Гамма-функция

Расширение факториальной функции

В математике гамма -функция (обозначаемая как Γ, заглавная греческая буква гамма ) является наиболее распространенным расширением факториальной функции на комплексные числа . Выведенная Даниилом Бернулли , гамма-функция определена для всех комплексных чисел, за исключением неположительных целых чисел, и для каждого положительного целого числа , Гамма-функция может быть определена через сходящийся несобственный интеграл для комплексных чисел с положительной действительной частью: ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=n}$ $${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,.}$$

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\text{ d}}t,\ \qquad \Re (z)>0\,.}$$Тогда гамма-функция определяется в комплексной плоскости как аналитическое продолжение этой интегральной функции: это мероморфная функция , которая голоморфна за исключением нуля и отрицательных целых чисел, где она имеет простые полюса .

Гамма-функция не имеет нулей, поэтому обратная гамма-функция ⁠1/Г( z )⁠ — целая функция . Фактически, гамма-функция соответствует преобразованию Меллина отрицательной экспоненциальной функции :

$${\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z)\,.}$$

Существуют и другие расширения факториальной функции, но гамма-функция является наиболее популярной и полезной. Она появляется как фактор в различных функциях распределения вероятностей и других формулах в областях вероятности , статистики , аналитической теории чисел и комбинаторики .

Мотивация

${\displaystyle \Gamma (x+1)}$интерполирует факториальную функцию до нецелых значений.

Гамма-функцию можно рассматривать как решение интерполяционной задачи нахождения гладкой кривой , соединяющей точки факториальной последовательности: для всех положительных целых значений . Простая формула для факториала x ! = 1 × 2 × ⋯ × x действительна только тогда, когда x является положительным целым числом, и ни одна элементарная функция не обладает этим свойством, но хорошим решением является гамма-функция . ^[1] ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle (x,y)=(n,n!)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)=\Gamma (x+1)}$

Гамма-функция не только гладкая, но и аналитическая (за исключением неположительных целых чисел), и ее можно определить несколькими явными способами. Однако это не единственная аналитическая функция, которая расширяет факториал, поскольку можно добавить любую аналитическую функцию, которая равна нулю на положительных целых числах, например, для целого числа . ^[1] Такая функция известна как псевдогамма-функция , наиболее известная из которых — функция Адамара . ^[2] ${\displaystyle k\sin(m\pi x)}$ ${\displaystyle m}$

Гамма-функция Γ( z ) синего цвета, построенная вместе с Γ( z ) + sin(π z ) зеленого цвета. Обратите внимание на пересечение в положительных целых числах. Оба являются допустимыми расширениями факториалов до мероморфной функции на комплексной плоскости.

Более строгим требованием является функциональное уравнение , которое интерполирует смещенный факториал  : ^{[3] [4]} ${\displaystyle f(n)=(n{-}1)!}$ $${\displaystyle f(x+1)=xf(x)\ {\text{ for any }}x>0,\qquad f(1)=1.}$$

Но это все еще не дает единственного решения, поскольку допускает умножение на любую периодическую функцию с и , например . ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(x)=g(x+1)}$ ${\displaystyle g(0)=1}$ ${\displaystyle g(x)=e^{k\sin(m\pi x)}}$

Одним из способов разрешения неоднозначности является теорема Бора-Моллерупа , которая показывает, что является единственной интерполирующей функцией для факториала, определенной по положительным действительным числам, которая является логарифмически выпуклой ^[5] , что означает, что является выпуклой ^[6] . ${\displaystyle f(x)=\Gamma (x)}$ ${\displaystyle y=\log f(x)}$

Определение

Основное определение

Обозначение принадлежит Лежандру . ^[1] Если действительная часть комплексного числа  z строго положительна ( ), то интеграл сходится абсолютно и известен как интеграл Эйлера второго рода . (Интеграл Эйлера первого рода — это бета-функция . ^[1] ) Используя интегрирование по частям , можно увидеть, что: ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Re (z)>0}$ $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$$

Абсолютное значение (вертикаль) и аргумент (цвет) гамма-функции на комплексной плоскости

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zt^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=\lim _{t\to \infty }\left(-t^{z}e^{-t}\right)-\left(-0^{z}e^{-0}\right)+z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}$$

Признавая, что как ${\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty ,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=z\Gamma (z).\end{aligned}}}$$

Тогда можно рассчитать как: ${\displaystyle \Gamma (1)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\\&=1.\end{aligned}}}$$

Таким образом, мы можем показать, что для любого положительного целого числа n по индукции . В частности, базовый случай таков, что , а шаг индукции таков, что ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ ${\displaystyle \Gamma (1)=1=0!}$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)!=n!.}$

Тождество может быть использовано (или, что даст тот же результат, может быть использовано аналитическое продолжение ) для уникального расширения интегральной формулы для до мероморфной функции, определенной для всех комплексных чисел z , за исключением целых чисел, меньших или равных нулю. ^[1] Именно эта расширенная версия обычно называется гамма-функцией. ^[1] ${\textstyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$

Альтернативные определения

Существует множество эквивалентных определений.

Определение Эйлера как бесконечного произведения

Для фиксированного целого числа , по мере увеличения целого числа , мы имеем, что ^[7] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{m}}{(n+m)!}}=1\,.}$$

Если не является целым числом, то это уравнение бессмысленно, поскольку в этом разделе факториал нецелого числа еще не определен. Однако предположим, что это уравнение продолжает выполняться, когда заменяется произвольным комплексным числом , чтобы определить гамма-функцию для нецелых чисел: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}$$Умножение обеих сторон на и использование дает Это бесконечное произведение , которое принадлежит Эйлеру, ^[8] сходится для всех комплексных чисел , за исключением неположительных целых чисел, которые не сходятся из-за деления на ноль. Следовательно, указанное выше предположение дает единственное определение . ${\displaystyle (z-1)!}$ ${\displaystyle n+1={\frac {(n+1)!}{n!}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=(z-1)!\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }(1\cdot 2\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdots {\frac {n+1}{n}}\right)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z!}$

Интуитивно эта формула показывает, что является приблизительным результатом вычисления некоторого большого целого числа , умножения на для приближения и использования отношения в обратном порядке для получения приближения для ; и, кроме того, это приближение становится точным по мере увеличения до бесконечности. ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)^{z}}$ ${\displaystyle \Gamma (n+z+1)}$ ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle n}$

Бесконечное произведение для обратной величины является целой функцией , сходящейся для каждого комплексного числа z . $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)/{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}\right]}$$

Определение Вейерштрасса

Определение гамма-функции, данное Вейерштрассом , справедливо также для всех комплексных чисел,  за исключением неположительных целых чисел: где — константа Эйлера–Маскерони . ^[1] Это произведение Адамара в переписанной форме. Это определение появляется в важном тождестве, включающем pi. ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},}$$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$ ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$

Характеристики

Общий

Помимо фундаментального свойства, обсуждавшегося выше: другими важными функциональными уравнениями для гамма-функции являются формула отражения Эйлера , которая подразумевает , и формула удвоения Лежандра $${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$$ $${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$$

Формула удвоения является частным случаем теоремы умножения (см.  ^[9] уравнение 5.5.6): $${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$$

Простое, но полезное свойство, которое можно увидеть из определения предела, таково: $${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$$

В частности, при z = a + bi это произведение равно $${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$$

Если действительная часть является целым или полуцелым числом, то это можно конечно выразить в замкнутой форме : $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}$$

