stringtranslate.com

гипотеза Пуанкаре

В математической области геометрической топологии гипотеза Пуанкаре ( англ . / ˈ p w æ̃ k ær eɪ / , [2] англ . / ˌ p w æ̃ k ɑː ˈ r eɪ / , [3] [4] фр. [pwɛ̃kaʁe] ) — это теорема о характеристике 3-сферы , которая является гиперсферой , ограничивающей единичный шар в четырехмерном пространстве.

Первоначально выдвинутая Анри Пуанкаре в 1904 году, теорема касается пространств, которые локально выглядят как обычное трехмерное пространство, но которые имеют конечную протяженность. Пуанкаре выдвинул гипотезу, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, что каждая петля в пространстве может быть непрерывно стянута в точку, то оно обязательно является трехмерной сферой . Попытки разрешить эту гипотезу привели к значительному прогрессу в области геометрической топологии в 20 веке.

Окончательное доказательство было построено на программе Ричарда С. Гамильтона по использованию потока Риччи для решения проблемы. Разработав ряд новых методов и результатов в теории потока Риччи, Григорий Перельман смог модифицировать и завершить программу Гамильтона. В работах, размещенных в репозитории arXiv в 2002 и 2003 годах, Перельман представил свою работу, доказывающую гипотезу Пуанкаре (и более мощную гипотезу геометризации Уильяма Терстона ). В течение следующих нескольких лет несколько математиков изучали его работы и создали подробные формулировки его работы.

Работа Гамильтона и Перельмана над гипотезой широко признана вехой математических исследований. Гамильтон был отмечен премией Шоу и премией Лероя П. Стила за основополагающий вклад в исследования . Журнал Science отметил доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре как научный прорыв года в 2006 году . [5] Математический институт Клэя , включив гипотезу Пуанкаре в свой известный список проблем Премии тысячелетия , предложил Перельману свою премию в размере 1 миллиона долларов США за решение гипотезы. [6] Он отказался от награды, заявив, что вклад Гамильтона был равен его собственному. [7] [8]

Обзор

Ни одна из двух цветных петель на этом торе не может быть непрерывно стянута в точку. Тор не гомеоморфен сфере.

Гипотеза Пуанкаре была математической проблемой в области геометрической топологии . В терминах словаря этой области она гласит следующее:

Гипотеза Пуанкаре .
Каждое трехмерное топологическое многообразие , которое замкнуто , связно и имеет тривиальную фундаментальную группу , гомеоморфно трехмерной сфере .

Знакомые формы, такие как поверхность шара (которая в математике известна как двумерная сфера) или тора , являются двумерными. Поверхность шара имеет тривиальную фундаментальную группу, что означает, что любая петля, нарисованная на поверхности, может быть непрерывно деформирована в одну точку. Напротив, поверхность тора имеет нетривиальную фундаментальную группу, поскольку на поверхности есть петли, которые не могут быть таким образом деформированы. Оба являются топологическими многообразиями, которые замкнуты (что означает, что они не имеют границы и занимают конечную область пространства) и связаны (что означает, что они состоят из одной части). Два замкнутых многообразия называются гомеоморфными, когда точки одного из них могут быть перераспределены в другое непрерывным образом. Поскольку известно, что (не)тривиальность фундаментальной группы инвариантна относительно гомеоморфизма, отсюда следует, что двумерная сфера и тор не являются гомеоморфными.

Двумерный аналог гипотезы Пуанкаре утверждает, что любое двумерное топологическое многообразие, которое замкнуто и связно, но не гомеоморфно двумерной сфере, должно обладать петлей, которая не может быть непрерывно стянута в точку. (Это проиллюстрировано на примере тора, как указано выше.) Известно, что этот аналог верен благодаря классификации замкнутых и связных двумерных топологических многообразий, которая понималась в различных формах с 1860-х годов. В более высоких измерениях замкнутые и связные топологические многообразия не имеют простой классификации, что исключает простое разрешение гипотезы Пуанкаре.

