В геометрии точечная группа в четырех измерениях — это группа изометрий в четырех измерениях, которая оставляет начало координат неподвижным, или, соответственно, группа изометрий трехмерной сферы .
Существует четыре основных изометрии 4-мерной точечной симметрии : симметрия отражения , симметрия вращения , роторное отражение и двойное вращение .
Группы точек в этой статье даны в нотации Коксетера , которые основаны на группах Коксетера , с разметкой для расширенных групп и подгрупп. [6] Нотация Коксетера имеет прямое соответствие диаграмме Коксетера, такой как [3,3,3], [4,3,3], [3 1,1,1 ], [3,4,3], [5,3,3] и [p,2,q]. Эти группы ограничивают 3-сферу в идентичные гиперсферические тетраэдрические области. Количество областей является порядком группы. Количество зеркал для неприводимой группы равно nh/2 , где h является числом Коксетера группы Коксетера , n является размерностью (4). [7]
Для перекрестных ссылок здесь также приведены обозначения на основе кватернионов Патрика дю Валя (1964) [8] и Джона Конвея (2003). [9] Обозначение Конвея позволяет вычислять порядок группы как произведение элементов с порядками хиральных полиэдральных групп: (T=12, O=24, I=60). В обозначении Конвея префикс (±) подразумевает центральную инверсию , а суффикс (.2) подразумевает зеркальную симметрию. Аналогично, в обозначении Дю Валя есть верхний индекс звездочка (*) для зеркальной симметрии.
Существует пять инволюционных групп: отсутствие симметрии [ ] + , симметрия отражения [ ], 2-кратная вращательная симметрия [2] + , 2-кратное роторное отражение [2 + ,2 + ] и центральная точечная симметрия [2 + ,2 + ,2 + ] как 2-кратное двойное вращение .
Полихорическая группа — одна из пяти групп симметрии 4-мерных правильных многогранников . Существуют также три многогранные призматические группы и бесконечное множество дуопризматических групп. Каждая группа определяется фундаментальной областью тетраэдра Гурса , ограниченной зеркальными плоскостями. Двугранные углы между зеркалами определяют порядок двугранной симметрии . Диаграмма Коксетера–Дынкина — это граф, в котором узлы представляют зеркальные плоскости, а ребра называются ветвями и помечаются порядком их двугранных углов между зеркалами.
Термин полихорон (множественное число полихора , прилагательное полихорный ), происходит от греческих корней поли («много») и хорос («комната» или «пространство») и был предложен [10] Норманом Джонсоном и Джорджем Ольшевским в контексте однородной полихоры (4-многогранника) и связанных с ними 4-мерных групп симметрии. [11]
Группы Коксетера ранга 4 позволяют набору из 4 зеркал охватывать 4-пространство и делят 3-сферу на тетраэдрические фундаментальные домены. Группы Коксетера более низкого ранга могут ограничивать только осоэдрические или гозотопные фундаментальные домены на 3-сфере.
Подобно 3D- полиэдральным группам , названия 4D-полихорических групп, приведенные здесь, образованы греческими префиксами количества ячеек соответствующих правильных многогранников с треугольной гранью. [12] Расширенные симметрии существуют в однородных полихорах с симметричными кольцевыми узорами в конструкции диаграммы Коксетера . Хиральные симметрии существуют в чередующихся однородных полихорах.
Только неприводимые группы имеют числа Кокстера, но дуопризматические группы [p,2,p] можно удвоить до p,2,p, добавив 2-кратное вращение к фундаментальной области, и это дает эффективное число Кокстера 2 p , например, [4,2,4] и ее полная симметрия B 4 , [4,3,3] с числом Кокстера 8.
Порядок симметрии равен числу ячеек правильного полихора, умноженному на симметрию его ячеек. Укороченные двойные полихоры имеют ячейки, которые соответствуют фундаментальным доменам группы симметрии.
