Задача двух тел в общей теории относительности

Задача двух тел в общей теории относительности (или релятивистская задача двух тел ) — это определение движения и гравитационного поля двух тел, как описано уравнениями поля общей теории относительности . Решение задачи Кеплера необходимо для расчета искривления света гравитацией и движения планеты , вращающейся вокруг своего солнца. Решения также используются для описания движения двойных звезд друг вокруг друга и оценки их постепенной потери энергии посредством гравитационного излучения .

Общая теория относительности описывает гравитационное поле искривленным пространством-временем; уравнения поля, управляющие этой кривизной, нелинейны и поэтому их трудно решить в замкнутой форме . Точных решений задачи Кеплера не найдено, но есть приближенное решение: решение Шварцшильда . Это решение применимо, когда масса M одного тела значительно больше массы m другого. Если это так, большую массу можно считать неподвижной и единственной составляющей гравитационного поля. Это хорошее приближение для фотона, проходящего мимо звезды, и для планеты, вращающейся вокруг своего солнца. Движение более легкого тела (называемого «частицей» ниже) затем можно определить из решения Шварцшильда; движение является геодезическим («кратчайшим путем между двумя точками») в искривленном пространстве-времени. Такие геодезические решения объясняют аномальную прецессию планеты Меркурий , которая является ключевым доказательством, подтверждающим теорию общей теории относительности. Они также описывают искривление света в гравитационном поле — еще одно предсказание, которое широко используется в качестве доказательства общей теории относительности.

Если обе массы считаются вносящими вклад в гравитационное поле, как в двойных звездах, то задача Кеплера может быть решена только приблизительно. Самым ранним разработанным методом приближения было постньютоновское расширение , итерационный метод, в котором начальное решение постепенно корректируется. Совсем недавно стало возможным решать уравнение поля Эйнштейна с помощью компьютера ^{[1] [2] [3]} вместо математических формул. Поскольку два тела вращаются вокруг друг друга, они будут испускать гравитационное излучение ; это заставляет их постепенно терять энергию и угловой момент, как показано на примере двойного пульсара PSR B1913+16 .

Для двойных черных дыр численное решение задачи двух тел было достигнуто после четырех десятилетий исследований в 2005 году, когда три группы разработали прорывные методы. ^{[1] [2] [3]}

Исторический контекст

Классическая задача Кеплера

Рисунок 1. Типичный эллиптический путь меньшей массы m, вращающейся вокруг гораздо большей массы M. Большая масса также движется по эллиптической орбите, но она слишком мала, чтобы ее можно было увидеть, поскольку M намного больше m . Концы диаметра указывают на апсид , точки наибольшего и наибольшего расстояния.

Задача Кеплера получила свое название от Иоганна Кеплера , который работал помощником датского астронома Тихо Браге . Браге провел необычайно точные измерения движения планет Солнечной системы. На основе этих измерений Кеплер смог сформулировать законы Кеплера , первое современное описание движения планет:

1. Орбита каждой планеты представляет собой эллипс , в одном из двух фокусов которого находится Солнце .
2. Линия , соединяющая планету и Солнце, описывает равные площади за равные промежутки времени.
3. Квадрат периода обращения планеты прямо пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты .

Кеплер опубликовал первые два закона в 1609 году, а третий закон — в 1619 году. Они вытеснили более ранние модели Солнечной системы, такие как модели Птолемея и Коперника . Законы Кеплера применимы только в ограниченном случае задачи двух тел. Вольтер и Эмилия дю Шатле были первыми, кто назвал их «законами Кеплера».

Почти столетие спустя Исаак Ньютон сформулировал свои три закона движения . В частности, второй закон Ньютона гласит, что сила F, приложенная к массе m, создает ускорение a, заданное уравнением F = ma . Затем Ньютон задал вопрос: какой должна быть сила, которая создает эллиптические орбиты, наблюдаемые Кеплером? Его ответ пришел из его закона всемирного тяготения , который гласит, что сила между массой M и другой массой m определяется формулой , где r — расстояние между массами, а G — гравитационная постоянная . Учитывая этот закон силы и свои уравнения движения, Ньютон смог показать, что две точечные массы, притягивающиеся друг к другу, будут следовать каждая по идеально эллиптическим орбитам. Отношение размеров этих эллипсов равно m / M , причем большая масса движется по меньшему эллипсу. Если M намного больше m , то большая масса будет казаться неподвижной в фокусе эллиптической орбиты более легкой массы m . Эту модель можно приблизительно применить к Солнечной системе. Поскольку масса Солнца намного больше массы планет, сила, действующая на каждую планету, обусловлена ​​в основном Солнцем; гравитацией планет друг по отношению к другу в первом приближении можно пренебречь. $${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}},}$$

Апсидальная прецессия

При отсутствии каких-либо других сил частица, вращающаяся вокруг другой под действием ньютоновской гравитации, вечно следует одному и тому же идеальному эллипсу . Присутствие других сил (таких как гравитация других планет) заставляет этот эллипс постепенно вращаться. Скорость этого вращения (называемая орбитальной прецессией) можно измерить очень точно. Скорость также можно предсказать, зная величины и направления других сил. Однако предсказания ньютоновской гравитации не соответствуют наблюдениям, как было обнаружено в 1859 году из наблюдений Меркурия.

Если потенциальная энергия между двумя телами не является точно потенциалом 1/ r закона тяготения Ньютона, а отличается лишь немного, то эллипс орбиты постепенно вращается (среди других возможных эффектов). Эта апсидальная прецессия наблюдается для всех планет, вращающихся вокруг Солнца, в первую очередь из-за сплющенности Солнца (оно не идеально сферическое) и притяжения других планет друг к другу. Апсиды — это две точки ближайшего и самого дальнего расстояния орбиты (перицентр и апоцентр соответственно); апсидальная прецессия соответствует вращению линии, соединяющей апсиды. Она также соответствует вращению вектора Лапласа–Рунге–Ленца , который указывает вдоль линии апсид.

Закон тяготения Ньютона вскоре был принят, поскольку он давал очень точные предсказания движения всех планет. ^{[ сомнительно – обсудить ]} Эти вычисления были первоначально выполнены Пьером-Симоном Лапласом в конце 18 века и уточнены Феликсом Тиссераном в конце 19 века. Наоборот, если бы закон тяготения Ньютона не предсказывал апсидальные прецессии планет точно, его пришлось бы отвергнуть как теорию гравитации. Такая аномальная прецессия наблюдалась во второй половине 19 века.

Аномальная прецессия Меркурия

В 1859 году Урбен Леверье обнаружил, что орбитальная прецессия планеты Меркурий была не совсем такой, какой она должна быть; эллипс ее орбиты вращался (прецессировал) немного быстрее, чем предсказывала традиционная теория ньютоновской гравитации, даже после того, как были учтены все эффекты других планет. ^[4] Эффект невелик (примерно 43 угловые секунды вращения за столетие), но значительно превышает погрешность измерения (примерно 0,1 угловой секунды за столетие). Леверье сразу понял важность своего открытия и бросил вызов астрономам и физикам, чтобы они объяснили его. Было предложено несколько классических объяснений, таких как межпланетная пыль, ненаблюдаемая сплющенность Солнца , необнаруженный спутник Меркурия или новая планета под названием Вулкан . ^[5] После того, как эти объяснения были отвергнуты, некоторые физики пришли к более радикальной гипотезе о том, что закон тяготения Ньютона , обратный квадрату, был неверен. Например, некоторые физики предложили степенной закон с показателем , немного отличающимся от 2. ^[6]

Другие утверждали, что закон Ньютона должен быть дополнен потенциалом, зависящим от скорости. Однако это подразумевало конфликт с ньютоновской небесной динамикой. В своем трактате по небесной механике Лаплас показал, что если гравитационное воздействие не действует мгновенно, то движения самих планет не будут точно сохранять импульс (и, следовательно, часть импульса должна быть приписана посреднику гравитационного взаимодействия, аналогично приписыванию импульса посреднику электромагнитного взаимодействия.) Как видно с ньютоновской точки зрения, если гравитационное воздействие распространяется с конечной скоростью, то во все моменты времени планета притягивается к точке, где Солнце находилось некоторое время назад, а не к мгновенному положению Солнца. Исходя из классических основ, Лаплас показал, что если бы гравитация распространялась со скоростью порядка скорости света, то Солнечная система была бы нестабильна и не существовала бы в течение длительного времени. Наблюдение за тем, что Солнечная система достаточно стара, позволило ему установить нижний предел скорости гравитации , которая оказалась на много порядков выше скорости света. ^{[5] [7]}

