В геометрии однородный 4-многогранник (или однородный многогранник ) [1] — это 4-мерный многогранник , который является вершинно-транзитивным и ячейки которого представляют собой однородные многогранники , а грани — правильные многоугольники .
Имеется 47 непризматических выпуклых однородных 4-многогранников. Существует два бесконечных множества выпуклых призматических форм, а также 17 случаев, возникающих как призмы выпуклых однородных многогранников. Существует также неизвестное количество невыпуклых звездных форм.
Правильные 4-многогранники — это подмножество однородных 4-многогранников, удовлетворяющее дополнительным требованиям. Правильные 4-многогранники могут быть выражены с помощью символа Шлефли { p , q , r } и имеют ячейки типа { p , q }, грани типа { p }, реберные фигуры { r } и вершинные фигуры { q , r }.
Существование правильного 4-многогранника { p , q , r } ограничено существованием правильных многогранников { p , q }, которые становятся ячейками, и { q , r }, которые становятся вершинной фигурой .
Существование конечного 4-многогранника зависит от неравенства: [15]
16 правильных 4-многогранников со свойством конгруэнтности всех ячеек, граней, ребер и вершин:
Существует 5 основных семейств точечных групп зеркальной симметрии в 4-х измерениях: A 4 =, В 4 =, Д 4 =, Ф 4 =, Ч 4 =. [7] Также существуют 3 призматические группы A 3 A 1 =, В 3 А 1 =, ЧАС 3 А 1 =, и дуопризматические группы: I 2 (p)×I 2 (q) =. Каждая группа определяется фундаментальной областью тетраэдра Гурса, ограниченной зеркальными плоскостями.
Каждый отражающий однородный 4-многогранник может быть построен в одной или нескольких отражающих точечных группах в 4 измерениях с помощью конструкции Витхоффа , представленной кольцами вокруг перестановок узлов на диаграмме Коксетера . Зеркальные гиперплоскости можно группировать, как видно по цветным узлам, разделенным четными ветвями. Группы симметрии вида [a,b,a] имеют расширенную симметрию [[a,b,a]], удваивая порядок симметрии. Сюда входят [3,3,3], [3,4,3] и [ p ,2, p ]. Однородные многогранники в этой группе с симметричными кольцами содержат эту расширенную симметрию.
Если все зеркала данного цвета не имеют кольца (неактивны) в данном однородном многограннике, он будет иметь конструкцию с более низкой симметрией за счет удаления всех неактивных зеркал. Если все узлы данного цвета окольцованы (активны), операция чередования может создать новый 4-многогранник с киральной симметрией, показанный как «пустые» узлы в кружке», но геометрия обычно не настраивается для создания единых решений.
Существует 64 выпуклых однородных 4-многогранника, включая 6 правильных выпуклых 4-многогранников, исключая бесконечные множества дуопризм и антипризматических призм .
Эти 64 однородных 4-многогранника пронумерованы ниже Георгием Ольшевским. Повторяющиеся формы симметрии указаны в скобках.
В дополнение к 64, указанным выше, существует 2 бесконечных призматических набора, которые порождают все оставшиеся выпуклые формы:
5-ячейка имеет диплоидную пентахорную [3,3,3] симметрию , [7] порядка 120, изоморфную перестановкам пяти элементов, поскольку все пары вершин связаны одинаковым образом .
Фасеты (ячейки) задаются, сгруппированные в своих местоположениях на диаграмме Коксетера путем удаления указанных узлов.
Три однородные формы 4-многогранников, отмеченные звездочкой * , имеют более высокую расширенную пентахорную симметрию порядка 240, [[3,3,3]], поскольку элемент , соответствующий любому элементу базовой 5-ячейки, можно поменять местами. с одним из тех, которые соответствуют элементу его двойника. Существует одна небольшая индексная подгруппа [3,3,3] + , порядок 60 или ее удвоение [[3,3,3]] + , порядок 120, определяющая 5-ячейку omnisnub , которая указана для полноты, но не указана. униформа.
Это семейство имеет диплоидную гексадекахорную симметрию , [7] [4,3,3], порядка 24×16=384: 4!=24 перестановки четырёх осей, 2 4 =16 для отражения по каждой оси. Существует 3 небольшие индексные подгруппы, первые две из которых порождают однородные 4-многогранники, которые также повторяются в других семействах: [1 + ,4,3,3], [4,(3,3) + ] и [4, 3,3] + , всего порядка 192.
Курносый 24-элементный элемент повторяется в этом семействе для полноты картины. Это чередование кантиусеченной 16-клеточной или усеченной 24-клеточной с полугруппой симметрии [(3,3) + ,4]. Усеченные октаэдрические ячейки превращаются в икосаэдры. Кубы становятся тетраэдрами, а в промежутках из удаленных вершин создается 96 новых тетраэдров.
Это семейство имеет диплоидную икоситетрахорическую симметрию [7] [3,4,3] порядка 24×48=1152: 48 симметрий октаэдра для каждой из 24 ячеек. Существует 3 небольшие индексные подгруппы, причем первые две изоморфные пары порождают однородные 4-многогранники, которые также повторяются в других семействах: [3 + ,4,3], [3,4,3 + ] и [3,4, 3] + , всего порядка 576.
Как и 5-клеточная, 24-клеточная самодуальна, поэтому следующие три формы имеют в два раза больше симметрий, в результате чего их общее количество достигает 2304 ( расширенная икоситетрахорическая симметрия [[3,4,3]]).
Это семейство имеет диплоидную гексакосихорную симметрию , [7] [5,3,3], порядка 120×120=24×600=14400: по 120 на каждый из 120 додекаэдров или по 24 на каждый из 600 тетраэдров. Есть одна небольшая индексная подгруппа [5,3,3] + всего порядка 7200.
Это семейство демитессерактов [3 1,1,1 ] не вводит новых однородных 4-многогранников, но стоит повторить эти альтернативные конструкции. Это семейство имеет порядок 12×16=192: 4!/2=12 перестановок четырех осей, половина из которых чередуется, 2 4 =16 для отражения по каждой оси. Существует одна небольшая индексная подгруппа, порождающая однородные 4-многогранники, [3 1,1,1 ] + , порядок 96.
Когда 3 узла раздвоенной ветви одинаково окольцованы, симметрия может быть увеличена на 6, так как [3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3], и, таким образом, эти многогранники повторяются из 24-клеточного многогранника. семья.
Здесь снова курносая 24-ячейка с группой симметрии [3 1,1,1 ] + на этот раз представляет собой поочередное усечение усеченной 24-ячейки, создающее 96 новых тетраэдров в положениях удаленных вершин. В отличие от его внешнего вида в прежних группах как частично курносого 4-многогранника, только внутри этой группы симметрии он имеет полную аналогию с курносыми кеплерами, т. е. курносым кубом и курносым додекаэдром .
Существует один не витоффов однородный выпуклый 4-многогранник, известный как большая антипризма , состоящий из 20 пятиугольных антипризм, образующих два перпендикулярных кольца, соединенных 300 тетраэдрами . Это во многом аналогично трехмерным антипризмам , которые состоят из двух параллельных многоугольников , соединенных полосой треугольников . Однако в отличие от них большая антипризма не является членом бесконечного семейства однородных многогранников.
Его симметрия - ионная уменьшенная группа Коксетера , [[10,2 + ,10]], порядка 400.
Призматический многогранник — это декартово произведение двух многогранников меньшей размерности; знакомыми примерами являются трехмерные призмы , которые представляют собой произведения многоугольника и отрезка . Призматические однородные 4-многогранники состоят из двух бесконечных семейств:
Наиболее очевидным семейством призматических 4-многогранников являются многогранные призмы, т.е. произведения многогранника с отрезком . Ячейками такого 4-многогранника являются два одинаковых однородных многогранника, лежащие в параллельных гиперплоскостях ( ячейки основания ) и соединяющий их слой призм ( боковые ячейки). В это семейство входят призмы для 75 непризматических однородных многогранников (из них 18 выпуклых; одна из них, куб-призма, указана выше как тессеракт ). [ нужна цитата ]
Существует 18 выпуклых многогранных призм , созданных из 5 платоновых тел и 13 архимедовых тел , а также для бесконечных семейств трехмерных призм и антипризм . [ нужна цитата ] Число симметрии многогранной призмы в два раза больше, чем у базового многогранника.