Прямыми подгруппами рефлективных 4-мерных точечных групп являются:
), порядок 120, (Дю Валь #51' (I † /C 1 ;I/C 1 ) †* , Конвей + 1 / 60 [I×I].2 1 ), названный в честь 5-клеточного (пентахорон), заданного кольцевой диаграммой Коксетера 
. Иногда ее также называют гипертетраэдрической группой для расширения тетраэдрической группы [3,3]. В этой группе имеется 10 зеркальных гиперплоскостей. Она изоморфна абстрактной симметрической группе , S 5 .
), порядок 240, (Дю Валь #51 (I †* /C 2 ;I/C 2 ) †* , Конвей ± 1 / 60 [I× I ].2). Он изоморфен прямому произведению абстрактных групп: S 5 ×C 2 .
), порядок 120, (Дю Валь #32 (I † /C 2 ;I/C 2 ) † , Конвей ± 1 / 60 [Ix I ]). Эта группа представляет собой конструкцию omnisnub 5-cell ,
, хотя его нельзя сделать однородным. Он изоморфен прямому произведению абстрактных групп: A 5 ×C 2 .
), порядок 60, (Дю Валь #32' (I † /C 1 ;I/C 1 ) † , Конвей + 1 / 60 [I× I ]). Она изоморфна абстрактной знакопеременной группе , A 5 .
), порядок 384, (Дю Валь #47 (O/V;O/V) * , Конвей ± 1 / 6 [O×O].2), названный в честь 16-клеточного (гексадекахорон),. В этой группе имеется 16 зеркальных гиперплоскостей, которые можно идентифицировать в 2 ортогональных множествах: 12 из подгруппы [3 1,1,1 ] и 4 из подгруппы [2,2,2]. Она также называется гипероктаэдрической группой для расширения 3D -октаэдрической группы [4,3] и тессерактической группой для тессеракта ,.), порядок 192, (Дю Валь #27 (O/V;O/V), Конвей ± 1 / 6 [O×O]). Эта группа представляет собой конструкцию омниснопёрого тессеракта ,
, хотя его нельзя сделать однородным.), порядок 192, (Дю Валь #41 (T/V;T/V) * , Конвей ± 1 / 3 [T×T].2). Эта группа приводит к плосконосому 24-клеточному с конструкцией.
=
), порядок 192, и то же самое, что и симметрия #demitesseractic: [3 1,1,1 ]. Эта группа выражается в тессерактной чередующейся конструкции 16-ячейки ,=
.=), порядок 96 и совпадает с хиральной демитессерактической группой [3 1,1,1 ] + , а также является коммутантной подгруппой [4,3,3].
), порядок 96, индекс подгруппы 4, (Дю Валь #44 (O/C 2 ;O/C 2 ) * , Конвей ± 1 / 24 [O×O].2). Усеченная кубическая призма имеет эту симметрию с диаграммой Коксетераа кубическая призма является конструкцией тессеракта с более низкой симметрией , как.
), порядок 48, (Дю Валь #26 (O/C 2 ;O/C 2 ), Конвей ± 1 / 24 [O×O]). Примером является плосконосая кубическая антипризма ,, хотя его нельзя сделать однородным.), порядок 48, (Дю Валь #44b' (O/C 1 ;O/C 1 ) − * , Конвей + 1 / 24 [O×O].2 1 ). Плосконосая кубическая призма имеет эту симметрию с диаграммой Коксетера.
), заказ 24, (Дю Валь #44' (T/C 2 ;T/C 2 ) − * , Конвей + 1 / 12 [T×T].2 1 ).), порядок 48, (Дю Валь #39 (T/C 2 ;T/C 2 ) c * , Конвей ± 1 / 12 [T×T].2).=), порядок 24, (Du Val #44" (T/C 2 ;T/C 2 ) * , Conway + 1 / 12 [T×T].2 3 ). Это 3D пиритоэдрическая группа , [4,3 + ].), порядок 24, (Дю Валь #21 (T/C 2 ;T/C 2 ), Конвей ± 1 / 12 [T×T]).), порядок 48, (Дю Валь #39' (T/C 2 ;T/C 2 ) − * , Конвей ± 1 / 12 [T× T ].2).) , порядок 48, (Дю Вал #40b' (O/C 1 ;O/C 1 ) − * , Конвей + 1/24 [O× O ].2 1 ).=), порядок 48 (Du Val #44b" (O/C 1 ;O/C 1 ) c * , Conway + 1 / 24 [O×O].2 3 ). Она называется октаэдрической пирамидальной группой и имеет трехмерную октаэдрическую симметрию , [4,3]. Кубическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ {4,3}.
