1

Число

Натуральное число

1 ( один , единица , единица ) — это число , представляющее один или единственный объект . 1 также является числовой цифрой и представляет собой единую единицу счета или измерения . Например, сегмент линии единичной длины — это сегмент линии длиной  1. В соглашениях о знаках, где ноль не считается ни положительным, ни отрицательным, 1 — это первое и наименьшее положительное целое число . Его также иногда считают первым из бесконечной последовательности натуральных чисел , за которым следует  2 , хотя по другим определениям 1 является вторым натуральным числом после  .

Фундаментальное математическое свойство числа 1 — быть мультипликативным тождеством , что означает, что любое число, умноженное на 1, равно одному и тому же числу. Из этого можно вывести большинство, если не все, свойств числа 1. В высшей математике мультипликативное тождество часто обозначается 1, даже если оно не является числом. 1 по соглашению не считается простым числом ; это не было общепринятым до середины 20 века. Кроме того, 1 — это наименьшая возможная разница между двумя различными натуральными числами .

Уникальные математические свойства числа привели к его уникальному использованию в других областях, от науки до спорта. Обычно он обозначает первое, ведущее или главное в группе.

Как слово

Этимология

Одно происходит от древнеанглийского слова an , происходящего от германского корня *ainaz , от протоиндоевропейского корня *oi-no- (что означает «единый, уникальный»). ^[1]

Современное использование

С лингвистической точки зрения единица — это кардинальное число , используемое для подсчета и выражения количества предметов в коллекции вещей. ^[2] One обычно используется в качестве определителя для исчисляемых существительных в единственном числе , например, в один день за раз . ^[3] One также является гендерно-нейтральным местоимением , используемым для обозначения неопределенного человека или людей в целом, поскольку человек должен заботиться о себе . ^[4] Слова, которые получают свое значение от слова «один» , включают « один », что означает «все единое» в смысле бытия самим собой, « ни один» не означает « не один », однажды обозначая одно время , и «искупить» , означающее стать единым целым с кем-то. Сочетание «один с только » (подразумевающее одноподобное ) приводит к «одинокому» , передающему ощущение одиночества. ^[5] Другие распространенные цифровые префиксы для числа 1 включают uni- (например, одноколесный велосипед , вселенная , единорог ), sol- (например, сольный танец ), производные от латыни, или моно- (например, монорельс , моногамия , монополия ), производные с греч. ^{[6] [7]}

Символы и изображения

24-часовые башенные часы в Венеции , где J является символом 1.

На этой пишущей машинке Woodstock 1940-х годов нет отдельной клавиши для цифры 1.

Hoefler Text — шрифт, разработанный в 1991 году, использует текстовые фигуры и представляет цифру 1, похожую на букву I, набранную маленькой буквой.

Среди самых ранних известных записей о системе счисления — шумерская десятично - шестидесятеричная система на глиняных табличках, датируемая первой половиной третьего тысячелетия до нашей эры. ^[8] Архаичные шумерские цифры 1 и 60 состояли из горизонтальных полукруглых символов. ^[9] К ок. В 2350 году до н.э. старые шумерские криволинейные цифры были заменены клинописными символами, причем 1 и 60 обозначались одним и тем же символом.. Шумерская клинописная система является прямым предком эблаитской и ассиро -вавилонской клинописной десятичной системы. ^[10] Сохранившиеся вавилонские документы датируются в основном эпохами Старого Вавилона (ок. 1500 г. до н. э.) и эпохи Селевкидов (ок. 300 г. до н. э.). ^[11] В вавилонской клинописи для записи чисел использовался тот же символ для 1 и 60, что и в шумерской системе. ^[12]

Наиболее часто используемым глифом в современном западном мире для обозначения цифры 1 является арабская цифра , вертикальная линия, часто с засечкой вверху и иногда с короткой горизонтальной линией внизу. Его можно проследить до брахмического письма древней Индии, представленного Ашокой в ​​виде простой вертикальной линии в его «Указах Ашоки» ок. 250 г. до н.э. ^[13] Цифровые формы этого письма были переданы в Европу через Магриб и Аль-Андалус в средние века через научные труды, написанные на арабском языке . ^{[ нужна цитация ]} В некоторых странах засечка вверху может быть расширена до длинной линии вверх, равной длине вертикальной линии. Этот вариант может привести к путанице с глифом, используемым для обозначения семи в других странах, поэтому, чтобы обеспечить визуальное различие между ними, цифра 7 может быть написана горизонтальной чертой через вертикальную линию. ^{[ нужна цитата ]}

В современных шрифтах форма символа цифры 1 обычно набирается как фигура на подкладке с восходящим элементом , так что цифра имеет ту же высоту и ширину, что и заглавная буква . Однако в шрифтах с текстовыми фигурами (также известными как цифры старого стиля или цифры без подкладки ) глиф обычно имеет высоту x и предназначен для следования ритму строчных букв, как, например, в. ^[14] В шрифтах старого стиля (например, Hoefler Text ) шрифт для цифры 1 напоминает версию I с маленькими заглавными буквами , с параллельными засечками вверху и внизу, в то время как заглавная буква I сохраняет форму во всю высоту. Это пережиток системы римских цифр , где я обозначаю 1. ^{[15] [16]} Современная цифра «1» не получила широкого распространения до середины 1950-х годов. Таким образом, многие старые пишущие машинки не имеют специальной клавиши для цифры 1, которая может отсутствовать, что требует использования строчной буквы l или прописной буквы I в качестве замены. ^[16] Строчную букву « j » можно рассматривать как вариант косой черты строчной римской цифры « i », часто используемой для обозначения последней буквы «строчной» римской цифры. Также можно найти исторические примеры использования j или J вместо арабской цифры 1. ^{[17] [18] [19] [20]}

По математике

С математической точки зрения число 1 имеет уникальные свойства и значение. В обычной арифметике ( алгебре ) число 1 является первым натуральным числом после (нуля) и может использоваться для составления всех других целых чисел (например, ; ; и т. д.). Произведение 0 чисел ( пустое произведение ) равно 1, а факториал 0! оценивается как 1, как частный случай пустого произведения. ^[21] Любое число , умноженное или разделенное на 1, остается неизменным ( ). Это делает ее математической единицей , и по этой причине 1 часто называют единицей . Следовательно, если - мультипликативная функция , то должна быть равна 1. Эта отличительная особенность приводит к тому, что 1 является собственным факториалом ( ), собственным квадратом ( ) и квадратным корнем ( ), собственным кубом ( ) и кубическим корнем ( ) , и так далее. По определению, 1 — это величина , абсолютное значение или норма единичного комплексного числа , единичного вектора и единичной матрицы (чаще называемой единичной матрицей ). Это мультипликативное тождество целых , действительных и комплексных чисел . 1 — единственное натуральное число, которое не является ни составным (число, имеющее более двух различных положительных делителей), ни простым (число, имеющее ровно два различных положительных делителя) относительно деления . ^[22] ${\displaystyle 1=1}$ ${\displaystyle 2=1+1}$ ${\displaystyle 3=1+1+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times 1=n/1=n}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(1)}$ ${\displaystyle 1!=1}$ ${\displaystyle 1^{2}=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$ ${\displaystyle 1^{3}=1}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}=1}$

В алгебраических структурах, таких как мультипликативные группы и моноиды, единичный элемент часто обозначается 1, но e (от немецкого Einheit , «единство») также является традиционным. Однако 1 особенно характерна для мультипликативной идентичности кольца, т. е. когда также присутствуют сложение и 0. Более того, если характеристика кольца n не равна 0, элемент, представленный цифрой 1, обладает свойством n 1 = 1 n = 0 (где этот 0 обозначает аддитивную идентичность кольца). Важными примерами, использующими эту концепцию, являются конечные поля . ^{[ нужна цитация ]} Матрица единиц или матрица «все единицы» определяется как матрица , состоящая полностью из единиц. ^[23]

Формализации натуральных чисел имеют свои собственные представления 1. Например, в исходной формулировке аксиом Пеано 1 служит отправной точкой в ​​последовательности натуральных чисел. ^{[24] Позже} Пеано пересмотрел свои аксиомы, заявив, что 0 является «первым» натуральным числом, таким образом, что 1 является преемником 0. [ ^25] В кардинальном присвоении натуральных чисел фон Неймана числа определяются как набор, содержащий все предыдущие числа. , где 1 представлено как синглтон {0}. ^[26] В лямбда-исчислении и теории вычислимости натуральные числа представлены кодировкой Чёрча как функции, где число Чёрча для 1 представлено функцией, примененной к аргументу один раз (1 ). ^[27] 1 является одновременно первым и вторым числом в последовательности Фибоначчи (0 — это ноль), а также является первым числом во многих других математических последовательностях . Как пан- многоугольное число , 1 присутствует в каждой многоугольной числовой последовательности как первое фигурное число каждого вида (например, треугольное число , пятиугольное число , центрированное шестиугольное число ). ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle fx=fx}$

Самый простой способ представления натуральных чисел — это унарная система счисления , используемая при подсчете чисел . ^[28] Ее часто называют «базой 1», поскольку требуется только одна отметка – сам подсчет. В отличие от базы 2 или базы 10 , это не позиционное обозначение . Поскольку показательная функция по основанию 1 (1 ^x ) всегда равна 1, ее обратная функция (т. е. логарифм по основанию 1) не существует. ^{[ нужна цитата ]}

Число 1 может быть представлено в десятичной форме двумя повторяющимися обозначениями: 1,000..., где цифра 0 повторяется бесконечно после десятичной точки, и 0,999... , которая содержит бесконечное повторение цифры 9 после десятичной точки. Последнее возникает из-за определения десятичных чисел как пределов их суммированных компонентов, например, «0,999...» и «1» представляют собой одно и то же число. ^[29]

Первичность

Хотя 1, кажется, соответствует наивному определению простого числа, поскольку оно делится без остатка только на 1 и на себя (также на 1), по соглашению 1 не является ни простым числом , ни составным числом . Это связано с тем, что 1 — единственное положительное целое число, которое делится ровно на одно положительное целое число, тогда как простые числа делятся ровно на два положительных целых числа, а составные числа делятся более чем на два положительных целых числа. Еще в начале 20 века некоторые математики считали 1 простым числом. ^[30] Однако преобладающим и устойчивым математическим консенсусом было исключение из-за его влияния на фундаментальную теорему арифметики и другие теоремы, связанные с простыми числами. Например, основная теорема арифметики гарантирует уникальную факторизацию целых чисел только до единиц, т. е. 4 = 2 ² представляет собой уникальную факторизацию. Однако, если включены единицы, 4 также можно выразить как (−1) ⁶ × 1 ²³ × 2 ² среди бесконечного множества подобных «факторизаций». ^[31] Более того, функция тотента Эйлера и функция суммы делителей для простых чисел отличаются от 1. ^{[32] [33]}

Другие математические атрибуты и использование

Во многих математических и инженерных задачах числовые значения обычно нормализуются так, чтобы они попадали в единичный интервал от 0 до 1, где 1 обычно представляет собой максимально возможное значение в диапазоне параметров. Например, по определению 1 — это вероятность события, которое абсолютно или почти наверняка произойдет. ^[34] Аналогично, векторы часто нормализуются в единичные векторы (т.е. векторы величины один), потому что они часто имеют более желательные свойства. Функции также часто нормализуются при условии, что они имеют целочисленное значение, максимальное значение или квадратичное целое, в зависимости от приложения. ^{[35] [36]}

В теории категорий 1 является конечным объектом категории, если существует уникальный морфизм . ^[37] В теории чисел 1 — это значение константы Лежандра , которая была введена в 1808 году Адриеном-Мари Лежандром для выражения асимптотического поведения функции подсчета простых чисел . Первоначально Лежандр предполагал, что это значение составляет примерно 1,08366, но в 1899 году Шарль Жан де ла Валле Пуссен доказал, что оно равно ровно 1 . ^{[38] [39]}

Определение поля требует , чтобы 1 не было равно . Таким образом, полей характеристики 1 не существует. Тем не менее абстрактная алгебра может рассматривать поле с одним элементом , которое не является одноэлементным и вообще не является множеством. ^{[ нужна цитата ]}

В числовых данных 1 является наиболее распространенной ведущей цифрой во многих наборах данных (встречается примерно в 30% случаев), что является следствием закона Бенфорда . ^[40]

1 — единственное известное число Тамагавы для односвязной алгебраической группы над числовым полем. ^{[41] [42]}

Производящая функция , все коэффициенты которой равны 1, представляет собой геометрическую прогрессию , определяемую формулой ^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots }$

Нулевое металлическое среднее равно 1, с золотым сечением , равным цепной дроби [1;1,1,...], и бесконечно ^{вложенным} квадратным ^{корнем .} ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {1+{\sqrt {{\text{ }}1+\cdots {\text{ }}}}}}.}$

Ряды единичных дробей , которые быстрее всего сходятся к 1, являются обратными последовательности Сильвестра , которые порождают бесконечную египетскую дробь . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots }$

Таблица основных расчетов

В технологии

В цифровой технологии данные представляются двоичным кодом , т. е. системой счисления с основанием -2, где числа представлены последовательностью единиц и нулей . Оцифрованные данные представлены в физических устройствах, таких как компьютеры , в виде импульсов электричества, проходящих через переключающие устройства, такие как транзисторы или логические элементы , где «1» представляет собой значение «включено». Таким образом, числовое значение true во многих языках программирования равно 1 . ^{[43] [44]}

В науке

• Безразмерные величины также известны как величины единичной размерности.
• Водород , первый элемент таблицы Менделеева, имеет атомный номер 1.
• 1-ю группу таблицы Менделеева составляют щелочные металлы .
• Первый период таблицы Менделеева состоит всего из двух элементов: водорода и гелия .

В философии

В философии Плотина (и других неоплатоников ) Единое — это высшая реальность и источник всего существования. ^[45] Филон Александрийский (20 г. до н. э. – 50 г. н. э.) считал число один числом Бога и основой всех чисел («De Allegoriis Legum», ii.12 [i.66]).

Неопифагорейский философ Никомах из Герасы утверждал, что единица — это не число, а источник числа. Он также считал, что число два является воплощением начала инаковости . Его теория чисел была восстановлена ​​Боэцием в его латинском переводе трактата Никомаха «Введение в арифметику» . ^[46]

Смотрите также

• Математический портал

• −1
• +1 (значения)
• Список математических констант
• Одно слово)
• Корень единства

Рекомендации

1. "Интернет-словарь этимологии" . etymonline.com . Дуглас Харпер. Архивировано из оригинала 30 декабря 2013 г. Проверено 30 декабря 2013 г.
2. Херфорд 1994, стр. 23-24.
3. Хаддлстон, Пуллум и Рейнольдс, 2022, стр. 117.
4. Хаддлстон, Пуллум и Рейнольдс, 2022, стр. 140.
5. Конвей и Гай 1996, стр. 3-4.
6. Хрисомалис, Стивен. «Числовые прилагательные, греческие и латинские префиксы чисел». Фронтистерия . Архивировано из оригинала 29 января 2022 г. Проверено 24 февраля 2022 г.
7. Конвей и Гай 1996, стр.4.
8. Конвей и Гай 1996, стр. 17.
9. Крисомалис 2010, стр. 241.
10. Крисомалис 2010, стр.244.
11. Конвей и Гай 1996, стр.17.
12. Крисомалис 2010, стр.249.
13. Ачарья, Эка Ратна (2018). «Свидетельства иерархии системы счисления Брахми». Журнал Инженерного института . 14 : 136–142. дои : 10.3126/jie.v14i1.20077 .
14. Каллен 2007, с. 93.
15. "Шрифты Hoefler&Co" . www.typography.com . Проверено 21 ноября 2023 г.
16. Компания ab, Post Haste Telegraph (2 апреля 2017 г.). «Почему в старых пишущих машинках нет клавиши «1»».
17. Кёлер, Кристиан (23 ноября 1693 г.). «Der allzeitfertige Rechenmeister» - через Google Книги.
18. "Naeuw-keurig reys-book: bysonderlijk dienstig voor kooplieden, en reysende personen, sijnde een trysoor voor den koophandel, in вздох begrijpende alle maate, en gewighte, Boekhouden, Wissel, Asseurantie...: vorders hoe men... kan Рейсен ... Нидерландт, Дуйчландт, Вранкрик, Спанжен, Португалия и Италия ...» Ян тен Хорн. 23 ноября 1679 г. - через Google Книги.
19. "Articvli Defensionales Peremptoriales & Elisivi, Bvrgermaister vnd Raths zu Nürmberg, Contra Brandenburg, In causa die Fraiszlich Obrigkait [et]c: Produ. 7. Feb. Anno [et]c. 33" . Хойслер. 23 ноября 1586 г. - через Google Книги.
20. Август (Герцог), Брауншвейг-Люнебург (23 ноября 1624 г.). «Густави Селени Cryptomenytices Et Cryptographiae Libri IX.: In quibus & planißima Steganographiae a Johnne Trithemio ... Magice & aenigmatice olim consscriptae, Enodatio traditur; Inspersis ubique Authoris ac Aliorum, non contemnendis inventis». Иоганн и Генрих Штерн - через Google Книги.
21. Грэм, Кнут и Паташник 1988, стр.111.
22. Вайсштейн, Эрик В. «1». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 26 июля 2020 г. Проверено 22 сентября 2020 г.
23. Хорн и Джонсон 2012, стр. 8.
24. Пеано 1889, с. 1.
25. Пеано 1908, с. 27.
26. Халмош 1974, с. 32.
27. Хиндли и Селдин 2008, с. 48.
28. Ходжес 2009, стр.14.
29. Стиллвелл 1994, стр.42.
30. Колдуэлл и Сюн 2012, стр. 8,9.
31. Колдуэлл и Сюн 2012, стр. 2,7.
32. Серпинский 1988, с. 245.
33. Сандифер 2007, с. 59.
34. Грэм, Кнут и Паташник 1988, стр.381.
35. Блохинцев 2012, стр. 35.
36. Сунг и Смит 2019.
37. Аводи 2010, с. 33.
38. Ла Валле Пуссен, C. Mém. Куроннес Акад. Рой. Бельгия 59, 1–74, 1899 г.
39. Пинц, Янош (1980). «О формуле простых чисел Лежандра». Американский математический ежемесячник . 87 (9): 733–735. дои : 10.2307/2321863. ISSN  0002-9890. JSTOR  2321863.
40. Миллер 2015, с. 4.
41. Котвиц 1988.
42. Гайцгори и Лурье, 2019, стр. 204–307.
43. Вудфорд, Крис (2006), Цифровые технологии, Evans Brothers, стр. 9, ISBN 978-0-237-52725-9, получено 24 марта 2016 г.
44. Годболе 2002, стр. 34.
45. Олсон 2017.
46. Британское общество истории науки (1 июля 1977 г.). «От счетов к алгоритмизму: теория и практика средневековой арифметики». Британский журнал истории науки . Издательство Кембриджского университета. 10 (2): Аннотация. дои : 10.1017/S0007087400015375. S2CID  145065082. Архивировано из оригинала 16 мая 2021 года . Проверено 16 мая 2021 г.

Источники

• Аводи, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета . стр. xv, 1–336. ISBN 978-0-19-958-736-0. Збл  1291.00036.
• Блохинцев, Д.И. (2012). Квантовая механика.
• Колдуэлл, Крис К.; Сюн, Йенг (2012). «Какое наименьшее простое число?». Журнал целочисленных последовательностей . Ватерлоо, Калифорния: Школа компьютерных наук Дэвида Р. Черитона Университета Ватерлоо . 15 (9, статья 12.9.7): 1–14. МР  3005530. Збл  1285.11001.
• Хрисомалис, Стивен (2010). Числовая запись: сравнительная история. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511676062. ISBN 978-0-521-87818-0.
• Конвей, Джон Х.; Гай, Ричард К. (1996). Книга чисел. Нью-Йорк: Публикации Коперника. дои : 10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 0614971667.
• Каллен, Кристин (2007). Рабочая тетрадь по макету: практическое руководство по созданию страниц в графическом дизайне. Глостер, Массачусетс: Rockport Publishers. стр. 1–240. ISBN 978-1-592-533-527.
• Гайтсгори, Деннис ; Лурье, Джейкоб (2019). Гипотеза Вейля для функциональных полей (том I). Анналы математических исследований. Том. 199. Принстон: Издательство Принстонского университета . стр. VIII, 1–311. дои : 10.2307/j.ctv4v32qc. ISBN 978-0-691-18213-1. МР  3887650. Збл  1439.14006.
• Годболе, Ачют С. (2002). Передача данных и сети. Тата МакГроу-Хилл Образование. ISBN 978-1-259-08223-8.
• Грэм, Рональд Л .; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1988). Конкретная математика . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-14236-8.
• Халмос, Пол Р. (1974). Наивная теория множеств. Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер . стр. VII, 1–104. дои : 10.1007/978-1-4757-1645-0. ISBN 0-387-90092-6. МР  0453532.
• Хиндли, Дж. Роджер ; Селдин, Джонатан П. (2008). Лямбда-исчисление и комбинаторы: Введение (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . стр. xi, 1–358. ISBN 978-1-139-473-248. МР  2435558.
• Ходжес, Эндрю (2009). От одного до девяти: внутренняя жизнь чисел. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: WW Norton & Company . стр. 1–330. ISBN 9780385672665. S2CID  118490841.
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2012). «0.2.8 Матрица и вектор, состоящие из одних единиц». Матричный анализ. Издательство Кембриджского университета. п. 8. ISBN 9780521839402..
• Хаддлстон, Родни Д .; Пуллум, Джеффри К .; Рейнольдс, Бретт (2022). Введение студента в грамматику английского языка (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 1–418. ISBN 978-1-316-51464-1. OCLC  1255524478.
• Херфорд, Джеймс Р. (1994). Грамматика: Путеводитель для студентов. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . стр. 1–288. ISBN 978-0-521-45627-2. ОСЛК  29702087.
• Котвиц, Роберт Э. (1988). «Числа Тамагавы». Анналы математики . 2. Принстон, Нью-Джерси: Принстонский университет и Институт перспективных исследований . 127 (3): 629–646. дои : 10.2307/2007007. JSTOR  2007007. МР  0942522.
• Миллер, Стивен Дж. , изд. (2015). Закон Бенфорда: теория и приложения. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . стр. XXVI, 1–438. ISBN 978-0-691-14761-1. МР  3408774.
• Олсон, Роджер (2017). Основы христианской мысли: взгляд на реальность через библейскую историю . Гранд-Рапидс, Мичиган: Зондерван Академик. стр. 1–252. ISBN 9780310521563.
• Пеано, Джузеппе (1889). Arithmetices principia, nova Methodo Exposita [ Принципы арифметики, представленные новым методом ]. Отрывок из трактата, в котором Пеано впервые представил свои аксиомы и рекурсивно определил арифметические операции. Турин: Братья Бокка. стр. xvi, 1–20. ЖФМ  21.0051.02.
• Пеано, Джузеппе (1908). Formulario Mathematico [ Математический формуляр ] (Вед.). Турин: Братья Бокка. стр. xxxvi, 1–463. ЯФМ  39.0084.01.
• Сандифер, К. Эдвард (2007). Как Эйлер это сделал. Празднование МАА Эйлера. Том. III. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . стр. 1–237. ISBN 978-0-88385-563-8. МР  2321397.
• Серпинский, Вацлав (1988). Элементарная теория чисел. Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 31 (2-е изд.). Эльзевир . стр. 1–513. ISBN 978-0-08-096019-7. МР  0930670.
• Стиллвелл, Джон (1994). Элементы алгебры: геометрия, числа, уравнения. Спрингер-Верлаг . стр. xi, 1–181. ISBN 9783540942900. МР  1311026. Збл  0832.00001.
• Сунг, Кельвин; Смит, Грегори (2019). Базовая математика для разработки игр с Unity 3D: Руководство для начинающих по основам математики.