поток Риччи

Уравнение с частными производными

Несколько стадий потока Риччи на двумерном многообразии.

В математических областях дифференциальной геометрии и геометрического анализа поток Риччи ( / ˈ r iː tʃ i / REE -chee , итал. [ˈrittʃi] ), иногда также называемый потоком Риччи Гамильтона , представляет собой определенное уравнение в частных производных для римановой метрики . Его часто называют аналогом диффузии тепла и уравнения теплопроводности из-за формального сходства в математической структуре уравнения. Однако он нелинеен и демонстрирует множество явлений, не присутствующих при изучении уравнения теплопроводности.

Поток Риччи, названный так из-за присутствия тензора Риччи в его определении, был введен Ричардом Гамильтоном , который использовал его в 1980-х годах для доказательства поразительных новых результатов в римановой геометрии . Более поздние расширения методов Гамильтона различными авторами привели к новым приложениям в геометрии, включая разрешение гипотезы о дифференцируемой сфере Саймоном Брендлом и Ричардом Шоеном .

Следуя возможности того, что сингулярности решений потока Риччи могут идентифицировать топологические данные, предсказанные гипотезой геометризации Уильяма Терстона , Гамильтон в 1990-х годах получил ряд результатов, направленных на разрешение этой гипотезы. В 2002 и 2003 годах Григорий Перельман представил ряд фундаментальных новых результатов о потоке Риччи, включая новый вариант некоторых технических аспектов программы Гамильтона. Работа Перельмана в настоящее время широко рассматривается как формирование доказательства гипотезы Терстона и гипотезы Пуанкаре , рассматриваемой как частный случай первой. Следует подчеркнуть, что гипотеза Пуанкаре была хорошо известной открытой проблемой в области геометрической топологии с 1904 года. Эти результаты Гамильтона и Перельмана считаются важной вехой в областях геометрии и топологии.

Математическое определение

На гладком многообразии M гладкая риманова метрика g автоматически определяет тензор Риччи Ric ^g . Для каждого элемента p из M по определению g _p является положительно определенным скалярным произведением на касательном пространстве T _p M в точке p . Если задано однопараметрическое семейство римановых метрик g _t , то можно рассмотреть производную ⁠∂/∂ т⁠ g _t , который затем присваивает каждому конкретному значению t и p симметричную билинейную форму на T _p M . Поскольку тензор Риччи римановой метрики также присваивает каждому p симметричную билинейную форму на T _p M , следующее определение имеет смысл.

• При наличии гладкого многообразия M и открытого действительного интервала ( a , b ) поток Риччи назначает каждому t в интервале ( a , b ) риманову метрику g _t на M такую, что ⁠∂/∂ т⁠ g _t = −2 Ric ^{g _t} .

Тензор Риччи часто рассматривается как среднее значение секционных кривизн или как алгебраический след тензора кривизны Римана . Однако для анализа существования и единственности потоков Риччи чрезвычайно важно, что тензор Риччи может быть определен в локальных координатах формулой, включающей первую и вторую производные метрического тензора. Это превращает поток Риччи в геометрически определенное уравнение в частных производных . Анализ эллиптичности формулы локальных координат дает основу для существования потоков Риччи; соответствующий результат см. в следующем разделе.

Пусть k — ненулевое число. Для заданного потока Риччи g _t на интервале ( a , b ) рассмотрим G _t = g _kt для t между ⁠а/к⁠ и ⁠б/к⁠ . Тогда ⁠∂/∂ т⁠ G _t = −2 k Ric ^{G _t} . Таким образом, с этим очень тривиальным изменением параметров число −2, появляющееся в определении потока Риччи, может быть заменено любым другим ненулевым числом. По этой причине использование −2 можно рассматривать как произвольное соглашение, хотя ему, по сути, следуют все статьи и изложения о потоке Риччи. Единственное существенное отличие состоит в том, что если бы −2 было заменено положительным числом, то теорема существования, обсуждаемая в следующем разделе, стала бы теоремой, которая создает поток Риччи, который движется назад (а не вперед) по значениям параметров от начальных данных.

Параметр t обычно называют временем , хотя это только часть стандартной неформальной терминологии в математической области уравнений с частными производными. Это не физически значимый термин. Фактически, в стандартной квантово-полевой интерпретации потока Риччи в терминах группы перенормировки параметр t соответствует длине или энергии, а не времени. ^[1]

Нормализованный поток Риччи

Предположим, что M — компактное гладкое многообразие, и пусть g _t — поток Риччи для t в интервале ( a , b ) . Определим Ψ: ( a , b )  →  (0, ∞) так, чтобы каждая из римановых метрик Ψ( t ) g _t имела объем 1; это возможно, поскольку M компактно. (В более общем случае это было бы возможно, если бы каждая риманова метрика g _t имела конечный объем.) Затем определим F : ( a , b )  →  (0, ∞) как первообразную Ψ, которая обращается в нуль в a . Поскольку Ψ имеет положительное значение, F является биекцией на свой образ (0, S ) . Теперь римановы метрики G _s   = Ψ( F ⁻¹ ( s )) g _{F ⁻¹ ( s )} , определенные для параметров s  ∈ (0, S ) , удовлетворяют Здесь R обозначает скалярную кривизну . Это называется нормализованным уравнением потока Риччи . Таким образом, с явно определенным изменением масштаба Ψ и репараметризацией значений параметров поток Риччи можно преобразовать в нормализованный поток Риччи. Обратное также верно, если обратить приведенные выше вычисления. $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}G_{s}=-2\operatorname {Ric} ^{G_{s}}+{\frac {2}{n}}{\frac {\int _{M}R^{G_{s}}\,d\mu _{G_{s}}}{\int _{M}d\mu _{G_{s}}}}G_{s}.}$$

Основная причина рассмотрения нормализованного потока Риччи заключается в том, что он позволяет удобно сформулировать основные теоремы сходимости для потока Риччи. Однако это не обязательно, и практически для всех целей достаточно рассмотреть поток Риччи в его стандартной форме. Более того, нормализованный поток Риччи, как правило, не имеет смысла на некомпактных многообразиях.

