2

Целое число 2

Натуральное число

2 ( два ) — это число , цифра и цифра . Это натуральное число, следующее за 1 и перед 3 . Это наименьшее и единственное четное простое число . Поскольку оно формирует основу двойственности , оно имеет религиозное и духовное значение во многих культурах .

Эволюция

арабская цифра

Цифра, используемая в современном западном мире для обозначения числа 2, уходит своими корнями в индийское брахмическое письмо , где цифра 2 была написана в виде двух горизонтальных линий. В современных китайском и японском языках (и корейском ханджа ) до сих пор используется этот метод. Скрипт Гупта повернул две линии на 45 градусов, сделав их диагональными. Верхняя линия иногда также укорачивалась и имела нижний конец, изогнутый к центру нижней линии. В письме Нагари верхняя линия была написана скорее как кривая, соединяющаяся с нижней линией. В арабском письме Губар нижняя линия была полностью вертикальной, а цифра выглядела как закрывающий вопросительный знак без точек. Восстановление нижней линии в исходное горизонтальное положение, но сохранение верхней линии в виде кривой, соединяющейся с нижней линией, приводит к нашей современной цифре. ^[1]

В шрифтах с текстовыми фигурами цифра 2 обычно имеет высоту x , например,. ^{[ нужна цитата ]}

Как слово

Два чаще всего является определителем , используемым с исчисляемыми существительными во множественном числе , например , «два дня» или «Я возьму эти два» . ^[2] Два — это существительное, когда оно относится к числу два, например, два плюс два — четыре.

Этимология двух

Слово два происходит от древнеанглийских слов twā ( женский род ), tū (средний род) и twēġen (мужской род, который сохранился и сегодня в форме twain). ^[3]

Произношение /tuː/ , как и у who, происходит из-за лабиализации гласной буквы w , которая затем исчезает перед соответствующим звуком. Таким образом , последовательными этапами произношения древнеанглийского twā будут /twɑː/ , /twɔː/ , /twoː/ , /twuː/ и, наконец, /tuː/ . ^[3]

Математика

Правило делимости

Целое число считается четным , если оно делится на 2. Для целых чисел, записанных в системе счисления, основанной на четном числе, например десятичной , делимость на 2 легко проверить, просто взглянув на последнюю цифру. Если оно четное, то и целое число четное. При записи в десятичной системе все числа, кратные 2, оканчиваются на , 2, 4, 6 или  8 . ^[4]

Характеристики

Число два — наименьшее и только четное простое число . Как наименьшее простое число, двойка также является наименьшим ненулевым проническим числом и единственным проническим простым числом. ^[5]

Каждое целое число больше 1 будет иметь как минимум два различных множителя; по определению простое число имеет только два различных делителя (само себя и 1). Следовательно, функция числа делителей натуральных чисел удовлетворяет: ${\displaystyle d(n)}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2,}$$

нижний предел^[6] ${\displaystyle \liminf }$

Конкретно,

• Число является неполным, если сумма его делителей меньше удвоенного числа, тогда как у обильного числа сумма собственных делителей больше, чем само число. Примитивные обильные числа — это обильные числа, у которых все собственные делители неполные.
• Число является совершенным , если оно равно своей аликвотной сумме или сумме всех своих положительных делителей, исключая само число. Это эквивалентно описанию совершенного числа как имеющего сумму делителей, равную . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma (n)}$ ${\displaystyle 2n}$

Простая диаграмма Венна , показывающая Vesica piscis как общую область между двумя кругами (одинаковыми, проходящими через центры друг друга ), и полезная для определения элементарных операций над множествами, таких как объединение , пересечение (здесь) и дополнение между множествами, относительно их универсальный набор . ${\displaystyle r}$

В теоретико-множественной конструкции натуральных чисел отождествляется с множеством , где обозначает пустое множество . Этот последний набор важен в теории категорий : он является классификатором подобъектов в категории множеств. В более широком смысле набор, представляющий собой поле , содержит минимум два элемента . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{\{\varnothing \},\varnothing \}}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Двоичная система имеет основание двойки, и именно система счисления с наименьшим количеством знаков позволяет обозначать натуральное число существенно более лаконично (с знаками), чем прямое представление соответствующим счетом одного знака (с знаками). Эта система счисления широко используется в вычислительной технике . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \log _{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