Эта призматическая тетраэдрическая симметрия равна [3,3,2], порядок 48. Есть две подгруппы индекса 2, [(3,3) + ,2] и [3,3,2] + , но вторая не порождает однородный 4-многогранник.
Симметрия этого призматического октаэдрического семейства равна [4,3,2], порядок 96. Существует 6 подгрупп индекса 2, порядок 48, которые выражены в чередующихся 4-многогранниках ниже. Симметрии : [(4,3) + ,2], [1 + ,4,3,2], [4,3,2 + ], [4,3 + ,2], [4,(3,2) + ] и [4,3,2] + .
Эта призматическая икосаэдральная симметрия равна [5,3,2], порядок 240. Есть две подгруппы индекса 2, [(5,3) + ,2] и [5,3,2] + , но вторая не порождает однородный полихорон.
Второе — бесконечное семейство однородных дуопризм , произведений двух правильных многоугольников . Диаграмма Кокстера-Динкина дуопризмы :. Его вершинная фигура — дисфеноидный тетраэдр ,.
Это семейство пересекается с первым: когда один из двух «факторных» многоугольников является квадратом, произведение эквивалентно гиперпризме, основанием которой является трехмерная призма. Число симметрии дуопризмы, факторами которой являются p -угольник и q -угольник (« p,q -дуопризма»), равно 4 pq , если p ≠ q ; если оба фактора являются p -угольниками, число симметрии равно 8 p 2 . Тессеракт также можно считать 4,4-дуопризмой.
Расширенный f-вектор { p }×{ q } равен ( p , p ,1)*( q , q ,1) = ( pq ,2 pq , pq + p + q , p + q ).
Не существует единого четырехмерного аналога бесконечного семейства трехмерных антипризм .
Бесконечный набор дуопризм pq -- p q -угольные призмы, q p -угольные призмы:
Возможны чередования."="дает семейство дуоантипризм , но их вообще нельзя сделать однородными. p=q=2 — единственный выпуклый случай, который можно сделать однородным, получив правильные 16 ячеек. p=5, q=5/3 — единственный невыпуклый случай, который можно сделать однородным, давая так называемую большую дуоантипризму .дает p-2q-гональную призмантипризму (чередование краев дуопризмы 2p-4q), но ее ни в коем случае нельзя сделать однородной. [20]
Бесконечное множество однородных призматических призм перекрывается с 4-p дуопризмами: (p≥3) -- p кубов и 4 p -угольных призмы - (все такие же, как 4-p дуопризма ) Второй многогранник в серии представляет собой более низкую симметрию правильного тессеракта , {4}×{4}.
Бесконечные множества однородных антипризматических призм построены из двух параллельных однородных антипризм ): (p≥2) -- 2 p -угольные антипризмы, соединенные 2 p -угольными призмами и 2p- треугольными призмами.
P -угольная антипризматическая призма имеет 4p- треугольника, 4p- квадрата и 4 p-угольника. Он имеет ребра 10p и вершины 4p .
Коксетер показал только два равномерных решения для групп Кокстера ранга 4 со всеми чередующимися кольцами (показаны пустыми узлами в виде кружков). Первое - это, s{2 1,1,1 } который представлял подгруппу индекса 24 ( симметрия [2,2,2] + , порядок 8) форму демитессеракта ,, h{4,3,3} (симметрия [1 + ,4,3,3] = [3 1,1,1 ], порядок 192). Второй, s{3 1,1,1 }, которая является подгруппой индекса 6 (симметрия [3 1,1,1 ] + , порядок 96) формы курносой 24-клетки ,, s{3,4,3}, (симметрия [3 + ,4,3], порядок 576).
Другие варианты, например, как альтернатива всеусеченному тессеракту , не может быть сделан равномерным, поскольку решение для равных длин ребер, как правило, переопределено (есть шесть уравнений, но только четыре переменных). Такие неоднородные чередующиеся фигуры могут быть построены как вершинно-транзитивные 4-многогранники путем удаления одного из двух полумножеств вершин полнокольцевой фигуры, но они будут иметь неравную длину ребер. Как и равномерные чередования, они будут иметь половину симметрии однородной фигуры, например [4,3,3] + , порядок 192, является симметрией чередующегося всеусеченного тессеракта . [21]
Конструкции Витхоффа с чередованиями создают транзитивные по вершинам фигуры, которые можно сделать равносторонними, но не однородными, поскольку чередующиеся промежутки (вокруг удаленных вершин) создают ячейки, которые не являются регулярными или полуправильными. Предлагаемое название таких фигур — чешуйчатые многогранники . [22] Эта категория допускает подмножество твердых тел Джонсона в виде ячеек, например треугольный купол .
Каждая конфигурация вершин внутри тела Джонсона должна существовать внутри фигуры вершин. Например, квадратная пирамида имеет две конфигурации вершин: 3.3.4 вокруг основания и 3.3.3.3 на вершине.
Ниже приведены сети и фигуры вершин четырех выпуклых равносторонних случаев, а также список ячеек вокруг каждой вершины.
46 витоффовых 4-многогранников включают шесть выпуклых правильных 4-многогранников . Остальные сорок могут быть получены из регулярной полихоры с помощью геометрических операций, которые сохраняют большую часть или все их симметрии , и, следовательно, могут быть классифицированы по группам симметрии , которые у них общие.
Геометрические операции, которые производят 40 однородных 4-многогранников из правильных 4-многогранников, являются операциями усечения . 4-многогранник может быть усечен по вершинам, ребрам или граням, что приводит к добавлению ячеек, соответствующих этим элементам, как показано в столбцах таблиц ниже.
На диаграмме Коксетера -Динкина четыре зеркала калейдоскопа Витоффа показаны как узлы, а края между узлами помечены целым числом, показывающим угол между зеркалами ( π / n радиан или 180/ n градусов). Узлы в кружке показывают, какие зеркала активны для каждой формы; зеркало активно по отношению к вершине, не лежащей на нем.
См. также выпуклые однородные соты , некоторые из которых иллюстрируют эти операции применительно к обычным кубическим сотам .
Если два многогранника являются двойственными друг другу (например, тессеракт и 16-ячеечный или 120-ячеечный и 600-ячеечный), то побитовое усечение , прогонка или всеусечение либо дает ту же фигуру, что и та же операция для другого. Таким образом, если в таблице встречается только причастие, следует понимать, что оно применимо к любому из родителей.
46 однородных полихор, построенных на основе симметрии A 4 , B 4 , F 4 , H 4 , представлены в этой таблице в виде их полной расширенной симметрии и диаграмм Кокстера. Симметрия D 4 также включена, но она создает только дубликаты. Чередования сгруппированы по их киральной симметрии. Приведены все чередования, хотя курносая 24-клетка с тремя конструкциями из разных семейств является единственной однородной. В скобках указано либо повторение, либо неравномерность. Диаграммы Кокстера даны с индексами от 1 до 46. Включено дуопризматическое семейство 3-3 и 4-4, второе по отношению к семейству B 4 .
Помимо вышеупомянутых семейств бесконечных дуопризм и антипризм, которые имеют бесконечное количество невыпуклых членов, было обнаружено множество однородных звездных полихор. В 1852 году Людвиг Шлефли открыл четыре правильных звездчатых полихоры: {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {3,3,5/2} и {5/2,3,3. }. В 1883 году Эдмунд Гесс нашел остальные шесть: {3,5,5/2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2. }, {5,5/2,3} и {3,5/2,5}. Норман Джонсон описал три однородных звездных полихоры, похожих на антипризмы, в своей докторской диссертации 1966 года: они основаны на трех дитригональных многогранниках , разделяющих ребра и вершины правильного додекаэдра. С тех пор другие исследователи, в том числе Джонатан Бауэрс и Джордж Ольшевский, обнаружили гораздо больше, в результате чего в настоящее время насчитывается 2127 известных однородных звездных полихор (не считая бесконечного набора дуопризм, основанных на звездных многоугольниках). В настоящее время нет доказательств полноты набора.
{{cite web}}
: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )