stringtranslate.com

Константин Каратеодори

Константин Каратеодори ( греч . Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή , романизировано :  Константинос Каратеодори ; 13 сентября 1873 — 2 февраля 1950) — греческий математик , большую часть своей профессиональной карьеры проживавший в Германии. Он внёс значительный вклад в действительный и комплексный анализ, вариационное исчисление и теорию меры. Он также создал аксиоматическую формулировку термодинамики. Каратеодори считается одним из величайших математиков своей эпохи [3] и самым известным греческим математиком со времён античности [4] .

Происхождение

Константин Каратеодори родился в 1873 году в Берлине в семье греков и вырос в Брюсселе . Его отец Стефанос  [tr] , юрист, служил послом Османской империи в Бельгии , Санкт-Петербурге и Берлине. Его мать, Деспина, урожденная Петрококкинос, была с острова Хиос . Семья Каратеодори, родом из Боснохори или Выссы , была хорошо известна и уважаема в Константинополе , и ее члены занимали много важных государственных должностей.

Семья Каратеодори провела 1874–75 годы в Константинополе, где жил дед Константина по отцовской линии, пока его отец Стефанос был в отпуске. Затем в 1875 году они отправились в Брюссель, когда Стефанос был назначен там послом Османской империи. В Брюсселе родилась младшая сестра Константина Джулия. 1879 год был трагическим для семьи, так как в том же году умер дед Константина по отцовской линии, но гораздо более трагично то, что мать Константина Деспина умерла от пневмонии в Каннах . Бабушка Константина по материнской линии взяла на себя задачу воспитания Константина и Джулии в доме его отца в Бельгии. Они наняли немецкую служанку, которая научила детей говорить по-немецки. К этому времени Константин уже был двуязычным — французским и греческим.

Константин начал свое формальное обучение в частной школе в Вандерстоке в 1881 году. Он ушел через два года, а затем провел время со своим отцом во время визита в Берлин, а также провел зимы 1883–84 и 1884–85 годов на Итальянской Ривьере . Вернувшись в Брюссель в 1885 году, он посещал гимназию в течение года, где впервые начал интересоваться математикой. В 1886 году он поступил в среднюю школу Athénée Royal d'Ixelles и учился там до своего окончания в 1891 году. Дважды за время обучения в этой школе Константин выигрывал приз как лучший ученик по математике в Бельгии.

На этом этапе Каратеодори начал обучение на военного инженера. Он посещал École Militaire de Belgique с октября 1891 по май 1895 года, а также учился в École d'Application с 1893 по 1896 год. В 1897 году началась война между Османской империей и Грецией. Это поставило Каратеодори в трудное положение, поскольку он встал на сторону греков, хотя его отец служил правительству Османской империи. Поскольку он был инженером по образованию, ему предложили работу в британской колониальной службе. Эта работа привела его в Египет, где он работал на строительстве плотины Ассиут до апреля 1900 года. В периоды, когда строительные работы приходилось останавливать из-за наводнений, он изучал математику по некоторым учебникам, которые у него были с собой, таким как Cours d'Analyse Жордана и текст Салмона по аналитической геометрии конических сечений . Он также посетил пирамиду Хеопса и провел измерения, которые он записал и опубликовал в 1901 году. [5] В том же году он также опубликовал книгу о Египте, которая содержала обширную информацию по истории и географии страны. [6]

Учеба и университетская карьера

Молодой Каратеодори

Каратеодори изучал инженерное дело в Королевской военной академии в Бельгии , где его считали харизматичным и блестящим студентом.

Университетская карьера

Докторанты

У Каратеодори было около 20 докторантов, среди которых были Ганс Радемахер , известный своими работами по анализу и теории чисел, и Пауль Финслер, известный созданием пространства Финслера .

Академические контакты в Германии

Каратеодори (слева) с венгерским математиком Липотом Фейером (1880–1959) (стоит справа).

