Плотность тока

В электромагнетизме плотность тока — это количество заряда в единицу времени, протекающее через единицу площади выбранного поперечного сечения . ^[1] Вектор плотности тока определяется как вектор , величина которого равна силе электрического тока на единицу площади поперечного сечения в данной точке пространства, а его направление совпадает с направлением движения положительных зарядов в этой точке. В основных единицах СИ плотность электрического тока измеряется в амперах на квадратный метр . ^[2]

Определение

Предположим, что $A$ (единица СИ: м2 ) — это малая поверхность с центром в заданной точке $M$ $и$ ортогональная движению зарядов в точке $M.$ Если ^I $A$ (единица СИ: A ) — это электрический ток, текущий через $точку A$ , то плотность электрического тока $j$ в точке $M$ определяется пределом : [ ^3]

$j=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{A}}{A}}=\left.{\frac {\partial I}{\partial A}}\right|_{A=0},$

причем поверхность $А$ остается центрированной в точке $М$ и ортогональной движению зарядов во время предельного процесса.

Вектор плотности тока $j$ — это вектор, величина которого равна плотности электрического тока, а направление совпадает с направлением движения положительных зарядов в точке $М.$

В заданный момент времени $t$ , если $v$ — скорость зарядов в точке $M$ , а $dA$ — бесконечно малая поверхность с центром в точке $M$ , ортогональная $v$ , то в течение некоторого времени $dt$ через dA будет протекать только заряд, содержащийся в объеме, образованном $dA$ . Этот заряд равен где $ρ$ — плотность заряда в точке $M.$ $Электрический$ ток равен , из этого следует, что вектор плотности тока — это вектор, нормальный (т.е. параллельный $v$ ), и его величина $v\,dt$ $dq=\rho \,v\,dt\,dA,$ $dI=dq/dt=\rho vdA$ $dA$ $dI/dA=\rho v$

$\mathbf {j} =\rho \mathbf {v} .$

Поверхностный интеграл j по поверхности $S$ , за которым следует интеграл по времени $от t$ $1$ до $t$ $2$ , дает общее количество заряда, протекающего через поверхность за это время ( $t$ $2$ $-$ $t$ $1$ $)$ :

$q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.$

Более кратко , это интеграл потока j через $S$ между $t$ $1$ $и$ $t$ $2$ .

Площадь , необходимая для расчета потока, является действительной или мнимой, плоской или изогнутой, либо как площадь поперечного сечения, либо как поверхность. Например, для носителей заряда, проходящих через электрический проводник , площадь представляет собой поперечное сечение проводника в рассматриваемом сечении.

Векторная площадь представляет собой комбинацию величины площади, через которую проходят носители заряда, $A$ , и единичного вектора, нормального к площади, соотношение имеет вид $\mathbf {\hat {n}} .$ $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} .$

Дифференциальная векторная площадь аналогично следует из определения, данного выше: $d\mathbf {A} =dA\mathbf {\hat {n}} .$

Если плотность тока $j$ проходит через область под углом $θ$ к нормали области, то $\mathbf {\hat {n}} ,$

$\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta$

где $\cdot$ — скалярное произведение единичных векторов. То есть, компонент плотности тока, проходящий через поверхность (т.е. нормальный к ней), равен $j cos θ$ , тогда как компонент плотности тока, проходящий по касательной к области, равен $j sin θ$ , но фактически нет плотности тока, проходящего через область в тангенциальном направлении. Единственным компонентом плотности тока, проходящим по нормали к области, является косинусный компонент.

Важность

Плотность тока важна при проектировании электрических и электронных систем.

Производительность схемы сильно зависит от проектного уровня тока, а плотность тока определяется размерами проводящих элементов. Например, поскольку интегральные схемы уменьшаются в размерах, несмотря на меньший ток, требуемый меньшими устройствами , существует тенденция к более высоким плотностям тока для достижения большего количества устройств на все меньших площадях чипа . См. закон Мура .

На высоких частотах проводящая область в проводе становится ограниченной вблизи его поверхности, что увеличивает плотность тока в этой области. Это известно как скин-эффект .