В евклидовом пространстве любой размерности больше нуля двух различных точек на плоскости всегда достаточно , чтобы определить единственную линию . ^{[ нужна цитата ]}

Канторово пространство

Канторово пространство — топологическое пространство, гомеоморфное канторову множеству , общее множество которого — замкнутое множество, состоящее исключительно из граничных точек . Счётно -бесконечная топология произведения простейшего дискретного двухточечного пространства , , является традиционным элементарным примером канторова пространства. Точки, начальные условия которых остаются на границе логистической карты , образуют множество Кантора, где значения начинают расходиться за пределы Между и популяция приближается к колебаниям между значениями, прежде чем наступает хаос . ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$ ${\displaystyle r=4.}$ ${\displaystyle r\approx 3.45}$ ${\displaystyle 3.57}$ ${\displaystyle 8,16,...,2^{n},\ldots ,2^{\infty }}$

Полномочия 2

Два — это первый показатель простого числа Мерсенна и разница между первыми двумя простыми числами Ферма ( 3 и 5 ). Степени двойки необходимы в информатике и важны для построения правильных многоугольников с использованием базовых инструментов (например, с помощью простых чисел Ферма или Пьерпона ). — единственное число, сумма обратных его натуральных степеней равна самому себе. В символах, ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}$

Два также обладает уникальным свойством: на любом уровне гипероперации , обозначенном здесь стрелкой вверх Кнута , все эквивалентно ${\displaystyle 2+2=2\times 2=2^{2}=2\uparrow \uparrow 2=2\uparrow \uparrow \uparrow 2={\text{ }}...}$ ${\displaystyle 4.}$

Примечательно, что суммы строк в треугольнике Паскаля эквивалентны последовательным степеням двойки, ^{[7] [8]} ${\displaystyle 2^{n}.}$

Целочисленные последовательности

Числа два и три — единственные два простых числа, которые также являются последовательными целыми числами . Два — это первое простое число, у которого нет правильного простого числа-близнеца с разницей в два, а три — первое такое простое число, у которого есть простое число-близнец — пять . ^{[9] [10]} Следовательно, три и пять заключают в себе четыре между ними, что является квадратом двух, . Это также два нечетных простых числа, которые входят в число единственных чисел Харшада ( 1 , 2 , 4 и 6 ) ^[11] , которые также являются первыми четырьмя очень составными числами , ^[12] с 2 — единственным числом, которое является как простое число, так и весьма составное число. Кроме того, – это уникальная пара простых чисел-близнецов , которая дает вторую и единственную четверку простых чисел , имеющую вид , где – произведение указанных простых чисел-близнецов. ^[13] ${\displaystyle 2^{2}}$ ${\displaystyle (3,5)}$ ${\displaystyle (q,q+2)}$ ${\displaystyle (11,13,17,19)}$ ${\displaystyle (d-4,d-2,d+2,d+4)}$ ${\displaystyle d}$

Внутри других важных целочисленных последовательностей

• 2 — первое простое число Софи Жермен , ^[14] — первое простое число факториала , ^[15] — первое простое число Люка , ^[16] и первое простое число Рамануджана . ^[17]
• 2 также является числом Моцкина , ^[18] числом Белла , [ ^19] и третьим (или четвертым) числом Фибоначчи . ^[20]
• 2 — меандрическое число , ^{[21] —} полумеандрическое число , ^[22] и открытое меандрическое число . ^[23]

${\displaystyle 2}$— наименьшее первичное псевдосовершенное число [ ^24] и первое число, возвращающее ноль для функции Мертенса . ^[25] Среднее гармоническое делителей — наименьшего совершенного числа , унитарного совершенного числа и числа Оре, большего — также равно . В частности, сумма обратных величин всех ненулевых треугольных чисел сходится к 2. ^[26] С другой стороны, числа не могут быть разложены в магическом квадрате , который дает магическую константу , и поэтому они являются единственными нулевыми числами. с помощью набора магических квадратов. ^{[27] [а]} Есть только два известных возвышенных числа , которые представляют собой числа с прекрасным числом делителей, сумма которых сама по себе дает совершенное число : ^[28] ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle 12=(2^{2})\times (2^{2}-1)}$
• ${\displaystyle 6\;086\;\ldots \;264=(2^{126})\times (2^{61}-1)\times (2^{31}-1)\times (2^{19}-1)\times (2^{7}-1)\times (2^{5}-1)\times (2^{3}-1)}$

Последний представляет собой число длиной семьдесят шесть цифр (в десятичном представлении).

