stringtranslate.com

Борромео кольца

В математике кольца Борромео [ а] — это три простые замкнутые кривые в трёхмерном пространстве, которые топологически связаны и не могут быть отделены друг от друга, но распадаются на две незавязанные и несвязанные петли, когда любая из трёх разрезана или удаленный. Чаще всего эти кольца изображаются в виде трех кругов на плоскости по образцу диаграммы Венна , попеременно пересекающихся друг над другом и под друг другом в точках пересечения. Говорят, что другие тройки кривых образуют кольца Борромео, если они топологически эквивалентны кривым, изображенным на этом рисунке.

Кольца Борромео названы в честь итальянского Дома Борромео , который использовал круглую форму этих колец как элемент своего герба , но конструкции, основанные на кольцах Борромео, использовались во многих культурах, в том числе у скандинавов и в Японии. . Они использовались в христианской символике как знак Троицы , а в современной торговле как логотип пива Ballantine , что дало им альтернативное название «кольца Ballantine» . Физические экземпляры колец Борромео были созданы из связанных ДНК или других молекул, и у них есть аналоги в состоянии Ефимова и ядрах Борромео , оба из которых имеют три компонента, связанных друг с другом, хотя никакие два из них не связаны.

Геометрически кольца Борромео могут быть реализованы посредством связанных эллипсов или (используя вершины правильного икосаэдра ) связанных золотых прямоугольников . Их невозможно реализовать с помощью окружностей в трехмерном пространстве, но высказано предположение, что их можно реализовать с помощью копий любой некруговой простой замкнутой кривой в пространстве. В теории узлов можно доказать, что кольца Борромео зацеплены, подсчитав их n -раскраски Фокса . В качестве связей они бывают брунновскими , знакопеременными , алгебраическими и гиперболическими . В арифметической топологии некоторые тройки простых чисел обладают свойствами зацепления, аналогичными кольцам Борромео.

Определение и обозначения

В математических публикациях кольца Борромео часто определяются как диаграмма связей , рисунок кривых на плоскости с отмеченными пересечениями, указывающими, какая кривая или часть кривой проходит выше или ниже при каждом пересечении. Такой рисунок можно преобразовать в систему кривых в трехмерном пространстве, вложив плоскость в пространство и деформировав нарисованные на нем кривые выше или ниже вложенной плоскости при каждом пересечении, как указано на схеме. Обычно используемая диаграмма колец Борромео состоит из трех равных кругов с центрами в точках равностороннего треугольника , достаточно близко друг к другу, чтобы их внутренние части имели общее пересечение (например, на диаграмме Венна или трех кругов, используемых для определения треугольника Рело). ). Его пересечения чередуются сверху и снизу, если рассматривать их последовательно вокруг каждого круга; [2] [3] [4] Еще один эквивалентный способ описания отношения «над-под» между тремя кругами состоит в том, что каждый круг проходит над вторым кругом в обоих их пересечениях и под третьим кругом в обоих их пересечениях. [5] Два звена называются эквивалентными, если существует непрерывная деформация пространства ( объемлющая изотопия ), переводящая одно в другое, и кольца Борромео могут относиться к любому звену, эквивалентному в этом смысле стандартной диаграмме для этого звена. . [4]

В «Атласе узлов» кольца Борромео обозначены кодом «L6a4»; обозначение означает, что это ссылка с шестью пересечениями и чередующейся диаграммой, четвертая из пяти чередующихся звеньев с 6 пересечениями, определенных Морвен Тистлтуэйт в списке всех простых ссылок , содержащих до 13 пересечений. [6] В таблицах узлов и звеньев в книге Дейла Рольфсена « Узлы и звенья » 1976 года , расширяющей более ранние списки Александра и Бриггса, сделанные в 1920-х годах, кольцам Борромео были присвоены обозначения Александера-Бриггса «6».3
2", что означает, что это вторая из трех 6-пересекающихся 3-компонентных связей, которые будут перечислены. [6] [7] Обозначение Конвея для колец Борромео, ".1", представляет собой сокращенное описание стандартной диаграммы зацеплений для эта ссылка [8]

