Октагон

Многоугольная форма с восемью сторонами

В геометрии октагон (от др.-греч. ὀκτάγωνον ( oktágōnon ) «  восемь углов») — восьмиугольник или многоугольник с восемью сторонами.

Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8} ^[1] и может быть также построен как квазиправильный усеченный квадрат , t{4}, который чередует два типа ребер. Усеченный восьмиугольник, t{8}, является гексадекагоном , {16}. Трехмерным аналогом восьмиугольника может быть ромбокубооктаэдр с треугольными гранями на нем, как замененные ребра, если рассматривать восьмиугольник как усеченный квадрат.

Характеристики

Диагонали зеленого четырехугольника равны по длине и расположены под прямым углом друг к другу.

Сумма всех внутренних углов любого восьмиугольника составляет 1080°. Как и у всех многоугольников, внешние углы в сумме составляют 360°.

Если квадраты построены все внутри или все снаружи на сторонах восьмиугольника, то середины отрезков, соединяющих центры противоположных квадратов, образуют четырехугольник, который является как равнодиагональным , так и ортодиагональным (то есть, диагонали которого равны по длине и расположены под прямым углом друг к другу). ^{[2] : Предложение 9}

Средний восьмиугольник референц-класса имеет восемь вершин в серединах сторон референц-класса. Если квадраты построены все внутри или все снаружи на сторонах среднего восьмиугольника, то середины отрезков, соединяющих центры противоположных квадратов, сами образуют вершины квадрата. ^{[2] : Предложение 10}

Регулярность

Правильный восьмиугольник — замкнутая фигура со сторонами одинаковой длины и внутренними углами одинакового размера. Он имеет восемь линий отражательной симметрии и вращательную симметрию порядка 8. Правильный восьмиугольник обозначается символом Шлефли {8}. Внутренний угол при каждой вершине правильного восьмиугольника равен 135 ° ( радиан ). Центральный угол равен 45 ° ( радиан ). ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{4}}}$

Область

Площадь правильного восьмиугольника со стороной длиной a определяется по формуле

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828\,a^{2}.}$

В терминах радиуса описанной окружности R площадь равна

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\approx 2.828\,R^{2}.}$

В терминах апофемы r (см. также вписанный рисунок ), площадь равна

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\approx 3.314\,r^{2}.}$

Последние два коэффициента ограничивают значение числа Пи , площади единичного круга .

Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить как усеченный квадрат .

Площадь также может быть выражена как

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-a^{2},}$

где S — это размах восьмиугольника, или вторая самая короткая диагональ; а a — длина одной из сторон или оснований. Это легко доказать, если взять восьмиугольник, нарисовать квадрат вокруг внешней стороны (убедившись, что четыре из восьми сторон перекрываются четырьмя сторонами квадрата), а затем взять угловые треугольники (это треугольники 45–45–90 ) и разместить их прямыми углами, направленными внутрь, образуя квадрат. Каждая из сторон этого квадрата равна длине основания.

При длине стороны a пролет S равен

${\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}$

Таким образом, пролет равен отношению серебра к стороне, а.

Тогда площадь будет такой же, как указано выше:

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}$

Выраженная в терминах пролета, площадь равна

${\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\approx 0.828S^{2}.}$

Другая простая формула для площади:

${\displaystyle \ A=2aS.}$

Чаще всего известен размах S , а длина сторон a должна быть определена, как при разрезании квадратного куска материала на правильный восьмиугольник. Из вышесказанного следует,

${\displaystyle a\approx S/2.414.}$

Две конечные длины e с каждой стороны (длины катетов треугольников (зеленых на изображении), отсеченных от квадрата), а также могут быть вычислены как ${\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}$

Описанный радиус и входящий радиус

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника в терминах длины стороны a равен ^[3]

${\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right)a\approx 1.307a,}$

и внутренний радиус равен

${\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)a\approx 1.207a.}$

(то есть половина серебряного коэффициента, умноженного на сторону, a , или половина размаха, S )

Радиус вписанной окружности можно рассчитать из радиуса описанной окружности следующим образом:

${\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{8}}}$

Диагональность

Правильный восьмиугольник, с точки зрения длины стороны a , имеет три различных типа диагоналей :

• Короткая диагональ;
• Средняя диагональ (также называемая размахом или высотой), которая в два раза больше длины вписанного радиуса;
• Длинная диагональ, которая в два раза больше радиуса описанной окружности.

