В математике алгебраическая структура состоит из непустого множества A (называемого базовым набором , набором носителей или доменом ), набора операций над A (обычно бинарных операций , таких как сложение и умножение) и конечного набора тождеств , известного как аксиомы , которым должны удовлетворять эти операции.
Алгебраическая структура может быть основана на других алгебраических структурах с операциями и аксиомами, включающими несколько структур. Например, векторное пространство включает в себя вторую структуру, называемую полем , и операцию, называемую скалярным умножением между элементами поля (называемыми скалярами ) и элементами векторного пространства (называемыми векторами ).
Абстрактная алгебра — это название, которое обычно дается изучению алгебраических структур. Общая теория алгебраических структур формализована в универсальной алгебре . Теория категорий — это еще одна формализация, которая включает также другие математические структуры и функции между структурами одного типа ( гомоморфизмы ).
В универсальной алгебре алгебраическая структура называется алгеброй ; [1] этот термин может быть неоднозначным, поскольку в других контекстах алгебра — это алгебраическая структура, которая представляет собой векторное пространство над полем или модуль над коммутативным кольцом .
Совокупность всех структур данного типа (одни и те же операции и одни и те же законы) в универсальной алгебре называется многообразием ; этот термин употребляется также в совершенно другом значении в алгебраической геометрии , как сокращение от алгебраического многообразия . В теории категорий совокупность всех структур данного типа и гомоморфизмов между ними образует конкретную категорию .
Сложение и умножение — это типичные примеры операций , которые объединяют два элемента набора для создания третьего элемента того же набора. Эти операции подчиняются нескольким алгебраическим законам. Например, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c и a ( bc ) = ( ab ) c — ассоциативные законы , а a + b = b + a и ab = ba — коммутативные законы . Во многих системах, изучаемых математиками, есть операции, которые подчиняются некоторым, но не обязательно всем, законам обычной арифметики. Например, возможные перемещения объекта в трехмерном пространстве можно объединить, выполнив первое перемещение объекта, а затем второе перемещение с нового положения. Такие движения, формально называемые жесткими движениями , подчиняются ассоциативному закону, но не удовлетворяют коммутативному закону.
Множества с одной или несколькими операциями, подчиняющимися определенным законам, называются алгебраическими структурами . Когда новая проблема включает в себя те же законы, что и такая алгебраическая структура, все результаты, доказанные с использованием только законов структуры, могут быть непосредственно применены к новой задаче.
В полной общности алгебраические структуры могут включать в себя произвольный набор операций, включая операции, которые объединяют более двух элементов (операции с более высокой арностью ) и операции, которые принимают только один аргумент ( унарные операции ) или даже нулевые аргументы ( нулевые операции ). Приведенные ниже примеры ни в коем случае не являются полным списком, но включают наиболее распространенные структуры, изучаемые на курсах бакалавриата.
Аксиома алгебраической структуры часто имеет форму тождества , то есть уравнения , в котором две стороны знака равенства являются выражениями , включающими операции алгебраической структуры и переменных . Если переменные в тождестве заменить произвольными элементами алгебраической структуры, равенство должно оставаться верным. Вот несколько распространенных примеров.
Некоторые общие аксиомы содержат экзистенциальное положение . В общем, такого предложения можно избежать, введя дополнительные операции и заменив экзистенциальное предложение идентификатором, включающим новую операцию. Точнее, рассмотрим аксиому вида «для всех X существует y такое, что », где X — k - набор переменных. Выбор конкретного значения y для каждого значения X определяет функцию , которую можно рассматривать как операцию арности k , а аксиома становится тождеством
Введение такой вспомогательной операции несколько усложняет формулировку аксиомы, но имеет некоторые преимущества. Учитывая конкретную алгебраическую структуру, доказательство выполнения экзистенциальной аксиомы обычно состоит из определения вспомогательной функции, дополненного прямыми проверками. Кроме того, при вычислениях в алгебраической структуре обычно явно используются вспомогательные операции. Например, в случае чисел аддитивная обратная операция обеспечивается унарной операцией минуса.
Кроме того, в универсальной алгебре разнообразие — это класс алгебраических структур, которые используют одни и те же операции и одни и те же аксиомы, при условии, что все аксиомы являются тождествами. Сказанное выше показывает, что экзистенциальные аксиомы указанной формы принимаются при определении разнообразия.
Вот некоторые из наиболее распространенных экзистенциальных аксиом.
Аксиомами алгебраической структуры может быть любая формула первого порядка , то есть формула, включающая логические связки (такие как «и» , «или» и «не» ) и логические кванторы ( ), которые применяются к элементам (не к подмножествам). ) структуры.
Такой типичной аксиомой является инверсия в полях . Эта аксиома не может быть сведена к аксиомам предыдущих типов. (следовательно, поля не образуют многообразия в смысле универсальной алгебры .) Можно утверждать: «Каждый ненулевой элемент поля обратим »; или, что то же самое: структура имеет унарную операцию inv такую, что
Операцию inv можно рассматривать либо как частичную операцию , которая не определена для x = 0 ; или как обычная функция, значение которой в 0 произвольно и не должно использоваться.
Простые структуры : нет двоичных операций :
Групповые структуры : одна бинарная операция. Бинарная операция может обозначаться любым символом или вообще без символа (наложение), как это делается при обычном умножении действительных чисел.
Кольцеобразные структуры или рингоиды : две бинарные операции, часто называемые сложением и умножением , с распределением умножения над сложением.
Решетчатые структуры : две или более бинарные операции, включая операции, называемые «встреча» и «соединение» , связанные законом поглощения . [2]
Алгебраические структуры также могут сосуществовать с добавленными структурами неалгебраической природы, такими как частичный порядок или топология . Добавленная структура должна быть в некотором смысле совместима с алгебраической структурой.
Алгебраические структуры определяются посредством различных конфигураций аксиом . Универсальная алгебра абстрактно изучает такие объекты. Одна из основных дихотомий существует между структурами, которые полностью аксиоматизированы идентичностями , и структурами, которые таковыми не являются. Если все аксиомы, определяющие класс алгебр, являются тождествами, то этот класс является многообразием ( не путать с алгебраическими многообразиями алгебраической геометрии ).
Идентичности — это уравнения, сформулированные с использованием только тех операций, которые допускает структура, и переменных, которые неявно и универсально количественно определены в соответствующей вселенной . Идентичности не содержат связок , экзистенциально квантифицированных переменных или отношений любого рода, кроме разрешенных операций. Изучение многообразий — важная часть универсальной алгебры . Алгебраическую структуру в многообразии можно понимать как факторалгебру термальной алгебры (также называемой «абсолютно свободной алгеброй »), разделенную отношениями эквивалентности, порожденными набором тождеств. Итак, набор функций с заданными сигнатурами порождает свободную алгебру, термин-алгебру T. Учитывая набор эквациональных тождеств (аксиом), можно рассмотреть их симметричное транзитивное замыкание E . Тогда фактор-алгебра T / E является алгебраической структурой или многообразием. Так, например, группы имеют сигнатуру, содержащую два оператора: оператор умножения m , принимающий два аргумента, и обратный оператор i , принимающий один аргумент, а также единичный элемент e , константу, которую можно рассматривать как оператор, принимающий ноль. аргументы. Учитывая (счетный) набор переменных x , y , z и т. д., алгебра терминов представляет собой совокупность всех возможных терминов, включающих m , i , e и переменные; так, например, m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) будет элементом термина алгебра. Одной из аксиом, определяющих группу, является тождество m ( x , i ( x )) = e ; другой - м ( Икс , е ) знак равно Икс . Аксиомы можно представить в виде деревьев. Эти уравнения индуцируют классы эквивалентности в свободной алгебре; тогда факторалгебра имеет алгебраическую структуру группы.
Некоторые структуры не образуют разновидностей, потому что либо:
Структуры, аксиомы которых неизбежно включают нетождества, относятся к числу наиболее важных в математике, например поля и тела . Структуры с нетождественностью создают проблемы, которых нет у разновидностей. Например, прямое произведение двух полей не является полем, поскольку , но поля не имеют делителей нуля .
Теория категорий — еще один инструмент изучения алгебраических структур (см., например, Mac Lane 1998). Категория — это совокупность объектов со связанными с ними морфизмами. Каждая алгебраическая структура имеет свое собственное понятие гомоморфизма , а именно любую функцию, совместимую с операцией (операциями), определяющей структуру. Таким образом, каждая алгебраическая структура порождает категорию . Например, в категории групп все группы являются объектами, а все гомоморфизмы групп — морфизмами. Эту конкретную категорию можно рассматривать как категорию множеств с добавленной теоретико-категорной структурой. Точно так же категория топологических групп (морфизмы которых являются гомоморфизмами непрерывных групп) является категорией топологических пространств с дополнительной структурой. Забывчивый функтор между категориями алгебраических структур «забывает» часть структуры.
В теории категорий существуют различные концепции, которые пытаются уловить алгебраический характер контекста, например
При небольшом злоупотреблении обозначениями слово «структура» может также относиться только к операциям над структурой, а не к самому базовому набору. Например, предложение «Мы определили кольцевую структуру на множестве » означает, что мы определили кольцевые операции на множестве . Другой пример: группу можно рассматривать как набор , снабженный алгебраической структурой, а именно операцией .