Возможно, наиболее известным значением гамма-функции при нецелом аргументе является которое можно найти, задав в формулах отражения или удвоения, используя отношение к бета-функции, приведенное ниже с , или просто выполнив замену в интегральном определении гамма-функции, что приводит к гауссову интегралу . В общем случае для неотрицательных целых значений имеем: где двойной факториал . См. Частные значения гамма-функции для вычисленных значений. $${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$ ${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle z_{1}=z_{2}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle u={\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)}$

Может возникнуть соблазн обобщить результат, что путем поиска формулы для других индивидуальных значений , где является рациональным, особенно потому, что согласно теореме Гаусса о дигамме , это возможно сделать для тесно связанной дигамма-функции при каждом рациональном значении. Однако неизвестно, чтобы эти числа были выражены сами по себе в терминах элементарных функций. Было доказано, что является трансцендентным числом и алгебраически независим от для любого целого числа и каждой из дробей . ^[10] В общем случае при вычислении значений гамма-функции мы должны довольствоваться численными приближениями. ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \Gamma (r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Gamma (r)}$ ${\displaystyle \Gamma (n+r)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$

Производные гамма-функции описываются в терминах полигамма -  функции ψ ⁽⁰⁾ ( z ) : Для положительного целого числа  m производная гамма-функции может быть вычислена следующим образом: $${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi ^{(0)}(z).}$$

Цвета, показывающие аргумент гамма-функции в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 6 + 2 i

$${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m!\left(-\gamma +H(m)\right)\,,}$$где H(m) — номер m-й гармоники , а γ — постоянная Эйлера–Маскерони .

Для -й производной гамма-функции есть: (Это можно получить, дифференцируя интегральную форму гамма-функции по и используя технику дифференцирования под знаком интеграла .) ${\displaystyle \Re (z)>0}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\log t)^{n}\,dt.}$$ ${\displaystyle z}$

Используя тождество , где — дзета-функция Римана , а — -й полином Белла , мы имеем, в частности, разложение в ряд Лорана гамма-функции ^[11] $${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}B_{n}(\gamma ,1!\zeta (2),\ldots ,(n-1)!\zeta (n))}$$ ${\displaystyle \zeta (z)}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\frac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\frac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$$

Неравенства

При ограничении положительными действительными числами гамма-функция является строго логарифмически выпуклой функцией . Это свойство может быть сформулировано любым из следующих трех эквивалентных способов:

• Для любых двух положительных действительных чисел и , и для любого , ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ $${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$$
• Для любых двух положительных действительных чисел и , и > ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (x_{2})}{\Gamma (x_{1})}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\right).}$$
• Для любого положительного действительного числа , ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$$

Последнее из этих утверждений, по сути, по определению совпадает с утверждением о том, что , где — полигамма-функция порядка 1. Чтобы доказать логарифмическую выпуклость гамма-функции, достаточно заметить, что имеет представление в виде ряда, которое для положительных действительных x состоит только из положительных членов. ${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$

Логарифмическая выпуклость и неравенство Йенсена вместе подразумевают, что для любых положительных действительных чисел и , ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$$

Существуют также границы для отношений гамма-функций. Наиболее известным является неравенство Гаучи , которое гласит, что для любого положительного действительного числа x и любого s ∈ (0, 1) , $${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.}$$

Формула Стерлинга

Представление гамма-функции в комплексной плоскости. Каждая точка окрашена в соответствии с аргументом . Также отображается контурный график модуля . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle |\Gamma (z)|}$

3-мерный график абсолютного значения комплексной гамма-функции

Поведение для возрастающей положительной действительной переменной задается формулой Стирлинга , где символ означает асимптотическую сходимость: отношение двух сторон сходится к 1 в пределе . ^[1] Этот рост происходит быстрее экспоненциального, , для любого фиксированного значения . ${\displaystyle \Gamma (x)}$ $${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},}$$ ${\displaystyle \sim }$ ${\textstyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle \exp(\beta x)}$ ${\displaystyle \beta }$

Другим полезным пределом для асимптотических приближений является: ${\displaystyle x\to +\infty }$ $${\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$$

При записи ошибки в виде бесконечного произведения для определения гамма-функции можно использовать формулу Стирлинга: ^[12] $${\displaystyle \Gamma \left(x\right)={\sqrt {\frac {2\pi }{x}}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\prod _{n=0}^{\infty }e^{-1}\left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)^{{\frac {1}{2}}+x+n}}$$

Остатки

Поведение для неположительных более сложное. Интеграл Эйлера не сходится для , но функция, которую он определяет в положительной комплексной полуплоскости, имеет единственное аналитическое продолжение в отрицательную полуплоскость. Один из способов найти это аналитическое продолжение — использовать интеграл Эйлера для положительных аргументов и расширить область определения до отрицательных чисел путем повторного применения формулы рекуррентности ^[1] , выбрав такое, что является положительным. Произведение в знаменателе равно нулю, когда равно любому из целых чисел . Таким образом, гамма-функция должна быть неопределенной в этих точках, чтобы избежать деления на ноль ; это мероморфная функция с простыми полюсами в неположительных целых числах. ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Re (z)\leq 0}$ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z+n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$

Для функции комплексной переменной в простом полюсе остаток определяется выражением : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$$

Для простого полюса формулу рекуррентности можно переписать как: Числитель в равен , а знаменатель Таким образом, остатки гамма-функции в этих точках равны: ^[13] Гамма-функция не равна нулю всюду вдоль действительной прямой, хотя она произвольно приближается к нулю при z → −∞ . На самом деле не существует комплексного числа , для которого , и, следовательно, обратная гамма-функция является целой функцией с нулями в . ^[1] ${\displaystyle z=-n}$ $${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$$ ${\displaystyle z=-n,}$ $${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$$ $${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)=0}$ ${\textstyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ ${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$

Минимумы и максимумы

На вещественной прямой гамма-функция имеет локальный минимум при z _min ≈ +1,46163 21449 68362 34126 ^[14] , где она достигает значения Γ( z _min ) ≈ +0,88560 31944 10888 70027 . ^[15] Гамма-функция возрастает по обе стороны от этого минимума. Решением Γ( z − 0,5) = Γ( z + 0,5) является z = +1,5 , а общим значением является Γ(1) = Γ(2) = +1 . Положительное решение Γ( z − 1) = Γ( z + 1) равно z = φ ≈ +1,618 , золотое сечение , а общее значение равно Γ( φ − 1) = Γ( φ + 1) = φ ! ≈ +1,44922 96022 69896 60037 . ^[16]

Гамма-функция должна чередовать знаки между своими полюсами в неположительных целых числах, поскольку произведение в прямой рекуррентности содержит нечетное число отрицательных множителей, если число полюсов между и нечетное, и четное число, если число полюсов четное. ^[13] Значения в локальных экстремумах гамма-функции вдоль действительной оси между неположительными целыми числами следующие: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z+n}$

Γ( -0,50408 30082 64455 40925... ^[17] ) = -3,54464 36111 55005 08912... ,

Γ( -1,57349 84731 62390 45877... ^[18] ) = 2,30240 72583 39680 13582... ,

Γ( -2,61072 08684 44144 65000... ^[19] ) = -0,88813 63584 01241 92009... ,

Γ( -3,63529 33664 36901 09783... ^[20] ) = 0,24512 75398 34366 25043... ,

Γ( -4,65323 77617 43142 44171... ^[21] ) = -0,05277 96395 87319 40076... и т. д.

Интегральные представления

Существует много формул, помимо интеграла Эйлера второго рода, которые выражают гамма-функцию как интеграл. Например, когда действительная часть z положительна, ^[22] и ^[23] , где три интеграла соответственно следуют из подстановок , ^[24] и ^[25] во втором интеграле Эйлера. Последний интеграл, в частности, проясняет связь между гамма-функцией при полуцелых аргументах и ​​гауссовым интегралом : если мы получим $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{zt-e^{t}}\,dt}$$ $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}$$ $${\displaystyle \Gamma (z)=2c^{z}\int _{0}^{\infty }t^{2z-1}e^{-ct^{2}}\,dt\,,\;c>0}$$ ${\displaystyle t=e^{-x}}$ ${\displaystyle t=-\log x}$ ${\displaystyle t=cx^{2}}$ ${\displaystyle z=1/2,\;c=1}$ $${\displaystyle \Gamma (1/2)=2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\;.}$$

Первая интегральная формула Бине для гамма-функции гласит, что когда действительная часть z положительна, то: ^[26] Интеграл в правой части можно интерпретировать как преобразование Лапласа . То есть, $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$$ $${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {z}{2\pi }}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$$

Вторая интегральная формула Бине утверждает, что, снова, когда действительная часть z положительна, тогда: ^[27] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$

Пусть C будет контуром Ганкеля , то есть путем, который начинается и заканчивается в точке ∞ на сфере Римана , единичный касательный вектор которого сходится к −1 в начале пути и к 1 в конце, который имеет число витков 1 вокруг 0 ​​и который не пересекает [0, ∞) . Зафиксируем ветвь , взяв ветвь, разрезанную вдоль [0, ∞), и приняв ее действительной, когда t находится на отрицательной действительной оси. Предположим, что z не является целым числом. Тогда формула Ганкеля для гамма-функции имеет вид: ^[28] где интерпретируется как . Формула отражения приводит к тесно связанному выражению, снова справедливому, когда z не является целым числом. ${\displaystyle \log(-t)}$ ${\displaystyle \log(-t)}$ $${\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,}$$ ${\displaystyle (-t)^{z-1}}$ ${\displaystyle \exp((z-1)\log(-t))}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$

Представление непрерывной дроби

Гамма-функция также может быть представлена ​​суммой двух цепных дробей : ^{[29] [30]} где . $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&+\ {\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Разложение в ряд Фурье

Логарифм гамма-функции имеет следующее разложение в ряд Фурье , которое долгое время приписывалось Эрнсту Куммеру , который вывел его в 1847 году. ^{[31] [32]} Однако Ярослав Благушин обнаружил, что Карл Йохан Мальмстен первым вывел этот ряд в 1842 году. ^{[33] [34]} ${\displaystyle 0<z<1:}$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\log 2)+(1-z)\log \pi -{\frac {1}{2}}\log \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log n}{n}}\sin(2\pi nz),}$$

Формула Раабе

В 1840 году Йозеф Людвиг Раабе доказал, что , в частности, если то $${\displaystyle \int _{a}^{a+1}\log \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a>0.}$$ ${\displaystyle a=0}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .}$$

Последнее можно вывести, взяв логарифм в приведенной выше формуле умножения, что дает выражение для суммы Римана подынтегральной функции. Взяв предел для , получаем формулу. ${\displaystyle a\to \infty }$

Функция Пи

Альтернативная нотация, введенная Гауссом, — это -функция, сдвинутая версия гамма-функции: так что для каждого неотрицательного целого числа . ${\displaystyle \Pi }$ $${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}$$ ${\displaystyle \Pi (n)=n!}$ ${\displaystyle n}$

Используя функцию pi, формула отражения выглядит следующим образом: используя нормализованную функцию sinc ; в то время как теорема умножения становится: $${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$$ $${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .}$$

Смещенную обратную гамма-функцию иногда называют целой функцией . ${\textstyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}$

Объем n -эллипсоида с радиусами r ₁ , …, r _n можно выразить как $${\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}$$

Связь с другими функциями

• В первом интеграле, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. Верхняя неполная гамма-функция получается путем изменения нижнего предела интегрирования: Существует аналогичная нижняя неполная гамма-функция. $${\displaystyle \Gamma (z,x)=\int _{x}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.}$$
• Гамма-функция связана с бета-функцией Эйлера формулой $${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.}$$
• Логарифмическая производная гамма-функции называется дигамма-функцией ; высшие производные — полигамма-функциями .
• Аналогом гамма-функции над конечным полем или конечным кольцом являются гауссовы суммы , разновидность показательной суммы .
• Обратная гамма-функция является целой функцией и изучалась как отдельная тема.
• Гамма-функция также проявляется в важной связи с дзета-функцией Римана , . Она также появляется в следующей формуле: которая верна только для . ${\displaystyle \zeta (z)}$ $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}$$ $${\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}$$ ${\displaystyle \Re (z)>1}$
  Логарифм гамма-функции удовлетворяет следующей формуле Лерха: где — дзета-функция Гурвица , — дзета-функция Римана, а штрих ( ′ ) обозначает дифференцирование по первой переменной. $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\zeta _{H}'(0,z)-\zeta '(0),}$$ ${\displaystyle \zeta _{H}}$ ${\displaystyle \zeta }$
• Гамма-функция связана с растянутой экспоненциальной функцией . Например, моменты этой функции равны $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}\,\mathrm {d} t={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$$

Особые ценности

Включая первые 20 цифр после десятичной точки, некоторые конкретные значения гамма-функции следующие: (Эти числа можно найти в OEIS . ^{[35] [36] [37] [38] [39] [40]} Значения, представленные здесь, усечены, а не округлены.) Комплексная гамма-функция не определена для неположительных целых чисел, но в этих случаях значение может быть определено в сфере Римана как ∞ . Обратная гамма-функция хорошо определена и аналитична при этих значениях (и во всей комплексной плоскости ): $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}$$

Логарифмическая гамма-функция

Аналитическая функция logΓ( z )

Поскольку гамма- и факториальные функции растут так быстро для умеренно больших аргументов, многие вычислительные среды включают функцию, которая возвращает натуральный логарифм гамма-функции, часто называемый lgammaили lngammaв средах программирования или gammalnв электронных таблицах. Она растет гораздо медленнее, и для комбинаторных вычислений позволяет складывать и вычитать логарифмические значения вместо умножения и деления очень больших значений. Она часто определяется как ^[41] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=-\gamma z-\log z+\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{k}}-\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right].}$$

Дигамма -функция , которая является производной этой функции, также часто встречается. В контексте технических и физических приложений, например, при распространении волн, функциональное уравнение $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\operatorname {log\Gamma } (z+1)-\log z}$$

Логарифмическая гамма-функция в комплексной плоскости от −2 − 2i до 2 + 2i с цветами

часто используется, поскольку позволяет определять значения функции в одной полосе шириной 1 по z из соседней полосы. В частности, начиная с хорошего приближения для  z с большой действительной частью, можно постепенно спускаться к желаемому  z . Следуя указанию Карла Фридриха Гаусса , Роктешель (1922) предложил для logΓ( z ) приближение для больших Re( z ) : $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)\approx (z-{\tfrac {1}{2}})\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log(2\pi ).}$$

Это можно использовать для точного приближения logΓ( z ) для z с меньшим Re( z ) с помощью (PEBöhmer, 1939) $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z-m)=\operatorname {log\Gamma } (z)-\sum _{k=1}^{m}\log(z-k).}$$

Более точное приближение можно получить, используя больше членов из асимптотических разложений logΓ( z ) и Γ( z ) , которые основаны на приближении Стирлинга. $${\displaystyle \Gamma (z)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51\,840z^{3}}}-{\frac {571}{2\,488\,320z^{4}}}\right)}$$

как | z | → ∞ при константе | arg( z ) | < π . (См. последовательности A001163 и A001164 в OEIS .)

В более «естественном» представлении: $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=z\log z-z-{\tfrac {1}{2}}\log z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}+o\left({\frac {1}{z^{5}}}\right)}$$

как | z | → ∞ при константе | arg( z ) | < π . (См. последовательности A046968 и A046969 в OEIS .)

Коэффициенты членов с k > 1 из z ^{1− k} в последнем разложении просто равны, где B _k — числа Бернулли . $${\displaystyle {\frac {B_{k}}{k(k-1)}}}$$

Гамма-функция также имеет ряд Стерлинга (выведенный Чарльзом Эрмитом в 1900 году), равный ^[42] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (1+x)={\frac {x(x-1)}{2!}}\log(2)+{\frac {x(x-1)(x-2)}{3!}}(\log(3)-2\log(2))+\cdots ,\quad \Re (x)>0.}$$

Характеристики

Теорема Бора –Моллерупа утверждает , что среди всех функций, расширяющих факториальные функции до положительных действительных чисел, только гамма-функция является log-выпуклой , то есть ее натуральный логарифм выпукл на положительной действительной оси. Другая характеристика дается теоремой Виландта .

Гамма-функция — это уникальная функция, которая одновременно удовлетворяет

1. ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$,
2. ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$для всех комплексных чисел, за исключением неположительных целых чисел, и, ${\displaystyle z}$
3. для целых n , для всех комплексных чисел . ^[1] ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{\Gamma (n)\;n^{z}}}=1}$ ${\displaystyle z}$

В определенном смысле, логарифмическая гамма-функция является более естественной формой; она делает некоторые внутренние атрибуты функции более ясными. Ярким примером является ряд Тейлора логарифма Γ вокруг 1: где ζ ( k ) обозначает дзета-функцию Римана при k . $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1}$$

Итак, используя следующее свойство: интегральное представление для логарифмической гамма-функции равно: или, установив z = 1 , чтобы получить интеграл для γ , мы можем заменить член γ его интегралом и включить его в приведенную выше формулу, чтобы получить: $${\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-1+zt}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt}$$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-ze^{-t}-1+z}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt\,.}$$

Существуют также специальные формулы для логарифма гамма-функции для рационального z . Например, если и являются целыми числами с и тогда ^[43] Эта формула иногда используется для численных вычислений, поскольку подынтегральное выражение убывает очень быстро. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle k\neq n/2\,,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {log\Gamma } \left({\frac {k}{n}}\right)={}&{\frac {\,(n-2k)\log 2\pi \,}{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\,\log \pi -\log \sin {\frac {\pi k}{n}}\,\right\}+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\,\gamma +\log r\,}{r}}\cdot \sin {\frac {\,2\pi rk\,}{n}}\\&{}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \log x\,}{\,\cosh x-\cos(2\pi k/n)\,}}\,{\mathrm {d} }x.\end{aligned}}}$$

Интеграция по логарифмической гамме

Интеграл можно выразить через G -функцию Барнса ^{[44] [45]} (см. доказательство в G -функции Барнса ): где Re( z ) > −1 . $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}+z\operatorname {log\Gamma } (z)-\log G(z+1)}$$

Его также можно записать в терминах дзета-функции Гурвица : ^{[46] [47]} $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}-\zeta '(-1)+\zeta '(-1,z).}$$

При этом следует, что и это также является следствием формулы Раабе . О. Эспиноза и В. Молль вывели аналогичную формулу для интеграла квадрата : ^[48 ] где . ${\displaystyle z=1}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {1}{2}}\log(2\pi ),}$$ ${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } }$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log ^{2}\Gamma (x)dx={\frac {\gamma ^{2}}{12}}+{\frac {\pi ^{2}}{48}}+{\frac {1}{3}}\gamma L_{1}+{\frac {4}{3}}L_{1}^{2}-\left(\gamma +2L_{1}\right){\frac {\zeta ^{\prime }(2)}{\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta ^{\prime \prime }(2)}{2\pi ^{2}}},}$$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi )}$

Д. Х. Бейли и его соавторы ^[49] дали оценку для , используя дзета-функцию Торнхейма–Виттена и ее производные. $${\displaystyle L_{n}:=\int _{0}^{1}\log ^{n}\Gamma (x)\,dx}$$ ${\displaystyle n=1,2}$

Кроме того, также известно, что ^[50] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{n!}}=1.}$$

Приближения

Сравнение гаммы (синяя линия) с факториалом (синие точки) и приближением Стирлинга (красная линия)

Комплексные значения гамма-функции можно аппроксимировать с помощью приближения Стирлинга или приближения Ланцоша . Это точно в том смысле, что отношение приближения к истинному значению приближается к 1 в пределе, когда | z | стремится к бесконечности. $${\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {2\pi }}z^{z-1/2}e^{-z}\quad {\hbox{as }}z\to \infty {\hbox{ in }}\left|\arg(z)\right|<\pi .}$$

Гамма-функция может быть вычислена с фиксированной точностью для путем применения интегрирования по частям к интегралу Эйлера. Для любого положительного числа  x гамма-функция может быть записана ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\in [1,2]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}}$$

Когда Re( z ) ∈ [1,2] и , абсолютное значение последнего интеграла меньше . Выбрав достаточно большое , это последнее выражение можно сделать меньше, чем для любого желаемого значения . Таким образом, гамма-функцию можно оценить с точностью до битов с помощью приведенного выше ряда. ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle (x+1)e^{-x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2^{-N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Быстрый алгоритм вычисления гамма-функции Эйлера для любого алгебраического аргумента (включая рациональный) был построен Е.А. Карацубой. ^{[51] [52] [53]}

Для аргументов, которые являются целыми кратными ⁠1/24⁠ , гамма-функцию можно также быстро оценить с помощью арифметико-геометрических итераций (см. конкретные значения гамма-функции ). ^[54]

Практические реализации

В отличие от многих других функций, таких как нормальное распределение , для гамма-функции не существует очевидной быстрой и точной реализации, которую легко реализовать . Поэтому стоит изучить потенциальные решения. В случае, когда скорость важнее точности, опубликованные таблицы для легко найти в поиске в Интернете, например, в онлайн-библиотеке Wiley. Такие таблицы можно использовать с линейной интерполяцией . Более высокая точность достигается при использовании кубической интерполяции за счет больших вычислительных затрат. Поскольку таблицы обычно публикуются для значений аргументов от 1 до 2, это свойство можно использовать для быстрого и простого перевода всех действительных значений и в диапазон , так что нужно будет использовать только табличные значения от 1 до 2. ^[55] ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$ ${\displaystyle z<1}$ ${\displaystyle z>2}$ ${\displaystyle 1\leq z\leq 2}$ ${\displaystyle z}$

Если таблицы интерполяции нежелательны, то упомянутое выше приближение Ланцоша хорошо работает с точностью от 1 до 2 знаков для небольших, обычно используемых значений z. Если приближение Ланцоша недостаточно точно, можно использовать формулу Стирлинга для гамма-функции .

