Родственной функцией является функция суммирования делителей , которая, как следует из названия, представляет собой сумму по функции делителя.
Определение
Функция суммы положительных делителей σ z ( n ) для действительного или комплексного числа z определяется как сумма z - х степеней положительных делителей числа n . Это можно выразить в сигма-нотации как
где это сокращение от « d делит n ». Обозначения d ( n ), ν( n ) и τ( n ) (для немецкого Teiler = делители) также используются для обозначения σ0 ( n ) или функции числа делителей [1] [2] ( OEIS : A000005 ). Когда z равно 1, функция называется сигма-функцией или функцией суммы делителей , [1] [3] и нижний индекс часто опускается, поэтому σ( n ) совпадает с σ 1 ( n ) ( OEIS : А000203 ).
Аликвотная сумма s ( n ) числа n представляет собой сумму собственных делителей (то есть делителей, исключающих сам n , OEIS : A001065 ), и равна σ 1 ( n ) − n ; последовательность аликвот n формируется путем многократного применения функции суммы аликвот .
Пример
Например, σ 0 (12) — это количество делителей числа 12:
а σ 1 (12) — сумма всех делителей:
а аликвотная сумма s(12) собственных делителей равна:
потому что по определению делители простого числа равны 1 и самому себе. Кроме того, где p n # обозначает первоначальный ,
поскольку n простых множителей допускают последовательность двоичного выбора ( или 1) из n членов для каждого сформированного правильного делителя. Однако, как правило, это не самые маленькие числа, число делителей которых равно степени двойки ; вместо этого наименьшее такое число может быть получено путем умножения первых n простых чисел Ферми – Дирака , степеней простых чисел, показатель степени которых равен степени двойки. [4]
Понятно, для всех , и для всех , .
Функция делителя является мультипликативной (поскольку каждый делитель c произведения mn однозначно соответствует делителю a произведения m и делителю b произведения n ), но не полностью мультипликативна :
Следствием этого является то, что если мы напишем
где r = ω ( n ) — количество различных простых делителей числа n , pi — i - й простой делитель, а ai — максимальная степень числа pi , на которую делится n , тогда имеем: [5]
что при x ≠ 0 эквивалентно полезной формуле: [5]
Когда x = 0, это: [5]
Этот результат может быть непосредственно выведен из того факта, что все делители однозначно определяются различными кортежами целых чисел с (т.е. независимым выбором для каждого ).
Например, если n равно 24, существует два простых делителя ( p 1 равно 2; p 2 равно 3); отметив, что 24 является произведением 2 3 ×3 1 , a 1 равно 3 и a 2 равно 1. Таким образом, мы можем вычислить следующим образом:
Восемь делителей, подсчитываемых по этой формуле, — это 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 и 24.
где , если это происходит, и для , и являются последовательными парами обобщенных пятиугольных чисел ( OEIS : A001318 , начиная со смещения 1). Действительно, Эйлер доказал это посредством логарифмического дифференцирования тождества в своей теореме о пятиугольных числах .
Для неквадратного целого числа n каждый делитель d числа n соединен с делителем n / d числа n и является четным; для квадратного целого числа один делитель (а именно ) не соединен с отдельным делителем и является нечетным. Аналогично, число нечетное тогда и только тогда, когда n — квадрат или дважды квадрат. [9]
Также отметим s ( n ) знак равно σ ( n ) - n . Здесь s ( n ) обозначает сумму собственных делителей числа n , то есть делителей числа n , исключая само число n . Эта функция используется для распознавания совершенных чисел , которые представляют собой n такие, что s ( n ) = n . Если s ( n )> n , то n — обильное число , а если s ( n )< n , то n — дефицитное число .
Поведение сигма-функции нерегулярно. Асимптотическая скорость роста сигма-функции может быть выражена следующим образом: [18]
где lim sup — верхний предел . Этот результат — теорема Грёнвалля , опубликованная в 1913 году (Grönwall 1913). Его доказательство использует третью теорему Мертенса , которая гласит, что:
где p обозначает простое число.
В 1915 году Рамануджан доказал, что в предположении гипотезы Римана неравенство Робина
справедливо для всех достаточно больших n (Рамануджан, 1997). Наибольшее известное значение, которое нарушает неравенство, — n = 5040 . В 1984 году Гай Робин доказал, что неравенство верно для всех n > 5040 тогда и только тогда, когда верна гипотеза Римана (Robin 1984). Это теорема Робина , и после него это неравенство стало известно. Робин, кроме того, показал, что если гипотеза Римана неверна, то существует бесконечное число значений n , которые нарушают неравенство, и известно, что наименьшее такое n > 5040 должно быть избыточным (Akbary & Friggstad 2009). Было показано, что неравенство справедливо для больших нечетных целых чисел и чисел без квадратов и что гипотеза Римана эквивалентна неравенству только для n , делящегося на пятую степень простого числа (Choie et al. 2007).