Оценка Лапласа для скорости гравитации неверна в теории поля, которая уважает принцип относительности. Поскольку электрические и магнитные поля объединяются, притяжение точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью, направлено к экстраполированному мгновенному положению, а не к кажущемуся положению, которое он, как кажется, занимает при взгляде. ^{[примечание 1]} Чтобы избежать этих проблем, между 1870 и 1900 годами многие ученые использовали электродинамические законы Вильгельма Эдуарда Вебера , Карла Фридриха Гаусса , Бернхарда Римана для получения устойчивых орбит и объяснения смещения перигелия орбиты Меркурия. В 1890 году Морису Леви удалось сделать это, объединив законы Вебера и Римана, согласно которым скорость гравитации равна скорости света в его теории. А в другой попытке Паулю Герберу (1898) даже удалось вывести правильную формулу для смещения перигелия (которая была идентична той формуле, которую позже использовал Эйнштейн). Однако, поскольку основные законы Вебера и других были неверны (например, закон Вебера был заменен теорией Максвелла), эти гипотезы были отвергнуты. ^[8] Другая попытка Хендрика Лоренца (1900), который уже использовал теорию Максвелла, дала смещение перигелия, которое было слишком малым. ^[5]

Общая теория относительности Эйнштейна

Измерения Эддингтона 1919 года по отклонению света звезд под действием гравитации Солнца привели к принятию общей теории относительности во всем мире.

Около 1904–1905 годов работы Хендрика Лоренца , Анри Пуанкаре и, наконец, специальная теория относительности Альберта Эйнштейна исключили возможность распространения любых эффектов быстрее скорости света . Из этого следовало, что закон тяготения Ньютона должен был быть заменен другим законом, совместимым с принципом относительности, при этом все еще получая ньютоновский предел для обстоятельств, когда релятивистские эффекты пренебрежимо малы. Такие попытки были предприняты Анри Пуанкаре (1905), Германом Минковским (1907) и Арнольдом Зоммерфельдом (1910). ^[9] В 1907 году Эйнштейн пришел к выводу, что для достижения этого необходим преемник специальной теории относительности. С 1907 по 1915 год Эйнштейн работал над новой теорией, используя свой принцип эквивалентности в качестве ключевой концепции, направляющей его путь. Согласно этому принципу, однородное гравитационное поле действует одинаково на все, что находится внутри него, и, следовательно, не может быть обнаружено свободно падающим наблюдателем. Наоборот, все локальные гравитационные эффекты должны воспроизводиться в линейно ускоряющейся системе отсчета, и наоборот. Таким образом, гравитация действует как фиктивная сила, такая как центробежная сила или сила Кориолиса , которые возникают при нахождении в ускоренной системе отсчета; все фиктивные силы пропорциональны инертной массе , как и гравитация. Чтобы осуществить согласование гравитации и специальной теории относительности и включить принцип эквивалентности, нужно было чем-то пожертвовать; этим чем-то было давнее классическое предположение о том, что наше пространство подчиняется законам евклидовой геометрии , например, что теорема Пифагора верна экспериментально. Эйнштейн использовал более общую геометрию, псевдориманову геометрию , чтобы учесть кривизну пространства и времени, которая была необходима для согласования; После восьми лет работы (1907–1915) ему удалось открыть точный способ, которым пространство-время должно быть искривлено, чтобы воспроизвести физические законы, наблюдаемые в Природе, в частности гравитацию. Гравитация отличается от фиктивных сил, центробежной силы и силы Кориолиса, в том смысле, что кривизна пространства-времени рассматривается как физически реальная, тогда как фиктивные силы не рассматриваются как силы. Самые первые решения его уравнений поля объясняли аномальную прецессию Меркурия и предсказывали необычное искривление света, что подтвердилось после публикации его теории. Эти решения объясняются ниже.

Общая теория относительности, специальная теория относительности и геометрия

В обычной евклидовой геометрии треугольники подчиняются теореме Пифагора , которая гласит, что квадрат расстояния ds ² между двумя точками в пространстве равен сумме квадратов его перпендикулярных компонент, где dx , dy и dz представляют собой бесконечно малые разности между координатами x , y и z двух точек в декартовой системе координат . Теперь представьте себе мир, в котором это не совсем так; мир, где расстояние вместо этого задается как где F , G и H являются произвольными функциями положения. Нетрудно представить такой мир; мы живем в одном из них. Поверхность Земли искривлена, поэтому невозможно создать идеально точную плоскую карту Земли. Недекартовы системы координат хорошо это иллюстрируют; например, в сферических координатах ( r , θ , φ ) евклидово расстояние можно записать $${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$$ $${\displaystyle ds^{2}=F(x,y,z)\,dx^{2}+G(x,y,z)\,dy^{2}+H(x,y,z)\,dz^{2}}$$ $${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$$

Другой иллюстрацией может служить мир, в котором линейки, используемые для измерения длины, были ненадежными, линейки, которые меняли свою длину в зависимости от своего положения и даже ориентации. В самом общем случае необходимо учитывать перекрестные члены при вычислении расстояния ds , где девять функций g _xx , g _xy , ..., g _zz составляют метрический тензор , который определяет геометрию пространства в римановой геометрии . В приведенном выше примере со сферическими координатами перекрестных членов нет; единственными ненулевыми компонентами метрического тензора являются g _rr = 1, g _θθ = r ² и g _φφ = r ² sin ² θ. $${\displaystyle ds^{2}=g_{xx}\,dx^{2}+g_{xy}\,dx\,dy+g_{xz}\,dx\,dz+\cdots +g_{zy}\,dz\,dy+g_{zz}\,dz^{2}}$$