Формула для каждого из них следует из основных принципов геометрии. Вот формулы для их длины: ^[4]

• Короткая диагональ:  ; ${\displaystyle a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$
• Средняя диагональ:  ; ( серебряное отношение умножить на а) ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a}$
• Длинная диагональ: . ${\displaystyle a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$

Строительство

построение правильного восьмиугольника путем складывания листа бумаги

Правильный восьмиугольник на данной описанной окружности может быть построен следующим образом:

1. Начертим окружность и диаметр AOE, где O — центр, а A, E — точки на описанной окружности.
2. Начертим еще один диаметр GOC, перпендикулярный AOE.
3. (Заметим попутно, что A,C,E,G являются вершинами квадрата).
4. Проведем биссектрисы прямых углов GOA и EOG, получив еще два диаметра HOD и FOB.
5. A,B,C,D,E,F,G,H — вершины восьмиугольника.

Правильный восьмиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля , так как 8 = 2 ³ , степень двойки :

Восьмиугольная конструкция Meccano.

Правильный восьмиугольник можно построить из брусков конструктора . Потребуется двенадцать брусков размера 4, три бруска размера 5 и два бруска размера 6.

Каждая сторона правильного восьмиугольника стягивает половину прямого угла в центре окружности, которая соединяет его вершины. Таким образом, его площадь может быть вычислена как сумма восьми равнобедренных треугольников, что приводит к результату:

${\displaystyle {\text{Area}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}$

для восьмиугольника со стороной a .

Стандартные координаты

Координаты вершин правильного восьмиугольника с центром в начале координат и длиной стороны 2:

• (±1, ±(1+ √ 2 ))
• (±(1+ √ 2 ), ±1).

Расчленяемость

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2 m -угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разбить на m ( m -1)/2 параллелограммов. ^[5] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного восьмиугольника m = 4, и его можно разбить на 6 ромбов, один из примеров показан ниже. Это разложение можно рассматривать как 6 из 24 граней в плоскости проекции многоугольника Петри тессеракта . Список (последовательность A006245 в OEIS ) определяет количество решений как восемь, по восьми ориентациям этого одного разбиения. Эти квадраты и ромбы используются в мозаиках Аммана–Беенкера .

Перекос

Правильный косой восьмиугольник, рассматриваемый как ребра квадратной антипризмы , симметрия D _4d , [2 ⁺ ,8], (2*4), порядок 16.

Косой восьмиугольник — это косой многоугольник с восемью вершинами и ребрами, но не лежащий на одной плоскости. Внутренность такого восьмиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный восьмиугольник имеет вершины, чередующиеся между двумя параллельными плоскостями.

Правильный косой восьмиугольник является вершинно-транзитивным с равными длинами сторон. В трех измерениях это зигзагообразный косой восьмиугольник и его можно увидеть в вершинах и боковых ребрах квадратной антипризмы с той же симметрией D _4d , [2 ⁺ ,8], порядок 16.

Петри полигоны

Правильный косой восьмиугольник является многоугольником Петри для этих правильных и однородных многогранников большей размерности , показанных в этих косых ортогональных проекциях на плоскости Коксетера A ₇ , B ₄ и D ₅ .

Симметрия

Правильный восьмиугольник имеет симметрию Dih ₈ , порядок 16. Существует три диэдральные подгруппы: Dih ₄ , Dih ₂ и Dih ₁ , и четыре циклические подгруппы : Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ и Z ₁ , последняя из которых не подразумевает симметрии.

На правильном восьмиугольнике существует одиннадцать различных симметрий. Джон Конвей обозначает полную симметрию как r16 . ^[6] Диэдральные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены как g для их центральных порядков инерции. Полная симметрия правильной формы обозначена r16 , а отсутствие симметрии обозначено как a1 .

Наиболее распространенными восьмиугольниками с высокой симметрией являются p8 , изогональный восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами, которые могут чередовать длинные и короткие ребра, и d8 , изотоксальный восьмиугольник, построенный с равными длинами ребер, но вершинами, чередующими два разных внутренних угла. Эти две формы являются дуальными друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного восьмиугольника.