, октаэдрическая пирамидальная группа изоморфна 3d октаэдрической симметрии=), порядок 24 (Дю Валь #26b' (O/C 1 ;O/C 1 ), Конвей + 1 / 24 [O×O]). Это 3D хиральная октаэдрическая группа , [4,3] + . Плосконосая кубическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли: ( ) ∨ sr{4,3}.) , порядок 48, индекс подгруппы 8, (Дю Вал #40b" (O/C 1 ;O/C 1 ) * , Конвей + 1/24 [ O× O ].2 3 ).), порядок 24, (Дю Валь #26b" (O/C 1 ;O/C 1 ), Конвей + 1 / 24 [O× O ]). Примером является плосконосая тетраэдрическая антипризма ,, хотя его нельзя сделать однородным.), порядок 24, (Дю Валь #39b' (T/C 1 ;T/C 1 ) c * , Конвей + 1 / 12 [T× T ].2 3 ). Примером является плосконосая тетраэдрическая призма ,.=), порядок 24, (Du Val #39b" (T/C 1 ;T/C 1 ) − * , Conway + 1 / 12 [T× T ].2 1 ). Она называется тетраэдрической пирамидальной группой и является трехмерной тетраэдрической группой , [3,3]. Правильная тетраэдрическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли: ( ) ∨ {3,3}.
, тетраэдрическая пирамидальная группа изоморфна 3d тетраэдрической симметрии=), порядок 12, (Du Val #21b' (T/C 1 ;T/C 1 ), Conway + 1 / 12 [T×T]). Это 3D хиральная тетраэдрическая группа , [3,3] + . Плосконосая тетраэдрическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли: ( ) ∨ sr{3,3}.), порядок 16. Другие — [4,2,4] (), [4,2,2] (), с индексами подгрупп 6 и 12, порядками 64 и 32. Эти группы являются низшими симметриями тессеракта : (), (), и (). Эти группы имеют #дуопризматическую симметрию.), заказ 1152, (Дю Валь #45 (O/T;O/T) * , Конвей ± 1 / 2 [OxO].2), названный в честь 24-клеточного (икоситрахорон),. В этой симметрии имеется 24 зеркальных плоскости, которые можно разложить на два ортогональных набора из 12 зеркал в подгруппах демитсерактической симметрии [3 1,1,1 ], как [3 * ,4,3] и [3,4,3 * ], как подгруппы индекса 6.
) имеет порядок 2304, (Дю Валя #48 (O/O;O/O) * , Конвей ±[O×O].2).) имеет порядок 1152, (Дю Валь #25 (O/O;O/O), Конвей ±[OxO]). Эта группа представляет собой конструкцию omnisnub 24-cell ,, хотя его нельзя сделать однородным.или), имеют порядок 576, (Дю Валь #43 (T/T;T/T) * , Конвей ±[T×T].2). Эта группа приводит к плосконосому 24-клеточному с конструкциейили.), порядок 288, (Дю Валь #20 (T/T;T/T), Конвей ±[T×T]) является коммутаторной подгруппой [3,4,3].
) заказ 576, (Дю Валь #23 (T/T;O/O), Конвей ±[OxT]).), заказ 576, (Дю Валь #28 (O/T;O/T), Конвей ± 1 / 2 [O×O]).