В своей специальной теории относительности Альберт Эйнштейн показал , что расстояние ds между двумя пространственными точками не является постоянным, а зависит от движения наблюдателя. Однако существует мера разделения между двумя точками в пространстве-времени — называемая «собственным временем» и обозначаемая символом dτ — которая является инвариантной; другими словами, она не зависит от движения наблюдателя. что можно записать в сферических координатах как $${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}$$ $${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$$

Эта формула является естественным расширением теоремы Пифагора и аналогично справедлива только тогда, когда нет кривизны в пространстве-времени. Однако в общей теории относительности пространство и время могут иметь кривизну, поэтому эта формула расстояния должна быть изменена до более общей формы , так же как мы обобщили формулу для измерения расстояния на поверхности Земли. Точная форма метрики g _μν зависит от гравитирующей массы, импульса и энергии, как описано уравнениями поля Эйнштейна . Эйнштейн разработал эти уравнения поля, чтобы соответствовать известным на тот момент законам природы; однако они предсказали никогда ранее не наблюдавшиеся явления (такие как искривление света под действием гравитации), которые были подтверждены позже. $${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\,dx^{\nu }}$$

Уравнение геодезической

Согласно общей теории относительности Эйнштейна, частицы пренебрежимо малой массы движутся по геодезическим линиям в пространстве-времени. В неискривленном пространстве-времени, вдали от источника гравитации, эти геодезические соответствуют прямым линиям; однако они могут отклоняться от прямых линий, когда пространство-время искривлено. Уравнение для геодезических линий имеет вид ^[10] , где Γ представляет собой символ Кристоффеля , а переменная q параметризует путь частицы через пространство-время , ее так называемую мировую линию . Символ Кристоффеля зависит только от метрического тензора g _μν , или, скорее, от того, как он изменяется с положением. Переменная q является постоянным кратным собственного времени τ для времениподобных орбит (по которым движутся массивные частицы) и обычно принимается равной ему. Для светоподобных (или нулевых) орбит (по которым движутся безмассовые частицы, такие как фотон ) собственное время равно нулю и, строго говоря, не может использоваться в качестве переменной q . Тем не менее, светоподобные орбиты можно вывести как ультрарелятивистский предел времениподобных орбит, то есть предел, при котором масса частицы m стремится к нулю, при этом ее полная энергия остается неизменной. $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dq}}{\frac {dx^{\lambda }}{dq}}=0}$$

решение Шварцшильда

Точным решением уравнений поля Эйнштейна является метрика Шварцшильда , которая соответствует внешнему гравитационному полю неподвижного, незаряженного, невращающегося, сферически симметричного тела массы M. Она характеризуется шкалой длины r _s , известной как радиус Шварцшильда , который определяется формулой , где G — гравитационная постоянная . Классическая ньютоновская теория гравитации восстанавливается в пределе, когда отношение r _s / r стремится к нулю. В этом пределе метрика возвращается к метрике, определенной специальной теорией относительности . $${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$$

На практике это отношение почти всегда чрезвычайно мало. Например, радиус Шварцшильда r _s Земли составляет примерно 9  мм ( 3 ⁄ 8  дюйма ); на поверхности Земли поправки к ньютоновской гравитации составляют всего одну часть на миллиард. Радиус Шварцшильда Солнца намного больше, примерно 2953 метра, но на его поверхности отношение r _s / r составляет примерно 4 части на миллион. Белый карлик намного плотнее, но даже здесь отношение на его поверхности составляет примерно 250 частей на миллион. Отношение становится большим только вблизи сверхплотных объектов, таких как нейтронные звезды (где отношение составляет примерно 50%) и черные дыры .

Орбиты вокруг центральной массы

Сравнение орбиты тестовой частицы в ньютоновском (слева) и шварцшильдовском (справа) пространстве-времени. Щелкните для получения анимированной графики высокого разрешения.

Орбиты пробной частицы бесконечно малой массы вокруг центральной массы задаются уравнением движения , где — удельный относительный момент импульса , а — приведенная масса . Это можно преобразовать в уравнение для орбиты , где для краткости введены два масштаба длины и . Они являются константами движения и зависят от начальных условий (положения и скорости) пробной частицы. Следовательно, решение уравнения орбиты имеет вид ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right).}$$ ${\displaystyle h}$ ${\textstyle h=r\times v={L \over \mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right),}$$ ${\textstyle a={\frac {h}{c}}}$ ${\textstyle b={\frac {Lc}{E}}}$ $${\displaystyle \varphi =\int {\frac {1}{r^{2}}}\left[{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)\right]^{-1/2}\,dr.}$$

Эффективная радиальная потенциальная энергия

Уравнение движения для частицы, полученное выше, можно переписать, используя определение радиуса Шварцшильда r _s как , что эквивалентно частице, движущейся в одномерном эффективном потенциале Первые два члена являются хорошо известными классическими энергиями, первый из которых является притягивающей ньютоновской гравитационной потенциальной энергией , а второй соответствует отталкивающей «центробежной» потенциальной энергии ; однако третий член является притягивающей энергией, уникальной для общей теории относительности . Как показано ниже и в других местах , эта обратная кубическая энергия заставляет эллиптические орбиты постепенно прецессировать на угол δφ за оборот, где A — большая полуось, а e — эксцентриситет. Здесь δφ — это не изменение координаты φ в координатах ( t , r , θ , φ ), а изменение аргумента перицентра классической замкнутой орбиты. $${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{s}c^{2}}{r}}-{\frac {h^{2}}{r^{2}}}+{\frac {r_{s}h^{2}}{r^{3}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$$ $${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$$ $${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$$

Третий член является притягивающим и доминирует при малых значениях r , давая критический внутренний радиус r _{внутренний} , при котором частица неумолимо втягивается внутрь до r = 0; этот внутренний радиус является функцией углового момента частицы на единицу массы или, что эквивалентно, масштаба длины , определенного выше.

Круговые орбиты и их устойчивость

Эффективный радиальный потенциал для различных угловых моментов. При малых радиусах энергия резко падает, заставляя частицу неумолимо втягиваться внутрь до r = 0. Однако, когда нормализованный угловой момент a / r _s = L / mcr _s равен квадратному корню из трех, возможна метастабильная круговая орбита на радиусе, выделенном зеленым кругом. При более высоких угловых моментах существует значительный центробежный барьер (оранжевая кривая) и нестабильный внутренний радиус, выделенный красным.

Эффективный потенциал V можно переписать через длину a = h / c : $${\displaystyle V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}}\right].}$$

Круговые орбиты возможны, когда эффективная сила равна нулю: т. е. когда две силы притяжения — ньютоновская гравитация (первый член) и притяжение, уникальное для общей теории относительности (третий член) — точно уравновешены отталкивающей центробежной силой (второй член). Существует два радиуса, при которых может происходить это уравновешивание, обозначенные здесь как r _{внутренний} и r _{внешний} : которые получаются с помощью квадратичной формулы . Внутренний радиус r _{внутренний} нестабилен, потому что притягивающая третья сила усиливается гораздо быстрее, чем две другие силы, когда r становится малым; если частица слегка проскальзывает внутрь от r _{внутренний} (где все три силы находятся в равновесии), третья сила доминирует над двумя другими и неумолимо тянет частицу внутрь до r  = 0. Однако на внешнем радиусе круговые орбиты устойчивы; третий член менее важен, и система ведет себя больше как нерелятивистская задача Кеплера . $${\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0;}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\mathrm {outer} }&={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)\\r_{\mathrm {inner} }&={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}},\end{aligned}}}$$

Когда a намного больше r _s (классический случай), эти формулы становятся приблизительно $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\mathrm {outer} }&\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}}\\r_{\mathrm {inner} }&\approx {\frac {3}{2}}r_{s}\end{aligned}}}$$

Устойчивый и неустойчивый радиусы показаны в зависимости от нормализованного углового момента a / r _s = L / mcr _s синим и красным цветом соответственно. Эти кривые пересекаются на уникальной круговой орбите (зеленый круг), когда нормализованный угловой момент равен квадратному корню из трех. Для сравнения, классический радиус, предсказанный из центростремительного ускорения и закона тяготения Ньютона, показан черным цветом.

Подстановка определений a и r _s в r _outer дает классическую формулу для частицы массой m, вращающейся вокруг тела массой M .