У Каратеодори было множество контактов в Германии. Среди них были такие известные имена, как: Герман Минковский , Давид Гильберт , Феликс Кляйн , Альберт Эйнштейн , Эдмунд Ландау , Герман Амандус Шварц и Липот Фейер . В трудный период Второй мировой войны его близкими соратниками в Баварской академии наук были Перрон и Титце.

Эйнштейн, тогда член Прусской академии наук в Берлине, работал над своей общей теорией относительности, когда он связался с Каратеодори для разъяснений по уравнению Гамильтона-Якоби и каноническим преобразованиям . Он хотел увидеть удовлетворительный вывод первого и происхождение второго. Эйнштейн сказал Каратеодори, что его вывод «прекрасен», и рекомендовал опубликовать его в Annalen der Physik. Эйнштейн использовал первый в статье 1917 года под названием Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein (О квантовой теореме Зоммерфельда и Эпштейна). Каратеодори объяснил некоторые фундаментальные детали канонических преобразований и отослал Эйнштейна к «Аналитической динамике» Э. Т. Уиттекера . Эйнштейн пытался решить проблему «замкнутых линий времени» или геодезических, соответствующих замкнутой траектории света и свободных частиц в статической Вселенной, которую он ввел в 1917 году. [7]

Ландау и Шварц стимулировали его интерес к изучению комплексного анализа. [8]

Академические контакты в Греции

Находясь в Германии, Каратеодори поддерживал многочисленные связи с греческим академическим миром, подробности о которых можно найти в книге Георгиаду. Он был непосредственно вовлечен в реорганизацию греческих университетов. Особенно близким другом и коллегой в Афинах был Николаос Критикос, который посещал его лекции в Геттингене, позже отправился с ним в Смирну, а затем стал профессором Афинского политехнического института. Критикос и Каратеодори помогли греческому топологу Христосу Папакириакопулосу получить докторскую степень по топологии в Афинском университете в 1943 году при очень сложных обстоятельствах. Во время преподавания в Афинском университете у Каратеодори был Эвангелос Стаматис в качестве студента бакалавриата, который впоследствии добился значительных успехов как ученый, изучающий древнегреческую математическую классику. [9]

Работы

Вариационное исчисление

В своей докторской диссертации Каратеодори показал, как распространить решения на разрывные случаи, и изучил изопериметрические задачи. [8]

Ранее, между серединой 1700-х и серединой 1800-х годов, Леонард Эйлер , Адриен-Мари Лежандр и Карл Густав Якоб Якоби смогли установить необходимые, но недостаточные условия для существования сильного относительного минимума. В 1879 году Карл Вейерштрасс добавил четвертое, которое действительно гарантирует существование такой величины. [10] Каратеодори построил свой метод вывода достаточных условий, основанный на использовании уравнения Гамильтона-Якоби для построения поля экстремалей. Идеи тесно связаны с распространением света в оптике. Метод стал известен как метод Каратеодори эквивалентных вариационных задач или королевская дорога к вариационному исчислению . [10] [11] Ключевым преимуществом работы Каратеодори по этой теме является то, что она проливает свет на связь между вариационным исчислением и уравнениями в частных производных. [8] Он позволяет быстро и элегантно выводить условия достаточности в вариационном исчислении и приводит непосредственно к уравнению Эйлера-Лагранжа и условию Вейерштрасса. Он опубликовал свой Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung (Вариационное исчисление и уравнения в частных производных первого порядка) в 1935 году. [10]

Совсем недавно работа Каратеодори по вариационному исчислению и уравнению Гамильтона-Якоби была принята в теорию оптимального управления и динамического программирования. [10] [12]

Выпуклая геометрия

Иллюстрация теоремы Каратеодори (выпуклая оболочка) для квадрата в R 2 .