История

Вопрос Пуанкаре

В 1800-х годах Бернхард Риман и Энрико Бетти инициировали изучение топологических инвариантов многообразий . [9] [10] Они ввели числа Бетти , которые сопоставляют любому многообразию список неотрицательных целых чисел. Риман показал , что замкнутое связное двумерное многообразие полностью характеризуется своими числами Бетти. В рамках своей статьи 1895 года Analysis Situs (анонсированной в 1892 году) Пуанкаре показал, что результат Римана не распространяется на более высокие размерности. [11] [12] [13] Для этого он ввел фундаментальную группу как новый топологический инвариант и смог продемонстрировать примеры трехмерных многообразий, которые имеют те же числа Бетти, но различные фундаментальные группы. Он поставил вопрос о том, достаточна ли фундаментальная группа для топологической характеристики многообразия (данной размерности), хотя он не пытался получить ответ, сказав только, что это «потребует длительного и сложного изучения». [12] [13] [14]

Основной целью статьи Пуанкаре была интерпретация чисел Бетти в терминах его недавно введенных групп гомологии , а также теоремы двойственности Пуанкаре о симметрии чисел Бетти. После критики полноты его аргументов он выпустил ряд последующих «дополнений», чтобы улучшить и исправить свою работу. Заключительное замечание его второго дополнения, опубликованного в 1900 году, гласило: [15] [13]

Чтобы не затягивать эту работу, я ограничусь формулировкой следующей теоремы, доказательство которой потребует дальнейших разработок:

Каждый многогранник, у которого все числа Бетти равны 1 и все его таблицы T q ориентируемы, односвязен, т. е. гомеоморфен гиперсфере.

(На современном языке, принимая во внимание тот факт, что Пуанкаре использует терминологию односвязности необычным образом, [16] это означает, что замкнутое связное ориентированное многообразие с гомологиями сферы должно быть гомеоморфно сфере. [14] ) Это изменило его отрицательное обобщение работы Римана двумя способами. Во-первых, теперь он использовал полные группы гомологии, а не только числа Бетти. Во-вторых, он сузил область проблемы с вопроса о том, характеризуется ли произвольное многообразие топологическими инвариантами, до вопроса о том, может ли сфера быть так охарактеризована.

Однако после публикации он обнаружил, что его объявленная теорема неверна. В своем пятом и последнем дополнении, опубликованном в 1904 году, он доказал это с помощью контрпримера гомологической сферы Пуанкаре , которая является замкнутым связным трехмерным многообразием, имеющим гомологию сферы, но фундаментальная группа которого имеет 120 элементов. Этот пример ясно показал, что гомология недостаточно сильна, чтобы характеризовать топологию многообразия. В заключительных замечаниях пятого дополнения Пуанкаре изменил свою ошибочную теорему, чтобы использовать фундаментальную группу вместо гомологии: [17] [13]

Остается рассмотреть один вопрос: возможно ли свести фундаментальную группу V к тождеству без того, чтобы V была односвязной? [...] Однако этот вопрос увел бы нас слишком далеко.

В этом замечании, как и в заключительном замечании второго дополнения, Пуанкаре использовал термин «односвязный» таким образом, который противоречит современному использованию, а также его собственному определению этого термина 1895 года. [12] [16] (Согласно современному использованию, вопрос Пуанкаре является тавтологией , спрашивая, возможно ли, чтобы многообразие было односвязным, не будучи односвязным.) Однако, как можно заключить из контекста, [18] Пуанкаре спрашивал, является ли тривиальность фундаментальной группы уникальной характеристикой сферы. [14]

На протяжении всей работы Римана, Бетти и Пуанкаре топологические понятия, о которых идет речь, не определяются и не используются таким образом, который был бы признан точным с современной точки зрения. Даже ключевое понятие «многообразие» не использовалось последовательно в собственной работе Пуанкаре, и часто возникала путаница между понятиями топологического многообразия , PL-многообразия и гладкого многообразия . [16] [19] По этой причине невозможно однозначно прочитать вопросы Пуанкаре. Только благодаря формализации и словарю топологии, разработанным более поздними математиками, заключительный вопрос Пуанкаре был понят как «гипотеза Пуанкаре», как указано в предыдущем разделе.