Существование и уникальность

Пусть будет гладким замкнутым многообразием, и пусть будет любой гладкой римановой метрикой на . Используя теорему Нэша–Мозера о неявной функции , Гамильтон (1982) доказал следующую теорему существования: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle M}$

• Существует положительное число и поток Риччи, параметризованный таким образом, что сходится к в топологии при уменьшении до 0. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle t\in (0,T)}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle t}$

Он доказал следующую теорему единственности:

• Если и являются двумя потоками Риччи, как в приведенной выше теореме существования, то для всех ${\displaystyle \{g_{t}:t\in (0,T)\}}$ ${\displaystyle \{{\widetilde {g}}_{t}:t\in (0,{\widetilde {T}})\}}$ ${\displaystyle g_{t}={\widetilde {g}}_{t}}$ ${\displaystyle t\in (0,\min\{T,{\widetilde {T}}\}).}$

Теорема существования обеспечивает однопараметрическое семейство гладких римановых метрик. Фактически, любое такое однопараметрическое семейство также гладко зависит от параметра. А именно, это говорит о том, что относительно любой гладкой координатной карты на функция является гладкой для любого . ${\displaystyle (U,\phi )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{ij}:U\times (0,T)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$

Деннис ДеТурк впоследствии дал доказательство приведенных выше результатов, которое вместо этого использует теорему Банаха о неявной функции. ^[2] Его работа по сути является более простой римановой версией известного доказательства и интерпретации корректности уравнений Эйнштейна в лоренцевой геометрии Ивонны Шоке-Брюа .

Вследствие теоремы Гамильтона о существовании и единственности, когда даны данные , можно однозначно говорить о потоке Риччи на с начальными данными , и можно выбрать принятие его максимально возможного значения, которое может быть бесконечным. Принцип, лежащий в основе практически всех основных приложений потока Риччи, в частности, в доказательстве гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации, заключается в том, что по мере приближения к этому максимальному значению поведение метрик может раскрывать и отражать глубокую информацию о . ${\displaystyle (M,g_{0})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle M}$

Теоремы сходимости

Полные изложения следующих теорем сходимости приведены в работах Эндрюса и Хоппера (2011) и Брендла (2010).

Пусть ( M , g ₀ ) — гладкое замкнутое риманово многообразие. При любом из следующих трех условий:

• М двумерен
• M трехмерен и g ₀ имеет положительную кривизну Риччи
• M имеет размерность больше трех, а метрика произведения на ( M , g0 ) × ℝ имеет положительную изотропную кривизну _.

нормализованный поток Риччи с начальными данными g ₀ существует для всех положительных времен и плавно сходится, когда t стремится к бесконечности, к метрике постоянной кривизны.

Трехмерный результат принадлежит Гамильтону (1982). Доказательство Гамильтона, вдохновленное и в общих чертах смоделированное по эпохальной статье Джеймса Иллса и Джозефа Сэмпсона 1964 года о сходимости гармонического отображения теплового потока , ^[3] включало много новых особенностей, таких как расширение принципа максимума на случай симметричных 2-тензоров. Его статья (вместе с работой Иллса-Сэмпсона) является одной из наиболее широко цитируемых в области дифференциальной геометрии. Изложение его результата есть в Chow, Lu & Ni (2006, Глава 3).

С точки зрения доказательства, двумерный случай правильно рассматривать как набор из трех различных результатов, по одному для каждого из случаев, в которых эйлерова характеристика M положительна, равна нулю или отрицательна. Как показал Гамильтон (1988), отрицательный случай обрабатывается принципом максимума, в то время как нулевой случай обрабатывается интегральными оценками; положительный случай более тонкий, и Гамильтон имел дело с подслучаем, в котором g 0 _имеет положительную кривизну, комбинируя простую адаптацию оценки градиента Питера Ли и Шинг-Тунг Яу к потоку Риччи вместе с инновационной «оценкой энтропии». Полный положительный случай был продемонстрирован Беннеттом Чоу (1991) в расширении методов Гамильтона. Поскольку любой поток Риччи на двумерном многообразии ограничен одним конформным классом , его можно переформулировать как уравнение в частных производных для скалярной функции на фиксированном римановом многообразии ( M , g ₀ ) . Таким образом, поток Риччи в этой постановке также может быть изучен чисто аналитическими методами; соответственно, существуют альтернативные негеометрические доказательства теоремы о двумерной сходимости.

Многомерный случай имеет более долгую историю. Вскоре после прорывного результата Гамильтона Герхард Хейскен распространил свои методы на более высокие измерения, показав, что если g ₀ почти имеет постоянную положительную кривизну (в смысле малости определенных компонентов разложения Риччи ), то нормализованный поток Риччи гладко сходится к постоянной кривизне. Гамильтон (1986) нашел новую формулировку принципа максимума в терминах захвата выпуклыми множествами, что привело к общему критерию, связывающему сходимость потока Риччи положительно искривленных метрик с существованием «защемляющих множеств» для определенного многомерного обыкновенного дифференциального уравнения . Как следствие, он смог разрешить случай, в котором M является четырехмерным, а g ₀ имеет оператор положительной кривизны. Двадцать лет спустя Кристоф Бем и Буркхард Вилкинг нашли новый алгебраический метод построения «защемляющих множеств», тем самым устранив предположение о четырехмерности из результата Гамильтона (Бем и Вилкинг 2008). Саймон Брендл и Ричард Шён показали, что положительность изотропной кривизны сохраняется потоком Риччи на замкнутом многообразии; применив метод Бёма и Вилкинга, они смогли вывести новую теорему о сходимости потока Риччи (Brendle & Schoen 2009). Их теорема о сходимости включала в себя как частный случай разрешение теоремы о дифференцируемой сфере , которая в то время была давней гипотезой. Теорема о сходимости, приведенная выше, принадлежит Брендлу (2008), который включает в себя более ранние результаты о сходимости более высоких размерностей, полученные Хейскеном, Гамильтоном, Бёмом и Вилкингом, а также Брендлом и Шёном.

