5

Целое число 5

Натуральное число

5 ( пять ) — это число , цифра и цифра . Это натуральное число и кардинальное число , следующее за 4 и предшествующее 6 , и является простым числом . Это привлекало внимание на протяжении всей истории отчасти потому, что дистальные конечности человека обычно содержат пять пальцев .

Эволюция арабской цифры

Эволюцию современной западной цифры для цифры 5 нельзя проследить до индийской системы , как и для цифр от 1 до 4. Империи Кушан и Гуптов на территории нынешней Индии имели между собой несколько форм, не имеющих никакого сходства с современными. цифра. Нагари и пенджабцы взяли эти цифры и получили формы, похожие на строчную букву «h», повернутую на 180° . Арабы Губара трансформировали цифру несколькими способами, в результате чего она была больше похожа на цифры 4 или 3, чем на 5. ^[1] Именно из этих цифр европейцы наконец придумали современную цифру 5.

В то время как форма символа цифры 5 в большинстве современных шрифтов имеет восходящую часть , в шрифтах с текстовыми фигурами глиф обычно имеет нижний нижний предел , как, например, в.

На семисегментном дисплее калькулятора и цифровых часов он представлен пятью сегментами, совершающими четыре последовательных поворота сверху вниз, вращающимися сначала против часовой стрелки, затем по часовой стрелке и наоборот. Это одно из трех чисел наряду с 4 и 6, где количество сегментов соответствует числу.

Математика

Первая пифагорова тройка с гипотенузой ${\displaystyle 5}$

Пять — третье по величине простое число и второе суперпростое число . ^[2] Это первое безопасное простое число , ^[3] первое хорошее простое число , ^[4] первое сбалансированное простое число , ^[5] и первое из трех известных простых чисел Вильсона . ^[6] Пять — второе простое число Ферма , ^[2] второе простое число Прота , ^[7] и третье простое число Мерсенна , ^[8] , а также третье каталонское число ^[9] и третье простое число Софи Жермен . ^[2] Примечательно, что 5 равно сумме единственных последовательных простых чисел 2 + 3 , и это единственное число, которое является частью более чем одной пары простых чисел-близнецов ( 3 , 5) и (5, 7 ). ^{[10] [11]} Он также образует первую пару сексуальных простых чисел с 11 , ^[12] которое является пятым простым числом и числом Хигнера , ^[13] , а также первым простым числом повторения в десятичной системе счисления ; основание, в котором пять также является первым нетривиальным 1- автоморфным числом . ^[14] Пять — это третий факториал , ^[15] и знакопеременный факториал . ^[16] Это также простое число Эйзенштейна (например, 11) без мнимой и действительной части формы . ^[2] В частности, пять — это первое конгруэнтное число , так как это длина гипотенузы наименьшего целостороннего прямоугольного треугольника . ^[17] ${\displaystyle 3p-1}$

Теория чисел

5 — пятое число Фибоначчи , равное 2 плюс 3, ^[2] и единственное число Фибоначчи, равное своей позиции, кроме 1 (это также второй индекс). Пять также является числом Пелля и числом Маркова , появляющимися в решениях диофантового уравнения Маркова: (1, 2, 5), (1, 5, 13 ), (2, 5, 29 ), (5, 13, 194). ), (5, 29, 433), ... ( OEIS : A030452 перечисляет числа Маркова, которые появляются в решениях, где один из двух других членов равен 5). В последовательности Перрена 5 — это и пятое, и шестое числа Перрена . ^[18]

5 — второе простое число Ферма формы и, в более общем смысле, второе число Серпинского первого рода . ^[19] Всего известно пять простых чисел Ферма, в том числе 3 , 17 , 257 и 65537 . ^[20] Сумма первых трёх простых чисел Ферма, 3, 5 и 17, даёт 25 или 5 ² , а 257 — 55-е простое число. Комбинации из этих пяти простых чисел Ферма генерируют тридцать один многоугольник с нечетным числом сторон , которые можно построить исключительно с помощью циркуля и линейки , включая пятисторонний правильный пятиугольник . ^{[21] [22] : с.137–142} Кстати, тридцать один также равен сумме максимального числа площадей внутри круга, образованных из сторон и диагоналей первых пятисторонних многоугольников , что составляет равен максимальному количеству площадей, образуемых шестигранным многоугольником; по задаче о круге Мозера . ^{[23] [22] : стр. 76–78.} ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ ${\displaystyle n^{n}+1}$ ${\displaystyle n}$

5 также является третьим простым показателем Мерсенна формы , что дает , одиннадцатое простое число и пятое суперпростое число . ^{[24] [25] [2]} Это простой индекс третьего простого числа Мерсенна и второго двойного простого числа Мерсенна 127 , ^[26] а также третьего двойного простого числа Мерсенна для числа 2 147 483 647 , ^[26] которое является самым большим значение, которое может содержать знаковое 32-битное целочисленное поле . Есть только четыре известных двойных простых числа Мерсенна, причем пятый кандидат двойного простого числа Мерсенна = 2 ^{23058...93951} - 1 слишком велик для вычисления на современных компьютерах. В родственной последовательности первые пять членов последовательности чисел Каталана–Мерсенна являются единственными известными простыми членами, а шестой возможный кандидат имеет порядок 10 ^{10 37,7094} . Предполагается, что эти простые последовательности являются простыми до определенного предела. ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle 31}$ ${\displaystyle M_{M_{61}}}$ ${\displaystyle M_{c_{n}}}$

Всего известно пять унитарных совершенных чисел , которые являются числами, являющимися суммами своих положительных собственных унитарных делителей . ^{[27] [28]} Наименьшее такое число — 6, а наибольшее из них эквивалентно сумме 4095 делителей, где 4095 — наибольшее из пяти чисел Рамануджана–Нагеля , которые являются как треугольными числами, так и числами Мерсенна общего вида. . ^{[29] [30]} Суммы первых пяти непростых чисел больше нуля 1 + 4 + 6 + 8 + 9 и первых пяти простых чисел 2 + 3 + 5 + 7 + 11 равны 28 ; седьмое треугольное число и, как и 6 , совершенное число , которое также включает 496 , тридцать первое треугольное число и совершенное число формы ( ) с a of , по теореме Евклида-Эйлера . ^{[31] [32] [33]} В большем семействе чисел Оре 140 и 496 , соответственно, четвертый и шестой индексированные члены, оба содержат набор делителей , которые производят целочисленные гармонические средние значения , равные 5. ^{[34] [35]} Пятое простое число Мерсенна, 8191 , ^[25] распадается на 4095 и 4096 , причем последнее является пятым сверхсовершенным числом ^[36] и шестой степенью четырёх, 4 ⁶ . ${\displaystyle 2^{p-1}}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 5}$

Фигурные числа

В фигурных числах 5 — пятиугольное число , последовательность пятиугольных чисел начинается с: 1, 5 , 12, 22, 35, … ^[37]

• 5 — центрированное тетраэдрическое число : 1, 5 , 15, 35, 69, ... ^[38] Каждое центрированное тетраэдрическое число с индексом 2, 3 или 4 по модулю 5 делится на 5.
• 5 — квадратное пирамидальное число : 1, 5 , 14, 30, 55, ... ^[39] Первые четыре члена в сумме дают 50 , а пятый индексированный член последовательности равен 55 .
• 5 — центрированное квадратное число : 1, 5 , 13, 25, 41, ... ^[40] Пятое квадратное число или 5 ² — это 25 , которое имеет пропорции двух наименьших (3, 4, 5 ) и ( 5 , 12, 13) примитивные пифагоровы тройки . ^[41]

Факториал пяти кратно совершенен , как 28 и 496. ^[42] Это сумма первых пятнадцати ненулевых положительных целых чисел и 15-го треугольного числа , которое, в свою очередь, является суммой первых пяти ненулевых положительных целых чисел и 5-е треугольное число. Кроме того, , где 125 — второе число, аликвотная сумма которого равна 31 ( после пятой степени двойки , 32). ^[43] Само по себе число 31 является первым пятиугольным числом с простым центром , ^[44] и пятым центрированным треугольным числом . ^[45] В совокупности пять и тридцать один образуют сумму 36 ( квадрат 6 ) и разность 26 , что является единственным числом, лежащим между квадратом и кубом ( соответственно 25 и 27 ). ^[46] Пятое пятиугольное и тетраэдрическое число равно 35 , что равно сумме первых пяти треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15. ^[47] В последовательности пентатопных чисел , начинающихся с первого ( или пятая) ячейка пятого ряда треугольника Паскаля (слева направо или справа налево), первые несколько членов таковы: 1, 5, 15, 35, 70 , 126, 210, 330, 495,... ^{[ 48]} Первые пять членов этой последовательности в сумме дают 126 , что также является шестым пятиугольным пирамидальным числом ^[49] , а также пятым совершенным числом Гранвилля . ^[50] Это третье число Гранвилля, которое не является совершенным , и единственное известное такое число с тремя различными простыми делителями. ^[51] ${\displaystyle 5!=120}$ ${\displaystyle 120+5=125=5^{3}}$ ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle b^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

55 — пятнадцатое дискретное бипростое число , ^[52] равное произведению 5, пятого простого числа и третьего суперпростого числа 11 . ^[2] Эти два числа также образуют вторую пару (5, 11) чисел Брауна , гдепять также является вторым числом, принадлежащим первой паре ( 4 , 5); всего лишь пять различных чисел (4, 5, 7, 11 и 71) необходимы для создания набора известных пар чисел Брауна, где третья и самая большая пара — ( 7 , 71 ). ^{[53] [54]} Пятьдесят пять — это также десятое число Фибоначчи , ^[55] сумма цифр котороготакже равна 10 в десятичном представлении. Это десятое треугольное число и четвертое двояко- треугольное число ^[56] ,пятоесемиугольное число ^[57] и четвертое центрированное девятиугольное число ^[58] и, как указано выше, пятое квадратно-пирамидальное число. ^[39] Последовательность треугольных чисел, являющихся степенями 10, такова: 55, 5050 , 500500 , ... ^[59] 55 по основанию десять также является четвертым числом Капрекара , как и все треугольные числа, являющиеся степенями десяти, которые изначально включает 1 , 9 и 45 , ^[60] причем сорок пять — девятое треугольное число, где 5 находится посередине между 1 и 9 в последовательности натуральных чисел . 45 также предполагаетсячислом Рамсея ^{[61] [62]} и является числом Шредера – Гиппарха ; следующее и пятое такое число — 197 , сорок пятое простое число ^[24] , которое представляет количество способов разрезать семиугольник на меньшие многоугольники путем вставки диагоналей . ^[63] С другой стороны, пятисторонний выпуклый пятиугольник имеет одиннадцать способов разделения таким образом. ^[а] ${\displaystyle (n,m)}$ ${\displaystyle n!+1=m^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(5,5)}$

Волшебные фигуры

Самый маленький нетривиальный магический квадрат

5 — значение центральной ячейки первого нетривиального нормального магического квадрата , называемого квадратом Луошу . Его массив имеет магическую константу , где суммы его строк, столбцов и диагоналей равны пятнадцати. ^[64] С другой стороны, нормальный магический квадрат ^[b] имеет магическую константу , где 5 и 13 — первые два простых числа Вильсона . ^[4] Пятое число, возвращаемое функцией Мертенса, — 65 , ^[65] с подсчетом количества целых чисел без квадратов до четного числа простых множителей минус количество чисел с нечетным числом простых множителей. 65 — девятнадцатое двупростое число с различными простыми множителями, ^[52] также с аликвотной суммой 19 ^[43] и эквивалентно 1 ⁵ + 2 ⁴ + 3 ³ + 4 ² + 5 ¹ . ^[66] Это также магическая константа проблемы ферзей для , ^[67] пятого восьмиугольного числа , ^[68] и числа Стирлинга второго рода , которое представляет шестьдесят пять способов разделения набора из шести объектов на четыре не -пустые подмножества . ^[69] 13 и 5 — это также четвертое и третье числа Маркова соответственно, где шестой член в этой последовательности ( 34 ) — это магическая константа обычной магической октаграммы и магического квадрата. ^[70] Между этими тремя числами Маркова находится десятое простое число 29 ^[24] , которое представляет количество пятикубов , когда отражения считаются различными; это число также является пятым простым числом Люкаса после 11 и 7 (где первое простое число, не являющееся простым числом Люкаса, равно 5, за которым следует 13). ^[71] Магическая константа 505 генерируется обычным магическим квадратом, ^[70] где 10 — пятый составной . ^[72] ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \mathrm {M} }$ ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle 5\times 5}$ ${\displaystyle \mathrm {M} }$ ${\displaystyle 65=13\times 5}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n-}$ ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle S(6,4)}$ ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle 10\times 10}$

5 также является значением центральной ячейки — единственного нетривиального нормального магического шестиугольника , состоящего из девятнадцати ячеек. ^{[73] [c]} Где сумма магических констант этого нормального магического шестиугольника 3-го порядка ( 38 ) и нормального магического квадрата 5-го порядка (65) равна 103 — простой индекс третьего простого числа Вильсона 563, равный сумма всех трех пар чисел Брауна — их разница равна 27, что само по себе является простым индексом 103. ^[24] В десятичной системе счисления 15 и 27 — единственные двузначные числа, которые равны сумме своих цифр (включительно). , т.е. 2 + 3 + ... + 7 = 27), причем эти два числа являются последовательными совершенными числами после 3 и 9 . ^[74] 103 — пятое нерегулярное простое число ^[75] , которое делит числитель (236364091) двадцать четвертого числа Бернулли и как таковое является частью восьмой нерегулярной пары (103, 24). ^[76] В двумерном массиве число плоских разбиений с суммой четыре равно тринадцати, а количество таких разбиений с суммой пять — двадцать четыре, ^[77] величина, равная сумме- делителей девятого арифметического числа 15 ^[78] , чьи делители также дают среднее арифметическое число 6 [ ^79] (наряду с аликвотной суммой 9). ^[43] Наименьшее значение, которое может иметь магическая константа пятиконечной магической пентаграммы при использовании различных целых чисел, равно 24. ^{[80] [d]} ${\displaystyle B_{24}}$

Гипотеза Коллатца

В задаче Коллатца 3 x + 1 5 требует пяти шагов, чтобы достичь единицы путем умножения членов на три и добавления одного, если член нечетный (начиная с самого пяти), и деления на два, если они четные: {5 ➙ 16 ➙ 8 ➙ 4 ➙ 2 ➙ 1}; единственное другое число, требующее пяти шагов, - это 32 , поскольку 16 должно быть частью такого пути ( карту орбит для малых нечетных чисел см. в ^[e] ). ^{[81] [82]}

В частности, 120 нужно пятнадцать шагов, чтобы прийти к 5: { 120 ➙ 60 ➙ 30 ➙ 15 ➙ 46 ➙ 23 ➙ 70 ➙ 35 ➙ 106 ➙ 53 ➙ 160 ➙ 80 ➙ 40 ➙ 20 ➙ 10 ➙ 5 }. Они включают в себя в общей сложности шестнадцать чисел перед циклическим переходом через {16 ➙ 8 ➙ 4 ➙ 2 ➙ 1}, где 16 — наименьшее число ровно с пятью делителями, ^[83] и одно из двух чисел, аликвотная сумма которых равна 15 . другому 33 . ^[43] В противном случае траектория 15 требует семнадцати шагов, чтобы достичь 1, ^[82] где ее сокращенная траектория Коллатца равна пяти при подсчете шагов {23, 53, 5, 2, 1}, которые являются простыми, включая 1. ^[84] В целом, тринадцать чисел в карте Коллатца для 15 обратно в 1 являются составными , ^[81] где наибольшее простое число на траектории 120 обратно в {4 ➙ 2 ➙ 1 ➙ 4 ➙ ...} является шестнадцатым простым числом. номер, 53 . ^[24]

При обобщении гипотезы Коллатца на все положительные или отрицательные целые числа , −5 становится одной из четырех известных возможных начальных и конечных точек цикла, а в данном случае также за пять шагов: {−5 ➙ −14 ➙ −7 ➙ −20 ➙ − 10 ➙ −5 ➙ ...}. Другие возможные циклы начинаются и заканчиваются в -17 за восемнадцать шагов, в -1 за два шага и 1 за три шага. Это поведение аналогично циклу пути из пяти в задаче 3 x - 1 , где 5 выполняет пять шагов для циклического возврата, в данном случае путем умножения членов на три и вычитания 1, если члены нечетные, а также деления пополам, если четные. ^[85] Это также первое число, порождающее нетривиальный цикл (т.е. 1 ➙ 2 ➙ 1 ➙ ...). ^[86]

Обобщения

Нерешенная задача по математике :

Является ли 5 ​​единственным нечетным неприкасаемым числом?

(еще нерешенные задачи по математике)

Предполагается , что пять — единственное нечетное неприкасаемое число , и если это так, то пять будет единственным нечетным простым числом, которое не является основой аликвотного дерева. ^[87] Тем временем:

• Каждое нечетное число, большее, является суммой не более пяти простых чисел, ^[88] и ${\displaystyle 1}$
• Предполагается, что любое нечетное число, большее, можно выразить как сумму трех простых чисел. Хелфготт предоставил доказательство этого ^[89] (также известного как странная гипотеза Гольдбаха ), которое уже широко признано математиками, поскольку оно все еще проходит рецензирование . ${\displaystyle 5}$

Как следствие малой теоремы Ферма и критерия Эйлера , все квадраты конгруэнтны , 1 , 4 (или −1 ) по модулю 5. ^[90] В частности, все целые числа могут быть выражены как сумма пяти ненулевых квадратов . ^{[91] [92]} ${\displaystyle n\geq 34}$

Что касается проблемы Уоринга , где каждое натуральное число представляет собой сумму не более тридцати семи пятых степеней . ^{[93] [94]} ${\displaystyle g(5)=37}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Существует пять счетных бесконечных классов Рамсея перестановок , где возраст каждой счетной однородной перестановки образует отдельный класс Рамсея объектов , такой что для каждого натурального числа и каждого выбора объектов не существует объекта, где в любом - раскраска всех подобъектов изоморфного существует одноцветный подобъект , изоморфный . ^{[95] : стр.1, 2} Помимо , пятью классами перестановок Рамсея являются классы: ^{[95] : стр.4} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A,B\in K}$ ${\displaystyle C\in K}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{1\}}$

• Перестановки идентичности и инверсии
• Возрастающие последовательности убывающих последовательностей и убывающие последовательности возрастающих последовательностей
• Все перестановки

В общем, предел Фрэссе класса конечной реляционной структуры является возрастом счетной однородной реляционной структуры тогда и только тогда, когда выполняются пять условий : она замкнута относительно изоморфизма , она имеет только счетное число классов изоморфизма , она наследственна , она является совместно вложенным и обладает свойством объединения . ^{[95] : стр.3} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K}$

Полиномиальные уравнения степени 4 и ниже можно решать с радикалами, тогда как уравнения пятой степени и выше вообще не могут быть решены таким образом (см. теорему Абеля–Руффини ). Это связано с тем, что симметрическая группа является разрешимой при ⩽ , а не при ⩾ . ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 5}$

В общей классификации систем счисления действительные числа и три последующие конструкции алгебр Кэли-Диксона над полем действительных чисел (т.е. комплексные числа , кватернионы и октонионы ) являются нормированными алгебрами с делением , которые поддерживают до пяти различные основные алгебраические свойства, представляющие интерес: являются ли алгебры упорядоченными и обладают ли они коммутативными , ассоциативными , альтернативными и степенно-ассоциативными мультипликативными свойствами. ^[96] В то время как действительные числа содержат все пять свойств, октонионы являются только альтернативными и степенно-ассоциативными. Для сравнения, седенионы , которые представляют пятую алгебру в этой серии, не являются композиционной алгеброй в отличие от и , являются только степенно-ассоциативными и являются первой алгеброй, которая содержит нетривиальные делители нуля , как и все дальнейшие алгебры над большими полями. ^[97] В общей сложности эти пять алгебр действуют соответственно над полями размерности 1, 2, 4, 8 и 16. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$

Геометрия

Пентаграмма , или пятиконечная полиграмма , — это первый правильный звездчатый многоугольник , построенный из диагоналей правильного пятиугольника в виде самопересекающихся ребер , пропорции которых пропорциональны золотому сечению . Его внутренняя геометрия заметно проявляется в мозаике Пенроуза и представляет собой фасет внутри звездных многогранников Кеплера-Пуансо и звездных полихор Шлефли-Гесса , представленных символом Шлефли {5/2} . Фигура, подобная пентаграмме, представляет собой пятиконечную простую изотоксальную звезду ☆ без самопересекающихся ребер. Его часто можно встретить как грань внутри исламских плиток Гирих , из которых существует пять различных элементарных типов. ^[98] Как правило, звездчатые многогранники , которые являются правильными , существуют только в размерах ⩽ < и могут быть построены с использованием пяти правил Миллера для звездчатых многогранников или многогранников более высокой размерности . ^[99] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 5}$

Теория графов и плоская геометрия

В теории графов все графы с четырьмя или меньшим количеством вершин являются планарными , однако существует граф с пятью вершинами, который таковым не является: K ₅ , полный граф с пятью вершинами, где каждая пара различных вершин в пятиугольнике соединена уникальными точками. ребра, принадлежащие пентаграмме. По теореме Куратовского конечный граф является плоским тогда и только тогда , когда он не содержит подграфа, являющегося подразделением K ₅ , или полного двудольного графа полезности K _3,3 . ^[100] Аналогичным графом является граф Петерсена , который является сильно связным и к тому же непланарным . Его легче всего описать как график пентаграммы , заключенной внутри пятиугольника, всего с 5 пересечениями , обхватом 5 и числом Туэ 5. ^{[101] [102]} Граф Петерсена, который также является расстоянием. регулярный граф — один из пяти известных связных вершинно-транзитивных графов без гамильтоновых циклов . ^[103] Группа автоморфизмов графа Петерсена — это симметрическая группа порядка 120 = 5!. ${\displaystyle \mathrm {S} _{5}}$

Хроматическое число плоскости не менее пяти, в зависимости от выбора теоретико-множественных аксиом : минимальное количество цветов , необходимое для раскраски плоскости так , чтобы ни одна пара точек на расстоянии 1 не имела одинакового цвета. ^{[104] [105]} В то время как шестиугольный граф Голомба и правильная шестиугольная мозаика генерируют хроматические числа 4 и 7 соответственно, хроматическая раскраска 5 может быть достигнута в более сложном графе, в котором несколько веретеен Мозера с четырьмя раскрасками связаны так, что ни в одной раскраске всего графа не существует одноцветных троек, поскольку это привело бы к равностороннему расположению, стремящемуся к чисто шестиугольной структуре .

Плоскость также содержит в общей сложности пять решеток Браве или массивов точек , определяемых дискретными операциями перемещения : шестиугольную , наклонную , прямоугольную , центрированную прямоугольную и квадратную решетки. Кроме того, однородные мозаики плоскости генерируются из комбинаций всего пяти правильных многоугольников: треугольника , квадрата , шестиугольника , восьмиугольника и двенадцатиугольника . ^[106] Плоскость также можно моноэдрально замостить выпуклыми пятиугольниками пятнадцатью различными способами, три из которых имеют мозаику Лавеса как особые случаи. ^[107]

Многогранники

Иллюстрация Леонардо да Винчи правильного додекаэдра из «Божественной пропорции» Луки Пачоли .

В трехмерном пространстве есть пять правильных платоновых тел : тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр . ^[108] В частности , додекаэдр содержит пятиугольные грани, в то время как икосаэдр , его двойственный многогранник , имеет вершинную фигуру , которая представляет собой правильный пятиугольник. Эти пять правильных тел ответственны за создание тринадцати фигур, которые можно отнести к полуправильным телам , которые называются архимедовыми телами . Их также пять:

• Соединения правильных многогранников : соединение пяти тетраэдров , соединение десяти тетраэдров, соединение пяти кубов, соединение пяти октаэдров и стелла-октангула . ^[109] Икосаэдрическая симметрия изоморфна чередующейся группе из пяти букв порядка 120 , реализуемой воздействиями на эти однородные соединения многогранников ( кроме правильного соединения двух тетраэдров). Все пятнадцать зеркальных плоскостей проходят через края правильного сферического соединения пяти октаэдров , наборы из трех ортогональных больших кругов которого используют пять цветов. ^{[ф] [110] [111]} ${\displaystyle \mathrm {I} _{h}}$ ${\displaystyle \mathrm {A} _{5}}$ ${\displaystyle \mathrm {I} _{h}}$
• Заполняющие пространство выпуклые многогранники с правильными гранями: треугольная призма, шестиугольная призма , куб, усечённый октаэдр и гиробифастигий . ^[112] Куб — единственное платоновское твердое тело, которое может мозаику пространства само по себе, а усеченный октаэдр и гиробифастигий — единственные архимедовы тела и тела Джонсона , соответственно, которые могут мозаику пространства со своими собственными копиями.
• Ячеисто-переходные параллелоэдры : любой параллелепипед , а также ромбдодекаэдр , вытянутый додекаэдр , шестиугольная призма и усеченный октаэдр. ^[113] Куб — это частный случай параллелепипеда, а ромбический додекаэдр (с пятью звёздочками по правилам Миллера ) — единственное каталонское тело, которое само по себе мозаично образует мозаику. ^[114]
• Правильные абстрактные многогранники , к которым относятся раскопанный додекаэдр и додекадодекаэдр . ^[115] Они обладают комбинаторной симметрией, транзитивной по флагам своих элементов, с топологией, эквивалентной топологии тороидов , и способностью замостить гиперболическую плоскость .

Более того, пятое пятиугольное пирамидальное число представляет собой общее количество индексированных однородных составных многогранников , ^[109] которое включает семь семейств призм и антипризм . Семьдесят пять — это также число непризматических однородных многогранников , куда входят платоновы тела, архимедовы тела и звездчатые многогранники ; существует также ровно пять однородных призм и антипризм , которые содержат в качестве граней пятиугольники или пентаграммы — пятиугольная призма и антипризма , а также пентаграммная призма , антипризма и скрещенная антипризма . ^[116] Всего существует двадцать пять однородных многогранников , образующих четырехмерные однородные многохоры , это пять платоновых тел, пятнадцать архимедовых тел, считая две энантиоморфные формы, и пять связанных с ними призм: треугольная , пятиугольная , шестиугольная , восьмиугольная , и десятиугольные призмы. ${\displaystyle 75=15\times 5}$

Четвертое измерение

Четырехмерный 5-клеточный — это простейший правильный полихорон .

Пентатоп , или 5- ячеечный , представляет собой самодуальный четырехмерный аналог тетраэдра с симметрией группы Кокстера порядка 120 = 5 ! и структуру группы . Многоугольник Петри , состоящий из пяти тетраэдров, представляет собой правильный пятиугольник , а его ортогональная проекция эквивалентна полному графу K ₅ . Это один из шести правильных 4-многогранников , составленных из тридцати одного элемента : пяти вершин , десяти ребер , десяти граней , пяти тетраэдрических ячеек и одной 4-грани . ^{[117] : стр. 120} ${\displaystyle \mathrm {A} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{5}}$

• Обычный 120-ячеечный полихорон , двойной полихорон к обычному 600-ячеечному , может вместить сто двадцать 5-ячеечных ячеек. Кроме того, пять 24-ячеечных ячеек помещаются внутри небольшой звездчатой ​​120-ячеечной ячейки , первой звездчатой ​​из 120 ячеек.
  Подмножеству вершин маленькой звездчатой ​​ячейки из 120 ячеек соответствует большая звезда дуоантипризмы , которая является единственным однородным невыпуклым дуоантипризматическим решением в четвертом измерении, построенным из декартова произведения многогранника и состоящим из пятидесяти тетраэдров , десяти пентаграммных скрещенных антипризм , десять пятиугольных антипризм и пятьдесят вершин. ^{[117] : стр. 124} ${\displaystyle \{5\}\otimes \{5/3\}}$
• Большая антипризма , которая является единственной известной невитоффовой конструкцией однородного полихорона, состоит из двадцати пятиугольных антипризм и трехсот тетраэдров, имеющих в общей сложности сто вершин и пятьсот ребер. ^[118]
• Абстрактная четырехмерная 57-ячеечная структура состоит из пятидесяти семи полуикосаэдрических ячеек, по пять из которых окружают каждое ребро . ^[119] 11 -cell , еще один абстрактный 4-многогранник с одиннадцатью вершинами и пятьдесят пятью ребрами, состоит из одиннадцати полудодекаэдрических ячеек , каждая из которых имеет пятнадцать ребер. ^[120] Скелет полудодекаэдра — граф Петерсена .

В целом, четвертое измерение содержит пять фундаментальных групп Вейля , которые образуют конечное число однородных многохор , основанных всего на двадцати пяти однородных многогранниках: , , , , и , сопровождаемые пятой или шестой общей группой уникальных 4-призм Платона и Архимеда. твердые вещества. Также существует в общей сложности пять групп Кокстера , которые генерируют непризматические евклидовы соты в 4-мерном пространстве, наряду с пятью компактными гиперболическими группами Кокстера , которые генерируют пять регулярных компактных гиперболических сот с конечными гранями , как в случае с 5-ячеечными сотами порядка 5 и Соты порядка 5 из 120 ячеек , каждая из которых имеет по пять ячеек вокруг каждой грани. Компактные гиперболические соты существуют только до четвертого измерения или ранга 5 , а паракомпактные гиперболические решения существуют до ранга 10. Аналогично, аналоги четырехмерной гексадекахорной или икоситетрахорной симметрии не существуют в измерениях ⩾ ; однако в пятом измерении существуют призматические группы , содержащие призмы правильных и однородных 4-многогранников , обладающие симметрией . В четвертом измерении также есть пять правильных проективных 4-многогранников , все из которых являются полумногогранниками правильных 4-многогранников, за исключением 5-клеточного. ^[121] В каждом многомерном пространстве существуют только два правильных проективных многогранника. ${\displaystyle \mathrm {A} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {B} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{4}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{4}}$

Основным многоугольником кривой Бринга является правильный гиперболический двадцатигранный икосагон .

В частности, поверхность Бринга представляет собой кривую на проективной плоскости , которая представляется однородными уравнениями : ^[122] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

${\displaystyle v+w+x+y+z=v^{2}+w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=v^{3}+w^{3}+x^{3}+y^{3}+z^{3}=0.}$

Он содержит самую большую возможную группу автоморфизмов комплексной кривой четвертого рода с групповой структурой . Это риманова поверхность , связанная с малым звездчатым додекаэдром , фундаментальным многоугольником которого является правильный гиперболический икосагон , с площадью (по теореме Гаусса-Бонне ). Включая отражения, его полная группа симметрий порядка 240 ; что также является количеством (2,4,5) гиперболических треугольников, образующих мозаику его основного многоугольника. Bring quintic содержит корни , удовлетворяющие кривой Бринга. ${\displaystyle \mathrm {S} _{5}}$ ${\displaystyle 12\pi }$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{5}\times \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle x^{5}+ax+b=0}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Пятое измерение

5 -симплекс или гексатерон является пятимерным аналогом 5-клеточного или 4-симплекса. В качестве группы симметрии он имеет группу Кокстера порядка 720 = 6 ! , групповая структура которого представлена ​​симметрической группой , единственной конечной симметрической группой, имеющей внешний автоморфизм . 5 -куб , состоящий из десяти тессерактов и 5-ячейки в качестве его вершинной фигуры, также является правильным и одним из тридцати одного однородного 5-многогранника в гиперкубической группе Кокстера . Демипентеракт со ста двадцатью ячейками является единственным пятимерным полуправильным многогранником и имеет выпрямленный 5-ячеечный в качестве вершинной фигуры, который является одним из трех полуправильных 4-многогранников наряду с выпрямленным 600-многогранником . ячейка и курносая 24-ячеечная . В пятом измерении есть пять правильных паракомпактных сот, все с бесконечными гранями и фигурами вершин ; в более высоких измерениях не существует других обычных паракомпактных сот. ^[123] В комплексных пространствах размерностей  ⩾  также имеется исключительно двенадцать комплексных апериотопов ; наряду со сложными многогранниками в и выше под симплексными , гиперкубическими и ортоплексными группами (с многогранниками Ван Осса ). ^[124] ${\displaystyle \mathrm {A} _{5}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{6}}$ ${\displaystyle \mathrm {B} _{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$

Поверхность Веронезе на проективной плоскости обобщает линейное условие содержания точки внутри коники , для чего требуется пять точек, точно так же , как две точки необходимы для определения линии . ^[125] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$ ${\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}$

Конечные простые группы

Существует пять комплексных исключительных алгебр Ли : , , , , и . Самый маленький из них, действительной размерности 28, можно представить в пятимерном комплексном пространстве и спроецировать в виде шара , катящегося по другому шару, движение которого описывается в двумерном пространстве. ^[126] является самой большой и содержит остальные четыре алгебры Ли как подгруппы с представлением в размерности 496. Она содержит связанную с ней решетку , построенную из ста двадцати кватернионных единичных икосианов , составляющих вершины 600-мерного икосиана . cell , чьи евклидовы нормы определяют квадратичную форму на решетчатой ​​структуре, изоморфной оптимальной конфигурации сфер в восьми измерениях. ^[127] Эта решетчатая структура упаковки сфер в 8-мерном пространстве удерживается расположением вершин сот 5 21 , одной из пяти евклидовых сот, которые допускают оригинальное определение Госсета полуправильных сот , которое включает трехмерные чередующиеся кубические соты. . ^{[128] [129]} Наименьший простой изоморфизм, обнаруженный внутри конечных простых групп Ли, равен , ^[130] где здесь представлены знакопеременные группы и классические группы Шевалле . В частности, наименьшей неразрешимой группой является знакопеременная группа из пяти букв, которая также является наименьшей простой неабелевой группой . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {E} _{8}}$ ${\displaystyle \mathrm {A_{5}} \cong A_{1}(4)\cong A_{1}(5)}$ ${\displaystyle \mathrm {A_{n}} }$ ${\displaystyle A_{n}(q)}$

Пять групп Матье составляют первое поколение счастливой семьи спорадических групп . Это также первые пять описанных спорадических групп , определенных как кратно транзитивные группы перестановок объектов с е {11, 12, 22, 23, 24}. ^{[131] : с.54} В частности, наименьшая из всех спорадических групп, имеет действие ранга 3 на пятидесяти пяти точках из индуцированного действия на неупорядоченных парах , а также два пятимерных точных комплексных неприводимых представления над полем . с тремя элементами, что является наименьшим неприводимым размерным представлением всей спорадической группы над соответствующими полями с элементами. ^[132] Из ровно пяти различных классов сопряженности максимальных подгрупп из , один является почти простой симметрической группой (порядка 5 ! ), а другой - также почти простым, который функционирует как стабилизатор точки , который содержит пять в качестве своего наибольшего простого множителя . в порядке группы : 2 ⁴ · 3 ² · 5 = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 8 · 9 · 10 = 720 . С другой стороны, хотя она резко 4-транзитивна, резко 5-транзитивна и 5-транзитивна, и как таковые они являются единственными двумя 5-транзитивными группами, которые не являются симметричными группами или альтернирующими группами . ^[133] имеет первые пять простых чисел в качестве отдельных простых множителей в порядке 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11 и является наименьшей из пяти спорадических групп с пятью различными простыми множителями в своем порядке. ^{[131] : стр.17} Все группы Матье являются подгруппами , что в соответствии с дизайном Витта системы Штейнера возникает конструкция расширенного двоичного кода Голея , который имеет в качестве группы автоморфизмов . ^{[131] : стр. 39, 47, 55} генерирует октады. ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{11}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{11}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{5}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{10}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{11}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{12}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{24}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{22}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{24}}$ ${\displaystyle \mathrm {W} _{24}}$ ${\displaystyle \operatorname {S(5,8,24)} }$ ${\displaystyle \mathrm {B} _{24}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{24}}$ ${\displaystyle \mathrm {W} _{24}}$из кодовых слов веса Хэмминга 8 из расширенного двоичного кода Голея, одного из пяти различных весов Хэмминга, которые использует расширенный двоичный код Голея: 0, 8, 12, 16 и 24. ^{[131] : стр.38} Схема Витта и расширенный двоичный код Голея, в свою очередь _, можно использовать для генерации точной конструкции 24-мерной решетки Лича Λ24 , которая в основном строится с использованием вектора Вейля , допускающего единственное неунитарное решение задачи о пушечном ядре , где сумма квадраты первых двадцати четырех целых чисел эквивалентны квадрату другого целого числа, пятого пентатопного числа (70). Подфакторы автоморфизма решетки Лича, группы Конвея , в свою очередь являются предметом второго поколения семи спорадических групп. ^{[131] : стр.99, 125.} ${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,24;70)}$ ${\displaystyle \mathrm {Co} _{0}}$