Однако, несмотря на свою обычную формулировку в форме предположения, предполагающего, что все многообразия определенного типа гомеоморфны сфере, Пуанкаре лишь поставил открытый вопрос, не рискнув высказать предположение тем или иным способом. Более того, нет никаких доказательств того, каким образом, по его мнению, будет дан ответ на его вопрос. [14]

Решения

В 1930-х годах Дж. Х. Уайтхед заявил о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе он обнаружил несколько примеров односвязных (действительно стягиваемых, т. е. гомотопически эквивалентных точке) некомпактных 3-многообразий, не гомеоморфных , прототип которых теперь называется многообразием Уайтхеда .

В 1950-х и 1960-х годах другие математики пытались доказать гипотезу, но обнаружили, что они содержат недостатки. Влиятельные математики, такие как Жорж де Рам , Р. Х. Бинг , Вольфганг Хакен , Эдвин Э. Моисе и Христос Папакирьякопулос , пытались доказать гипотезу. В 1958 году Р. Х. Бинг доказал слабую версию гипотезы Пуанкаре: если каждая простая замкнутая кривая компактного 3-многообразия содержится в 3-шаре, то многообразие гомеоморфно 3-сфере. [20] Бинг также описал некоторые подводные камни при попытке доказать гипотезу Пуанкаре. [21]

В 1978 году Влодзимеж Якобше показал, что если гипотеза Бинга–Борсука верна в размерности 3, то гипотеза Пуанкаре также должна быть верна. [22]

Со временем гипотеза приобрела репутацию особенно сложной для решения. Джон Милнор заметил, что иногда ошибки в ложных доказательствах могут быть «довольно тонкими и труднообнаружимыми». [23] Работа над гипотезой улучшила понимание 3-многообразий. Эксперты в этой области часто неохотно объявляли доказательства и были склонны относиться к любому такому объявлению со скептицизмом. 1980-е и 1990-е годы стали свидетелями некоторых широко разрекламированных ошибочных доказательств (которые на самом деле не были опубликованы в рецензируемой форме). [24] [25]

Изложение попыток доказать эту гипотезу можно найти в нетехнической книге « Премия Пуанкаре» Джорджа Спиро . [26]

Размеры

Классификация замкнутых поверхностей дает утвердительный ответ на аналогичный вопрос в двух измерениях. Для измерений больше трех можно выдвинуть Обобщенную гипотезу Пуанкаре: является ли гомотопическая n -сфера гомеоморфной n -сфере? Необходимо более сильное предположение , чем односвязность; в размерностях четыре и выше существуют односвязные замкнутые многообразия, которые не являются гомотопически эквивалентными n -сфере.

Исторически, в то время как гипотеза в размерности три казалась правдоподобной, обобщенная гипотеза считалась ложной. В 1961 году Стивен Смейл потряс математиков, доказав обобщенную гипотезу Пуанкаре для размерностей больше четырех и расширил свои методы, чтобы доказать фундаментальную теорему о h-кобордизме . В 1982 году Майкл Фридман доказал гипотезу Пуанкаре в четырех измерениях. Работа Фридмана оставила открытой возможность того, что существует гладкое четырехмерное многообразие, гомеоморфное четырехмерной сфере, которое не диффеоморфно четырехмерной сфере. Эта так называемая гладкая гипотеза Пуанкаре в размерности четыре остается открытой и считается очень сложной. Экзотические сферы Милнора показывают, что гладкая гипотеза Пуанкаре ложна в размерности семь, например.

Эти ранние успехи в высших измерениях оставили случай трех измерений в подвешенном состоянии. Гипотеза Пуанкаре была по сути верной как в четвертом измерении, так и во всех высших измерениях по существенно разным причинам. В третьем измерении гипотеза имела неопределенную репутацию, пока гипотеза геометризации не поместила ее в структуру, управляющую всеми трехмерными многообразиями. Джон Морган писал: [27]

Я считаю, что до работы Терстона по гиперболическим 3-многообразиям и … гипотезе геометризации среди экспертов не было единого мнения относительно того, верна или ложна гипотеза Пуанкаре. После работы Терстона, несмотря на то, что она не имела прямого отношения к гипотезе Пуанкаре, возник консенсус относительно того, что гипотеза Пуанкаре (и гипотеза геометризации) верны.