Следствия

Результаты в размерностях три и выше показывают, что любое гладкое замкнутое многообразие M , допускающее метрику g ₀ данного типа, должно быть пространственной формой положительной кривизны. Поскольку эти пространственные формы в значительной степени поняты работами Эли Картана и других, можно вывести следствия, такие как

• Предположим, что M — гладкое замкнутое 3-мерное многообразие, допускающее гладкую риманову метрику положительной кривизны Риччи. Если M односвязно, то оно должно быть диффеоморфно 3-сфере.

Итак, если бы можно было показать напрямую, что любое гладкое замкнутое односвязное 3-мерное многообразие допускает гладкую риманову метрику положительной кривизны Риччи , то гипотеза Пуанкаре последовала бы немедленно. Однако, как сейчас понимают, этот результат известен только как (тривиальное) следствие гипотезы Пуанкаре, а не наоборот.

Возможные расширения

При любом n большем, чем два, существует много замкнутых n -мерных гладких многообразий, которые не имеют никаких гладких римановых метрик постоянной кривизны. Поэтому нельзя надеяться, что удастся просто отбросить условия кривизны из приведенных выше теорем сходимости. Можно было бы заменить условия кривизны некоторыми альтернативами, но существование компактных многообразий, таких как комплексное проективное пространство , которое имеет метрику оператора неотрицательной кривизны ( метрику Фубини-Штуди ), но не имеет метрики постоянной кривизны, делает неясным, насколько эти условия могут быть продвинуты. Аналогично, возможность формулирования аналогичных результатов сходимости для отрицательно искривленных римановых метрик осложняется существованием замкнутых римановых многообразий, кривизна которых произвольно близка к постоянной, и при этом не допускает метрик постоянной кривизны. ^[4]

Неравенства Ли–Яу

Используя технику, впервые разработанную Питером Ли и Шинг-Тунгом Яу для параболических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях, Гамильтон (1993a) доказал следующее «неравенство Ли–Яу» ^{[5] .}

• Пусть будет гладким многообразием, и пусть будет решением потока Риччи с таким, что каждое является полным с ограниченной кривизной. Кроме того, предположим, что каждое имеет неотрицательный оператор кривизны. Тогда для любой кривой с , имеем ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle t\in (0,T)}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle \gamma :[t_{1},t_{2}]\to M}$ ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}R^{g(t)}(\gamma (t)){\big )}+{\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))}{t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ric} ^{g(t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))\geq 0.}$$

Перельман (2002) показал следующее альтернативное неравенство Ли–Яу.

• Пусть будет гладким замкнутым -многообразием, и пусть будет решением потока Риччи. Рассмотрим обратное уравнение теплопроводности для -форм, т.е. ; задано и , рассмотрим частное решение, которое при интегрировании слабо сходится к дельта-мере Дирака при увеличении до . Тогда для любой кривой с , имеем , где . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\omega +\Delta ^{g(t)}\omega =0}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle t_{0}\in (0,T)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \gamma :[t_{1},t_{2}]\to M}$ ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}f(\gamma (t),t){\big )}+{\frac {f{\big (}\gamma (t),t{\big )}}{2(t_{0}-t)}}\leq {\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))+|\gamma '(t)|_{g(t)}^{2}}{2}}.}$$ ${\displaystyle \omega =(4\pi (t_{0}-t))^{-n/2}e^{-f}{\text{d}}\mu _{g(t)}}$

Оба эти замечательных неравенства имеют огромное значение для доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации. Члены в правой части неравенства Ли–Яу Перельмана мотивируют определение его функционала «приведенной длины», анализ которого приводит к его «теореме о неколлапсе». Теорема о неколлапсе позволяет применять теорему Гамильтона о компактности (Гамильтон, 1995) для построения «моделей сингулярности», которые являются потоками Риччи на новых трехмерных многообразиях. Благодаря оценке Гамильтона–Айви эти новые потоки Риччи имеют неотрицательную кривизну. Затем можно применить неравенство Ли–Яу Гамильтона, чтобы увидеть, что скалярная кривизна является в каждой точке неубывающей (неотрицательной) функцией времени. Это мощный результат, который позволяет провести множество дальнейших аргументов. В конце Перельман показывает, что любая из его моделей сингулярностей асимптотически подобна полному градиентно сжимающемуся солитону Риччи, которые полностью классифицированы; см. предыдущий раздел.

Подробную информацию о неравенстве Гамильтона Ли–Яу см. в книгах Чоу, Лу и Ни (2006, главы 10 и 11); изложения обоих неравенств, приведенных выше, содержатся в книгах Чоу и др. (2008) и Мюллера (2006).

Примеры

Метрики постоянной кривизны и Эйнштейна

Пусть будет римановым многообразием, которое является эйнштейновым , что означает, что существует число такое, что . Тогда есть поток Риччи с , так как тогда ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\text{Ric}}^{g}=\lambda g}$ ${\displaystyle g_{t}=(1-2\lambda t)g}$ ${\displaystyle g_{0}=g}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g_{t}=-2\lambda g=-2\operatorname {Ric} ^{g}=-2\operatorname {Ric} ^{g_{t}}.}$

Если замкнуто, то согласно теореме Гамильтона о единственности выше, это единственный поток Риччи с начальными данными . Видно, в частности, что: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$

• если положительно, то поток Риччи "сжимается" , поскольку масштабный фактор меньше 1 для положительного ; кроме того, можно увидеть, что может быть меньше только , для того, чтобы была риманова метрика. Это простейшие примеры "конечной временной сингулярности". ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1-2\lambda t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1/2\lambda }$ ${\displaystyle g_{t}}$
• если равно нулю, что является синонимом Риччи-плоскости, то не зависит от времени, и поэтому максимальный интервал существования — это вся вещественная прямая. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{t}}$
• если отрицательно, то поток Риччи "расширяется" , поскольку масштабный фактор больше 1 для всех положительных ; кроме того, можно увидеть, что можно взять произвольно большим. Говорят, что поток Риччи для этой начальной метрики "бессмертен". ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1-2\lambda t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

В каждом случае, поскольку римановы метрики, присвоенные различным значениям , отличаются только постоянным масштабным множителем, можно видеть, что нормализованный поток Риччи существует для всего времени и постоянен в ; в частности, он плавно сходится (к своему постоянному значению) при . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\to \infty }$

Условие Эйнштейна имеет в качестве частного случая условие постоянной кривизны; поэтому конкретные примеры сферы (с ее стандартной метрикой) и гиперболического пространства представляются как частные случаи вышеизложенного.

солитоны Риччи

Солитоны Риччи — это потоки Риччи, которые могут изменять свой размер, но не форму с точностью до диффеоморфизмов.

• Цилиндры S ^k × R ^l (для k ≥ 2) сжимаются аналогично под действием потока Риччи с точностью до диффеоморфизмов
• Значимым двумерным примером является сигарный солитон , который задается метрикой ( dx ²  +  dy ² )/( e ^{4 t}  +  x ²  +  y ² ) на евклидовой плоскости. Хотя эта метрика сжимается под действием потока Риччи, ее геометрия остается прежней. Такие решения называются устойчивыми солитонами Риччи.
• Примером 3-мерного устойчивого солитона Риччи является солитон Брайанта , который является вращательно-симметричным, имеет положительную кривизну и получается путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Подобная конструкция работает в произвольной размерности.
• Существуют многочисленные семейства кэлеровых многообразий, инвариантных относительно действия U ( n ) и бирациональных по отношению к C ⁿ , которые являются солитонами Риччи. Эти примеры были построены Као и Фельдманом-Ильманеном-Кнопфом. (Chow-Knopf 2004)
• Недавно Бамлер-Чифарелли-Конлон-Дерюэль обнаружил 4-мерный пример, демонстрирующий только симметрию тора.

Градиентно сжимающийся солитон Риччи состоит из гладкого риманова многообразия ( M , g ) и f  ∈  C ^∞ ( M ), таких что

${\displaystyle \operatorname {Ric} ^{g}+\operatorname {Hess} ^{g}f={\frac {1}{2}}g.}$

Одним из главных достижений Перельмана (2002) было показать, что если M — замкнутое трехмерное гладкое многообразие, то конечные временные сингулярности потока Риччи на M моделируются на полных градиентно сжимающихся солитонах Риччи (возможно, на базовых многообразиях, отличных от M ). В 2008 году Хуай-Донг Цао , Бин-Лонг Чен и Си-Пин Чжу завершили классификацию этих солитонов, показав:

• Предположим, что ( M , g , f ) — это полный градиентно сжимающийся солитон Риччи с dim( M ) = 3. Если M односвязно, то риманово многообразие ( M , g ) изометрично , , или , каждому со своими стандартными римановыми метриками. Это было первоначально показано Перельманом (2003a) с некоторыми дополнительными условными предположениями. Обратите внимание, что если M не односвязно, то можно рассмотреть универсальное покрытие , и тогда приведенная выше теорема применима к ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi :M'\to M,}$ ${\displaystyle (M',\pi ^{\ast }g,f\circ \pi ).}$

Пока еще нет точного понимания градиентного сжатия солитонов Риччи в более высоких измерениях.

Связь с униформизацией и геометризацией

Первая работа Гамильтона о потоке Риччи была опубликована в то же время, что и гипотеза геометризации Уильяма Терстона , которая касается топологической классификации трехмерных гладких многообразий. ^[6] Идея Гамильтона состояла в том, чтобы определить своего рода нелинейное уравнение диффузии , которое имело бы тенденцию сглаживать неровности в метрике. Подходящие канонические формы уже были определены Терстоном; возможности, называемые модельными геометриями Терстона , включают трехмерную сферу S ³ , трехмерное евклидово пространство E ³ , трехмерное гиперболическое пространство H ³ , которые являются однородными и изотропными , и пять немного более экзотических римановых многообразий, которые являются однородными, но не изотропными. (Этот список тесно связан, но не идентичен, классификации Бианки трехмерных вещественных алгебр Ли на девять классов.)

Гамильтону удалось доказать, что любое гладкое замкнутое трехмерное многообразие, допускающее метрику положительной кривизны Риччи, также допускает уникальную геометрию Терстона, а именно сферическую метрику, которая действительно действует как притягивающая неподвижная точка под потоком Риччи, перенормированным для сохранения объема. (Под ненормализованным потоком Риччи многообразие коллапсирует в точку за конечное время.) Однако это не доказывает полную гипотезу геометризации из-за ограничительного предположения о кривизне.

Действительно, триумфом геометрии девятнадцатого века стало доказательство теоремы об униформизации , аналогичной топологической классификации гладких двумерных многообразий, где Гамильтон показал, что поток Риччи действительно эволюционирует отрицательно искривленное двумерное многообразие в двумерный многодырчатый тор, который локально изометричен гиперболической плоскости. Эта тема тесно связана с важными темами в анализе, теории чисел, динамических системах, математической физике и даже космологии.

