Градуированное кольцо

Тип алгебраической структуры

В математике , в частности, в абстрактной алгебре , градуированное кольцо — это кольцо , в котором базовая аддитивная группа является прямой суммой абелевых групп, таких что ⁠ ⁠ . Индексный набор обычно представляет собой набор неотрицательных целых чисел или набор целых чисел, но может быть любым моноидом . Разложение прямой суммы обычно называется градацией или градуировкой . ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$

Градуированный модуль определяется аналогично (точное определение см. ниже). Он обобщает градуированные векторные пространства . Градуированный модуль, который также является градуированным кольцом, называется градуированной алгеброй . Градуированное кольцо также можно рассматривать как градуированную ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -алгебру.

Ассоциативность не важна (фактически вообще не используется) в определении градуированного кольца; следовательно, это понятие применимо и к неассоциативным алгебрам ; например, можно рассмотреть градуированную алгебру Ли .

Первые свойства

Обычно предполагается, что набор индексов градуированного кольца — это набор неотрицательных целых чисел, если явно не указано иное. Так обстоит дело в данной статье.

Градуированное кольцо — это кольцо , которое раскладывается в прямую сумму

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

аддитивных групп , таких что

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

для всех неотрицательных целых чисел и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Ненулевой элемент называется однородным степени ⁠ ⁠ . По определению прямой суммы каждый ненулевой элемент может быть однозначно записан в виде суммы , где каждый равен 0 или однороден степени ⁠ ⁠ . Ненулевыми являются однородные компоненты ⁠  ⁠ . ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a}$

Некоторые основные свойства:

• ${\displaystyle R_{0}}$является подкольцом ⁠ ⁠ ; ${\displaystyle R}$ в частности, мультипликативная единица является однородным элементом нулевой степени. ${\displaystyle 1}$
• Для любого , является двусторонним ⁠ ⁠ - модулем , а разложение в прямую сумму является прямой суммой ⁠ ⁠- модулей. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$
• ${\displaystyle R}$является ассоциативной ⁠ ⁠ ${\displaystyle R_{0}}$ -алгеброй .

Идеал является однородным , если для любого ⁠ ⁠ однородные компоненты также принадлежат ⁠ ⁠ . (Эквивалентно, если он является градуированным подмодулем ⁠ ⁠ ; см . § Градуированный модуль.) Пересечение однородного идеала с является ⁠ ⁠ -подмодулем , называемым однородной частью степени ⁠ ⁠ . Однородный идеал является прямой суммой своих однородных частей. ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle a\in I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

Если — двусторонний однородный идеал в ⁠ ⁠ , то — также градуированное кольцо, разлагаемое как ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},}$

где — однородная часть степени ⁠ ⁠ . ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

Простые примеры

• Любому (неградуированному) кольцу R можно задать градуировку, положив ⁠ ⁠ ${\displaystyle R_{0}=R}$ , и для i ≠ 0. Это называется тривиальной градуировкой на  R . ${\displaystyle R_{i}=0}$
• Кольцо многочленов градуировано по степени : оно представляет собой прямую сумму состоящих из однородных многочленов степени i . ${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$ ${\displaystyle R_{i}}$
• Пусть S — множество всех ненулевых однородных элементов в градуированной области целостности R. Тогда локализация R относительно S является -градуированным кольцом. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Если I — идеал в коммутативном кольце R , то — градуированное кольцо, называемое ассоциированным градуированным кольцом кольца R вдоль I ; геометрически это координатное кольцо нормального конуса вдоль подмногообразия , определяемого I. ${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$
• Пусть X — топологическое пространство , H ⁱ ( X ; R ) — i-я группа когомологий с коэффициентами в кольце R. Тогда H ^* ( X ; R ), кольцо когомологий X с коэффициентами в R , является градуированным кольцом, базовая группа которого имеет мультипликативную структуру, заданную произведением кубков . ${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$

Оцениваемый модуль

Соответствующая идея в теории модулей — это идея градуированного модуля , а именно левого модуля M над градуированным кольцом R, такого что

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

и

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

для каждого i и j .