Высокие плотности тока имеют нежелательные последствия. Большинство электрических проводников имеют конечное положительное сопротивление , заставляя их рассеивать мощность в виде тепла. Плотность тока должна поддерживаться достаточно низкой, чтобы предотвратить плавление или возгорание проводника, разрушение изоляционного материала или изменение желаемых электрических свойств. При высоких плотностях тока материал, образующий межсоединения, фактически перемещается, явление, называемое электромиграцией . В сверхпроводниках чрезмерная плотность тока может генерировать достаточно сильное магнитное поле, чтобы вызвать спонтанную потерю сверхпроводящего свойства.

Анализ и наблюдение плотности тока также используются для исследования физики, лежащей в основе природы твердых тел, включая не только металлы, но также полупроводники и изоляторы. Разработан сложный теоретический формализм для объяснения многих фундаментальных наблюдений. ^[4]^[5]

Плотность тока является важным параметром в законе Ампера (одном из уравнений Максвелла ), который связывает плотность тока с магнитным полем .

В специальной теории относительности заряд и ток объединены в 4-вектор .

Расчет плотности тока в веществе

Свободные течения

Свободно перемещающиеся носители заряда образуют свободную плотность тока , которая задается выражениями, подобными приведенным в этом разделе.

Электрический ток — это грубая, средняя величина, которая говорит о том, что происходит во всем проводе. В точке $r$ в момент времени $t$ распределение текущего заряда описывается плотностью тока: ^[6]

$\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\rho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{\text{d}}(\mathbf {r} ,t)$

где

$j (r, t)$ — вектор плотности тока;
$v d (r, t) — средняя$ скорость дрейфа частиц(единица СИ: м ∙ с ⁻¹ );
$\rho (\mathbf {r} ,t)=q\,n(\mathbf {r} ,t)$ это плотность заряда (единица СИ: кулоны на кубический метр ), где
- $n (r, t)$ — число частиц в единице объема («плотность числа») (единица СИ: м⁻³ );
- $q$ — заряд отдельных частиц с плотностью $n$ (единица СИ: кулон ).

Распространенное приближение плотности тока предполагает, что ток просто пропорционален электрическому полю, как выражается формулой:

$\mathbf {j} =\sigma \mathbf {E}$

где $E$ — электрическое поле , а $σ$ — электропроводность .

Электропроводность $σ$ является величиной , обратной электрическому сопротивлению , и измеряется в системе СИ в сименсах на метр (См·м ⁻¹ ), а $E$ измеряется в системе СИ в ньютонах на кулон (Н·Кл ⁻¹ ) или, что эквивалентно, в вольтах на метр (В·м ⁻¹ ).

Более фундаментальный подход к расчету плотности тока основан на: $\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\left[\int _{V}\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')\;{\text{d}}^{3}\mathbf {r} '\,\right]{\text{d}}t'$

указывая на задержку в ответе по временной зависимости $σ$ и нелокальную природу ответа на поле по пространственной зависимости $σ$ , оба в принципе вычисляются из базового микроскопического анализа, например, в случае достаточно малых полей, линейной функции отклика для проводящего поведения в материале. См., например, Giuliani & Vignale (2005) ^[7] или Rammer (2007). ^[8] Интеграл распространяется на всю прошлую историю вплоть до настоящего времени.

Вышеуказанная проводимость и связанная с ней плотность тока отражают фундаментальные механизмы, лежащие в основе переноса заряда в среде как во времени, так и на расстоянии.

Преобразование Фурье в пространстве и времени приводит к следующему: $\mathbf {j} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega )$

где $σ (k, ω)$ теперь является сложной функцией .

Во многих материалах, например, в кристаллических материалах, проводимость является тензором , и ток не обязательно имеет то же направление, что и приложенное поле. Помимо свойств самого материала, приложение магнитных полей может изменить проводящее поведение.