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для нерегулярных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Использовать

Восьмиугольный план этажа, Купол Скалы , Иерусалим .

Восьмиугольная форма используется как элемент дизайна в архитектуре. Купол Скалы имеет характерный восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах является еще одним примером восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план также использовался в церковной архитектуре, такой как собор Святого Георгия в Аддис-Абебе , базилика Сан-Витале (в Равенне, Италия), Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), баптистерий во Флоренции , церковь Цум Фридефюрстен (Германия) и ряд восьмиугольных церквей в Норвегии . Центральное пространство в Ахенском соборе , Каролингская Палатинская капелла , имеет правильный восьмиугольный план этажа. Использование восьмиугольников в церквях также включает в себя менее важные элементы дизайна, такие как восьмиугольная апсида собора Нидарос .

Архитекторы, такие как Джон Эндрюс, использовали восьмиугольную планировку этажей в зданиях для функционального разделения офисных зон от служебных помещений здания, например, в штаб-квартире Intelsat в Вашингтоне или в офисах Callam в Канберре.

• 
  Зонты часто имеют восьмиугольную форму.
• 
  Знаменитый дизайн бухарского ковра включает в себя восьмиугольный мотив «слоновья нога».
• 
  Планировка улиц и кварталов барселонского района Эшампле основана на неправильных восьмиугольниках.
• 
  Чанги использует восьмиугольные детали.
• 
  Японские лотерейные автоматы часто имеют восьмиугольную форму.
• 
  Знак «Стоп» используется в англоязычных странах, а также в большинстве европейских стран.
• 
  Триграммы даосского багуа часто располагаются восьмиугольно.
• 
  Знаменитая восьмиугольная золотая чаша с затонувшего корабля «Белитунг»
• 
  Занятия в колледже Шимер традиционно проводятся за восьмиугольными столами.
• 
  Лабиринт Реймсского собора имеет квази-восьмиугольную форму.
• 
  Движение аналоговых джойстиков контроллера Nintendo 64 , контроллера GameCube , Wii Nunchuk и классического контроллера окружено вращающейся восьмиугольной областью, помогающей пользователю направлять джойстик в основных направлениях, при этом обеспечивая круговую свободу.
• 
  Стул от A la Ronde , с восьмиугольными сиденьями и спинками (комплект из восьми штук)

Производные цифры

• 
  Усеченная квадратная мозаика имеет 2 восьмиугольника вокруг каждой вершины.
  
• 
  Восьмиугольная призма содержит две восьмиугольные грани.
  
• 
  Восьмиугольная антипризма содержит две восьмиугольные грани.
  
• 
  Усеченный кубооктаэдр содержит 6 восьмиугольных граней.
  
• 
  Усеченные кубические соты
  

Связанные многогранники

Восьмиугольник , как усеченный квадрат , является первым в последовательности усеченных гиперкубов :

Как расширенный квадрат, он также является первым в последовательности расширенных гиперкубов:

Смотрите также

• Бамперный бассейн
• Малый восьмиугольник Хансена
• Восьмиугольный дом
• Восьмиугольное число
• Октаграмма
• Октаэдр , трехмерная фигура с восемью гранями.
• Октогон , крупный перекресток в Будапеште , Венгрия
• Руб эль-Хизб (также известный как звезда Аль-Кудс и как звезда Окта), распространенный мотив в исламской архитектуре
• Сглаженный восьмиугольник

Ссылки

1. Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников, Cambridge University Press, стр. 9, ISBN 9780521098595.
2. Dao Thanh Oai (2015), «Равносторонние треугольники и перспективы Киперта в комплексных числах», Forum Geometricorum 15, 105–114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html
3. Вайсштейн, Эрик. «Восьмиугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Octagon.html
4. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2023), A Panoply of Polygons, Dolciani Mathematical Expositions, т. 58, Американское математическое общество, стр. 124, ISBN 9781470471842
5. Коксетер , Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, стр. 141
6. Джон Х. Конвей, Хайди Бергиль, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278) 

Внешние ссылки

• Калькулятор Октагона
• Определение и свойства восьмиугольника С интерактивной анимацией