в силе: −7 является вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда p является вычетом по модулю 7, −11 является вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда p является вычетом по модулю 11, 13 является остаток (mod p ) тогда и только тогда, когда p является вычетом по модулю 13 и т. д. Более сложные на вид правила для квадратичных символов 3 и -5, которые зависят от сравнений по модулю 12 и 20 соответственно, — это просто правила для — 3 и 5 работают с первой добавкой.

Пример. Чтобы −5 был остатком (mod p ), либо оба 5 и −1 должны быть остатками (mod p ), либо они оба должны быть невычетами: т. е. p ≡ ±1 (mod 5) и p ≡ 1. (по модулю 4) или p ≡ ±2 (по модулю 5) и p ≡ 3 (по модулю 4). Используя китайскую теорему об остатках, это эквивалентно p ≡ 1,9 (по модулю 20) или p ≡ 3,7 (по модулю 20).

Обобщением правил для −3 и 5 является утверждение Гаусса о квадратичной взаимности.

Формулировка теоремы

Квадратичная взаимность (утверждение Гаусса). Если , то сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо. Если и , то сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо. $q\equiv 1{\bmod {4}}$ $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ $x^{2}\equiv q{\bmod {p}}$ $q\equiv 3{\bmod {4}}$ $p\equiv 3{\bmod {4}}$ $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ $x^{2}\equiv -q{\bmod {p}}$

Квадратичная взаимность (комбинированное утверждение). Определять . Тогда сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда оно разрешимо. $q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q$ $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ $x^{2}\equiv q^{*}{\bmod {p}}$

Квадратичная взаимность (утверждение Лежандра). Если p или q конгруэнтны 1 по модулю 4, то: разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо. Если p и q конгруэнтны 3 по модулю 4, то: разрешимо тогда и только тогда, когда неразрешимо. $x^{2}\equiv q{\bmod {p}}$ $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ $x^{2}\equiv q{\bmod {p}}$ $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$

Последнее немедленно эквивалентно современной форме, указанной во введении выше. Это простое упражнение, позволяющее доказать эквивалентность утверждений Лежандра и Гаусса – оно требует не более чем первого дополнения и фактов умножения вычетов и невычетов.

Доказательство

По-видимому, самое короткое известное доказательство было опубликовано Б. Векличем в журнале American Mathematical Monthly . ^[4]

Доказательства добавок

Значение символа Лежандра (использованного в доказательстве выше) следует непосредственно из критерия Эйлера : $-1$

\left({\frac {-1}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\bmod {p}}

по критерию Эйлера, но обе стороны этого сравнения являются числами вида , поэтому они должны быть равны. $\pm 1$

Является ли вычет квадратичным, можно сделать вывод, если известно количество решений уравнения, которое можно решить стандартными методами. А именно, все его решения где можно сгруппировать в восьмерки вида , и осталось четыре решения вида и, возможно, четыре дополнительных решения где и , которые существуют именно в том случае, если – квадратичный вычет. То есть является квадратичным вычетом именно в том случае, если число решений этого уравнения делится на . И это уравнение здесь можно решить точно так же, как и над рациональными числами: подставить , где мы требуем, что (опустив два решения ), тогда исходное уравнение преобразуется в $2$ $x^{2}+y^{2}=2$ $x,y\in \mathbb {Z} _{p},$ $xy\neq 0,x\neq \pm y$ $(\pm x,\pm y),(\pm y,\pm x)$ $(\pm 1,\pm 1)$ $x^{2}=2,y=0$ $x=0,y^{2}=2$ $2$ $2$ $8$ $x=a+1,y=at+1$ $a\neq 0$ $(1,\pm 1)$

a=-{\frac {2(t+1)}{(t^{2}+1)}}.