Приложения

Один автор описывает гамма-функцию как «возможно, самую распространенную специальную функцию или наименее „специальную“ из них. Другие трансцендентные функции […] называются „специальными“, потому что вы могли бы, по идее, избежать некоторых из них, держась подальше от многих специализированных математических тем. С другой стороны, гамма-функцию Γ( z ) труднее всего избежать». ^[56]

Проблемы интеграции

Гамма-функция находит применение в таких разнообразных областях, как квантовая физика , астрофизика и гидродинамика . ^[57] Гамма -распределение , которое формулируется в терминах гамма-функции, используется в статистике для моделирования широкого спектра процессов; например, времени между возникновением землетрясений. ^[58]

Основной причиной полезности гамма-функции в таких контекстах является распространенность выражений типа , описывающих процессы, которые экспоненциально затухают во времени или пространстве. Интегралы таких выражений иногда могут быть решены в терминах гамма-функции, когда не существует элементарного решения. Например, если f — степенная функция, а g — линейная функция, простая замена переменных дает оценку ${\displaystyle f(t)e^{-g(t)}}$ ${\displaystyle u:=a\cdot t}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{b}e^{-at}\,dt={\frac {1}{a^{b}}}\int _{0}^{\infty }u^{b}e^{-u}d\left({\frac {u}{a}}\right)={\frac {\Gamma (b+1)}{a^{b+1}}}.}$$

Тот факт, что интегрирование выполняется по всей положительной действительной оси, может означать, что гамма-функция описывает накопление зависящего от времени процесса, который продолжается бесконечно, или что значение может быть суммой распределения в бесконечном пространстве.

Конечно, часто бывает полезно брать пределы интегрирования, отличные от 0 и ∞ , чтобы описать кумуляцию конечного процесса, в этом случае обычная гамма-функция больше не является решением; тогда решение называется неполной гамма-функцией . (Обычную гамма-функцию, полученную путем интегрирования по всей положительной действительной оси, иногда для контраста называют полной гамма-функцией .)

Важной категорией экспоненциально затухающих функций является категория гауссовых функций и их интегралов, таких как функция ошибок . Существует множество взаимосвязей между этими функциями и гамма-функцией; в частности, фактор, полученный путем оценки, является «таким же», как и тот, который находится в нормализующем факторе функции ошибок и нормального распределения . $${\displaystyle ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}}}$$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}$

Интегралы, обсуждавшиеся до сих пор, включают трансцендентные функции , но гамма-функция также возникает из интегралов чисто алгебраических функций. В частности, длины дуг эллипсов и лемнискаты , которые являются кривыми, определяемыми алгебраическими уравнениями, задаются эллиптическими интегралами , которые в особых случаях могут быть оценены в терминах гамма-функции. Гамма-функция также может быть использована для вычисления «объема» и « площади» n -мерных гиперсфер .

Расчет продуктов

Способность гамма-функции обобщать факториальные произведения немедленно приводит к приложениям во многих областях математики; в комбинаторике и, в более широком смысле, в таких областях, как теория вероятностей и вычисление степенных рядов . Многие выражения, включающие произведения последовательных целых чисел, можно записать в виде некоторой комбинации факториалов, наиболее важным примером, возможно, является биномиальный коэффициент . Например, для любых комплексных чисел z и n , с | z | < 1 , мы можем записать что очень похоже на биномиальный коэффициент, когда n — неотрицательное целое число, $${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+1)}{k!\Gamma (n-k+1)}}z^{k},}$$ $${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}z^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}z^{k}.}$$

Пример биномиальных коэффициентов объясняет, почему свойства гамма-функции, распространенные на отрицательные числа, являются естественными. Биномиальный коэффициент дает количество способов выбрать k элементов из набора из n элементов; если k > n , то, конечно, способов нет. Если k > n , ( n − k )! является факториалом отрицательного целого числа и, следовательно, бесконечным, если мы используем определение гамма-функции факториалов — деление на бесконечность дает ожидаемое значение 0.

Мы можем заменить факториал гамма-функцией, чтобы расширить любую такую ​​формулу на комплексные числа. Как правило, это работает для любого произведения, где каждый фактор является рациональной функцией индексной переменной, путем разложения рациональной функции на линейные выражения. Если P и Q являются моническими многочленами степени m и n с соответствующими корнями p ₁ , …, p _m и q ₁ , …, q _n , мы имеем $${\displaystyle \prod _{i=a}^{b}{\frac {P(i)}{Q(i)}}=\left(\prod _{j=1}^{m}{\frac {\Gamma (b-p_{j}+1)}{\Gamma (a-p_{j})}}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {\Gamma (a-q_{k})}{\Gamma (b-q_{k}+1)}}\right).}$$

Если у нас есть способ численного вычисления гамма-функции, то очень просто вычислить численные значения таких произведений. Количество гамма-функций в правой части зависит только от степени полиномов, поэтому неважно, равно ли b − a 5 или 10 ⁵ . Взяв соответствующие пределы, уравнение можно также заставить выполняться, даже если левое произведение содержит нули или полюса.

Принимая пределы, некоторые рациональные произведения с бесконечным числом множителей можно также оценить в терминах гамма-функции. Благодаря теореме Вейерштрасса о факторизации аналитические функции можно записать в виде бесконечных произведений, и их иногда можно представить в виде конечных произведений или частных гамма-функции. Мы уже видели один яркий пример: формула отражения по сути представляет функцию синуса как произведение двух гамма-функций. Начиная с этой формулы, экспоненциальная функция, а также все тригонометрические и гиперболические функции могут быть выражены в терминах гамма-функции.

Еще больше функций, включая гипергеометрическую функцию и ее частные случаи, можно представить с помощью комплексных контурных интегралов произведений и частных гамма-функции, называемых интегралами Меллина–Барнса .

Аналитическая теория чисел

Применение гамма-функции — изучение дзета-функции Римана . Фундаментальным свойством дзета-функции Римана является ее функциональное уравнение : $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}.}$$

Среди прочего, это дает явную форму для аналитического продолжения дзета-функции до мероморфной функции в комплексной плоскости и приводит к непосредственному доказательству того, что дзета-функция имеет бесконечно много так называемых «тривиальных» нулей на действительной прямой. Борвейн и др. называют эту формулу «одним из самых красивых открытий в математике». ^[59] Другим претендентом на это звание может быть $${\displaystyle \zeta (s)\;\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}.}$$

Обе формулы были выведены Бернхардом Риманом в его основополагающей работе 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины», которая стала одной из вех в развитии аналитической теории чисел — раздела математики, изучающего простые числа с помощью инструментов математического анализа.

История

Гамма-функция привлекла внимание некоторых из самых выдающихся математиков всех времен. Ее история, в частности, задокументированная Филиппом Дж. Дэвисом в статье, которая принесла ему премию Шовена в 1963 году , отражает многие из основных достижений в математике с 18 века. По словам Дэвиса, «каждое поколение находило что-то интересное, чтобы сказать о гамма-функции. Возможно, следующее поколение тоже». ^[1]

18 век: Эйлер и Стерлинг

Письмо Даниила Бернулли Христиану Гольдбаху , 6 октября 1729 г.

