В физике пространство - время — это любая математическая модель , которая объединяет три измерения пространства и одно измерение времени в единый четырехмерный континуум . Диаграммы пространства-времени полезны для визуализации и понимания релятивистских эффектов, например того, как разные наблюдатели воспринимают, где и когда происходят события.
До начала 20-го века предполагалось, что трехмерная геометрия Вселенной (ее описание с точки зрения местоположений, форм, расстояний и направлений) отличается от времени (измерение того, когда события происходят во Вселенной). ). Однако пространство и время приобрели новое значение благодаря преобразованию Лоренца и специальной теории относительности .
В 1908 году Герман Минковский представил геометрическую интерпретацию специальной теории относительности, которая объединила время и три пространственных измерения пространства в единый четырехмерный континуум, ныне известный как пространство Минковского . Эта интерпретация оказалась жизненно важной для общей теории относительности , согласно которой пространство-время искривляется массой и энергией .
Нерелятивистская классическая механика рассматривает время как универсальную величину измерения, единую во всем пространстве и отдельную от пространства. Классическая механика предполагает, что время имеет постоянную скорость, независимую от состояния движения наблюдателя или чего-либо внешнего. [1] Более того, он предполагает, что пространство евклидово : он предполагает, что пространство соответствует геометрии здравого смысла. [2]
В контексте специальной теории относительности время не может быть отделено от трех измерений пространства, поскольку наблюдаемая скорость течения времени для объекта зависит от скорости объекта относительно наблюдателя. [3] : 214–217 Общая теория относительности также дает объяснение тому, как гравитационные поля могут замедлять течение времени для объекта, видимого наблюдателем вне поля.
В обычном пространстве позиция задается тремя числами, известными как размеры . В декартовой системе координат они называются x, y и z. Положение в пространстве-времени называется событием и требует указания четырех чисел: трехмерного местоположения в пространстве плюс положения во времени (рис. 1). Событие представлено набором координат x , y , z и t . [4] Таким образом, пространство-время является четырёхмерным .
В отличие от аналогий, используемых в популярных произведениях для объяснения таких событий, как петарды или искры, математические события имеют нулевую продолжительность и представляют собой одну точку в пространстве-времени. [5] Хотя возможно находиться в движении относительно взрыва петарды или искры, наблюдатель не может находиться в движении относительно события.
Путь частицы в пространстве-времени можно рассматривать как последовательность событий. Серия событий может быть связана вместе, чтобы сформировать линию, которая представляет продвижение частицы в пространстве-времени. Эта линия называется мировой линией частицы . [6] : 105
Математически пространство-время представляет собой многообразие , то есть оно кажется локально «плоским» вблизи каждой точки точно так же, как в достаточно малых масштабах поверхность земного шара кажется плоской. [7] Масштабный коэффициент (обычно называемый скоростью света ) связывает расстояния, измеренные в пространстве, с расстояниями, измеренными во времени. Величина этого масштабного фактора (почти 300 000 километров или 190 000 миль в космосе эквивалентны одной секунде во времени), а также тот факт, что пространство-время представляет собой многообразие, подразумевает, что на обычных, нерелятивистских скоростях и на обычных, человеческих масштабах расстояния, мало что из того, что люди могли бы наблюдать, заметно отличалось бы от того, что они могли бы наблюдать, если бы мир был евклидовым. И только с появлением чувствительных научных измерений в середине 1800-х годов, таких как эксперимент Физо и эксперимент Майкельсона-Морли , начали отмечаться загадочные расхождения между наблюдениями и предсказаниями, основанными на неявном предположении о евклидовом пространстве. [8]
В специальной теории относительности наблюдатель в большинстве случаев будет означать систему отсчета, в которой измеряется набор объектов или событий. Такое использование существенно отличается от обычного английского значения этого термина. Системы отсчета по своей сути являются нелокальными конструкциями, и в соответствии с этим использованием этого термина не имеет смысла говорить о наблюдателе как о обладателе местоположения. На рис. 1-1 представьте себе, что рассматриваемая система отсчета оснащена плотной решеткой часов, синхронизированных внутри этой системы отсчета, которая простирается бесконечно во всех трех измерениях пространства. Какое-либо конкретное расположение внутри решетки не имеет значения. Решетка часов используется для определения времени и положения событий, происходящих в пределах всего кадра. Термин наблюдатель относится ко всему ансамблю часов, связанных с одной инерциальной системой отсчета. [9] : 17–22 В этом идеализированном случае с каждой точкой пространства связаны часы, и, таким образом, часы регистрируют каждое событие мгновенно, без временной задержки между событием и его записью. Однако реальный наблюдатель увидит задержку между испусканием сигнала и его обнаружением из-за скорости света. Чтобы синхронизировать часы, при обработке данных после эксперимента время получения сигнала будет скорректировано, чтобы отразить его фактическое время, если бы оно было записано идеализированной решеткой часов. [9] : 17–22
Во многих книгах по специальной теории относительности, особенно старых, слово «наблюдатель» используется в более обычном смысле этого слова. Обычно из контекста ясно, какое значение было принято.
Физики различают то, что измеряют или наблюдают (после исключения задержек распространения сигнала), и то, что можно увидеть визуально без таких поправок. Неспособность понять разницу между тем, что человек измеряет/наблюдает, и тем, что он видит, является источником многих ошибок среди начинающих изучающих теорию относительности. [10]
К середине 1800-х годов считалось, что различные эксперименты, такие как наблюдение пятна Араго и дифференциальные измерения скорости света в воздухе и воде, доказали волновую природу света в отличие от корпускулярной теории . [11] Тогда предполагалось, что распространение волн требует существования волнистой среды; в случае световых волн это считалось гипотетическим светоносным эфиром . [примечание 1] Однако различные попытки установить свойства этой гипотетической среды дали противоречивые результаты. Например, эксперимент Физо 1851 года, проведенный французским физиком Ипполитом Физо , продемонстрировал, что скорость света в текущей воде меньше суммы скорости света в воздухе плюс скорости воды на величину, зависящую от скорости воды. показатель преломления. [12] Среди прочего, зависимость частичного увлечения эфира, подразумеваемая этим экспериментом, от показателя преломления (который зависит от длины волны) привела к неприятному выводу, что эфир одновременно течет с разными скоростями для разных цветов света. [13] Знаменитый эксперимент Майкельсона-Морли 1887 года (рис. 1-2) не показал дифференциального влияния движений Земли через гипотетический эфир на скорость света, а наиболее вероятное объяснение - полное увлечение эфира - противоречило теории наблюдение звездной аберрации . [8]
Джордж Фрэнсис Фитцджеральд в 1889 году [14] и Хендрик Лоренц в 1892 году независимо друг от друга предположили, что материальные тела, путешествующие через неподвижный эфир, подвергаются физическому воздействию во время своего прохождения, сжимаясь в направлении движения на величину, которая была именно той, которая была необходима для объяснения отрицательные результаты эксперимента Майкельсона-Морли. (В направлениях, поперечных направлению движения, изменений длины не происходит.)
К 1904 году Лоренц расширил свою теорию настолько, что пришел к уравнениям, формально идентичным тем, которые Эйнштейн должен был вывести позже (т. е. к преобразованию Лоренца ). [15] Как теория динамики (изучение сил и моментов и их влияния на движение), его теория предполагала реальные физические деформации физических составляющих материи. [16] : 163–174 Уравнения Лоренца предсказали величину, которую он назвал местным временем , с помощью которой он мог объяснить аберрацию света , эксперимент Физо и другие явления.
Анри Пуанкаре был первым, кто объединил пространство и время в пространство-время. [17] [18] : 73–80, 93–95 В 1898 году он утверждал, что одновременность двух событий является вопросом конвенции. [19] [примечание 2] В 1900 году он признал, что «местное время» Лоренца на самом деле является тем, на что указывают движущиеся часы, применив явно рабочее определение синхронизации часов, предполагая постоянную скорость света. [примечание 3] В 1900 и 1904 годах он предположил присущую эфиру необнаружимость, подчеркнув обоснованность того, что он назвал принципом относительности , а в 1905/1906 году [20] он математически усовершенствовал теорию электронов Лоренца, чтобы довести ее до совершенства. в соответствии с постулатом относительности. Обсуждая различные гипотезы о лоренц-инвариантной гравитации, он представил новаторскую концепцию четырехмерного пространства-времени, определив различные четыре вектора , а именно четырехпозиционный , четырехскоростной и четырехсиловый . [21] [22] Однако в последующих статьях он не стал использовать четырехмерный формализм, заявив, что это направление исследований, по-видимому, «влечет за собой большую боль ради ограниченной прибыли», в конечном итоге заключив, что «трехмерный язык кажется наиболее подходящим к описанию нашего мира». [22] Более того, даже в 1909 году Пуанкаре продолжал описывать динамическую интерпретацию преобразования Лоренца. [16] : 163–174.
В 1905 году Альберт Эйнштейн проанализировал специальную теорию относительности с точки зрения кинематики (исследования движущихся тел без привязки к силам), а не с точки зрения динамики. Его результаты были математически эквивалентны результатам Лоренца и Пуанкаре. Он получил их, признав, что вся теория может быть построена на двух постулатах: принципе относительности и принципе постоянства скорости света. Его работы были наполнены яркими образами, включающими обмен световыми сигналами между движущимися часами, тщательные измерения длин движущихся стержней и другие подобные примеры. [23] [примечание 4]
Кроме того, Эйнштейн в 1905 году заменил предыдущие попытки электромагнитного соотношения массы и энергии , введя общую эквивалентность массы и энергии , что сыграло важную роль в его последующей формулировке принципа эквивалентности в 1907 году, который провозглашал эквивалентность инертной и гравитационной массы. Используя эквивалентность массы и энергии, Эйнштейн, кроме того, показал, что гравитационная масса тела пропорциональна его энергетическому содержанию, что было одним из первых результатов в разработке общей теории относительности . Хотя казалось, что он сначала не мыслил геометрически о пространстве-времени, [3] : 219 в дальнейшем развитии общей теории относительности Эйнштейн полностью включил формализм пространства-времени.
Когда Эйнштейн опубликовал свою работу в 1905 году, другой из его конкурентов, его бывший профессор математики Герман Минковский , также пришел к большинству основных элементов специальной теории относительности. Макс Борн рассказал о встрече, которую он провел с Минковским, стремясь стать учеником/соавтором Минковского: [25]
Я поехал в Кельн, встретил Минковского и прослушал его знаменитую лекцию «Пространство и время», прочитанную 2 сентября 1908 года. [...] Позже он рассказал мне, что для него было большим шоком, когда Эйнштейн опубликовал свою статью, в которой эквивалентность выражено различное локальное время движения наблюдателей относительно друг друга; поскольку он пришел к тем же выводам независимо, но не опубликовал их, потому что хотел сначала разработать математическую структуру во всем ее великолепии. Он никогда не претендовал на приоритет и всегда отдавал Эйнштейну полную долю в великом открытии.
Минковский был обеспокоен состоянием электродинамики после революционных экспериментов Майкельсона, по крайней мере, с лета 1905 года, когда Минковский и Дэвид Гильберт провели продвинутый семинар, на котором присутствовали известные физики того времени, для изучения работ Лоренца, Пуанкаре и др. Минковский рассматривал работу Эйнштейна как продолжение работы Лоренца и находился под самым непосредственным влиянием Пуанкаре. [26]
5 ноября 1907 года (немногим более чем за год до своей смерти) Минковский представил свою геометрическую интерпретацию пространства-времени в лекции Геттингенскому математическому обществу под названием « Принцип относительности» ( Das Relativitätsprinzip ). [примечание 5] 21 сентября 1908 года Минковский представил свой знаменитый доклад « Пространство и время» ( Raum und Zeit ) [27] Немецкому обществу ученых и врачей. Вступительные слова « Пространства и времени» включают знаменитое заявление Минковского о том, что «отныне пространство для себя и время для себя полностью превратится в простую тень, и только некоторый союз этих двух сохранит независимость». «Пространство и время» включало первое публичное представление диаграмм пространства-времени (рис. 1-4) и включало замечательную демонстрацию того, что концепция инвариантного интервала (обсуждаемая ниже), наряду с эмпирическим наблюдением о том, что скорость света конечна, позволяет вывод всей специальной теории относительности. [примечание 6]
Понятие пространства-времени и группа Лоренца тесно связаны с некоторыми типами сферной , гиперболической или конформной геометрий и их группами преобразований, разработанными уже в XIX веке, в которых используются инвариантные интервалы, аналогичные пространственно-временному интервалу . [примечание 7]
Эйнштейн, со своей стороны, первоначально пренебрежительно относился к геометрической интерпретации специальной теории относительности Минковского, считая ее überflüssige Gelehrsamkeit (избыточной ученостью). Однако для завершения своих поисков общей теории относительности, начавшихся в 1907 году, геометрическая интерпретация теории относительности оказалась жизненно необходимой, и в 1916 году Эйнштейн полностью признал свою признательность Минковскому, интерпретация которого значительно облегчила переход к общей теории относительности. [16] : 151–152 Поскольку существуют и другие типы пространства-времени, такие как искривленное пространство-время общей теории относительности, пространство-время специальной теории относительности сегодня известно как пространство-время Минковского.