Здесь может быть любое значение, которое не обнуляет знаменатель – для чего есть возможности (т.е. если это остаток, если нет) – а также не обнуляет , что исключает еще один вариант, . Таким образом, существуют $t$ $1+\left({\frac {-1}{p}}\right)$ $2$ $-1$ $0$ $a$ $t=-1$

p-\left(1+\left({\frac {-1}{p}}\right)\right)-1

возможности для , и поэтому вместе с двумя исключенными решениями существуют полные решения исходного уравнения. Следовательно, является остатком по модулю тогда и только тогда, когда делит . Это переформулировка приведенного выше условия. $t$ $p-\left({\frac {-1}{p}}\right)$ $2$ $p$ $8$ $p-(-1)^{\frac {p-1}{2}}$

История и альтернативные утверждения

Теорема была сформулирована во многих отношениях до ее современной формы: у Эйлера и Лежандра не было обозначения сравнения Гаусса, а у Гаусса не было символа Лежандра.

В этой статье p и q всегда относятся к различным положительным нечетным простым числам, а x и y — к неопределенным целым числам.

Ферма

Ферма доказал ^[5] (или утверждал, что доказал) ^[6] ряд теорем о выражении простого числа через квадратичную форму:

{\begin{aligned}p=x^{2}+y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {4}}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {3}}\\\end{aligned}}

Он не сформулировал закон квадратичной взаимности, хотя случаи −1, ±2 и ±3 легко выводятся из этих и других его теорем.

Он также утверждал, что у него есть доказательство того, что если простое число p заканчивается на 7 (по основанию 10), а простое число q заканчивается на 3 и p ≡ q ≡ 3 (по модулю 4), то

pq=x^{2}+5y^{2}.

Эйлер предположил, а Лагранж доказал, что ^[7]

{\begin{aligned}p&\equiv 1,9{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad p=x^{2}+5y^{2}\\p,q&\equiv 3,7{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad pq=x^{2}+5y^{2}\end{aligned}}

Доказательство этих и других утверждений Ферма было одним из тех, что привело математиков к теореме взаимности.

Эйлер

В переводе на современные обозначения Эйлер заявил ^[8], что для различных нечетных простых чисел p и q :

Если q ≡ 1 (mod 4), то q является квадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число b такое, что p ≡ b ² (mod q ).
Если q ≡ 3 (mod 4), то q является квадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число b , которое нечетно и не делится на q, такое, что p ≡ ± b ² (mod 4 q ).

Это эквивалентно квадратичной взаимности.

Он не смог этого доказать, но доказал второе дополнение. ^[9]

Лежандр и его символ

Ферма доказал, что если p — простое число и a — целое число, то

a^{p}\equiv a{\bmod {p}}.

Таким образом, если p не делит a , используя неочевидный факт (см., например, Айрленд и Розена ниже), что вычеты по модулю p образуют поле и, следовательно, в частности, мультипликативная группа является циклической, следовательно, может быть не более двух решений для квадратное уравнение:

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1{\bmod {p}}.

Лежандр ^[10] предполагает, что a и A представляют собой положительные простые числа ≡ 1 (по модулю 4), а b и B — положительные простые числа ≡ 3 (по модулю 4), и приводит таблицу из восьми теорем, которые вместе эквивалентны квадратичной взаимности:

Он говорит, что поскольку выражения вида

N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}},\qquad \gcd(N,c)=1

будут появляться так часто, что он будет сокращать их так:

\left({\frac {N}{c}}\right)\equiv N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}}=\pm 1.

Теперь это известно как символ Лежандра , и сегодня используется эквивалентное определение ^[11]^{[12] : для всех целых чисел}a и всех нечетных простых чисел p

\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\bmod {p}}\\1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and }}\exists x:a\equiv x^{2}{\bmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and there is no such }}x.\end{cases}}

Версия квадратичной взаимности Лежандра

\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 1{\bmod {4}}\quad {\text{ or }}\quad q\equiv 1{\bmod {4}}\\-\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 3{\bmod {4}}\quad {\text{ and }}\quad q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}

Он отмечает, что их можно комбинировать:

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.

