Квадратичная взаимность

В 1801 году Гаусс опубликовал первое и второе доказательства закона квадратичной взаимности в статьях 125–146 и 262 *«Арифметических исследований»* .

В теории чисел закон квадратичной взаимности — это теорема о модульной арифметике , которая дает условия разрешимости квадратных уравнений по модулю простых чисел . Из-за своей тонкости он имеет много формулировок, но наиболее стандартное утверждение таково:

Закон квадратичной взаимности — Пусть p и q — различные нечетные простые числа, и определим символ Лежандра как:

\left({\frac {q}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}n^{2}\equiv q{\bmod {p}}{\text{ для некоторого целого числа }}n\\-1&{\text{inotherwise}}\end{cases}}

Затем:

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.

Этот закон вместе с его дополнениями позволяет легко вычислить любой символ Лежандра, что позволяет определить, существует ли целочисленное решение для любого квадратного уравнения вида для нечетного простого числа ; то есть определить "полные квадраты" по модулю . Однако это неконструктивный результат: он вообще не помогает найти конкретное решение; для этого требуются другие методы. Например, в случае использования критерия Эйлера можно дать явную формулу для "квадратных корней" по модулю квадратичного вычета , а именно, $x^{2}\equiv a{\bmod {p}}$ $p$ $p$ $p\equiv 3{\bmod {4}}$ $p$ $а$

\pm a^{\frac {p+1}{4}}

действительно,

\left(\pm a^{\frac {p+1}{4}}\right)^{2}=a^{\frac {p+1}{2}}=a\cdot a^{\frac {p-1}{2}}\equiv a\left({\frac {a}{p}}\right)=a{\bmod {p}}.

Эта формула работает только в том случае, если заранее известно, что является квадратичным вычетом , что можно проверить с помощью закона квадратичной взаимности. $а$

Квадратичная теорема взаимности была выдвинута Эйлером и Лежандром и впервые доказана Гауссом ^[1] , который назвал ее «фундаментальной теоремой» в своих Disquisitiones Arithmeticae и статьях, в которых он писал:

Основная теорема, безусловно, должна считаться одной из самых элегантных в своем роде. (Статья 151)

В частном порядке Гаусс называл его «золотой теоремой». ^[2] Он опубликовал шесть доказательств для нее, и еще два были найдены в его посмертных работах. В настоящее время опубликовано более 240 доказательств. ^[3] Самое короткое известное доказательство включено ниже вместе с короткими доказательствами дополнений к закону (символы Лежандра −1 и 2).

Обобщение закона взаимности на более высокие степени было ведущей проблемой в математике и имело решающее значение для развития большей части аппарата современной алгебры , теории чисел и алгебраической геометрии , достигнув кульминации в законе взаимности Артина , теории полей классов и программе Ленглендса .

Мотивирующие примеры

Квадратичная взаимность возникает из некоторых тонких моделей факторизации, включающих полные квадраты чисел. В этом разделе мы приводим примеры, которые приводят к общему случаю.

Факторинг н2 − 5

Рассмотрим многочлен и его значения. Разложения этих значений на простые множители имеют следующий вид: $f(n)=n^{2}-5$ $n\in \mathbb {N} .$

Простыми множителями деления являются , и каждое простое число, последняя цифра которого равна или ; простые числа, оканчивающиеся на или , никогда не появляются. Теперь, является простым множителем некоторого числа всякий раз , когда , то есть всякий раз, когда , то есть всякий раз, когда 5 является квадратичным вычетом по модулю . Это происходит для и тех простых чисел с и последними числами и являются в точности квадратичными вычетами по модулю . Поэтому, за исключением , мы имеем , что является квадратичным вычетом по модулю тогда и только тогда, когда является квадратичным вычетом по модулю . $p$ $f(n)$ $р=2,5$ $1$ $9$ $3$ $7$ $p$ $n^{2}-5$ $n^{2}-5\equiv 0{\bmod {p}}$ $n^{2}\equiv 5{\bmod {p}},$ $p$ $р=2,5$ $p\equiv 1,4{\bmod {5}},$ $1=(\pm 1)^{2}$ $4=(\pm 2)^{2}$ $5$ $р=2,5$ $5$ $p$ $p$ $5$

Закон квадратичной взаимности дает аналогичную характеристику простых делителей для любого простого числа q , что приводит к характеристике для любого целого числа . $f(n)=n^{2}-q$ $q$

Закономерности среди квадратичных вычетов

Пусть p — нечетное простое число. Число по модулю p является квадратичным вычетом , если оно сравнимо с квадратом (mod p ); в противном случае оно является квадратичным невычетом. («Квадратичный» можно опустить, если это ясно из контекста.) Здесь мы исключаем ноль как особый случай. Тогда как следствие того факта, что мультипликативная группа конечного поля порядка p является циклической порядка p-1 , справедливы следующие утверждения:

Имеется равное количество квадратичных вычетов и невычетов; и
Произведение двух квадратичных вычетов является остатком, произведение остатка и невычета является невычетом, а произведение двух невычетов является остатком.

Во избежание сомнений, эти утверждения не выполняются, если модуль не является простым числом. Например, в мультипликативной группе по модулю 15 имеется только 3 квадратичных вычета (1, 4 и 9). Более того, хотя 7 и 8 являются квадратичными невычетами, их произведение 7x8 = 11 также является квадратичным невычетом, в отличие от простого случая.