В трех измерениях расстояние между двумя точками можно определить с помощью теоремы Пифагора :
Хотя два зрителя могут измерить положение x , y и z двух точек, используя разные системы координат, расстояние между точками будет одинаковым для обоих (при условии, что они измеряют в одних и тех же единицах измерения). Расстояние «инвариантно».
Однако в специальной теории относительности расстояние между двумя точками больше не одинаково, если его измеряют два разных наблюдателя, когда один из наблюдателей движется, из-за лоренцева сокращения . Ситуация еще более усложняется, если две точки разделены как во времени, так и в пространстве. Например, если один наблюдатель видит, что два события происходят в одном и том же месте, но в разное время, человек, движущийся относительно первого наблюдателя, увидит два события, происходящие в разных местах, потому что (с его точки зрения) они неподвижны. , а положение события удаляется или приближается. Таким образом, для измерения эффективного «расстояния» между двумя событиями необходимо использовать другую меру. [31] : 48–50, 100–102.
В четырехмерном пространстве-времени аналогом расстояния является интервал. Хотя время является четвертым измерением, к нему относятся иначе, чем к пространственным измерениям. Таким образом, пространство Минковского во многом отличается от четырехмерного евклидова пространства . Фундаментальная причина слияния пространства и времени в пространство-время заключается в том, что пространство и время по отдельности не инвариантны, то есть при соответствующих условиях разные наблюдатели не могут прийти к единому мнению относительно продолжительности времени между двумя событиями (из-за замедления времени ) или расстояние между двумя событиями (из-за сокращения длины ). Но специальная теория относительности предоставляет новый инвариант, называемый пространственно-временным интервалом , который объединяет расстояния в пространстве и во времени. Все наблюдатели, измеряющие время и расстояние между любыми двумя событиями, в конечном итоге вычислят один и тот же пространственно-временной интервал. Предположим, что наблюдатель измеряет два события как разделенные во времени и пространственном расстоянии. Тогда пространственно-временной интервал между двумя событиями, которые разделены расстоянием в пространстве и -координатой , составляет: [32] : 26–28.
или для трёх измерений пространства,
Постоянная скорость света преобразует единицы времени (например, секунды) в пространственные единицы (например, метры). Квадрат интервала — это мера разделения между событиями A и B, которые разделены во времени и, кроме того, в пространстве, либо потому, что существуют два отдельных объекта, подвергающихся событиям, либо потому, что один объект в пространстве движется по инерции между своими событиями. Интервал разделения получается путем возведения в квадрат пространственного расстояния, отделяющего событие B от события A, и вычитания его из квадрата пространственного расстояния, пройденного световым сигналом за тот же интервал времени . Если разделение событий происходит за счет светового сигнала, то эта разница исчезает и .
Если рассматриваемые события бесконечно близки друг к другу, то можно написать
В другой инерциальной системе координат, скажем, с координатами , пространственно-временной интервал можно записать в той же форме, что и выше. Ввиду постоянства скорости света световые события во всех инерциальных системах отсчета принадлежат нулевому интервалу . Для любого другого бесконечно малого события, где , можно доказать то, что, в свою очередь, при интегрировании приводит к . [33] : 2 Инвариантность интервала любого события между всеми промежуточными системами отсчета является одним из фундаментальных результатов специальной теории относительности.
Хотя для краткости часто можно увидеть интервальные выражения, выраженные без дельт, в том числе в большей части последующего обсуждения, следует понимать, что в целом означает и т. д. Нас всегда интересуют различия в значениях пространственных или временных координат, принадлежащих двум событиям, и поскольку предпочтительного начала координат нет, отдельные значения координат не имеют существенного значения.
Приведенное выше уравнение похоже на теорему Пифагора, за исключением знака минус между членами и . Пространственно-временной интервал — это величина, а не она сама. Причина в том, что в отличие от расстояний в евклидовой геометрии интервалы в пространстве-времени Минковского могут быть отрицательными. Вместо того чтобы иметь дело с квадратными корнями из отрицательных чисел, физики обычно рассматривают это как отдельный символ, а не квадрат чего-либо. [3] : 217
В общем может принимать любое действительное числовое значение. Если положительно, пространственно-временной интервал называется времениподобным . Поскольку пространственное расстояние, пройденное любым массивным объектом, всегда меньше расстояния, проходимого светом за тот же интервал времени, положительные интервалы всегда времениподобны. Если отрицательно, то пространственно-временной интервал называется пространственноподобным . Пространственно-временные интервалы равны нулю, когда Другими словами, пространственно-временной интервал между двумя событиями на мировой линии чего-то, движущегося со скоростью света, равен нулю. Такой интервал называется светоподобным или нулевым . Фотон, попадающий в наш глаз от далекой звезды, не состарится, несмотря на то, что (с нашей точки зрения) он провел годы в пути. [31] : 48–50
Диаграмма пространства-времени обычно рисуется только с одним пространством и одной временной координатой. На рис. 2-1 представлена пространственно-временная диаграмма, иллюстрирующая мировые линии (т.е. пути в пространстве-времени) двух фотонов A и B, возникающих в результате одного и того же события и идущих в противоположных направлениях. Кроме того, C иллюстрирует мировую линию объекта, скорость которого превышает скорость света. Вертикальная координата времени масштабируется так , чтобы иметь те же единицы измерения (метры), что и горизонтальная координата пространства. Поскольку фотоны движутся со скоростью света, их мировые линии имеют наклон ±1. [31] : 23–25 Другими словами, каждый метр, который фотон проходит влево или вправо, требует примерно 3,3 наносекунды времени.
Чтобы получить представление о том, как координаты пространства-времени, измеренные наблюдателями в разных системах отсчета , соотносятся друг с другом, полезно работать с упрощенной установкой с системами стандартной конфигурации. При осторожном подходе это позволяет упростить математические расчеты без потери общности полученных выводов. На рис. 2-2 две системы отсчета Галилея (т.е. обычные трехмерные системы координат) показаны в относительном движении. Кадр S принадлежит первому наблюдателю O, а кадр S’ (произносится как «S prime») принадлежит второму наблюдателю O’.
Рис. 2-3a перерисовывает рис. 2-2 в другой ориентации. Рис. 2-3b иллюстрирует пространственно-временную диаграмму с точки зрения наблюдателя O. Поскольку S и S' находятся в стандартной конфигурации, их начало совпадает в моменты времени t = 0 в системе отсчета S и t ' = 0 в системе отсчета S'. Ось ct ′ проходит через события в системе отсчета S′, у которых x ′ = 0. Но точки с x ′ = 0 движутся в x -направлении системы отсчета S со скоростью v , так что они не совпадают с ct оси в любое время, кроме нуля. Следовательно, ось ct наклонена относительно оси ct на угол θ , определяемый формулой
Ось x ' также наклонена относительно оси x . Для определения угла этого наклона напомним, что наклон мировой линии светового импульса всегда равен ±1. На рис. 2-3в представлена пространственно-временная диаграмма с точки зрения наблюдателя О'. Событие P представляет собой излучение светового импульса в точке x ′ = 0, ct ′ = − a . Импульс отражается от зеркала, расположенного на расстоянии a от источника света (событие Q), и возвращается к источнику света в точке x ′ = 0, ct ′ = a (событие R).
Те же события P, Q, R изображены на рис. 2-3b в системе координат наблюдателя O. Световые пути имеют наклоны = 1 и -1, так что △PQR образует прямоугольный треугольник с PQ и QR, расположенными под углом 45 градусов. к осям x и ct . Поскольку OP = OQ = OR, угол между x ′ и x также должен быть θ . [6] : 113–118.
В то время как остальная система координат имеет оси пространства и времени, пересекающиеся под прямым углом, движущаяся система координат рисуется с осями, пересекающимися под острым углом. Кадры на самом деле эквивалентны. Асимметрия возникает из-за неизбежных искажений в том, как координаты пространства-времени могут отображаться на декартовой плоскости , и ее следует считать не более странной, чем то, как в проекции Меркатора Земли относительные размеры суши вблизи полюсов (Гренландия и Антарктида) сильно преувеличены по сравнению с массивами суши вблизи экватора.
На рис. 2–4 событие O находится в начале пространственно-временной диаграммы, а две диагональные линии представляют все события, которые имеют нулевой пространственно-временной интервал по отношению к исходному событию. Эти две линии образуют то, что называется световым конусом события О, поскольку добавление второго пространственного измерения (рис. 2-5) создает видимость двух правильных круглых конусов , встречающихся своими вершинами в точке О. Один конус простирается в будущее . (t>0), другой в прошлое ( t<0).
Световой (двойной) конус делит пространство-время на отдельные области относительно своей вершины. Внутренняя часть будущего светового конуса состоит из всех событий, которые отделены от вершины большим временем (временным расстоянием), чем необходимо для пересечения их пространственного расстояния со скоростью света; эти события составляют времениподобное будущее события О. Точно так же времениподобное прошлое включает внутренние события прошлого светового конуса. Таким образом, во времяподобных интервалах Δct больше, чем Δx , что делает времяподобные интервалы положительными. Область вне светового конуса состоит из событий, которые отделены от события О большим пространством , чем можно пересечь со скоростью света за данное время . Эти события составляют так называемую пространственноподобную область события О, обозначенную на рис. 2-4 как «Другое место». Говорят, что события на самом световом конусе светоподобны (или отделены от нуля ) от О. Из-за неизменности пространственно-временного интервала все наблюдатели будут назначать один и тот же световой конус любому данному событию и, таким образом, согласятся на такое разделение пространства-времени. . [3] : 220
Световой конус играет важную роль в концепции причинности . Сигнал со скоростью, не превышающей скорость света, может перемещаться от положения и времени О к положению и времени D (рис. 2-4). Следовательно, событие О может оказать причинное влияние на событие D. Будущий световой конус содержит все события, на которые может оказать причинное влияние О. Аналогично, возможно, что сигнал со скоростью, не превышающей скорость света, может путешествие из положения и времени A в положение и время O. Световой конус прошлого содержит все события, которые могли оказать причинное влияние на O. Напротив, если предположить, что сигналы не могут распространяться быстрее скорости света, любое событие, такое как, например, B или C, в пространственноподобной области (в другом месте), не может ни повлиять на событие O, ни на них не может повлиять событие O, использующее такую сигнализацию. При этом предположении исключается причинно-следственная связь между событием О и любыми событиями в пространствеподобной области светового конуса. [35]
Все наблюдатели согласятся, что для любого данного события событие в пределах будущего светового конуса данного события происходит после данного события. Аналогично, для любого данного события событие в пределах светового конуса прошлого данного события происходит до данного события. Отношения «до и после», наблюдаемые для событий, разделенных во времени, остаются неизменными независимо от системы отсчета наблюдателя, то есть независимо от того, как наблюдатель может двигаться. Совершенно иная ситуация обстоит с событиями, разделенными пространством. Рис. 2-4 был нарисован из системы отсчета наблюдателя, движущегося с v = 0. Из этой системы отсчета событие C происходит после события O, а событие B наблюдается перед событием O. Из другой системы отсчета В рамках этого подхода порядок этих событий, не связанных с причинно-следственной связью, может быть изменен на противоположный. В частности, отмечается, что если два события происходят одновременно в определенной системе отсчета, они обязательно разделены пространственноподобным интервалом и, таким образом, не связаны причинно. Наблюдение о том, что одновременность не является абсолютной, а зависит от системы отсчета наблюдателя, называется относительностью одновременности . [36]
Рис. 2-6 иллюстрирует использование пространственно-временных диаграмм при анализе относительности одновременности. События в пространстве-времени инвариантны, но системы координат трансформируются, как обсуждалось выше для рис. 2-3. Три события (A, B, C) происходят одновременно в системе отсчета наблюдателя, движущегося с v = 0. В системе отсчета наблюдателя, движущегося со скоростью v = 0,3 c , события кажутся происходящими в порядке C, B. , A. В системе отсчета наблюдателя, движущегося со скоростью v = −0,5 c , события кажутся происходящими в порядке A, B, C . Белая линия представляет собой плоскость одновременности , перемещающуюся из прошлого наблюдателя в будущее наблюдателя, выделяя происходящие на ней события. Серая область — это световой конус наблюдателя, который остается неизменным.
Пространственноподобный пространственно-временной интервал дает то же расстояние, которое наблюдатель мог бы измерить, если бы измеряемые события происходили одновременно с наблюдателем. Пространственноподобный пространственно-временной интервал, следовательно, обеспечивает меру собственного расстояния , т.е. истинного расстояния . Таким образом, времяподобный пространственно-временной интервал обеспечивает меру собственного времени = [3] : 220–221.
В евклидовом пространстве (имеющем только пространственные измерения) набор точек, равноудаленных (с использованием евклидовой метрики) от некоторой точки, образует круг (в двух измерениях) или сферу (в трех измерениях). В (1+1)-мерном пространстве-времени Минковского (имеющем одно временное и одно пространственное измерение) точки на некотором постоянном пространственно-временном интервале вдали от начала координат (с использованием метрики Минковского) образуют кривые, заданные двумя уравнениями
с некоторой положительной действительной константой. Эти уравнения описывают два семейства гипербол на диаграмме пространства-времени x – ct , которые называются инвариантными гиперболами .