Ряд доказательств, особенно основанных на лемме Гаусса , ^[13] явно вычисляют эту формулу.

Дополнительные законы с использованием символов Лежандра

{\begin{aligned}\left({\frac {-1}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&p\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&p\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}

Из этих двух дополнений мы можем получить третий закон взаимности для квадратичного характера -2 следующим образом:

Чтобы -2 был квадратичным остатком, либо -1, либо 2 являются квадратичными остатками, либо оба невычетами: . ${\bmod {p}}$

Итак, либо оба четные, либо оба нечетные. Сумма этих двух выражений равна ${\frac {p-1}{2}}{\text{ or }}{\frac {p^{2}-1}{8}}$

{\frac {p^{2}+4p-5}{8}}

что является целым числом. Поэтому,

{\begin{aligned}\left({\frac {-2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}+4p-5}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}

Попытка Лежандра доказать взаимность основана на его теореме:

Теорема Лежандра. Пусть a , b и c — целые числа, где любая пара из трех относительно проста. Более того, предположим, что хотя бы один из ab , bc или ca отрицателен (т. е. не все они имеют одинаковый знак). Если

{\begin{aligned}u^{2}&\equiv -bc{\bmod {a}}\\v^{2}&\equiv -ca{\bmod {b}}\\w^{2}&\equiv -ab{\bmod {c}}\end{aligned}}

разрешимы, то следующее уравнение имеет нетривиальное решение в целых числах:

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0.

Пример. Теорема I решается, если a ≡ 1 и b ≡ 3 (mod 4) являются простыми числами, и предполагая, что и, вопреки теореме, что Тогда есть решение, а проведение сравнений (mod 4) приводит к противоречию. $\left({\tfrac {b}{a}}\right)=1$ $\left({\tfrac {a}{b}}\right)=-1.$ $x^{2}+ay^{2}-bz^{2}=0$

Этот метод не работает для теоремы VIII. Пусть b ≡ B ≡ 3 (mod 4) и предположим, что

\left({\frac {B}{b}}\right)=\left({\frac {b}{B}}\right)=-1.

Тогда если существует другое простое число p ≡ 1 (mod 4) такое, что

\left({\frac {p}{b}}\right)=\left({\frac {p}{B}}\right)=-1,

разрешимость приводит к противоречию (по модулю 4). Но Лежандр не смог доказать, что такое простое число p должно существовать ; Позже он смог показать, что все, что требуется, это: $Bx^{2}+by^{2}-pz^{2}=0$

Лемма Лежандра. Если p — простое число, конгруэнтное 1 по модулю 4, то существует нечетное простое число q такое, что

\left({\tfrac {p}{q}}\right)=-1.

но и этого он не смог доказать. Символ Гильберта (ниже) описывает, как можно заставить работать методы, основанные на существовании решений . $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$

Гаусс

Часть статьи 131 первого издания (1801 г.) Disquisitiones , в которой перечислены 8 случаев квадратичной взаимности.

Гаусс сначала доказывает ^[14] дополнительные законы. Он закладывает ^[15] основу индукции, доказывая теоремы для ±3 и ±5. Отмечая ^[16] , что для −3 и +5 легче сформулировать, чем для +3 или −5, он формулирует ^[17] общую теорему в виде:

Если p — простое число формы 4 n + 1, то p , но если p имеет форму 4 n + 3, то − p , является квадратичным вычетом (соответственно невычетом) каждого простого числа, которое с положительным знаком является остатком (соответственно невычетом) числа p . В следующем предложении он называет это «фундаментальной теоремой» (Гаусс никогда не использовал слово «взаимность»).