Квадратичные вычеты отображаются в виде записей в следующей таблице, индексированных по номеру строки как модулю и по номеру столбца как корню:

Эта таблица является полной для нечетных простых чисел, меньших 50. Чтобы проверить, является ли число m квадратичным вычетом по модулю одного из этих простых чисел p , найдите a ≡ m (mod p ) и 0 ≤ a < p . Если a находится в строке p , то m является вычетом (mod p ); если a не находится в строке p таблицы, то m является невычетом (mod p ).

Квадратичный закон взаимности — это утверждение о том, что определенные закономерности, обнаруженные в таблице, в целом верны.

версия Лежандра

Другой способ организовать данные — посмотреть, какие простые числа являются остатками mod каких других простых чисел, как показано в следующей таблице. Запись в строке p столбца q — это R, если q — квадратичный остаток (mod p ); если это не остаток, запись — это N .

Если строка, или столбец, или оба они ≡ 1 (mod 4), запись синего или зеленого цвета; если и строка, и столбец ≡ 3 (mod 4), запись желтого или оранжевого цвета.

Синие и зеленые элементы симметричны относительно диагонали: элемент строки p , столбца q равен R (соответственно N ) тогда и только тогда, когда элемент строки q , столбца p равен R (соответственно N ).

С другой стороны, желтые и оранжевые элементы антисимметричны: запись в строке p , столбце q равна R (соответственно N ) тогда и только тогда, когда запись в строке q , столбце p равна N (соответственно R ).

Закон взаимности гласит, что эти закономерности справедливы для всех p и q .

Упорядочивание строк и столбцов по модулю 4 делает узор более понятным.

Дополнения к квадратичной взаимности

Дополнения предоставляют решения для конкретных случаев квадратичной взаимности. Они часто цитируются как частичные результаты, без необходимости прибегать к полной теореме.

д= ±1 и первое дополнение

Тривиально 1 является квадратичным вычетом для всех простых чисел. Вопрос становится более интересным для −1. Исследуя таблицу, мы находим −1 в строках 5, 13, 17, 29, 37 и 41, но не в строках 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 или 47. Первый набор простых чисел все сравнимы с 1 по модулю 4, а последний сравним с 3 по модулю 4.

Первое дополнение к квадратичной взаимности. Сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда сравнимо с 1 по модулю 4.

x^{2}\equiv -1{\bmod {p}}

p

д= ±2 и второе дополнение

Рассматривая таблицу, мы находим 2 в строках 7, 17, 23, 31, 41 и 47, но не в строках 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 или 43. Все первые простые числа ≡ ±1 (mod 8), а все последние ≡ ±3 (mod 8). Это приводит к

Второе дополнение к квадратичному закону взаимности. Сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда оно сравнимо с ±1 по модулю 8.

x^{2}\equiv 2{\bmod {p}}

p

−2 находится в строках 3, 11, 17, 19, 41, 43, но не в строках 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 или 47. Первые ≡ 1 или ≡ 3 (mod 8), а последние ≡ 5, 7 (mod 8).

д= ±3

Число 3 находится в строках 11, 13, 23, 37 и 47, но не в строках 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 или 43. Первые числа ≡ ±1 (mod 12), а последние все ≡ ±5 (mod 12).

−3 находится в строках 7, 13, 19, 31, 37 и 43, но не в строках 5, 11, 17, 23, 29, 41 или 47. Первые ≡ 1 (mod 3), а последние ≡ 2 (mod 3).

Поскольку единственный остаток (mod 3) равен 1, мы видим, что −3 является квадратичным вычетом по модулю любого простого числа, которое является вычетом по модулю 3.

д= ±5

Число 5 находится в строках 11, 19, 29, 31 и 41, но не в строках 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 или 47. Первые числа ≡ ±1 (mod 5), а последние ≡ ±2 (mod 5).

Поскольку единственными остатками (mod 5) являются ±1, мы видим, что 5 является квадратичным вычетом по модулю любого простого числа, которое является вычетом по модулю 5.

−5 находится в строках 3, 7, 23, 29, 41, 43 и 47, но не в строках 11, 13, 17, 19, 31 или 37. Первые ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20), а последние ≡ 11, 13, 17, 19 (mod 20).

Вышед

Наблюдения относительно −3 и 5 продолжают оставаться в силе: −7 является остатком по модулю p тогда и только тогда, когда p является остатком по модулю 7, −11 является остатком по модулю p тогда и только тогда, когда p является остатком по модулю 11, 13 является остатком (mod p ) тогда и только тогда, когда p является остатком по модулю 13 и т. д. Более сложные на вид правила для квадратичных характеров 3 и −5, которые зависят от сравнений по модулю 12 и 20 соответственно, являются просто правилами для −3 и 5, работающих с первым дополнением.

Пример. Чтобы −5 было остатком (mod p ), либо оба 5 и −1 должны быть остатками (mod p ), либо оба не должны быть остатками: то есть p ≡ ±1 (mod 5) и p ≡ 1 (mod 4) или p ≡ ±2 (mod 5) и p ≡ 3 (mod 4). Используя китайскую теорему об остатках, это эквивалентно p ≡ 1, 9 (mod 20) или p ≡ 3, 7 (mod 20).

Обобщением правил для −3 и 5 является утверждение Гаусса о квадратичном законе взаимности.

