Классификация конечных простых групп

Масштабная теорема, относящая все конечные простые группы, кроме 26, к нескольким бесконечным семействам.

В математике классификация конечных простых групп является результатом теории групп , утверждающей, что каждая конечная простая группа либо циклическая , либо знакопеременная , либо принадлежит широкому бесконечному классу, называемому группами лиева типа , либо является одной из двадцати групп. шесть исключений, называемых спорадическими . ( Группу Титса иногда считают спорадической группой, поскольку она не является строго группой лиева типа [ ^1] ; в этом случае было бы 27 спорадических групп.) Доказательство состоит из десятков тысяч страниц в нескольких сотнях журнальных статей. написано около 100 авторами и опубликовано в основном в период с 1955 по 2004 год.

Простые группы можно рассматривать как основные строительные блоки всех конечных групп , подобно тому, как простые числа являются основными строительными блоками натуральных чисел . Теорема Йордана –Гёльдера — более точный способ сформулировать этот факт о конечных группах. Однако существенным отличием от целочисленной факторизации является то, что такие «строительные блоки» не обязательно определяют уникальную группу, поскольку может существовать много неизоморфных групп с одним и тем же композиционным рядом или, другими словами, проблема расширения не имеет решения. уникальное решение.

Горенштейн (ум. 1992), Лайонс и Соломон постепенно публикуют упрощенную и исправленную версию доказательства.

Формулировка классификационной теоремы

Теорема  .  Каждая конечная простая группа изоморфна одной из следующих групп :

• член одного из четырех бесконечных классов таковых, а именно:
  • циклические группы простого порядка,
  • знакопеременные группы степени не ниже 5,
  • группы лиева типа ,
  • производная подгруппа групп типа Ли, такая как группа Титса ^{[примечание 1]}
• одна из 26 групп, называемых « спорадическими группами ».

Классификация конечных простых групп

Теорема классификации имеет приложения во многих разделах математики, поскольку вопросы о структуре конечных групп (и их действии на другие математические объекты) иногда можно свести к вопросам о конечных простых группах. Благодаря классификационной теореме иногда можно ответить на такие вопросы, проверив каждое семейство простых групп и каждую спорадическую группу.

Дэниел Горенштейн объявил в 1983 году, что все конечные простые группы были классифицированы, но это было преждевременно, поскольку он был дезинформирован о доказательстве классификации квазитонких групп . О завершенном доказательстве классификации было объявлено Ашбахером (2004) после того, как Ашбахер и Смит опубликовали 1221-страничное доказательство пропавшего квазитонкого случая.

Обзор доказательства классификационной теоремы

Горенштейн (1982, 1983) написал два тома, в которых излагаются части доказательства низкого ранга и нечетные характеристики, а Майкл Ашбахер , Ричард Лайонс и Стивен Д. Смит и др. (2011) написали третий том, посвященный оставшемуся случаю характеристики 2. Доказательство можно разбить на несколько основных частей:

Группы небольшие 2-ранговые

Простые группы низкого 2-ранга представляют собой в основном группы лиева типа малого ранга над полями нечетной характеристики, а также пять чередующихся, семь характеристик 2-го типа и девять спорадических групп.

К простым группам малых 2-ранга относятся:

• Группы 2-ранга 0, другими словами, группы нечетного порядка, которые все разрешимы по теореме Фейта – Томпсона .
• Группы 2-ранга 1. Силовские 2-подгруппы являются либо циклическими, с которыми легко обращаться с помощью трансфер-отображения, либо обобщенными кватернионами , которые обрабатываются с помощью теоремы Брауэра-Сузуки : в частности, не существует простых групп из 2- ранг 1, за исключением циклической группы второго порядка.
• Группы 2-ранга 2. Альперин показал, что силовская подгруппа должна быть двугранной, квазидиэдрической, сплетенной или силовской 2-подгруппой группы U ₃ (4). Первый случай был выполнен с помощью теоремы Горенштейна–Вальтера , которая показала, что единственные простые группы изоморфны L ₂ ( q ) для q нечетного или A ₇ , второй и третий случаи были выполнены с помощью теоремы Альперина–Брауэра–Горенштейна , из которой следует что единственные простые группы изоморфны L ₃ ( q ) или U ₃ ( q ) для q нечетного или M ₁₁ , а последний случай был рассмотрен Лайонсом, который показал, что U ₃ (4) является единственной простой возможностью.
• Группы секционного 2-ранга не выше 4, классифицируемые по теореме Горенштейна–Харады .

Классификация групп небольших 2-рангов, особенно рангов не более 2, широко использует теорию обычных и модулярных характеров, которая почти никогда напрямую не используется где-либо еще в классификации.

Все группы не малого 2-го ранга можно разделить на два основных класса: группы компонентного типа и группы характеристики 2-го типа. Это связано с тем, что если группа имеет секционный 2-ранг не менее 5, то Мак-Вильямс показал, что ее силовские 2-подгруппы связны, а из теоремы баланса следует, что любая простая группа со связными силовскими 2-подгруппами имеет либо тип компонента, либо тип характеристики 2. . (Для групп низкого 2-ранга доказательство этого не работает, поскольку такие теоремы, как теорема о сигнальном функторе, работают только для групп с элементарными абелевыми подгруппами ранга не менее 3.)

Группы типов компонентов

Группа называется компонентным типом, если для некоторого централизатора C инволюции C / O ( C ) имеет компоненту (где O ( C ) — ядро ​​C , максимальная нормальная подгруппа нечетного порядка). Это в большей или меньшей степени группы лиева типа нечетной характеристики большого ранга и чередующиеся группы, а также некоторые спорадические группы. Важным шагом в этом случае является устранение препятствия в ядре инволюции. Это достигается с помощью B-теоремы , которая утверждает , что каждый компонент C / O ( C ) является образом компонента C.

Идея состоит в том, что эти группы имеют централизатор инволюции с компонентом, представляющим собой меньшую квазипростую группу, которую можно считать уже известной по индукции. Итак, чтобы классифицировать эти группы, нужно взять каждое центральное расширение каждой известной конечной простой группы и найти все простые группы с централизатором инволюции, содержащим его в качестве компонента. Это дает достаточно большое число различных случаев для проверки: имеется не только 26 спорадических групп и 16 семейств групп лиева типа и знакопеременных групп, но и многие группы малого ранга или над малыми полями ведут себя иначе, чем общие. случае и должны рассматриваться отдельно, а группы лиева типа четной и нечетной характеристики также весьма различны.

Группы характеристики 2 типа

Группа имеет тип характеристики 2, если обобщенная подгруппа Фиттинга F *( Y ) каждой 2-локальной подгруппы Y является 2-группой. Как следует из названия, это примерно группы лиева типа над полями характеристики 2, а также несколько других, которые чередуются, спорадичны или имеют нечетные характеристики. Их классификация разделена на случаи малого и большого ранга, где ранг представляет собой наибольший ранг нечетной абелевой подгруппы, нормализующей нетривиальную 2-подгруппу, который часто (но не всегда) совпадает с рангом картановской подалгебры, когда группа – группа лиева типа в характеристике 2.

Группы ранга 1 — это тонкие группы, классифицированные Ашбахером, а группы ранга 2 — пресловутые квазитонкие группы , классифицированные Ашбахером и Смитом. Они примерно соответствуют группам лиева типа ранга 1 или 2 над полями характеристики 2.

Группы ранга не менее 3 дополнительно подразделяются на 3 класса согласно теореме о трихотомии , доказанной Ашбахером для ранга 3 и Горенштейном и Лайонсом для ранга не менее 4. Эти три класса представляют собой группы типа GF (2) (классифицируемые в основном Тиммесфельдом). ), группы «стандартного типа» для некоторых нечетных простых чисел (классифицированные теоремой Гилмана-Грисса и работами ряда других) и группы типа уникальности, где результат Ашбахера подразумевает отсутствие простых групп. Общий случай более высокого ранга состоит в основном из групп лиева типа над полями характеристики 2 ранга не ниже 3 или 4.