Вводя обозначение a R b (соответственно a N b ), чтобы обозначить, что a является квадратичным вычетом (соответственно невычетом) (mod b ), и позволяя a , a ′ и т. д. представлять положительные простые числа ≡ 1 (mod 4) и b , b ′ и т. д. положительные простые числа ≡ 3 (по модулю 4), он разбивает его на те же 8 случаев, что и Лежандр:

В следующей статье он обобщает это на основные правила для символа Якоби (ниже). Пусть A , A ′ и т. д. представляют собой любые (простые или составные) положительные числа ≡ 1 (по модулю 4), а B , B ′ и т. д. положительные числа ≡ 3 (mod 4):

Все эти случаи принимают форму: «если простое число является остатком (по модулю составного), то составное является остатком или невычетом (по модулю простого числа), в зависимости от сравнений (по модулю 4)». Он доказывает, что они следуют из случаев 1) — 8).

Гаусс нуждался и смог доказать ^[18] лемму, подобную той, что требовалась Лежандру:

Лемма Гаусса. Если p — простое число, конгруэнтное 1 по модулю 8, то существует нечетное простое число q такое, что:

q<2{\sqrt {p}}+1\quad {\text{and}}\quad \left({\frac {p}{q}}\right)=-1.

Доказательство квадратичной взаимности использует полную индукцию .

Версия Гаусса в символах Лежандра.

\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\frac {q}{p}}\right)&q\equiv 1{\bmod {4}}\\\left({\frac {-q}{p}}\right)&q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}

Их можно комбинировать:

Комбинированная версия Гаусса в символах Лежандра. Позволять

q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.

Другими словами:

|q^{*}|=|q|\quad {\text{and}}\quad q^{*}\equiv 1{\bmod {4}}.

Затем:

\left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q^{*}}{p}}\right).

Ряд доказательств теоремы, особенно основанных на суммах Гаусса ^[19] или расщеплении простых чисел в полях алгебраических чисел , ^[20]^[21], выводят эту формулу.

Другие заявления

Утверждения в этом разделе эквивалентны квадратичной взаимности: если, например, предполагается версия Эйлера, из нее можно вывести версию Лежандра-Гаусса, и наоборот.

Формулировка Эйлера квадратичной взаимности. ^[22] Если тогда

p\equiv \pm q{\bmod {4a}}

\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {a}{q}}\right).

Это можно доказать с помощью леммы Гаусса .

Квадратичная взаимность (Гаусс; четвертое доказательство). ^[23] Пусть a , b , c ,... — неравные положительные нечетные простые числа, произведение которых равно n , и пусть m — их количество, равное ≡ 3 (mod 4); проверить, является ли n / a остатком a , является ли n / b остатком b , .... Число найденных невычетов будет четным, когда m ≡ 0, 1 (mod 4), и нечетным, если м ≡ 2, 3 (по модулю 4).

Четвертое доказательство Гаусса состоит из доказательства этой теоремы (путем сравнения двух формул для значения суммы Гаусса) и последующего ограничения ее двумя простыми числами. Затем он приводит пример: пусть a = 3, b = 5, c = 7 и d = 11. Три из них: 3, 7 и 11 ≡ 3 (mod 4), поэтому m ≡ 3 (mod 4). 5×7×11 Р 3; 3×7×11 Р 5; 3×5×11 Р 7; и 3×5×7 N 11, так что невычетов нечетное количество.

Формулировка Эйзенштейном квадратичной взаимности. ^[24] Предположим

p\neq q,\quad p'\neq q',\quad p\equiv p'{\bmod {4}},\quad q\equiv q'{\bmod {4}}.

Затем

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{q'}}\right)\left({\frac {q'}{p'}}\right).

Формулировка Морделла квадратичной взаимности. ^[25] Пусть a , b и c — целые числа. Для каждого простого числа p , делящего abc , если выполнено сравнение

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {\tfrac {4abc}{p}}}

имеет нетривиальное решение, то оно имеет и:

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {4abc}}.

Формулировка дзета-функции

Как упоминалось в статье о дзета-функциях Дедекинда , квадратичная взаимность эквивалентна тому, что дзета-функция квадратичного поля является произведением дзета-функции Римана и некоторой L-функции Дирихле.