На рис. 2-7а каждая пурпурная гипербола соединяет все события, имеющие некоторое фиксированное пространственно-подобное расстояние от начала координат, тогда как зеленые гиперболы соединяют события с одинаковым временнеподобным разделением.
Пурпурные гиперболы, пересекающие ось x , представляют собой времяподобные кривые, то есть эти гиперболы представляют собой реальные пути, которые могут пройти (постоянно ускоряющиеся) частицы в пространстве-времени: между любыми двумя событиями на одной гиперболе возможна причинно-следственная связь, потому что обратная величина наклона, представляющая необходимую скорость, для всех секущих меньше . С другой стороны, зеленые гиперболы, пересекающие ось ct , представляют собой пространственноподобные кривые, поскольку все интервалы вдоль этих гипербол являются пространственноподобными интервалами: между любыми двумя точками на одной из этих гипербол невозможна причинно-следственная связь, поскольку все секущие представляют скорости, большие, чем .
Рис. 2-7б отражает ситуацию в (1+2)-мерном пространстве-времени Минковского (одно временное и два пространственных измерения) с соответствующими гиперболоидами. Инвариантные гиперболы, смещенные на пространственноподобные интервалы от начала координат, порождают однолистные гиперболоиды , а инвариантные гиперболы, смещенные на времениподобные интервалы от начала координат, порождают двухлистные гиперболоиды.
(1+2)-мерная граница между пространственно- и времяподобными гиперболоидами, устанавливаемая событиями, образующими нулевой пространственно-временной интервал до начала координат, образуется путем вырождения гиперболоидов к световому конусу. В (1+1)-мерностях гиперболы вырождаются в две серые линии под углом 45°, изображенные на рис. 2-7а.
Рис. 2-8 иллюстрирует инвариантную гиперболу для всех событий, которые могут быть достигнуты от начала координат за собственное время 5 метров (приблизительно1,67 × 10-8 с ) . Разные мировые линии представляют собой часы, движущиеся с разной скоростью. Часы, неподвижные по отношению к наблюдателю, имеют вертикальную мировую линию, а прошедшее время, измеренное наблюдателем, совпадает с собственным временем. Для часов, движущихся со скоростью 0,3 с , прошедшее время, измеренное наблюдателем, составляет 5,24 метра (1,75 × 10 −8 с ), тогда как для часов, движущихся со скоростью 0,7 с , прошедшее время, измеренное наблюдателем, составляет 7,00 метров (2,34 × 10 −8 с ). Это иллюстрирует явление, известное как замедление времени . Часам, которые движутся быстрее, требуется больше времени (в системе координат наблюдателя), чтобы отсчитывать то же количество собственного времени, и они перемещаются дальше по оси X в течение этого собственного времени, чем если бы они не имели замедления времени. [3] : 220–221 Измерение замедления времени двумя наблюдателями в разных инерциальных системах отсчета является взаимным. Если наблюдатель O измеряет, что часы наблюдателя O' идут медленнее в его системе отсчета, наблюдатель O', в свою очередь, измеряет часы наблюдателя O' как идущие медленнее.
Сокращение длины , как и замедление времени, является проявлением относительности одновременности. Измерение длины требует измерения пространственно-временного интервала между двумя событиями, которые одновременны в одной системе отсчета. Но события, одновременные в одной системе отсчета, вообще говоря, не одновременны в других системах отсчета.
На рис. 2-9 показано движение стержня длиной 1 м, движущегося со скоростью 0,5 с вдоль оси x . Края синей полосы представляют собой мировые линии двух концов стержня. Инвариантная гипербола иллюстрирует события, отделенные от начала координат пространственноподобным интервалом в 1 м. Конечные точки O и B, измеренные при t ' = 0, являются одновременными событиями в кадре S'. Но для наблюдателя в кадре S события O и B не одновременны. Чтобы измерить длину, наблюдатель в кадре S измеряет концы стержня, проецированные на ось x вдоль их мировых линий. Проекция мирового листа стержня на ось x дает длину OC в ракурсе. [6] : 125
(не показано) Проведение вертикальной линии через A так, чтобы она пересекала ось x ', показывает, что, даже если OB укорочен с точки зрения наблюдателя O, OA аналогичным образом укорочен с точки зрения наблюдателя O'. Точно так же, как каждый наблюдатель считает, что часы другого идут медленно, каждый наблюдатель измеряет, что линейки другого сжимаются.
Что касается взаимного сокращения длины, на рис. 2-9 показано, что штрихованные и незаштрихованные рамки взаимно поворачиваются на гиперболический угол (аналог обычных углов в евклидовой геометрии). [примечание 8] Из-за этого вращения проекция измерительного стержня со штрихом на ось X без штриха сокращается в ракурсе, в то время как проекция измерительного стержня без штриха на ось X' с грунтовкой также сокращается.
Взаимное замедление времени и сокращение длины обычно поражают новичков как внутренне противоречивые концепции. Если наблюдатель в системе отсчета S измеряет часы, покоящиеся в системе отсчета S', как идущие медленнее, чем его часы, в то время как S' движется со скоростью v в системе S, то принцип относительности требует, чтобы наблюдатель в системе отсчета S' аналогичным образом измерял часы в кадре S, движущиеся со скоростью − v в S', но медленнее, чем у нее. Как двое часов могут идти медленнее, чем другие, — это важный вопрос, который «затрагивает суть понимания специальной теории относительности». [3] : 198
Это кажущееся противоречие проистекает из неправильного учета различных настроек необходимых взаимосвязанных измерений. Эти настройки позволяют последовательно объяснить единственное кажущееся противоречие. Речь идет не об абстрактном тикании двух одинаковых часов, а о том, как измерить в одном кадре временное расстояние двух тиков движущихся часов. Оказывается, во взаимном наблюдении длительности между тактами часов, каждый из которых движется в соответствующем кадре, должны участвовать разные наборы часов. Чтобы измерить в кадре S длительность тика движущихся часов W' (находящихся в состоянии покоя в S'), используются два дополнительных синхронизированных часа W 1 и W 2 , находящихся в состоянии покоя в двух произвольно фиксированных точках в S с пространственным расстоянием d. .
И наоборот, для оценки в системе отсчета S' временного расстояния между двумя событиями на движущихся часах W (находящихся в состоянии покоя в S) нужны двое часов, находящихся в состоянии покоя в S'.
Необходимые записи для двух решений, с «одними движущимися часами» и «двумя часами в состоянии покоя» соответственно в S или S', включают два разных набора, каждый из которых состоит из трех часов. Поскольку в измерениях участвуют разные наборы часов, нет внутренней необходимости, чтобы измерения были взаимно «последовательными», так что, если один наблюдатель считает, что движущиеся часы идут медленно, другой наблюдатель измеряет, чтобы чьи-то часы были быстрыми. [3] : 198–199.
Рис. 2-10 иллюстрирует предыдущее обсуждение взаимного замедления времени с помощью диаграмм Минковского. Верхнее изображение отражает измерения, как видно из кадра S «в состоянии покоя» с прямоугольными осями без штриха и кадра S ', «движущегося с v > 0», координируемого штрихованными наклонными осями, наклоненными вправо; на нижнем рисунке показан кадр S 'находящийся в состоянии покоя с заштрихованными прямоугольными координатами и кадр S, «движущийся с - v <0», с незаштрихованными наклонными осями, наклоненными влево.
Каждая линия, проведенная параллельно пространственной оси ( x , x ′), представляет собой линию одновременности. Все события на такой линии имеют одинаковое значение времени ( ct , ct ′). Аналогично, каждая линия, проведенная параллельно временной оси ( ct , ct ' ), представляет линию равных значений пространственных координат ( x , x ').
Чтобы сразу показать взаимное замедление времени на верхнем рисунке, событие D можно сконструировать как событие в точке x ′ = 0 (местоположение часов W ′ в S ′), которое одновременно с событием C ( OC имеет равный пространственно-временной интервал, как ОА ) в S'. Это показывает, что временной интервал OD длиннее, чем OA , показывая, что «движущиеся» часы работают медленнее. [6] : 124
На нижнем рисунке система S движется со скоростью − v в системе S', покоящейся. Мировая линия часов W — это ось ct (наклоненная влево), мировая линия W’ 1 — это вертикальная ось ct ’, а мировая линия W’ 2 — это вертикаль, проходящая через событие C , с координатой ct ’ . Д. _ Инвариантная гипербола через событие C масштабирует временной интервал OC до OA , который короче, чем OD ; Кроме того, B строится (аналогично D на верхних рисунках) одновременно с A в S при x = 0. Результат OB > OC снова соответствует приведенному выше.
Слово «мера» имеет важное значение. В классической физике наблюдатель не может повлиять на наблюдаемый объект, но состояние движения объекта может повлиять на наблюдения объекта наблюдателем .
Многие введения в специальную теорию относительности иллюстрируют различия между теорией относительности Галилея и специальной теорией относительности, представляя ряд «парадоксов». Эти парадоксы, по сути, являются некорректными задачами, возникающими из-за нашего незнания скоростей, сравнимых со скоростью света. Лекарство состоит в том, чтобы решить многие проблемы специальной теории относительности и ознакомиться с ее так называемыми контринтуитивными предсказаниями. Геометрический подход к изучению пространства-времени считается одним из лучших методов развития современной интуиции. [37]
Парадокс близнецов — это мысленный эксперимент с участием однояйцевых близнецов, один из которых совершает путешествие в космос на высокоскоростной ракете, а вернувшись домой обнаруживает, что оставшийся на Земле близнец постарел еще сильнее. Этот результат кажется загадочным, поскольку каждый близнец наблюдает за движением другого близнеца, и поэтому на первый взгляд может показаться, что каждый из них должен обнаружить, что другой постарел меньше. Парадокс близнецов обходит оправдание взаимного замедления времени, представленное выше, избегая требования наличия третьих часов. [3] : 207 Тем не менее, парадокс близнецов не является настоящим парадоксом, поскольку его легко понять в контексте специальной теории относительности.
Впечатление о существовании парадокса возникает из-за непонимания того, что утверждает специальная теория относительности. Специальная теория относительности не объявляет эквивалентными все системы отсчета, а только инерциальные. Корпус путешествующего близнеца не является инерционным в периоды ускорения. Более того, разницу между близнецами можно обнаружить наблюдательно: путешествующему близнецу нужно запустить ракеты, чтобы иметь возможность вернуться домой, а близнецу, сидящему дома, этого не нужно. [38] [примечание 9]
Эти различия должны привести к разнице в возрасте близнецов. Пространственно-временная диаграмма на рис. 2-11 представляет простой случай, когда близнец движется прямо вдоль оси x и тут же поворачивает обратно. С точки зрения близнеца-домохозяина, в парадоксе близнецов вообще нет ничего загадочного. Собственное время, измеренное вдоль мировой линии путешествующего близнеца от О до С, плюс собственное время, измеренное от С до В, меньше собственного времени близнеца-домохозяина, измеренного от О до А до В. Более сложные траектории требуют интегрирования собственное время между соответствующими событиями на кривой (т. е. интеграл по траектории ) для расчета общего количества собственного времени, которое испытывает путешествующий двойник. [38]
Сложности возникают, если анализировать парадокс близнецов с точки зрения путешествующего близнеца.
В дальнейшем используется номенклатура Вайса, обозначающая близнеца-домохозяина как Теренс, а путешествующего близнеца как Стеллу. [38]
Стелла не находится в инерциальной системе отсчета. Учитывая этот факт, иногда ошибочно утверждают, что для полного разрешения парадокса близнецов необходима общая теория относительности: [38]
Чистый СР-анализ будет следующим: если Стеллу анализировать в системе покоя, она неподвижна на протяжении всего путешествия. Когда она запускает ракеты для разворота, она испытывает псевдосилу, напоминающую силу гравитации. [38] Рис. 2-6 и 2-11 иллюстрируют концепцию линий (плоскостей) одновременности: Линии, параллельные оси x наблюдателя ( плоскость xy ), представляют наборы событий, которые одновременны в системе координат наблюдателя. На рис. 2-11 синие линии соединяют события на мировой линии Теренса, которые, с точки зрения Стеллы , одновременны с событиями на ее мировой линии. (Теренс, в свою очередь, будет наблюдать набор горизонтальных линий одновременности.) На протяжении как исходящего, так и обратного этапов путешествия Стеллы она считает, что часы Теренса идут медленнее, чем ее собственные. Но во время поворота (т.е. между жирными синими линиями на рисунке) происходит сдвиг угла ее линий одновременности, что соответствует быстрому пропуску событий в мировой линии Теренса, которые Стелла считает одновременными с ее собственная. Поэтому в конце путешествия Стелла обнаруживает, что Теренс постарел больше, чем она. [38]
Хотя общая теория относительности не требуется для анализа парадокса близнецов, применение принципа эквивалентности общей теории относительности дает некоторое дополнительное понимание предмета. Стелла не стационарна в инерциальной системе отсчета. Анализируя в кадре покоя Стеллы, она неподвижна на протяжении всего путешествия. Когда она движется по инерции, ее система покоя инерционна, и кажется, что часы Теренса идут медленно. Но когда она запускает ракеты для разворота, ее система покоя является ускоренной, и она испытывает силу, которая толкает ее, как если бы она находилась в гравитационном поле. Теренс окажется высоко в этом поле, и из-за гравитационного замедления времени его часы будут идти настолько быстро, что конечным результатом будет то, что Теренс постарел больше, чем Стелла, когда они снова будут вместе. [38] Теоретические аргументы, предсказывающие гравитационное замедление времени, не являются исключительными для общей теории относительности. Любая теория гравитации предсказывает гравитационное замедление времени, если она соблюдает принцип эквивалентности, включая теорию Ньютона. [3] : 16
Этот вводный раздел посвящен пространству-времени специальной теории относительности, поскольку его легче всего описать. Пространство-время Минковского плоско, не учитывает гравитацию, однородно во всем и служит не чем иным, как статическим фоном для происходящих в нем событий. Наличие гравитации значительно усложняет описание пространства-времени. В общей теории относительности пространство-время больше не является статическим фоном, а активно взаимодействует с содержащимися в нем физическими системами. Пространство-время искривляется в присутствии материи, может распространять волны, преломлять свет и проявлять множество других явлений. [3] : 221 Некоторые из этих явлений описаны в последующих разделах этой статьи.