Формулировка теоремы

Квадратичная взаимность (утверждение Гаусса). Если , то сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо. Если и , то сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо. $q\equiv 1{\bmod {4}}$ $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ $x^{2}\equiv q{\bmod {p}}$ $q\equiv 3{\bmod {4}}$ $p\equiv 3{\bmod {4}}$ $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ $x^{2}\equiv -q{\bmod {p}}$

Квадратичная взаимность (комбинированное утверждение). Определим . Тогда сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо. $q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q$ $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ $x^{2}\equiv q^{*}{\bmod {p}}$

Квадратичная взаимность (утверждение Лежандра). Если p или q сравнимы с 1 по модулю 4, то: разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо. Если p и q сравнимы с 3 по модулю 4, то: разрешимо тогда и только тогда, когда неразрешимо. $x^{2}\equiv q{\bmod {p}}$ $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ $x^{2}\equiv q{\bmod {p}}$ $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$

Последнее немедленно эквивалентно современной форме, изложенной во введении выше. Это простое упражнение, чтобы доказать, что утверждения Лежандра и Гаусса эквивалентны – оно требует не более, чем первого дополнения и фактов об умножении остатков и невычетов.

Доказательство

По-видимому, самое короткое известное доказательство было опубликовано Б. Векличем в American Mathematical Monthly . ^[4]

Доказательства дополнений

Значение символа Лежандра (использованного в доказательстве выше) следует непосредственно из критерия Эйлера : $-1$

\left({\frac {-1}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\bmod {p}}

по критерию Эйлера, но обе части этого сравнения являются числами вида , поэтому они должны быть равны. $\pm 1$

Является ли квадратичным вычетом, можно сделать вывод, если мы знаем число решений уравнения , с которым можно решить стандартными методами. А именно, все его решения, где можно сгруппировать в восьмерки вида , и то, что останется, это четыре решения вида и, возможно, четыре дополнительных решения, где и , которые существуют точно, если является квадратичным вычетом. То есть является квадратичным вычетом точно, если число решений этого уравнения делится на . И это уравнение можно решить точно так же, как и над рациональными числами: подставить , где мы требуем, чтобы (исключая два решения ), тогда исходное уравнение преобразуется в $2$ $x^{2}+y^{2}=2$ $x,y\in \mathbb {Z} _{p},$ $xy\neq 0,x\neq \pm y$ $(\pm x,\pm y),(\pm y,\pm x)$ $(\pm 1,\pm 1)$ $x^{2}=2,y=0$ $x=0,y^{2}=2$ $2$ $2$ $8$ $x=a+1,y=at+1$ $a\neq 0$ $(1,\pm 1)$

a=-{\frac {2(t+1)}{(t^{2}+1)}}.

Здесь может быть любое значение, которое не делает знаменатель нулевым – для чего есть возможности (т.е. если есть остаток, если нет) – а также не делает нулевым, что исключает еще один вариант, . Таким образом, есть $t$ $1+\left({\frac {-1}{p}}\right)$ $2$ $-1$ $0$ $a$ $t=-1$

p-\left(1+\left({\frac {-1}{p}}\right)\right)-1

возможности для , и поэтому вместе с двумя исключенными решениями существуют общие решения исходного уравнения. Следовательно, является остатком по модулю тогда и только тогда, когда делит . Это переформулировка условия, указанного выше. $t$ $p-\left({\frac {-1}{p}}\right)$ $2$ $p$ $8$ $p-(-1)^{\frac {p-1}{2}}$

История и альтернативные утверждения

Теорема была сформулирована многими способами до ее современной формы: у Эйлера и Лежандра не было записи сравнений Гаусса, а у Гаусса не было символа Лежандра.

В этой статье p и q всегда относятся к различным положительным нечетным простым числам, а x и y — к неопределенным целым числам.

Ферма

Ферма доказал ^[5] (или утверждал, что доказал) ^[6] ряд теорем о выражении простого числа квадратичной формой:

{\begin{aligned}p=x^{2}+y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {4}}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {3}}\\\end{aligned}}

Он не сформулировал закон квадратичной взаимности, хотя случаи −1, ±2 и ±3 легко выводятся из этих и других его теорем.

Он также утверждал, что у него есть доказательство того, что если простое число p заканчивается на 7 (в десятичной системе счисления), а простое число q заканчивается на 3, и p ≡ q ≡ 3 (mod 4), то

pq=x^{2}+5y^{2}.

Эйлер предположил, а Лагранж доказал, что ^[7]

{\begin{aligned}p&\equiv 1,9{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad p=x^{2}+5y^{2}\\p,q&\equiv 3,7{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad pq=x^{2}+5y^{2}\end{aligned}}

Доказательство этих и других утверждений Ферма было одним из шагов, которые привели математиков к теореме взаимности.

Эйлер

Переведя это на современный язык, Эйлер заявил ^[8] , что для различных нечетных простых чисел p и q :

Если q ≡ 1 (mod 4), то q является квадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число b такое, что p ≡ b ² (mod q ).
Если q ≡ 3 (mod 4), то q является квадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число b , которое является нечетным и не делится на q, такое что p ≡ ± b ² (mod 4 q ).

Это эквивалентно квадратичной взаимности.

Он не смог этого доказать, но он доказал второе дополнение. ^[9]

Лежандр и его символ

Ферма доказал, что если p — простое число, а a — целое число,

a^{p}\equiv a{\bmod {p}}.

Таким образом, если p не делит a , то, используя неочевидный факт (см., например, Айрленд и Розен ниже), что остатки по модулю p образуют поле и, следовательно, в частности, мультипликативная группа является циклической, может быть не более двух решений квадратного уравнения:

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1{\bmod {p}}.