Символ Якоби

Символ Якоби является обобщением символа Лежандра; Основное отличие состоит в том, что нижнее число должно быть положительным и нечетным, но не обязательно простым. Если оно простое, два символа совпадают. Он подчиняется тем же правилам манипуляции, что и символ Лежандра. В частности

{\begin{aligned}\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&n\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\\\left({\frac {-2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}+4n-5}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}

и если оба числа положительны и нечетны (иногда это называют «законом взаимности Якоби»):

\left({\frac {m}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(m-1)(n-1)}{4}}\left({\frac {n}{m}}\right).

Однако если символ Якоби равен 1, но знаменатель не является простым числом, из этого не обязательно следует, что числитель является квадратичным вычетом знаменателя. Случаи Гаусса 9)–14), приведенные выше, можно выразить через символы Якоби:

\left({\frac {M}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(M-1)}{4}}\left({\frac {p}{M}}\right),

и поскольку p — простое число, левая часть является символом Лежандра, и мы знаем, является ли M вычетом по модулю p или нет.

Формулы, перечисленные в предыдущем разделе, верны для символов Якоби, если эти символы определены. Формулу Эйлера можно записать

\left({\frac {a}{m}}\right)=\left({\frac {a}{m\pm 4an}}\right),\qquad n\in \mathbb {Z} ,m\pm 4an>0.

Пример.

\left({\frac {2}{7}}\right)=\left({\frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{23}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)=\cdots =1.

2 — остаток по модулю простых чисел 7, 23 и 31:

3^{2}\equiv 2{\bmod {7}},\quad 5^{2}\equiv 2{\bmod {23}},\quad 8^{2}\equiv 2{\bmod {31}}.

Но 2 не является квадратичным вычетом по модулю 5, поэтому оно не может быть единицей по модулю 15. Это связано с проблемой Лежандра: если тогда a является невычетом по модулю каждого простого числа в арифметической прогрессии m + 4 a , m + 8 a , ..., если в этом ряду есть простые числа, но это было доказано только спустя десятилетия после Лежандра. ^[26] $\left({\tfrac {a}{m}}\right)=-1,$

Формула Эйзенштейна требует условий относительной простоты (которые верны, если числа простые).

Пусть – положительные нечетные целые числа такие, что:

a,b,a',b'

{\begin{aligned}\gcd &(a,b)=\gcd(a',b')=1\\&a\equiv a'{\bmod {4}}\\&b\equiv b'{\bmod {4}}\end{aligned}}

Затем

\left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=\left({\frac {a'}{b'}}\right)\left({\frac {b'}{a'}}\right).

Символ Гильберта

Квадратичный закон взаимности можно сформулировать в терминах символа Гильберта , где a и b — любые два ненулевых рациональных числа, а v пробегает все нетривиальные абсолютные значения рациональных чисел (архимедово и p -адические абсолютные значения для простых чисел). п ). Символ Гильберта равен 1 или −1. Оно определяется как 1 тогда и только тогда, когда уравнение имеет решение при пополнении рациональных чисел в точке v , отличной от . Закон взаимности Гильберта утверждает , что при фиксированных a и b и изменении v равно 1 для всех, кроме конечного числа v , а произведение по всем v равно 1. (Формально это напоминает теорему о вычетах из комплексного анализа.) $(a,b)_{v}$ $(a,b)_{v}$ $ax^{2}+by^{2}=z^{2}$ $x=y=z=0$ $(a,b)_{v}$ $(a,b)_{v}$

Доказательство взаимности Гильберта сводится к проверке нескольких частных случаев, причем нетривиальные случаи оказываются эквивалентными основному закону и двум дополнительным законам квадратичной взаимности для символа Лежандра. В законе взаимности Гильберта нет взаимности; его название просто указывает на исторический источник результата квадратичной взаимности. В отличие от квадратичной взаимности, которая требует условий знака (а именно положительности задействованных простых чисел) и специального обращения с простым числом 2, закон взаимности Гильберта рассматривает все абсолютные значения рациональных чисел на равных основаниях. Следовательно, это более естественный способ выражения квадратичной взаимности с целью обобщения: закон взаимности Гильберта с очень небольшими изменениями распространяется на все глобальные поля , и это расширение можно по праву считать обобщением квадратичной взаимности на все глобальные поля.