Теорема Каратеодори в выпуклой геометрии утверждает, что если точка лежит в выпуклой оболочке множества , то может быть записана как выпуклая комбинация не более чем точек из . А именно, существует подмножество из , состоящее из или меньшего количества точек, такое, что лежит в выпуклой оболочке . Эквивалентно, лежит в -симплексе с вершинами в , где . Наименьшее , которое делает последнее утверждение верным для каждого в выпуклой оболочке P, определяется как число Каратеодори . В зависимости от свойств могут быть получены верхние оценки ниже той, которая обеспечивается теоремой Каратеодори. [13]

Ему приписывают авторство гипотезы Каратеодори , утверждающей, что замкнутая выпуклая поверхность допускает по крайней мере две омбилические точки . По состоянию на 2021 год эта гипотеза оставалась недоказанной, несмотря на то, что привлекла большое количество исследований.

Реальный анализ

Он доказал теорему существования решения обыкновенных дифференциальных уравнений при условиях слабой регулярности.

Другая его теорема о производной функции в точке может быть использована для доказательства правила цепочки и формулы для производной обратных функций . [14]

Комплексный анализ

Он значительно расширил теорию конформного преобразования [15] , доказав свою теорему о расширении конформного отображения на границу жордановых областей. При изучении граничного соответствия он создал теорию простых концов . [8] Он представил элементарное доказательство леммы Шварца . [8]

Каратеодори также интересовался теорией функций многих комплексных переменных. В своих исследованиях по этой теме он искал аналоги классических результатов из случая одной переменной. Он доказал, что шар в не является голоморфно эквивалентным бидиску. [8]

Теория меры

Ему приписывают теорему Каратеодори о расширении , которая является основополагающей для современной теории меры. Позднее Каратеодори распространил теорию с множеств на булевы алгебры .

Термодинамика

Термодинамика была предметом, дорогим Каратеодори со времен его пребывания в Бельгии. [16] В 1909 году он опубликовал новаторскую работу «Исследования по основам термодинамики» [17] , в которой он сформулировал второй закон термодинамики аксиоматически, то есть без использования двигателей Карно и холодильников, а только с помощью математических рассуждений. Это еще одна версия второго закона, наряду с утверждениями Клаузиуса , Кельвина и Планка . [18] Версия Каратеодори привлекла внимание некоторых ведущих физиков того времени, включая Макса Планка, Макса Борна и Арнольда Зоммерфельда. [8] Согласно обзору термодинамики Бейлина, подход Каратеодори называется «механическим», а не «термодинамическим». [19] Макс Борн приветствовал это «первое аксиоматически жесткое основание термодинамики» и выразил свой энтузиазм в своих письмах Эйнштейну. [20] [16] Однако у Макса Планка были некоторые опасения [21] , поскольку, хотя он был впечатлен математическим мастерством Каратеодори, он не считал это фундаментальной формулировкой, учитывая статистическую природу второго закона. [16]

В своей теории он упростил основные понятия, например, теплота не является существенным понятием, а является производным. [22] Он сформулировал аксиоматический принцип необратимости в термодинамике, утверждая, что недоступность состояний связана с существованием энтропии, где температура является функцией интегрирования. Второй закон термодинамики был выражен через следующую аксиому: «Вблизи любого начального состояния существуют состояния, к которым нельзя приблизиться сколь угодно близко посредством адиабатических изменений состояния». В этой связи он ввел термин адиабатическая доступность . [23]

Оптика

Работа Каратеодори в оптике тесно связана с его методом в вариационном исчислении. В 1926 году он дал строгое и общее доказательство того, что никакая система линз и зеркал не может избежать аберрации , за исключением тривиального случая плоских зеркал. В своей более поздней работе он дал теорию телескопа Шмидта . [24] В своей Geometrische Optik (1937) Каратеодори продемонстрировал эквивалентность принципа Гюйгенса и принципа Ферма, начиная с первого, используя теорию характеристик Коши. Он утверждал, что важным преимуществом его подхода было то, что он охватывает интегральные инварианты Анри Пуанкаре и Эли Картана и завершает закон Малюса . Он объяснил, что в своих исследованиях в оптике Пьер де Ферма задумал минимальный принцип, аналогичный тому, который был сформулирован Героном Александрийским для изучения отражения. [25]

Исторический

Во время Второй мировой войны Каратеодори редактировал два тома Полного собрания сочинений Эйлера , посвященных вариационному исчислению, которые были представлены к публикации в 1946 году. [26]

Университет Смирны

Фотография Ионического университета Смирны .