Что касается чисел Бернулли , то по соглашению они имеют нерегулярность [ ^29] ${\displaystyle B_{2k}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle -1.}$

Итеративные последовательности

В последовательности Туэ-Морса , которая последовательно присоединяется к двоичному логическому дополнению начиная с (последовательно), критический показатель степени или наибольшее число раз, когда повторяется прилегающая подпоследовательность , равен , где существует огромное количество квадратных слов формы ^{[ 30]} Кроме того, в , который подсчитывает случаи между последовательными вхождениями в который вместо этого не содержит квадратов , критический показатель степени также равен , поскольку содержит коэффициенты показателей, близкие к из-за содержания большого фактора квадратов. ^[31] В общем, порог повторения бесконечного двоичного слова будет равен ^[32] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle ww.}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle c=\{210201210120\ldots \}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}.}$

В функции «посмотри и скажи» Джона Конвея , которую можно точно представить с помощью четверичной системы счисления , две последовательные двойки (как в «22» для «двух двойок») или, что эквивалентно, «2-2», являются единственной фиксированной точкой. . ^[33]

число Эйлера

${\displaystyle e}$можно упростить до равного,

$${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=2+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$$

Непрерывная дробь повторяет образец , начиная со второго члена. ^{[34] [35]} ${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,8,...]}$ ${\displaystyle \{1,2n,1\}}$

Геометрия

Что касается правильных многоугольников в двух измерениях:

• Равносторонний треугольник имеет наименьшее отношение радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу любого треугольника согласно неравенству Эйлера , при этом ^[36] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}=2.}$

• Длинная диагональ правильного шестиугольника имеет длину 2, если его стороны имеют единичную длину . ^{[ нужна цитата ]}

• Размах восьмиугольника находится в пропорции серебра к его сторонам, которую можно вычислить с помощью цепной дроби [ ^37] ${\displaystyle \delta _{s}}$ ${\displaystyle [2;2,2,...]=2.414\;235\dots }$

В то время как квадрат с единичной длиной стороны имеет диагональ, равную , диагональ пространства внутри тессеракта имеет размер 2, когда длины его сторон имеют единичную длину. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Дигон — это многоугольник с двумя сторонами (или краями ) и двумя вершинами . На круге это мозаика с двумя противоположными точками и дуговыми краями 180°. ^{[ нужна цитата ]}

Для любого многогранника , гомеоморфного сфере , эйлерова характеристика равна , где – число вершин , – количество ребер, – количество граней . С другой стороны, двойной тор имеет эйлерову характеристику , а неориентируемая поверхность того же рода имеет характеристику . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \chi =V-E+F=2}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \chi =2-k}$

Простейшая мозаика в двумерном пространстве , хотя и неправильная, представляет собой мозаику из двусторонних апейрогонов , соединенных по всем своим краям и совпадающих вокруг линии , делящей плоскость пополам. Эта апейрогональная мозаика второго порядка является арифметическим пределом семейства диэдров . ^{[ нужна цитация ]} Второе измерение также является единственным измерением, где существует как бесконечное число евклидовых и гиперболических правильных многогранников (как многоугольников ), так и бесконечное количество правильных гиперболических паракомпактных мозаик . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \{p,2\}}$

Перечень основных расчетов

В науке

• Число полинуклеотидных цепей в двойной спирали ДНК . ^[38]
• Первое магическое число . ^[39]
• Атомный номер гелия .​ ^[40]

Смотрите также

• Двоичное число

Примечания

1. Между тем, магическая константа обычной трехконечной волшебной звезды равна . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M=4n+2}$