Связь с круговыми полями

Ранние доказательства квадратичной взаимности относительно неясны. Ситуация изменилась, когда Гаусс использовал суммы Гаусса, чтобы показать, что квадратичные поля являются подполями круговых полей , и неявно вывел квадратичную взаимность из теоремы взаимности для круговых полей. Его доказательство было представлено в современной форме более поздними теоретиками алгебраических чисел. Это доказательство послужило шаблоном для теории полей классов , которую можно рассматривать как обширное обобщение квадратичной взаимности.

Роберт Ленглендс сформулировал программу Ленглендса , которая дает предположительное обширное обобщение теории полей классов. Он написал: ^[27]

Признаюсь, что, будучи студентом, не знающим истории предмета и не знающим связи с циклотомией, я не находил закон или его так называемые элементарные доказательства привлекательными. Полагаю, хотя я бы не стал (и не мог бы) выразиться таким образом, что видел в этом не более чем математическую диковинку, подходящую скорее для любителей, чем для внимания серьезного математика, которым я тогда надеялся стать. И только в книге Германа Вейля по алгебраической теории чисел ^[28] я оценил это как нечто большее.

Другие кольца

Существуют также квадратичные законы взаимности в кольцах, отличных от целых чисел.

Гауссовы целые числа

В своей второй монографии о взаимности четвертой степени ^[29] Гаусс заявил о квадратичной взаимности для кольца гауссовых целых чисел , заявив, что это следствие биквадратичного закона , но не предоставил доказательства ни одной из теорем. Дирихле ^[30] показал, что закон в можно вывести из закона для без использования четвертой степени взаимности. $\mathbb {Z} [i]$ $\mathbb {Z} [i],$ $\mathbb {Z} [i]$ $\mathbb {Z}$

Для нечетного гауссовского простого числа и гауссовского целого числа относительно простого числа квадратичный характер можно определить с помощью: $\pi$ $\alpha$ $\pi ,$ $\mathbb {Z} [i]$

\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [i]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}

Пусть это различные простые гауссовы числа, где a и c нечетны, а b и d четны. Тогда ^[31] $\lambda =a+bi,\mu =c+di$

\left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2},\qquad \left[{\frac {i}{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{\frac {b}{2}},\qquad \left[{\frac {1+i}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{a+b}}\right).

Целые числа Эйзенштейна

Рассмотрим следующий третий корень из единицы:

\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi \imath }{3}}.

Кольцо целых чисел Эйзенштейна: ^[32] Для простого числа Эйзенштейна и целого числа Эйзенштейна с определите квадратичный характер для по формуле $\mathbb {Z} [\omega ].$ $\pi ,\mathrm {N} \pi \neq 3,$ $\alpha$ $\gcd(\alpha ,\pi )=1,$ $\mathbb {Z} [\omega ]$

\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [\omega ]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}

Пусть λ = a + bω и µ = c + dω — различные простые числа Эйзенштейна, где a и c не делятся на 3, а b и d делятся на 3. Эйзенштейн доказал ^[33]

\left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {\mathrm {N} \lambda -1}{2}}{\frac {\mathrm {N} \mu -1}{2}}},\qquad \left[{\frac {1-\omega }{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {a}{3}}\right),\qquad \left[{\frac {2}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{\mathrm {N} \lambda }}\right).