В то время Афины были единственным крупным образовательным центром в более широком регионе и имели ограниченные возможности для достаточного удовлетворения растущих образовательных потребностей восточной части Эгейского моря и Балкан . Каратеодори, который в то время был профессором Берлинского университета , предложил создать новый университет [27] - трудности, связанные с созданием греческого университета в Константинополе, заставили его рассмотреть три других города: Салоники , Хиос и Смирну . [28]

По приглашению премьер-министра Греции Элефтериоса Венизелоса 20 октября 1919 года он представил план создания нового университета в Смирне в Малой Азии, который должен был называться Ионическим университетом Смирны . В 1920 году Каратеодори был назначен деканом университета и принял большое участие в создании учреждения, путешествуя по Европе для покупки книг и оборудования. Однако университет никогда не принимал студентов из-за войны в Малой Азии , которая закончилась Великим пожаром Смирны . Каратеодори удалось спасти книги из библиотеки, и только в последний момент его спас журналист, который отвез его на лодке на стоявший рядом линкор «Наксос». [29] Каратеодори привез в Афины часть университетской библиотеки и оставался там, преподавая в университете и технической школе до 1924 года.

В 1924 году Каратеодори был назначен профессором математики в Мюнхенском университете и занимал эту должность до выхода на пенсию в 1938 году. Позднее он работал в Баварской академии наук до своей смерти в 1950 году.

Новый греческий университет в более широком регионе Юго-Восточного Средиземноморья, как изначально задумал Каратеодори, наконец, материализовался с созданием Университета Аристотеля в Салониках в 1925 году. [30]

Лингвистические и ораторские таланты

Каратеодори в зрелом возрасте.

Каратеодори преуспел в языках, как и многие члены его семьи. Греческий и французский были его первыми языками, и он овладел немецким в таком совершенстве, что его сочинения, написанные на немецком языке, являются стилистическими шедеврами. [31] Каратеодори также говорил и писал на английском , итальянском , турецком и древних языках без каких-либо усилий. Такой впечатляющий лингвистический арсенал позволял ему общаться и обмениваться идеями напрямую с другими математиками во время его многочисленных путешествий и значительно расширял области его знаний.

Более того, Каратеодори был дорогим собеседником для своих коллег-профессоров на кафедре философии в Мюнхене. Уважаемый немецкий филолог и профессор древних языков Курт фон Фриц хвалил Каратеодори на том основании, что от него можно было узнать бесконечно много о старой и новой Греции, древнегреческом языке и эллинской математике. Фон Фриц вел многочисленные философские дискуссии с Каратеодори.

Математик отправил своего сына Стефаноса и дочь Деспину в немецкую среднюю школу, но они также ежедневно получали дополнительные уроки греческого языка и культуры от греческого священника, а дома он разрешал им говорить только по-гречески.

Каратеодори был талантливым оратором, и его часто приглашали выступать с речами. В 1936 году именно он вручил первые в истории медали Филдса на заседании Международного конгресса математиков в Осло, Норвегия. [8]

Наследие

Могила Каратеодори в Мюнхене.

В 2002 году в знак признания его достижений Мюнхенский университет назвал одну из самых больших аудиторий в математическом институте лекционным залом Константина Каратеодори. [32]

В городе Неа Висса, родовом поместье Каратеодори, находится уникальный семейный музей. Музей расположен на центральной площади города, рядом с церковью, и включает в себя ряд личных вещей Каратеодори, а также письма, которыми он обменивался с Альбертом Эйнштейном. Более подробную информацию можно найти на оригинальном сайте клуба, http://www.s-karatheodoris.gr.

В то же время греческие власти давно намеревались создать музей в честь Каратеодориса в Комотини , крупном городе северо-восточного греческого региона, более чем в 200 км от его родного города выше. 21 марта 2009 года музей «Каратеодорис» (Καραθεοδωρής) открыл свои двери для публики в Комотини. [33] [34] [35]

Координатор музея Афанасиос Липордезис (Αθανάσιος Λιπορδέζης) отметил, что музей предоставляет дом для оригинальных рукописей математика, насчитывающих около 10 000 страниц, включая переписку с немецким математиком Артуром Розенталем по алгебраизации меры. В витрине посетители также могут увидеть книги «Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4», «Mass und ihre Algebraiserung», «Reelle Functionen Band 1», «Zahlen/Punktionen Funktionen» и ряд других. На выставке представлены рукописные письма Каратеодори Альберту Эйнштейну и Хельмуту Кнезеру , а также фотографии семьи Каратеодори.

Продолжаются работы по оснащению музея новыми экспонатами. [36] [37] [38]

Публикации

Журнальные статьи

Полный список журнальных статей Каратеодори можно найти в его Собрании сочинений ( Ges. Math. Schr. ). Известные публикации:

Книги

Смотрите также

Примечания

  1. ^ "The Mathematics Genealogy Project - Constantin Carathéodory". Mathematics Genealogy Project . North Dakota State University Department of Mathematics. Архивировано из оригинала 13 июля 2018 года . Получено 27 августа 2017 года .
  2. ^ "The Mathematics Genealogy Project - Nazım Terzioğlu". Mathematics Genealogy Project . North Dakota State University Department of Mathematics . Получено 27 августа 2017 г.
  3. ^ Халлетт, Майкл; Майер, Ульрих (2004). Лекции Дэвида Гильберта по основам геометрии 1891–1902. Springer Science & Business Media. стр. 11. ISBN 978-3-540-64373-9.
  4. ^ Szpiro, George G. (2008). Премия Пуанкаре: столетний поиск решения одной из величайших математических головоломок. Penguin. стр. 104. ISBN 978-1-4406-3428-4.
  5. ^ Брюссель 1901 (Hayez);Ges. math. Schr. V. 273-281
  6. ^ H Aigyptos, Syllogos Ophelimon Biblion, № 14, 118 стр. Афины 1901, 1928, Нью-Йорк 1920
  7. ^ Георгиаду, Мария (2004). "2.15: Эйнштейн связывается с Каратеодори". Константин Каратеодори: Математика и политика в неспокойные времена . Германия: Springer. ISBN 3-540-20352-4.
  8. ^ abcdefgh Бегер, HGW (1998). «Константин Каратеодори (1873-1950)». В Бегере, HGW; Кох, Х; Краммер, Дж; Шаппахер, Н; Тиле, Э.-Дж. (ред.). Математика в Берлине . Германия: Биркхойзер Верлаг. ISBN 3-7643-5943-9.
  9. ^ Дж. П. Кристианидис и Н. Кастанис: В память Евангелоса С. Стаматиса (1898–1990) Historia Mathematica 19 (1992) 99-105
  10. ^ abcd Кот, Марк (2014). "Глава 12: Достаточные условия". Первый курс вариационного исчисления . Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1495-5.
  11. ^ Х. Бёрнер, Carathéodory und die Variationsrechnung , в A Panayotopolos (ред.), Труды Международного симпозиума К. Каратеодори, сентябрь 1973 г., Афины (Афины, 1974), 80–90.
  12. ^ Беллман для своего Динамического программирования в его непрерывной форме времени использовал работу Каратеодори в форме уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана . Калман также явно использовал формулировку Каратеодори в своих первоначальных работах по оптимальному управлению. См., например, RE Kalman: Contributions to theory of optimal control . Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana 1960