Робин также безоговорочно доказал, что неравенство:
справедливо для всех n ≥ 3.
Соответствующая оценка была дана Джеффри Лагариасом в 2002 году, который доказал, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что:
^ Рамануджан, С. (1915), «Высокосложные числа», Труды Лондонского математического общества , s2-14 (1): 347–409, doi : 10.1112/plms/s2_14.1.347; см. раздел 47, стр. 405–406, воспроизведено в Сборнике статей Шриниваса Рамануджана , Cambridge Univ. Пресс, 2015, стр. 124–125.
^ https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/175/, Découverte d'une loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs
^ https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/542/, De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium
^ Джоя и Вайдья (1967).
^ ab Hardy & Wright (2008), стр. 326–328, §17.5.
^ Харди и Райт (2008), стр. 334–337, §17.8.
^ Харди и Райт (2008), стр. 338–341, §17.10.
^ Э. Кретцель (1981). Залентеория . Берлин: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. п. 130.(Немецкий)
^ Апостол (1976), с. 296.
^ abc Hardy & Wright (2008), стр. 342–347, §18.1.
^ Апостол (1976), Теорема 3.3.
^ Харди и Райт (2008), стр. 347–350, §18.2.
^ Харди и Райт (2008), стр. 469–471, §22.9.
Рекомендации
Акбари, Амир; Фриггстад, Захари (2009), «Сверхизбыточные числа и гипотеза Римана» (PDF) , American Mathematical Monthly , 116 (3): 273–275, номер документа : 10.4169/193009709X470128, заархивировано из оригинала (PDF) 04.2014 г. 11.
Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, МР 0434929, Збл 0335.10001
Кавени, Джеффри; Николя, Жан-Луи ; Сондоу, Джонатан (2011), «Теорема Робина, простые числа и новая элементарная переформулировка гипотезы Римана» (PDF) , ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: Электронный журнал комбинаторной теории чисел , 11 : A33, arXiv : 1110.5078 , Bibcode : 2011arXiv1110.5078C
Чой, ЁнгДжу ; Личиардополь, Николас; Мори, Питер; Соле, Патрик (2007), «О критерии Робина для гипотезы Римана», Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 19 (2): 357–372, arXiv : math.NT/0604314 , doi : 10.5802/jtnb.591, ISSN 1246-7405, MR 2394891, S2CID 3207238, Збл 1163.11059
Джоя, А.А.; Вайдья, AM (1967), «Дружественные числа с противоположной четностью», The American Mathematical Monthly , 74 (8): 969–973, doi : 10.2307/2315280, JSTOR 2315280, MR 0220659
Грёнвалль, Томас Хакон (1913), «Некоторые асимптотические выражения в теории чисел», Труды Американского математического общества , 14 : 113–122, doi : 10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
Ивич, Александр (1985), Дзета-функция Римана. Теория дзета-функции Римана с приложениями , Публикация Wiley-Interscience, Нью-Йорк и т. д.: John Wiley & Sons, стр. 385–440, ISBN.0-471-80634-Х, Збл 0556.10026
Лонг, Кэлвин Т. (1972), Элементарное введение в теорию чисел (2-е изд.), Лексингтон: DC Heath and Company , LCCN 77171950
Петтофреззо, Энтони Дж.; Биркит, Дональд Р. (1970), Элементы теории чисел , Энглвуд Клиффс: Прентис Холл , LCCN 77081766
Рамануджан, Шриниваса (1997), «Высокосложные числа, с аннотациями Жана-Луи Николя и Гая Робина», The Ramanujan Journal , 1 (2): 119–153, doi : 10.1023/A: 1009764017495, ISSN 1382-4090, MR 1606180, S2CID 115619659
Робин, Гай (1984), «Великие значения некоторых делителей и гипотез Римана», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 63 (2): 187–213, ISSN 0021-7824, MR 0774171
Элементарная оценка некоторых сумм свертки с использованием функций делителей PDF статьи Хуарда, Оу, Спирмана и Уильямса. Содержит элементарные (т.е. не опирающиеся на теорию модулярных форм) доказательства сверток суммы делителей, формулы количества способов представления числа в виде суммы треугольных чисел и связанные с ними результаты.