Весовая функция — это математический аппарат, используемый при вычислении суммы, интеграла или среднего значения, чтобы придать некоторым элементам больший «вес» или влияние на результат, чем другим элементам в том же наборе. Результатом применения весовой функции является взвешенная сумма или средневзвешенное значение . Весовые функции часто встречаются в статистике и анализе и тесно связаны с понятием меры . Весовые функции могут использоваться как в дискретных, так и в непрерывных настройках. Их можно использовать для построения систем исчисления, называемых «взвешенным исчислением» [1] и «метаисчислением». [2]
В дискретной ситуации весовая функция — это положительная функция, определенная на дискретном множестве , которое обычно является конечным или счетным . Весовая функция соответствует невзвешенной ситуации, в которой все элементы имеют одинаковый вес. Затем можно применить этот вес к различным концепциям.
Если функция является действительной функцией , то невзвешенная сумма on определяется как
но учитывая весовую функцию , взвешенная сумма или коническая комбинация определяется как
Одно из распространенных применений взвешенных сумм возникает при численном интегрировании .
Если B — конечное подмножество A , можно заменить невзвешенную мощность | Б | из B по взвешенной мощности
Если A — конечное непустое множество, можно заменить невзвешенное среднее или среднее значение
по средневзвешенному или средневзвешенному значению
В этом случае имеют значение только относительные веса.
Взвешенные средние значения обычно используются в статистике для компенсации наличия систематической ошибки . Для величины , измеренной несколько независимых раз с дисперсией , наилучшая оценка сигнала получается путем усреднения всех измерений с весом , и результирующая дисперсия меньше, чем каждое из независимых измерений . Метод максимального правдоподобия взвешивает разницу между подгонкой и данными, используя одинаковые веса .
Ожидаемое значение случайной величины — это средневзвешенное значение возможных значений, которые она может принять, причем веса — это соответствующие вероятности . В более общем смысле, ожидаемое значение функции случайной величины — это средневзвешенное по вероятности значений, которые функция принимает для каждого возможного значения случайной величины.
В регрессиях , в которых предполагается, что на зависимую переменную влияют как текущие, так и лагированные (прошлые) значения независимой переменной , оценивается распределенная функция запаздывания , причем эта функция представляет собой средневзвешенное значение текущих и различных лагированных значений независимой переменной. Аналогичным образом, модель скользящего среднего определяет развивающуюся переменную как средневзвешенное значение текущих и различных запаздывающих значений случайной величины.
Терминологическая функция веса возникает из механики : если на рычаге имеется набор объектов с весами (где вес теперь интерпретируется в физическом смысле) и местоположениями , то рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры рычага находится в точке центр масс
что также является средневзвешенным значением позиций .
В непрерывной ситуации вес является положительной мерой , например, в некоторой области , которая обычно является подмножеством евклидова пространства , например, может быть интервалом . Здесь – мера Лебега , – неотрицательная измеримая функция . В этом контексте весовую функцию иногда называют плотностью .
Если – вещественная функция , то невзвешенный интеграл
можно обобщить до взвешенного интеграла
Обратите внимание, что для того, чтобы этот интеграл был конечным, может потребоваться абсолютная интегрируемость по весу .
Если E является подмножеством , то объем vol( E ) E можно обобщить до взвешенного объема
Если имеет конечный ненулевой взвешенный объем, то мы можем заменить невзвешенное среднее
по средневзвешенному значению
Если и две функции, можно обобщить невзвешенную билинейную форму
к взвешенной билинейной форме
Примеры взвешенных ортогональных функций см. в статье об ортогональных полиномах .