Рекомендации

1. Жорж Ифра, Универсальная история чисел: от предыстории до изобретения компьютера пер. Дэвид Беллос и др. Лондон: The Harvill Press (1998): 393, рис. 24.62.
2. Хаддлстон, Родни Д .; Пуллум, Джеффри К .; Рейнольдс, Бретт (2022). Введение студента в грамматику английского языка (2-е изд.). Кембридж, Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета . п. 117. ИСБН 978-1-316-51464-1. OCLC  1255524478.
3. "два, прил., сущ. и нар." . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
4. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005843 (неотрицательные четные числа)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2022 г.
5. "A002378 Слоана: числа Проника" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС. Архивировано из оригинала 9 июня 2016 г. Проверено 30 ноября 2020 г.
6. Харди, GH ; Райт, Э.М. (2008), Введение в теорию чисел , отредактированное Д. Р. Хит-Брауном и Дж. Х. Сильверманом . Предисловие Эндрю Уайлса . (6-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press , стр. 342–347, §18.1, ISBN 978-0-19-921986-5, МР  2445243, Збл  1159.11001

   Также, . ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2}$

7. Смит, Карл Дж. (1973). «Треугольник Паскаля». Двухлетний математический журнал колледжа . 4 (1). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки : 4. doi : 10.2307/2698949. JSTOR  2698949. S2CID  265738469.
8. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000079 (Степень 2: a(n) равна 2^n.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2023 г.
9. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007510 (Одиночные (или изолированные, или неблизнецовые) простые числа: простые числа p такие, что ни p-2, ни p+2 не являются простыми.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 декабря 2022 г.
10. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001359 (меньшее из простых чисел-близнецов)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 декабря 2022 г.
11. PrimeFan (22 марта 2013 г.). «Число Харшада». ПланетаМатематика . Проверено 18 декабря 2023 г.
12. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002182 (Высокосоставные числа, определение (1): числа n, где d(n), количество делителей n (A000005), увеличивается до записи.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 декабря 2023 г.
13. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A136162 (Список простых четверок {p, p+2, p+6, p+8}.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 июня 2023 г.

    «{11, 13, 17, 19} — единственная простая четверка {p, p+2, p+6, p+8} формы {Q-4, Q-2, Q+2, Q+4} где Q — произведение пары простых чисел-близнецов {q, q+2} (для простого числа q = 3), поскольку числа Q-2 и Q+4 для q>3 являются составными числами вида 3*(12*k^ 2-1) и 3*(12*k^2+1) соответственно (k — целое число)».

14. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005384 (Софи Жермен простые числа p: 2p+1 также является простым.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2022 г.
15. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A088054 (Факториальные простые числа: простые числа, находящиеся в пределах 1 от факториала.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2022 г.
16. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005479 (простые числа Люка)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2022 г.
17. "A104272 Слоана: простые числа Рамануджана" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС. Архивировано из оригинала 28 апреля 2011 г. Проверено 1 июня 2016 г.
18. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001006 (числа Моцкина: количество способов нарисовать любое количество непересекающихся хорд, соединяющих n (помеченных) точек на окружности.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2022 г.
19. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000110 (Колокол или экспоненциальные числа: количество способов разделить набор из n помеченных элементов.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2022 г.
20. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000045 (числа Фибоначчи)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2022 г.
21. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005315 (Замкнутые меандрические числа (или меандры): количество способов, которыми петля может пересечь дорогу 2n раз.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2022 г.
22. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000682 (Полумеандры: количество способов, которыми полубесконечная направленная кривая может пересечь прямую линию n раз.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2022 г.
23. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005316 (Меандрические числа: количество способов, которыми река может пересечь дорогу n раз.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2022 г.
24. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054377 (Первичные псевдосовершенные числа: числа n > 1 такие, что 1/n + сумма 1/p равна 1, где сумма находится по простым числам p | n.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 февраля 2024 г.
25. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A028442 (числа k такие, что функция Мертенса M(k) (A002321) равна нулю.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
26. Грабовски, Адам (2013). «Многоугольные числа». Формализованная математика . 21 (2). Сьендо ( Де Грюйтер ): 103–113. дои : 10.2478/forma-2013-0012 . S2CID  15643540. Збл  1298.11029.
27. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006052 (Количество магических квадратов порядка n, состоящих из чисел от 1 до n^2, с точностью до вращений и отражений.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 21 июля 2022 г.
28. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A081357 (возвышенные числа)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 июля 2022 г.
29. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A061576 (Наименьшее простое число индекса неправильности n.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 25 марта 2024 г.
30. Кригер, Далия (2006). «О критических показателях в неподвижных точках нестирающихся морфизмов». В Ибарре, Оскар Х.; Данг, Чжэ (ред.). Развитие теории языка: материалы 10-й Международной конференции, DLT 2006, Санта-Барбара, Калифорния, США, 26–29 июня 2006 г. Конспекты лекций по информатике. Том. 4036. Шпрингер-Верлаг . стр. 280–291. ISBN 978-3-540-35428-4. Збл  1227.68074.
31. Шеффер, Люк; Шалит, Джеффри (2012). «Критический показатель вычислим для автоматических последовательностей». Международный журнал основ компьютерных наук . 23 (8 (Слова специального выпуска, 2011 г.)). Сингапур: World Scientific : 1611–1613. arXiv : 1104.2303 . дои : 10.1142/S0129054112400655. МР  3038646. S2CID  38713. Збл  1285.68138.
32. Карри, Джеймс Д.; Мол, Лукас; Рамперсад, Нарад (2020). «Порог повторения для двоичных слов». Дискретная математика и теоретическая информатика . 22 (1). Бойсе, ID: Episciences: 1–16. дои : 10.23638/DMTCS-22-1-6 . МР  4075140. S2CID  199501906. Збл  1456.68135.
33. Мартин, Оскар (2006). «Биохимия «Посмотри и скажи: экспоненциальная РНК и многоцепочечная ДНК» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (4). Математическая ассоциация Америки: 289–307. дои : 10.2307/27641915. ISSN  0002-9890. JSTOR  27641915. Архивировано из оригинала (PDF) 24 декабря 2006 г. Проверено 21 июля 2022 г.
34. Кон, Генри (2006). «Краткое доказательство разложения числа e в простую цепную дробь». Американский математический ежемесячник . 113 (1). Тейлор и Фрэнсис, ООО : 57–62. дои : 10.1080/00029890.2006.11920278. JSTOR  27641837. MR  2202921. S2CID  43879696. Zbl  1145.11012. Архивировано из оригинала 30 апреля 2023 г. Проверено 30 апреля 2023 г.
35. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005131 (обобщенная цепная дробь для числа Эйлера e.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 апреля 2023 г.

    «Только a(1) = 0 не позволяет этому быть простой цепной дробью. Мотивацией для этого альтернативного представления является то, что простой шаблон {1, 2*n, 1} (начиная с n=0) может быть более математически привлекательным, чем образец в соответствующей простой цепной дроби (по адресу A003417)».

36. Свртан, Драгутин; Вельян, Дарко (2012). «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника» (PDF) . Форум Геометрикорум . 12 . Бока-Ратон, Флорида: Департамент математических наук Атлантического университета Флориды : 198. ISSN  1534-1178. МР  2955631. S2CID  29722079. Збл  1247.51012. Архивировано (PDF) из оригинала 3 мая 2023 г. Проверено 30 апреля 2023 г.
37. Вера В. де Шпинадель (1999). «Семейство металлических средств». Визуальная математика . 1 (3). Белград: Математический институт Сербской академии наук. eISSN  1821-1437. S2CID  125705375. Збл  1016.11005. Архивировано из оригинала 26 марта 2023 г. Проверено 25 февраля 2023 г.
38. «Двухцепочечная ДНК». Возбудимый . Природное образование. Архивировано из оригинала 24 июля 2020 г. Проверено 22 декабря 2019 г.
39. «Полное объяснение ядерно-магических чисел, указывающих на заполнение нуклонных оболочек, и раскрытие специальных чисел, указывающих на заполнение подоболочек внутри этих оболочек». www.sjsu.edu . Архивировано из оригинала 2 декабря 2019 г. Проверено 22 декабря 2019 г.
40. Безденежный, В.П. (2004). «Ядерные изотопы и магические числа». Одесские астрономические издания . 17 : 11. Бибкод :2004OAP....17...11B.

Внешние ссылки

• Математический портал

• Главные раритеты: 2