Мнимые квадратичные поля

Вышеупомянутые законы являются частными случаями более общих законов, которые справедливы для кольца целых чисел в любом мнимом поле квадратичных чисел . Пусть k — мнимое поле квадратичных чисел с кольцом целых чисел. Для простого идеала с нечетной нормой и определим квадратичный характер для как ${\mathcal {O}}_{k}.$ ${\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}$ $\mathrm {N} {\mathfrak {p}}$ $\alpha \in {\mathcal {O}}_{k},$ ${\mathcal {O}}_{k}$

\left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{2}}{\bmod {\mathfrak {p}}}={\begin{cases}1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and }}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}{\text{ such that }}\alpha -\eta ^{2}\in {\mathfrak {p}}\\-1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \\0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\end{cases}}

для произвольного идеала , разложенного на простые идеалы, определим ${\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}$ ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}$

\left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right]_{2}\cdots \left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{n}}}\right]_{2},

и для определения $\beta \in {\mathcal {O}}_{k}$

\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{\beta {\mathcal {O}}_{k}}}\right]_{2}.

Пусть ie является интегральным базисом для For с нечетной нормой, определяют (обычные) целые числа a , b , c , d уравнениями: ${\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2},$ $\left\{\omega _{1},\omega _{2}\right\}$ ${\mathcal {O}}_{k}.$ $\nu \in {\mathcal {O}}_{k}$ $\mathrm {N} \nu ,$

{\begin{aligned}\nu \omega _{1}&=a\omega _{1}+b\omega _{2}\\\nu \omega _{2}&=c\omega _{1}+d\omega _{2}\end{aligned}}

и функция

\chi (\nu ):=\imath ^{(b^{2}-a+2)c+(a^{2}-b+2)d+ad}.

Если m = Nμ и n = Nν оба нечетны, Херглотц доказал ^[34]

\left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {m-1}{2}}{\frac {n-1}{2}}}\chi (\mu )^{m{\frac {n-1}{2}}}\chi (\nu )^{-n{\frac {m-1}{2}}}.

Кроме того, если

\mu \equiv \mu '{\bmod {4}}\quad {\text{and}}\quad \nu \equiv \nu '{\bmod {4}}

Тогда ^[35]

\left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu '}{\nu '}}\right]_{2}\left[{\frac {\nu '}{\mu '}}\right]_{2}.

Полиномы над конечным полем

Пусть F — конечное поле с q = p ⁿ элементами, где p — нечетное простое число, а n положительное, и пусть F [ x ] — кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами из F. Если и f неприводимо , моник и имеет положительную степень , определите квадратичный характер для F [ x ] обычным способом: $f,g\in F[x]$

\left({\frac {g}{f}}\right)={\begin{cases}1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}\exists h,k\in F[x]{\text{ such that }}g-h^{2}=kf\\-1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}g{\text{ is not a square}}{\bmod {f}}\\0&\gcd(f,g)\neq 1\end{cases}}

Если является произведением монических неприводимых, то пусть $f=f_{1}\cdots f_{n}$

\left({\frac {g}{f}}\right)=\left({\frac {g}{f_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {g}{f_{n}}}\right).

Дедекинд доказал, что если они монические и имеют положительные степени, ^[36] $f,g\in F[x]$

\left({\frac {g}{f}}\right)\left({\frac {f}{g}}\right)=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}(\deg f)(\deg g)}.

Высшие силы

Попытка обобщить квадратичную взаимность для степеней выше второй была одной из главных целей, которые привели математиков 19 века, в том числе Карла Фридриха Гаусса , Питера Густава Лежена Дирихле , Карла Густава Якоба Якоби , Готхольда Эйзенштейна , Рихарда Дедекинда , Эрнста Куммера и Давида. Гильберта к изучению общих полей алгебраических чисел и их колец целых чисел; ^[37] именно Куммер изобрел идеалы для того, чтобы сформулировать и доказать высшие законы взаимности.

Девятая в списке из 23 нерешенных задач , которые Дэвид Гильберт предложил Конгрессу математиков в 1900 году, требовала «доказательства наиболее общего закона взаимности [f] или произвольного числового поля» . ^[38] Опираясь на работы Филиппа Фуртвенглера , Тейджи Такаги , Хельмута Хассе и других, Эмиль Артин открыл в 1923 году взаимность Артина , общую теорему, для которой все известные законы взаимности являются частными случаями, и доказал ее в 1927 году. ^[39]

Смотрите также

Примечания

^ Гаусс, DA § 4, искусства 107–150.
↑ Например, в его записи в математическом дневнике от 8 апреля 1796 года (дата, когда он впервые доказал квадратичную взаимность). См. страницу факсимиле из книги Феликса Кляйна «Развитие математики в XIX веке».
^ См. хронологию и библиографию доказательств Ф. Леммермейера во внешних ссылках.
^ Веклич, Богдан (2019). «Минималистское доказательство закона квадратичной взаимности». Американский математический ежемесячник . 126 (10): 928. arXiv : 2106.08121 . дои : 10.1080/00029890.2019.1655331. S2CID 214219919.
^ Леммермейер, стр. 2–3.
^ Гаусс Д.А., ст. 182
^ Леммермейер, с. 3
^ Леммермейер, с. 5, Ирландия и Розен, стр. 54, 61.
^ Ирландия и Розен, стр. 69–70. Его доказательство основано на том, что сейчас называют суммами Гаусса.
^ Этот раздел основан на материалах Леммермейера, стр. 6–8.
^ Эквивалентность - критерий Эйлера.
^ Аналог оригинального определения Лежандра используется для символов остатка более высокой степени.
^ Например, доказательство Кронекера (Леммермейер, пример, стр. 31, 1.34) заключается в использовании леммы Гаусса, чтобы установить, что
$\left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right)$
а затем поменяйте местами p и q .
^ Гаусс, Д.А., искусство 108–116.
^ Гаусс, Д.А., искусство 117–123.
^ Гаусс, Д.А., искусство 130.
^ Гаусс, DA, Арт 131
^ Гаусс, Д.А., искусство. 125–129
^ Потому что основная сумма Гаусса равна ${\sqrt {q^{*}}}.$
^ Поскольку квадратичное поле является подполем кругового поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {q^{*}}})$ $\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi i}{q}})$
^ См. Связь с круговыми полями ниже.
^ Ирландия и Розен, стр. 60–61.
↑ Гаусс, «Summierung gewisser Reihen von besonderer Art», перепечатано в Untersuchumgen uber hohere Arithmetik , стр. 463–495.
^ Леммермейер, Т. 2.28, стр. 63–65.
^ Леммермейер, бывш. 1.9, с. 28
^ Питер Густав Лежен Дирихле в 1837 году.
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 января 2012 года . Проверено 27 июня 2013 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ Вейль, Герман (1998). Алгебраическая теория чисел . ISBN 0691059179.
^ Гаусс, BQ § 60
^ Доказательство Дирихле находится в Lemmermeyer, Prop.5.1 p.154, и Ireland & Rosen, ex. 26 с. 64
^ Леммермейер, предложение 5.1, с. 154
^ Определения и обозначения см. В статьях о целочисленной и кубической взаимности Эйзенштейна.
^ Леммермейер, Thm. 7.10, с. 217
^ Леммермейер, Thm 8.15, стр.256 и далее.
^ Леммермейер Thm. 8.18, с. 260
^ Бах и Шалит, Thm. 6.7.1
^ Леммермейер, с. 15 и Эдвардс, стр. 79–80, оба убедительно доказывают, что изучение более высокой взаимности было гораздо более важным в качестве мотивации, чем Великая теорема Ферма.
^ Леммермейер, с. viii
^ Леммермейер, с. ix фф

Внешние ссылки

«Квадратичный закон взаимности», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Теорема квадратичной взаимности от MathWorld
Пьеса, сравнивающая два доказательства квадратичного закона взаимности.
Доказательство этой теоремы на PlanetMath.
Другое доказательство на MathPages
Хронология и библиография доказательств квадратичного закона взаимности Ф. Леммермейера (332 доказательства)