Треугольник Шварца

В геометрии треугольник Шварца , названный в честь Германа Шварца , представляет собой сферический треугольник , который можно использовать для мозаики сферы ( сферическая мозаика ), возможно, перекрывающейся, посредством отражений в ее краях . Они были классифицированы Шварцем (1873 г.).

В более общем смысле их можно определить как мозаику сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости . Каждый треугольник Шварца на сфере определяет конечную группу , а на евклидовой или гиперболической плоскости они определяют бесконечную группу.

Треугольник Шварца представлен тремя рациональными числами $(p q r)$ , каждое из которых представляет угол в вершине. Значение $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}n ⁄ d$ означает, что угол при вершине равен $d$ $⁄$ $n$ полукруга. «2» означает прямоугольный треугольник . Когда это целые числа, треугольник называется треугольником Мёбиуса и соответствует непересекающейся мозаике, а группа симметрии называется группой треугольников . В сфере имеется три треугольника Мёбиуса плюс одно однопараметрическое семейство; на плоскости имеются три треугольника Мёбиуса, а в гиперболическом пространстве существует трёхпараметрическое семейство треугольников Мёбиуса и нет исключительных объектов .

Пространство решений

Фундаментальный треугольник области $(pqr)$ с углами при вершине $π$ $⁄$ $p$ , $π$ $⁄$ $q$ и $π$ $⁄$ $r$ , может существовать в разных пространствах в зависимости от значения суммы обратных чисел этих целых чисел:

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}\quad {\begin{cases}>1&\implies {\text{Sphere}}\\[2pt]=1&\implies {\text{Euclidean plane}}\\[2pt]<1&\implies {\text{Hyperbolic plane}}\end{cases}}$

Это просто способ сказать, что в евклидовом пространстве сумма внутренних углов треугольника равна $π$ , тогда как на сфере они составляют угол, больший, чем $π$ , а в гиперболическом пространстве — меньший.

Графическое представление

Треугольник Шварца графически изображается треугольным графиком . Каждый узел представляет собой ребро (зеркало) треугольника Шварца. Каждое ребро помечается рациональным значением, соответствующим порядку отражения, т.е. π/ угол вершины .

Края второго порядка представляют собой перпендикулярные зеркала, которые на этой диаграмме можно игнорировать. Диаграмма Коксетера -Динкина представляет собой этот треугольный граф со скрытыми ребрами второго порядка.

Группу Кокстера можно использовать для более простых обозначений, например ( p q r ) для циклических графов и ( p q 2) = [ p , q ] для (прямоугольных треугольников) и ( p 2 2) = [ p ]× [].

Список треугольников Шварца

Треугольники Мёбиуса для сферы

Треугольники Шварца с целыми числами, также называемые треугольниками Мёбиуса , включают одно 1-параметрическое семейство и три исключительных случая:

[ p ,2] или ( p 2 2) – двугранная симметрия ,
[3,3] или (3 3 2) – тетраэдрическая симметрия ,
[4,3] или (4 3 2) – Октаэдрическая симметрия ,
[5,3] или (5 3 2) – икосаэдрическая симметрия ,

Треугольники Шварца для сферы по плотности

Треугольники Шварца ( p q r ), сгруппированные по плотности :

Треугольники для евклидовой плоскости

Плотность 1:

(3 3 3) – 60-60-60 ( равносторонние ),
(4 4 2) – 45-45-90 (равнобедренная правая),
(6 3 2) – 30-60-90 ,

Плотность 2:

(6 6 3/2) — треугольник 120-30-30

Плотность ∞:

(4 4/3 ∞)
(3 3/2 ∞)
(6 6/5 ∞)

Треугольники для гиперболической плоскости

Плотность 1:

(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
(2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
(2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
(2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
(3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
(3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
(3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
...
(∞ ∞ ∞)

Плотность 2:

(3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
(5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
(7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
(9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
...

Плотность 3:

(2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11)...

Плотность 4:

(7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11)...

Плотность 6:

(7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11)...
(7/2 7/2 7/2), (9/2 9/2 9/2), ...

Плотность 10:

(3 7/2 7)

Треугольник Шварца (2 3 7) является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и поэтому представляет особый интерес. Его группа треугольников (или, точнее, группа фон Дейка индекса 2 изометрий, сохраняющих ориентацию) — это (2,3,7) группа треугольников , которая является универсальной группой для всех групп Гурвица — максимальных групп изометрий римановых поверхностей . Все группы Гурвица являются факторами группы треугольников (2,3,7), а все поверхности Гурвица замощены треугольником Шварца (2,3,7). Наименьшая группа Гурвица — это простая группа порядка 168, вторая наименьшая неабелева простая группа , изоморфная PSL(2,7) , а соответствующая поверхность Гурвица (рода 3) — квартика Клейна .

Треугольник (2 3 8) замощает поверхность Больца , высокосимметричную (но не Гурвиц) поверхность рода 2.

Треугольники с одним нецелым углом, перечисленные выше, были впервые классифицированы Энтони В. Кнаппом в ^[1] . Список треугольников с несколькими нецелыми углами приведен в ^{[2] .}

Тесселяция треугольниками Шварца

В этом разделе с использованием элементарных методов будет обсуждаться замощение гиперболической верхней полуплоскости треугольниками Шварца. Для треугольников без «каспов» — углов, равных нулю или, что эквивалентно, вершин на действительной оси — будет использоваться элементарный подход Каратеодори (1954). Для треугольников с одной или двумя точками возврата будут использоваться элементарные рассуждения Эванса (1973), упрощающие подход Хекке (1935): в случае треугольника Шварца с одним углом нулевым, а другим прямым углом, сохраняется ориентация Подгруппа группы отражения треугольника является группой Гекке . Для идеального треугольника, в котором все углы равны нулю, так что все вершины лежат на вещественной оси, существование мозаики будет установлено путем соотнесения ее с рядом Фейри, описанным в Hardy & Wright (2008) и Series (2015). В этом случае мозаику можно рассматривать как мозаику, связанную с тремя соприкасающимися кругами на сфере Римана , предельный случай конфигураций, связанных с тремя непересекающимися невложенными кругами и их группами отражений, так называемыми « группами Шоттки », подробно описанными в Мамфорде, Сериал и Райт (2015). В качестве альтернативы - разделив идеальный треугольник на шесть треугольников с углами 0, $π$ /2 и $π$ /3 – мозаику идеальными треугольниками можно понять с точки зрения мозаики треугольников с одной или двумя точками пересечения.

Треугольники без точек пересечения

Предположим, что гиперболический треугольник Δ имеет углы $π$ / a , $π$ / b и $π$ / c с целыми числами a , b , c больше 1. Гиперболическая площадь треугольника Δ равна $π$ – $π$ / a – $π$ / b – $π$ / c , так что

{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<1.