  13. ^ Барани, Имре; Карасёв, Роман (2012-07-20). «Заметки о числе Каратеодори». Дискретная и вычислительная геометрия . 48 (3): 783–792. arXiv : 1112.5942 . doi :10.1007/s00454-012-9439-z. ISSN  0179-5376. S2CID  9090617.
  14. ^ Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2011). "6.1: Производная". Введение в вещественный анализ . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
  15. ^ А. Шилдс: Каратеодори и конформное отображение Math. Intelligencer т.10(1), 1988
  16. ^ abc Георгиаду, Мария (2004). "2.2 Аксиоматическое основание термодинамики". Константин Каратеодори: Математика и политика в неспокойные времена . Германия: Springer. ISBN 3-540-20352-4.
  17. ^ Каратеодори, Константин (1909). «Untersuchungen ueber die Grundlagen der Thermodynamik» [Исследование основ термодинамики] (PDF) . Математические Аннален . 67 (3). Перевод Delphinich, DH: 355–386. дои : 10.1007/bf01450409. S2CID  118230148. Архивировано из оригинала (PDF) 12 октября 2019 г. Проверено 9 июля 2016 г.
  18. ^ Льюис, Кристофер Дж. Т. (2007). "Глава 5. Энергия и энтропия: рождение термодинамики". Тепло и термодинамика: историческая перспектива . Вестпорт, Коннектикут: Greenwood Press. стр. 110. ISBN 978-0-313-33332-3.
  19. ^ Бейлин, М. (1994). Обзор термодинамики , Американский институт физики, Вудбери, штат Нью-Йорк, ISBN 0-88318-797-3 . 
  20. ↑ Макс Борн: Письма Борна–Эйнштейна , MacMillan 1971
  21. ^ Константин Каратеодори и аксиоматическая термодинамика Лионелло Польяни и Марио Н. Берберан-Сантоса
  22. ^ Pogliani, Lionello; Berberan-Santos, Mario N. (2000). «Constantin Carathéodory and the axiomatic thermodynamics». Journal of Mathematical Chemistry . 28 (1/3): 313–324. doi :10.1023/A:1018834326958. S2CID  17244147.
  23. ^ адиабатическая доступность = adiabatische Erreichbarkeit; см. также Эллиотт Х. Либ, Якоб Ингвасон: Физика и математика второго закона термодинамики, Phys. Rep. 310, 1–96 (1999) и Эллиотт Х. Либ, (редакторы: Б. Нахтергале, Дж. П. Соловей, Дж. Ингвасон): Статистическая механика: Избранные работы Эллиотта Х. Либа , 2005, ISBN 978-3-540-22297-2 
  24. ^ Über den Zusammenhang der Theorie der Absoluten Optischen Instrumente mit einem Satz der Variationsrechnung , Münchener Sitzb. Математика. -naturw Abteilung 1926 1–18; Гес. Математика. Шр. II 181–197.
  25. ^ Георгиаду, Мария (2004). "5.29: Геометрическая оптика". Константин Каратеодори: Математика и политика в неспокойные времена . Германия: Springer. ISBN 3-540-20352-4.
  26. ^ Euler Opera Omnia, Series 1 (a) vol.24: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive gaudentes sive solutionatis isoperimetrici latissimo sensu Accepti . Лозанна и Женева 1744 г. (М. Буске) изд. К. Каратеодори Цюрих 1952 (Фюсли). (b) том 25. Commentationes Analyticale Ad Calculum Variationum Pertinentes . редактор К. Каратеодори, Цюрих, 1952 (Фюсли).
  27. ^ Константин Каратеодори: Биография, газетная статья, 2000 "(...) Είχε γνωρίσει τον Ελευθέριο Βενιζέλο από το 1895, στην Κρήτη, και από το είχε προτείνει τη δημιουργία δεύτερου ελληνικού πανεπιστημίου στη Θεσσαλονίκη. Ο πόλεμος που ξεσπάει μεταθέτει τις αποφάσεις. Στην Ελλάδα θα επανέλθει το 1930-32, όταν θα αποδεχθεί τη θέση του κυβερνητικού επιτρόπου και θα οργανώσει τα πανεπιστήμια Αθήνας και ονίκης με τον νόμο 5343/32, ο οποίος ίσχυε μέχρι προσφάτως. Από τη θέση αυτή θα τον απολύσει η κυβέρνηση Παπαναστασίου που διαδέχεται τον Βενιζέλο το κ αι εκεί θα σταματήσει η ενεργός ανάμειξή του στα κοινά της Ελλάδας.» (греч.)
  28. ^ "Значение основания Университета Смирны (эссе)". Департамент начального образования, Университет Патраса. Архивировано из оригинала 14 июня 2012 года.
