Ричард Стрейт Гамильтон (10 января 1943 — 29 сентября 2024) — американский математик, работавший профессором математики в Колумбийском университете .
Гамильтон известен своим вкладом в геометрический анализ и уравнения с частными производными , и в частности за разработку теории потока Риччи . Гамильтон представил поток Риччи в 1982 году и в течение следующих десятилетий разработал сеть результатов и идей для его использования для доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации из области геометрической топологии .
Работа Гамильтона над потоком Риччи была отмечена премией Освальда Веблена , премией Клэя за исследования , премией Лероя П. Стила за основополагающий вклад в исследования и премией Шоу . Григорий Перельман развил исследовательскую программу Гамильтона, доказав гипотезы Пуанкаре и геометризации в 2003 году. Перельман был удостоен премии тысячелетия за разрешение гипотезы Пуанкаре, но отказался от нее, посчитав свой вклад не большим, чем вклад Гамильтона.
Гамильтон родился в Цинциннати, штат Огайо , 10 января 1943 года. Он получил степень бакалавра в Йельском университете в 1963 году и степень доктора философии в Принстонском университете в 1966 году . Роберт Ганнинг руководил его диссертацией. [1]
Первая постоянная должность Гамильтона была в Корнеллском университете . Там он взаимодействовал с Джеймсом Иллсом , который вместе с Джозефом Сэмпсоном недавно опубликовал основополагающую статью, в которой представил гармоническое отображение теплового потока . Гамильтон был вдохновлен на формулировку версии работы Иллса и Сэмпсона, посвященной деформации римановых метрик . Это переросло в поток Риччи . После публикации своей первой статьи по этой теме, которая была быстро признана прорывом, Гамильтон переехал в Калифорнийский университет в Сан-Диего в середине 1980-х годов, присоединившись к Ричарду Шоену и Шинг-Тунг Яу в группе, работающей над геометрическим анализом . В 1998 году Гамильтон стал профессором математики имени Дэвиса в Колумбийском университете , где он оставался до конца своей карьеры. [1] [2] В 2022 году Гамильтон дополнительно присоединился к Гавайскому университету в Маноа в качестве приглашенного профессора. [3]
Математический вклад Гамильтона в основном относится к области дифференциальной геометрии и, в частности, геометрического анализа . Он наиболее известен тем, что открыл поток Риччи и разработал исследовательскую программу, направленную на доказательство гипотезы геометризации Уильяма Терстона , которая содержит известную гипотезу Пуанкаре как частный случай. В 2003 году Григорий Перельман внес новые идеи в исследовательскую программу Гамильтона и завершил доказательство гипотезы геометризации. В марте 2010 года Математический институт Клэя , включив гипотезу Пуанкаре в число своих проблем Премии тысячелетия , наградил Перельмана одним миллионом долларов США за его доказательство гипотезы 2003 года. [4] В июле 2010 года Перельман отказался от награды и денежного приза, заявив, что, по его мнению, его вклад в доказательство гипотезы Пуанкаре не больше, чем у Гамильтона. [5] [6]
В 1996 году Гамильтон был награжден премией Освальда Веблена по геометрии «в знак признания его недавней и продолжающейся работы по раскрытию геометрических и аналитических свойств сингулярностей уравнения потока Риччи и связанных с ним систем дифференциальных уравнений». [7] В 2003 году он получил премию Клэя за исследования «за введение уравнения потока Риччи и его развитие в один из самых мощных инструментов в геометрии и топологии». [8] Он был избран в Национальную академию наук в 1999 году [9] [10] и в Американскую академию искусств и наук в 2003 году. [11] В 2009 году он получил премию Лероя П. Стила за основополагающий вклад в исследования Американского математического общества за его «глубоко оригинальную» прорывную статью Three-manifolds with positive Ricci curvature , в которой он впервые ввел и проанализировал поток Риччи. [H82b] [12] В 2011 году премия Шоу в размере миллиона долларов была разделена поровну между Гамильтоном и Деметриосом Христодулу «за их весьма новаторские работы по нелинейным уравнениям в частных производных в лоренцевой и римановой геометрии и их приложениям к общей теории относительности и топологии». [13] [14] В 2024 году он и Эндрю Уайлс получили премию «Основная наука» по математике на Международном конгрессе по фундаментальной науке . [15]
Гамильтон умер 29 сентября 2024 года в возрасте 81 года. [16]
Гамильтон был автором сорока шести научных статей, большинство из которых были в области геометрических потоков .
В 1986 году Питер Ли и Шинг-Тунг Яу открыли новый метод применения принципа максимума для управления решениями уравнения теплопроводности . [17] Их результаты принимают форму утверждения неотрицательности определенных комбинаций частных производных положительного решения уравнения теплопроводности. Эти неравенства, известные как дифференциальные неравенства Гарнака или неравенства Ли–Яу , полезны, поскольку их можно интегрировать вдоль путей для сравнения значений решения в любых двух точках пространства-времени. В 1993 году Гамильтон показал, что вычисления Ли и Яу можно расширить, показав, что их дифференциальное неравенство Гарнака является следствием более сильного неравенства, которое утверждает неотрицательность матричной -значной функции . [ H93a] Его результат требовал более сильного предположения, что лежащее в основе замкнутое риманово многообразие имеет неотрицательную секционную кривизну и параллельный тензор Риччи (такой как плоский тор или метрика Фубини–Штуди на комплексном проективном пространстве ). Такие матричные неравенства иногда называют неравенствами Ли–Яу–Гамильтона . [18]
Гамильтон также обнаружил, что вычисления Ли и Яу можно напрямую перенести на вывод неравенств Гарнака для скалярной кривизны вдоль положительно искривленного потока Риччи на двумерном замкнутом многообразии. [H88] Приложив больше усилий, он смог сформулировать аналог своей матричной оценки в случае тензора кривизны Римана вдоль потока Риччи в общих измерениях, при условии, что оператор кривизны неотрицателен. [H93b] В качестве важного алгебраического следствия можно сравнить значения скалярной кривизны в двух различных точках пространства-времени. Этот факт широко используется в дальнейшем исследовании Гамильтоном и Перельманом потока Риччи. [18] [19]
Гамильтон позже адаптировал свою оценку Ли–Яу для потока Риччи к заданию потока средней кривизны , что немного проще, поскольку геометрия управляется второй фундаментальной формой , которая имеет более простую структуру, чем тензор кривизны Римана. [H95c] Теорема Гамильтона, которая требует строгой выпуклости, естественным образом применима к некоторым особенностям потока средней кривизны из-за оценок выпуклости Герхарда Хейскена и Карло Синестрари. [20] [21] [18]
В 1956 году Джон Нэш решил проблему гладкого изометрического вложения римановых многообразий в евклидово пространство. [22] Основой его доказательства был новый результат о «малом возмущении», показывающий, что если риманова метрика может быть изометрически вложена определенным образом, то любая близлежащая риманова метрика также может быть изометрически вложена. Такой результат очень напоминает теорему о неявной функции , и многие авторы пытались поместить логику доказательства в постановку общей теоремы. Такие теоремы теперь известны как теоремы Нэша–Мозера . [23]
В 1982 году Гамильтон опубликовал свою формулировку рассуждений Нэша, применив теорему к условиям ручных пространств Фреше ; фундаментальное использование Нэшем ограничения преобразования Фурье для регуляризации функций было абстрагировано Гамильтоном к условиям экспоненциально убывающих последовательностей в банаховых пространствах . [H82a] Его формулировка широко цитировалась и использовалась в последующее время. Он сам использовал ее для доказательства общей теоремы существования и единственности для геометрических эволюционных уравнений; стандартная теорема о неявной функции нечасто применяется в таких условиях из-за вырождений, вносимых инвариантностью относительно действия группы диффеоморфизмов . [H82b] В частности, корректность потока Риччи следует из общего результата Гамильтона. Хотя Деннис ДеТурк дал более простое доказательство в частном случае потока Риччи, результат Гамильтона использовался для некоторых других геометрических потоков , для которых метод ДеТурк недоступен. [18]
В 1964 году Джеймс Иллс и Джозеф Сэмпсон инициировали изучение гармонического отображения теплового потока , используя теорему о сходимости для потока, чтобы показать, что любое гладкое отображение из замкнутого многообразия в замкнутое многообразие неположительной кривизны может быть деформировано в гармоническое отображение . В 1975 году Гамильтон рассмотрел соответствующую граничную задачу для этого потока, доказав аналогичный результат Иллса и Сэмпсона для условия Дирихле и условия Неймана . [H75] Аналитическая природа проблемы более деликатна в этой постановке, поскольку ключевое применение Иллса и Сэмпсона принципа максимума к параболической формуле Бохнера не может быть тривиально выполнено из-за того, что размер градиента на границе автоматически не контролируется граничными условиями. [24]
С помощью предельной процедуры Ричард Шен и Шинг-Тунг Яу использовали теорему Гамильтона, чтобы доказать, что любое конечноэнергетическое отображение из полного риманова многообразия в замкнутое риманово многообразие неположительной кривизны может быть деформировано в конечноэнергетическое гармоническое отображение. [25] Используя такие отображения, они смогли вывести ряд чисто геометрических следствий, таких как ограничения на топологию предкомпактных открытых подмножеств с односвязной границей внутри полных римановых многообразий неотрицательной кривизны Риччи . [24]
В 1986 году Гамильтон и Майкл Гейдж применили теорему Нэша–Мозера Гамильтона и результат корректности для параболических уравнений, чтобы доказать корректность для потока средней кривизны ; они рассмотрели общий случай однопараметрического семейства погружений замкнутого многообразия в гладкое риманово многообразие. [GH86] Затем они специализировались на случае погружений окружности в евклидову плоскость , что является простейшим контекстом для потока сокращения кривой . Используя принцип максимума , примененный к расстоянию между двумя точками на кривой, они доказали, что если начальное погружение является вложением, то все будущие погружения в поток средней кривизны также являются вложениями. Более того, выпуклость кривых сохраняется в будущем. [26]
Главный результат Гейджа и Гамильтона заключается в том, что для любой гладко вложенной окружности в выпуклую плоскость соответствующий поток средней кривизны существует в течение конечного времени, и по мере того, как время приближается к своему максимальному значению, кривые асимптотически становятся все более малыми и круговыми. [GH86] Они использовали предыдущие результаты Гейджа, а также несколько специальных результатов для кривых, таких как неравенство Боннесена . [26]
В 1987 году Мэтью Грейсон доказал дополнительный результат, показав, что для любой гладко вложенной окружности в плоскость соответствующий поток средней кривизны в конечном итоге становится выпуклым. [27] В сочетании с результатом Гейджа и Гамильтона, по сути, получается полное описание асимптотического поведения потока средней кривизны вложенных окружностей в плоскость. Этот результат, иногда известный как теорема Гейджа–Гамильтона–Грейсона , гласит, что поток сокращения кривой дает систематические и геометрически определенные средства деформации произвольной вложенной окружности в евклидовой плоскости в круглую окружность. [26]
Современное понимание результатов Гейджа–Гамильтона и Грейсона обычно рассматривает обе установки одновременно, без необходимости показывать, что произвольные кривые становятся выпуклыми, и отдельно изучать поведение выпуклых кривых. Их результаты также могут быть распространены на установки, отличные от потока средней кривизны. [28]
Гамильтон распространил принцип максимума для параболических уравнений в частных производных на случай симметричных 2-тензоров, которые удовлетворяют параболическому уравнению в частных производных. [H82b] Он также поместил его в общую ситуацию зависящего от параметров сечения векторного расслоения над замкнутым многообразием , которое удовлетворяет уравнению теплопроводности, дав как сильную, так и слабую формулировки. [H86] [18]
Частично благодаря этим основополагающим техническим разработкам Гамильтон смог дать по существу полное понимание того, как поток Риччи деформирует замкнутые римановы многообразия, которые являются трехмерными с положительной кривизной Риччи [H82b] или неотрицательной кривизной Риччи [H86] , четырехмерными с оператором положительной или неотрицательной кривизны [H86] и двумерными с неположительной эйлеровой характеристикой или положительной кривизной [H88] . В каждом случае после соответствующих нормализаций поток Риччи деформирует заданную риманову метрику в метрику постоянной кривизны . Это имеет непосредственные следствия высокой значимости в дифференциальной геометрии , такие как тот факт, что любое замкнутое гладкое 3-многообразие, которое допускает риманову метрику положительной кривизны, также допускает риманову метрику постоянной положительной секционной кривизны. Такие результаты примечательны тем, что сильно ограничивают топологию таких многообразий; пространственные формы положительной кривизны в значительной степени поняты. Существуют и другие следствия, такие как тот факт, что топологическое пространство римановых метрик положительной кривизны Риччи на замкнутом гладком 3-многообразии является путевой связностью. Среди других более поздних разработок эти теоремы сходимости Гамильтона были расширены Саймоном Брендлом и Ричардом Шоеном в 2009 году, чтобы дать доказательство теоремы о дифференцируемой сфере , которая была основной гипотезой в римановой геометрии с 1960-х годов. [29] [18]
В 1995 году Гамильтон расширил теорию компактности Джеффа Чигера для римановых многообразий, чтобы дать теорему компактности для последовательностей потоков Риччи. [H95a] Учитывая поток Риччи на замкнутом многообразии с конечной по времени особенностью, Гамильтон разработал методы масштабирования вокруг особенности, чтобы получить последовательность потоков Риччи; теория компактности гарантирует существование предельного потока Риччи, который моделирует мелкомасштабную геометрию потока Риччи вокруг особой точки. [H95b] Гамильтон использовал свои принципы максимума, чтобы доказать, что для любого потока Риччи на замкнутом трехмерном многообразии наименьшее значение секционной кривизны мало по сравнению с его наибольшим значением. Это известно как оценка Гамильтона–Айви; она чрезвычайно важна как неравенство кривизны, которое выполняется без каких-либо условных предположений за пределами трехмерности. Важным следствием является то, что в трех измерениях предельный поток Риччи, полученный с помощью теории компактности, автоматически имеет неотрицательную кривизну. [H95b] Таким образом, неравенство Гарнака Гамильтона применимо к предельному потоку Риччи. Эти методы были расширены Григорием Перельманом , который благодаря своей теореме о неколлапсе смог проверить предварительные условия теории компактности Гамильтона в ряде новых контекстов. [19] [18]
В 1997 году Гамильтону удалось объединить разработанные им методы для определения потока Риччи с хирургией для четырехмерных римановых многообразий положительной изотропной кривизны. [H97] Для потоков Риччи с начальными данными в этом классе он смог классифицировать возможности для мелкомасштабной геометрии вокруг точек с большой кривизной и, следовательно, систематически изменять геометрию так, чтобы продолжить поток Риччи за пределами времен, когда кривизна накапливается бесконечно. В результате он получил результат, который классифицирует гладкие четырехмерные многообразия, которые поддерживают римановы метрики положительной изотропной кривизны. Шинг-Тунг Яу описал эту статью как «самое важное событие» в геометрическом анализе в период после 1993 года, отметив ее как точку, в которой стало ясно, что можно доказать гипотезу геометризации Терстона методами потоков Риччи. [30] Основной нерешенной проблемой было проведение аналогичной классификации для мелкомасштабной геометрии вокруг точек высокой кривизны на потоках Риччи на трехмерных многообразиях без каких-либо ограничений на кривизну; оценка кривизны Гамильтона–Айви является аналогом условия положительной изотропной кривизны. Это было решено Григорием Перельманом в его знаменитой теореме о канонических окрестностях . [19] Основываясь на этом результате, Перельман модифицировал форму процедуры хирургии Гамильтона, чтобы определить поток Риччи с хирургией, заданной произвольной гладкой римановой метрикой на замкнутом трехмерном многообразии. Используя это как основной аналитический инструмент, Перельман разрешил гипотезу геометризации, которая содержит известную гипотезу Пуанкаре как частный случай. [31] [18]
В одной из своих самых ранних работ Гамильтон доказал теорему Эрла–Гамильтона о неподвижной точке в сотрудничестве с Клиффордом Эрлом . [EH70] В неопубликованных заметках лекций 1980-х годов Гамильтон представил поток Ямабэ и доказал его долгосрочное существование. [18] В сотрудничестве с Шиинг-Шен Черном Гамильтон изучал некоторые вариационные задачи для римановых метрик в контактной геометрии . [32] Он также внес вклад в задачу предписанной кривизны Риччи . [33]
Коллекция
содержит двенадцать статей Гамильтона о потоках Риччи, а также десять связанных статей других авторов.