История и символика

Название «кольца Борромео» происходит от использования этих колец в форме трех связанных кругов на гербе аристократической семьи Борромео в Северной Италии . [9] [10] Само звено намного старше и появилось в форме валкнута , трех соединенных равносторонних треугольников с параллельными сторонами, на скандинавских камнях с изображениями, датируемыми 7 веком. [11] Храм Омива в Японии также украшен мотивом колец Борромео в их традиционной круглой форме. [2] Каменный столб в храме Марундисварар VI века в Индии изображает три равносторонних треугольника, повернутых друг относительно друга, образуя правильную эннеаграмму ; подобно кольцам Борромео, эти три треугольника связаны, а не попарно, [12] но эта схема пересечения описывает другую связь, чем кольца Борромео. [13]

Поверхность Зейферта колец Борромео.

Кольца Борромео использовались в разных контекстах для обозначения силы единства. [14] В частности, некоторые использовали этот дизайн как символ Троицы . [3] Французская рукопись 13-го века, изображающая кольца Борромео, помеченные как единство в троице, была потеряна во время пожара в 1940-х годах, но воспроизведена в книге 1843 года Адольфом Наполеоном Дидроном . Дидрон и другие предположили, что описание Троицы как трех равных кругов в песне 33 « Рая » Данте было вдохновлено похожими изображениями, хотя Данте не детализирует геометрическое расположение этих кругов. [15] [16] Психоаналитик Жак Лакан нашел вдохновение в кольцах Борромео как модели для своей топологии человеческой субъективности, причем каждое кольцо представляет собой фундаментальный лакановский компонент реальности («реальный», «воображаемый» и « символично»). [17]

Кольца использовались в качестве логотипа пива Ballantine и до сих пор используются в пиве марки Ballantine, которое сейчас распространяется нынешним владельцем бренда, Pabst Brewing Company . [18] [19] По этой причине их иногда называют «кольцами Баллантайна». [3] [18]

Первой работой по теории узлов , включавшей кольца Борромео, был каталог узлов и связей, составленный в 1876 году Питером Тейтом . [3] В развлекательной математике кольца Борромео были популяризированы Мартином Гарднером , который представил поверхности Зейферта для колец Борромео в своей колонке « Математические игры » в сентябре 1961 года в журнале Scientific American . [19] В 2006 году Международный математический союз решил на 25-м Международном конгрессе математиков в Мадриде, Испания, использовать новый логотип, основанный на кольцах Борромео. [2]

Частичные и множественные кольца

В средневековой и ренессансной Европе ряд визуальных знаков состоит из трех элементов, переплетенных между собой так же, как кольца Борромео показаны переплетенными (в их обычном двумерном изображении), но с отдельными элементами, не представляющими собой замкнутые петли. Примерами таких символов являются каменные рога Шнолделева [20] и полумесяцы Дианы Пуатье . [3]

Некоторые связи теории узлов содержат несколько конфигураций колец Борромео; одно пятипетлевое звено этого типа используется в качестве символа в дискордианстве , основанном на изображении в Principia Discordia . [21]

Математические свойства

Связанность

Алгебраическая диаграмма зацеплений колец Борромео. Вертикальная пунктирная черная средняя линия представляет собой сферу Конвея , разделяющую диаграмму на два клубка .

В теории узлов кольца Борромео являются простым примером брунновской связи , связи, которую невозможно разделить, но которая распадается на отдельные незавязанные петли, как только удаляется какой-либо из ее компонентов. Существует бесконечно много брунновских звеньев и бесконечно много брунновских звеньев с тремя кривыми, из которых простейшими являются кольца Борромео. [13] [22]