Примеры:

• Градуированное векторное пространство является примером градуированного модуля над полем (при этом поле имеет тривиальную градуировку).
• Градуированное кольцо — это градуированный модуль над собой. Идеал в градуированном кольце однороден тогда и только тогда, когда он является градуированным подмодулем. Аннулятор градуированного модуля — это однородный идеал.
• Для идеала I в коммутативном кольце R и R -модуля M прямая сумма является градуированным модулем над соответствующим градуированным кольцом . ${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$ ${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

Морфизм градуированных модулей, называемый градуированным морфизмом или градуированным гомоморфизмом , является гомоморфизмом базовых модулей, который уважает градуировку; т. е. ⁠ ⁠ . Градуированный подмодуль — это подмодуль, который является градуированным модулем сам по себе и такой, что теоретико-множественное включение является морфизмом градуированных модулей. Явно, градуированный модуль N является градуированным подмодулем M тогда и только тогда, когда он является подмодулем M и удовлетворяет ⁠ ⁠ . Ядро и образ морфизма градуированных модулей являются градуированными подмодулями. ${\displaystyle f:N\to M}$ ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$

Замечание: Дать градуированный морфизм из градуированного кольца в другое градуированное кольцо с образом, лежащим в центре, — это то же самое, что дать структуру градуированной алгебры последнему кольцу.

Для градуированного модуля -скручивание является градуированным модулем, определяемым формулой ( ср. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$

Пусть M и N — градуированные модули. Если — морфизм модулей, то говорят, что f имеет степень d , если . Внешняя производная дифференциальных форм в дифференциальной геометрии — пример такого морфизма, имеющего степень 1. ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$

Инварианты градуированных модулей

Для градуированного модуля M над коммутативным градуированным кольцом R можно связать формальный степенной ряд ⁠ ⁠ ${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$ :

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(предполагая , что конечны.) Он называется рядом Гильберта–Пуанкаре для M. ${\displaystyle \ell (M_{n})}$

Говорят, что градуированный модуль конечно порожден, если базовый модуль конечно порожден . Генераторы можно считать однородными (заменив генераторы их однородными частями).

Предположим, что R — кольцо многочленов ⁠ ⁠ ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$ , k — поле, а M — конечно порожденный градуированный модуль над ним. Тогда функция называется функцией Гильберта для M . Функция совпадает с целочисленным многочленом для больших n, называемым многочленом Гильберта для M . ${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$

Градуированная алгебра

Ассоциативная алгебра A над кольцом R является градуированной алгеброй, если она градуирована как кольцо.

В обычном случае, когда кольцо R не градуировано (в частности, если R является полем), ему присваивается тривиальная градуировка (каждый элемент R имеет степень 0). Таким образом, и градуированные части являются R -модулями. ${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

В случае, когда кольцо R также является градуированным кольцом, то требуется, чтобы

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

Другими словами, мы требуем, чтобы A был градуированным левым модулем над R.

Примеры градуированных алгебр широко распространены в математике:

• Кольца многочленов . Однородные элементы степени n — это в точности однородные многочлены степени n .
• Тензорная алгебра векторного пространства V. Однородными элементами степени n являются тензоры порядка n , ⁠ ⁠ . ${\displaystyle T^{\bullet }V}$ ${\displaystyle T^{n}V}$
• Внешняя алгебра и симметричная алгебра также являются градуированными алгебрами. ${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$ ${\displaystyle S^{\bullet }V}$
• Кольцо когомологий в любой теории когомологий также градуировано, являясь прямой суммой групп когомологий ⁠ ⁠ . ${\displaystyle H^{\bullet }}$ ${\displaystyle H^{n}}$

Градуированные алгебры широко используются в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , гомологической алгебре и алгебраической топологии . Одним из примеров является тесная связь между однородными многочленами и проективными многообразиями (ср. Однородное координатное кольцо ).

Г-градуированные кольца и алгебры

Приведенные выше определения были обобщены на кольца, градуированные с использованием любого моноида G в качестве множества индексов. G -градуированное кольцо R — это кольцо с разложением в прямую сумму

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

такой что

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Элементы R , лежащие внутри для некоторых , называются однородными степени i . ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle i\in G}$

Определенное ранее понятие "градуированное кольцо" теперь становится тем же самым, что и -градуированное кольцо, где - моноид натуральных чисел по сложению. Определения для градуированных модулей и алгебр также могут быть расширены таким образом, заменив индексирующее множество любым моноидом G . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Замечания:

• Если не требовать, чтобы кольцо имело единичный элемент, то полугруппы могут заменить моноиды.