Существует пять несуперсингулярных простых чисел — 37 , 43 , 53 , 61 и 67 — меньше 71 , что является самым большим из пятнадцати суперсингулярных простых чисел , разделяющих порядок дружественного гиганта , который сам по себе является крупнейшей спорадической группой. ^[134] В частности, централизатор элемента порядка 5 внутри этой группы возникает в результате произведения спорадической группы Харады–Нортона на группу порядка 5. ^{[135] [136]} Сам по себе может быть представлен с помощью стандартных генераторов это дополнительно диктует условие, при котором . ^{[137] [138]} Этому условию соблюдаются и другие генераторы, принадлежащие группе Титса , ^[139] единственной конечной простой группе , которая является нестрогой группой лиева типа, которую также можно классифицировать как спорадическую (пятую по величине из все двадцать семь тоже по заказу). Более того, над полем с пятью элементами существует 133-мерное представление, где 5 действует на коммутативное , но неассоциативное произведение как 5- модулярный аналог алгебры Грисса ^♮ , ^[140] которая содержит дружественный гигант как свою группу автоморфизмов. . ${\displaystyle \mathrm {HN} }$ ${\displaystyle \mathrm {HN} }$ ${\displaystyle (a,b,ab)}$ ${\displaystyle o([a,b])=5}$ ${\displaystyle \mathrm {T} }$ ${\displaystyle \mathrm {HN} }$ ${\displaystyle V_{2}}$

Личность Эйлера

Тождество Эйлера + = содержит пять основных чисел , широко используемых в математике: постоянная Архимеда , число Эйлера , мнимое число , единица и ноль . ^{[141] [142] [143]} ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$

Перечень основных расчетов

В десятичном формате

Все кратные 5 оканчиваются либо на 5, либо на , а обычные дроби с 5 или 2 в знаменателе не дают бесконечных десятичных разложений, поскольку они являются простыми делителями 10 , основания.

В степенях 5 каждая степень заканчивается цифрой пять, и начиная с 5 ³ и далее, если показатель степени нечетный , то цифра сотен равна 1 , а если четная, цифра сотен равна 6 .

Число , возведенное в пятую степень, всегда оканчивается той же цифрой, что и . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Наука

Астрономия

• В системе двух тел имеется пять точек Лагранжа .

Биология

• Обычно считается, что существует пять чувств (в общих чертах ); Пять основных вкусов — сладкий , соленый , кислый , горький и умами . ^[144]
• Почти у всех земноводных, рептилий и млекопитающих, имеющих пальцы рук или ног, их по пять на каждой конечности. ^[145]
• Пять — это число придатков у большинства морских звезд , обладающих пентамеризмом . ^[146]

Вычисление

• 5 — это ASCII- код символа запроса , который сокращается до ENQ. ^[147]

Литература

Поэзия

Пентаметр — это стих с пятью повторяющимися стопами в строке; пятистопный ямб был наиболее известной формой, используемой Уильямом Шекспиром . ^[148]

Музыка

• В современной нотной записи используется нотный стан , состоящий из пяти горизонтальных линий. ^[149]
• Шум с пятью нотами на октаву называется пентатоникой . ^[150]
• Идеальная квинта — это наиболее согласная гармония, лежащая в основе большинства западных систем настройки. ^[151]
• В гармониках пятый частичный (или 4-й обертон ) основного тона имеет соотношение частот 5:1 к частоте этого основного тона. Это соотношение соответствует интервалу в 2 октавы плюс чистая мажорная треть. Таким образом, интервал 5:4 — это интервал чистой терции. Аккорд мажорного трезвучия , сыгранный только по интонации (чаще всего в ансамблевом пении а капелла ), будет содержать такую ​​чистую мажорную треть.
• Пять — это наименьшее возможное число, которое может быть верхним числом тактового размера с асимметричным размером .

Религия и мистика

иудаизм

• Книга Чисел — одна из пяти книг Торы ; остальные — книги Бытия , Исхода , Левита и Второзакония .

Их все вместе называют Пятикнижием Моисея , Пятикнижием ( по-гречески «пять вместилищ», имея в виду футляры для свитков, в которых хранились книги) или Хумаш ( חומש , на иврите «пятый»). ^[152]

• Хамса , древний символ в форме руки с четырьмя пальцами и одним большим пальцем, используется евреями в качестве защитного амулета ; этот же символ также очень популярен в арабской культуре и известен тем, что защищает от зависти и сглаза . ^[153]

христианство

• Традиционно в христианстве существует пять ран Иисуса Христа : раны от гвоздей на двух руках Христа, раны от гвоздей на двух ногах Христа и рана Христа от копья (соответственно на четырех концах тела и голове). ^[154]

ислам

• Пять столпов ислама . ^[155]

Гностицизм

• Число пять было важным символическим числом в манихействе , где небесные существа, концепции и т. д. часто группировались в группы по пять.

Элементы

• Согласно древнегреческим философам, таким как Аристотель , Вселенная состоит из пяти классических элементов : воды , земли , воздуха , огня и эфира . Позднее эта концепция была принята средневековыми алхимиками , а в последнее время — практикующими неоязыческих религий, таких как Викка .
• Согласно индуистской космологии, во Вселенной существует пять элементов : дхарти, агни, джал, вайю эвам акаш (земля, огонь, вода, воздух и пространство соответственно).
• 5 элементов традиционного китайского Усин . ^[156]
• В восточноазиатской традиции существует пять элементов: ( вода , огонь , земля , дерево и металл ). ^[157] Японские названия дней недели , со вторника по субботу , происходят от этих элементов посредством отождествления элементов с пятью планетами , видимыми невооруженным глазом . ^[158] Кроме того, традиционный японский календарь имеет пятидневный еженедельный цикл, который до сих пор можно наблюдать в печатных смешанных календарях, сочетающих западные, китайско-буддийские и японские названия каждого дня недели.

Квинтэссенция , что означает «пятый элемент», относится к неуловимому пятому элементу, который дополняет четыре основных элемента (воду, огонь, воздух и землю) как их союз. ^[159] Пентаграмма , или пятиконечная звезда, имеет мистическое значение в различных системах верований, включая бахаи , христианство , масонство , даосизм , Телему и Викку . В нумерологии число 5 или серия 555 часто ассоциируется с переменами, эволюцией, любовью и изобилием. ^{[ нужна цитата ]}

Разнообразный

Пятерки всех четырех мастей в игральных картах

• «Дайте мне пять» — распространенная фраза, используемая перед словом « дай пять» .
• Символом Олимпийских игр являются пять переплетенных колец, обозначающих количество населенных континентов , представленных олимпийцами (Европа, Азия, Африка, Австралия и Океания, а также Америка). ^[160]
• Количество точек в квинконсе . ^[161]

Смотрите также

• Математический портал

5 (значения)

Примечания

1. 
2. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}17&24&1&8&15\\23&5&7&14&16\\4&6&13&20&22\\10&12&19&21&3\\11&18&25&2&9\end{bmatrix}}}$
3. 
4. 
5. 
6. 

Рекомендации

1. Жорж Ифра, Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера пер. Дэвид Беллос и др. Лондон: The Harvill Press (1998): 394, рис. 24.65.
2. Вайсштейн, Эрик В. «5». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 июля 2020 г.
3. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005385 (Безопасные простые числа p: (p-1)/2 также являются простыми)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 февраля 2023 г.
4. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007540 (простые числа Вильсона: простые числа p такие, что (p-1)! конгруэнтно -1 (mod p^2).)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
5. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006562 (Сбалансированные простые числа (первого порядка): простые числа, которые являются средним значением предыдущего простого числа и следующего простого числа.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 февраля 2023 г.
6. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A028388 (Хорошие простые числа)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.
7. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A080076 (простые числа Прота)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 21 июня 2023 г.
8. Вайсштейн, Эрик В. «Мерсенн Прайм». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 июля 2020 г.
9. Вайсштейн, Эрик В. «Каталонский номер». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 июля 2020 г.
10. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001359 (меньшее из простых чисел-близнецов)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 февраля 2023 г.
11. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006512 (Большое из простых чисел-близнецов)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 февраля 2023 г.
12. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A023201 (Простые числа p такие, что p + 6 также является простым. (Меньшее из пары сексуальных простых чисел.))». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 января 2023 г.
13. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003173 (числа Хигнера: мнимые квадратичные поля с уникальной факторизацией (или номером класса 1)).» Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 июня 2023 г.
14. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003226 (Автоморфные числа: m^2 заканчивается на m.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 мая 2023 г.
15. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A088054 (Факториальные простые числа: простые числа, находящиеся в пределах 1 от факториала.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 февраля 2023 г.
16. Вайсштейн, Эрик В. «Простые числа-близнецы». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 июля 2020 г.
17. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003273 (совпадающие числа)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 июня 2016 г.
18. Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность Перрина». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 июля 2020 г.
19. Вайсштейн, Эрик В. «Число Серпинского первого рода». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 июля 2020 г.
20. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A019434 (простые числа Ферма)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 21 июля 2022 г.
21. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004729 (... 31 правильный многоугольник с нечетным числом сторон, которые можно построить с помощью линейки и циркуля)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 мая 2023 г.
22. Конвей, Джон Х .; Гай, Ричард К. (1996). Книга чисел. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Коперник ( Спрингер ). стр. ix, 1–310. дои : 10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-1-4612-8488-8. OCLC  32854557. S2CID  115239655.
23. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000127 (Максимальное количество регионов, полученных путем соединения n точек окружности прямыми линиями. Также количество регионов в 4-мерном пространстве, образованных n-1 гиперплоскостями.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 октября 2022 г.
24. Sloane, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000040 (Простые числа.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 ноября 2023 г.
25. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000668 (простые числа Мерсенна (простые числа вида 2^n – 1)»). Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 июля 2023 г.
26. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A103901 (простые числа Мерсенна p такие, что M(p), равное 2^p – 1, также является простым числом (Мерсенна)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 июля 2023 г.
27. Ричард К. Гай (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Спрингер-Верлаг . стр. 84–86. ISBN 0-387-20860-7.
28. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002827 (Унитарные совершенные числа)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 января 2023 г.
29. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A076046 (числа Рамануджана-Нагеля: треугольные числа... которые также имеют форму 2^b - 1)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 января 2023 г.
30. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000225 (... (иногда называется числами Мерсенна, хотя это имя обычно зарезервировано для A001348.))». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 января 2023 г.
31. Бурсеро (19 августа 2015 г.). «28». Премьер-любопытство! . ПраймПейджс . Проверено 13 октября 2022 г. Единственное известное число, которое можно выразить как сумму первых неотрицательных целых чисел (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7), первых простых чисел (2 + 3 + 5 + 7 + 11) и первые непростые числа (1 + 4 + 6 + 8 + 9). Вероятно, другого номера у этого объекта недвижимости нет.
32. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000396 (Совершенные числа k: k равно сумме собственных делителей k.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 октября 2022 г.
33. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000217 (Треугольные числа.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 октября 2022 г.
34. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001599 (Гармонические числа или числа Оре: числа n такие, что среднее гармоническое делителей n является целым числом.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 декабря 2022 г.
35. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001600 (Гармонические средства делителей чисел гармоник.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 декабря 2022 г.
36. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A019279 (Суперсовершенные числа: числа k такие, что сигма (сигма (k)) равна 2 * k, где сигма — функция суммы делителей.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 июля 2023 г.
37. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000326 (Пятиугольные числа.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 ноября 2022 г.
38. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005894 (Центрированные тетраэдрические числа.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 ноября 2022 г.
39. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000330 (Квадратно-пирамидальные числа.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 ноября 2022 г.
40. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001844 (Центрированные квадратные числа... Сумма двух квадратов.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 ноября 2022 г.
41. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A103606 (Примитивные пифагоровы тройки в порядке неубывания периметра, причем каждая тройка в порядке возрастания, а если периметры совпадают, то в порядке возрастания четных членов.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 мая 2023 г.
42. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007691 (Совершенные числа: n делит сигму (n)).» Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 июня 2023 г.
43. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001065 (Сумма собственных делителей (или аликвотных частей) n: сумма делителей n, меньших n.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 августа 2023 г.
44. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005891 (Центрированные пятиугольные числа)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 21 июня 2023 г.
45. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005448 (центрированные треугольные числа)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 21 июня 2023 г.
46. Конрад, Кейт Э. «Пример уравнения Морделла» (PDF) (заметки профессора). Университет Коннектикута (домашняя страница). п. 10. S2CID  5216897.
47. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000217 (Треугольные числа.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 ноября 2022 г.В общем случае сумма n последовательных треугольных чисел представляет собой n-е тетраэдрическое число.
48. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000332 (фигурные числа, основанные на 4-мерном правильном выпуклом многограннике, называемом правильным 4-симплексом, пентахороном, 5-ячейкой, пентатопом или 4-гипертетраэдром с символом Шлефли {3,3,3}...)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 июня 2023 г.
49. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002411 (Пятиугольные пирамидальные числа)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 июня 2023 г.
50. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A118372 (S-совершенные числа.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 июня 2023 г.
51. де Конинк, Жан-Мари (2008). Эти очаровательные цифры . Перевод де Конинка, Дж. М. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 40. ИСБН 978-0-8218-4807-4. МР  2532459. OCLC  317778112.
52. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006881 (Безквадратные полупростые числа: числа, являющиеся произведением двух различных простых чисел.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
53. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A216071 (задача Брокара: положительные целые числа m такие, что m^2 равно n! +1 для некоторого n.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 сентября 2023 г.
54. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A085692 (задача Брокара: квадраты, которые можно записать как n!+1 для некоторого n.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 сентября 2023 г.
55. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000045 (числа Фибоначчи: F(n) равно F(n-1) + F(n-2) с F(0) равным 0 и F(1) равным 1.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
56. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002817 (Дважды треугольные числа: a(n) равно n*(n+1)*(n^2+n+2)/8.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
57. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000566 (Семиугольные числа (или 7-угольные числа): n*(5*n-3)/2.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
58. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060544 (Центрированные 9-угольные (также известные как девятиугольные или эннеагональные) числа. Каждое третье треугольное число, начиная с a (1), равного 1)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
59. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A037156 (a(n) равна 10^n*(10^n+1)/2.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
    а(0) = 1 = 1 * 1 = 1
    а(1) = 1 + 2 + ...... + 10 = 11 * 5 = 55
    а(2) = 1 + 2 + .... + 100 = 101 * 50 = 5050
    а(3) = 1 + 2 + .. + 1000 = 1001 * 500 = 500500
    ...
60. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006886 (номера Капрекара...)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 сентября 2023 г.
61. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A120414 (Предполагаемое число Рэмси R (n, n))». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 сентября 2023 г.
62. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A212954 (Треугольник, читаемый по рядам: два цветных числа Рамсея)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 сентября 2023 г.
63. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001003 (вторая проблема Шредера; ... также называемая супер-каталонскими числами или маленькими числами Шредера.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 сентября 2023 г.
64. Уильям Х. Ричардсон. «Магические квадраты третьего порядка». Кафедра математики Университета штата Уичито . Проверено 14 июля 2022 г.
65. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A028442 (числа k такие, что функция Мертенса M(k) (A002321) равна нулю.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
66. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003101 (a(n) как Sum_{k равна 1..n} (n – k + 1)^k.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
67. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006003 (a(n) равна n*(n^2 + 1)/2.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
68. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000567 (Восьмиугольные числа: n*(3*n-2). Также называются звездными числами.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
69. "A008277 Слоана: Треугольник чисел Стирлинга второго рода" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 декабря 2021 г.
70. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006003 (a(n) равна n*(n^2 + 1)/2.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 сентября 2023 г.
71. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000162 (Количество трехмерных полимино (или поликубов) с n ячейками.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 сентября 2023 г.
72. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n вида x*y для x > 1 и y > 1.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 25 сентября 2023 г.
73. Тригг, CW (февраль 1964 г.). «Уникальный магический шестиугольник». Журнал развлекательной математики . Проверено 14 июля 2022 г.
74. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A082897 (Совершенные числа.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 сентября 2023 г.
75. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000928 (Неправильные простые числа: простые числа p такие, что хотя бы один из числителей чисел Бернулли B_2, B_4, ..., B_{p-3} (A000367) делится на p.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 сентября 2023 г.
76. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A189683 (Неправильные пары (p,2k), упорядоченные по возрастанию k.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 сентября 2023 г.
77. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000219 (Количество плоских разделов (или плоских разделов) n.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 сентября 2023 г.
78. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000203 (a(n) — это сигма(n), сумма делителей n. Также называется sigma_1(n).)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 сентября 2023 г.
79. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A102187 (средние арифметические значения делителей арифметических чисел (арифметические числа A003601 — это те, для которых среднее значение делителей является целым числом)»). Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 сентября 2023 г.
80. Гарднер, Мартин (1989). Математический карнавал. Математические игры (5-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . стр. 56–58. ISBN 978-0-88385-448-8. OCLC  20003033. Збл  0684.00001.
81. Sloane, NJA (ред.). «Проблема 3x+1». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 января 2023 г.
82. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006577 (Количество шагов деления пополам и утроения для достижения 1 в задаче «3x+1» или -1, если 1 никогда не достигается.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 января 2023 г.

    «Таблица n, a(n) для n = 1..10000»

83. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005179 (Наименьшее число ровно с n делителями)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 ноября 2023 г.
84. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A286380 (a(n) — это минимальное количество итераций приведенной функции Коллатца R, необходимое для получения 1. Функция R (A139391) определяется как R(k), равная (3k+1)/2^r, с как можно большим r.)". Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 сентября 2023 г.
85. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003079 (Один из основных циклов в задаче x->3x-1 (x нечетный) или x/2 (x четный))». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 января 2023 г.

    {5 ➙ 14 ➙ 7 ➙ 20 ➙ 10 ➙ 5 ➙ ...}.

86. Слоан, NJA (ред.). «Проблема 3х-1». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 января 2023 г.
87. Померанс, Карл (2012). «О неприкасаемых числах и связанных с ними проблемах» (PDF) . Дартмутский колледж : 1. S2CID  30344483.
88. Тао, Теренс (март 2014 г.). «Каждое нечетное число больше 1 представляет собой сумму не более пяти простых чисел» (PDF) . Математика вычислений . 83 (286): 997–1038. дои : 10.1090/S0025-5718-2013-02733-0. МР  3143702. S2CID  2618958.
89. Хелфготт, Харальд Андрес (2014). «Тройная проблема Гольдбаха» (PDF) . Ин Чан, Сунь Ён (ред.). Труды Сеульского международного конгресса математиков . Том. 2. Сеул, Южная Корея: Кён Мун SA. стр. 391–418. ISBN 978-89-6105-805-6. ОКЛК  913564239.
90. Селлерс, Джеймс А. (2013). «Неожиданное сравнение по модулю 5 для 4-цветных обобщенных разбиений Фробениуса». Дж. Индийская математика. Соц . Пуна, IMD: Индийское математическое общество . Новая серия (специальный выпуск): 99. arXiv : 1302.5708 . Бибкод : 2013arXiv1302.5708S. МР  0157339. S2CID  116931082. Збл  1290.05015.
91. Нивен, Иван ; Цукерман, Герберт С.; Монтгомери, Хью Л. (1980). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Джон Уайли . стр. 144, 145. ISBN. 978-0-19-853171-5.
92. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A047701 (Все положительные числа, не являющиеся суммой 5 ненулевых квадратов.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 сентября 2023 г.

    Только двенадцать целых чисел до 33 не могут быть выражены в виде суммы пяти ненулевых квадратов: {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33}, где 2, 3 и 7. — единственные такие простые числа без выражения.

93. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002804 ((Предполагаемое) решение проблемы Уоринга: g(n) равно 2^n + Floor((3/2)^n) - 2.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 сентября 2023 г.
94. Гильберт, Дэвид (1909). «Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Проблема Варингса)». Mathematische Annalen (на немецком языке). 67 (3): 281–300. дои : 10.1007/bf01450405 . ЖФМ  40.0236.03. MR  1511530. S2CID  179177986.
95. Бетчер, Джулия; Фонёк, Ян (2013). «Свойства Рэмси перестановок». Электронный журнал комбинаторики . 20 (1): П2. arXiv : 1103.5686v2 . дои : 10.37236/2978. S2CID  17184541. Збл  1267.05284.
96. Кантор, Иллинойс; Солодовников, А.С. (1989). Гиперкомплексные числа: элементарное введение в алгебру . Перевод Шеницера, А. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 109–110. ISBN 978-1-4612-8191-7. OCLC  19515061. S2CID  60314285.
97. Имаэда, К.; Имаэда, М. (2000). «Седенионы: алгебра и анализ». Прикладная математика и вычислительная техника . Амстердам, Нидерланды: Elsevier . 115 (2): 77–88. дои : 10.1016/S0096-3003(99)00140-X. МР  1786945. S2CID  32296814. Збл  1032.17003.
98. Сарханги, Реза (2012). «Переплетающиеся звездчатые многоугольники в персидской архитектуре: особый случай декаграммы в мозаичном дизайне» (PDF) . Сетевой журнал Nexus . 14 (2): 350. doi :10.1007/s00004-012-0117-5. S2CID  124558613.
99. Коксетер, HSM ; дю Валь, П. ; и другие. (1982). Пятьдесят девять икосаэдров (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 7, 8. doi : 10.1007/978-1-4613-8216-4. ISBN 978-0-387-90770-3. OCLC  8667571. S2CID  118322641.
100. Бернштейн, Майкл (1978). «Теорема Куратовского-Понтрягина о плоских графах». Журнал комбинаторной теории . Серия Б. 24 (2): 228–232. дои : 10.1016/0095-8956(78)90024-2 .
101. Холтон, Д.А.; Шихан, Дж. (1993). Граф Петерсена . Издательство Кембриджского университета . стр. 9.2, 9.5 и 9.9. ISBN 0-521-43594-3.
102. Алон, Нога ; Гричук, Ярослав; Халущак, Мариуш; Риордан, Оливер (2002). «Неповторяющиеся раскраски графов» (PDF) . Случайные структуры и алгоритмы . 2 (3–4): 337. doi :10.1002/rsa.10057. MR  1945373. S2CID  5724512. Раскраска множества ребер графа G называется неповторяющейся, если последовательность цветов на любом пути в G неповторяющаяся... На рис. 1 показан неповторяющийся 5 -раскраска ребер P ... Поскольку, как легко проверить, 4 цветов для этой задачи недостаточно, имеем π( P ) = 5.
103. Ройл, Г. «Кубические симметричные графы (перепись Фостера)». Архивировано 20 июля 2008 г. в Wayback Machine.
104. де Грей, Обри DNJ (2018). «Хроматическое число плоскости не менее 5». Геомбинаторика . 28 : 5–18. arXiv : 1804.02385 . МР  3820926. S2CID  119273214.
105. Эксу, Джеффри; Исмаилеску, Дэн (2020). «Хроматическое число плоскости не менее 5: новое доказательство». Дискретная и вычислительная геометрия . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер . 64 : 216–226. arXiv : 1805.00157 . дои : 10.1007/s00454-019-00058-1. МР  4110534. S2CID  119266055. Збл  1445.05040.
106. Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Замощения правильными многоугольниками» (PDF) . Журнал «Математика» . Тейлор и Фрэнсис, Ltd. 50 (5): 227–236. дои : 10.2307/2689529. JSTOR  2689529. S2CID  123776612. Збл  0385.51006.
107. Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри К. (1987). «Замощение полигонами». Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-1193-3. МР  0857454.Раздел 9.3: «Другие моноэдральные замощения выпуклыми многоугольниками».
108. Брайан Банч, Королевство бесконечных чисел . Нью-Йорк: WH Freeman & Company (2000): 61.
109. Скиллинг, Джон (1976). «Однородные соединения однородных многогранников». Математические труды Кембриджского философского общества . 79 (3): 447–457. Бибкод : 1976MPCPS..79..447S. дои : 10.1017/S0305004100052440. MR  0397554. S2CID  123279687.
110. Харт, Джордж В. (1998). «Икосаэдрические конструкции» (PDF) . В Сарханги, Реза (ред.). Мосты: математические связи в искусстве, музыке и науке . Уинфилд, Канзас: Организация Бриджес . п. 196. ИСБН 978-0-9665201-0-1. OCLC  59580549. S2CID  202679388.
111. Харт, Джордж В. «Плоскости симметрии». Виртуальные многогранники (Энциклопедия многогранников) . Проверено 27 сентября 2023 г.

     «Их можно раскрасить как пять наборов из трех взаимно ортогональных плоскостей», причем «пятнадцать плоскостей делят сферу на 120 треугольников Мёбиуса ».

112. Кеплер, Йоханнес (2010). Шестиугольная снежинка . Книги Пола Драй. Сноска 18, с. 146. ИСБН 978-1-58988-285-0.
113. Александров, А.Д. (2005). «8.1 Параллелоэдры». Выпуклые многогранники . Спрингер. стр. 349–359.
114. Уэбб, Роберт. «Перечисление созвездий». www.software3d.com . Архивировано из оригинала 25 ноября 2022 г. Проверено 12 января 2023 г.
115. Уиллс, Дж. М. (1987). «Комбинаторно правильные многогранники индекса 2». Математические уравнения . 34 (2–3): 206–220. дои : 10.1007/BF01830672. S2CID  121281276.
116. Хар'Эл, Цви (1993). «Единое решение для однородных многогранников» (PDF) . Геометрии посвященные . Нидерланды: Springer Publishing . 47 : 57–110. дои : 10.1007/BF01263494. МР  1230107. S2CID  120995279. Збл  0784.51020.

     «В таблицах с 4 по 8 мы перечисляем семьдесят пять недиэдральных однородных многогранников, а также пять пятиугольных призм и антипризм, сгруппированных путем образования треугольников Шварца ».
     Приложение II: Равномерные многогранники.

117. HSM Coxeter (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 1–368. ISBN 978-0-486-61480-9.
118. Джон Хортон Конвей ; Хайди Бургель; Хаим Гудман-Штраус (2008). Симметрии вещей. А. К. Петерс /CRC Press. ISBN 978-1-56881-220-5.Глава 26: «Великая Антипризма»
119. Коксетер, HSM (1982). «Десять тороидов и пятьдесят семь полудекаэдров». Геометрии посвященные . 13 (1): 87–99. дои : 10.1007/BF00149428. MR  0679218. S2CID  120672023..
120. Коксетер, HS M (1984). «Симметричное расположение одиннадцати полу-икосаэдров». Анналы дискретной математики . Математические исследования Северной Голландии. 87 (20): 103–114. дои : 10.1016/S0304-0208(08)72814-7. ISBN 978-0-444-86571-7.
121. Макмаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002). Абстрактные правильные многогранники . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 92. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 162–164. дои : 10.1017/CBO9780511546686. ISBN 0-521-81496-0. MR  1965665. S2CID  115688843.
122. Эдж, Уильям Л. (1978). «Кривая Бринга». Журнал Лондонского математического общества . Лондон: Лондонское математическое общество . 18 (3): 539–545. дои : 10.1112/jlms/s2-18.3.539. ISSN  0024-6107. MR  0518240. S2CID  120740706. Збл  0397.51013.
123. HSM Коксетер (1956). «Регулярные соты в гиперболическом пространстве». п. 168. CiteSeerX 10.1.1.361.251 . 
124. HSM Коксетер (1991). Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 144–146. дои : 10.2307/3617711. ISBN 978-0-521-39490-1. JSTOR  3617711. S2CID  116900933. Zbl  0732.51002.
125. Диксон, AC (март 1908 г.). «Коника через пять заданных точек». Математический вестник . Математическая ассоциация. 4 (70): 228–230. дои : 10.2307/3605147. JSTOR  3605147. S2CID  125356690.
126. Баэз, Джон К .; Уэрта, Джон (2014). «G2 и катящийся шар». Пер. амер. Математика. Соц . 366 (10): 5257–5293. дои : 10.1090/s0002-9947-2014-05977-1 . МР  3240924. S2CID  50818244.
127. Баэз, Джон К. (2018). «От икосаэдра до Е ₈ ». Лондонская математика. Соц. Новостная рассылка . 476 : 18–23. arXiv : 1712.06436 . МР  3792329. S2CID  119151549. Збл  1476.51020.
128. HSM Коксетер (1998). «Семь кубиков и десять 24-клеток» (PDF) . Дискретная и вычислительная геометрия . 19 (2): 156–157. дои : 10.1007/PL00009338 . S2CID  206861928. Збл  0898.52004.
129. Торольд Госсет (1900). «О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений» (PDF) . Вестник математики . 29 : 43–48. ЖФМ  30.0494.02.
130. Конвей, Дж. Х .; Кертис, RT; Нортон, СП ; Паркер, РА ; Уилсон, Р.А. (1985). АТЛАС конечных групп: максимальные подгруппы и обыкновенные характеры простых групп . Оксфорд: Кларендон Пресс . п. хв. ISBN 978-0-19-853199-9. МР  0827219. OCLC  12106933. S2CID  117473588. Збл  0568.20001.
131. Роберт Л. Грисс-младший (1998). Двенадцать спорадических групп. Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag. стр. 1−169. дои : 10.1007/978-3-662-03516-0. ISBN 978-3-540-62778-4. МР  1707296. S2CID  116914446. Збл  0908.20007.
132. Янсен, Кристоф (2005). «Минимальные степени достоверных представлений спорадических простых групп и их накрывающих групп». LMS Журнал вычислений и математики . Лондонское математическое общество . 8 : 123–124. дои : 10.1112/S1461157000000930 . МР  2153793. S2CID  121362819. Збл  1089.20006.
133. Кэмерон, Питер Дж. (1992). «Глава 9: Геометрия групп Матье» (PDF) . Проективные и полярные пространства . Лондонский университет, Колледж Королевы Марии и Вестфилд. п. 139. ИСБН 978-0-902-48012-4. S2CID  115302359.
134. Луис Дж. Бойя (16 января 2011 г.). «Введение в спорадические группы». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 7 : 13.arXiv : 1101.3055 . Бибкод : 2011SIGMA...7..009B. дои : 10.3842/SIGMA.2011.009. S2CID  16584404.
135. Люкс, Клаус; Ноеске, Феликс; Рыба, Александр Ю.Е. (2008). «5-модулярные характеры спорадической простой группы Харады–Нортона HN и ее группы автоморфизмов HN.2». Журнал алгебры . Амстердам: Эльзевир . 319 (1): 320–335. дои : 10.1016/j.jalgebra.2007.03.046 . МР  2378074. S2CID  120706746. Збл  1135.20007.
136. Уилсон, Роберт А. (2009). «Странные местные подгруппы Монстра». Журнал Австралийского математического общества (серия A) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . 44 (1): 12–13. дои : 10.1017/S1446788700031323 . МР  0914399. S2CID  123184319. Збл  0636.20014.
137. Уилсон, РА (1998). «Глава: Атлас представлений спорадических групп» (PDF) . Атлас конечных групп - десять лет спустя (серия лекций LMS 249) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 267. дои : 10.1017/CBO9780511565830.024. ISBN 978-0-511-56583-0. OCLC  726827806. S2CID  59394831. Збл  0914.20016.
138. Никерсон, SJ; Уилсон, Р.А. (2011). «Полупредставления для спорадических простых групп». Экспериментальная математика . Оксфордшир: Тейлор и Фрэнсис . 14 (3): 367. дои : 10.1080/10586458.2005.10128927. МР  2172713. S2CID  13100616. Збл  1087.20025.
139. Уилсон, РА ; Паркер, РА ; Никерсон, С.Дж.; Брей, Дж. Н. (1999). «Исключительная группа 2F4(2)', группа Титса T». АТЛАС представлений конечных групп .
140. Рыба, AJE (1996). «Естественная инвариантная алгебра для группы Харады-Нортона». Математические труды Кембриджского философского общества . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . 119 (4): 597–614. Бибкод : 1996MPCPS.119..597R. дои : 10.1017/S0305004100074454. МР  1362942. S2CID  119931824. Збл  0851.20034.
141. Уилсон, Робин (2018). Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема математики . Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-192-51406-6. ОСЛК  990970269.
142. Паулос, Джон Аллен (1992). За пределами счета: необычный математический словарь . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Penguin Books . п. 117. ИСБН 0-14-014574-5. ОСЛК  26361981.
143. Галлахер, Джеймс (13 февраля 2014 г.). «Математика: почему мозг считает математику красотой». Новости BBC онлайн . Британская радиовещательная корпорация (Би-би-си) . Проверено 2 июня 2023 г.
144. Маркус, Жаклин Б. (15 апреля 2013 г.). Кулинарное питание: наука и практика здорового приготовления пищи. Академическая пресса. п. 55. ИСБН 978-0-12-391883-3. Существует пять основных вкусов: сладкий, соленый, кислый, горький и умами...
145. Кисия, С.М. (2010), Позвоночные: структуры и функции, Биологические системы позвоночных, CRC Press, стр. 106, ISBN 978-1-4398-4052-8, Типичной конечностью четвероногих является пятипалая конечность (греч. penta — пять), имеющая пять пальцев. Четвероногие произошли от предка, у которого были конечности с пятью пальцами. ... Хотя количество пальцев у разных позвоночных может варьироваться от пяти, позвоночные развиваются из эмбриональной пятипальцевой стадии.
146. Чиналли, Г.; Майкснер, WJ; Сент-Роуз, К. (06 декабря 2012 г.). Детская гидроцефалия. Springer Science & Business Media. п. 19. ISBN 978-88-470-2121-1. Считается, что пять придатков морской звезды гомологичны пяти человеческим почкам.
147. Позрикидис, Константин (17 сентября 2012 г.). XML в научных вычислениях. ЦРК Пресс. п. 209. ИСБН 978-1-4665-1228-3. 5 5 005 ENQ (запрос)
148. Вейт (младший), Джин Эдвард; Уилсон, Дуглас (2009). Омнибус IV: Древний мир. Веритас Пресс. п. 52. ИСБН 978-1-932168-86-0. Наиболее распространенными ударно-слоговыми строками являются пятистопные ямбические строки (пятистопный ямб).
149. «STAVE | значение в Кембриджском словаре английского языка» . словарь.cambridge.org . Проверено 2 августа 2020 г. пять строк и четыре пробела между ними, на которых написаны музыкальные ноты
150. Рикер, Рамон (27 ноября 1999 г.). Пентатоника для джазовой импровизации. Альфред Музыка. п. 2. ISBN 978-1-4574-9410-9. Пентатоника, используемая в джазе, представляет собой пятинотную гамму.
151. Даннели, Джон Фелтэм (1825). Энциклопедия, или Музыкальный словарь ...: с более чем двумястами гравированными примерами, все они составлены из материалов самых знаменитых иностранных и английских авторитетов, перемежающихся критическими и пояснительными наблюдениями. редактор и изд. это идеальная кварта, идеальная квинта и октава.
152. Пелайя, Ариэла. «Иудаизм 101: Что такое пять книг Моисея?». Изучайте религии . Проверено 3 августа 2020 г.
153. Зеннер, Уолтер П. (1 января 1988 г.). Настойчивость и гибкость: антропологические перспективы американского еврейского опыта. СУНИ Пресс. п. 284. ИСБН 978-0-88706-748-8.
154. "КАТОЛИЧЕСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ: Пять священных ран" . www.newadvent.org . Проверено 2 августа 2020 г.
155. "PBS - Ислам: Империя веры - Вера - Пять столпов" . www.pbs.org . Проверено 3 августа 2020 г.
156. Чен, Юань (2014). «Дискурс легитимации и теория пяти элементов в императорском Китае». Журнал исследований Сун-Юань . 44 (1): 325–364. дои : 10.1353/sys.2014.0000. ISSN  2154-6665. S2CID  147099574.
157. Юн, Хонгки (2006). Культура фэншуй в Корее: исследование восточноазиатской геомантии. Лексингтонские книги. п. 59. ИСБН 978-0-7391-1348-6. Первая категория — это Пять Агентов [Элементов], а именно: Вода, Огонь, Дерево, Металл и Земля.
158. Уолш, Лен (15 ноября 2008 г.). Прочтите «Японский сегодня: простой способ выучить 400 практических кандзи». Издательство Таттл. ISBN 978-1-4629-1592-7. Японские названия дней недели взяты из названий семи основных символов природы.
159. Кронланд-Мартине, Ричард; Истад, Сёлви; Дженсен, Кристоффер (19 июля 2008 г.). Компьютерное моделирование и поиск музыки. Чувство звуков: 4-й международный симпозиум, CMMR 2007, Копенгаген, Дания, август 2007 г., Пересмотренные статьи. Спрингер. п. 502. ИСБН 978-3-540-85035-9. Платон и Аристотель постулировали пятое состояние материи, которое они назвали «идеей» или квинтэссенцией (от «квинты», что означает «пятый»).
160. «Олимпийские кольца - символ олимпийского движения». Международный олимпийский комитет . 23 июня 2020 г. Проверено 2 августа 2020 г.
161. Лапланте, Филип А. (03 октября 2018 г.). Большой словарь по электротехнике. ЦРК Пресс. п. 562. ИСБН 978-1-4200-3780-7. квинконс пять очков

дальнейшее чтение

• Уэллс, Д. (1987). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin . Лондон, Великобритания: Penguin Group . стр. 58–67.

Внешние ссылки

• Главные диковинки: 5
• СМИ, связанные с 5 (числом) на Викискладе?