Существование и единственность простых групп.

Основная часть классификации дает характеристику каждой простой группы. Затем необходимо проверить, что для каждой характеристики существует простая группа и она уникальна. Это дает большое количество отдельных проблем; например, оригинальные доказательства существования и уникальности группы монстров насчитывали около 200 страниц, а идентификация групп Ри Томпсоном и Бомбьери была одной из самых сложных частей классификации. Многие доказательства существования и некоторые доказательства уникальности спорадических групп изначально использовали компьютерные вычисления, большинство из которых с тех пор были заменены более короткими ручными доказательствами.

История доказательства

Программа Горенштейна

В 1972 г. Горенштейн (1979, Приложение) анонсировал программу завершения классификации конечных простых групп, состоящую из следующих 16 шагов:

1. Группы низкого 2-ранга. По сути, это было сделано Горенштейном и Харадой, которые классифицировали группы с секционным 2-рангом не более 4. Большинство случаев 2-ранга не более 2 было сделано к тому времени, когда Горенштейн объявил свою программу.
2. Полупростота двух слоев. Задача состоит в том, чтобы доказать, что 2-слой централизатора инволюции в простой группе полупрост.
3. Стандартная форма с нечетными характеристиками. Если группа имеет инволюцию с 2-компонентом, которая является группой нечетной характеристики лиева типа, цель состоит в том, чтобы показать, что она имеет централизатор инволюции в «стандартной форме», что означает, что централизатор инволюции имеет компонент, который лиева типа по нечетной характеристике и также имеет централизатор 2-го ранга 1.
4. Классификация групп нечетного типа. Задача состоит в том, чтобы показать, что если группа имеет централизатор инволюции в «стандартной форме», то это группа лиева типа нечетной характеристики. Эта проблема была решена с помощью классической теоремы об инволюции Ашбахера .
5. Квазистандартная форма
6. Центральные инволюции
7. Классификация альтернирующих групп.
8. Некоторые спорадические группы
9. Тонкие группы. Простые тонкие конечные группы с 2-локальным p -рангом не более 1 для нечетных простых чисел p были классифицированы Ашбахером в 1978 году.
10. Группы с сильно p-вложенной подгруппой при p нечетном
11. Метод функтора сигнализатора для нечетных простых чисел. Основная проблема состоит в том, чтобы доказать теорему о функторах сигнализаторов для неразрешимых функторов сигнализаторов. Эта проблема была решена Макбрайдом в 1982 году.
12. Группы характеристического p- типа. Это проблема групп с сильно p -вложенной 2-локальной подгруппой с нечетным p , которую решал Ашбахер.
13. Квазитонкие группы. Квазитонкая группа — это группа, 2-локальные подгруппы которой имеют p -ранг не более 2 для всех нечетных простых чисел p , и задача состоит в том, чтобы классифицировать простые подгруппы типа характеристики 2. Это было завершено Ашбахером и Смитом в 2004 году.
14. Группы низкие 2-локальные 3-ранговые. По сути, эта проблема была решена с помощью теоремы о трихотомии Ашбахера для групп с e ( G ) = 3. Основное изменение состоит в том, что 2-локальный 3-ранг заменяется 2-локальным p -рангом для нечетных простых чисел.
15. Центраторы трехэлементные стандартного исполнения. По существу, это было сделано с помощью теоремы трихотомии .
16. Классификация простых групп характеристики 2 типа. Это было решено с помощью теоремы Гилмана-Грисса , в которой 3-элементы были заменены p -элементами для нечетных простых чисел.

Хронология доказательства

Многие пункты в таблице ниже взяты из работы Соломона (2001). Указанная дата обычно является датой публикации полного доказательства результата, которая иногда на несколько лет позже даты доказательства или первого объявления результата, поэтому некоторые элементы появляются в «неправильном» порядке.