Токи поляризации и намагничивания

Токи возникают в материалах, когда заряд распределен неравномерно. ^[9]

В диэлектрических материалах существует плотность тока, соответствующая суммарному движению электрических дипольных моментов в единице объема, т.е. поляризации $P$ :

$\mathbf {j} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$

Аналогично с магнитными материалами , циркуляции магнитных дипольных моментов в единице объема, т.е. намагниченность $M$ , приводят к токам намагничивания : ^[10]

$\mathbf {j} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M}$

Вместе эти члены формируют плотность связанного тока в материале (результирующий ток, обусловленный движением электрических и магнитных дипольных моментов в единице объема):

$\mathbf {j} _{\mathrm {b} }=\mathbf {j} _{\mathrm {P} }+\mathbf {j} _{\mathrm {M} }$

Общий ток в материалах

Полный ток — это просто сумма свободного и связанного токов: $\mathbf {j} =\mathbf {j} _{\mathrm {f} }+\mathbf {j} _{\mathrm {b} }$

Ток смещения

Существует также ток смещения, соответствующий изменяющемуся во времени электрическому полю смещения $D$ : ^[11]^[12]

$\mathbf {j} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

что является важным членом закона Ампера , одного из уравнений Максвелла, поскольку отсутствие этого члена не позволило бы предсказать распространение электромагнитных волн или временную эволюцию электрических полей в целом.

Уравнение непрерывности

Поскольку заряд сохраняется, плотность тока должна удовлетворять уравнению непрерывности . Вот вывод из первых принципов. ^[9]

Чистый поток из некоторого объема $V$ (который может иметь произвольную форму, но фиксированную для расчета) должен быть равен чистому изменению заряда, удерживаемого внутри объема:

$\int _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=-{\frac {d}{dt}}\int _{V}{\rho \;dV}=-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;dV}$

где $ρ$ — плотность заряда , а $d A$ — элемент поверхности S $,$ охватывающий объем $V.$ Поверхностный интеграл слева выражает отток тока из объема, а отрицательный по знаку объемный интеграл справа выражает уменьшение полного заряда внутри объема. Из теоремы о расходимости :

$\oint _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=\int _{V}{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}$

Следовательно:

$\int _{V}{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}\ =-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;dV}$

Это соотношение справедливо для любого объема, независимо от размера или местоположения, что подразумевает, что:

$\nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

и это соотношение называется уравнением непрерывности . ^[13]^[14]

На практике

В электропроводке максимальная плотность тока (для заданного температурного диапазона ) может варьироваться от 4 А⋅мм ⁻² для провода без циркуляции воздуха вокруг него до более 6 А⋅мм ⁻² для провода на открытом воздухе. Правила для электропроводки зданий перечисляют максимально допустимый ток каждого размера кабеля в различных условиях. Для компактных конструкций, таких как обмотки трансформаторов SMPS , значение может быть всего 2 А⋅мм ⁻² . ^[15] Если провод несет высокочастотные переменные токи , скин-эффект может повлиять на распределение тока по сечению, концентрируя ток на поверхности проводника . В трансформаторах , рассчитанных на высокие частоты, потери уменьшаются, если для обмоток используется литцендрат . Он сделан из нескольких изолированных проводов, соединенных параллельно, с диаметром, вдвое превышающим глубину скин-слоя . Изолированные жилы скручены вместе, чтобы увеличить общую площадь скин-слоя и уменьшить сопротивление из-за скин-эффекта.

Для верхнего и нижнего слоев печатных плат максимальная плотность тока может достигать 35 А⋅мм ⁻² при толщине меди 35 мкм. Внутренние слои не могут рассеивать столько тепла, сколько внешние слои; проектировщики печатных плат избегают размещения высокоточных дорожек на внутренних слоях.

В области полупроводников максимальные плотности тока для различных элементов указываются производителем. Превышение этих пределов приводит к следующим проблемам:

Эффект Джоуля , который увеличивает температуру компонента.
Эффект электромиграции , который разрушает взаимосвязь и в конечном итоге приводит к разрыву цепи.
Эффект медленной диффузии , который при постоянном воздействии высоких температур перемещает металлические ионы и легирующие примеси из тех мест, где им следует находиться. Этот эффект также является синонимом старения.

Следующая таблица дает представление о максимальной плотности тока для различных материалов.

Даже если производители добавляют некоторый запас к своим числам, рекомендуется, по крайней мере, удвоить расчетное сечение для повышения надежности, особенно для высококачественной электроники. Можно также заметить важность поддержания электронных устройств в прохладном состоянии, чтобы не подвергать их электромиграции и медленной диффузии .