Построение мозаики сначала будет осуществляться для случая, когда a , b и c больше 2. ^[3]

Исходный треугольник Δ дает выпуклый многоугольник P ₁ с 3 вершинами. В каждой из трех вершин треугольник можно последовательно отразить через ребра, исходящие из вершин, чтобы создать 2 млн копий треугольника, где угол в вершине равен $π$ / m . Треугольники не перекрываются, за исключением краев, половина из них имеет обратную ориентацию и совмещается, образуя мозаику окрестностей точки. Объединение этих новых треугольников вместе с исходным треугольником образует связную фигуру P ₂ . Он состоит из треугольников, которые пересекаются только по краям или вершинам, образует выпуклый многоугольник со всеми углами, меньшими или равными $π$ , и каждая сторона является ребром отраженного треугольника. В случае, когда угол Δ равен $π$ /3, вершина P ₂ будет иметь внутренний угол $π$ , но это не влияет на выпуклость P ₂ . Даже в этом вырожденном случае, когда возникает угол $π$ , два коллинеарных края по-прежнему считаются различными для целей построения.

Построение P ₂ можно понять более ясно, заметив, что некоторые треугольники или плитки добавляются дважды, причем три из них имеют общую сторону с исходным треугольником. Остальные имеют только одну общую вершину. Более систематический способ укладки мозаики — сначала добавить по плитке к каждой стороне (отражение треугольника на этом ребре), а затем заполнить промежутки в каждой вершине. В результате всего получается 3 + (2 a – 3) + (2 b – 3) + (2 c – 3) = 2( a + b + c ) – 6 новых треугольников. Новые вершины бывают двух типов. Те, которые являются вершинами треугольников, прикрепленных к сторонам исходного треугольника, которые соединены с двумя вершинами Δ. Каждый из них лежит в трех новых треугольниках, пересекающихся в этой вершине. Остальные соединены с единственной вершиной треугольника Δ и принадлежат двум новым треугольникам, имеющим общее ребро. Таким образом, имеется 3 + (2 a – 4) + (2 b – 4) + (2 c – 4) = 2( a + b + c ) – 9 новых вершин. По конструкции перекрытия отсутствуют. Чтобы увидеть, что P ₂ выпукла, достаточно увидеть, что угол между сторонами, сходящимися в новой вершине, составляет угол, меньший или равный $π$ . Но новые вершины лежат в двух или трех новых треугольниках, которые пересекаются в этой вершине, поэтому угол в этой вершине не превышает 2 $π$ /3 или $π$ , как и требуется.

Этот процесс можно повторить для P2 _, чтобы получить _P3, сначала добавляя плитки к каждому краю _P2, _а затем заполняя плитки вокруг каждой вершины P2 . Затем процесс можно повторить от P ₃ , чтобы получить P ₄ и так далее, последовательно производя P _n из P _n_{– 1} . Индуктивно можно проверить, что все это выпуклые многоугольники с непересекающимися плитками. Действительно, как и на первом этапе процесса, при построении P _n из P _n_{– 1} существует два типа плиток : те, которые прикреплены к ребру P _n_{– 1} , и те, которые прикреплены к одной вершине. Аналогично, существует два типа вершин: в одной встречаются две новые плитки, а в другой — три плитки. Таким образом, при условии, что плитки не перекрываются, предыдущий аргумент показывает, что углы при вершинах не превышают $π$ и, следовательно, P _n — выпуклый многоугольник. ^[а]

Поэтому необходимо убедиться, что при построении P _n из P _{n − 1} : ^[4]

(a) новые треугольники не перекрываются с P _{n − 1} , за исключением случаев, уже описанных;
(б) новые треугольники не перекрываются друг с другом, за исключением случаев, уже описанных;
(в) геодезическая из любой точки Δ до вершины многоугольника P _{n – 1} составляет угол ≤ 2 $π$ /3 с каждым из ребер многоугольника в этой вершине.

Чтобы доказать (а), заметим, что по выпуклости многоугольник P _{n − 1} является пересечением выпуклых полупространств, определяемых полными дугами окружностей, определяющими его границу. Таким образом, в данной вершине P _{n − 1} есть две такие дуги окружности, определяющие два сектора: один сектор содержит внутренность P _{n − 1} , другой содержит внутренности новых треугольников, добавленных вокруг данной вершины. Это можно визуализировать, используя преобразование Мёбиуса, чтобы сопоставить верхнюю полуплоскость с единичным диском, а вершину с началом координат; внутренняя часть многоугольника и каждый из новых треугольников лежат в разных секторах единичного круга. Таким образом, (а) доказано.

Прежде чем доказывать (c) и (b), можно применить преобразование Мёбиуса, чтобы сопоставить верхнюю полуплоскость с единичным кругом, а фиксированную точку внутри Δ — с началом координат.

Доказательство (в) проводится по индукции. Обратите внимание, что радиус, соединяющий начало координат с вершиной многоугольника P _{n − 1,} образует угол меньше 2 $π$ /3 с каждым из ребер многоугольника в этой вершине, если ровно два треугольника из P _{n − 1} пересекаются в вершине. вершине, поскольку каждый из них имеет угол, меньший или равный $π$ /3 в этой вершине. Чтобы проверить, верно ли это, когда три треугольника P _{n − 1} встречаются в вершине, скажем, C , предположим, что основание среднего треугольника находится на стороне AB из P _{n − 2} . Радиусы OA и OB по индукции образуют с ребром AB углы, меньшие или равные 2π $/$ 3 . В этом случае область в секторе между радиусами ОА и ОВ вне ребра AB является выпуклой как пересечение трех выпуклых областей. По индукции углы A и B больше или равны $π$ /3. Таким образом, геодезические линии к C из A и B начинаются в этом регионе; по выпуклости треугольник ABC целиком лежит внутри области. Четырехугольник OACB имеет все углы меньше $π$ (поскольку OAB — геодезический треугольник), поэтому он выпуклый. Следовательно , радиус OC лежит внутри угла треугольника ABC вблизи C. Таким образом, углы между OC и двумя краями $P$ $n$ $- 1$ , встречающимися в точке C, меньше или равны $π$ /3 + $π$ /3 = 2 $π$ /3, как утверждается.

Для доказательства (б) надо проверить, как пересекаются новые треугольники _в Pn .

Сначала рассмотрим плитки, добавленные к краям P _{n – 1} . Приняв обозначения, аналогичные (c), пусть AB — основание плитки, а C — третья вершина. Тогда радиусы OA и OB образуют с ребром AB углы, меньшие или равные 2 $π$ /3 , и рассуждения доказательства (c) применимы для доказательства того, что треугольник ABC лежит внутри сектора, определяемого радиусами OA и OB. . Это верно для каждого ребра P _n_{– 1} . Поскольку внутренности секторов, определяемых отдельными ребрами, не пересекаются, новые треугольники этого типа пересекаются только так, как утверждается.