Проблема расширения факториала на нецелые аргументы, по-видимому, впервые рассматривалась Даниилом Бернулли и Христианом Гольдбахом в 1720-х годах. В частности, в письме Бернулли Гольдбаху от 6 октября 1729 года Бернулли ввел представление произведения ^[60], которое хорошо определено для действительных значений x, отличных от отрицательных целых чисел. $${\displaystyle x!=\lim _{n\to \infty }\left(n+1+{\frac {x}{2}}\right)^{x-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k+x}}}$$

Леонард Эйлер позже дал два различных определения: первое было не его интегралом, а бесконечным произведением , которое хорошо определено для всех комплексных чисел n , кроме отрицательных целых, о чем он сообщил Гольдбаху в письме от 13 октября 1729 года. Он снова написал Гольдбаху 8 января 1730 года, чтобы объявить о своем открытии интегрального представления , которое справедливо, когда действительная часть комплексного числа n строго больше −1 (т. е. ). С помощью замены переменных t = −ln s это становится известным интегралом Эйлера. Эйлер опубликовал свои результаты в статье «De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt» («О трансцендентных прогрессиях, то есть таких, общие члены которых не могут быть заданы алгебраически»), представленной в Санкт-Петербургскую академию 28 ноября 1729 года. ^[61] Эйлер также открыл некоторые важные функциональные свойства гамма-функции, включая формулу отражения. $${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{n}}{1+{\frac {n}{k}}}}\,,}$$ $${\displaystyle n!=\int _{0}^{1}(-\log s)^{n}\,ds\,,}$$ ${\displaystyle \Re (n)>-1}$

Джеймс Стирлинг , современник Эйлера, также пытался найти непрерывное выражение для факториала и придумал то, что сейчас известно как формула Стирлинга . Хотя формула Стирлинга дает хорошую оценку n ! , также для нецелых чисел, она не дает точного значения. Расширения его формулы, исправляющие ошибку, были даны самим Стирлингом и Жаком Филиппом Мари Бине .

XIX век: Гаусс, Вейерштрасс и Лежандр

Первая страница статьи Эйлера

Карл Фридрих Гаусс переписал произведение Эйлера как и использовал эту формулу для открытия новых свойств гамма-функции. Хотя Эйлер был пионером в теории комплексных переменных, он, по-видимому, не рассматривал факториал комплексного числа, как это сделал Гаусс. ^[62] Гаусс также доказал теорему умножения гамма-функции и исследовал связь между гамма-функцией и эллиптическими интегралами . $${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}}$$

Карл Вейерштрасс далее установил роль гамма-функции в комплексном анализе , начиная с еще одного представления произведения, где γ — константа Эйлера–Маскерони . Первоначально Вейерштрасс записал свое произведение как одно для ⁠ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},}$$1/Г⁠ , в этом случае он берется по нулям функции, а не по ее полюсам. Вдохновленный этим результатом, он доказал то, что известно как теорема Вейерштрасса о факторизации — что любая целая функция может быть записана в виде произведения по ее нулям в комплексной плоскости; обобщение фундаментальной теоремы алгебры .

Название гамма-функция и символ Γ были введены Адриеном-Мари Лежандром около 1811 года; Лежандр также переписал интегральное определение Эйлера в его современной форме. Хотя символ представляет собой заглавную греческую гамма, не существует общепринятого стандарта для того, следует ли писать имя функции как «гамма-функция» или «гамма-функция» (некоторые авторы просто пишут « Γ -функция»). Альтернативная нотация «пи-функции» Π( z ) = z !, приписываемая Гауссу, иногда встречается в старой литературе, но нотация Лежандра является доминирующей в современных работах.

Оправданно спросить, почему мы различаем «обычный факториал» и гамма-функцию, используя разные символы, и в частности, почему гамма-функция должна быть нормализована до Γ( n + 1) = n ! вместо того, чтобы просто использовать « Γ( n ) = n ! ». Учтите, что обозначение для показателей степени x ⁿ было обобщено с целых чисел на комплексные числа x ^z без каких-либо изменений. Мотивация Лежандра для нормализации неизвестна и была подвергнута критике как громоздкая некоторыми (например, математик 20-го века Корнелиус Ланцош назвал ее «лишенной всякой рациональности» и вместо этого использовал z ! ). ^[63] Нормализация Лежандра упрощает некоторые формулы, но усложняет другие. С современной точки зрения нормализация Лежандра гамма-функции представляет собой интеграл аддитивного характера e ^{− x} по мультипликативному характеру x ^z относительно меры Хаара на группе Ли R ⁺ . Таким образом, эта нормализация делает более ясным, что гамма-функция является непрерывным аналогом суммы Гаусса . ^[64] ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$

XIX–XX вв.: характеристика гамма-функции

Несколько проблематично, что для гамма-функции было дано большое количество определений. Хотя они описывают одну и ту же функцию, не совсем просто доказать эквивалентность. Стирлинг никогда не доказывал, что его расширенная формула точно соответствует гамма-функции Эйлера; доказательство было впервые дано Чарльзом Эрмитом в 1900 году. ^[65] Вместо того, чтобы искать специализированное доказательство для каждой формулы, было бы желательно иметь общий метод идентификации гамма-функции.

Одним из способов доказательства эквивалентности было бы нахождение дифференциального уравнения , характеризующего гамма-функцию. Большинство специальных функций в прикладной математике возникают как решения дифференциальных уравнений, решения которых единственны. Однако гамма-функция, по-видимому, не удовлетворяет ни одному простому дифференциальному уравнению. Отто Гёльдер доказал в 1887 году, что гамма-функция, по крайней мере, не удовлетворяет ни одному алгебраическому дифференциальному уравнению , показав, что решение такого уравнения не может удовлетворять рекуррентной формуле гамма-функции, что делает ее трансцендентно трансцендентной функцией . Этот результат известен как теорема Гёльдера .

Определенная и общеприменимая характеристика гамма-функции была дана только в 1922 году. Затем Харальд Бор и Иоганнес Мёллеруп доказали то, что известно как теорема Бора–Мёллерупа : гамма-функция является единственным решением факторного рекуррентного соотношения, которое положительно и логарифмически выпукло для положительных z и значение которого в точке 1 равно 1 (функция логарифмически выпукла, если ее логарифм выпуклый). Другая характеристика дается теоремой Виландта .

Теорема Бора–Моллерупа полезна, поскольку относительно легко доказать логарифмическую выпуклость для любой из различных формул, используемых для определения гамма-функции. Если пойти дальше, вместо того, чтобы определять гамма-функцию какой-либо конкретной формулой, мы можем выбрать условия теоремы Бора–Моллерупа в качестве определения, а затем выбрать любую понравившуюся нам формулу, удовлетворяющую этим условиям, в качестве отправной точки для изучения гамма-функции. Этот подход использовался группой Бурбаки .

Борвейн и Корлесс рассматривают три столетия работы над гамма-функцией. ^[66]

Справочные таблицы и программное обеспечение

Хотя гамма-функция может быть вычислена практически так же легко, как и любая математически более простая функция с помощью современного компьютера — даже с помощью программируемого карманного калькулятора — это, конечно, не всегда так. До середины 20-го века математики полагались на составленные вручную таблицы; в случае гамма-функции, в частности, на таблицу, вычисленную Гауссом в 1813 году, и на таблицу, вычисленную Лежандром в 1825 году. ^[67]

Нарисованный вручную график абсолютного значения комплексной гамма-функции из «Таблиц высших функций» Янке и Эмде  [de] .