Классификация второго поколения

Доказательство теоремы в том виде, в каком оно существовало примерно в 1985 году, можно назвать доказательством первого поколения . Из-за чрезвычайной длины доказательства первого поколения много усилий было потрачено на поиск более простого доказательства, называемого классификационным доказательством второго поколения . Это усилие, названное «ревизионизмом», первоначально возглавил Дэниел Горенштейн .

По состоянию на 2023 год ^[update]было опубликовано десять томов доказательства второго поколения (Горенштейн, Лайонс и Соломон, 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; & Capdeboscq, 2021, 2023). В 2012 году Соломон подсчитал, что проекту потребуется еще пять томов, но сказал, что работа над ними идет медленно. Предполагается, что новое доказательство в конечном итоге займет около 5000 страниц. (Такая длина частично обусловлена ​​тем, что доказательство второго поколения было написано в более расслабленном стиле.) Однако с публикацией девятого тома серии GLS, включая вклад Ашбахера-Смита, эта оценка уже была достигнута, а также еще несколько тома все еще находятся в стадии подготовки (остальная часть того, что изначально предназначалось для тома 9, плюс планируемые тома 10 и 11). Ашбахер и Смит написали свои два тома, посвященные квазитонкому случаю, таким образом, что эти тома могут стать частью доказательства второго поколения.

Горенштейн и его сотрудники привели несколько причин, почему возможно более простое доказательство.

• Самое главное, что теперь известна правильная, окончательная формулировка теоремы. Могут быть применены более простые методы, которые, как известно, подходят для тех типов групп, которые, как мы знаем, являются конечно простыми. Напротив, те, кто работал над доказательством первого поколения, не знали, сколько существует спорадических групп, и фактически некоторые из спорадических групп (например, группы Янко ) были открыты при доказательстве других случаев классификационной теоремы. В результате многие части теоремы были доказаны с использованием слишком общих методов.
• Поскольку вывод был неизвестен, доказательство первого поколения состоит из множества отдельных теорем, касающихся важных частных случаев. Большая часть работы по доказательству этих теорем была посвящена анализу многочисленных частных случаев. При наличии более масштабного и организованного доказательства рассмотрение многих из этих особых случаев можно отложить до тех пор, пока не будут применены самые убедительные предположения. Цена, заплаченная за эту пересмотренную стратегию, заключается в том, что эти теоремы первого поколения больше не имеют сравнительно коротких доказательств, а вместо этого полагаются на полную классификацию.
• Многие теоремы первого поколения перекрываются и поэтому делят возможные случаи неэффективным образом. В результате неоднократно идентифицировались семейства и подсемейства конечных простых групп. Пересмотренное доказательство устраняет эту избыточность, опираясь на другое подразделение дел.
• Теоретики конечных групп имеют больше опыта в такого рода упражнениях и имеют в своем распоряжении новые методы.

Ашбахер (2004) назвал работу Ульриха Мейерфранкенфельда, Бернда Штелмахера, Гернота Строта и некоторых других над проблемой классификации программой третьего поколения . Одной из целей этого является единообразное рассмотрение всех групп характеристики 2 с использованием метода амальгамы.

Длина доказательства

Горенштейн обсудил некоторые причины, по которым не может быть краткого доказательства классификации, аналогичной классификации компактных групп Ли .

• Самая очевидная причина заключается в том, что список простых групп довольно сложен: при наличии 26 спорадических групп, вероятно, будет много особых случаев, которые придется учитывать при любом доказательстве. До сих пор никто еще не нашел четкого равномерного описания конечных простых групп, подобного параметризации компактных групп Ли диаграммами Дынкина .
• Атья и другие предположили, что классификацию следует упростить, построив некий геометрический объект, на который воздействуют группы, а затем классифицировав эти геометрические структуры. Проблема в том, что никто не смог предложить простой способ найти такую ​​геометрическую структуру, связанную с простой группой. В каком-то смысле классификация действительно работает, находя геометрические структуры, такие как BN-пары , но это происходит только в конце очень долгого и сложного анализа структуры конечной простой группы.
• Другое предложение по упрощению доказательства состоит в более широком использовании теории представлений . Проблема здесь в том, что теория представлений, похоже, требует очень жесткого контроля над подгруппами группы, чтобы работать хорошо. Для групп малого ранга такая теория управления и представления работает очень хорошо, но для групп большего ранга никому не удалось использовать ее для упрощения классификации. На заре классификации были предприняты значительные усилия по использованию теории представлений, но это так и не принесло большого успеха в случае более высокого ранга.