Основная цель — иметь возможность сравнивать измерения, сделанные наблюдателями в относительном движении. Если в кадре S есть наблюдатель O, который измерил временные и пространственные координаты события, присвоив этому событию три декартовых координаты и время, измеренное на его решетке синхронизированных часов ( x , y , z , t ) (см. рис. 1-1). Второй наблюдатель O' в другой системе отсчета S' измеряет то же событие в своей системе координат и своей решетке синхронизированных часов ( x ' , y ' , z ' , t ' ) . В инерциальных системах отсчета ни один наблюдатель не испытывает ускорения, и простая система уравнений позволяет нам связать координаты ( x , y , z , t ) с ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) . Учитывая, что две системы координат имеют стандартную конфигурацию, то есть они выровнены по параллельным координатам ( x , y , z ) и что t = 0 , когда t ′ = 0 , преобразование координат происходит следующим образом: [39] [40]
Рис. 3-1 иллюстрирует, что в теории Ньютона универсальным является время, а не скорость света. [41] : 36–37 Рассмотрим следующий мысленный эксперимент: Красная стрелка иллюстрирует поезд, который движется со скоростью 0,4 c относительно платформы. В поезде пассажир стреляет пулей со скоростью 0,4 с в кадр поезда. Синяя стрелка показывает, что человек, стоящий на железнодорожных путях, измеряет пулю, летящую со скоростью 0,8 с. Это соответствует нашим наивным ожиданиям.
В более общем смысле, если предположить, что кадр S' движется со скоростью v относительно кадра S, то внутри кадра S' наблюдатель O' измеряет объект, движущийся со скоростью u ' . Скорость u относительно системы отсчета S, поскольку x = ut , x ′ = x − vt и t = t ′ , можно записать как x ′ = ut - vt = ( u - v ) t = ( u - v ) t ’ . Это приводит к тому, что u ′ = x ′ / t ′ и в конечном итоге
что является общепринятым законом Галилея для сложения скоростей .
В релятивистском пространстве-времени состав скоростей совершенно иной. Чтобы немного упростить уравнения, мы вводим общее сокращение для отношения скорости объекта относительно света:
На рис. 3-2а изображен красный поезд, который движется вперед со скоростью, заданной выражением v / c = β = s / a . Из загрунтованной рамы поезда пассажир стреляет пулей со скоростью, определяемой выражением u ′ / c = β ′ = n / m , где расстояние измеряется вдоль линии, параллельной красной оси x ′ , а не параллельной оси x . черная ось х . Какова суммарная скорость u пули относительно платформы, показанная синей стрелкой? Обращаясь к рис. 3-2b:
Представленная выше релятивистская формула сложения скоростей обладает несколькими важными особенностями:
Получить количественные выражения для замедления времени и сокращения длины несложно. Рис. 3-3 представляет собой составное изображение, содержащее отдельные кадры, взятые из двух предыдущих анимаций, упрощенные и переименованные для целей этого раздела.
Чтобы немного уменьшить сложность уравнений, существует множество различных сокращенных обозначений для ct :
На рис. 3-3а отрезки ОА и ОК представляют равные пространственно-временные интервалы. Замедление времени представлено соотношением OB / OK . Инвариантная гипербола имеет уравнение w = √ x 2 + k 2 , где k = OK , а красная линия, представляющая мировую линию движущейся частицы, имеет уравнение w = x / β = xc / v . Немного алгебраических манипуляций дает
Выражение, включающее в себя символ квадратного корня, очень часто встречается в теории относительности, и одно выражение, связанное с этим выражением, называется фактором Лоренца и обозначается греческой буквой гамма : [42]
Если v больше или равно c , выражение для становится физически бессмысленным, подразумевая, что c — максимально возможная скорость в природе. Для любого v , большего нуля, фактор Лоренца будет больше единицы, хотя форма кривой такова, что для малых скоростей фактор Лоренца чрезвычайно близок к единице.
На рис. 3-3б отрезки ОА и ОК представляют равные пространственно-временные интервалы. Сокращение длины представлено соотношением OB / OK . Инвариантная гипербола имеет уравнение x = √ w 2 + k 2 , где k = OK , а края синей полосы, представляющей мировые линии концов движущегося стержня, имеют наклон 1/ β = c / v . Событие A имеет координаты ( x , w ) = ( γk , γβk ). Поскольку касательная линия, проходящая через A и B, имеет уравнение w = ( x − OB )/ β , мы имеем γβk = ( γk − OB )/ β и
Преобразования Галилея и вытекающий из них закон сложения скоростей хорошо работают в нашем обычном низкоскоростном мире самолетов, автомобилей и мячей. Однако начиная с середины 1800-х годов чувствительные научные приборы начали обнаруживать аномалии, которые плохо сочетались с обычным сложением скоростей.
Преобразования Лоренца используются для преобразования координат события из одного кадра в другой в специальной теории относительности.
Фактор Лоренца появляется в преобразованиях Лоренца:
Обратные преобразования Лоренца:
Когда v ≪ c и x достаточно малы, члены v 2 / c 2 и vx / c 2 стремятся к нулю, и преобразования Лоренца приближаются к преобразованиям Галилея.
и т. д., чаще всего на самом деле означают и т. д. Хотя для краткости уравнения преобразования Лоренца записываются без дельт, x означает Δ x и т. д. В общем, нас всегда интересуют различия в пространстве и времени между событиями.
Называть один набор преобразований нормальными преобразованиями Лоренца, а другой — обратными преобразованиями, вводит в заблуждение, поскольку между кадрами нет существенной разницы. Разные авторы называют тот или иной набор преобразований «обратным». Прямые и обратные преобразования тривиально связаны друг с другом, поскольку кадр S может двигаться только вперед или назад относительно S ′ . Таким образом, обращение уравнений просто влечет за собой замену переменных со штрихом и без штриха и замену v на − v . [43] : 71–79
Пример: Теренс и Стелла участвуют в космической гонке Земля-Марс. Теренс — судья на старте, а Стелла — участник. В момент времени t = t ′ = 0 космический корабль Стеллы мгновенно разгоняется до скорости 0,5 c . Расстояние от Земли до Марса составляет 300 световых секунд (около90,0 × 10 6 км ). Теренс наблюдает, как Стелла пересекает финишную черту в момент t = 600,00 с . Но Стелла наблюдает на своем корабельном хронометре время, когда она пересекает финишную черту, и вычисляет расстояние между стартовой и финишной линиями, измеренное в ее системе координат, равное 259,81 световой секунды (около77,9 × 10 6 км ). 1).
Со времени оригинальной работы Эйнштейна в 1905 году было сделано много десятков выводов преобразований Лоренца , каждый из которых имел свою конкретную направленность. Хотя вывод Эйнштейна был основан на инвариантности скорости света, существуют и другие физические принципы, которые могут служить отправной точкой. В конечном счете, эти альтернативные отправные точки можно считать различными выражениями основного принципа локальности , который гласит, что влияние, которое одна частица оказывает на другую, не может передаваться мгновенно. [44]
Вывод, приведенный здесь и проиллюстрированный на рис. 3-5, основан на выводе, представленном Байсом [41] : 64–66 , и использует предыдущие результаты из разделов «Релятивистская композиция скоростей», «Замедление времени» и «Сокращение длины». Событие P имеет координаты ( w , x ) в черной «системе покоя» и координаты ( w ′ , x ′ ) в красной рамке, которая движется с параметром скорости β = v / c . Чтобы определить w ′ и x ′ через w и x (или наоборот), проще сначала получить обратное преобразование Лоренца.
Вышеупомянутые уравнения являются альтернативными выражениями для уравнений t и x обратного преобразования Лоренца, как можно увидеть, подставив ct вместо w , ct ′ вместо w ′ и v / c вместо β . Из обратного преобразования уравнения прямого преобразования могут быть получены путем решения для t ′ и x ′ .
Преобразования Лоренца обладают математическим свойством, называемым линейностью, поскольку x ′ и t ′ получаются как линейные комбинации x и t без участия высших степеней. Линейность преобразования отражает фундаментальное свойство пространства-времени, которое молчаливо предполагалось при выводе, а именно, что свойства инерциальных систем отсчета не зависят от местоположения и времени. В отсутствие гравитации пространство-время везде выглядит одинаково. [41] : 67 Все инерционные наблюдатели согласятся с тем, что представляет собой ускоряющееся и неускоряющееся движение. [43] : 72–73 Любой наблюдатель может использовать свои собственные измерения пространства и времени, но в них нет ничего абсолютного. Соглашения другого наблюдателя тоже подойдут. [3] : 190
Результатом линейности является то, что если два преобразования Лоренца применяются последовательно, результат также является преобразованием Лоренца.
Пример: Теренс наблюдает, как Стелла удаляется от него со скоростью 0,500 c , и он может использовать преобразования Лоренца с β = 0,500 , чтобы связать измерения Стеллы со своими собственными. Стелла в своей системе координат наблюдает, как Урсула удаляется от нее со скоростью 0,250° С , и она может использовать преобразования Лоренца с β = 0,250 , чтобы связать измерения Урсулы со своими собственными. Из-за линейности преобразований и релятивистского состава скоростей Теренс может использовать преобразования Лоренца с β = 0,666 , чтобы связать измерения Урсулы со своими собственными.
Эффект Доплера — это изменение частоты или длины волны для приемника и источника при относительном движении. Для простоты рассмотрим здесь два основных сценария: (1) движения источника и/или приемника происходят точно вдоль соединяющей их линии (продольный эффект Доплера) и (2) движения происходят под прямым углом к указанной линии ( поперечный эффект Доплера ). Мы игнорируем сценарии, в которых они движутся по промежуточным углам.
Классический доплеровский анализ имеет дело с волнами, распространяющимися в среде, такими как звуковые волны или водная рябь, и которые передаются между источниками и приемниками, которые движутся навстречу друг другу или от них. Анализ таких волн зависит от того, движутся ли источник, приемник или оба относительно среды. Учитывая сценарий, в котором приемник неподвижен по отношению к среде, а источник движется прямо от приемника со скоростью v s для параметра скорости β s , длина волны увеличивается, и наблюдаемая частота f задается к
С другой стороны, в сценарии, где источник неподвижен, а приемник движется прямо от источника со скоростью v r для параметра скорости β r , длина волны не изменяется, но скорость передачи волн относительно приемника уменьшается, а наблюдаемая частота f определяется выражением
Свет, в отличие от звука или водной ряби, не распространяется через среду, и нет различия между источником, удаляющимся от приемника, и приемником, удаляющимся от источника. На рис. 3-6 показана релятивистская пространственно-временная диаграмма, показывающая источник, отделяющийся от приемника с параметром скорости β , так что расстояние между источником и приемником во время w составляет βw . Из-за замедления времени . Поскольку наклон луча зеленого света равен −1, . Следовательно, релятивистский эффект Доплера определяется формулой [41] : 58–59.
Предположим, что источник и приемник, приближающиеся друг к другу по равномерному инерционному движению вдоль непересекающихся линий, находятся на максимальном сближении друг с другом. Казалось бы, классический анализ предсказывает, что приемник не обнаружит доплеровского сдвига. Из-за тонкостей анализа это ожидание не обязательно соответствует действительности. Тем не менее, при правильном определении поперечный доплеровский сдвиг представляет собой релятивистский эффект, не имеющий классического аналога. Тонкости таковы: [45] : 541–543.