Есть несколько способов увидеть, что кольца Борромео связаны. Один из них — использовать n -раскраски Фокса , раскраски дуг диаграммы связей с целыми числами по модулю n, так что при каждом пересечении два цвета на нижнем пересечении имеют то же среднее значение (по модулю n ), что и цвет пересекающей дуги, и чтобы использовалось как минимум два цвета. Число раскрасок, удовлетворяющих этим условиям, является инвариантом узла и не зависит от выбранной для связи диаграммы. Тривиальное звено с тремя компонентами имеет раскраски, полученные из его стандартной диаграммы путем выбора цвета независимо для каждого компонента и отбрасывания раскрасок, использующих только один цвет. С другой стороны, для стандартной диаграммы колец Борромео одни и те же пары дуг встречаются в двух точках пересечения, в результате чего пересекающие их дуги имеют одинаковый цвет друг с другом, из чего следует, что единственные раскраски, которые соответствуют условия пересечения нарушают условие использования более чем одного цвета. Поскольку тривиальное звено имеет множество допустимых раскрасок, а кольца Борромео — ни одной, они не могут быть эквивалентными. [4] [23]

Кольца Борромео представляют собой чередующееся звено , поскольку их обычная диаграмма звеньев имеет пересечения, которые поочередно проходят над и под каждой кривой, по порядку вдоль кривой. Они также являются алгебраической связью , связью, которую можно разложить сферами Конвея на 2-клубки . Это простейшее знакопеременное алгебраическое звено, не имеющее диаграммы, являющейся одновременно знакопеременным и алгебраическим. [24] Из гипотез Тейта следует , что число пересечений колец Борромео (наименьшее количество пересечений в любой из их диаграмм зацепления) равно 6, числу пересечений в их знакопеременной диаграмме. [4]

Форма кольца

Кольца Борромео обычно рисуются так, что их кольца проецируются на круги в плоскости рисунка, но трехмерные круговые кольца Борромео являются невозможным объектом : невозможно сформировать кольца Борромео из кругов в трехмерном пространстве. [4] В более общем плане Майкл Х. Фридман и Ричард Скора (1987) доказали с помощью четырехмерной гиперболической геометрии , что ни одна брунновская связь не может быть точно круговой. [25] Для трех колец в их обычном расположении Борромео это можно увидеть из рассмотрения диаграммы связей . Если предположить, что две окружности соприкасаются в двух точках пересечения, то они лежат либо на плоскости, либо на сфере. В любом случае третий круг должен пройти через эту плоскость или сферу четыре раза, не лежа в ней, что невозможно. [26] Другой аргумент в пользу невозможности круговых реализаций, предложенный Хельге Твербергом , использует инверсную геометрию для преобразования любых трех кругов так, что один из них становится линией, что упрощает утверждение, что два других круга не соединяются с ним, образуя кольца Борромео. [27]

Однако кольца Борромео можно реализовать с помощью эллипсов. [2] Их можно считать имеющими сколь угодно малый эксцентриситет : независимо от того, насколько близкой к круглой может быть их форма, пока они не являются идеально круглыми, они могут образовывать борромеевские звенья, если их правильно расположить. Реализацию колец Борромео тремя взаимно перпендикулярными золотыми прямоугольниками можно найти внутри правильного икосаэдра , соединив три противоположные пары его ребер. [2] Каждые три незавязанных многоугольника в евклидовом пространстве могут быть объединены после подходящего масштабного преобразования для формирования колец Борромео. Если все три полигона плоские, то масштабирование не требуется. [28] В частности, поскольку кольца Борромео могут быть реализованы тремя треугольниками, минимальное количество сторон возможно для каждой из его петель, количество палочек колец Борромео равно девяти. [29]

Нерешенная задача по математике :
Существуют ли три незавязанные кривые, а не все окружности, которые не могут образовывать кольца Борромео?
(еще нерешенные задачи по математике)

В более общем плане Мэтью Кук предположил , что любые три незавязанные простые замкнутые кривые в пространстве, а не все круги, можно объединить без масштабирования, чтобы сформировать кольца Борромео. После того, как Джейсон Кантарелла предложил возможный контрпример, Хью Нельсон Ховардс ослабил гипотезу и стал применять ее к любым трем плоским кривым, которые не являются кругами. С другой стороны, хотя брунновских звеньев с тремя звеньями бесконечно много, кольца Борромео — единственные, которые можно составить из трёх выпуклых кривых. [28]