Следующее уравнение , где ω _φ — орбитальная угловая скорость частицы, получается в нерелятивистской механике, если приравнять центробежную силу к ньютоновской гравитационной силе: где — приведенная масса . $${\displaystyle r_{\text{outer}}^{3}={\frac {G(M+m)}{\omega _{\varphi }^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \omega _{\varphi }^{2}r}$$ ${\displaystyle \mu }$

В наших обозначениях классическая орбитальная угловая скорость равна $${\displaystyle \omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{s}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{s}^{4}}{16a^{6}}}}$$

В другом крайнем случае, когда a ² приближается к 3 r _s ² сверху, два радиуса сходятся к одному значению. Квадратичные решения выше гарантируют, что r _external всегда больше 3 r _s , тогда как r _inner лежит между 3 ⁄ 2 r _s и 3 r _s . Круговые орбиты, меньшие 3 ⁄ 2 r _{s ,} невозможны. Для безмассовых частиц a стремится к бесконечности, что подразумевает, что для фотонов существует круговая орбита при r _inner = 3 ⁄ 2 r _s . Сфера этого радиуса иногда называется сферой фотона . $${\displaystyle r_{\text{outer}}\approx r_{\text{inner}}\approx 3r_{s}}$$   

Прецессия эллиптических орбит

В нерелятивистской задаче Кеплера частица вечно следует по одному и тому же идеальному эллипсу (красная орбита). Общая теория относительности вводит третью силу, которая притягивает частицу немного сильнее, чем ньютоновская гравитация, особенно при малых радиусах. Эта третья сила заставляет эллиптическую орбиту частицы прецессировать ( голубая орбита) в направлении ее вращения; этот эффект был измерен на Меркурии , Венере и Земле. Желтая точка внутри орбит представляет собой центр притяжения, такой как Солнце .

Скорость орбитальной прецессии может быть получена с использованием этого радиального эффективного потенциала V. Небольшое радиальное отклонение от круговой орбиты радиуса r _external будет колебаться устойчивым образом с угловой частотой, которая равна $${\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\text{outer}}}}$$ $${\displaystyle \omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\text{outer}}^{4}}}\right)\left(r_{\text{outer}}-r_{\text{inner}}\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}}$$

Извлекая квадратный корень из обеих сторон и расширяя с помощью биномиальной теоремы, получаем формулу Умножение на период одного оборота T дает прецессию орбиты за один оборот , где мы использовали ω _φ T = 2 π и определение масштаба длины a . Подставляя определение радиуса Шварцшильда r _s, получаем $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)}$$ $${\displaystyle \delta \varphi =T(\omega _{\varphi }-\omega _{r})\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2}}$$ $${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}$$

Это можно упростить, используя большую полуось эллиптической орбиты A и эксцентриситет e, связанные формулой , дающей угол прецессии $${\displaystyle {\frac {h^{2}}{G(M+m)}}=A\left(1-e^{2}\right)}$$ $${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$$

Поскольку замкнутая классическая орбита в общем случае является эллипсом, величина A (1 − e ² ) представляет собой прямую полуширину l эллипса .

Следовательно, окончательная формула угловой прецессии апсид за единичный полный оборот имеет вид $${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}l}}}$$

За пределами решения Шварцшильда

Диаграмма пространства параметров компактных двойных систем с различными схемами аппроксимации и областями их применимости.

Пост-ньютоновское расширение

В решении Шварцшильда предполагается, что большая масса M неподвижна и только она определяет гравитационное поле (т. е. геометрию пространства-времени) и, следовательно, меньшая масса m следует геодезическому пути через это фиксированное пространство-время. Это разумное приближение для фотонов и орбиты Меркурия, который примерно в 6 миллионов раз легче Солнца. Однако оно неадекватно для двойных звезд , в которых массы могут быть схожей величины.

Метрика для случая двух сопоставимых масс не может быть решена в замкнутой форме, и поэтому приходится прибегать к методам приближения, таким как постньютоновское приближение или численные приближения. Попутно упомянем одно особое исключение в меньших измерениях (подробнее см. модель R  =  T ). В (1+1) измерениях, т. е. пространстве, состоящем из одного пространственного измерения и одного временного измерения, метрика для двух тел одинаковой массы может быть решена аналитически в терминах функции Ламберта W. ^[11] Однако гравитационная энергия между двумя телами обменивается через дилатоны, а не гравитоны , которым для распространения требуется три пространства .

Постньютоновское расширение — это вычислительный метод, который обеспечивает ряд все более точных решений заданной проблемы. ^[12] Метод является итеративным; начальное решение для движения частиц используется для расчета гравитационных полей; из этих выведенных полей могут быть рассчитаны новые движения частиц, из которых могут быть вычислены еще более точные оценки полей и т. д. Этот подход называется «постньютоновским», потому что ньютоновское решение для орбит частиц часто используется в качестве начального решения.

Теорию можно разделить на две части: во-первых, находим эффективный потенциал двух тел , который учитывает поправки ОТО к ньютоновскому потенциалу. Во-вторых, следует решить полученные уравнения движения.