В биологических организмах ионные каналы регулируют поток ионов (например, натрия , кальция , калия ) через мембрану во всех клетках . Предполагается , что мембрана клетки действует как конденсатор. ^[17] Плотности тока обычно выражаются в пА⋅пФ ⁻¹ ( пикоампер на пикофарад ) (т. е. ток, деленный на емкость ). Существуют методы эмпирического измерения емкости и площади поверхности клеток , что позволяет рассчитывать плотности тока для разных клеток. Это позволяет исследователям сравнивать ионные токи в клетках разных размеров. ^[18]

В газоразрядных лампах , таких как импульсные лампы , плотность тока играет важную роль в производимом выходном спектре . Низкие плотности тока производят спектральную линейчатую эмиссию и, как правило, благоприятствуют более длинным волнам . Высокие плотности тока производят непрерывную эмиссию и, как правило, благоприятствуют более коротким волнам. ^[19] Низкие плотности тока для импульсных ламп обычно составляют около 10 А⋅мм ⁻² . Высокие плотности тока могут превышать 40 А⋅мм ⁻² .

Смотрите также

Ссылки

^ Уокер, Джерл; Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт (2014). Основы физики (10-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. стр. 749. ISBN 9781118230732. OCLC 950235056.
^ Лернер, РГ; Тригг, ГЛ (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC. ISBN 0895737523.
^ Уилан, П.М.; Ходжесон, М.Дж. (1978). Essential Principles of Physics (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN 0719533821.
^ Ричард П. Мартин (2004). Электронная структура: Базовая теория и практические методы. Cambridge University Press. ISBN 0521782856.
^ Альтланд, Александр; Саймонс, Бен (2006). Теория поля конденсированного состояния. Cambridge University Press. ISBN 9780521845083.
^ Воан, Г. (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521575072.
^ Джулиани, Габриэле; Виньяле, Джованни (2005). Квантовая теория электронной жидкости. Cambridge University Press. стр. 111. ISBN 0521821126. Теория линейного отклика емкости ИЛИ проводимости.
^ Раммер, Йорген (2007). Квантовая теория поля неравновесных состояний. Cambridge University Press. стр. 158. ISBN 9780521874991.
^ ab Grant, IS; Phillips, WR (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 9780471927129.
^ Herczynski, Andrzej (2013). "Связанные заряды и токи" (PDF) . American Journal of Physics . 81 (3). Американская ассоциация учителей физики: 202–205. Bibcode :2013AmJPh..81..202H. doi :10.1119/1.4773441. Архивировано из оригинала (PDF) 20-09-2020 . Получено 23-04-2017 .
^ Гриффитс, DJ (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education. ISBN 978-8177582932.
^ Типлер, П.А.; Моска, Г. (2008). Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е изд.). WH Freeman. ISBN 978-0716789642.
^ Тай Л. Чоу (2006). Введение в электромагнитную теорию: современная перспектива. Джонс и Бартлетт. С. 130–131. ISBN 0-7637-3827-1.
^ Гриффитс, DJ (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson/Addison-Wesley. стр. 213. ISBN 0-13-805326-X.
^ А. Прессман и др. (2009). Проектирование импульсных источников питания (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 320. ISBN 978-0-07-148272-1.
^ Murali, Raghunath; Yang, Yinxiao; Brenner, Kevin; Beck, Thomas; Meindl, James D. (2009). "Плотность тока пробоя графеновых нанолент". Applied Physics Letters . 94 (24): 243114. arXiv : 0906.4156 . Bibcode : 2009ApPhL..94x3114M. doi : 10.1063/1.3147183. ISSN 0003-6951. S2CID 55785299.
^ Fall, CP; Marland, ES; Wagner, JM; Tyson, JJ, ред. (2002). Computational Cell Biology. Нью-Йорк: Springer. стр. 28. ISBN 9780387224596.
^ Weir, EK; Hume, JR; Reeves, JT, ред. (1993). "Электрофизиология гладкомышечных клеток и методы изучения ионных каналов". Ионный поток в регуляции легочных сосудов . Нью-Йорк: Springer Science. стр. 29. ISBN 9780387224596.
^ "Фотокатоды ксеноновых ламп" (PDF) .