Примеры:

• Группа естественным образом градуирует соответствующее групповое кольцо ; аналогично, моноидные кольца градуируются соответствующим моноидом.
• (Ассоциативная) супералгебра — это другой термин для -градуированной алгебры. Примерами являются алгебры Клиффорда . Здесь однородные элементы имеют либо степень 0 (четные), либо 1 (нечетные). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Антикоммутативность

Некоторые градуированные кольца (или алгебры) наделены антикоммутативной структурой. Это понятие требует гомоморфизма моноида градуировки в аддитивный моноид , поля с двумя элементами. В частности, знаковый моноид состоит из пары , где является моноидом, а является гомоморфизмом аддитивных моноидов. Антикоммутативное -градуированное кольцо - это кольцо A, градуированное относительно , ​​такое, что: ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\Gamma ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,}$

для всех однородных элементов x и y .

Примеры

• Внешняя алгебра является примером антикоммутативной алгебры, градуированной относительно структуры, где — фактор-отображение. ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• Суперкоммутативная алгебра (иногда называемая косокоммутативным ассоциативным кольцом ) — это то же самое, что и антикоммутативная -градуированная алгебра, где — тождественное отображение аддитивной структуры ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Градуированный моноид

Интуитивно, градуированный моноид — это подмножество градуированного кольца, , порожденное 's, без использования аддитивной части. То есть, множество элементов градуированного моноида равно . ${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$

Формально градуированный моноид ^[1] — это моноид с функцией градуировки такой, что . Обратите внимание, что градуировка обязательно равна 0. Некоторые авторы требуют, кроме того, чтобы когда m не является единицей. ${\displaystyle (M,\cdot )}$ ${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$ ${\displaystyle 1_{M}}$ ${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$

Предполагая, что градации нетождественных элементов не равны нулю, число элементов градации n не больше, чем где g — мощность порождающего множества G моноида. Следовательно, число элементов градации n или меньше не больше (для ) или иначе. Действительно, каждый такой элемент является произведением не более чем n элементов G , и существуют только такие произведения. Аналогично, единичный элемент не может быть записан как произведение двух нетождественных элементов. То есть в таком градуированном моноиде нет единичного делителя . ${\displaystyle g^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$

Степенной ряд, индексированный градуированным моноидом

Эти понятия позволяют нам расширить понятие кольца степенных рядов . Вместо индексного семейства, являющегося , индексное семейство может быть любым градуированным моноидом, предполагая, что число элементов степени n конечно, для каждого целого числа n . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Более формально, пусть будет произвольным полукольцом и градуированным моноидом. Тогда обозначает полукольцо степенных рядов с коэффициентами в K , индексированное R . Его элементами являются функции из R в K . Сумма двух элементов определяется поточечно, это функция, отправляющая в , а произведение — функция, отправляющая в бесконечную сумму . Эта сумма определена корректно (т.е. конечна), поскольку для каждого m существует только конечное число пар ( p , q ) таких, что pq = m . ${\displaystyle (K,+_{K},\times _{K})}$ ${\displaystyle (R,\cdot ,\phi )}$ ${\displaystyle K\langle \langle R\rangle \rangle }$ ${\displaystyle s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle }$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle \sum _{p,q\in R \atop p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)}$

Свободный моноид

В формальной теории языков , если задан алфавит A , свободный моноид слов над A можно рассматривать как градуированный моноид, где градацией слова является его длина.

Смотрите также

• Сопутствующее градуированное кольцо
• Дифференциальная градуированная алгебра
• Фильтрованная алгебра , обобщение
• Оценено (математика)
• Оцениваемая категория
• Градуированное векторное пространство
• Тензорная алгебра
• Дифференцированный оценочный модуль

Примечания

Цитаты

1. Сакарович, Жак (2009). "Часть II: Сила алгебры". Элементы теории автоматов . Перевод Томаса, Рубена. Cambridge University Press. стр. 384. ISBN 978-0-521-84425-3. Збл  1188.68177.

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н  1878556.
• Бурбаки, Н. (1974). «Гл. 1–3, 3 §3». Алгебра I. ISBN 978-3-540-64243-5.
• Стинбринк, Дж. (1977). «Форма пересечения квазиоднородных особенностей» (PDF) . Математическая композиция . 34 (2): 211–223 См. с. 211. ISSN  0010-437X.
• Matsumura, H. (1989). "5 Dimension theory §S3 Graded rings, the Hilbert function and the Samuel function". Коммутативная теория колец. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Перевод Reid, M. (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-71712-1.