Современные вычислительные подходы

Уравнения Эйнштейна также могут быть решены на компьютере с использованием сложных численных методов. ^{[1] [2] [3]} При наличии достаточной вычислительной мощности такие решения могут быть точнее постньютоновских решений. Однако такие вычисления сложны, поскольку уравнения обычно должны решаться в четырехмерном пространстве. Тем не менее, начиная с конца 1990-х годов, стало возможным решать сложные задачи, такие как слияние двух черных дыр, что является очень сложной версией задачи Кеплера в общей теории относительности.

Гравитационное излучение

Согласно общей теории относительности , если гравитационное излучение отсутствует , два тела, вращающиеся вокруг друг друга, будут испускать гравитационное излучение , в результате чего орбиты постепенно будут терять энергию.

Были рассчитаны формулы, описывающие потерю энергии и углового момента из-за гравитационного излучения от двух тел задачи Кеплера. ^[13] Скорость потери энергии (усредненная по полной орбите) определяется как ^[14] , где e — эксцентриситет орбиты , а a — большая полуось эллиптической орбиты. Угловые скобки в левой части уравнения представляют собой усреднение по одной орбите. Аналогично, средняя скорость потери углового момента равна $${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}(m_{1}+m_{2})}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)}$$ $${\displaystyle -\left\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)}$$

Скорость уменьшения периода определяется по формуле ^{[13] [15]} , где P _b — орбитальный период. $${\displaystyle -\left\langle {\frac {dP_{b}}{dt}}\right\rangle ={\frac {192\pi G^{5/3}m_{1}m_{2}(m_{1}+m_{2})^{-1/3}}{5c^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)\left({\frac {P_{b}}{2\pi }}\right)^{-{5/3}}}$$

Потери энергии и углового момента значительно возрастают по мере приближения эксцентриситета к единице, т. е. по мере того, как эллипс орбиты становится все более вытянутым. Потери на излучение также значительно возрастают с уменьшением размера орбиты a .

• 
  Экспериментально наблюдаемые изменения времени периастра двойного пульсара PSR B1913+16 (красные точки) почти точно соответствуют изменению, обусловленному сокращением орбитального периода, предсказанному общей теорией относительности (синяя кривая).
• 
  Две нейтронные звезды, быстро вращающиеся друг вокруг друга, постепенно теряют энергию, испуская гравитационное излучение. По мере того, как они теряют энергию, они вращаются вокруг друг друга быстрее и ближе друг к другу.

Смотрите также

• Физический портал
• Астрономический портал

• Уравнение Бине
• Центр масс (релятивистский)
• Гравитационная задача двух тел
• проблема Кеплера
• Теорема Ньютона о вращающихся орбитах
• геодезические Шварцшильда

Примечания

1. Feynman Lectures on Physics vol. II дает полное рассмотрение аналогичной проблемы в электромагнетизме. Фейнман показывает, что для движущегося заряда неизлучающее поле является притяжением/отталкиванием не к кажущемуся положению частицы, а к экстраполированному положению, предполагая, что частица продолжает движение по прямой линии с постоянной скоростью. Это примечательное свойство потенциалов Льенара–Вихерта , которые используются в теории поглотителя Уилера–Фейнмана . Предположительно то же самое справедливо и для линеаризованной гравитации: например, см. Гравитоэлектромагнетизм .