Лежандр ^[10] предполагает, что a и A представляют положительные простые числа ≡ 1 (mod 4), а b и B — положительные простые числа ≡ 3 (mod 4), и приводит таблицу из восьми теорем, которые вместе эквивалентны квадратичному закону взаимности:

Он говорит, что поскольку выражения вида

N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}},\qquad \gcd(N,c)=1

будут встречаться так часто, что он сократит их до:

\left({\frac {N}{c}}\right)\equiv N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}}=\pm 1.

Теперь это известно как символ Лежандра , и эквивалентное ^[11]^[12] определение используется сегодня: для всех целых чисел a и всех нечетных простых чисел p

\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\bmod {p}}\\1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and }}\exists x:a\equiv x^{2}{\bmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and there is no such }}x.\end{cases}}

Версия квадратичного закона взаимности Лежандра

\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 1{\bmod {4}}\quad {\text{ or }}\quad q\equiv 1{\bmod {4}}\\-\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 3{\bmod {4}}\quad {\text{ and }}\quad q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}

Он отмечает, что их можно объединить:

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.

Ряд доказательств, особенно основанных на лемме Гаусса ^[13] , явно вычисляют эту формулу.

Дополнительные законы, использующие символы Лежандра

{\begin{aligned}\left({\frac {-1}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&p\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&p\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}

Из этих двух дополнений мы можем получить третий закон взаимности для квадратичного характера -2 следующим образом:

Чтобы -2 было квадратичным вычетом, либо -1, либо 2 оба являются квадратичными вычетами, либо оба не являются вычетами: . ${\bmod {p}}$

Итак, либо : оба четные, либо оба нечетные. Сумма этих двух выражений равна ${\frac {p-1}{2}}{\text{ or }}{\frac {p^{2}-1}{8}}$

{\frac {p^{2}+4p-5}{8}}

что является целым числом. Следовательно,

{\begin{aligned}\left({\frac {-2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}+4p-5}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}

Попытка Лежандра доказать взаимность основана на его теореме:

Теорема Лежандра. Пусть a , b и c — целые числа, где любая пара из трех взаимно проста. Более того, предположим, что хотя бы одно из чисел ab , bc или ca отрицательно (т.е. они не все имеют одинаковый знак). Если

{\begin{aligned}u^{2}&\equiv -bc{\bmod {a}}\\v^{2}&\equiv -ca{\bmod {b}}\\w^{2}&\equiv -ab{\bmod {c}}\end{aligned}}

разрешимы, то следующее уравнение имеет нетривиальное решение в целых числах:

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0.

Пример. Теорема I решается, если a ≡ 1 и b ≡ 3 (mod 4) — простые числа, и предполагается, что и, вопреки теореме, Тогда имеет решение, а взятие сравнений (mod 4) приводит к противоречию. $\left({\tfrac {b}{a}}\right)=1$ $\left({\tfrac {a}{b}}\right)=-1.$ $x^{2}+ay^{2}-bz^{2}=0$

Этот метод не работает для теоремы VIII. Пусть b ≡ B ≡ 3 (mod 4) и предположим

\left({\frac {B}{b}}\right)=\left({\frac {b}{B}}\right)=-1.

Тогда, если существует другое простое число p ≡ 1 (mod 4) такое, что

\left({\frac {p}{b}}\right)=\left({\frac {p}{B}}\right)=-1,

разрешимость приводит к противоречию (mod 4). Но Лежандр не смог доказать, что должно быть такое простое число p ; позже он смог показать, что все, что требуется, это: $Bx^{2}+by^{2}-pz^{2}=0$

Лемма Лежандра. Если p — простое число, сравнимое с 1 по модулю 4, то существует нечетное простое число q такое, что

\left({\tfrac {p}{q}}\right)=-1.

но он не смог доказать и этого. Символ Гильберта (ниже) обсуждает, как можно заставить работать методы, основанные на существовании решений . $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$

Гаусс

Часть статьи 131 в первом издании (1801) Disquisitiones , перечисляющая 8 случаев квадратичной взаимности

Гаусс сначала доказывает ^[14] дополнительные законы. Он устанавливает ^[15] основу для индукции, доказывая теорему для ±3 и ±5. Отмечая ^[16] , что легче утверждать для −3 и +5, чем для +3 или −5, он формулирует ^[17] общую теорему в виде:

Если p — простое число вида 4 n + 1, то p , но если p имеет вид 4 n + 3, то − p , является квадратичным вычетом (соответственно, невычетом) каждого простого числа, которое, с положительным знаком, является вычетом (соответственно, невычетом) p . В следующем предложении он окрестил это «фундаментальной теоремой» (Гаусс никогда не использовал слово «взаимность»).

Вводя обозначение a R b (соответственно a N b ), означающее, что a является квадратичным вычетом (соответственно невычетом) (mod b ), и предполагая, что a , a ′ и т. д. представляют положительные простые числа ≡ 1 (mod 4), а b , b ′ и т. д. — положительные простые числа ≡ 3 (mod 4), он разбивает это на те же 8 случаев, что и Лежандр:

В следующей статье он обобщает это до того, что в основном является правилами для символа Якоби (ниже). Пусть A , A ′ и т. д. представляют любые (простые или составные) положительные числа ≡ 1 (mod 4), а B , B ′ и т. д. положительные числа ≡ 3 (mod 4):

Все эти случаи имеют вид «если простое число является остатком (mod a composite), то это составное число является остатком или невычетом (mod the prime), в зависимости от сравнений (mod 4)». Он доказывает, что они следуют из случаев 1) - 8).