Длина каната

Логотип Международного математического союза

В теории узлов длина узла или звена — это наименьшая длина гибкой веревки (радиуса один), которая может его реализовать. Математически такую ​​реализацию можно описать гладкой кривой, трубчатая окрестность которой радиусом один избегает самопересечений. Минимальная длина веревки колец Борромео не доказана, но наименьшее достигнутое значение реализуется тремя копиями двухлепестковой плоской кривой. [2] [30] Хотя он напоминает более раннего кандидата на минимальную длину каната, построенного из четырех круговых дуг радиуса два, [31] он немного отличается от этой формы и состоит из 42 гладких частей, определяемых эллиптическими интегралами , что делает его короче на доли процента, чем кусочно-круговая реализация. Именно эта реализация, призванная минимизировать длину веревки, была использована для логотипа Международного математического союза . Его длина равна , а наиболее доказанная нижняя граница длины равна . [2] [30]

Для дискретного аналога длины веревки, кратчайшего представления, использующего только ребра целочисленной решетки , минимальная длина колец Борромео равна точно . Это длина представления с помощью трех целочисленных прямоугольников, вписанных в икосаэдр Джессена так же, как представление золотыми прямоугольниками вписано в правильный икосаэдр. [32]

Гиперболическая геометрия

Дополнение к кольцам Борромео, гиперболическое многообразие , образованное из двух идеальных октаэдров, неоднократно наблюдаемое с этой точки зрения. Кольца находятся бесконечно далеко, в вершинах октаэдра.

Кольца Борромео являются гиперболическими зацеплениями : пространство, окружающее кольца Борромео (их дополнение зацепления ), допускает полную гиперболическую метрику конечного объема. Хотя сейчас гиперболические связи считаются многочисленными, кольца Борромео были одним из первых примеров, гиперболические которые были доказаны в 1970-х годах, [33] [34] , и это дополнение ссылок было центральным примером в видео Not Knot , выпущенном в 1991 году Геометрический центр . [35]

Гиперболические многообразия каноническим образом можно разложить на склейки гиперболических многогранников (разложение Эпштейна–Пеннера), а для дополнения Борромео это разложение состоит из двух идеальных правильных октаэдров . [34] [36] Объем дополнения Борромео равен где – функция Лобачевского и – константа Каталана . [36] Дополнение к кольцам Борромео универсально в том смысле, что каждое замкнутое 3- многообразие является разветвленным накрытием над этим пространством. [37]

Теория чисел

В арифметической топологии существует аналогия между узлами и простыми числами , в которой рассматриваются связи между простыми числами. Тройка простых чисел (13, 61, 937) связаны по модулю 2 (символ Редеи равен -1), но попарно несвязаны по модулю 2 ( все символы Лежандра равны 1). Поэтому эти простые числа были названы «собственной тройкой Борромео по модулю 2» [38] или «простыми числами Борромео по модулю 2». [39]

Физические реализации

Узел «кулак обезьяны», по сути, представляет собой трехмерное представление колец Борромео, хотя в большинстве случаев и трехслойное. [40] Скульптор Джон Робинсон создал произведения искусства из трех равносторонних треугольников , сделанных из листового металла , соединенных в кольца Борромео и напоминающих трехмерную версию валькнута. [13] [29] Обычная конструкция складного деревянного штатива состоит из трех частей, вырезанных из цельного куска дерева, причем каждая часть состоит из двух отрезков дерева, ножек и верхних сторон штатива, соединенных двумя сегментами древесина, окружающая удлиненное центральное отверстие в детали. Еще одна из трех частей проходит через каждое из этих отверстий, соединяя три части вместе в виде колец Борромео. Штативы этой формы были описаны как результат индийских или африканских ручных ремесел. [41] [42]

В химии молекулярные кольца Борромео являются молекулярными аналогами колец Борромео, которые представляют собой механически взаимосвязанные молекулярные конструкции . В 1997 году биолог Чэндэ Мао и его коллеги из Нью-Йоркского университета сумели сконструировать набор колец из ДНК . [43] В 2003 году химик Фрейзер Стоддарт и его коллеги из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе использовали координационную химию , чтобы построить набор колец за один этап из 18 компонентов. [44] Кольцевые структуры Борромео использовались для описания кластеров благородных металлов, экранированных поверхностным слоем тиолатных лигандов. [45] Библиотека сетей Борромео была синтезирована по проекту Джузеппе Реснати и его коллег посредством самосборки, управляемой галогенными связями . [46] Чтобы получить доступ к молекулярному кольцу Борромео, состоящему из трех неравных циклов, Джей С. Сигел и его коллеги предложили пошаговый синтез. [47]

В физике квантово-механический аналог колец Борромео называется состоянием гало или состоянием Ефимова и состоит из трёх связанных частиц, не связанных попарно. Существование таких состояний было предсказано физиком Виталием Ефимовым в 1970 году и подтверждено многочисленными экспериментами, начавшимися в 2006 году. [48] [49] Это явление тесно связано с ядром Борромео , стабильным атомным ядром, состоящим из трех групп частиц. это было бы нестабильно в парах. [50] Другой аналог колец Борромео в квантовой теории информации предполагает запутанность трёх кубитов в состоянии Гринбергера-Хорна-Цайлингера . [14]

Примечания

  1. ^ Произносится / b ɒ r oʊ ˈ m iː ə n / [1]