При обсуждении поперечного доплеровского сдвига обычно рассматриваются два других сценария:
В сценарии (a) точка наибольшего сближения не зависит от кадра и представляет собой момент, когда нет изменения расстояния во времени (т. е. dr/dt = 0, где r — расстояние между приемником и источником) и, следовательно, нет продольного доплеровского эффекта. сдвиг. Источник наблюдает, что приемник освещен светом частоты f ′ , но также наблюдает, что приемник имеет часы с замедленным временем. Таким образом, в кадре S приемник освещается синесмещенным светом с частотой
В сценарии (b) на рисунке показано, что приемник освещается светом, когда источник находился ближе всего к приемнику, даже если источник переместился дальше. Поскольку часы источника замедлены во времени, как измерено в кадре S, и поскольку в этой точке dr/dt было равно нулю, свет от источника, излучаемый из этой ближайшей точки, смещается в красную сторону с частотой
Сценарии (c) и (d) можно проанализировать с помощью простых аргументов в пользу замедления времени. В (c) приемник наблюдает, что свет от источника смещен в синюю сторону в 2 раза , а в (d) свет смещен в красную сторону. Единственная кажущаяся сложность заключается в том, что орбитальные объекты находятся в ускоренном движении. Однако, если инерционный наблюдатель смотрит на ускоряющиеся часы, при вычислении замедления времени важна только мгновенная скорость часов. (Обратное, однако, неверно.) [45] : 541–543 В большинстве сообщений о поперечном доплеровском сдвиге этот эффект называют красным смещением и анализируется с точки зрения сценариев (b) или (d). [примечание 11]
В классической механике состояние движения частицы характеризуется ее массой и скоростью. Линейный импульс , произведение массы частицы на скорость, представляет собой векторную величину, имеющую то же направление, что и скорость: p = m v . Это сохраняющаяся величина, означающая, что если на закрытую систему не действуют внешние силы, ее полный линейный импульс не может измениться.
В релятивистской механике вектор импульса расширен до четырех измерений. К вектору импульса добавляется временной компонент, который позволяет вектору импульса пространства-времени трансформироваться подобно вектору положения пространства-времени . Исследуя свойства импульса пространства-времени, мы начнем (рис. 3-8а) с рассмотрения того, как выглядит частица в состоянии покоя. В остальной системе отсчета пространственная составляющая импульса равна нулю, т.е. p = 0 , а временная составляющая равна mc .
Мы можем получить преобразованные компоненты этого вектора в движущейся системе отсчета, используя преобразования Лоренца, или можем прочитать его непосредственно из рисунка, потому что мы знаем, что и , поскольку красные оси масштабируются по гамме. Рис. 3-8b иллюстрирует ситуацию в движущемся кадре. Очевидно, что пространственная и временная компоненты четырехимпульса стремятся к бесконечности, когда скорость движущейся системы приближается к c . [41] : 84–87
Вскоре мы воспользуемся этой информацией, чтобы получить выражение для четырехимпульса .
Частицы света, или фотоны, движутся со скоростью c , константой, которую обычно называют скоростью света . Это утверждение не является тавтологией, поскольку многие современные формулировки теории относительности не исходят из постулата постоянной скорости света. Таким образом, фотоны распространяются вдоль светоподобной мировой линии и в соответствующих единицах имеют равные пространственные и временные компоненты для каждого наблюдателя.
Следствием теории электромагнетизма Максвелла является то, что свет несет энергию и импульс, и что их соотношение является постоянным: . Переставляя, и поскольку для фотонов пространственная и временная компоненты равны, E/c поэтому должно быть приравнено к временной составляющей вектора импульса пространства-времени.
Фотоны движутся со скоростью света, но имеют конечный импульс и энергию. Чтобы это было так, массовый член в γmc должен быть равен нулю, а это означает, что фотоны являются безмассовыми частицами . Бесконечность, умноженная на ноль, — плохо определенная величина, но E/c определена четко.
Согласно этому анализу, если энергия фотона равна E в покоящейся системе отсчета, она равна и в движущейся системе отсчета. Этот результат может быть получен путем рассмотрения рис. 3-9 или путем применения преобразований Лоренца и согласуется с анализом эффекта Доплера, приведенным ранее. [41] : 88
Рассмотрение взаимосвязей между различными компонентами релятивистского вектора импульса привело Эйнштейна к нескольким знаменитым выводам.
Другой способ взглянуть на взаимосвязь между массой и энергией — рассмотреть ряд γmc 2 при низкой скорости:
Второе слагаемое представляет собой просто выражение кинетической энергии частицы. Действительно, масса является еще одной формой энергии. [41] : 90–92 [43] : 129–130, 180
Концепция релятивистской массы, введенная Эйнштейном в 1905 году, m rel , хотя и тщательно подтверждается каждый день в ускорителях частиц по всему миру (да и вообще в любых приборах, использование которых зависит от частиц с высокой скоростью, таких как электронные микроскопы, [46] является старомодной цветные телевизоры и т. д.), тем не менее, не оказалась плодотворной концепцией в физике в том смысле, что она не послужила основой для других теоретических разработок. Например, релятивистская масса не играет никакой роли в общей теории относительности.
По этой причине, а также по педагогическим соображениям, большинство физиков в настоящее время предпочитают другую терминологию, говоря о взаимосвязи между массой и энергией. [47] «Релятивистская масса» — устаревший термин. Термин «масса» сам по себе относится к массе покоя или инвариантной массе и равен инвариантной длине вектора релятивистского импульса. Выраженный в виде формулы,
Эта формула применима ко всем частицам, как безмассовым, так и массивным. Для фотонов, где m rest равно нулю, это дает . [41] : 90–92
Из-за тесной связи между массой и энергией четырехимпульс (также называемый 4-импульсом) также называют 4-вектором энергии-импульса. Используя прописную букву P для обозначения четырехимпульса и строчную букву p для обозначения пространственного импульса, четырехимпульс можно записать как
В физике законы сохранения утверждают, что некоторые конкретные измеримые свойства изолированной физической системы не меняются по мере того, как система развивается с течением времени. В 1915 году Эмми Нётер обнаружила, что в основе каждого закона сохранения лежит фундаментальная симметрия природы. [48] Тот факт, что физические процессы не заботятся о том, где в пространстве они происходят ( симметрия перемещения во времени ), приводит к сохранению импульса , тот факт, что таким процессам не важно , когда они происходят ( симметрия перемещения во времени ), приводит к сохранению энергии. , и так далее. В этом разделе мы исследуем ньютоновские взгляды на сохранение массы, импульса и энергии с релятивистской точки зрения.
Чтобы понять, как ньютоновский взгляд на сохранение импульса необходимо изменить в релятивистском контексте, мы исследуем проблему двух сталкивающихся тел, ограниченных одним измерением.
В ньютоновской механике можно выделить два крайних случая этой проблемы, дающих математику минимальной сложности:
В обоих случаях (1) и (2) сохраняются импульс, масса и полная энергия. Однако при неупругом столкновении кинетическая энергия не сохраняется. Определенная часть начальной кинетической энергии преобразуется в тепло.
В случае (2) две массы с импульсами и сталкиваются, образуя одну частицу сохраняющейся массы , движущуюся со скоростью центра масс исходной системы . Полный импульс сохраняется.
Рис. 3-10 иллюстрирует неупругое столкновение двух частиц с релятивистской точки зрения. Компоненты времени и складываются в общее E/c результирующего вектора, что означает, что энергия сохраняется. Аналогично, пространственные компоненты и складываются, образуя p результирующего вектора. Четырехимпульс, как и ожидалось, является сохраняющейся величиной. Однако инвариантная масса слившейся частицы, определяемая точкой, где инвариантная гипербола полного импульса пересекает ось энергии, не равна сумме инвариантных масс отдельных столкнувшихся частиц. Действительно, она больше суммы отдельных масс: . [41] : 94–97
Глядя на события этого сценария в обратной последовательности, мы видим, что несохранение массы — обычное явление: когда нестабильная элементарная частица спонтанно распадается на две более легкие частицы, полная энергия сохраняется, а масса — нет. Часть массы преобразуется в кинетическую энергию. [43] : 134–138.
Свобода выбора любой структуры для проведения анализа позволяет нам выбрать ту, которая может оказаться особенно удобной. Для анализа проблем импульса и энергии наиболее удобной системой координат обычно является « система центра импульса » (также называемая системой нулевого импульса или COM-система). Это система отсчета, в которой пространственная составляющая полного импульса системы равна нулю. Рис. 3-11 иллюстрирует распад высокоскоростной частицы на две дочерние частицы. В лабораторных условиях дочерние частицы преимущественно испускаются в направлении, ориентированном вдоль траектории исходной частицы. Однако в системе COM две дочерние частицы испускаются в противоположных направлениях, хотя их массы и величины скоростей обычно не одинаковы.
В ньютоновском анализе взаимодействующих частиц преобразование между системами отсчета является простым, поскольку все, что необходимо, — это применить преобразование Галилея ко всем скоростям. Так как импульс . Если наблюдается сохранение полного импульса взаимодействующей системы частиц в одной системе отсчета, то точно так же будет наблюдаться его сохранение и в любой другой системе отсчета. [43] : 241–245.
Сохранение импульса в системе отсчета COM сводится к требованию, чтобы p = 0 как до, так и после столкновения. В ньютоновском анализе это диктуется сохранением массы . В упрощенных одномерных сценариях, которые мы рассматривали, необходимо только одно дополнительное ограничение, прежде чем можно будет определить исходящие импульсы частиц — энергетическое условие. В одномерном случае полностью упругого столкновения без потери кинетической энергии исходящие скорости отскакивающих частиц в системе СОМ будут точно равны и противоположны их входящим скоростям. В случае совершенно неупругого столкновения с полной потерей кинетической энергии скорости вылета отскакивающих частиц будут равны нулю. [43] : 241–245.
Ньютоновские импульсы, рассчитанные как , не ведут себя должным образом при лоренцевом преобразовании. Линейное преобразование скоростей заменяется сильно нелинейным, так что расчет, демонстрирующий сохранение импульса в одном кадре, будет недействителен в других кадрах. Эйнштейн столкнулся с необходимостью либо отказаться от сохранения импульса, либо изменить определение импульса. Он выбрал именно этот второй вариант. [41] : 104
Релятивистский закон сохранения энергии и импульса заменяет три классических закона сохранения энергии, импульса и массы. Масса больше не сохраняется независимо, поскольку она включена в полную релятивистскую энергию. Это делает релятивистское сохранение энергии более простой концепцией, чем в нерелятивистской механике, поскольку полная энергия сохраняется без каких-либо оговорок. Кинетическая энергия, преобразованная в тепло или внутреннюю потенциальную энергию, проявляется в увеличении массы. [43] : 127
Рис. 3-12а иллюстрирует диаграмму энергии-импульса для этой реакции распада в системе покоя пиона. Из-за своей незначительной массы нейтрино движется со скоростью, близкой к скорости света. Релятивистское выражение его энергии, как и у фотона, равно значению пространственной составляющей его импульса. Для сохранения импульса мюон имеет то же значение пространственной составляющей импульса нейтрино, но в противоположном направлении.
Алгебраический анализ энергетики этой реакции распада доступен в Интернете, [49] , поэтому на рис. 3-12b вместо этого представлено графическое решение калькулятора. Энергия нейтрино 29,79 МэВ, а энергия мюона 33,91 МэВ − 29,79 МэВ = 4,12 МэВ . Большую часть энергии уносит нейтрино с массой, близкой к нулевой.Темы этого раздела имеют значительно большую техническую сложность, чем темы предыдущих разделов, и не являются существенными для понимания « Введения в искривленное пространство-время».
Преобразования Лоренца связывают координаты событий в одной системе отсчета с событиями в другой системе отсчета. Релятивистская композиция скоростей используется для сложения двух скоростей. Формулы для выполнения последних вычислений нелинейны, что делает их более сложными, чем соответствующие формулы Галилея.
Эта нелинейность является результатом нашего выбора параметров. [9] : 47–59 Ранее мы отмечали, что на пространственно-временной диаграмме x–ct точки, находящиеся на некотором постоянном пространственно-временном интервале от начала координат, образуют инвариантную гиперболу. Мы также отметили, что системы координат двух пространственно-временных систем отсчета в стандартной конфигурации гиперболически повернуты относительно друг друга.
Естественными функциями для выражения этих соотношений являются гиперболические аналоги тригонометрических функций . На рис. 4-1а показан единичный круг с sin( a ) и cos( a ), единственное отличие этой диаграммы от знакомого единичного круга элементарной тригонометрии состоит в том, что a интерпретируется, а не как угол между лучом и x . -ось , а как удвоенная площадь сектора, выметаемого лучом от оси X. (Численно угол и 2×площадь единичного круга идентичны.) На рис. 4-1b показана единичная гипербола с sinh( a ) и cosh( a ), где a также интерпретируется как удвоенная окрашенная площадь. [50] На рис. 4-2 представлены графики функций sinh, cosh и tanh.
Для единичного круга наклон луча определяется выражением
В декартовой плоскости поворот точки ( x , y ) в точку ( x ' , y ' ) на угол θ определяется выражением
На пространственно-временной диаграмме параметр скорости является аналогом наклона. Быстрота φ определяется согласно [43 ] : 96–99
где
Определенная выше быстрота очень полезна в специальной теории относительности, поскольку многие выражения, выражаемые через нее, принимают значительно более простую форму. Например, в формуле коллинеарного сложения скорости скорость просто складывается; [9] : 47–59
или другими словами,
Преобразования Лоренца принимают простую форму, если выражать их через быстроту. Фактор γ можно записать как
Преобразования, описывающие относительное движение с равномерной скоростью и без вращения осей пространственных координат, называются бустами .