Ссылки

1. Pretorius, Frans (2005). "Эволюция бинарных черных дыр пространства-времени". Physical Review Letters . 95 (12): 121101. arXiv : gr-qc/0507014 . Bibcode :2005PhRvL..95l1101P. doi :10.1103/PhysRevLett.95.121101. ISSN  0031-9007. PMID  16197061. S2CID  24225193.
2. Campanelli, M. ; Lousto, CO ; Marronetti, P.; Zlochower, Y. (2006). "Точные эволюции орбитальных двойных черных дыр без вырезания". Physical Review Letters . 96 (11): 111101. arXiv : gr-qc/0511048 . Bibcode :2006PhRvL..96k1101C. doi :10.1103/PhysRevLett.96.111101. ISSN  0031-9007. PMID  16605808. S2CID  5954627.
3. Бейкер, Джон Г.; Центрелла, Джоан ; Чой, Дэ-Ил; Коппиц, Майкл; ван Метер, Джеймс (2006). «Извлечение гравитационно-волн из спиральной конфигурации сливающихся черных дыр». Physical Review Letters . 96 (11): 111102. arXiv : gr-qc/0511103 . Bibcode : 2006PhRvL..96k1102B. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.111102. ISSN  0031-9007. PMID  16605809. S2CID  23409406.
4. Леверье, UJJ (1859). «Письмо г-на Леверье к г-ну Фэю о теории Меркурия и о движении перихели на этой планете». Комптес Рендус . 49 : 379–383.
5. Pais 1982, стр. 253–256.
6. Паис 1982, стр. 254.
7. Копейкин, Эфроимский и Каплан 2011, стр. 177.
8. Roseveare 1982, стр.  ^{[ нужна страница ]} .
9. Уолтер 2007, стр.  ^{[ нужна страница ]} .
10. Вайнберг 1972, стр.  ^{[ нужна страница ]} .
11. Охта, Т.; Манн, Р.Б. (1997). «Точное решение для метрики и движения двух тел в (1+1)-мерной гравитации». Phys. Rev. D. 55 ( 8): 4723–4747. arXiv : gr-qc/9611008 . Bibcode : 1997PhRvD..55.4723M. doi : 10.1103/PhysRevD.55.4723. S2CID  119083668.
12. Копейкин, Эфроимский и Каплан 2011, стр.  ^{[ нужна страница ]} .
13. Peters PC, Mathews J (1963). «Гравитационное излучение точечных масс на кеплеровской орбите». Physical Review . 131 (1): 435–440. Bibcode : 1963PhRv..131..435P. doi : 10.1103/PhysRev.131.435.
14. Ландау и Лифшиц 1975, стр. 356–357.
15. Weisberg, JM; Taylor, JH (июль 2005 г.). "Релятивистский двойной пульсар B1913+16: тридцать лет наблюдений и анализа". В FA Rasio; IH Stairs (ред.). Двойные радиопульсары . Серия конференций ASP. Том 328. Сан-Франциско: Астрономическое общество Тихого океана . стр. 25. arXiv : astro-ph/0407149 . Bibcode : 2005ASPC..328...25W.

Библиография

• Адлер, Р.; Базен М.; Шиффер М. (1965). Введение в общую теорию относительности . Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Company. С. 177–193. ISBN 978-0-07-000420-7.
• Эйнштейн, А. (1956). Значение теории относительности (5-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 92–97. ISBN 978-0-691-02352-6.
• Хагихара, Y (1931). «Теория релятивистских траекторий в гравитационном поле Шварцшильда». Японский журнал астрономии и геофизики . 8 : 67–176. Bibcode :1931AOTok..31...67H. ISSN  0368-346X.
• Копейкин, Сергей; Эфроимский, Михаил; Каплан, Джордж (25 октября 2011 г.). Релятивистская небесная механика Солнечной системы . John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-63457-6.
• Ланцош, К (1986). Вариационные принципы механики (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. С. 330–338. ISBN 978-0-486-65067-8.
• Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Т. 2 (пересмотренное 4-е англ. изд.). Нью-Йорк: Pergamon Press. С. 299–309. ISBN 978-0-08-018176-9.
• Misner, CW ; Thorne, K ; Wheeler, JA (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. стр. Глава 25 (стр. 636–687), §33.5 (стр. 897–901) и §40.5 (стр. 1110–1116). ISBN 978-0-7167-0344-0.(См. книгу «Гравитация» ).
• Паис, А. (1982). Тонкий Господь: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна . Oxford University Press. С. 253–256. ISBN 0-19-520438-7.
• Паули, В. (1958). Теория относительности . Перевод Г. Филда. Нью-Йорк: Dover Publications. С. 40–41, 166–169. ISBN 978-0-486-64152-2.
• Риндлер, В. (1977). Essential Relativity: Special, General, and Cosmological (пересмотренное 2-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 143–149. ISBN 978-0-387-10090-6.
• Roseveare, NT (1982). Перигелий Меркурия, от Леверье до Эйнштейна . Оксфорд: University Press. ISBN 0-19-858174-2.
• Синг, Дж. Л. (1960). Относительность: Общая теория . Амстердам: North-Holland Publishing. С. 289–298. ISBN 978-0-7204-0066-3.
• Wald, RM (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. С. 136–146. ISBN 978-0-226-87032-8.
• Walter, S. (2007). «Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910». В Renn, J. (ред.). The Genesis of General Relativity . Vol. 3. Berlin: Springer. pp. 193–252. Архивировано из оригинала 2009-01-30 . Получено 2008-07-26 .
• Вайнберг, С. (1972). Гравитация и космология . Нью-Йорк: John Wiley and Sons. С. 185–201. ISBN 978-0-471-92567-5.
• Уиттекер, ET (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в задачу трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. С. 389–393. ISBN 978-1-114-28944-4.

Внешние ссылки

• Анимация, демонстрирующая релятивистскую прецессию звезд вокруг сверхмассивной черной дыры Млечного Пути
• Отрывок из книги «Размышления о теории относительности» Кевина Брауна.