Таблицы комплексных значений гамма-функции, а также нарисованные от руки графики были приведены в «Таблицах функций с формулами и кривыми» Янке и Эмде  [de] , впервые опубликованных в Германии в 1909 году. По словам Михаэля Берри , «публикация в J &E трехмерного графика, показывающего полюса гамма-функции в комплексной плоскости, приобрела почти культовый статус». ^[68]

Фактически, практически не было нужды ни в чем, кроме реальных значений гамма-функции, до 1930-х годов, когда в теоретической физике были обнаружены приложения для комплексной гамма-функции. Поскольку в 1950-х годах электронные компьютеры стали доступны для производства таблиц, было опубликовано несколько обширных таблиц для комплексной гамма-функции, чтобы удовлетворить спрос, включая таблицу с точностью до 12 знаков после запятой от Национального бюро стандартов США . ^[1]

Воспроизведение известного комплексного графика Янке и Эмде (Таблицы функций с формулами и кривыми, 4-е изд., Дувр, 1945) гамма-функции от −4,5 − 2,5i до 4,5 + 2,5i

Реализации двойной точности с плавающей точкой гамма-функции и ее логарифма теперь доступны в большинстве научных вычислительных программ и библиотек специальных функций, например, TK Solver , Matlab , GNU Octave и GNU Scientific Library . Гамма-функция также была добавлена ​​в стандартную библиотеку C ( math.h ). Реализации произвольной точности доступны в большинстве систем компьютерной алгебры , таких как Mathematica и Maple . PARI/GP , MPFR и MPFUN содержат бесплатные реализации произвольной точности. В некоторых программных калькуляторах , например, Windows Calculator и GNOME Calculator, функция факториала возвращает Γ( x + 1), когда входной x является нецелым числом. ^{[69] [70]}

Смотрите также

• Возрастающий факториал
• Интеграл Каэна–Меллина
• Эллиптическая гамма-функция
• Константа лемнискаты
• Функция псевдогаммы
• Гамма-функция Адамара
• Обратная гамма-функция
• приближение Ланцоша
• Множественная гамма-функция
• Многомерная гамма-функция
• p -адическая гамма-функция
• Поххаммер k -символ
• q -гамма-функция
• Основная теорема Рамануджана
• Приближение Споуга
• Приближение Стерлинга

Примечания

1. Davis, PJ (1959). «Интеграл Леонарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции». American Mathematical Monthly . 66 (10): 849–869. doi :10.2307/2309786. JSTOR  2309786. Архивировано из оригинала 7 ноября 2012 г. Получено 3 декабря 2016 г.
2. «Неверно ли определена гамма-функция? Или: Адамар против Эйлера — кто нашел лучшую гамма-функцию?».
3. Beals, Richard; Wong, Roderick (2010). Специальные функции: текст для выпускников. Cambridge University Press. стр. 28. ISBN 978-1-139-49043-6.Выдержка из страницы 28
4. Росс, Клэй С. (2013). Дифференциальные уравнения: Введение в Mathematica (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 293. ISBN 978-1-4757-3949-7.Выражение G.2 на стр. 293
5. Kingman, JFC (1961). "Свойство выпуклости положительных матриц". The Quarterly Journal of Mathematics . 12 (1): 283–284. Bibcode : 1961QJMat..12..283K. doi : 10.1093/qmath/12.1.283.
6. Weisstein, Eric W. «Теорема Бора–Моллерупа». MathWorld .
7. Дэвис, Филип. «Интеграл Леонарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции» (PDF) . maa.org .
8. Бонвини, Марко (9 октября 2010 г.). «Гамма-функция» (PDF) . Roma1.infn.it .
9. Askey, RA ; Roy, R. (2010), «Разложения рядов», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
10. Вальдшмидт, М. (2006). «Трансцендентность периодов: состояние искусства» (PDF) . Pure Appl. Math. Quart . 2 (2): 435–463. doi : 10.4310/pamq.2006.v2.n2.a3 . Архивировано (PDF) из оригинала 6 мая 2006 г.
11. "Как получить разложение Лорана гамма-функции около $z=0$?". Mathematics Stack Exchange . Получено 17 августа 2022 г. .
12. Артин, Эмиль (2015). Гамма-функция . Довер. стр. 24.
13. Вайсштейн, Эрик В. «Гамма-функция». Математический мир .
14. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A030169 (Десятичное разложение действительного числа x, такое, что y = Gamma(x) является минимальным)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
15. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A030171 (Десятичное разложение действительного числа y, такое, что y = Gamma(x) является минимальным)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
16. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A178840 (Десятичное разложение факториала золотого сечения)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
17. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A175472 (Десятичное разложение абсолютного значения абсциссы локального максимума гамма-функции в интервале [-1,0])". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
18. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A175473 (Десятичное разложение абсолютного значения абсциссы локального минимума гамма-функции в интервале [-2,-1])". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
19. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A175474 (Десятичное разложение абсолютного значения абсциссы локального максимума гамма-функции в интервале [-3,-2])". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
20. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A256681 (Десятичное разложение [отрицательной] абсциссы локального минимума гамма-функции в интервале [-4,-3])". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
21. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A256682 (Десятичное разложение [отрицательной] абсциссы локального максимума гамма-функции в интервале [-5,-4])". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
22. Градштейн, И.С.; Рыжик, И.М. (2007). Таблица интегралов, рядов и произведений (седьмое изд.). Academic Press. стр. 893. ISBN 978-0-12-373637-6.
23. Уиттекер и Уотсон, 12.2 пример 1.
24. Детлеф, Гронау. «Почему гамма-функция такая, какая она есть?» (PDF) . Imsc.uni-graz.at .
25. Паскаль Себах, Ксавье Гурдон. "Введение в гамма-функцию" (PDF) . Вычисление чисел . Архивировано из оригинала (PDF) 30 января 2023 года . Получено 30 января 2023 года .
26. Уиттакер и Уотсон, 12.31.
27. Уиттакер и Уотсон, 12.32.
28. Уиттакер и Уотсон, 12.22.
29. "Экспоненциальный интеграл E: Представления в виде цепной дроби (Формула 06.34.10.0005)".
30. "Экспоненциальный интеграл E: Представления в виде цепной дроби (Формула 06.34.10.0003)".
31. Бейтман, Гарри; Эрдейи, Артур (1955). Высшие трансцендентные функции . McGraw-Hill. OCLC  627135.
32. Шривастава, Х. М.; Чой, Дж. (2001). Серия, связанная с дзета и связанными с ней функциями . Нидерланды: Kluwer Academic. ISBN 0-7923-7054-6.
33. Blagouchine, Iaroslav V. (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты». Ramanujan J . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID  120943474.
34. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Erratum and Addendum to "Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integrated methods and some related results"". Рамануджан Дж . 42 (3): 777–781. doi :10.1007/s11139-015-9763-z. S2CID  125198685.
35. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A245886 (десятичное разложение гаммы (-3/2), где гамма — гамма-функция Эйлера)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
36. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A019707 (Десятичное разложение sqrt(Pi)/5)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
37. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A002161 (Десятичное разложение квадратного корня числа Пи)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
38. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A019704 (Десятичное разложение sqrt(Pi)/2)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
39. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A245884 (десятичное разложение гаммы (5/2), где гамма — гамма-функция Эйлера)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
40. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A245885 (десятичное разложение гаммы (7/2), где гамма — гамма-функция Эйлера)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
41. "Log Gamma Function". Wolfram MathWorld . Получено 3 января 2019 г. .
42. "Интеграл Леонарда Эйлера: Исторический профиль гамма-функции" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 12 сентября 2014 г. . Получено 11 апреля 2022 г. .
43. Blagouchine, Iaroslav V. (2015). «Теорема для вычисления в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и ​​некоторые связанные с этим суммирования». Journal of Number Theory . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724 . doi :10.1016/j.jnt.2014.08.009.
44. Алексеевский, WP (1894). «Über eine Classe von Funktionen, die der Gammafunktion Analog Sind» [О классе функций, аналогичных гамма-функции]. Лейпцигский Weidmannsche Buchhandlung . 46 : 268–275.
45. Барнс, Э. У. (1899). «Теория G -функции». Quart. J. Math . 31 : 264–314.
46. Адамчик, Виктор С. (1998). «Полигамма-функции отрицательного порядка». J. Comput. Appl. Math . 100 (2): 191–199. doi : 10.1016/S0377-0427(98)00192-7 .
47. Gosper, RW (1997). " в специальных функциях, q -рядах и смежных темах". J. Am. Math. Soc . 14 . ${\displaystyle \textstyle \int _{n/4}^{m/6}\log F(z)\,dz}$
48. Эспиноза, Оливье; Молл, Виктор Х. (2002). «О некоторых интегралах, включающих дзета-функцию Гурвица: Часть 1». The Ramanujan Journal . 6 (2): 159–188. doi :10.1023/A:1015706300169. S2CID  128246166.
49. Бейли, Дэвид Х.; Борвейн, Дэвид; Борвейн, Джонатан М. (2015). «Об эйлеровых логарифмических гамма-интегралах и дзета-функциях Торнхейма-Виттена». The Ramanujan Journal . 36 (1–2): 43–68. doi :10.1007/s11139-012-9427-1. S2CID  7335291.
50. Амдеберхан, Т.; Коффи, Марк В.; Эспиноза, Оливье; Кучан, Кристоф; Манна, Данте В.; Молл, Виктор Х. (2011). «Интегралы степеней логарифмической гаммы». Proc. Amer. Math. Soc . 139 (2): 535–545. doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10589-0 .
51. Е. А. Карацуба, Быстрые вычисления трансцендентных функций, Проблемы инф. передачи, т. 27, № 4, стр. 339–360 (1991).
52. Е. А. Карацуба, О новом методе быстрого вычисления трансцендентных функций, Успехи матем. наук. Т.46, №2, с. 246–247 (1991).
53. Е.А. Карацуба «Быстрые алгоритмы и метод БЭЭ».
54. Борвейн, Дж. М.; Цукер, И. Дж. (1992). «Быстрая оценка гамма-функции для малых рациональных дробей с использованием полных эллиптических интегралов первого рода». Журнал численного анализа IMA . 12 (4): 519–526. doi :10.1093/IMANUM/12.4.519.
55. Вернер, Хельмут; Коллиндж, Роберт (1961). «Чебышевские приближения к гамма-функции». Math. Comput . 15 (74): 195–197. doi :10.1090/S0025-5718-61-99220-1. JSTOR  2004230.
56. Мишон, ГП «Тригонометрия и основные функции». Архивировано 9 января 2010 г. на Wayback Machine . Numericana . Получено 5 мая 2007 г.
57. Чаудри, MA; Зубайр, SM (2001). О классе неполных гамма-функций с приложениями . Бока-Ратон: CRC Press. стр. 37. ISBN 1-58488-143-7.
58. Райс, JA (1995). Математическая статистика и анализ данных (второе издание). Belmont: Duxbury Press. стр. 52–53. ISBN 0-534-20934-3.
59. Борвейн, Дж.; Бейли, Д. Х. и Гиргенсон, Р. (2003). Эксперименты в математике . AK Peters. стр. 133. ISBN 978-1-56881-136-9.
60. «Интерполяция натурального факториала n! или Рождение действительной факториальной функции (1729 - 1826)».
61. Статья Эйлера была опубликована в Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, 36–57. См. E19 — De Progressionibus Transcententibus seu Quarum Termini Generales Alphaice Dari nequeunt из Архива Эйлера, который включает отсканированную копию оригинальной статьи.
62. Remmert, R. (2006). Классические темы в теории комплексных функций . Перевод Kay, LD Springer. ISBN 978-0-387-98221-2.
63. Ланцош, К. (1964). "Точное приближение гамма-функции". Журнал Общества промышленной и прикладной математики, Серия B: Численный анализ . 1 (1): 86. Bibcode : 1964SJNA....1...86L. doi : 10.1137/0701008.
64. Илькер Инам; Энгин Бююкашк (2019). Заметки с Международной осенней школы по вычислительной теории чисел. Springer. стр. 205. ISBN 978-3-030-12558-5.Выдержка из страницы 205
65. Кнут, Д. Э. (1997). Искусство программирования . Том 1 (Фундаментальные алгоритмы). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-89683-4.
66. Борвейн, Джонатан М. ; Корлесс, Роберт М. (2017). «Гамма и факториал в ежемесячном журнале». American Mathematical Monthly . 125 (5). Математическая ассоциация Америки: 400–24. arXiv : 1703.05349 . Bibcode :2017arXiv170305349B. doi :10.1080/00029890.2018.1420983. S2CID  119324101.
67. «Какова история Gamma_function?». yearis.com . Получено 5 ноября 2022 г.
68. Берри, М. (апрель 2001 г.). «Почему специальные функции являются специальными?». Physics Today .
69. "microsoft/calculator". GitHub . Получено 25 декабря 2020 г. .
70. "gnome-calculator". GNOME.org . Получено 3 марта 2023 г. .