Рекомендации

  1. ^ Макки и Маккей, 1922 г. Произношение 10 000 имен собственных
  2. ^ abcdefg Ганн, Чарльз; Салливан, Джон М. (2008), «Кольца Борромео: видео о новом логотипе ИДУ», в Сарханги, Реза; Секен, Карло Х. (ред.), Бриджес Леуварден: математика, музыка, искусство, архитектура, культура , Лондон: Tarquin Publications, стр. 63–70, ISBN 978-0-9665201-9-4; см. само видео в разделе «Кольца Борромео: новый логотип IMU. Архивировано 8 марта 2021 г. в Wayback Machine » [с видео], Международный математический союз.
  3. ^ abcde Кромвель, Питер; Бельтрами, Элизабетта; Рампичини, Марта (март 1998 г.), «Кольца Борромео», Математический турист, The Mathematical Intelligencer , 20 (1): 53–62, doi : 10.1007/bf03024401, S2CID  189888135
  4. ^ abcde Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2018), «Глава 15: Кольца Борромео не существуют», Доказательства из КНИГИ (6-е изд.), Springer, стр. 99–106, doi : 10.1007/978-3-662- 57265-8_15, ISBN 978-3-662-57265-8
  5. ^ Чемберленд, Марк; Герман, Юджин А. (2015), «Камень-ножницы-бумага и кольца Борромео», The Mathematical Intelligencer , 37 (2): 20–25, doi : 10.1007/s00283-014-9499-4, MR  3356112, S2CID  558993
  6. ^ ab "Кольца Борромео", Атлас узлов .
  7. ^ Рольфсен, Дейл (1990), Узлы и связи, Серия лекций по математике, том. 7 (2-е изд.), Publish or Perish, Inc., Хьюстон, Техас, стр. 7 (2-е изд.), Publish or Perish, Inc., Хьюстон, Техас, с. 425, ISBN 0-914098-16-0, МР  1277811
  8. ^ Конвей, Дж. Х. (1970), «Перечисление узлов и связей, а также некоторые из их алгебраических свойств», Вычислительные проблемы в абстрактной алгебре (Proc. Conf., Oxford, 1967) , Oxford: Pergamon, стр. 329–358, МР  0258014; см. описание обозначений, стр. 332–333, и вторую строку таблицы, стр. 332–333. 348.
  9. ^ Крам Браун, Александр (декабрь 1885 г.), «О случае переплетения поверхностей», Труды Королевского общества Эдинбурга , 13 : 382–386
  10. ^ Шёк, Ричард Дж. (весна 1968 г.), «Математика и языки литературной критики», Журнал эстетики и художественной критики , 26 (3): 367–376, doi : 10.2307/429121, JSTOR  429121
  11. ^ Брунс, Карсон Дж.; Стоддарт, Дж. Фрейзер (2011), «Механическая связь: произведение искусства», в Фаббрицци, Л. (редактор), « Красота в химии» , «Темы современной химии», том. 323, Springer, стр. 19–72, номер документа : 10.1007/128_2011_296, PMID  22183145.
  12. ^ Лакшминараян, Арул (май 2007 г.), «Треугольники Борромео и простые узлы в древнем храме», Resonance , 12 (5): 41–47, doi : 10.1007/s12045-007-0049-7, S2CID  120259064
  13. ^ abc Джаблан, Славик В. (1999), «Так ли редки борромеевские связи?», Труды 2-го Международного симпозиума по симметрии Катачи U, Часть 1 (Цукуба, 1999), Форма , 14 (4): 269–277, MR  1770213
  14. ^ аб Аравинд, ПК (1997), «Борромеевская запутанность состояния GHZ» (PDF) , в Коэне, RS; Хорн, М.; Стейчел, Дж. (ред.), Потенциал, запутанность и страсть на расстоянии , Бостонские исследования в области философии науки, Springer, стр. 53–59, номер документа : 10.1007/978-94-017-2732-7_4. , МР  1739812
  15. ^ Дидрон, Адольф Наполеон (1843), Iconographie Chrétienne (на французском языке), Париж: Imprimerie Royale, стр. 568–569
  16. ^ Сайбер, Ариэль; Мбирика, аБа (2013), «Три гири рая 33» (PDF) , Исследования Данте (131): 237–272, JSTOR  43490498
  17. ^ Рэгланд-Салливан, Элли; Милованович, Драган (2004), «Введение: топологически говоря», Лакан: топологически говоря , Другая пресса, ISBN 978-1-892746-76-4
  18. ^ ab Glick, Нед (сентябрь 1999 г.), «Символ пива Ballantine с тремя кольцами», Математический турист, The Mathematical Intelligencer , 21 (4): 15–16, doi : 10.1007/bf03025332, S2CID  123311380
  19. ^ аб Гарднер, Мартин (сентябрь 1961 г.), «Поверхности с краями, соединенными так же, как три кольца известного дизайна», Mathematical Games , Scientific American, переиздано как Гарднер, Мартин (1991), «Узлы и кольца Борромео», «Неожиданное повешение и другие математические развлечения» , University of Chicago Press, стр. 24–33.; см. также Гарднер, Мартин (сентябрь 1978 г.), «Тороиды доктора Клонфейка», Научная фантастика Азимова , том. 2, нет. 5, с. 29
  20. ^ Бэрд, Джозеф Л. (1970), «Unferth the þyle », Medium Ævum , 39 (1): 1–12, doi : 10.2307/43631234, JSTOR  43631234, на камне также есть изображения трех переплетенных рогов.
  21. ^ "Мандала", Principia Discordia (4-е изд.), март 1970 г., стр. 43
  22. ^ Бай, Шэн; Ван, Вейбиао (2020), «Новые критерии и конструкции брунновских связей», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 29 (13): 2043008, 27, arXiv : 2006.10290 , doi : 10.1142/S0218216520430087, MR  4213076, S2CID  219792382
  23. ^ Наньес, Олли (октябрь 1993 г.), «Элементарное доказательство того, что кольца Борромео неразрывны», American Mathematical Monthly , 100 (8): 786–789, doi : 10.2307/2324788, JSTOR  2324788
  24. ^ Тистлтуэйт, Морвен Б. (1991), «Об алгебраической части переменного звена», Pacific Journal of Mathematics , 151 (2): 317–333, doi : 10.2140/pjm.1991.151.317 , MR  1132393
  25. ^ Фридман, Майкл Х .; Скора, Ричард (1987), «Странные действия групп на сферах», Журнал дифференциальной геометрии , 25 : 75–98, doi : 10.4310/jdg/1214440725; см., в частности, лемму 3.2, с. 89
  26. ^ Линдстрем, Бернт; Зеттерстрем, Ханс-Олов (1991), «Круги Борромео невозможны», American Mathematical Monthly , 98 (4): 340–341, doi : 10.2307/2323803, JSTOR  2323803. Однако обратите внимание, что Ганн и Салливан (2008) пишут, что эта ссылка «по-видимому, неправильно относится только к случаю, когда трехмерная конфигурация имеет проекцию, гомеоморфную» обычному трехокружному изображению звена.
  27. ^ Тверберг, Хельге (2010), «О кольцах Борромео» (PDF) , The Mathematical Scientist , 35 (1): 57–60, MR  2668444
  28. ^ Аб Ховардс, Хью Нельсон (2013), «Формирование колец Борромео из произвольных многоугольных узлов», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 22 (14): 1350083, 15, arXiv : 1406.3370 , doi : 10.1142/S0218216513500831, MR  3190121, S2CID  119674622
  29. ^ аб Бургель, Х.; Францблау, Д.С.; Гучера, КР (1996), «Тайна связанных треугольников», журнал Mathematics Magazine , 69 (2): 94–102, doi : 10.1080/0025570x.1996.11996399, JSTOR  2690662, MR  1394792
  30. ^ аб Кантарелла, Джейсон; Фу, Джозеф Х.Г.; Куснер, Роб; Салливан, Джон М .; Ринкл, Нэнси К. (2006), «Критичность проблемы связи Геринга» (PDF) , Geometry & Topology , 10 (4): 2055–2116, arXiv : math/0402212 , doi : 10.2140/gt.2006.10.2055 , МР  2284052
  31. ^ Кантарелла, Джейсон; Куснер, Роберт Б.; Салливан, Джон М. (2002), «О минимальной длине узлов и звеньев» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math/0103224 , Bibcode : 2002InMat.150..257C, doi : 10.1007/s00222-002-0234-y, MR  1933586, S2CID  730891
  32. ^ Уберти, Р.; Янсе ван Ренсбург, EJ; Орландини, Э.; Теси, MC; Уиттингтон, С.Г. (1998), «Минимальные звенья в кубической решетке», Уиттингтон, Стюарт Г.; Самнерс, Витт Де; Лодж, Тимоти (ред.), Топология и геометрия в науке о полимерах , Тома IMA по математике и ее приложениям, том. 103, Нью-Йорк: Springer, стр. 89–100, номер документа : 10.1007/978-1-4612-1712-1_9, MR  1655039.; см. таблицу 2, с. 97
  33. ^ Райли, Роберт (1979), «Эллиптический путь от параболических представлений к гиперболическим структурам», в Фенн, Роджер (редактор), Топология низкомерных многообразий: материалы Второй Сассексской конференции, 1977 , Конспекты лекций по математике, том. 722, Springer, стр. 99–133, номер документа : 10.1007/BFb0063194, ISBN. 978-3-540-09506-4, МР  0547459
  34. ^ ab Рэтклифф, Джон Г. (2006), «Дополнение колец Борромео», Основы гиперболических многообразий , Тексты для аспирантов по математике, том. 149 (2-е изд.), Springer, стр. 459–461, ISBN. 978-0-387-33197-3, МР  2249478