Обратите внимание, что термин «униформизация» предполагает своего рода сглаживание неровностей в геометрии, в то время как термин «геометризация» предполагает размещение геометрии на гладком многообразии. Геометрия здесь используется в точной манере, родственной понятию геометрии Клейна (см. гипотезу геометризации для получения дополнительных сведений). В частности, результатом геометризации может быть геометрия, которая не является изотропной . В большинстве случаев, включая случаи постоянной кривизны, геометрия уникальна. Важной темой в этой области является взаимодействие между действительными и комплексными формулировками. В частности, многие обсуждения униформизации говорят о сложных кривых, а не о действительных двумерных многообразиях.

Сингулярности

Гамильтон показал, что компактное риманово многообразие всегда допускает решение потока Риччи за короткое время. Позднее Ши обобщил результат существования за короткое время на полные многообразия ограниченной кривизны. ^[7] В общем случае, однако, из-за сильно нелинейной природы уравнения потока Риччи, сингулярности образуются за конечное время. Эти сингулярности являются сингулярностями кривизны, что означает, что по мере приближения к сингулярному времени норма тензора кривизны взрывается до бесконечности в области сингулярности. Фундаментальной проблемой в потоке Риччи является понимание всех возможных геометрий сингулярностей. В случае успеха это может привести к пониманию топологии многообразий. Например, анализ геометрии сингулярных областей, которые могут развиваться в трехмерном потоке Риччи, является важнейшим ингредиентом в доказательстве Перельмана гипотез Пуанкаре и геометризации. ${\displaystyle |\operatorname {Rm} |}$

Пределы раздутия сингулярностей

Для изучения образования сингулярностей полезно, как и при изучении других нелинейных дифференциальных уравнений, рассмотреть пределы раздутия. Интуитивно говоря, мы приближаемся к сингулярной области потока Риччи, изменяя масштаб времени и пространства. При определенных предположениях увеличенный поток стремится к предельному потоку Риччи , называемому моделью сингулярности . Модели сингулярности являются древними потоками Риччи, т. е. их можно бесконечно расширять в прошлое. Понимание возможных моделей сингулярности в потоке Риччи является активной исследовательской работой. ${\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t)),t\in (-\infty ,0]}$

Ниже мы более подробно рассмотрим процедуру раздутия: Пусть будет потоком Риччи, который развивает сингулярность как . Пусть будет последовательностью точек в пространстве-времени такой, что ${\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T),}$ ${\displaystyle t\rightarrow T}$ ${\displaystyle (p_{i},t_{i})\in M\times [0,T)}$

${\displaystyle K_{i}:=\left|\operatorname {Rm} (g_{t_{i}})\right|(p_{i})\rightarrow \infty }$

как . Затем рассматриваются параболически перемасштабированные метрики ${\displaystyle i\rightarrow \infty }$

${\displaystyle g_{i}(t)=K_{i}g\left(t_{i}+{\frac {t}{K_{i}}}\right),\quad t\in [-K_{i}t_{i},0]}$

Ввиду симметрии уравнения потока Риччи при параболических расширениях метрики также являются решениями уравнения потока Риччи. В случае, если ${\displaystyle g_{i}(t)}$

${\displaystyle |Rm|\leq K_{i}{\text{ on }}M\times [0,t_{i}],}$

т.е. до момента достижения максимума кривизны при , затем последовательность потоков Риччи последовательно гладко сходится к предельному древнему потоку Риччи . Заметим, что в общем случае не диффеоморфен . ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle (M,g_{i}(t),p_{i})}$ ${\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t),p_{\infty })}$ ${\displaystyle M_{\infty }}$ ${\displaystyle M}$

Сингулярности типа I и типа II

Гамильтон различает сингулярности типа I и типа II в потоке Риччи. В частности, говорят, что поток Риччи , столкнувшись с сингулярностью, имеет тип I, если ${\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sup _{t<T}(T-t)|Rm|<\infty }$.

В противном случае сингулярность относится к типу II. Известно, что пределы раздутия сингулярностей типа I являются градиентно сжимающимися солитонами Риччи . ^[8] В случае типа II остается открытым вопрос, должна ли модель сингулярности быть устойчивым солитоном Риччи — до сих пор все известные примеры таковы.

Сингулярности в трехмерном потоке Риччи

В 3D возможные пределы взрыва сингулярностей потока Риччи хорошо понятны. Согласно работам Гамильтона, Перельмана и Брендла, взрыв в точках максимальной кривизны приводит к одной из следующих трех моделей сингулярности:

• Сжимающаяся круглая сферическая форма пространства ${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$
• Сжимающийся круглый цилиндр ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$
• Солитон Брайанта

Первые две модели сингулярностей возникают из сингулярностей типа I, тогда как последняя возникает из сингулярности типа II.

Сингулярности в 4-мерном потоке Риччи

В четырех измерениях очень мало известно о возможных сингулярностях, кроме того, что возможности гораздо более многочисленны, чем в трех измерениях. На сегодняшний день известны следующие модели сингулярностей

• ${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$
• 4-мерный солитон Брайанта
• Компактное многообразие Эйнштейна положительной скалярной кривизны
• Компактный градиентный солитон сжатия Кэлера–Риччи
• Сжиматель FIK ^[9]
• BCCD-сокращение ^[10]

Обратите внимание, что первые три примера являются обобщениями моделей сингулярности 3D. Сжиматель FIK моделирует коллапс вложенной сферы с числом самопересечения  −1.

Отношение к диффузии

Чтобы увидеть, почему уравнение эволюции, определяющее поток Риччи, действительно является разновидностью нелинейного уравнения диффузии, мы можем рассмотреть частный случай (реальных) двумерных многообразий более подробно. Любой метрический тензор на двумерном многообразии может быть записан относительно экспоненциальной изотермической координатной карты в виде

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\,p(x,y))\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right).}$

(Эти координаты представляют собой пример конформной координатной карты, поскольку правильно отображаются углы, но не расстояния.)