Далее рассмотрим дополнительные плитки, добавленные для каждой вершины P _{n – 1} . Если считать вершину A , то три — это два ребра AB ₁ и AB ₂ из P _{n – 1} , которые пересекаются в A. Пусть C ₁ и C ₂ — дополнительные вершины плиток, добавленных к этим ребрам. Теперь дополнительные плитки, добавленные в A, лежат в секторе, определенном радиусами OB ₁ и OB ₂ . Многоугольник с вершинами C ₂ O , C ₁ , а затем вершинами дополнительных плиток имеет все внутренние углы меньше $π$ и, следовательно, является выпуклым. Следовательно, он полностью содержится в секторе, определяемом радиусами OC ₁ и OC ₂ . Поскольку все внутренние части этих секторов не пересекаются, отсюда следуют все утверждения о том, как пересекаются добавленные плитки.

Наконец, осталось доказать, что замощение, образованное объединением треугольников, покрывает всю верхнюю полуплоскость. Любая точка z, покрытая мозаикой, лежит в многоугольнике _Pn и , следовательно, в многоугольнике Pn ₊₁ . Следовательно, он лежит в копии исходного треугольника Δ, а также в копии P ₂ , полностью содержащейся в P _n₊₁ . Гиперболическое расстояние между ∆ и внешностью P ₂ равно r > 0. Таким образом, гиперболическое расстояние между z и точками, не покрытыми мозаикой, равно r . Поскольку это относится ко всем точкам замощения, множество, покрытое замощением, замкнуто. С другой стороны, замощение является открытым, поскольку оно совпадает с объединением внутренностей многоугольников P _n . Благодаря связности тесселяция должна охватывать всю верхнюю полуплоскость.

Чтобы понять, как действовать в случае, когда угол Δ является прямым, обратите внимание, что неравенство

{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<1

подразумевает, что если один из углов прямой, скажем a = 2, то оба угла b и c больше 2 и один из них, скажем b , должен быть больше 3. В этом случае отражение треугольника через сторону AB дает равнобедренный гиперболический треугольник с углами $π$ / c , $π$ / c и 2 $π$ / b . Если 2 $π$ / b ≤ $π$ /3, т.е. b больше 5, то все углы удвоенного треугольника меньше или равны $π$ /3. В этом случае построение мозаики, приведенной выше, посредством увеличения выпуклых многоугольников слово в слово адаптируется к этому случаю, за исключением того, что вокруг вершины с углом 2 $π$ / b требуется только b , а не 2 b , копии треугольника, чтобы замостить окрестность. вершины. Это возможно, поскольку удвоенный треугольник является равнобедренным. Тесселяция для удвоенного треугольника дает то же самое для исходного треугольника, если разрезать все большие треугольники пополам. ^[5]

Осталось рассмотреть случай, когда b равно 4 или 5. Если b = 4, то c ≥ 5: в этом случае, если c ≥ 6, то b и c можно поменять местами, и применим приведенный выше аргумент, оставив случай b = 4. и c = 5. Если b = 5, то c ≥ 4. Случай c ≥ 6 можно решить, поменяв местами b и c , так что единственным дополнительным случаем будет b = 5 и c = 5. Этот последний равнобедренный треугольник является удвоенная версия первого исключительного треугольника, поэтому необходимо рассматривать только этот треугольник Δ ₁ — с углами $π$ /2, $π$ /4 и $π$ /5 и гиперболической площадью $π$ /20 (см. ниже). Каратеодори (1954) рассматривает этот случай с помощью общего метода, который работает для всех прямоугольных треугольников, у которых два других угла меньше или равны $π$ /4. Предыдущий метод построения P ₂ , P ₃ , ... модифицируется добавлением дополнительного треугольника каждый раз, когда в вершине возникает угол 3 $π$ /2. Те же рассуждения применимы для доказательства отсутствия перекрытия и того, что мозаика покрывает гиперболическую верхнюю полуплоскость. ^[5]

С другой стороны, данная конфигурация порождает группу арифметических треугольников. Впервые они были изучены Фрике и Кляйном (1897). и породили обширную литературу. В 1977 году Такеучи получил полную классификацию групп арифметических треугольников (их конечное число) и определил, когда две из них соизмеримы. Конкретный пример связан с кривой Бринга , и арифметическая теория подразумевает, что группа треугольников для Δ ₁ содержит группу треугольников для треугольника Δ ₂ с углами $π$ /4, $π$ /4 и $π$ /5 в качестве ненормальной подгруппы индекса 6. ^[6]

Удваивая треугольники Δ1 _и Δ2 _, это означает, что должна существовать связь между 6 треугольниками Δ3 _с углами $π$ /2, $π$ /5 и $π$ /5 и гиперболической площадью $π$ /10 и треугольником Δ4 _с углами $π$ / 5, $π$ /5 и $π$ /10 и гиперболическая площадь 3 $π$ /5. Трелфолл (1932) установил такое соотношение непосредственно, совершенно элементарными геометрическими средствами, без обращения к теории арифметики: действительно, как показано на пятом рисунке ниже, четырехугольник, полученный отражением через сторону треугольника типа Δ ₄ , можно разложить по формуле 12 треугольников типа Δ ₃ . Мозаику треугольниками типа Δ ₄ можно выполнить основным методом этого раздела; следовательно, это доказывает существование мозаики треугольниками типа _∆3 и _∆1 . ^[7]

Мозаика треугольниками с углами $π$ /2, $π$ /5 и $π$ /5.
Тесселяция, полученная путем объединения двух треугольников
Замощение пятиугольниками, образованными из 10 (2,5,5) треугольников.
Приспособление к замощению треугольниками с углами $π$ /5, $π$ /10, $π$ /10
Укладка 2 (5,10,10) треугольников 12 (2,5,5) треугольниками

Треугольники с одной или двумя вершинами

В случае треугольника Шварца с одной или двумя точками возврата процесс замощения упрощается; но легче использовать другой метод, восходящий к Гекке, чтобы доказать, что они исчерпывают гиперболическую верхнюю полуплоскость.