Программа и решение Гамильтона

Несколько стадий потока Риччи на двумерном многообразии

Программа Гамильтона была начата в его статье 1982 года, в которой он ввел поток Риччи на многообразии и показал, как использовать его для доказательства некоторых особых случаев гипотезы Пуанкаре. [28] В последующие годы он расширил эту работу, но не смог доказать гипотезу. Фактическое решение не было найдено, пока Григорий Перельман не опубликовал свои статьи.

В конце 2002 и 2003 годов Перельман опубликовал три статьи на arXiv . [29] [30] [31] В этих статьях он набросал доказательство гипотезы Пуанкаре и более общей гипотезы, гипотезы геометризации Терстона , завершив программу потока Риччи, изложенную ранее Ричардом С. Гамильтоном .

С мая по июль 2006 года несколько групп представили статьи, которые дополнили детали доказательства Перельманом гипотезы Пуанкаре, а именно:

В этой статье мы представим теорию потока Риччи Гамильтона-Перельмана. На ее основе мы дадим первое письменное изложение полного доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Терстона. Хотя полная работа представляет собой аккумулированные усилия многих геометрических аналитиков, основными авторами, несомненно, являются Гамильтон и Перельман.

Некоторые наблюдатели интерпретировали Цао и Чжу как присваивающих себе работу Перельмана. Позже они разместили исправленную версию с новой формулировкой на arXiv. [34] Кроме того, страница их изложения была по сути идентична странице в одном из ранних общедоступных черновиков Кляйнера и Лотта; это также было изменено в исправленной версии вместе с извинениями редакционной коллегии журнала.

Все три группы пришли к выводу, что пробелы в работах Перельмана незначительны и могут быть заполнены с использованием его собственных методов.

22 августа 2006 года Международный комитет математики наградил Перельмана медалью Филдса за его работу над потоком Риччи, но Перельман отказался от медали. [38] [39] Джон Морган выступил на Международном комитете математики с докладом о гипотезе Пуанкаре 24 августа 2006 года, заявив, что «в 2003 году Перельман решил гипотезу Пуанкаре». [40]

В декабре 2006 года журнал Science назвал доказательство гипотезы Пуанкаре «Прорывом года» и поместил его на своей обложке. [5]

Риччи-поток с хирургией

Программа Гамильтона для доказательства гипотезы Пуанкаре включает в себя сначала наложение римановой метрики на неизвестное односвязное замкнутое 3-многообразие. Основная идея заключается в попытке «улучшить» эту метрику; например, если метрику можно улучшить настолько, чтобы она имела постоянную положительную кривизну, то согласно классическим результатам в римановой геометрии, это должна быть 3-сфера. Гамильтон предписал « уравнения потока Риччи » для улучшения метрики;

где g — метрика, а R — кривизна Риччи, и можно надеяться, что с увеличением времени t многообразие станет более понятным. Поток Риччи расширяет часть многообразия с отрицательной кривизной и сжимает часть с положительной кривизной.

В некоторых случаях Гамильтону удалось показать, что это работает; например, его первоначальным прорывом было показать, что если риманово многообразие имеет положительную кривизну Риччи всюду, то вышеприведенную процедуру можно выполнить только для ограниченного интервала значений параметров, с , и что более важно, что существуют числа такие, что при , риманова метрика плавно сходится к одной с постоянной положительной кривизной. Согласно классической римановой геометрии, единственным односвязным компактным многообразием, которое может поддерживать риманову метрику постоянной положительной кривизны, является сфера. Таким образом, по сути, Гамильтон показал особый случай гипотезы Пуанкаре: если компактное односвязное 3-многообразие поддерживает риманову метрику положительной кривизны Риччи, то оно должно быть диффеоморфно 3-сфере.

Если же вместо этого имеется только произвольная риманова метрика, уравнения потока Риччи должны приводить к более сложным сингулярностям. Главным достижением Перельмана было показать, что если принять определенную перспективу, то если они появляются за конечное время, эти сингулярности могут выглядеть только как сжимающиеся сферы или цилиндры. Имея количественное понимание этого явления, он разрезает многообразие вдоль сингулярностей, разделяя многообразие на несколько частей, а затем продолжает с потоком Риччи на каждой из этих частей. Эта процедура известна как поток Риччи с хирургией.