Подставив γ и γβ в преобразования, представленные ранее, и переписав их в матричной форме, усиление Лоренца в направлении x можно записать как
а обратное усиление Лоренца в направлении x можно записать как
Другими словами, повышения Лоренца представляют собой гиперболические вращения в пространстве-времени Минковского. [43] : 96–99
Преимущества использования гиперболических функций таковы, что некоторые учебники, такие как классические учебники Тейлора и Уиллера, знакомят с их использованием на очень ранней стадии. [9] [51] [примечание 12]
Четыре-вектора были упомянуты выше в контексте 4-вектора энергии-импульса , но без особого акцента. Действительно, ни один из элементарных выводов специальной теории относительности не требует их. Но как только они будут поняты, 4-векторы и, в более общем смысле, тензоры , значительно упрощают математику и концептуальное понимание специальной теории относительности. Работа исключительно с такими объектами приводит к формулам, явно релятивистски инвариантным, что является значительным преимуществом в нетривиальных контекстах. Например, демонстрация релятивистской инвариантности уравнений Максвелла в их обычной форме не является тривиальной, хотя это просто рутинный расчет (на самом деле не более чем наблюдение) с использованием формулировки тензора напряженности поля . [52] С другой стороны, общая теория относительности с самого начала в значительной степени опирается на 4-векторы и, в более общем смысле, на тензоры, представляющие физически значимые объекты. Чтобы связать их посредством уравнений, которые не опираются на конкретные координаты, необходимы тензоры, способные соединять такие 4-вектора даже в искривленном пространстве-времени, а не только в плоском , как в специальной теории относительности. Изучение тензоров выходит за рамки этой статьи, в которой представлено лишь базовое обсуждение пространства-времени.
Четверной кортеж является «4-вектором», если его компонент A i преобразуется между кадрами в соответствии с преобразованием Лоренца.
При использовании координат A является 4-вектором , если он преобразуется (в направлении x ) согласно
который получается в результате простой замены ct на A 0 и x на A 1 в предыдущем представлении преобразования Лоренца.
Как обычно, когда мы пишем x , t и т. д., мы обычно имеем в виду Δx , Δt и т. д.
Последние три компонента 4-вектора должны быть стандартным вектором в трехмерном пространстве. Следовательно, 4-вектор должен трансформироваться как при преобразованиях Лоренца, так и при поворотах. [37] : 36–59
Как и ожидалось, все конечные компоненты вышеупомянутых 4-векторов представляют собой стандартные 3-векторы , соответствующие пространственному 3-импульсу , 3-силе и т. д. [43] : 178–181 [37] : 36–59
Первый постулат специальной теории относительности декларирует эквивалентность всех инерциальных систем отсчета. Физический закон, действующий в одном кадре, должен применяться во всех кадрах, поскольку в противном случае можно было бы различать кадры. Ньютоновские импульсы не ведут себя должным образом при лоренцевом преобразовании, и Эйнштейн предпочел изменить определение импульса на определение, включающее 4-вектора, вместо того, чтобы отказаться от сохранения импульса.
Физические законы должны основываться на конструкциях, независимых от системы координат. Это означает, что физические законы могут принимать форму уравнений, связывающих скаляры, которые всегда не зависят от системы отсчета. Однако уравнения, включающие 4-вектора, требуют использования тензоров соответствующего ранга, которые сами по себе можно рассматривать как построенные из 4-векторов . [43] : 186
Распространено заблуждение, что специальная теория относительности применима только к инерциальным системам отсчета и что она не способна учитывать ускоряющиеся объекты или ускоряющиеся системы отсчета. На самом деле, ускоряющиеся объекты вообще можно анализировать, вообще не имея дело с ускоряющимися кадрами. Общая теория относительности требуется только тогда, когда гравитация существенна. [53]
Однако правильное обращение с ускоряющимися кадрами требует некоторой осторожности. Разница между специальной и общей теорией относительности заключается в том, что (1) В специальной теории относительности все скорости относительны, но ускорение абсолютно. (2) В общей теории относительности любое движение относительно, будь то инерционное, ускоряющееся или вращательное. Чтобы учесть эту разницу, общая теория относительности использует искривленное пространство-время. [53]
В этом разделе мы анализируем несколько сценариев, связанных с ускоренными системами отсчета.
Парадокс космического корабля Девана-Берана-Белла ( парадокс космического корабля Белла ) является хорошим примером проблемы, когда интуитивное рассуждение без поддержки геометрического понимания пространственно-временного подхода может привести к проблемам.
На рис. 4-4 два одинаковых космических корабля плывут в космосе и покоятся относительно друг друга. Они соединены веревкой, которая способна растягиваться лишь на ограниченное количество раз, прежде чем порвется. В данный момент в нашей системе координат, системе наблюдателя, оба космических корабля ускоряются в одном направлении вдоль линии между ними с одинаковым постоянным собственным ускорением. [примечание 13] Не порвется ли струна?
Когда парадокс был новым и относительно неизвестным, даже профессиональным физикам было трудно найти решение. Две линии рассуждений приводят к противоположным выводам. Оба аргумента, представленные ниже, ошибочны, хотя один из них дает правильный ответ. [43] : 106, 120–122.
Проблема с первым аргументом заключается в том, что не существует «каркаса космических кораблей». Этого не может быть, потому что расстояние между двумя космическими кораблями увеличивается. Поскольку общего каркаса космических кораблей нет, длина струны не определена. Тем не менее, вывод верен, и аргументы в основном верны. Однако второй аргумент полностью игнорирует относительность одновременности. [43] : 106, 120–122.
Диаграмма пространства-времени (рис. 4-5) почти сразу делает правильное решение этого парадокса очевидным. Два наблюдателя в пространстве-времени Минковского ускоряются с ускорением постоянной величины в течение собственного времени (ускорение и прошедшее время измеряются самими наблюдателями, а не каким-то инерционным наблюдателем). Они сопутствующие и инерционные до и после этой фазы. В геометрии Минковского длина по линии одновременности оказывается больше длины по линии одновременности .
Увеличение длины можно рассчитать с помощью преобразования Лоренца. Если, как показано на рис. 4-5, ускорение завершено, корабли останутся с постоянным смещением в некотором кадре. Если и являются положениями кораблей в позициях в кадре : [54]
«Парадокс» как бы проистекает из того, как Белл построил свой пример. При обычном обсуждении лоренцева сокращения длина покоя фиксирована, а длина движения сокращается по мере измерения в кадре . Как показано на рис. 4-5, пример Белла утверждает, что длины перемещения и измеренные в кадре фиксированы, тем самым вынуждая длину оставшегося кадра в кадре увеличиваться.
Определенные постановки задач специальной теории относительности могут привести к пониманию явлений, обычно связанных с общей теорией относительности, таких как горизонты событий . В тексте, сопровождающем рис. 2-7, пурпурные гиперболы представляют реальные пути, которые прослеживает постоянно ускоряющийся путешественник в пространстве-времени. В периоды положительного ускорения скорость путешественника едва приближается к скорости света, в то время как, измеренное в нашей системе координат, ускорение путешественника постоянно уменьшается.
На рис. 4-6 более подробно показаны различные особенности движений путешественника. В любой момент ее пространственная ось формируется линией, проходящей через начало координат и ее текущее положение на гиперболе, а ее ось времени является касательной к гиперболе в ее положении. Параметр скорости приближается к пределу единицы по мере увеличения. Аналогично приближается к бесконечности.
Форма инвариантной гиперболы соответствует пути постоянного собственного ускорения. Это можно продемонстрировать следующим образом:
Рис. 4-6 иллюстрирует конкретный расчетный сценарий. Теренс (А) и Стелла (Б) изначально находятся вместе на расстоянии 100 световых часов от начала координат. Стелла взлетает в момент времени 0, ее космический корабль ускоряется со скоростью 0,01 градуса в час. Каждые двадцать часов Теренс сообщает Стелле по рации о ситуации дома (сплошные зеленые линии). Стелла получает эти регулярные передачи, но увеличивающееся расстояние (частично компенсируемое замедлением времени) заставляет ее принимать сообщения Теренса все позже и позже, как указано на ее часах, и она никогда не получает никаких сообщений от Теренса после 100 часов на его часах (пунктирный зеленый линии). [41] : 110–113
Через 100 часов по часам Теренса Стелла попадает в темную область. Она путешествовала за пределы времениподобного будущего Теренса. С другой стороны, Теренс может продолжать получать сообщения от Стеллы бесконечно долго. Ему просто нужно ждать достаточно долго. Пространство-время разделено на отдельные области, разделенные видимым горизонтом событий. Пока Стелла продолжает ускоряться, она никогда не узнает, что происходит за горизонтом. [41] : 110–113
Теории Ньютона предполагали, что движение происходит на фоне жесткой евклидовой системы отсчета, простирающейся через все пространство и все время. Гравитация осуществляется таинственной силой, действующей мгновенно на расстоянии, действия которой не зависят от промежуточного пространства. [примечание 14] Напротив, Эйнштейн отрицал существование какой-либо фоновой евклидовой системы отсчета, которая простирается во всем пространстве. Не существует и такой вещи, как сила гравитации, а есть только структура самого пространства-времени. [9] : 175–190
С точки зрения пространства-времени траектория спутника, вращающегося вокруг Земли, не определяется отдаленными влияниями Земли, Луны и Солнца. Вместо этого спутник движется в космосе только в ответ на местные условия. Поскольку пространство-время везде локально плоское, если рассматривать его в достаточно малом масштабе, спутник всегда движется по прямой линии в своей локальной инерциальной системе отсчета. Мы говорим, что спутник всегда следует по пути геодезической . Никакие доказательства гравитации не могут быть обнаружены при движении отдельной частицы. [9] : 175–190
При любом анализе пространства-времени доказательства существования гравитации требуют наблюдения относительных ускорений двух тел или двух разделенных частиц. На рис. 5-1 две отдельные частицы, свободно падающие в гравитационном поле Земли, демонстрируют приливное ускорение из-за локальных неоднородностей гравитационного поля, так что каждая частица следует различным путем в пространстве-времени. Приливные ускорения, которые эти частицы проявляют по отношению друг к другу, не требуют сил для своего объяснения. Скорее, Эйнштейн описал их в терминах геометрии пространства-времени, то есть кривизны пространства-времени. Эти приливные ускорения носят строго локальный характер. Это совокупный суммарный эффект многих локальных проявлений кривизны, которые приводят к появлению гравитационной силы, действующей на большом расстоянии от Земли. [9] : 175–190
В основе общей теории относительности лежат два центральных положения.
Чтобы перейти от приведенного выше элементарного описания искривленного пространства-времени к полному описанию гравитации, необходимы тензорное исчисление и дифференциальная геометрия — обе темы требуют значительного изучения. Без этих математических инструментов можно писать об общей теории относительности, но невозможно продемонстрировать какие-либо нетривиальные выводы.
В обсуждении специальной теории относительности силы играли не более чем второстепенную роль. Специальная теория относительности предполагает способность определять инерциальные системы отсчета, заполняющие все пространство-время, все часы которых идут с той же скоростью, что и часы в начале координат. Действительно ли это возможно? Эксперимент показывает, что в неоднородном гравитационном поле ответ отрицательный. Гравитационные поля делают невозможным построение глобальной инерциальной системы отсчета. В достаточно малых областях пространства-времени все еще возможны локальные инерциальные системы отсчета. Общая теория относительности предполагает систематическое сшивание этих локальных рамок в более общую картину пространства-времени. [37] : 118–126.
За годы до публикации общей теории в 1916 году Эйнштейн использовал принцип эквивалентности, чтобы предсказать существование гравитационного красного смещения в следующем мысленном эксперименте : (i) Предположим, что построена башня высотой h (рис. 5-3). (ii) Сбросьте частицу массы покоя m с вершины башни. Он свободно падает с ускорением g , достигая земли со скоростью v = (2 gh ) 1/2 , так что его полная энергия E , измеренная наблюдателем на земле, равна (iii) Преобразователь массы в энергию преобразует полную энергию частицы в один фотон высокой энергии, который она направляет вверх. (iv) На вершине башни преобразователь энергии в массу преобразует энергию фотона E ' обратно в частицу с массой покоя m ' . [37] : 118–126.
Должно быть так, что m = m ' , иначе можно было бы построить вечный двигатель. Поэтому мы предсказываем, что E ' = m , так что
Фотон, поднимающийся в гравитационном поле Земли, теряет энергию и смещается в красную сторону. Ранние попытки измерить это красное смещение с помощью астрономических наблюдений были несколько безрезультатными, но окончательные лабораторные наблюдения были выполнены Паундом и Ребкой (1959) , а затем Паундом и Снайдером (1964). [57]
Свет имеет связанную с ним частоту, и эту частоту можно использовать для управления работой часов. Гравитационное красное смещение приводит к важному выводу о самом времени: гравитация заставляет время течь медленнее. Предположим, мы построили два одинаковых часа, ход которых контролируется каким-то стабильным атомным переходом. Поместите одни часы на вершину башни, а другие останутся на земле. Экспериментатор на вершине башни замечает, что сигналы от наземных часов ниже по частоте, чем сигналы от часов рядом с ней на башне. Свет, поднимающийся вверх по башне, — это всего лишь волна, и гребни волн не могут исчезнуть по пути вверх. На вершину башни приходит ровно столько же колебаний света, сколько было излучено внизу. Экспериментатор приходит к выводу, что наземные часы идут медленно, и может подтвердить это, опустив башенные часы для сравнения с наземными часами. [3] : 16–18 Для башни высотой 1 км расхождение составит около 9,4 наносекунд в день, что легко измерить с помощью современных приборов.