В случае одного возврата и ненулевых углов $π$ / a , $π$ / b с целыми числами a , b больше единицы, мозаику можно представить в единичном круге с вершиной, имеющей угол $π$ / a в начале координат. Укладка мозаики начинается с добавления 2–1 копий треугольника в начале координат путем последовательных отражений. В результате получается многоугольник P ₁ с 2 точками возврата и между каждыми двумя вершинами 2 a , каждая из которых имеет угол $π$ / b . Следовательно, многоугольник выпуклый. Для каждой неидеальной вершины P ₁ уникальный треугольник с этой вершиной можно аналогично отразить вокруг этой вершины, добавив таким образом 2 b – 1 новых треугольников, 2 b – 1 новых идеальных точек и 2 b – 1 новых вершин с углом $π.$ / а . Таким образом , полученный многоугольник P ₂ состоит из 2 a (2 b – 1) точек возврата и такого же количества вершин, каждая из которых имеет угол $π$ / a , поэтому является выпуклым. Процесс можно продолжить таким образом, чтобы получить выпуклые многоугольники P ₃ , P ₄ и так далее. Многоугольник P _n будет иметь вершины с углами, чередующимися между 0 и $π$ / a для четного n и между 0 и $π$ / b для нечетного n . По конструкции треугольники перекрываются только по краям или вершинам, поэтому образуют мозаику. ^[8]

Мозаика треугольником с углами 0, $π$ /3, $π$ /5
Мозаика треугольником с углами 0, $π$ /5, $π$ /2
Мозаика треугольником с углами 0, 0, $π$ /5

Случай, когда треугольник имеет две вершины и один ненулевой угол $π$ / a, можно свести к случаю одной вершины, заметив, что тринале является двойником треугольника с одной вершиной и ненулевыми углами $π$ / a и $π.$ / b с b = 2. Затем разбиение продолжается так же, как и раньше. ^[9]

Чтобы доказать, что они дают мозаику, удобнее работать в верхней полуплоскости. Оба случая можно рассматривать одновременно, поскольку случай двух точек возврата получается удвоением треугольника с одной точкой возврата и ненулевыми углами $π$ / a и $π$ /2. Итак, рассмотрим геодезический треугольник в верхней полуплоскости с углами 0, $π$ / a , $π$ / b и целыми числами a , b , большими единицы. Внутренность такого треугольника можно представить как область X в верхней полуплоскости, лежащую вне единичного круга | г | ≤ 1 и между двумя прямыми, параллельными мнимой оси, проходящими через точки u и v на единичной окружности. Пусть Γ — группа треугольников, порожденная тремя отражениями на сторонах треугольника.

Чтобы доказать, что последовательные отражения треугольника покрывают верхнюю полуплоскость, достаточно показать, что для любого z в верхней полуплоскости существует g в Γ такой, что g ( z ) лежит в X. Это следует из аргумента Эванса (1973), упрощенного из теории групп Гекке . Пусть λ = Re a и µ = Re b, так что, не ограничивая общности, λ < 0 ⩽ µ. Три отражения по сторонам определяются выражением

R_{1}(z)={\frac {1}{\overline {z}}},\ R_{2}(z)=-{\overline {z}}+\lambda ,\ R_{3}(z)=-{\overline {z}}+\mu .

Таким образом, _T= R3 ∘ R2 является _{сдвигом} на µ − λ. Отсюда следует, что для любого z ₁ в верхней полуплоскости существует элемент g ₁ в подгруппе Γ ₁ группы Γ, порожденный T такой, что w ₁ = g ₁ ( z ₁ ) удовлетворяет условию λ ⩽ Re w ₁ ⩽ µ, т.е. эта полоса является фундаментальной областью для группы сдвигов Γ ₁ . Если | ш ₁ | ≥ 1, то w ₁ лежит в X , и результат доказан. В противном случае пусть z ₂ = R ₁ ( w ₁ ) и найдите g ₂ Γ ₁ такой, что w ₂ = g ₂ ( z ₂ ) удовлетворяет условию λ ⩽ Re w ₂ ⩽ µ. Если | ш ₂ | ≥ 1, то результат доказан. Продолжая таким же образом, либо некоторое w _n удовлетворяет | ш _н | ≥ 1, и в этом случае результат доказан; или | ш _н | < 1 для всех n . Теперь, поскольку g _n_{+ 1} лежит в Γ ₁ и | ш _н | < 1,

\operatorname {Im} g_{n+1}(z_{n+1})=\operatorname {Im} z_{n+1}=\operatorname {Im} {\frac {w_{n}}{|w_{n}|{}^{2}}}={\frac {\operatorname {Im} w_{n}}{|w_{n}|{}^{2}}}.

В частности

\operatorname {Im} w_{n+1}\geq \operatorname {Im} w_{n}

{\frac {\operatorname {Im} w_{n+1}}{\operatorname {Im} w_{n}}}=|w_{n}|^{-2}\geq 1.

Таким образом, из неравенства, приведенного выше, точки ( w _n ) лежат в компакте | г | ≤ 1, λ ≤ Re z ≤ µ и Im z ≥ Im w ₁ . Отсюда следует, что | ш _н | стремится к 1; в противном случае существовало бы r < 1 такое, что | ш _м | ≤ r для бесконечного числа m, и тогда последнее уравнение выше будет означать, что Im w _n стремится к бесконечности, противоречие.

Пусть w — предельная точка w n _, так что | ш | = 1. Таким образом, w лежит на дуге единичной окружности между u и v . Если w ≠ u , v , то R ₁ w _n будет лежать в X при достаточно большом n , вопреки предположению. Следовательно, w = u или v . Следовательно, при _{достаточно} большом n wn лежит близко к u или v и, следовательно, должно лежать в одном из отражений треугольника относительно вершины u или v , поскольку они заполняют окрестности u и v . Таким образом , существует элемент g в Γ такой, что _g ( wn ) лежит в X. Поскольку по построению w _n находится на Γ-орбите точки z ₁ , то на этой орбите существует точка, лежащая в X , что и требовалось. ^[10]

Идеальные треугольники

Мозаика для идеального треугольника со всеми его вершинами на единичной окружности и всеми углами 0 может рассматриваться как частный случай мозаики для треугольника с одной вершиной и двумя теперь нулевыми углами $π$ /3 и $π$ /2. Действительно, идеальный треугольник состоит из шести копий треугольника с одной вершиной, полученного отражением меньшего треугольника вокруг вершины с углом $π$ /3.

Тесселяция треугольника с углами 0, $π$ /3 и $π$ /2
Тесселяция для идеального треугольника
Рисование линии замощения идеальными треугольниками

D - гармоническое сопряжение C относительно A и B.

Отражение идеального треугольника в одной из его сторон.

Однако каждый шаг мозаики однозначно определяется положением новых точек возврата на окружности или, что то же самое, на действительной оси; и эти моменты можно понять непосредственно с точки зрения серии Фари, следующей за Series (2015), Hatcher (2013, стр. 20–32) и Hardy & Wright (2008, стр. 23–31). Все начинается с основного шага, который создает мозаику — отражение идеального треугольника на одной из его сторон. Отражение соответствует процессу инверсии в проективной геометрии и принятию проективно-гармонического сопряжения , которое можно определить через перекрестное отношение . Фактически, если p , q , r , s — разные точки в сфере Римана, то существует единственное комплексное преобразование Мёбиуса g, переводящее p , q и s в 0, ∞ и 1 соответственно. Перекрестное отношение ( p , q ; r , s ) определяется как g ( r ) и задается формулой

(p,q;r,s)={\frac {(p-r)(q-s)}{(p-s)(q-r)}}.