  29. ^ "Константин Каратеодори: Его жизнь и работа (эссе)" (PDF) . Национальный технический университет Афин. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-12-22." Его дочь г-жа Деспина Родопулу-Каратеодори так отзывалась об этом периоде: "Он остался, чтобы спасти все, что мог: библиотеку, машины и т. д., которые были отправлены на разных кораблях в надежде, что однажды они прибудут в Афины. Мой отец оставался до последнего момента. Джордж Хортон, консул США в Смирне, написал книгу... которая была переведена на греческий язык. В этой книге Хортон отмечает: "Одним из последних греков, которых я видел на улицах Смирны перед вступлением турок, был профессор Каратеодори, президент обреченного университета. С ним ушло воплощение греческого гения [ sic ] культуры и цивилизации Востока" .
  30. ^ "Краткая история". Университет Аристотеля в Салониках . Получено 2012-12-02 .
  31. ^ Denker, Forscher und Entdecker: eine Geschichte der Bayerischen Akademie Дитмара Уилловейта, стр.263
  32. ^ Константин Каратеодори-Хорсаал, mathe-lmu, Nr. 7/2002, час. Förderverein Mathematik in Wirtschaft, Universität und Schule an der Ludwig-Maximilians-Universität München eV, S. 9.
  33. ^ (на греческом) «Открытие музея Каратеодори». Друзья К.Каратеодори.
  34. ^ "Открывается музей Caratheodory". Посольство Греческой Республики в Австралии, Офис прессы и коммуникаций. Архивировано из оригинала 2010-01-04 . Получено 2009-12-01 .
  35. ^ «Музей Каратеодори пополнился новыми экспонатами». Афинское информационное агентство.
  36. ^ (на греческом) "Музей К.Каратеодори в Комотини". Eleftherotipia, крупная греческая газета. Архивировано из оригинала 2011-10-02.
  37. ^ (на греческом) "Музей Каратеодори: аттрактор". Kathimerini, крупная греческая газета. Архивировано из оригинала 2011-07-16 . Получено 2009-12-01 .
  38. ^ (на греческом) «Музей Каратеодори открыл свои двери для публики». Македония, крупнейшая греческая газета.
  39. ^ Каратеодори, К. (1982). «Über die kanonischen Veränderlichen in der Variationsrechnung der mehrfachen Integrale». Festschrift zu seinem sechzigsten Geburtstag от 23 января 1922 года . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 78–88. дои : 10.1007/978-3-642-61810-9_11. ISBN 978-3-642-61810-9. S2CID  179177711.
  40. ^ Каратеодори, К. (1927). «Über das Schwarzsche Lemma bei analytischen Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen». Математические Аннален . 97 (1): 76–98. дои : 10.1007/BF01447861. S2CID  123411126.
  41. ^ Каратеодори, К. (1906). «Über die starken maxima und minima bei einfachen Integralen». Математические Аннален . 62 (4): 449–503. дои : 10.1007/BF01449816. S2CID  115532504.
  42. ^ Каратеодори, К. (1909). «Untersuchungen Über die Grundlagen der Thermodynamik». Математические Аннален . 67 (3): 355–386. дои : 10.1007/BF01450409. S2CID  118230148.
  43. ^ Каратеодори, К. Каратеодори (1914). «Elementarer Beweis für den Fundamentalsatz der konformen Abbildungen». Mathematische Abhandlungen Герман Амандус Шварц . Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 19–41. дои : 10.1007/978-3-642-50735-9_2. ISBN 978-3-642-50735-9.
  44. ^ Хайнс, Морис (1951). «Обзор: Funktionentheorie К. Каратеодори». Бюллетень Американского математического общества . 57 (3): 190–192. doi : 10.1090/s0002-9904-1951-09486-0 .

Ссылки

Книги

Биографические статьи

Энциклопедии и справочники

Конференции

Внешние ссылки