Часы в гравитационном поле не все идут с одинаковой скоростью. Такие эксперименты, как эксперимент Паунда-Ребки, твердо установили кривизну временного компонента пространства-времени. Эксперимент Паунда-Ребки ничего не говорит о кривизне пространственной составляющей пространства-времени. Но теоретические аргументы, предсказывающие гравитационное замедление времени, вообще не зависят от деталей общей теории относительности. Любая теория гравитации предсказывает гравитационное замедление времени, если она соблюдает принцип эквивалентности. [3] : 16 Сюда входит ньютоновская гравитация. Стандартная демонстрация в общей теории относительности состоит в том, чтобы показать, как в « ньютоновском пределе » (т. е. частицы движутся медленно, гравитационное поле слабое и поле статично) одной кривизны времени достаточно, чтобы вывести закон гравитации Ньютона. . [58] : 101–106.
Ньютоновская гравитация — это теория искривленного времени. Общая теория относительности — это теория искривленного времени и искривленного пространства. Учитывая G как гравитационную постоянную, M как массу ньютоновской звезды и вращающиеся вокруг тела незначительной массы на расстоянии r от звезды, пространственно-временной интервал для ньютоновской гравитации является интервалом, для которого переменным является только временной коэффициент: [3] : 229–232
Коэффициент перед описывает кривизну времени в ньютоновской гравитации, и эта кривизна полностью объясняет все ньютоновские гравитационные эффекты. Как и ожидалось, этот поправочный коэффициент прямо пропорционален и , и из-за в знаменателе поправочный коэффициент увеличивается по мере приближения к гравитирующему телу, а это означает, что время искривляется.
Но общая теория относительности — это теория искривленного пространства и искривленного времени, поэтому, если существуют условия, изменяющие пространственные компоненты пространственно-временного интервала, представленного выше, не следует ли их влияние наблюдать, скажем, на орбитах планет и спутников из-за применяемых поправочных коэффициентов кривизны? пространственным понятиям?
Ответ в том, что их можно увидеть, но эффект крошечный. Причина в том, что скорости планет чрезвычайно малы по сравнению со скоростью света, так что для планет и спутников Солнечной системы этот термин затмевает пространственные термины. [3] : 234–238.
Несмотря на мелочность пространственных терминов, первые признаки того, что с ньютоновской гравитацией что-то не так, были обнаружены более полутора веков назад. В 1859 году Урбен Леверье , анализируя доступные наблюдения за транзитами Меркурия по диску Солнца с 1697 по 1848 год, сообщил, что известные физики не могут объяснить орбиту Меркурия, если только внутри него не существует планеты или пояса астероидов. орбита Меркурия. Перигелий орбиты Меркурия демонстрировал превышение скорости прецессии по сравнению с той, которую можно было объяснить притяжением других планет. [59] Способность обнаруживать и точно измерять минутную величину этой аномальной прецессии (всего 43 угловых секунды за тропический век ) является свидетельством сложности астрометрии XIX века .
Как сказал знаменитый астроном, ранее обнаруживший существование Нептуна «на кончике пера», анализируя колебания на орбите Урана, заявление Леверье спровоцировало длившийся два десятилетия период «вулканомании», как среди профессионалов, так и среди любителей. астрономы одинаково охотились за гипотетической новой планетой. Этот поиск включал несколько ложных наблюдений Вулкана. В конечном итоге было установлено, что такой планеты или пояса астероидов не существует. [60]
В 1916 году Эйнштейн должен был показать, что эта аномальная прецессия Меркурия объясняется пространственными условиями искривления пространства-времени. Искривление во временном плане, будучи просто выражением ньютоновской гравитации, не играет никакой роли в объяснении этой аномальной прецессии. Успех его вычислений стал для коллег Эйнштейна убедительным указанием на то, что общая теория относительности может быть верной.
Самым впечатляющим из предсказаний Эйнштейна был его расчет, согласно которому члены кривизны пространственных компонентов пространственно-временного интервала могут быть измерены при изгибании света вокруг массивного тела. Свет имеет наклон ±1 на диаграмме пространства-времени. Его движение в пространстве равно его движению во времени. Для слабополевого выражения инвариантного интервала Эйнштейн вычислил точно равную, но противоположный по знаку кривизну его пространственных компонент. [3] : 234–238.
В гравитации Ньютона коэффициент перед предсказывает искривление света вокруг звезды. В общей теории относительности коэффициент перед предсказывает удвоение общего изгиба. [3] : 234–238.
История экспедиции Эддингтона по затмению 1919 года и восхождения к славе Эйнштейна хорошо рассказана в другом месте. [61]
В теории гравитации Ньютона единственным источником гравитационной силы является масса .
Напротив, общая теория относительности помимо массы определяет несколько источников искривления пространства-времени. В уравнениях поля Эйнштейна источники гравитации представлены в правой части тензора энергии-импульса .
На рис. 5-5 классифицированы различные источники гравитации в тензоре энергии-импульса:
Один важный вывод, который можно сделать из уравнений, заключается в том, что, говоря в просторечии, гравитация сама по себе создает гравитацию . [примечание 15] Энергия имеет массу. Даже в ньютоновской гравитации гравитационное поле связано с энергией, называемой гравитационной потенциальной энергией . В общей теории относительности энергия гравитационного поля возвращается в создание гравитационного поля. Это делает уравнения нелинейными и их трудно решить в каких-либо случаях, кроме случаев слабого поля. [3] : 240 Численная теория относительности — это раздел общей теории относительности, использующий численные методы для решения и анализа проблем, часто использующий суперкомпьютеры для изучения черных дыр , гравитационных волн , нейтронных звезд и других явлений в режиме сильного поля.
В специальной теории относительности масса-энергия тесно связана с импульсом . Точно так же, как пространство и время — это разные аспекты более всеобъемлющей сущности, называемой пространством-временем, масса-энергия и импульс — это просто разные аспекты единой четырехмерной величины, называемой четырьмя импульсами . Следовательно, если масса-энергия является источником гравитации, то импульс также должен быть источником. Включение импульса в качестве источника гравитации приводит к предсказанию, что движущиеся или вращающиеся массы могут генерировать поля, аналогичные магнитным полям, создаваемым движущимися зарядами, — явление, известное как гравитомагнетизм . [63]
Хорошо известно, что силу магнетизма можно определить, применив правила специальной теории относительности к движущимся зарядам. (Красноречивая демонстрация этого была представлена Фейнманом в томе II, главах 13–6 , его «Лекций по физике» , доступных в Интернете.) [64] Аналогичную логику можно использовать, чтобы продемонстрировать происхождение гравитомагнетизма. На рис. 5-7а два параллельных бесконечно длинных потока массивных частиц имеют равные и противоположные скорости - v и + v относительно покоящейся пробной частицы, центрированной между ними. Из-за симметрии установки результирующая сила, действующая на центральную частицу, равна нулю. Предположим , что скорости просто аддитивны. На рис. 5-7б показана точно такая же установка, но в кадре верхнего потока. Пробная частица имеет скорость + v , а донный поток имеет скорость + 2v . Поскольку физическая ситуация не изменилась, а только рамка, в которой наблюдаются вещи, пробная частица не должна притягиваться ни к одному из потоков. Но совсем не очевидно, что силы, действующие на пробную частицу, равны. (1) Поскольку нижний поток движется быстрее верхнего, каждая частица нижнего потока имеет большую массовую энергию, чем частица верхнего потока. (2) Из-за лоренцева сжатия в нижнем потоке на единицу длины приходится больше частиц, чем в верхнем. (3) Другой вклад в активную гравитационную массу придонного потока вносит дополнительный член давления, для обсуждения которого на данный момент у нас нет достаточных оснований. Все эти эффекты вместе, по-видимому, потребуют, чтобы пробная частица была притянута к нижнему потоку. [3] : 245–253.
Пробная частица не притягивается к нижнему потоку из-за зависящей от скорости силы, которая отталкивает частицу , движущуюся в том же направлении, что и нижний поток. Этот гравитационный эффект, зависящий от скорости, называется гравитомагнетизмом. [3] : 245–253.
Следовательно, материя, движущаяся через гравитомагнитное поле, подвержена так называемым эффектам перетаскивания системы координат , аналогичным электромагнитной индукции . Было высказано предположение, что такие гравитомагнитные силы лежат в основе генерации релятивистских струй (рис. 5-8), выбрасываемых некоторыми вращающимися сверхмассивными черными дырами . [65] [66]
Источниками гравитации также должны быть величины, которые напрямую связаны с энергией и импульсом, а именно внутреннее давление и напряжение . Взятые вместе, масса-энергия , импульс, давление и напряжение служат источниками гравитации: в совокупности они определяют пространство-время, как искривляться.
Общая теория относительности предсказывает, что давление действует как источник гравитации с точно такой же силой, что и плотность массы-энергии. Включение давления в качестве источника гравитации приводит к резким различиям между предсказаниями общей теории относительности и предсказаниями ньютоновской гравитации. Например, термин давления устанавливает максимальный предел массы нейтронной звезды . Чем массивнее нейтронная звезда, тем большее давление требуется, чтобы выдержать ее вес против силы тяжести. Однако повышенное давление усиливает гравитацию, действующую на массу звезды. Выше определенной массы, определяемой пределом Толмана-Оппенгеймера-Волкова , процесс становится неконтролируемым, и нейтронная звезда коллапсирует в черную дыру . [3] : 243, 280
Условия напряжения становятся очень важными при выполнении таких расчетов, как гидродинамическое моделирование сверхновых с коллапсом ядра. [67]
Эти предсказания о роли давления, импульса и напряжения как источников искривления пространства-времени изящны и играют важную роль в теории. Что касается давления, то в ранней Вселенной доминировало излучение [68] , и крайне маловероятно, что какие-либо соответствующие космологические данные (например, обилие нуклеосинтеза и т. д.) можно было бы воспроизвести, если бы давление не вносило вклад в гравитацию или если бы оно вносило вклад. не имеют такой же силы в качестве источника гравитации, как масса-энергия. Точно так же математическая последовательность уравнений поля Эйнштейна была бы нарушена, если бы члены напряжения не выступали в качестве источника гравитации.
Бонди различает различные возможные типы массы: (1) активная масса ( ) — это масса, которая действует как источник гравитационного поля; (2) пассивная масса ( ) — это масса, которая реагирует на гравитационное поле; (3) инерционная масса ( ) — это масса, которая реагирует на ускорение. [69]
В теории Ньютона,
В общей теории относительности
Классический эксперимент по измерению силы гравитационного источника (т.е. его активной массы) впервые был проведен в 1797 году Генри Кавендишем (рис. 5-9а). Два маленьких, но плотных шарика подвешены на тонкой проволоке, образуя крутильные весы . Поднесение двух больших испытательных масс к шарикам создает заметный крутящий момент. Зная размеры аппарата и измеримую жесткость пружины крученой проволоки, можно определить гравитационную постоянную G.
Изучать эффекты давления путем сжатия пробных масс безнадежно, так как достижимые лабораторные давления ничтожны по сравнению с массой-энергией металлического шара.
Однако отталкивающее электромагнитное давление, возникающее в результате плотного сжатия протонов внутри атомных ядер, обычно составляет порядка 10 28 атм ≈ 10 33 Па ≈ 10 33 кг·с -2 м -1 . Это составляет около 1% от массовой плотности ядра, равной примерно 10 18 кг/м 3 (после учета c 2 ≈ 9×10 16 м 2 с -2 ). [70]
Если давление не действует как источник гравитации, то соотношение должно быть ниже для ядер с более высоким атомным номером Z , в которых электростатические давления выше. Л. Б. Крейцер (1968) провел эксперимент Кавендиша, используя тефлоновую массу, суспендированную в смеси жидкостей трихлорэтилена и дибромэтана, имеющих ту же плавучую плотность, что и тефлон (рис. 5-9б). У фтора атомный номер Z = 9 , а у брома Z = 35 . Кройцер обнаружил, что изменение положения тефлоновой массы не вызывает дифференциального отклонения торсиона, следовательно, активная масса и пассивная масса эквивалентны точности 5×10 -5 . [71]
Хотя Кройцер первоначально считал этот эксперимент просто проверкой отношения активной массы к пассивной массе, Клиффорд Уилл (1976) переосмыслил эксперимент как фундаментальную проверку связи источников с гравитационными полями. [72]
В 1986 году Бартлетт и Ван Бюрен отметили, что лазерная локация Луны обнаружила смещение на 2 км между центром фигуры Луны и ее центром масс. Это указывает на асимметрию в распределении Fe (в изобилии содержится в ядре Луны) и Al (в изобилии в ее коре и мантии). Если бы давление не вносило такого же вклада в искривление пространства-времени, как масса-энергия, Луна не находилась бы на орбите, предсказанной классической механикой. Они использовали свои измерения, чтобы ужесточить пределы любых расхождений между активной и пассивной массой примерно до 10–12 . [73]
Существование гравитомагнетизма было доказано гравитационным зондом B (GP-B) , спутниковой миссией, запущенной 20 апреля 2004 года. [74] Фаза космического полета длилась до. Целью миссии было измерение кривизны пространства-времени вблизи Земли, уделяя особое внимание гравитомагнетизму .