  35. ^ Эбботт, Стив (июль 1997 г.), «Обзор Not Knot и дополнение к Not Knot », The Mathematical Gazette , 81 (491): 340–342, doi : 10.2307/3619248, JSTOR  3619248, S2CID  64589738
  36. ^ ab Уильям Терстон (март 2002 г.), «7. Вычисление объема», Геометрия и топология трехмерных многообразий, стр. 165, заархивировано из оригинала (PDF) 27 июля 2020 г. , получено 17 января 2012 г.
  37. ^ Хильден, Хью М.; Лосано, Мария Тереза ; Монтесинос, Хосе Мария (1983), «Звено Уайтхеда, кольца Борромео и узел 9 46 универсальны», Seminario Matemático de Barcelona , ​​34 (1): 19–28, MR  0747855
  38. ^ Фогель, Денис (2005), Masseyprodukte in der Galoiskohomologie von Zahlkörpern [ Произведения Масси в когомологиях Галуа числовых полей ], Математический институт, Университет Георга-Августа, Геттинген: Семинары, зимний семестр 2004/2005, Геттинген: Universitätsdrucke Göttingen, стр. 93–98, номер документа : 10.11588/heidok.00004418, MR  2206880
  39. ^ Моришита, Масанори (2010), «Аналогии между узлами и простыми числами, трехмерными многообразиями и числовыми кольцами», Sugaku Expositions , 23 (1): 1–30, arXiv : 0904.3399 , MR  2605747
  40. ^ Эшли, Клиффорд Уоррен (1993) [1944], Книга узлов Эшли, Doubleday, стр. 354, ISBN 978-0-385-04025-9
  41. ^ Фриман, Джим (2015), «Собирание подсказок по необычным объектам Марго», Бюллетень исторического общества Тьюксбери , 24
  42. ^ «Африканские кольца Борромео», Математика и узлы , Центр популяризации математики, Уэльский университет, 2002 г. , получено 12 февраля 2021 г.
  43. ^ Мао, К.; Сан, В.; Симан, Северная Каролина (1997), «Сборка колец Борромео из ДНК», Nature , 386 (6621): 137–138, Bibcode : 1997Natur.386..137M, doi : 10.1038/386137b0, PMID  9062186, S2CID  4321733
  44. ^ аб Чичак, Келли С.; Кантрилл, Стюарт Дж.; Пиз, Энтони Р.; Чиу, Шэн-Сянь; Кейв, Гарет, Западная Вирджиния; Этвуд, Джерри Л.; Стоддарт, Дж. Фрейзер (28 мая 2004 г.), «Молекулярные кольца Борромео» (PDF) , Science , 304 (5675): 1308–1312, Бибкод : 2004Sci...304.1308C, doi : 10.1126/science.1096914, PMID  15166376, S2CID  45191675
  45. ^ Натараджан, Ганапати; Мэтью, Амму; Негиси, Юичи; Уеттен, Роберт Л.; Прадип, Талаппил (02 декабря 2015 г.), «Единая основа для понимания структуры и модификаций атомарно точных монослойных защищенных кластеров золота», The Journal of Physical Chemistry C , 119 (49): 27768–27785, doi : 10.1021/ acs.jpcc.5b08193, ISSN  1932-7447
  46. ^ Кумар, Виджит; Пилати, Туллио; Терранео, Джанкарло; Мейер, Франк; Метранголо, Пьеранджело; Реснати, Джузеппе (2017), «Борромеевские сети с галогенными связями по дизайну: топологическая инвариантность и метрическая настройка в библиотеке многокомпонентных систем», Chemical Science , 8 (3): 1801–1810, doi : 10.1039/C6SC04478F, PMC 5477818 , PMID  28694953 
  47. ^ Великс, Янис; Зайферт, Хелен М.; Франц, Дерик К.; Клостерман, Джереми К.; Ценг, Джуй-Чанг; Линден, Энтони; Сигел, Джей С. (2016), «К молекулярной связи Борромео с тремя неравными кольцами: двухцепочные комплексы рутения (ii) кольцо в кольце», Organic Chemistry Frontiers , 3 (6): 667–672, doi : 10.1039/c6qo00025h
  48. ^ Кремер, Т.; Марк, М.; Вальдбургер, П.; Данзл, Дж.Г.; Чин, К.; Энгезер, Б.; Ланге, AD; Пилч, К.; Яаккола, А.; Нэгерль, Х.-К.; Гримм, Р. (2006), «Доказательства существования ефимовских квантовых состояний в ультрахолодном газе атомов цезия», Nature , 440 (7082): 315–318, arXiv : cond-mat/0512394 , Bibcode : 2006Natur.440..315K , doi : 10.1038/nature04626, PMID  16541068, S2CID  4379828
  49. ↑ Московиц, Клара (16 декабря 2009 г.), «Странная физическая теория доказана спустя почти 40 лет», Live Science
  50. ^ Танака, К. (2010), «Наблюдение большого сечения реакции в ядре капельной линии 22 C», Physical Review Letters , 104 (6): 062701, Bibcode : 2010PhRvL.104f2701T, doi : 10.1103/PhysRevLett. 104.062701, PMID  20366816, S2CID  7951719

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы по теме колец Борромео .