Самый простой способ вычислить тензор Риччи и оператор Лапласа-Бельтрами для нашего риманова двумерного многообразия — использовать метод дифференциальных форм Эли Картана . Возьмем поле кофрейма

${\displaystyle \sigma ^{1}=\exp(p)\,dx,\;\;\sigma ^{2}=\exp(p)\,dy}$

так что метрический тензор становится

${\displaystyle \sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}=\exp(2p)\,\left(dx\otimes dx+dy\otimes dy\right).}$

Далее, учитывая произвольную гладкую функцию , вычисляем внешнюю производную ${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy=\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{2}.}$

Возьмите дуал Ходжа

${\displaystyle \star dh=-\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{2}=-h_{y}\,dx+h_{x}\,dy.}$

Возьмем еще одну внешнюю производную

${\displaystyle d\star dh=-h_{yy}\,dy\wedge dx+h_{xx}\,dx\wedge dy=\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,dx\wedge dy}$

(где мы использовали антикоммутативное свойство внешнего произведения ) . То есть,

${\displaystyle d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

Взяв еще один Ходж дуал дает

${\displaystyle \Delta h=\star d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)}$

что дает искомое выражение для оператора Лапласа/Бельтрами

${\displaystyle \Delta =\exp(-2\,p(x,y))\left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\right).}$

Для вычисления тензора кривизны мы берем внешнюю производную ковекторных полей, составляющих нашу косистему:

${\displaystyle d\sigma ^{1}=p_{y}\exp(p)dy\wedge dx=-\left(p_{y}dx\right)\wedge \sigma ^{2}=-{\omega ^{1}}_{2}\wedge \sigma ^{2}}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=p_{x}\exp(p)dx\wedge dy=-\left(p_{x}dy\right)\wedge \sigma ^{1}=-{\omega ^{2}}_{1}\wedge \sigma ^{1}.}$

Из этих выражений мы можем вывести единственную независимую спиновую связь одной формы

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy,}$

где мы воспользовались антисимметричным свойством связи ( ). Возьмем еще одну внешнюю производную ${\displaystyle {\omega ^{2}}_{1}=-{\omega ^{1}}_{2}}$

${\displaystyle d{\omega ^{1}}_{2}=p_{yy}dy\wedge dx-p_{xx}dx\wedge dy=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,dx\wedge dy.}$

Это дает кривизну двух форм

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}=-\exp(-2p)\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}}$

из которого мы можем вывести единственный линейно независимый компонент тензора Римана, используя

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}={R^{1}}_{212}\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

А именно

${\displaystyle {R^{1}}_{212}=-\Delta p}$

из которого единственными ненулевыми компонентами тензора Риччи являются

${\displaystyle R_{22}=R_{11}=-\Delta p.}$

Отсюда находим компоненты относительно координатного кобазиса , а именно

${\displaystyle R_{xx}=R_{yy}=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right).}$

Но метрический тензор также диагонален, причем

${\displaystyle g_{xx}=g_{yy}=\exp(2p)}$

и после некоторых элементарных преобразований получаем элегантное выражение для потока Риччи:

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=\Delta p.}$

Это явно аналогично самому известному из всех уравнений диффузии — уравнению теплопроводности.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u}$

где теперь обычный Лапласиан на евклидовой плоскости. Читатель может возразить, что уравнение теплопроводности, конечно, является линейным частным дифференциальным уравнением — где же обещанная нелинейность в pde, определяющем поток Риччи? ${\displaystyle \Delta =D_{x}^{2}+D_{y}^{2}}$

Ответ заключается в том, что нелинейность появляется, поскольку оператор Лапласа-Бельтрами зависит от той же функции p, которую мы использовали для определения метрики. Но обратите внимание, что плоская евклидова плоскость задается взятием . Так что если мало по величине, мы можем считать, что это определяет малые отклонения от геометрии плоской плоскости, и если мы сохраним только члены первого порядка при вычислении экспоненты, поток Риччи на нашем двумерном почти плоском римановом многообразии становится обычным двумерным уравнением теплопроводности. Это вычисление предполагает, что так же, как (согласно уравнению теплопроводности) нерегулярное распределение температуры в горячей пластине имеет тенденцию становиться более однородным с течением времени, так и (согласно потоку Риччи) почти плоское риманово многообразие будет иметь тенденцию к выравниванию таким же образом, как тепло может переноситься «в бесконечность» в бесконечной плоской пластине. Но если наша горячая пластина имеет конечный размер и не имеет границы, по которой может переноситься тепло, мы можем ожидать гомогенизации температуры, но, очевидно, мы не можем ожидать снижения ее до нуля. Точно так же мы ожидаем, что поток Риччи, примененный к искаженной круглой сфере, будет иметь тенденцию со временем округлять геометрию, но не превращать ее в плоскую евклидову геометрию. ${\displaystyle p(x,y)=0}$ ${\displaystyle p}$

Последние события

Поток Риччи интенсивно изучается с 1981 года. Некоторые недавние работы были сосредоточены на вопросе о том, как именно эволюционируют многомерные римановы многообразия под действием потока Риччи, и в частности, какие типы параметрических особенностей могут образовываться. Например, определенный класс решений потока Риччи демонстрирует, что сингулярности с пережимом будут образовываться на эволюционирующем -мерном метрическом римановом многообразии, имеющем определенное топологическое свойство (положительную эйлерову характеристику ), по мере того, как поток приближается к некоторому характерному времени . В определенных случаях такие пережимы будут создавать многообразия, называемые солитонами Риччи . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Для трехмерного многообразия Перельман показал, как можно продолжить путь за пределы сингулярностей, используя хирургию многообразия .

Метрики Кэлера остаются кэлеровыми при потоке Риччи, поэтому поток Риччи также изучался в этой ситуации, где он называется потоком Кэлера–Риччи .

Примечания

1. Фридан, Д. (1980). «Нелинейные модели в 2+ε измерениях». Physical Review Letters (Представленная рукопись). 45 (13): 1057–1060. Bibcode :1980PhRvL..45.1057F. doi :10.1103/PhysRevLett.45.1057.
2. ДеТурк, Деннис М. (1983). «Деформация метрик в направлении их тензоров Риччи». J. Differential Geom . 18 (1): 157–162. doi : 10.4310/jdg/1214509286 .
3. Иллс, Джеймс-младший; Сэмпсон, Дж. Х. (1964). «Гармонические отображения римановых многообразий». Amer. J. Math . 86 (1): 109–160. doi :10.2307/2373037. JSTOR  2373037.
4. Громов, М.; Терстон, В. (1987). "Константы защемления для гиперболических многообразий". Invent. Math . 89 (1): 1–12. Bibcode :1987InMat..89....1G. doi :10.1007/BF01404671. S2CID  119850633.
5. Ли, Питер; Яу, Шинг-Тунг (1986). «О параболическом ядре оператора Шредингера». Acta Math . 156 (3–4): 153–201. doi : 10.1007/BF02399203 . S2CID  120354778.
6. Уикс, Джеффри Р. (1985). Форма пространства: как визуализировать поверхности и трехмерные многообразия . Нью-Йорк: Марсель Деккер. ISBN 978-0-8247-7437-0.. Популярная книга, объясняющая предысторию программы классификации Терстона.
7. Ши, В.-Х. (1989). «Деформация метрики на полных римановых многообразиях». Журнал дифференциальной геометрии . 30 : 223–301. doi : 10.4310/jdg/1214443292 .
8. Эндерс, Дж.; Мюллер, Р.; Топпинг, П. (2011). «О сингулярностях типа I в потоке Риччи». Communications in Analysis and Geometry . 19 (5): 905–922. arXiv : 1005.1624 . doi : 10.4310/CAG.2011.v19.n5.a4. S2CID  968534.
9. Максимо, Д. (2014). «О раздутии особенностей четырехмерного потока Риччи». J. Reine Angew. Math . 2014 (692): 153–171. arXiv : 1204.5967 . doi : 10.1515/crelle-2012-0080. S2CID  17651053.
10. Бамлер, Р.; Чифарелли, К.; Конлон, Р.; Деруэль, А. (2022). «Новый полный двумерный сжимающийся градиентный солитон Кэлера-Риччи». arXiv : 2206.10785 [math.DG].

Ссылки

Статьи для широкой математической аудитории.

• Андерсон, Майкл Т. (2004). «Геометризация 3-многообразий с помощью потока Риччи» (PDF) . Notices Amer. Math. Soc . 51 (2): 184–193. MR  2026939.
• Милнор, Джон (2003). «К гипотезе Пуанкаре и классификации 3-многообразий» (PDF) . Notices Amer. Math. Soc . 50 (10): 1226–1233. MR  2009455.
• Морган, Джон В. (2005). «Недавний прогресс в гипотезе Пуанкаре и классификации 3-многообразий». Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 42 (1): 57–78. doi : 10.1090/S0273-0979-04-01045-6 . MR  2115067.
• Тао, Т. (2008). "Ricci flow" (PDF) . В Gowers, Timothy ; Barrow-Green, June; Leader, Imre (ред.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. стр. 279–281. ISBN 978-0-691-11880-2.

Научные статьи.