Последствия классификации

В этом разделе перечислены некоторые результаты, доказанные с помощью классификации конечных простых групп.

• Гипотеза Шрайера
• Теорема о функторе Сигналайзера
• Гипотеза Б
• Теорема Шура –Зассенхауза для всех групп (хотя здесь используется только теорема Фейта–Томпсона ).
• Транзитивная группа подстановок на конечном множестве, содержащем более одного элемента, имеет элемент без неподвижных точек простого степенного порядка.
• Классификация 2-транзитивных групп подстановок .
• Классификация групп перестановок ранга 3 .
• Гипотеза Симса [ ^3]
• Гипотеза Фробениуса о количестве решений задачи x ⁿ = 1 .

Смотрите также

• Теорема О'Нэна – Скотта

Примечания

1. Бесконечное семейство групп Ри типа ² F ₄ (2 ^{2 n +1} ) содержит только конечные группы лиева типа. Они просты при n ≥1 ; при n =0 группа ² F ₄ (2) не является простой, но содержит простой коммутатор ² F ₄ (2)′ . Итак, если бесконечное семейство коммутантов типа ² F ₄ (2 ^{2 n +1} )′ считается систематическим бесконечным семейством (все лиева типа, кроме n =0 ), группа Титса T := ² F ₄ ( 2)' (как член этого бесконечного семейства) не является спорадическим.

Цитаты

1. Конвей и др. (1985, стр. viii)
2. «Теорема Фейта-Томпсона была полностью проверена в Coq» . Msr-inria.inria.fr. 20 сентября 2012 г. Архивировано из оригинала 19 ноября 2016 г. Проверено 25 сентября 2012 г.
3. Кэмерон, Пи Джей ; Прегер, CE ; Саксл, Дж .; Зейтц, генеральный директор (1983). «О гипотезе Симса и дистанционных транзитивных графах». Бык. Лондонская математика. Соц. 15 (5): 499–506. дои : 10.1112/blms/15.5.499.

Рекомендации

• Ашбахер, Майкл (2004). «Состояние классификации конечных простых групп» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . Том. 51, нет. 7. С. 736–740.
• Ашбахер, Майкл ; Лайонс, Ричард; Смит, Стивен Д.; Соломон, Рональд (2011), Классификация конечных простых групп: группы типа характеристики 2, Математические обзоры и монографии, том. 172, ИСБН 978-0-8218-5336-8
• Конвей, Джон Хортон ; Кертис, Роберт Тернер; Нортон, Саймон Филлипс ; Паркер, Ричард А ; Уилсон, Роберт Арнотт (1985), Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9
• Горенштейн, Д. (1979), «Классификация конечных простых групп. I. Простые группы и локальный анализ», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 1 (1): 43–199, doi : 10.1090/S0273- 0979-1979-14551-8 , ISSN  0002-9904, MR  0513750
• Горенштейн, Д. (1982), Конечные простые группы , Университетская серия по математике, Нью-Йорк: Plenum Publishing Corp., ISBN 978-0-306-40779-6, МР  0698782
• Горенштейн, Д. (1983), Классификация конечных простых групп. Том. 1. Группы нехарактеристического 2-го типа , Университетская серия по математике, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6, МР  0746470
• Дэниел Горенштейн (1985), «Огромная теорема», Scientific American , 1 декабря 1985 г., том. 253, нет. 6, стр. 104–115.
• Горенштейн, Д. (1986), «Классификация конечных простых групп», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 14 (1): 1–98, doi : 10.1090/S0273-0979-1986-15392-9 , ISSN  0002-9904, МР  0818060
• Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (1994), Классификация конечных простых групп, Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-0334-9, МР  1303592
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (1996), Классификация конечных простых групп, номер 2, Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-0390-5, МР  1358135
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (1998), Классификация конечных простых групп, номер 3, Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-0391-2, МР  1490581
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (1999), Классификация конечных простых групп, номер 4. Часть II, главы 1–4: Теоремы единственности, математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-1379-9, МР  1675976
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (2002), Классификация конечных простых групп, номер 5, Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2776-5, МР  1923000
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (2005), Классификация конечных простых групп, Номер 6: Часть IV: Особый нечетный случай, Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2777-2, МР  2104668
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (2018), Классификация конечных простых групп, Номер 7: Часть III, Главы 7–11: Общий случай, Этапы 3b и 4a, Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-4069-6, МР  3752626
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (2018), Классификация конечных простых групп, номер 8: Часть III, главы 12–17: Общий случай, завершено, Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-1-4704-4189-0, МР  3887657
  • Капдебоск, Инна; Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (2021), Классификация конечных простых групп, номер 9: Часть V, главы 1–8: Теорема C 5 {\displaystyle C_{5}} и теорема C 6 {\displaystyle C_{6}} , Этап 1, Математические обзоры и монографии, вып. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-1-4704-6437-0, МР  4244365
  • Капдебоск, Инна; Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (2023), Классификация конечных простых групп, номер 10: Часть V, главы 9–17: Теорема C 6 {\displaystyle C_{6}} и теорема C 4 * {\displaystyle C_{4}^ {*}} , Случай А, Математические обзоры и монографии, вып. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-1-4704-7553-6, МР  4656413
• Марк Ронан , Симметрия и монстр , ISBN 978-0-19-280723-6 , Oxford University Press, 2006. (Краткое введение для непрофессионала) 
• Маркус дю Сотой , В поисках самогона , Четвертая власть, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (еще одно введение для непрофессионала. Американское издание опубликовано в 2009 году под названием «Симметрия: путешествие в закономерности природы») 
• Рон Соломон (1995) «О конечных простых группах и их классификации», Извещения Американского математического общества . (Не слишком технично и хорошо с точки зрения истории. Американская версия опубликована в 2009 году под названием «Симметрия: путешествие в закономерности природы»).
• Соломон, Рональд (2001), «Краткая история классификации конечных простых групп» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 38 (3): 315–352, doi : 10.1090/S0273-0979 -01-00909-0 , ISSN  0002-9904, MR  1824893, заархивировано (PDF) из оригинала 15 июня 2001 г.- статья получила премию Леви Л. Конанта за экспозицию.
• Томпсон, Джон Г. (1984), «Конечные неразрешимые группы», в Грюнберге, К.В.; Роузблэйд, Дж. Э. (ред.), Теория групп. Эссе для Филипа Холла , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 1–12, ISBN 978-0-12-304880-6, МР  0780566
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN. 978-1-84800-987-5, Збл  1203.20012

Внешние ссылки

• АТЛАС представлений конечных групп. База данных представлений и других данных с возможностью поиска для многих конечных простых групп.
• Элвес, Ричард, «Огромная теорема: классификация конечных простых групп», журнал Plus Magazine , выпуск 41, декабрь 2006 г. Для непрофессионалов.
• Мадор, Дэвид (2003) Порядки неабелевых простых групп. Архивировано 4 апреля 2005 г. в Wayback Machine. Включает список всех неабелевых простых групп до порядка 10 ¹⁰ .
• В каком смысле классификация всех конечных групп «невозможна»?
• Орнес, Стивен (2015). «Исследователи спешат спасти огромную теорему, прежде чем исчезнет ее гигантское доказательство». Научный американец . 313 (1): 68–75. doi : 10.1038/scientificamerican0715-68. ПМИД  26204718.
• «Где доказательства второго (и третьего) поколения классификации конечных простых групп с точностью до?». MathOverflow .(Последнее обновление: февраль 2024 г.)