• В данной статье использованы материалы статьи Citizendium «Гамма-функция», которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License , но не по лицензии GFDL .

Дальнейшее чтение

• Абрамовиц, Милтон; Стиган, Ирен А., ред. (1972). "Глава 6". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Довер.
• Эндрюс, GE ; Аски, Р.; Рой, Р. (1999). "Глава 1 (Гамма- и бета-функции)". Специальные функции . Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2.
• Артин, Эмиль (2006). «Гамма-функция». В Rosen, Michael (ред.). Изложение Эмиля Артина: избранные . История математики. Том 30. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
• Аски, Р.; Рой, Р. (2010), «Гамма-функция», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Биркгоф, Джордж Д. (1913). «Заметка о гамма-функции». Bull. Amer. Math. Soc . 20 (1): 1–10. doi : 10.1090/s0002-9904-1913-02429-7 . MR  1559418.
• Бёмер, ЧП (1939). Differenzengleichungen und bestimmte Integrale [ Дифференциальные уравнения и определённые интегралы ]. Лейпциг: Кёлер Верлаг.
• Дэвис, Филип Дж. (1959). «Интеграл Леонарда Эйлера: Исторический профиль гамма-функции». American Mathematical Monthly . 66 (10): 849–869. doi :10.2307/2309786. JSTOR  2309786.
• Пост, Эмиль (1919). «Обобщенные гамма-функции». Annals of Mathematics . Вторая серия. 20 (3): 202–217. doi :10.2307/1967871. JSTOR  1967871. Получено 5 марта 2021 г.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Раздел 6.1. Гамма-функция". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Роктешель, Орегон (1922). Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument [ Методы вычисления гамма-функции для комплексных аргументов ]. Дрезден: Технический университет Дрездена .
• Темме, Нико М. (1996). Специальные функции: Введение в классические функции математической физики . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-11313-3.
• Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2.

Внешние ссылки

• Цифровая библиотека математических функций NIST: Гамма-функция
• Паскаль Себах и Ксавье Гурдон. Введение в гамма-функцию . В форматах PostScript и HTML.
• Справочник C++ для std::tgamma
• Примеры задач, связанных с гамма-функцией, можно найти на сайте Exampleproblems.com.
• «Гамма-функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Оценщик гамма-функции Вольфрама (произвольная точность)
• «Гамма». Сайт Wolfram Functions.
• Объем n-сфер и гамма-функция в MathPages