Перельман привел отдельный аргумент, основанный на потоке сокращения кривой , чтобы показать, что на односвязном компактном 3-многообразии любое решение потока Риччи с хирургией исчезает за конечное время. Альтернативный аргумент, основанный на теории минимальных поверхностей и геометрической теории меры, был представлен Тобиасом Колдингом и Уильямом Миникоцци . Следовательно, в односвязном контексте все, что имеет значение, — это вышеупомянутые явления конечного времени потока Риччи с хирургией. Фактически, это верно даже в том случае, если фундаментальная группа является свободным произведением конечных групп и циклических групп.

Это условие на фундаментальную группу оказывается необходимым и достаточным для конечного времени исчезновения. Это эквивалентно утверждению, что простое разложение многообразия не имеет ациклических компонентов и оказывается эквивалентным условию, что все геометрические части многообразия имеют геометрии, основанные на двух геометриях Терстона S 2 × R и S 3 . В контексте того, что не делается никаких предположений о фундаментальной группе, Перельман провел дальнейшее техническое исследование предела многообразия для бесконечно больших времен и, таким образом, доказал гипотезу геометризации Терстона: на больших временах многообразие имеет толсто-тонкое разложение , толстая часть которого имеет гиперболическую структуру, а тонкая часть является графовым многообразием . Однако из-за результатов Перельмана, Колдинга и Миникоцци эти дальнейшие результаты не нужны для доказательства гипотезы Пуанкаре.

Решение

Григорий Перельман

13 ноября 2002 года российский математик Григорий Перельман опубликовал первую из трех электронных публикаций на arXiv, в которой изложено решение гипотезы Пуанкаре. Доказательство Перельмана использует модифицированную версию программы потока Риччи , разработанную Ричардом С. Гамильтоном . В августе 2006 года Перельман был награжден, но отказался от Медали Филдса (стоимостью 15 000 канадских долларов) за свою работу над потоком Риччи. 18 марта 2010 года Математический институт Клэя наградил Перельмана Премией тысячелетия в размере 1 миллиона долларов в знак признания его доказательства. [41] [42] Перельман отказался и от этой премии. [7] [43]

Перельман доказал гипотезу, деформируя многообразие с помощью потока Риччи (который ведет себя аналогично уравнению теплопроводности , описывающему диффузию тепла через объект). Поток Риччи обычно деформирует многообразие в сторону более круглой формы, за исключением некоторых случаев, когда он растягивает многообразие от себя в сторону того, что известно как сингулярности . Затем Перельман и Гамильтон разрезают многообразие в сингулярностях (процесс, называемый «хирургией»), в результате чего отдельные части формируются в шарообразные формы. Основные шаги в доказательстве включают демонстрацию того, как ведут себя многообразия, когда они деформируются потоком Риччи, изучение того, какие сингулярности развиваются, определение того, может ли этот процесс хирургии быть завершен, и установление того, что хирургию не нужно повторять бесконечно много раз.

Первый шаг — деформировать многообразие с помощью потока Риччи . Поток Риччи был определен Ричардом С. Гамильтоном как способ деформации многообразий. Формула для потока Риччи является имитацией уравнения теплопроводности , которое описывает, как тепло течет в твердом теле. Как и тепловой поток, поток Риччи стремится к однородному поведению. В отличие от теплового потока, поток Риччи может столкнуться с сингулярностями и перестать функционировать. Сингулярность в многообразии — это место, где оно не дифференцируемо: как угол, или касп, или защемление. Поток Риччи был определен только для гладких дифференцируемых многообразий. Гамильтон использовал поток Риччи, чтобы доказать, что некоторые компактные многообразия диффеоморфны сферам , и он надеялся применить его для доказательства гипотезы Пуанкаре. Ему нужно было понять сингулярности. [44]

Гамильтон создал список возможных сингулярностей, которые могли бы образоваться, но он был обеспокоен тем, что некоторые сингулярности могут привести к трудностям. Он хотел разрезать многообразие в сингулярностях и вставить заглавные буквы, а затем снова запустить поток Риччи, поэтому ему нужно было понять сингулярности и показать, что определенные виды сингулярностей не возникают. Перельман обнаружил, что все сингулярности очень просты: считайте, что цилиндр образуется путем «растягивания» круга вдоль линии в другом измерении, повторение этого процесса со сферами вместо кругов по сути дает форму сингулярностей. Перельман доказал это, используя нечто, называемое «приведенным объемом», которое тесно связано с собственным значением определенного эллиптического уравнения .