По определению он инвариантен относительно преобразований Мёбиуса. Если a , b лежат на действительной оси, гармоническое сопряжение c относительно a и b определяется как уникальное действительное число d такое, что ( a , b ; c , d ) = −1. Так, например, если a = 1 и b = –1, сопряженное число r равно 1/ r . В общем, инвариантность Мёбиуса можно использовать для получения явной формулы для d через a , b и c . Действительно, переводя центр t = ( a + b )/2 круга с диаметром, имеющим конечные точки a и b , в 0, d – t является гармонически сопряженным c – t относительно a – t и b – t . Радиус круга равен ρ = ( b – a )/2, поэтому ( d – t )/ρ является гармоническим сопряжением $(c - t)/ρ$ относительно 1 и -1. Таким образом

{\frac {d-t}{\rho }}={\frac {\rho }{c-t}}

так что

d={\frac {\rho ^{2}}{r-t}}+t={\frac {(c-a)b+(c-b)a}{(c-a)+(c-b)}}.

Теперь будет показано, что существует параметризация таких идеальных треугольников, задаваемая рациональными числами в сокращенной форме.

a={\frac {p_{1}}{q_{1}}},\ b={\frac {p_{1}+p_{2}}{q_{1}+q_{2}}},\ c={\frac {p_{2}}{q_{2}}}

где a и c удовлетворяют «условию соседства» p ₂q ₁ − q ₂p ₁ = 1.

Средний член b называется суммой Фарея или медианой внешних членов и записывается

b=a\oplus c.

Формула отраженного треугольника дает

d={\frac {p_{1}+2p_{2}}{q_{1}+2q_{2}}}=a\oplus b.

Аналогично отраженный треугольник во втором полукруге дает новую вершину b ⊕ c . Непосредственно проверяется, что a и b удовлетворяют условию соседства, как и b и c .

Теперь эту процедуру можно использовать для отслеживания треугольников, полученных последовательным отражением базового треугольника Δ с вершинами 0, 1 и ∞. Достаточно рассмотреть полосу с 0 ≤ Re z ≤ 1, так как та же картина воспроизводится в параллельных полосках применением отражений в линиях Re z = 0 и 1. Идеальный треугольник с вершинами 0, 1, ∞ отражает в полукруге с основанием [0,1] в треугольник с вершинами a = 0, b = 1/2, c = 1. Таким образом, a = 0/1 и c = 1/1 являются соседями и b = a ⊕ c . Полукруг разделен на два меньших полукруга с основаниями [ a , b ] и [ b , c ]. Каждый из этих интервалов разделяется на два интервала одним и тем же процессом, в результате чего получается 4 интервала. Продолжая таким же образом, мы получаем подразделения на 8, 16, 32 интервала и так далее. На n -м этапе имеется 2 ⁿ смежных интервалов с 2 ⁿ + 1 конечными точками. Приведенная выше конструкция показывает, что последовательные конечные точки удовлетворяют условию соседства, так что новые конечные точки, возникающие в результате отражения, задаются формулой суммы Фарея.

Чтобы доказать, что мозаика покрывает всю гиперболическую плоскость, достаточно показать, что каждое рациональное число в [0,1] в конечном итоге встречается в качестве конечной точки. Есть несколько способов увидеть это. Один из наиболее элементарных методов описан в Graham, Knuth & Patashnik (1994) при развитии — без использования цепных дробей — теории дерева Штерна-Броко , которая кодифицирует новые рациональные конечные точки, появляющиеся на n- м уровне. этап. Они дают прямое доказательство существования всякого рационального. Действительно, начиная с {0/1,1/1}, последовательные конечные точки вводятся на уровне n +1 путем добавления сумм Фарея или медиан $(p + r)/(q + s)$ между всеми последовательными членами $p / q$ , $r / s$ на n -м уровне (как описано выше). Пусть $x = a / b$ — рациональное число, лежащее между 0 и 1, причем $a$ и $b$ взаимно простые. Предположим, что на некотором уровне $x$ зажат между последовательными членами $p / q < x < r / s$ . Эти неравенства вынуждают $aq - bp \geq 1$ и $br - as \geq 1$ и, следовательно, поскольку $rp - qs = 1$ ,

a+b=(r+s)(ap-bq)+(p+q)(br-as)\geq p+q+r+s.

Это накладывает верхнюю границу на сумму числителей и знаменателей. С другой стороны, медиана $(p + r)/(q + s)$ может быть введена и либо равна $x$ , и в этом случае рациональный $x$ появляется на этом уровне; или медиата дает новый интервал, содержащий $x$ со строго большей суммой числителя и знаменателя. Таким образом, процесс должен завершиться не более чем через $a + b$ шагов, тем самым доказывая, что $x$ появляется. ^[11]

Второй подход основан на модулярной группе G = SL(2, Z ). ^[12] Алгоритм Евклида предполагает, что эта группа порождается матрицами

S={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\,\,\,T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.

Фактически, пусть H будет подгруппой G , порожденной S и T . Позволять

g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

быть элементом SL(2, Z ). Таким образом, ad − cb = 1, так что a и c взаимно просты. Позволять

v={\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},\,\,\,u={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.

Применяя при необходимости S , можно считать, что | а | > | с | (равенство невозможно из-за взаимной простоты). Мы пишем a = mc + r, где 0 ≤ r ≤ | с |. Но потом

T^{-m}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\\c\end{pmatrix}}.

Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока одна из записей не станет равна 0, и в этом случае другая обязательно будет равна ±1. Применяя при необходимости степень S , отсюда следует, что v = h u для некоторого h из H . Следовательно

h^{-1}g={\begin{pmatrix}1&p\\0&q\end{pmatrix}}

с целыми числами p , q . Очевидно, p = 1, так что h ⁻¹g = T ^q . Таким образом, g = h T ^q лежит в H , как и требовалось.

Чтобы доказать, что все рациональные числа в [0,1] встречаются, достаточно показать, что G переносит ∆ на треугольники в мозаике. Это следует из того, что сначала отметим, что S и T переносят ∆ в такой треугольник: действительно, как и преобразования Мёбиуса, S ( z ) = –1/ z и T ( z ) = z + 1, поэтому они дают отражения ∆ в двух из его стороны. Но тогда S и T сопрягают отражения в сторонах Δ с отражениями в сторонах S Δ и T Δ, лежащих в Γ. Таким образом, G нормализует Γ. Поскольку треугольники в мозаике - это в точности треугольники формы g ∆ с g в Γ, отсюда следует, что S и T и, следовательно, все элементы G переставляют треугольники в мозаике. Поскольку каждое рациональное число имеет форму g (0) для g в G , каждое рациональное число в [0,1] является вершиной треугольника в мозаике.

Группу отражений и мозаику для идеального треугольника также можно рассматривать как предельный случай группы Шоттки для трех непересекающихся невложенных кругов на сфере Римана. И снова эта группа порождается гиперболическими отражениями в трех кругах. В обоих случаях три окружности имеют общую окружность, которая пересекает их перпендикулярно. Используя преобразование Мёбиуса, можно предположить, что это единичная окружность или, что то же самое, действительная ось в верхней полуплоскости. ^[13]

Подход Сигела

В этом подразделе изложен подход Карла Людвига Зигеля к теореме мозаики для треугольников. Менее элементарный подход Зигеля не использует выпуклость, вместо этого полагаясь на теорию римановых поверхностей , накрывающих пространств и версию теоремы о монодромии для накрытий. Он был обобщен для доказательства более общей теоремы Пуанкаре о многоугольниках. (Обратите внимание, что частный случай замощения правильными n -угольниками с внутренними углами 2 $π$ / n является непосредственным следствием мозаики треугольниками Шварца с углами $π$ / n , $π$ / n и $π$ /2.) ^[14]^{[15 ]}

Пусть Γ — свободное произведение Z ₂ ∗ Z ₂ ∗ Z ₂ . Если Δ = ABC — треугольник Шварца с углами $π$ / a , $π$ / b и $π$ / c , где a , b , c ≥ 2, то существует естественное отображение Γ на группу, порожденное отражениями в сторонах Δ. . Элементы Γ описываются произведением трех генераторов, где никакие два соседних генератора не равны. В вершинах A , B и C произведение отражений от сторон, встречающихся в вершине, определяют повороты на углы 2 $π$ / a , 2 $π$ / b и 2 $π$ / c ; Пусть g _A , g _B и g _C — соответствующие произведения образующих Γ = Z ₂ ∗ Z ₂ ∗ Z ₂ . Пусть Г0 _— нормальная подгруппа индекса 2 группы Г, состоящая из элементов, являющихся произведением четного числа образующих; и пусть Γ ₁ — нормальная подгруппа Γ, порожденная ( g _A ) ^a , ( g _B ) ^b и ( g _C ) ^c . Они действуют тривиально на ∆. Пусть Γ = Γ/Γ ₁ и Γ ₀ = Γ ₀ /Γ ₁ .

Дизъюнктное объединение копий Δ , индексированных элементами из Γ с отождествлениями ребер, имеет естественную структуру римановой поверхности Σ. Во внутренней точке треугольника находится очевидная диаграмма. В качестве точки внутренней части ребра диаграмма получается путем отражения треугольника через ребро. В вершине треугольника с внутренним углом $π$ / n карта получается из 2 n копий треугольника, полученных путем последовательного отражения его вокруг этой вершины. Группа Γ действует посредством преобразований колоды Σ, причем элементы из Γ ₀ действуют как голоморфные отображения, а элементы, не входящие в Γ ₀ , действуют как антиголоморфные отображения.

Существует естественное отображение P точки Σ в гиперболическую плоскость. Внутренность треугольника с меткой g в Γ переносится на g (Δ), ребра переходят на ребра, а вершины на вершины. Также легко проверить, что окрестность внутренней точки ребра переходит в окрестность изображения; и аналогично для вершин. Таким образом, P является локально гомеоморфизмом и поэтому переводит открытые множества в открытые множества. Таким образом, образ P (Σ), т. е. объединение трансляций g ( Δ ), является открытым подмножеством верхней полуплоскости. С другой стороны, это множество также закрыто. Действительно, если точка находится достаточно близко к Δ, она должна находиться в сдвиге Δ . Действительно, окрестность каждой вершины заполнена отражениями Δ , и если точка лежит вне этих трех окрестностей, но все еще близка к Δ, она должна лежать на трех отражениях Δ в ее сторонах. Таким образом, существует δ > 0 такое, что если z находится на расстоянии меньшем, чем δ, от Δ , то z лежит в Γ -переносе Δ . Поскольку гиперболическое расстояние Γ -инвариантно, отсюда следует, что если z находится на расстоянии меньшем, чем δ от Γ( Δ ), оно фактически лежит в Γ( Δ ), поэтому это объединение замкнуто. Из связности следует, что P (Σ) — вся верхняя полуплоскость.

С другой стороны, P — локальный гомеоморфизм, то есть накрывающее отображение. Поскольку верхняя полуплоскость односвязна, отсюда следует, что P одноединичный и, следовательно, сдвиги Δ замощают верхнюю полуплоскость. Это является следствием следующей версии теоремы монодромии для покрытий римановых поверхностей: если Q — отображение покрытия между римановыми поверхностями 1 _и 2 _, то любой путь из ₂ можно поднять до пути в ₁ и любой два гомотопических пути с одинаковыми концами поднимаются до гомотопических путей с одинаковыми концами; непосредственным следствием является то, что если ₂ односвязно, то Q должен быть гомеоморфизмом. ^[16] Чтобы применить это, пусть Σ ₁ = Σ, пусть Σ ₂ — верхняя полуплоскость и пусть Q = P . По следствию теоремы монодромии P должно быть однозначно.

Отсюда также следует, что g (∆) = ∆ тогда и только тогда, когда g лежит в Γ ₁ , так что гомоморфизм Γ ₀ в группу Мёбиуса является точным.

Группы гиперболического отражения

Мозаику треугольников Шварца можно рассматривать как обобщение теории бесконечных групп Кокстера , следуя теории гиперболических групп отражений, разработанной алгебраически Жаком Титсом ^[17] и геометрически Эрнестом Винбергом . ^[18] В случае с Лобачевским или гиперболической плоскостью , идеи берут начало в работах Анри Пуанкаре и Вальтера фон Дейка девятнадцатого века . Однако, как отметил Джозеф Ленер в «Математических обзорах» , строгие доказательства того, что отражения треугольника Шварца порождают мозаику, часто были неполными, одним из примеров является его собственная книга 1964 года «Разрывные группы и автоморфные функции» . ^[19]^[20] Элементарная трактовка Каратеодори в его учебнике Funktiontheorie 1950 года , переведенном на английский язык в 1954 году, и отчет Сигела 1954 года с использованием принципа монодромии являются строгими доказательствами. Здесь будет обобщен подход с использованием групп Кокстера в общих рамках классификации групп гиперболического отражения. ^[21]

Пусть $r, s, t$ — символы и пусть $a, b, c \geq 2$ — целые числа, возможно, $\infty$ , причем

${1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}<1.$

Определим $Γ$ как группу с представлением, имеющим генераторы $r, s, t,$ которые все являются инволюциями и удовлетворяют условиям: если одно из целых чисел бесконечно, то произведение имеет бесконечный порядок. Генераторы $r, s, t$ называются простыми отражениями . ${\begin{aligned}(st)^{a}&=1,\\[2pt](tr)^{b}&=1,\\[2pt](rs)^{c}&=1.\end{aligned}}$

Положим ^[22] Пусть $er$ $,$ $es$ $,$ $et$ $—$ базис трехмерного вещественного векторного пространства $V$ с симметричной билинейной формой $Λ$ $,$ такой, что $три$ диагональных элемента равны одному. Симметричная билинейная форма $Λ$ невырождена с сигнатурой $(2, 1)$ . Определять: ${\begin{aligned}A&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{a}}&{\text{if }}a\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh x,\ x>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\\[8pt]B&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{b}}&{\text{if }}b\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh y,\ y>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\\[8pt]C&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{c}}&{\text{if }}c\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh z,\ z>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\Lambda (\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{t})&=-A,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{r})&=-B,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{s})&=-C,\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\rho (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{r})\mathbf {e} _{r}\\[2pt]\sigma (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{s})\mathbf {e} _{s}\\[2pt]\tau (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{t})\mathbf {e} _{t}\end{aligned}}$

Теорема (геометрическое представление). Операторы $ρ, σ, τ$ являются инволюциями на $V$ $с$ соответствующими собственными векторами $e r, es, e t$ с простым собственным значением −1. Произведения операторов имеют порядок, соответствующий приведенному выше представлению (поэтому $στ$ имеет порядок $a$ и т. д.). Операторы $ρ, σ, τ$ индуцируют представление $Γ$ на $V$ , сохраняющее $Λ$ .

Билинейная форма $Λ$ базиса имеет матрицу

$M={\begin{pmatrix}1&-C&-B\\-C&1&-A\\-B&-A&1\\\end{pmatrix}},$

поэтому имеет определитель. Если, скажем, $c$ $= 2$ , то собственные значения матрицы равны. Условие немедленно приводит к тому, что $Λ$ должен иметь сигнатуру $(2, 1)$ . Итак, вообще $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $\geq 3$ . Очевидно, что случай, когда все равны 3, невозможен. Но тогда определитель матрицы отрицателен, а ее след положителен. В результате два собственных значения положительны, а одно отрицательно, т.е. $Λ$ имеет сигнатуру $(2, 1)$ . Очевидно, $ρ, σ, τ$ являются инволюциями, сохраняющими $Λ$ с заданными −1 собственными векторами. $\det(M)=1-A^{2}-B^{2}-C^{2}-2ABC.$ $1,\ 1\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.$ ${\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{b}}<{\tfrac {1}{2}}$ $A^{2}+B^{2}>1,$

Чтобы проверить порядок произведений типа $στ$ , достаточно отметить, что:

отражения $σ$ и $τ$ порождают конечную или бесконечную группу диэдра ;
двумерная линейная оболочка $U$ es $и$ $e$ $t$ инвариантна относительно $σ$ $и$ τ $с$ ограничением $Λ$ положительно определенным ;
$W$ , ортогональное дополнение к $U$ , отрицательно определено на $Λ$ , а $σ$ и $τ действуют на$ $W$ тривиально .

(1) ясно, поскольку если $γ = στ$ порождает нормальную подгруппу с $σγσ -1 = γ -1$ . Для (2) $U$ инвариантен по определению, а матрица положительно определена, поскольку поскольку $Λ$ имеет сигнатуру $(2, 1)$ , ненулевой вектор $w$ в $W$ должен удовлетворять $Λ($ $w$ $,$ $w$ $) < 0$ . По определению, $σ$ имеет собственные значения 1 и –1 на $U$ , поэтому $w$ должно быть зафиксировано $σ$ . Аналогично $w$ должно быть зафиксировано $τ$ , чтобы (3) было доказано. Наконец в (1) $0<\cos {\tfrac {\pi }{a}}<1.$

${\begin{alignedat}{5}\sigma (\mathbf {e} _{s})&=-{\mathbf {e} }_{s},&\quad \tau (\mathbf {e} _{s})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},\\[2pt]\sigma (\mathbf {e} _{t})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},&\quad \tau (\mathbf {e} _{t})&=-{\mathbf {e} }_{t},\end{alignedat}}$

так что, если $a$ конечно, собственные значения $στ$ равны -1, $ς$ и $ς -1$ , где и если $a$ бесконечно, собственные значения равны -1, $X$ и $X$ $-1$ , где Более того, прямой индукционный аргумент показывает, что если тогда ^[23] $\varsigma =e^{\frac {2\pi i}{a}};$ $X=e^{2x}.$ $\theta ={\tfrac {\pi }{a}}$

${\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin 2m\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin(2m+2)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\end{aligned}}$

и если $х > 0$ , то

${\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh 2mx}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\ (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+2m\mathbf {e} _{t};\\[12pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh(2m+2)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\,\tau (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+(2m+2)\mathbf {e} _{t}.\end{aligned}}$

Пусть $Γ a$ — подгруппа диэдра в $Γ,$ порожденная $s$ и $t$ , с аналогичными определениями для $Γ b$ и $Γ c$ . Аналогично определите $Γ r$ как циклическую подгруппу $Γ$ , заданную 2-группой ${1, r},$ с аналогичными определениями для $Γ s$ и $Γ t$ . По свойствам геометрического представления все шесть этих групп точно действуют на $V$ . В частности, $Γ a$ можно отождествить с группой, порожденной $σ$ и $τ$ ; как и выше, оно явно разлагается в прямую сумму двумерного неприводимого подпространства $U$ и одномерного подпространства $W$ с тривиальным действием. Таким образом, существует единственный вектор в $W,$ удовлетворяющий условиям $σ$ $($ $w$ $) =$ $w$ и $τ$ $($ $w$ $) =$ $w$ . Явно, $\mathbf {w} =\mathbf {e} _{r}+\lambda \mathbf {e} _{s}+\mu \mathbf {e} _{t}$ $\lambda ={\frac {C+AB}{1-A^{2}}},\quad \mu ={\frac {B+AC}{1-A^{2}}}.$

Замечание о представлениях групп диэдра. Хорошо известно, что для конечномерных вещественных пространств со скалярными произведениями две ортогональные инволюции $S$ и $T$ могут быть разложены как ортогональная прямая сумма двумерных или одномерных инвариантных пространств; например, это можно вывести из наблюдения Пола Халмоша и других о том, что положительный самосопряженный оператор $(S - T) 2$ коммутирует как с $S$ , так и $с T$ . Однако в приведенном выше случае, когда билинейная форма $Λ$ больше не является положительно определенным скалярным произведением, необходимо привести другие специальные рассуждения.

Теорема (Титса). Геометрическое представление группы Кокстера точное.

Этот результат был впервые доказан Титсом в начале 1960-х годов и впервые опубликован в тексте Бурбаки (1968) с его многочисленными упражнениями. В тексте фундаментальная палата была введена индуктивным аргументом; Упражнение 8 в §4 главы V было расширено Винаем Деодхаром для разработки теории положительных и отрицательных корней и, таким образом, сокращения исходного аргумента Титса. ^[24]

Пусть $X$ — выпуклый конус сумм $κ e r + λ e s + µ e t$ с вещественными неотрицательными коэффициентами, не все из которых равны нулю. Для $g$ в группе $Γ$ определите $ℓ(g)$ , длину слова или length , как минимальное количество отражений от $r, s, t,$ необходимых для записи $g$ как упорядоченной композиции простых отражений. Определим положительный корень как вектор $g e r, g e s$ или $g e r$ , лежащий в $X$ , с $g$ в $Γ$ . ^[б]

Из определений обычно проверяется, что ^[25]

если $| ℓ(гк) - ℓ(г) | = 1$ для простого отражения $q$ и, если $g \neq 1$ , всегда существует простое отражение $q$ такое, что $ℓ(g) = ℓ(gq) + 1$ ;
для $g$ и $h$ в $Γ$ , $ℓ(gh) \leq ℓ(g) + ℓ(h)$ .

Предложение. Если $g$ находится в $Γ$ и $ℓ(gq) = ℓ(g) \pm 1$ для простого отражения $q$ , то $g e q$ лежит в $\pm X$ и , следовательно, является положительным или отрицательным корнем в зависимости от знака.

При замене $g$ на $gq$ необходимо учитывать только положительный знак. Утверждение будет доказано индукцией по $ℓ(g) = m$ , оно тривиально при $m = 0$ . Предположим, что $ℓ(gs) = ℓ(g) + 1$ . Если $ℓ(g) = m > 0$ , без ограничения общности можно предположить, что минимальное выражение для $g$ заканчивается на $...t$ . Поскольку $s$ и $t$ порождают группу диэдра $Γ a$ , $g$ можно записать как произведение $g = hk$ , где $k = (st) n$ или $t (st) n$ , а $h$ имеет минимальное выражение, которое заканчивается на $...r$ , но никогда с $s$ или $t$ . Это означает, что $ℓ(hs) = ℓ(h) + 1$ и $ℓ(ht) = ℓ(h) + 1$ . Поскольку $ℓ(h) < m$ , предположение индукции показывает, что оба $h e s, h e t$ лежат в $X$ . Поэтому достаточно показать, что $k e s$ имеет вид $λ e s + µ e t,$ где $λ, µ \geq 0$ , а не оба 0. Но это уже проверено в формулах выше. ^[25]

Следствие (доказательство теоремы Титса). Геометрическое представление верно.

Достаточно показать, что если $g$ $фиксирует$ $er$ , $es, e t, то$ g $= 1$ . Учитывая минимальное выражение для $g \neq 1$ , условия $ℓ(gq) = ℓ(g) + 1$ явно не могут быть одновременно удовлетворены тремя простыми отражениями $q$ .

Обратите внимание, что, как следствие теоремы Титса, генераторы (слева) удовлетворяют условиям (справа): Это дает представление сохраняющей ориентацию нормальной подгруппы индекса 2 $Γ$ $1$ группы $Γ$ . Представление соответствует фундаментальной области, полученной путем отражения двух сторон геодезического треугольника с образованием геодезического параллелограмма (частный случай теоремы Пуанкаре о многоугольнике). ^[26] ${\begin{alignedat}{5}(g&=st)\ \ {\text{ s.t. }}&g^{a}=1,\\[4pt](h&=tr)\ \ {\text{ s.t. }}&h^{b}=1,\\[4pt](k&=rs)\ \ {\text{ s.t. }}&k^{c}=1,\\[4pt]&&ghk=1.\end{alignedat}}$

Дальнейшие последствия. Корни представляют собой непересекающееся объединение положительных и отрицательных корней. Простое отражение $q$ переставляет каждый положительный корень, кроме $e q$ . Для $g$ в $Γ$ $ℓ(g)$ — это количество положительных корней, ставших отрицательными благодаря $g$ .

Фундаментальная область и конус Титса. ^[27]

Пусть $G$ — трехмерная замкнутая подгруппа Ли группы $GL(V)$ , сохраняющая $Λ$ . Поскольку $V$ можно отождествить с трехмерным пространством Лоренца или Минковского с сигнатурой $(2,1)$ , группа $G$ изоморфна группе Лоренца $O(2,1)$ и, следовательно, ^[c] Выбор $e$ в качестве положительного корневого вектора в $X$ стабилизатор $e$ — это максимальная компактная подгруппа $K$ группы $G$ , изоморфная $O(2)$ . Однородное пространство $X$ $=$ $G$ $/$ $K$ — симметричное пространство постоянной отрицательной кривизны, которое можно отождествить с 2-мерным гиперболоидом или плоскостью Лобачевского . Дискретная группа $Γ$ действует разрывно на $G$ $/$ $K$ : факторпространство $Γ \$ $G$ $/$ $K$ компактно, если все $a, b, c$ конечны, и имеют конечную площадь в противном случае. Результаты о фундаментальной камере Титса имеют естественную интерпретацию в терминах соответствующего треугольника Шварца, что непосредственно переводится в свойства мозаики геодезического треугольника через гиперболическую группу отражений $Γ$ . Переход от групп Кокстера к мозаике впервые можно найти в упражнениях § 4 главы V Бурбаки (1968), принадлежащих Титсу, и у Ивахори (1966); в настоящее время доступно множество других эквивалентных методов лечения, не всегда непосредственно сформулированных в терминах симметричных пространств. $\mathrm {SL} _{\pm }(2,\mathbb {R} )\setminus \{\pm \,I\,\}.$ ${\mathfrak {H}}^{2}$

Подход Маскита, де Рама и Бердона

Маскит (1971) дал общее доказательство теоремы Пуанкаре о многоугольниках в гиперболическом пространстве; аналогичное доказательство было дано в работе де Рама (1971). Специализируясь на гиперболической плоскости и треугольниках Шварца, это можно использовать для создания современного подхода к установлению существования мозаики треугольников Шварца, как описано в Бердоне (1983) и Маските (1988). Швейцарские математики де ла Гарп (1991) и Хефлигер представили вводный отчет, взяв за отправную точку геометрическую теорию групп . ^[28]

Смотрите также

Примечания

^ Как и в случае с P ₂ , если угол Δ равен $π$ /3, вершины, у которых внутренний угол равен $π,$ остаются помеченными как вершины, а коллинеарные ребра не соединяются.
^ Здесь считается, что $Γ действует на$ $V$ через геометрическое представление.
^ SL _± (2, R ) — подгруппа GL(2, R ) с определителем ±1.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник Шварца». Математический мир .
Клитцинг, Ричард. «3D Общий треугольник Шварца (pqr) и обобщенные матрицы инцидентности соответствующих многогранников».