Гауссу нужна была и он смог доказать ^[18] лемму, похожую на ту, которая была нужна Лежандру:

Лемма Гаусса. Если p — простое число, сравнимое с 1 по модулю 8, то существует нечетное простое число q, такое что:

q<2{\sqrt {p}}+1\quad {\text{and}}\quad \left({\frac {p}{q}}\right)=-1.

Доказательство квадратичного закона взаимности использует полную индукцию .

Версия Гаусса в символах Лежандра.

\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\frac {q}{p}}\right)&q\equiv 1{\bmod {4}}\\\left({\frac {-q}{p}}\right)&q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}

Их можно комбинировать:

Комбинированная версия Гаусса в символах Лежандра. Пусть

q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.

Другими словами:

|q^{*}|=|q|\quad {\text{and}}\quad q^{*}\equiv 1{\bmod {4}}.

Затем:

\left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q^{*}}{p}}\right).

Ряд доказательств теоремы, особенно основанных на суммах Гаусса ^[19] или на расщеплении простых чисел в полях алгебраических чисел ^[20]^[21] , выводят эту формулу.

Другие заявления

Утверждения в этом разделе эквивалентны квадратичному закону взаимности: если, например, принять версию Эйлера, то из нее можно вывести версию Лежандра-Гаусса, и наоборот.

Формулировка квадратичной взаимности Эйлера. ^[22] Если тогда

p\equiv \pm q{\bmod {4a}}

\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {a}{q}}\right).

Это можно доказать с помощью леммы Гаусса .

Квадратичная взаимность (Гаусс; Четвертое доказательство). ^[23] Пусть a , b , c , ... — неравные положительные нечетные простые числа, произведение которых равно n , и пусть m — число тех из них, которые ≡ 3 (mod 4); проверьте, является ли n / a вычетом a , является ли n / b вычетом b , .... Число найденных невычетов будет четным, если m ≡ 0, 1 (mod 4), и нечетным, если m ≡ 2, 3 (mod 4).

Четвертое доказательство Гаусса состоит в доказательстве этой теоремы (путем сравнения двух формул для значения сумм Гаусса) и затем ограничении ее двумя простыми числами. Затем он приводит пример: пусть a = 3, b = 5, c = 7 и d = 11. Три из них, 3, 7 и 11 ≡ 3 (mod 4), поэтому m ≡ 3 (mod 4). 5×7×11 R 3; 3×7×11 R 5; 3×5×11 R 7; и 3×5×7 N 11, поэтому имеется нечетное количество невычетов.

Формулировка квадратичной взаимности Эйзенштейна. ^[24] Предположим,

p\neq q,\quad p'\neq q',\quad p\equiv p'{\bmod {4}},\quad q\equiv q'{\bmod {4}}.

Затем

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{q'}}\right)\left({\frac {q'}{p'}}\right).

Формулировка квадратичной взаимности Морделла. ^[25] Пусть a , b и c — целые числа. Для каждого простого числа p , делящего abc, если сравнение

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {\tfrac {4abc}{p}}}

имеет нетривиальное решение, то также имеет:

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {4abc}}.

Формулировка дзета-функции

Как упоминалось в статье о дзета-функциях Дедекинда , квадратичная взаимность эквивалентна дзета-функции квадратичного поля, являющейся произведением дзета-функции Римана и некоторой L-функции Дирихле.

символ Якоби

Символ Якоби является обобщением символа Лежандра; главное отличие в том, что нижнее число должно быть положительным и нечетным, но не обязательно простым. Если оно простое, два символа совпадают. Он подчиняется тем же правилам манипуляции, что и символ Лежандра. В частности

{\begin{aligned}\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&n\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\\\left({\frac {-2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}+4n-5}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}

а если оба числа положительны и нечетны (это иногда называют «законом взаимности Якоби»):

\left({\frac {m}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(m-1)(n-1)}{4}}\left({\frac {n}{m}}\right).

Однако, если символ Якоби равен 1, но знаменатель не является простым числом, это не обязательно означает, что числитель является квадратичным вычетом знаменателя. Случаи Гаусса 9) - 14) выше можно выразить через символы Якоби:

\left({\frac {M}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(M-1)}{4}}\left({\frac {p}{M}}\right),

и поскольку p — простое число, левая часть представляет собой символ Лежандра, и мы знаем, является ли M вычетом по модулю p или нет.

Формулы, перечисленные в предыдущем разделе, верны для символов Якоби, пока символы определены. Формула Эйлера может быть записана

\left({\frac {a}{m}}\right)=\left({\frac {a}{m\pm 4an}}\right),\qquad n\in \mathbb {Z} ,m\pm 4an>0.

Пример.

\left({\frac {2}{7}}\right)=\left({\frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{23}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)=\cdots =1.

2 — это остаток по модулю простых чисел 7, 23 и 31:

3^{2}\equiv 2{\bmod {7}},\quad 5^{2}\equiv 2{\bmod {23}},\quad 8^{2}\equiv 2{\bmod {31}}.

Но 2 не является квадратичным вычетом по модулю 5, поэтому он не может быть единицей по модулю 15. Это связано с проблемой Лежандра: если то a является невычетом по модулю каждого простого числа в арифметической прогрессии m + 4 a , m + 8 a , ..., если в этом ряду есть какие-либо простые числа, но это было доказано лишь спустя десятилетия после Лежандра. ^[26] $\left({\tfrac {a}{m}}\right)=-1,$

Формула Эйзенштейна требует условий относительной простоты (которые верны, если числа являются простыми)

Пусть – положительные нечетные целые числа, такие, что:

a,b,a',b'

{\begin{aligned}\gcd &(a,b)=\gcd(a',b')=1\\&a\equiv a'{\bmod {4}}\\&b\equiv b'{\bmod {4}}\end{aligned}}

Затем

\left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=\left({\frac {a'}{b'}}\right)\left({\frac {b'}{a'}}\right).

символ Гильберта

Квадратичный закон взаимности можно сформулировать в терминах символа Гильберта , где a и b — любые два ненулевых рациональных числа, а v пробегает все нетривиальные абсолютные значения рациональных чисел (архимедово и p -адическое абсолютные значения для простых чисел p ). Символ Гильберта равен 1 или −1. Он определяется как 1 тогда и только тогда, когда уравнение имеет решение в дополнении рациональных чисел при v , отличном от . Закон взаимности Гильберта гласит , что для фиксированных a и b и переменного v равно 1 для всех v , кроме конечного числа , а произведение по всем v равно 1. (Это формально напоминает теорему о вычетах из комплексного анализа.) $(a,b)_{v}$ $(a,b)_{v}$ $ax^{2}+by^{2}=z^{2}$ $x=y=z=0$ $(a,b)_{v}$ $(a,b)_{v}$

Доказательство взаимности Гильберта сводится к проверке нескольких частных случаев, а нетривиальные случаи оказываются эквивалентными основному закону и двум дополнительным законам квадратичной взаимности для символа Лежандра. В законе взаимности Гильберта нет никакой взаимности; его название просто указывает на исторический источник результата в квадратичной взаимности. В отличие от квадратичной взаимности, которая требует знаковых условий (а именно положительности вовлеченных простых чисел) и специальной обработки простого числа 2, закон взаимности Гильберта рассматривает все абсолютные значения рациональных чисел на равных основаниях. Поэтому это более естественный способ выражения квадратичной взаимности с целью обобщения: закон взаимности Гильберта распространяется с очень небольшими изменениями на все глобальные поля , и это расширение можно справедливо считать обобщением квадратичной взаимности на все глобальные поля.

Связь с циклотомическими полями

Ранние доказательства квадратичной взаимности относительно непроясняют ситуацию. Ситуация изменилась, когда Гаусс использовал суммы Гаусса , чтобы показать, что квадратичные поля являются подполями круговых полей , и неявно вывел квадратичную взаимность из теоремы о взаимности для круговых полей. Его доказательство было отлито в современную форму более поздними алгебраическими теоретиками чисел. Это доказательство послужило шаблоном для теории полей классов , которую можно рассматривать как обширное обобщение квадратичной взаимности.

Роберт Ленглендс сформулировал программу Ленглендса , которая дает предположительное обширное обобщение теории полей классов. Он писал: ^[27]

Признаюсь, что, будучи студентом, не знавшим истории предмета и не знавшим о связи с циклотомией, я не нашел этот закон или его так называемые элементарные доказательства привлекательными. Я полагаю, хотя я бы не стал (и не мог бы) выражаться таким образом, что я видел в нем не более чем математическое любопытство, более подходящее для любителей, чем для внимания серьезного математика, которым я тогда надеялся стать. Только в книге Германа Вейля по алгебраической теории чисел ^[28] я оценил его как нечто большее.

Другие кольца

Существуют также квадратичные законы взаимности в кольцах, отличных от целых чисел.

Гауссовы целые числа

В своей второй монографии о квартикальной взаимности ^[29] Гаусс сформулировал квадратичную взаимность для кольца гауссовых целых чисел , заявив, что она является следствием биквадратичного закона в , но не предоставил доказательств ни одной из теорем. Дирихле ^[30] показал, что закон в может быть выведен из закона для без использования квартикальной взаимности. $\mathbb {Z} [i]$ $\mathbb {Z} [i],$ $\mathbb {Z} [i]$ $\mathbb {Z}$

Для нечетного гауссовского простого числа и гауссовского целого числа, относительно простого, определим квадратичный характер следующим образом: $\pi$ $\alpha$ $\pi ,$ $\mathbb {Z} [i]$

\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [i]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}

Пусть — различные гауссовские простые числа, где a и c — нечетные, а b и d — четные. Тогда ^[31] $\lambda =a+bi,\mu =c+di$

\left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2},\qquad \left[{\frac {i}{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{\frac {b}{2}},\qquad \left[{\frac {1+i}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{a+b}}\right).

Целые числа Эйзенштейна

Рассмотрим следующий корень третьей степени из единицы:

\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi \imath }{3}}.

Кольцо целых чисел Эйзенштейна ^[32] Для простого числа Эйзенштейна и целого числа Эйзенштейна с определим квадратичный характер по формуле $\mathbb {Z} [\omega ].$ $\pi ,\mathrm {N} \pi \neq 3,$ $\alpha$ $\gcd(\alpha ,\pi )=1,$ $\mathbb {Z} [\omega ]$

\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [\omega ]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}

Пусть λ = a + bω и μ = c + dω — различные простые числа Эйзенштейна, где a и c не делятся на 3, а b и d делятся на 3. Эйзенштейн доказал ^[33]

\left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {\mathrm {N} \lambda -1}{2}}{\frac {\mathrm {N} \mu -1}{2}}},\qquad \left[{\frac {1-\omega }{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {a}{3}}\right),\qquad \left[{\frac {2}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{\mathrm {N} \lambda }}\right).

Мнимые квадратичные поля

Вышеуказанные законы являются частными случаями более общих законов, которые справедливы для кольца целых чисел в любом мнимом квадратичном числовом поле . Пусть k — мнимое квадратичное числовое поле с кольцом целых чисел Для простого идеала с нечетной нормой и определим квадратичный характер для как ${\mathcal {O}}_{k}.$ ${\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}$ $\mathrm {N} {\mathfrak {p}}$ $\alpha \in {\mathcal {O}}_{k},$ ${\mathcal {O}}_{k}$

\left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{2}}{\bmod {\mathfrak {p}}}={\begin{cases}1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and }}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}{\text{ such that }}\alpha -\eta ^{2}\in {\mathfrak {p}}\\-1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \\0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\end{cases}}

для произвольного идеала, разложенного на простые идеалы, определяем ${\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}$ ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}$

\left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right]_{2}\cdots \left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{n}}}\right]_{2},

и для определения $\beta \in {\mathcal {O}}_{k}$

\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{\beta {\mathcal {O}}_{k}}}\right]_{2}.

Пусть ie — интегральный базис для . Для с нечетной нормой определим (обычные) целые числа a , b , c , d уравнениями, ${\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2},$ $\left\{\omega _{1},\omega _{2}\right\}$ ${\mathcal {O}}_{k}.$ $\nu \in {\mathcal {O}}_{k}$ $\mathrm {N} \nu ,$

{\begin{aligned}\nu \omega _{1}&=a\omega _{1}+b\omega _{2}\\\nu \omega _{2}&=c\omega _{1}+d\omega _{2}\end{aligned}}

и функция

\chi (\nu ):=\imath ^{(b^{2}-a+2)c+(a^{2}-b+2)d+ad}.

Если m = Nμ и n = Nν оба нечетны, Герглотц доказал ^[34]

\left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {m-1}{2}}{\frac {n-1}{2}}}\chi (\mu )^{m{\frac {n-1}{2}}}\chi (\nu )^{-n{\frac {m-1}{2}}}.

Также, если

\mu \equiv \mu '{\bmod {4}}\quad {\text{and}}\quad \nu \equiv \nu '{\bmod {4}}

Тогда ^[35]

\left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu '}{\nu '}}\right]_{2}\left[{\frac {\nu '}{\mu '}}\right]_{2}.

Многочлены над конечным полем

Пусть F — конечное поле с q = p ⁿ элементами, где p — нечетное простое число, а n — положительное число, и пусть F [ x ] — кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами в F. Если и f неприводимо , монично и имеет положительную степень, определим квадратичный характер для F [ x ] обычным образом: $f,g\in F[x]$

\left({\frac {g}{f}}\right)={\begin{cases}1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}\exists h,k\in F[x]{\text{ such that }}g-h^{2}=kf\\-1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}g{\text{ is not a square}}{\bmod {f}}\\0&\gcd(f,g)\neq 1\end{cases}}

Если это произведение монических неприводимых элементов, пусть $f=f_{1}\cdots f_{n}$

\left({\frac {g}{f}}\right)=\left({\frac {g}{f_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {g}{f_{n}}}\right).

Дедекинд доказал, что если являются моническими и имеют положительные степени, ^[36] $f,g\in F[x]$

\left({\frac {g}{f}}\right)\left({\frac {f}{g}}\right)=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}(\deg f)(\deg g)}.

Высшие силы

Попытка обобщить квадратичный закон взаимности для степеней выше второй была одной из главных целей, которая привела математиков XIX века, включая Карла Фридриха Гаусса , Петера Густава Лежена Дирихле , Карла Густава Якоба Якоби , Готхольда Эйзенштейна , Рихарда Дедекинда , Эрнста Куммера и Давида Гильберта, к изучению общих алгебраических числовых полей и их колец целых чисел; ^[37] в частности, Куммер изобрёл идеалы для того, чтобы сформулировать и доказать высшие законы взаимности.

Девятая в списке из 23 нерешенных проблем , которые Дэвид Гильберт предложил Конгрессу математиков в 1900 году, требовала «Доказательства наиболее общего закона взаимности [д]ля произвольного числового поля». [ ^38] Опираясь на работы Филиппа Фуртвенглера , Тейджи Такаги , Хельмута Хассе и других, Эмиль Артин открыл взаимность Артина в 1923 году, общую теорему, для которой все известные законы взаимности являются частными случаями, и доказал ее в 1927 году. ^[39]

Смотрите также

Примечания

^ Гаусс, DA § 4, искусства 107–150.
^ Например, в его математическом дневнике от 8 апреля 1796 года (дата, когда он впервые доказал квадратичный закон взаимности). См. факсимильную страницу из книги Феликса Клейна «Развитие математики в 19 веке».
^ См. хронологию и библиографию доказательств Ф. Леммермейера во внешних ссылках.
^ Веклич, Богдан (2019). «Минималистское доказательство закона квадратичной взаимности». The American Mathematical Monthly . 126 (10): 928. arXiv : 2106.08121 . doi : 10.1080/00029890.2019.1655331. S2CID 214219919.
↑ Леммермейер, стр. 2–3
^ Гаусс, DA, статья 182
^ Леммермейер, стр. 3
^ Леммермейер, с. 5, Ирландия и Розен, стр. 54, 61.
^ Ирландия и Розен, стр. 69–70. Его доказательство основано на том, что сейчас называется суммами Гаусса.
^ Этот раздел основан на Lemmermeyer, стр. 6–8.
^ Эквивалентность — критерий Эйлера.
^ Аналог оригинального определения Лежандра используется для символов вычетов более высокой степени.
^ Например, доказательство Кронекера (Lemmermeyer, ex. p. 31, 1.34) заключается в использовании леммы Гаусса для установления того, что
$\left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right)$
а затем поменяйте местами p и q .
^ Гаусс, DA, искусства 108–116
^ Гаусс, DA, искусства 117–123
^ Гаусс, DA, искусство 130
^ Гаусс, DA, Искусство 131
^ Гаусс, DA, статьи 125–129.
^ Поскольку основная сумма Гаусса равна ${\sqrt {q^{*}}}.$
^ Поскольку квадратичное поле является подполем циклотомического поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {q^{*}}})$ $\mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi i}{q}})$
^ См. Связь с циклотомическими полями ниже.
^ Айрленд и Розен, стр. 60–61.
↑ Гаусс, «Summierung gewisser Reihen von besonderer Art», перепечатано в Untersuchumgen uber hohere Arithmetik , стр. 463–495.
^ Леммермейер, Т. 2.28, стр. 63–65
^ Леммермейер, пример 1.9, стр. 28
↑ Питер Густав Лежен Дирихле в 1837 году.
^ "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 22 января 2012 г. . Получено 27 июня 2013 г. .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ Вейль, Герман (1998). Алгебраическая теория чисел . Princeton University Press. ISBN 0691059179.
^ Гаусс, BQ § 60
^ Доказательство Дирихле см. в Lemmermeyer, Prop. 5.1, стр. 154, и Ireland & Rosen, ex. 26, стр. 64.
^ Леммермейер, предложение 5.1, с. 154
^ Определения и обозначения см. в статьях о целочисленной и кубической взаимности Эйзенштейна.
^ Леммермейер, Теория 7.10, стр. 217
^ Леммермейер, Thm 8.15, стр. 256 и далее
^ Леммермейер Теория 8.18, стр. 260
^ Бах и Шаллит, Теория 6.7.1
^ Леммермейер, стр. 15, и Эдвардс, стр. 79–80, оба приводят веские доводы в пользу того, что изучение высшей взаимности было гораздо более важным мотивом, чем Великая теорема Ферма.
^ Леммермейер, стр. viii
^ Леммермейер, стр. ix и далее

Ссылки

Disquisitiones Arithmeticae переведены (с латыни) на английский и немецкий языки. Немецкое издание включает все работы Гаусса по теории чисел: все доказательства квадратичной взаимности, определение знака суммы Гаусса, исследования биквадратичной взаимности и неопубликованные заметки. Сноски, ссылающиеся на Disquisitiones Arithmeticae, имеют вид "Gauss, DA, Art. n ".

Гаусс, Карл Фридрих (1986). Disquisitiones Arithemeticae . Перевод Кларка, Артура А. (Второе, исправленное издание). Нью-Йорк: Springer . ISBN 0-387-96254-9.
Гаусс, Карл Фридрих (1965). Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae и другие статьи по теории чисел) . Перевод Мазера, Германа (второе изд.). Нью-Йорк: Челси. ISBN 0-8284-0191-8.

Две монографии Гаусса, опубликованные по биквадратичной взаимности, имеют последовательно пронумерованные разделы: первый содержит §§ 1–23, а второй §§ 24–76. Сноски, ссылающиеся на них, имеют вид «Gauss, BQ, § n ».

Гаусс, Карл Фридрих (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Геттинген: Комментарий. Соц. Regiae Sci, Геттинген 6
Гаусс, Карл Фридрих (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Геттинген: Комментарий. Соц. Regiae Sci, Геттинген 7

Они находятся в Werke Гаусса , том II, стр. 65–92 и 93–148. Немецкие переводы находятся на стр. 511–533 и 534–586 книги Untersuchungen über höhere Arithmetik.

В каждом учебнике по элементарной теории чисел (и в довольно многих учебниках по алгебраической теории чисел ) есть доказательство квадратичной взаимности. Два из них особенно примечательны:

Книга Франца Леммермейера «Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна» содержит множество доказательств (некоторые в упражнениях) как квадратичных, так и высших степенных законов взаимности, а также обсуждение их истории. Ее обширная библиография включает ссылки на литературу для 196 различных опубликованных доказательств квадратичного закона взаимности .

В книге Кеннета Айрленда и Майкла Розена « Классическое введение в современную теорию чисел» также есть много доказательств квадратичной взаимности (и много упражнений), а также рассматриваются кубические и биквадратные случаи. Упражнение 13.26 (стр. 202) говорит само за себя

Подсчитайте количество доказательств закона квадратичной взаимности, приведенных до сих пор в этой книге, и придумайте еще одно.

Бах, Эрик; Шаллит, Джеффри (1966), Алгоритмическая теория чисел (Том I: Эффективные алгоритмы) , Кембридж: The MIT Press , ISBN 0-262-02405-5
Эдвардс, Гарольд (1977), Великая теорема Ферма , Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-90230-9
Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4, г-н 1761696
Айрленд, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-97329-X

Внешние ссылки

«Квадратичный закон взаимности», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Квадратичная теорема взаимности от MathWorld
Пьеса, сравнивающая два доказательства квадратичного закона взаимности.
Доказательство этой теоремы на PlanetMath
Другое доказательство на MathPages
Хронология и библиография доказательств квадратичного закона взаимности Ф. Леммермейера (332 доказательства)