Первоначальные результаты подтвердили относительно большой геодезический эффект (который обусловлен простой кривизной пространства-времени и также известен как прецессия де Ситтера) с точностью около 1%. Гораздо меньший эффект перетаскивания системы координат (который обусловлен гравимагнетизмом и также известен как прецессия Лензе – Тирринга ) было трудно измерить из-за неожиданных эффектов заряда, вызывающих переменный дрейф в гироскопах. Тем не менее, поэффект перетаскивания рамки был подтвержден с точностью до 15% от ожидаемого результата, [75] тогда как геодезический эффект был подтвержден с точностью более 0,5%. [76] [77]
Последующие измерения перетаскивания кадра с помощью наблюдений с лазерной дальностью спутников LARES , LAGEOS -1 и LAGEOS-2 улучшили результаты измерения GP-B , при этом результаты (по состоянию на 2016 год) демонстрируют эффект с точностью до 5% от его теоретического значения. [78] , хотя существуют некоторые разногласия по поводу точности этого результата. [79]
Другая попытка, эксперимент «Гироскопы в общей теории относительности» (GINGER), направлена на использование трех кольцевых лазеров длиной 6 м , установленных под прямым углом друг к другу на высоте 1400 м ниже поверхности Земли, для измерения этого эффекта. [80] [81]
Согласно конвенционалистским взглядам Пуанкаре , основными критериями, согласно которым следует выбирать евклидову или неевклидову геометрию, являются экономичность и простота. Реалист сказал бы, что Эйнштейн обнаружил, что пространство-время неевклидово. Конвенционалист сказал бы, что Эйнштейну просто было удобнее использовать неевклидову геометрию. Конвенционалист утверждает, что анализ Эйнштейна ничего не говорит о том, что на самом деле представляет собой геометрия пространства-времени. [82]
Такое, как говорится,
В ответ на первый вопрос ряд авторов, в том числе Дезер, Грищук, Розен, Вайнберг и др., дали различные формулировки гравитации как поля в плоском многообразии. Эти теории по-разному называют « биметрической гравитацией », «теоретико-полевым подходом к общей теории относительности» и так далее. [83] [84] [85] [86] Кип Торн предоставил популярный обзор этих теорий. [87] : 397–403
Парадигма плоского пространства-времени утверждает, что материя создает гравитационное поле, которое заставляет линейки сжиматься, когда они поворачиваются от окружной ориентации к радиальной, и это приводит к замедлению скорости тикания часов. Парадигма плоского пространства-времени полностью эквивалентна парадигме искривленного пространства-времени, поскольку они оба представляют одни и те же физические явления. Однако их математические формулировки совершенно различны. Действующие физики обычно переключаются между использованием методов искривленного и плоского пространства-времени в зависимости от требований задачи. Парадигма плоского пространства-времени удобна при проведении приближенных расчетов в слабых полях. Следовательно, методы плоского пространства-времени, как правило, используются при решении задач гравитационных волн, а методы искривленного пространства-времени, как правило, используются при анализе черных дыр. [87] : 397–403
Группа симметрии пространства-времени для специальной теории относительности — это группа Пуанкаре , которая представляет собой десятимерную группу из трех усилений Лоренца, трех вращений и четырех сдвигов пространства-времени. Логично задаться вопросом, какие симметрии, если таковые имеются, могут применяться в Общей теории относительности . Разрешимым случаем могло бы стать рассмотрение симметрии пространства-времени, как ее видят наблюдатели, находящиеся вдали от всех источников гравитационного поля. Наивное ожидание асимптотически плоского пространства-времени может заключаться в простом расширении и воспроизведении симметрии плоского пространства-времени специальной теории относительности, а именно. , группа Пуанкаре.
В 1962 году Герман Бонди , М.Г. ван дер Бург, А.В. Мецнер [88] и Райнер К. Сакс [89] обратились к этой проблеме асимптотической симметрии , чтобы исследовать поток энергии на бесконечности, вызванный распространяющимися гравитационными волнами . Их первым шагом было принятие решения о некоторых физически разумных граничных условиях, которые следует разместить в гравитационном поле на светоподобной бесконечности, чтобы охарактеризовать то, что значит сказать, что метрика асимптотически плоская, не делая никаких априорных предположений о природе асимптотической группы симметрии - даже предположение о существовании такой группы. Затем, после разработки того, что они считали наиболее разумными граничными условиями, они исследовали природу полученных в результате преобразований асимптотической симметрии, которые оставляют инвариантной форму граничных условий, подходящую для асимптотически плоских гравитационных полей. Они обнаружили, что преобразования асимптотической симметрии действительно образуют группу, и структура этой группы не зависит от конкретного гравитационного поля, которое случайно присутствует. Это означает, что, как и ожидалось, можно отделить кинематику пространства-времени от динамики гравитационного поля по крайней мере на пространственной бесконечности. Загадочным сюрпризом в 1962 году стало открытие богатой бесконечномерной группы (так называемой группы БМС) в качестве асимптотической группы симметрии вместо конечномерной группы Пуанкаре, которая является подгруппой группы БМС. Преобразования Лоренца не только являются преобразованиями асимптотической симметрии, но существуют также дополнительные преобразования, которые не являются преобразованиями Лоренца, но являются преобразованиями асимптотической симметрии. Фактически, они обнаружили дополнительную бесконечность генераторов преобразований, известных как супертрансляции . Отсюда следует вывод, что общая теория относительности (ОТО) не сводится к специальной теории относительности в случае слабых полей на больших расстояниях. [90] : 35
Риманова геометрия — это раздел дифференциальной геометрии , изучающий римановы многообразия , определяемые как гладкие многообразия с римановой метрикой ( скалярным произведением в касательном пространстве в каждой точке, которое плавно меняется от точки к точке). Это дает, в частности, локальные понятия угла , длины кривых , площади поверхности и объема . Из них можно получить некоторые другие глобальные величины путем интегрирования местных вкладов.
Риманова геометрия возникла из видения Бернхарда Римана, выраженного в его вступительной лекции « Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grundeliegen » («О гипотезах, на которых основана геометрия»). [91] Это очень широкое и абстрактное обобщение дифференциальной геометрии поверхностей в R 3 . Развитие римановой геометрии привело к синтезу разнообразных результатов, касающихся геометрии поверхностей и поведения геодезических на них, с методами, которые можно применить к изучению дифференцируемых многообразий более высоких размерностей. Это позволило сформулировать общую теорию относительности Эйнштейна , оказало глубокое влияние на теорию групп и теорию представлений , а также анализ и стимулировало развитие алгебраической и дифференциальной топологии .По физическим причинам пространственно-временной континуум математически определяется как четырехмерное гладкое связное лоренцево многообразие . Это означает, что гладкая метрика Лоренца имеет сигнатуру . Метрика определяет геометрия пространства-времени , а также определениегеодезическихчастиц и световых лучей. Для каждой точки (события) на этом многообразиииспользуютсякарты координатОбычноиспользуются декартовы координаты. Причем для простоты единицы измерения обычно выбирают такие, что скорость светаравна 1.[92]
Система отсчета (наблюдатель) может быть идентифицирована с помощью одной из этих координатных карт; любой такой наблюдатель может описать любое событие . Другая система отсчета может быть идентифицирована второй картой координат около . Два наблюдателя (по одному в каждой системе отсчета) могут описать одно и то же событие , но получить разные описания. [92]
Обычно для покрытия многообразия требуется множество перекрывающихся координатных карт. Учитывая две координатные карты, одна содержит (представляющую наблюдателя), а другая содержит (представляющую другого наблюдателя), пересечение диаграмм представляет собой область пространства-времени, в которой оба наблюдателя могут измерять физические величины и, следовательно, сравнивать результаты. Связь между двумя наборами измерений задается неособым преобразованием координат на этом пересечении. Идея координатных карт как локальных наблюдателей, которые могут выполнять измерения поблизости, также имеет хороший физический смысл, поскольку именно так на самом деле собираются физические данные — локально. [92]
Например, два наблюдателя, один из которых находится на Земле, а другой находится на быстрой ракете к Юпитеру, могут наблюдать врезающуюся в Юпитер комету (это событие ). В общем, они не согласятся относительно точного места и времени этого воздействия, т.е. у них будут разные четверки (поскольку они используют разные системы координат). Хотя их кинематические описания будут различаться, динамические (физические) законы, такие как сохранение импульса и первый закон термодинамики, все равно будут соблюдаться. На самом деле теория относительности требует большего, в том смысле, что она требует, чтобы эти (и все другие физические) законы принимали одинаковую форму во всех системах координат. Это вводит в теорию относительности тензоры , которыми представлены все физические величины.
Геодезические называются времяподобными, нулевыми или пространственноподобными, если касательный вектор к одной точке геодезической имеет такую природу. Пути частиц и световых лучей в пространстве-времени представляются времениподобными и нулевыми (светоподобными) геодезическими соответственно. [92]
Существует два вида измерений: пространственные (двунаправленные) и временные (однонаправленные). [94] Пусть количество пространственных измерений равно N , а количество временных измерений равно T . Тот факт, что N = 3 и T = 1, если оставить в стороне компактифицированные измерения, используемые теорией струн и которые до сих пор не обнаружены, можно объяснить, апеллируя к физическим последствиям, когда N отличается от 3, а T отличается от 1. Аргумент часто носит неуместный характер. антропный характер и, возможно, первый в своем роде, хотя и до того, как полная концепция вошла в моду.
Неявное представление о том, что размерность Вселенной особенная, впервые приписывается Готфриду Вильгельму Лейбницу , который в « Рассуждениях о метафизике» предположил, что мир — это «тот мир, который одновременно является самым простым в гипотезах и самым богатым в явлениях». [95] Иммануил Кант утверждал, что трехмерное пространство является следствием закона обратных квадратов всемирного тяготения . Хотя аргумент Канта имеет историческое значение, Джон Д. Барроу сказал, что он «переносит суть с самого начала: именно трехмерность пространства объясняет, почему мы видим в Природе законы силы обратных квадратов, а не наоборот». (Барроу 2002:204). [примечание 16]
В 1920 году Пауль Эренфест показал, что если существует только одно временное измерение и более трех пространственных измерений, орбита планеты вокруг Солнца не может оставаться стабильной . То же самое относится и к орбите звезды вокруг центра ее галактики . [96] Эренфест также показал, что если существует четное число пространственных измерений, то разные части волнового импульса будут перемещаться с разными скоростями. Если существуют пространственные измерения, где k — целое положительное число, то волновые импульсы искажаются. В 1922 году Герман Вейль заявил, что теория электромагнетизма Максвелла может быть выражена через действие только для четырехмерного многообразия. [97] Наконец, Тангерлини показал в 1963 году, что когда существует более трех пространственных измерений, электронные орбитали вокруг ядер не могут быть стабильными; электроны либо упадут в ядро , либо рассеются. [98]
Макс Тегмарк развивает предыдущий аргумент в следующей антропной манере. [99] Если T отличается от 1, поведение физических систем не может быть надежно предсказано на основе знания соответствующих уравнений в частных производных . В такой вселенной не могла бы возникнуть разумная жизнь, способная манипулировать технологиями. Более того, если T > 1, Тегмарк утверждает, что протоны и электроны были бы нестабильными и могли бы распадаться на частицы, имеющие большую массу, чем они сами. (Это не проблема, если частицы имеют достаточно низкую температуру.) [99] Наконец, если N < 3, гравитация любого вида становится проблематичной, и Вселенная, вероятно, будет слишком простой, чтобы вместить наблюдателей. Например, когда N < 3, нервы не могут пересекаться, не пересекаясь. [99] Следовательно, антропные и другие аргументы исключают все случаи, кроме N = 3 и T = 1, которые описывают мир вокруг нас.
С другой стороны, учитывая создание черных дыр из идеального одноатомного газа под действием его самогравитации, Вэй-Сян Фэн показал, что (3+1)-мерное пространство-время является предельной размерностью. Более того, именно уникальная размерность может позволить себе «стабильную» газовую сферу с «положительной» космологической постоянной . Однако самогравитирующий газ не может быть устойчиво связан, если массовая сфера превышает ~10 21 масс Солнца из-за малой положительности наблюдаемой космологической постоянной. [100]
В 2019 году Джеймс Скаргилл утверждал, что сложная жизнь возможна в двух пространственных измерениях. По мнению Скаргилла, чисто скалярная теория гравитации может учитывать локальную гравитационную силу, а двумерных сетей может быть достаточно для сложных нейронных сетей. [101] [102]{{cite book}}
: CS1 maint: location missing publisher (link)...отредактированная стенограмма курса, прочитанного автором в Гарварде в весеннем семестре 2016 года. Он содержит педагогический обзор последних разработок, связывающих темы мягких теорем, эффекта памяти и асимптотических симметрий в четырехмерной КЭД, неабелевой калибровочной теории и гравитация с приложениями к черным дырам.
Будет опубликовано Princeton University Press, 158 страниц.