• Бём, Кристоф; Вилкинг, Буркхард (2008). «Многообразия с операторами положительной кривизны являются пространственными формами». Ann. of Math. (2) . 167 (3): 1079–1097. arXiv : math/0606187 . doi :10.4007/annals.2008.167.1079. JSTOR  40345372. MR  2415394. S2CID  15521923.
• Брендл, Саймон (2008). «Общий результат сходимости для потока Риччи в высших измерениях». Duke Math. J . 145 (3): 585–601. arXiv : 0706.1218 . doi :10.1215/00127094-2008-059. MR  2462114. S2CID  438716. Zbl  1161.53052.
• Брендл, Саймон ; Шен, Ричард (2009). «Многообразия с 1/4-защемленной кривизной являются пространственными формами». J. Amer. Math. Soc . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Bibcode :2009JAMS...22..287B. doi :10.1090/S0894-0347-08-00613-9. JSTOR  40587231. MR  2449060. S2CID  2901565.
• Цао, Хуай-Дун ; Си-Пин Чжу (июнь 2006 г.). «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации — применение теории Гамильтона-Перельмана потока Риччи» (PDF) . Asian Journal of Mathematics . 10 (2). MR  2488948. Исправление.
  • Исправленная версия: Хуай-Дун Цао; Си-Пин Чжу (2006). «Доказательство Гамильтона-Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации». arXiv : math.DG/0612069 .
• Chow, Bennett (1991). «Поток Риччи на 2-сфере». J. Differential Geom . 33 (2): 325–334. doi : 10.4310/jdg/1214446319 . MR  1094458. Zbl  0734.53033.
• Colding, Tobias H. ; Minicozzi, William P. II (2005). «Оценки времени затухания потока Риччи на некоторых 3-многообразиях и вопрос Перельмана» (PDF) . J. Amer. Math. Soc . 18 (3): 561–569. arXiv : math/0308090 . doi :10.1090/S0894-0347-05-00486-8. JSTOR  20161247. MR  2138137. S2CID  2810043.
• Гамильтон, Ричард С. (1982). «Трехмерные многообразия с положительной кривизной Риччи». Журнал дифференциальной геометрии . 17 (2): 255–306. doi : 10.4310/jdg/1214436922 . MR  0664497. Zbl  0504.53034.
• Гамильтон, Ричард С. (1986). «Четырехмерные многообразия с оператором положительной кривизны». J. Differential Geom . 24 (2): 153–179. doi : 10.4310/jdg/1214440433 . MR  0862046. Zbl  0628.53042.
• Гамильтон, Ричард С. (1988). «Поток Риччи на поверхностях». Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986) . Contemp. Math. Vol. 71. Amer. Math. Soc., Providence, Род-Айленд. стр. 237–262. doi :10.1090/conm/071/954419. MR  0954419.
• Гамильтон, Ричард С. (1993a). «Оценка Гарнака для потока Риччи». J. Differential Geom . 37 (1): 225–243. doi : 10.4310/jdg/1214453430 . MR  1198607. Zbl  0804.53023.
• Гамильтон, Ричард С. (1993b). «Вечные решения потока Риччи». J. Differential Geom . 38 (1): 1–11. doi : 10.4310/jdg/1214454093 . MR  1231700. Zbl  0792.53041.
• Гамильтон, Ричард С. (1995a). «Свойство компактности для решений потока Риччи». Amer. J. Math . 117 (3): 545–572. doi :10.2307/2375080. JSTOR  2375080. MR  1333936.
• Гамильтон, Ричард С. (1995b). «Формирование особенностей в потоке Риччи». Обзоры по дифференциальной геометрии, т. II (Кембридж, Массачусетс, 1993) . Int. Press, Кембридж, Массачусетс. стр. 7–136. doi : 10.4310/SDG.1993.v2.n1.a2 . MR  1375255.
• Гамильтон, Ричард С. (1997). «Четырехмерные многообразия с положительной изотропной кривизной». Comm. Anal. Geom . 5 (1): 1–92. doi : 10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1 . MR  1456308. Zbl  0892.53018.
• Гамильтон, Ричард С. (1999). «Несингулярные решения потока Риччи на трехмерных многообразиях». Comm. Anal. Geom . 7 (4): 695–729. doi : 10.4310/CAG.1999.v7.n4.a2 . MR  1714939.
• Брюс Кляйнер ; Джон Лотт (2008). «Заметки о работах Перельмана». Геометрия и топология . 12 (5): 2587–2855. arXiv : math.DG/0605667 . doi :10.2140/gt.2008.12.2587. MR  2460872. S2CID  119133773.
• Перельман, Гриша (2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math/0211159 .
• Перельман, Гриша (2003a). "Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях". arXiv : math/0303109 .
• Перельман, Гриша (2003b). "Конечное время угасания для решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях". arXiv : math/0307245 .

Учебники

• Эндрюс, Бен; Хоппер, Кристофер (2011). Поток Риччи в римановой геометрии: полное доказательство теоремы о дифференцируемой 1/4-защемляющей сфере . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 2011. Heidelberg: Springer. doi :10.1007/978-3-642-16286-2. ISBN 978-3-642-16285-5.
• Брендл, Саймон (2010). Поток Риччи и теорема о сфере . Аспирантура по математике. Том 111. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi : 10.1090/gsm/111. ISBN 978-0-8218-4938-5.
• Cao, HD; Chow, B.; Chu, SC; Yau, ST, ред. (2003). Сборник статей о потоке Риччи . Серия по геометрии и топологии. Том 37. Somerville, MA: International Press. ISBN 1-57146-110-8.
• Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2007). Поток Риччи: методы и приложения. Часть I. Геометрические аспекты . Математические обзоры и монографии. Том 135. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi :10.1090/surv/135. ISBN 978-0-8218-3946-1.
• Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2008). Поток Риччи: методы и приложения. Часть II. Аналитические аспекты . Математические обзоры и монографии. Том 144. Providence, RI: Американское математическое общество. doi :10.1090/surv/144. ISBN 978-0-8218-4429-8.
• Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2010). Поток Риччи: методы и приложения. Часть III. Геометрически-аналитические аспекты . Математические обзоры и монографии. Том 163. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi : 10.1090/surv/163. ISBN 978-0-8218-4661-2.
• Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2015). Поток Риччи: методы и приложения. Часть IV. Долгосрочные решения и смежные темы . Математические обзоры и монографии. Том 206. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi : 10.1090/surv/206. ISBN 978-0-8218-4991-0.
• Chow, Bennett; Knopf, Dan (2004). Поток Риччи: Введение . Математические обзоры и монографии. Том 110. Providence, RI: Американское математическое общество. doi : 10.1090/surv/110. ISBN 0-8218-3515-7.
• Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei (2006). Поток Риччи Гамильтона . Аспирантура по математике. Том 77. Пекин, Нью-Йорк: Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; Science Press. doi : 10.1090/gsm/077. ISBN 978-0-8218-4231-7.
• Морган, Джон В.; Фонг, Фредерик Цз-Хо (2010). Поток Риччи и геометризация 3-многообразий . Серия университетских лекций. Том 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi : 10.1090/ulect/053. ISBN 978-0-8218-4963-7.
• Морган, Джон; Тиан, Ганг (2007). Поток Риччи и гипотеза Пуанкаре . Математические монографии Клэя. Том 3. Провиденс, Род-Айленд и Кембридж, Массачусетс: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. ISBN 978-0-8218-4328-4.
• Мюллер, Рето (2006). Дифференциальные неравенства Гарнака и поток Риччи . Серия лекций по математике EMS. Цюрих: Европейское математическое общество (EMS). doi :10.4171/030. hdl :2318/1701023. ISBN 978-3-03719-030-2.
• Топпинг, Питер (2006). Лекции о потоке Риччи . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 325. Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511721465. ISBN 0-521-68947-3.
• Чжан, Ци С. (2011). Неравенства Соболева, тепловые ядра в потоке Риччи и гипотеза Пуанкаре . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1-4398-3459-6.

Внешние ссылки

• Айзенберг, Джеймс А. "Ricci Flow" (видео) . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2021-12-12 . Получено 23 апреля 2014 г.