=), порядок 192, (Дю Валь #42 (T/V;T/V) − * , Конвей ± 1 / 3 [T× T ].2), названный в честь (демитессеракт) 4-демикубической конструкции 16-клеточного,или. В этой группе симметрии 12 зеркал.=), порядок 96, (Дю Валь #22 (T/V;T/V), Конвей ± 1 / 3 [T×T]). Эта группа приводит к плосконосому 24-клеточному с конструкцией=.
), порядок 14400, (Дю Валь #50 (I/I;I/I) * , Конвей ±[I×I].2), названный по имени 600-клеточного (гексакосихорона),. Иногда ее также называют гиперикосаэдрической группой для расширения трехмерной икосаэдрической группы [5,3], а также гекатоникосахорической группой или додекаконтахорической группой из 120-клеточной ,.), порядок 7200, (Дю Валь #30 (I/I;I/I), Конвей ±[I×I]). Эта группа представляет конструкцию курносого 120-клеточного ,, хотя его нельзя сделать однородным.), порядок 240, индекс подгруппы 60, (Дю Валь #49 (I/C 2 ;I/C 2 ) * , Конвей ± 1 / 60 [IxI].2).), порядок 120, (Дю Валь #31 (I/C 2 ;I/C 2 ), Конвей ± 1 / 60 [IxI]). Эта группа представляет собой конструкцию плосконосой додекаэдрической антипризмы ,, хотя его нельзя сделать однородным.), порядок 120, (Дю Валь #49' (I/C 1 ;I/C 1 ) * , Конвей + 1 / 60 [IxI].2 1 ). Эта группа представляет собой конструкцию плосконосой додекаэдрической призмы ,.=), порядок 120, (Du Val #49" (I/C 1 ;I/C 1 ) − * , Conway + 1 / 60 [IxI].2 3 ). Она называется икосаэдрической пирамидальной группой и является трехмерной икосаэдрической группой , [5,3]. Правильная додекаэдрическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ {5,3}.=), порядок 60, (Du Val #31' (I/C 1 ;I/C 1 ), Conway + 1 / 60 [IxI]). Это 3D хиральная икосаэдрическая группа , [5,3] + . Плосконосая додекаэдрическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ sr{5,3}.
), порядка 4 pq , существуют для всех 2 ≤ p , q < ∞. В этой симметрии имеется p+q зеркал, которые тривиально разлагаются на два ортогональных набора p и q зеркал диэдральной симметрии : [p] и [q].), порядок 2 pq . Его можно удвоить как [[2p,2,2p] + ].), симметрию можно удвоить как [[p,2,p]], (
).), [[2p,2 + ,2p]], [[2p + ,2 + ,2p + ]].
), он представляет собой линейную группу в 3-мерном пространстве,) он представляет собой симметрию евклидовой плоскости с двумя наборами параллельных зеркал и прямоугольной областью ( орбифолд *2222).), [п,2,q + ], (), [p + ,2,q + ], ().), [2p,2 + ,2q + ], (), [(p,2) + ,2q], (), [2p,(2,q) + ], (), [(p,2) + ,2q + ], (), [2p + ,(2,q) + ], (), [2p + ,2 + ,2q + ], (), и подгруппа коммуникатора, индекс 16, [2p + ,2 + ,2q + ] + , ().), заказ 16.), заказ 8.), порядок 32. Дуопризма 4-4 имеет эту расширенную симметрию,.или.), порядок 2. Это 2-кратный двойной поворот и 4-мерная центральная инверсия ., заказ 36..или
., заказ 64..или
.или.,,,) заказ 16.), заказ 8.), [4,2,4,1 + ]=[4,2,2], (), заказ 32.), [4,2,4,1 + ] + =[4,2,2] + , (), заказ 16.), заказ 16.) заказ 8Это сводка 4-мерных точечных групп в нотации Коксетера . 227 из них являются кристаллографическими точечными группами (для определенных значений p и q). [14] [ which? ] (nc) дано для некристаллографических групп. Некоторые кристаллографические группы [ which? ] имеют свои порядки, индексированные (order.index) их абстрактной групповой структурой. [15]