Иногда сложная операция сводится к умножению на скаляр (число). Такие числа называются собственными значениями этой операции. Собственные значения тесно связаны с частотами колебаний и используются при анализе известной проблемы: слышите ли вы форму барабана? По сути, собственное значение похоже на ноту, которую играет многообразие. Перельман доказал, что эта нота повышается, когда многообразие деформируется потоком Риччи. Это помогло ему устранить некоторые из наиболее проблемных сингулярностей, которые беспокоили Гамильтона, в частности, решение сигарного солитона, которое выглядело как нить, торчащая из многообразия, с другой стороны которого ничего нет. По сути, Перельман показал, что все образующиеся нити можно разрезать и закрыть, и ни одна не будет торчать только с одной стороны.

Завершая доказательство, Перельман берет любое компактное, односвязное, трехмерное многообразие без границы и начинает запускать поток Риччи. Это деформирует многообразие в круглые части с нитями, проходящими между ними. Он разрезает нити и продолжает деформировать многообразие, пока в конечном итоге не останется с набором круглых трехмерных сфер. Затем он перестраивает исходное многообразие, соединяя сферы вместе трехмерными цилиндрами, преобразует их в круглую форму и видит, что, несмотря на всю первоначальную путаницу, многообразие было, по сути, гомеоморфно сфере.

Сразу же возник вопрос, как можно быть уверенным, что бесконечно много разрезов не нужны. Это было вызвано тем, что разрезание потенциально может продолжаться вечно. Перельман доказал, что этого не может произойти, используя минимальные поверхности на многообразии. Минимальная поверхность — это поверхность, на которой любая локальная деформация увеличивает площадь; известный пример — мыльная пленка , охватывающая изогнутую петлю проволоки. Гамильтон показал, что площадь минимальной поверхности уменьшается, когда многообразие подвергается потоку Риччи. Перельман проверил, что произошло с площадью минимальной поверхности, когда многообразие было разрезано. Он доказал, что в конечном итоге площадь настолько мала, что любой разрез после того, как площадь стала такой маленькой, может быть только отсечением трехмерных сфер, а не более сложных кусков. Это описано Сормани как битва с Гидрой в книге Спиро, цитируемой ниже. Эта последняя часть доказательства появилась в третьей и последней статье Перельмана по этой теме.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Матвеев, Сергей (2007). "1.3.4 Гипотеза коллапса Зеемана". Алгоритмическая топология и классификация 3-многообразий. Алгоритмы и вычисления в математике. Т. 9. Springer. С. 46–58. ISBN 978-3540458999.
  2. ^ "Poincaré, Jules-Henri". Lexico UK English Dictionary . Oxford University Press . Архивировано из оригинала 2022-09-02.
  3. ^ "Poincaré". The American Heritage Dictionary of the English Language (5-е изд.). HarperCollins . Получено 9 августа 2019 г.
  4. ^ "Пуанкаре". Словарь Merriam-Webster.com . Merriam-Webster . Получено 9 августа 2019 .
  5. ^ ab Mackenzie, Dana (2006-12-22). «Гипотеза Пуанкаре – доказана». Science . 314 (5807): 1848–1849. doi : 10.1126/science.314.5807.1848 . PMID  17185565. S2CID  121869167.
  6. ^ "Премия за разрешение гипотезы Пуанкаре присуждена доктору Григорию Перельману" (пресс-релиз). Clay Mathematics Institute . 18 марта 2010 г. Архивировано из оригинала (PDF) 22 марта 2010 г. Получено 13 ноября 2015 г. Clay Mathematics Institute (CMI) объявляет сегодня, что доктор Григорий Перельман из Санкт-Петербурга, Россия, стал лауреатом Премии тысячелетия за разрешение гипотезы Пуанкаре.
  7. ^ ab "Последнее 'нет' доктора Перельмана" [Последнее "нет" доктора Перельмана]. Интерфакс . 1 июля 2010 года . Проверено 5 апреля 2016 г.Архивная ссылка, переведенная Google, на [1] (архив 2014-04-20)
  8. ↑ Риттер, Малкольм (1 июля 2010 г.). «Российский математик отказывается от премии в миллион». The Boston Globe .
  9. ^ Риман, Бернхард (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen (Thesis). Геттингенский университет .Перевод на английский язык: Riemann, Bernhard (2004). "Foundations for a general theory of functions of a complex variable". Сборник статей: Bernhard Riemann . Перевод Бейкера, Роджера; Кристенсона, Чарльза; Орда, Генри. Heber City, UT: Kendrick Press. стр. 1–41. ISBN 0-9740427-2-2. MR  2121437. Zbl  1101.01013.
  10. ^ Бетти, Энрико (1870). «Sopra gli spazi di un numero qualunque di Dimensioni». Аннали ди Математика Pura ed Applicata . 4 : 140–158. дои : 10.1007/BF02420029. ЖФМ  03.0301.01.
  11. ^ Пуанкаре, Х. (1892). «Ситуация анализа». Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences . ЖФМ  24.0506.02.
  12. ^ abc Пуанкаре, Х. (1895). «Анализ места». Журнал Политехнической школы . 2e Серия. 1 :1–121. ЖФМ  26.0541.07.
  13. ^ abcd Пуанкаре, Анри (2010). Статьи по топологии: Analysis Situs и его пять дополнений . История математики. Том 37. Перевод Стиллвелла, Джона . Американское математическое общество и Лондонское математическое общество . doi :10.1090/hmath/037. ISBN 978-0-8218-5234-7. MR  2723194. Zbl  1204.55002.
  14. ^ abcd Грей, Джереми (2013). Анри Пуанкаре: Научная биография . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . ISBN 978-0-691-15271-4. JSTOR  j.ctt1r2fwt. МР  2986502. Збл  1263.01002.
  15. ^ Пуанкаре, Х. (1900). «Второе дополнение к анализу места». Труды Лондонского математического общества . 32 (1): 277–308. дои : 10.1112/plms/s1-32.1.277. ЯФМ  31.0477.10. МР  1576227.
  16. ^ abc см. комментарий Стиллвелла в Poincaré (2010)
  17. ^ Пуанкаре, Х. (1904). «Cinquième complément à l'analysis situs». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 18 : 45–110. дои : 10.1007/bf03014091. ЯФМ  35.0504.13.
  18. ^ В первых абзацах Пуанкаре (1904) говорится о «односвязности в истинном смысле этого слова» как об условии гомеоморфности сфере.
  19. ^ Дьедонне, Жан (1989). История алгебраической и дифференциальной топологии, 1900–1960 . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. doi :10.1007/978-0-8176-4907-4. ISBN  0-8176-3388-X. MR  0995842. Zbl  0673.55002.
  20. ^ Бинг, Р. Х. (1958). «Необходимые и достаточные условия того, что 3-многообразие будет S 3 ». Annals of Mathematics . Вторая серия. 68 (1): 17–37. doi :10.2307/1970041. JSTOR  1970041.
  21. ^ Бинг, Р. Х. (1964). «Некоторые аспекты топологии 3-многообразий, связанные с гипотезой Пуанкаре». Лекции по современной математике . Т. II. Нью-Йорк: Wiley. С. 93–128.
  22. ^ М., Халверсон, Дениз; Душан, Реповш (23 декабря 2008 г.). «Гипотезы Бинга–Борсука и Буземана». Математические коммуникации . 13 (2). arXiv : 0811.0886 .{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  23. ^ Милнор, Джон (2004). «Гипотеза Пуанкаре 99 лет спустя: отчет о ходе работы» (PDF) . Получено 05.05.2007 .
  24. ^ Таубс, Гэри (июль 1987 г.). «Что происходит, когда высокомерие сталкивается с возмездием». Discover . 8 : 66–77.
  25. ↑ Мэтьюз, Роберт (9 апреля 2002 г.). «Математическая загадка стоимостью в 1 миллион долларов «решена»». NewScientist.com . Получено 05.05.2007 .
  26. ^ Szpiro, George (2008). Премия Пуанкаре: столетний поиск решения одной из величайших математических головоломок . Plume . ISBN 978-0-452-28964-2.
  27. ^ Морган, Джон В., Недавний прогресс в гипотезе Пуанкаре и классификации 3-многообразий. Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 42 (2005), № 1, 57–78
  28. ^ Гамильтон, Ричард (1982). «Трехмерные многообразия с положительной кривизной Риччи». Журнал дифференциальной геометрии . 17 (2): 255–306. doi : 10.4310/jdg/1214436922 . MR  0664497. Zbl  0504.53034.Перепечатано в: Cao, HD ; Chow, B.; Chu, SC; Yau, S.-T. , ред. (2003). Сборник статей о потоке Риччи . Серия по геометрии и топологии. Том 37. Somerville, MA: International Press. стр. 119–162. ISBN 1-57146-110-8.
  29. ^ Перельман, Григорий (2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math.DG/0211159 .
  30. ^ Перельман, Григорий (2003). "Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях". arXiv : math.DG/0303109 .
  31. ^ Перельман, Григорий (2003). "Конечное время угасания для решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях". arXiv : math.DG/0307245 .
  32. ^ Кляйнер, Брюс ; Джон В. Лотт (2008). «Заметки о работах Перельмана». Геометрия и топология . 12 (5): 2587–2855. arXiv : math.DG/0605667 . doi :10.2140/gt.2008.12.2587. S2CID  119133773.
  33. ^ Цао, Хуай-Дун ; Си-Пин Чжу (июнь 2006 г.). "Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации – применение теории Гамильтона-Перельмана потока Риччи" (PDF) . Asian Journal of Mathematics . 10 (2). Архивировано из оригинала (PDF) 2012-05-14.
  34. ↑ Цао, Хуай-Дун и Чжу, Си-Пин (3 декабря 2006 г.). «Доказательство Гамильтона–Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации». arXiv : math.DG/0612069 .
  35. ^ Морган, Джон ; Ганг Тянь (2006). «Поток Риччи и гипотеза Пуанкаре». arXiv : math.DG/0607607 .
  36. ^ Морган, Джон ; Ганг Тянь (2007). Поток Риччи и гипотеза Пуанкаре . Институт математики Клэя. ISBN 978-0-8218-4328-4.
  37. ^ Морган, Джон; Тиан, Ганг (2015). «Исправление к разделу 19.2 Риччи-потока и гипотезы Пуанкаре». arXiv : 1512.00699 [math.DG].
  38. ^ Назар, Сильвия ; Дэвид Грубер (28 августа 2006 г.). «Многообразная судьба» . The New Yorker . С. 44–57.Электронная версия на сайте New Yorker.
  39. ↑ Чанг, Кеннет (22 августа 2006 г.). «Отказано в высшей награде по математике». The New York Times .
  40. ^ Отчет о гипотезе Пуанкаре. Специальная лекция Джона Моргана.
  41. ^ "Премия за разрешение гипотезы Пуанкаре присуждена доктору Григорию Перельману". Clay Mathematics Institute. 18 марта 2010 г. Архивировано из оригинала 22.03.2010.
  42. ^ "Гипотеза Пуанкаре". Clay Mathematics Institute . Получено 2018-10-04 .
  43. ^ Малкольм Риттер (2010-07-01). "Российский математик отказывается от премии в 1 миллион долларов". Phys.Org . Получено 2011-05-15 .
  44. ^ О'Ши, Донал (2018). «Удивительное разрешение гипотезы Пуанкаре». Удивительное разрешение гипотезы Пуанкаре. В: Роу, Д., Зауэр, Т., Уолтер, С. (ред.) Beyond Einstein . Einstein Studies. Том 14. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Birkhäuser. С. 401–415. doi :10.1007/978-1-4939-7708-6_13. ISBN 978-1-4939-7708-6.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки