Общая теория относительности , широко признанная как теория необычайной красоты , часто описывается как самая красивая из всех существующих физических теорий. [2]
Уравнения поля Эйнштейна нелинейны и считаются сложными для решения. Эйнштейн использовал методы приближения при разработке начальных предсказаний теории. Но в 1916 году астрофизик Карл Шварцшильд нашел первое нетривиальное точное решение уравнений поля Эйнштейна, метрику Шварцшильда . Это решение заложило основу для описания конечных стадий гравитационного коллапса и объектов, известных сегодня как черные дыры. В том же году были сделаны первые шаги к обобщению решения Шварцшильда на электрически заряженные объекты, что в конечном итоге привело к решению Рейсснера–Нордстрема , которое теперь ассоциируется с электрически заряженными черными дырами . [8] В 1917 году Эйнштейн применил свою теорию ко Вселенной в целом, положив начало области релятивистской космологии. В соответствии с современным мышлением он предположил статическую Вселенную, добавив новый параметр к своим исходным уравнениям поля — космологическую постоянную — для соответствия этому наблюдательному предположению. [9] Однако к 1929 году работа Хаббла и других показала, что наша Вселенная расширяется. Это легко описывается расширяющимися космологическими решениями, найденными Фридманом в 1922 году, которые не требуют космологической постоянной. Леметр использовал эти решения для формулировки самой ранней версии моделей Большого взрыва , в которых наша Вселенная развилась из чрезвычайно горячего и плотного более раннего состояния. [10] Позже Эйнштейн объявил космологическую постоянную самой большой ошибкой своей жизни. [11]
В этот период общая теория относительности оставалась чем-то вроде диковинки среди физических теорий. Она явно превосходила ньютоновскую гравитацию , будучи согласующейся со специальной теорией относительности и объясняя несколько эффектов, необъяснимых ньютоновской теорией. Эйнштейн показал в 1915 году, как его теория объяснила аномальное смещение перигелия планеты Меркурий без каких-либо произвольных параметров («факторов подтасовки»), [12] а в 1919 году экспедиция под руководством Эддингтона подтвердила предсказание общей теории относительности об отклонении звездного света Солнцем во время полного солнечного затмения 29 мая 1919 года , [13] мгновенно сделав Эйнштейна знаменитым. [14] Тем не менее, теория оставалась вне основного русла теоретической физики и астрофизики до событий примерно между 1960 и 1975 годами, которые теперь известны как золотой век общей теории относительности . [15] Физики начали понимать концепцию черной дыры и идентифицировать квазары как одно из астрофизических проявлений этих объектов. [16] Более точные тесты солнечной системы подтвердили предсказательную силу теории, [17] и релятивистская космология также стала поддаваться прямым наблюдательным проверкам. [18]
Общая теория относительности приобрела репутацию теории необычайной красоты. [2] [19] [20] Субраманьян Чандрасекар отметил, что на многих уровнях общая теория относительности демонстрирует то, что Фрэнсис Бэкон назвал «странностью в пропорции» ( т. е . элементы, которые вызывают удивление и удивление). Она сопоставляет фундаментальные концепции (пространство и время против материи и движения), которые ранее считались совершенно независимыми. Чандрасекар также отметил, что единственными проводниками Эйнштейна в его поисках точной теории были принцип эквивалентности и его чувство, что правильное описание гравитации должно быть геометрическим в своей основе, так что был «элемент откровения» в том, как Эйнштейн пришел к своей теории. [21] Другими элементами красоты, связанными с общей теорией относительности, являются ее простота и симметрия, способ, которым она включает инвариантность и унификацию, и ее идеальная логическая последовательность. [22]
В предисловии к «Относительности: специальная и общая теория » Эйнштейн сказал: «Настоящая книга призвана, насколько это возможно, дать точное представление о теории относительности тем читателям, которые, с общенаучной и философской точки зрения, интересуются этой теорией, но не знакомы с математическим аппаратом теоретической физики. Работа предполагает уровень образования, соответствующий университетскому вступительному экзамену, и, несмотря на краткость книги, изрядное терпение и силу воли со стороны читателя. Автор не жалел усилий в своем стремлении представить основные идеи в наиболее простой и понятной форме и в целом в той последовательности и связи, в которой они фактически возникли». [23]
От классической механики к общей теории относительности
Общую теорию относительности можно понять, изучив ее сходства с классической физикой и отступления от нее. Первым шагом является осознание того, что классическая механика и закон тяготения Ньютона допускают геометрическое описание. Сочетание этого описания с законами специальной теории относительности приводит к эвристическому выводу общей теории относительности. [24] [25]
Геометрия ньютоновской гравитации
В основе классической механики лежит представление о том, что движение тела можно описать как комбинацию свободного (или инерционного ) движения и отклонений от этого свободного движения. Такие отклонения вызываются внешними силами, действующими на тело в соответствии со вторым законом движения Ньютона , который гласит, что чистая сила, действующая на тело, равна (инерционной) массе этого тела, умноженной на его ускорение . [26] Предпочтительные инерционные движения связаны с геометрией пространства и времени: в стандартных системах отсчета классической механики объекты в свободном движении движутся по прямым линиям с постоянной скоростью. На современном языке их траектории являются геодезическими , прямыми мировыми линиями в искривленном пространстве-времени . [27]
Наоборот, можно было бы ожидать, что инерционные движения, однажды идентифицированные путем наблюдения за фактическими движениями тел и учета внешних сил (таких как электромагнетизм или трение ), могут быть использованы для определения геометрии пространства, а также временной координаты . Однако возникает неоднозначность, как только в игру вступает гравитация. Согласно закону тяготения Ньютона, и независимо подтвержденному экспериментами, такими как эксперимент Этвеша и его последователей (см. Эксперимент Этвеша ), существует универсальность свободного падения (также известная как принцип слабой эквивалентности , или всеобщее равенство инертной и пассивно-гравитационной масс): траектория пробного тела в свободном падении зависит только от его положения и начальной скорости, но не от каких-либо его материальных свойств. [28] Упрощенная версия этого воплощена в эксперименте Эйнштейна с лифтом , проиллюстрированном на рисунке справа: для наблюдателя в закрытой комнате невозможно решить, путем отображения траектории тел, таких как брошенный мяч, является ли комната неподвижной в гравитационном поле, а мяч ускоряется, или находится в свободном пространстве на борту ракеты, которая ускоряется со скоростью, равной скорости гравитационного поля, по сравнению с мячом, который после освобождения имеет нулевое ускорение. [29]
Учитывая универсальность свободного падения, нет наблюдаемого различия между инерционным движением и движением под действием силы тяжести. Это предполагает определение нового класса инерционного движения, а именно движения объектов в свободном падении под действием силы тяжести. Этот новый класс предпочтительных движений также определяет геометрию пространства и времени — в математических терминах это геодезическое движение, связанное с определенной связью , которая зависит от градиента гравитационного потенциала . Пространство в этой конструкции по-прежнему имеет обычную евклидову геометрию . Однако пространство -время в целом более сложно. Как можно показать с помощью простых мысленных экспериментов, следующих за траекториями свободного падения различных тестовых частиц, результат переноса векторов пространства-времени, которые могут обозначать скорость частицы (временеподобные векторы), будет меняться в зависимости от траектории частицы; математически говоря, ньютоновская связь не интегрируема . Из этого можно сделать вывод, что пространство-время искривлено. Полученная теория Ньютона-Картана представляет собой геометрическую формулировку ньютоновской гравитации, использующую только ковариантные концепции, т. е. описание, которое справедливо в любой желаемой системе координат. [30] В этом геометрическом описании приливные эффекты — относительное ускорение тел при свободном падении — связаны с производной связи, показывающей, как измененная геометрия вызвана наличием массы. [31]
Релятивистское обобщение
Насколько бы интригующей ни была геометрическая ньютоновская гравитация, ее основа, классическая механика, является всего лишь предельным случаем (специальной) релятивистской механики. [32] На языке симметрии : там, где гравитацией можно пренебречь, физика инвариантна Лоренцу, как в специальной теории относительности, а не инвариантна Галилею , как в классической механике. (Определяющей симметрией специальной теории относительности является группа Пуанкаре , которая включает в себя трансляции, вращения, ускорения и отражения.) Различия между ними становятся существенными, когда речь идет о скоростях, приближающихся к скорости света , и о высокоэнергетических явлениях. [33]
С симметрией Лоренца в игру вступают дополнительные структуры. Они определяются набором световых конусов (см. изображение). Световые конусы определяют причинную структуру: для каждого события A существует набор событий, которые могут, в принципе, либо влиять, либо подвергаться влиянию A посредством сигналов или взаимодействий, которые не должны распространяться быстрее света (например, событие B на изображении), и набор событий, для которых такое влияние невозможно (например, событие C на изображении). Эти наборы не зависят от наблюдателя . [34] В сочетании с мировыми линиями свободно падающих частиц световые конусы могут использоваться для реконструкции полуримановой метрики пространства-времени, по крайней мере, до положительного скалярного множителя. В математических терминах это определяет конформную структуру [35] или конформную геометрию.
Специальная теория относительности определяется при отсутствии гравитации. Для практических приложений это подходящая модель, когда гравитацией можно пренебречь. Принимая во внимание гравитацию и предполагая универсальность свободного падения, применимо аналогичное рассуждение, как в предыдущем разделе: не существует глобальных инерциальных систем отсчета . Вместо этого существуют приближенные инерциальные системы отсчета, движущиеся вместе со свободно падающими частицами. В переводе на язык пространства-времени: прямые временные линии, определяющие инерциальную систему без гравитации, деформируются в линии, которые искривляются относительно друг друга, что предполагает, что включение гравитации требует изменения геометрии пространства-времени. [36]
Априори неясно, совпадают ли новые локальные системы отсчета в свободном падении с системами отсчета, в которых действуют законы специальной теории относительности — эта теория основана на распространении света и, следовательно, на электромагнетизме, который может иметь другой набор предпочтительных систем . Но используя различные предположения о системах отсчета специальной теории относительности (например, их фиксацию на Земле или свободное падение), можно вывести различные предсказания для гравитационного красного смещения, то есть способа, которым частота света смещается по мере распространения света через гравитационное поле (см. ниже). Фактические измерения показывают, что свободно падающие системы — это те, в которых свет распространяется так, как это происходит в специальной теории относительности. [37] Обобщение этого утверждения, а именно то, что законы специальной теории относительности придерживаются хорошего приближения в свободно падающих (и не вращающихся) системах отсчета, известно как принцип эквивалентности Эйнштейна , важнейший руководящий принцип для обобщения физики специальной теории относительности для включения гравитации. [38]
Те же экспериментальные данные показывают, что время, измеряемое часами в гравитационном поле — собственное время , если использовать технический термин — не подчиняется правилам специальной теории относительности. На языке геометрии пространства-времени оно не измеряется метрикой Минковского . Как и в ньютоновском случае, это наводит на мысль о более общей геометрии. В малых масштабах все системы отсчета, находящиеся в свободном падении, эквивалентны и приблизительно являются минковскими. Следовательно, теперь мы имеем дело с искривленным обобщением пространства Минковского. Метрический тензор , определяющий геометрию — в частности, способ измерения длин и углов — не является метрикой Минковского специальной теории относительности, это обобщение, известное как полу- или псевдориманова метрика. Более того, каждая риманова метрика естественным образом связана с одним конкретным видом связи, связью Леви-Чивиты , и это, по сути, связь, которая удовлетворяет принципу эквивалентности и делает пространство локально минковскианским (то есть, в подходящих локально инерциальных координатах метрика является минковскианской, а ее первые частные производные и коэффициенты связи равны нулю). [39]
Уравнения Эйнштейна
Сформулировав релятивистскую, геометрическую версию эффектов гравитации, остается вопрос об источнике гравитации. В ньютоновской гравитации источником является масса. В специальной теории относительности масса оказывается частью более общей величины, называемой тензором энергии-импульса , которая включает как плотности энергии и импульса, так и напряжения : давление и сдвиг. [40] Используя принцип эквивалентности, этот тензор легко обобщается на искривленное пространство-время. Проводя далее аналогию с геометрической ньютоновской гравитацией, естественно предположить, что уравнение поля для гравитации связывает этот тензор и тензор Риччи , который описывает особый класс приливных эффектов: изменение объема для небольшого облака пробных частиц, которые изначально находятся в состоянии покоя, а затем свободно падают. В специальной теории относительности сохранение энергии -импульса соответствует утверждению, что тензор энергии-импульса является бездивергентным . Эта формула также легко обобщается на искривленное пространство-время путем замены частных производных их аналогами для искривленного многообразия , ковариантными производными, изучаемыми в дифференциальной геометрии. При этом дополнительном условии — ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса, а следовательно, и всего, что находится на другой стороне уравнения, равна нулю — простейший нетривиальный набор уравнений — это то, что называется уравнениями Эйнштейна (поля):
Уравнения поля Эйнштейна
С левой стороны находится тензор Эйнштейна , , который является симметричным и представляет собой специфическую бездивергентную комбинацию тензора Риччи и метрики. В частности,
С правой стороны, является константой и является тензором энергии-импульса. Все тензоры записаны в абстрактной индексной нотации . [41] Сопоставляя предсказание теории с результатами наблюдений для планетарных орбит или, что эквивалентно, гарантируя, что предел слабой гравитации, низкой скорости является ньютоновской механикой, константа пропорциональности оказывается равной , где является ньютоновской постоянной гравитации и скоростью света в вакууме. [42] Когда нет материи, так что тензор энергии-импульса исчезает, результатом являются вакуумные уравнения Эйнштейна,
В общей теории относительности мировая линия частицы, свободной от всех внешних, негравитационных сил, является особым типом геодезической в искривленном пространстве-времени. Другими словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется вдоль геодезической.
где — скалярный параметр движения (например, собственное время ), а — символы Кристоффеля (иногда называемые коэффициентами аффинной связности или коэффициентами связности Леви-Чивиты ), которые симметричны по двум нижним индексам. Греческие индексы могут принимать значения: 0, 1, 2, 3, а для повторяющихся индексов и используется соглашение о суммировании . Величина в левой части этого уравнения — ускорение частицы, и поэтому это уравнение аналогично законам движения Ньютона , которые также предоставляют формулы для ускорения частицы. Это уравнение движения использует обозначения Эйнштейна , что означает, что повторяющиеся индексы суммируются (т. е. от нуля до трех). Символы Кристоффеля являются функциями четырех пространственно-временных координат и поэтому не зависят от скорости или ускорения или других характеристик пробной частицы , движение которой описывается геодезическим уравнением.
Полная сила в общей теории относительности
В общей теории относительности эффективная гравитационная потенциальная энергия объекта массой m, вращающегося вокруг массивного центрального тела M, определяется выражением [43] [44]
где L — момент импульса . Первый член представляет силу ньютоновской гравитации , которая описывается законом обратных квадратов. Второй член представляет центробежную силу в круговом движении. Третий член представляет релятивистский эффект.
Вывод, изложенный в предыдущем разделе, содержит всю информацию, необходимую для определения общей теории относительности, описания ее основных свойств и решения вопроса, имеющего решающее значение в физике, а именно, как эту теорию можно использовать для построения моделей.
Определение и основные свойства
Общая теория относительности — это метрическая теория гравитации. В ее основе лежат уравнения Эйнштейна , которые описывают связь между геометрией четырехмерного псевдориманова многообразия, представляющего пространство-время, и энергией-импульсом, содержащимся в этом пространстве-времени. [46] Явления, которые в классической механике приписываются действию силы гравитации (такие как свободное падение , орбитальное движение и траектории космических аппаратов ), соответствуют инерционному движению в искривленной геометрии пространства-времени в общей теории относительности; нет никакой гравитационной силы, отклоняющей объекты от их естественных прямых путей. Вместо этого гравитация соответствует изменениям в свойствах пространства и времени, что, в свою очередь, изменяет максимально прямые возможные пути, по которым объекты будут следовать естественным образом. [47] Кривизна, в свою очередь, вызвана энергией-импульсом материи. Перефразируя релятивиста Джона Арчибальда Уиллера , пространство-время говорит материи, как двигаться; материя говорит пространству-времени, как искривляться. [48]
В то время как общая теория относительности заменяет скалярный гравитационный потенциал классической физики симметричным тензором второго ранга , последний сводится к первому в определенных предельных случаях . Для слабых гравитационных полей и медленной скорости относительно скорости света предсказания теории сходятся с предсказаниями закона всемирного тяготения Ньютона. [49]
Поскольку общая теория относительности построена с использованием тензоров, она демонстрирует общую ковариантность : ее законы — и дальнейшие законы, сформулированные в рамках общей теории относительности — принимают одинаковую форму во всех системах координат . [50] Кроме того, теория не содержит никаких инвариантных геометрических фоновых структур, т. е. она не зависит от фона . Таким образом, она удовлетворяет более строгому общему принципу относительности , а именно, что законы физики одинаковы для всех наблюдателей. [51] Локально , как выражено в принципе эквивалентности, пространство-время является минковским , а законы физики демонстрируют локальную лоренц-инвариантность . [52]
Построение модели
Основная концепция построения общерелятивистской модели — это решение уравнений Эйнштейна . Учитывая как уравнения Эйнштейна, так и подходящие уравнения для свойств материи, такое решение состоит из определенного полуриманова многообразия (обычно определяемого путем задания метрики в определенных координатах) и определенных полей материи, определенных на этом многообразии. Материя и геометрия должны удовлетворять уравнениям Эйнштейна, поэтому, в частности, тензор энергии-импульса материи должен быть бездивергентным. Материя, конечно, также должна удовлетворять любым дополнительным уравнениям, наложенным на ее свойства. Короче говоря, такое решение является модельной вселенной, которая удовлетворяет законам общей теории относительности и, возможно, дополнительным законам, управляющим любой материей, которая может присутствовать. [53]
Уравнения Эйнштейна являются нелинейными уравнениями в частных производных и, как таковые, их трудно решить точно. [54] Тем не менее, известно несколько точных решений , хотя только некоторые из них имеют прямые физические приложения. [55] Наиболее известными точными решениями, а также наиболее интересными с точки зрения физики, являются решение Шварцшильда , решение Рейсснера–Нордстрема и метрика Керра , каждое из которых соответствует определенному типу черной дыры в пустой вселенной, [56] и вселенные Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера и де Ситтера , каждое из которых описывает расширяющийся космос. [57] Точные решения, представляющие большой теоретический интерес, включают в себя вселенную Гёделя (которая открывает интригующую возможность путешествий во времени в искривленном пространстве-времени), решение Тауба–NUT (модель вселенной, которая является однородной , но анизотропной ) и анти-де Ситтера (которое недавно стало известным в контексте того, что называется гипотезой Малдасены ). [58]
Учитывая сложность нахождения точных решений, уравнения поля Эйнштейна также часто решаются с помощью численного интегрирования на компьютере или путем рассмотрения малых возмущений точных решений. В области численной теории относительности мощные компьютеры используются для моделирования геометрии пространства-времени и решения уравнений Эйнштейна для интересных ситуаций, таких как столкновение двух черных дыр. [59] В принципе, такие методы могут быть применены к любой системе при наличии достаточных компьютерных ресурсов и могут решать фундаментальные вопросы, такие как голые сингулярности . Приближенные решения также могут быть найдены с помощью теорий возмущений, таких как линеаризованная гравитация [60] и ее обобщение, постньютоновское расширение , обе из которых были разработаны Эйнштейном. Последнее обеспечивает систематический подход к решению для геометрии пространства-времени, которое содержит распределение материи, движущейся медленно по сравнению со скоростью света. Расширение включает ряд членов; первые члены представляют ньютоновскую гравитацию, тогда как последующие члены представляют все меньшие поправки к теории Ньютона из-за общей теории относительности. [61] Расширением этого расширения является параметризованный постньютоновский (ППН) формализм, который позволяет проводить количественные сравнения между предсказаниями общей теории относительности и альтернативными теориями. [62]
Следствия теории Эйнштейна
Общая теория относительности имеет ряд физических следствий. Некоторые из них вытекают непосредственно из аксиом теории, тогда как другие стали ясны только в ходе многолетних исследований, последовавших за первой публикацией Эйнштейна.
Гравитационное замедление времени и сдвиг частоты
Если предположить, что принцип эквивалентности выполняется, [63] гравитация влияет на ход времени. Свет, посланный вниз в гравитационную яму, смещается в синюю сторону , тогда как свет, посланный в противоположном направлении (т. е. выходящий из гравитационной ямы) , смещается в красную сторону ; вместе эти два эффекта известны как гравитационный сдвиг частоты. В более общем смысле, процессы, происходящие вблизи массивного тела, протекают медленнее по сравнению с процессами, происходящими дальше; этот эффект известен как гравитационное замедление времени. [64]
Гравитационное красное смещение было измерено в лабораторных условиях [65] и с использованием астрономических наблюдений. [66] Гравитационное замедление времени в гравитационном поле Земли было измерено много раз с использованием атомных часов , [67] в то время как текущая проверка предоставляется как побочный эффект работы Глобальной системы позиционирования (GPS). [68] Тесты в более сильных гравитационных полях предоставляются путем наблюдения за двойными пульсарами . [69] Все результаты согласуются с общей теорией относительности. [70] Однако на текущем уровне точности эти наблюдения не могут отличить общую теорию относительности от других теорий, в которых принцип эквивалентности действителен. [71]
Отклонение света и гравитационная задержка времени
Общая теория относительности предсказывает, что путь света будет следовать кривизне пространства-времени, когда он проходит вблизи звезды. Этот эффект был первоначально подтвержден наблюдением за тем, как свет звезд или далеких квазаров отклоняется, когда он проходит мимо Солнца . [ 72]
Это и связанные с этим предсказания вытекают из того факта, что свет следует так называемой светоподобной или нулевой геодезической — обобщением прямых линий, по которым свет распространяется в классической физике. Такие геодезические являются обобщением инвариантности скорости света в специальной теории относительности. [73] При рассмотрении подходящих модельных пространств-времен (либо внешнего решения Шварцшильда, либо, для более чем одной массы, постньютоновского расширения) [74] возникают несколько эффектов гравитации на распространение света. Хотя изгиб света также может быть выведен путем распространения универсальности свободного падения на свет, [75] угол отклонения, полученный в результате таких вычислений, составляет лишь половину значения, заданного общей теорией относительности. [76]
Тесно связана с отклонением света задержка Шапиро, явление, при котором световые сигналы тратят больше времени на перемещение через гравитационное поле, чем при отсутствии этого поля. Было проведено множество успешных проверок этого предсказания. [77] В параметризованном постньютоновском формализме (PPN) измерения как отклонения света, так и гравитационной задержки времени определяют параметр, называемый γ, который кодирует влияние гравитации на геометрию пространства. [78]
Гравитационные волны
Предсказанные в 1916 году [79] [80] Альбертом Эйнштейном, существуют гравитационные волны: рябь в метрике пространства-времени, которая распространяется со скоростью света. Это одна из нескольких аналогий между слабым полем гравитации и электромагнетизмом в том, что они аналогичны электромагнитным волнам . 11 февраля 2016 года команда Advanced LIGO объявила, что они напрямую обнаружили гравитационные волны от пары сливающихся черных дыр . [81] [82] [83]
Простейший тип такой волны можно визуализировать по ее воздействию на кольцо свободно плавающих частиц. Синусоидальная волна, распространяющаяся через такое кольцо к читателю, искажает кольцо характерным ритмичным образом (анимированное изображение справа). [84] Поскольку уравнения Эйнштейна нелинейны , произвольно сильные гравитационные волны не подчиняются линейной суперпозиции , что затрудняет их описание. Однако линейные аппроксимации гравитационных волн достаточно точны для описания чрезвычайно слабых волн, которые, как ожидается, прибудут сюда, на Землю, от далеких космических событий, которые обычно приводят к увеличению и уменьшению относительных расстояний на или меньше. Методы анализа данных обычно используют тот факт, что эти линеаризованные волны могут быть разложены в ряд Фурье . [85]
Некоторые точные решения описывают гравитационные волны без каких-либо приближений, например, волновой поезд, движущийся через пустое пространство [86] или вселенные Гоуди , разновидности расширяющегося космоса, заполненного гравитационными волнами. [87] Но для гравитационных волн, возникающих в астрофизически значимых ситуациях, таких как слияние двух черных дыр, численные методы в настоящее время являются единственным способом построения соответствующих моделей. [88]
Орбитальные эффекты и относительность направления
Общая теория относительности отличается от классической механики рядом предсказаний, касающихся вращающихся тел. Она предсказывает общее вращение ( прецессию ) планетарных орбит, а также орбитальный распад, вызванный излучением гравитационных волн и эффектами, связанными с относительностью направления.
Прецессия апсид
В общей теории относительности апсид любой орбиты (точка наибольшего приближения вращающегося тела к центру масс системы ) будет прецессировать ; орбита не является эллипсом , но похожа на эллипс, который вращается вокруг своего фокуса, что приводит к форме, похожей на розу (см. изображение). Эйнштейн впервые вывел этот результат, используя приближенную метрику, представляющую предел Ньютона, и рассматривая вращающееся тело как пробную частицу . Для него тот факт, что его теория давала прямое объяснение аномальному смещению перигелия Меркурия, обнаруженному ранее Урбеном Леверье в 1859 году, был важным доказательством того, что он наконец-то определил правильную форму уравнений гравитационного поля. [89]
Эффект также может быть получен с использованием либо точной метрики Шварцшильда (описывающей пространство-время вокруг сферической массы) [90] , либо гораздо более общего постньютоновского формализма . [91] Он обусловлен влиянием гравитации на геометрию пространства и вкладом собственной энергии в гравитацию тела (закодированную в нелинейности уравнений Эйнштейна). [92] Релятивистская прецессия наблюдалась для всех планет, которые допускают точные измерения прецессии (Меркурий, Венера и Земля), [93] , а также в двойных пульсарных системах, где она больше на пять порядков величины . [94]
В общей теории относительности смещение перигелия , выраженное в радианах за оборот, приблизительно определяется выражением [95]
Согласно общей теории относительности, двойная система будет излучать гравитационные волны, тем самым теряя энергию. Из-за этой потери расстояние между двумя вращающимися телами уменьшается, а также уменьшается их орбитальный период. В пределах Солнечной системы или для обычных двойных звезд эффект слишком мал, чтобы его можно было наблюдать. Это не относится к тесному двойному пульсару, системе из двух вращающихся нейтронных звезд , одна из которых является пульсаром : от пульсара наблюдатели на Земле получают регулярную серию радиоимпульсов, которые могут служить высокоточными часами, что позволяет точно измерять орбитальный период. Поскольку нейтронные звезды чрезвычайно компактны, значительные количества энергии излучаются в виде гравитационного излучения. [97]
Первое наблюдение уменьшения орбитального периода из-за излучения гравитационных волн было сделано Халсом и Тейлором с использованием двойного пульсара PSR1913+16, который они открыли в 1974 году. Это было первое обнаружение гравитационных волн, хотя и косвенное, за которое они были удостоены Нобелевской премии по физике 1993 года. [98] С тех пор было обнаружено несколько других двойных пульсаров, в частности двойной пульсар PSR J0737−3039 , где обе звезды являются пульсарами [99] и который, как последний раз сообщалось, также согласуется с общей теорией относительности в 2021 году после 16 лет наблюдений. [96]
Геодезическая прецессия и перетаскивание кадров
Несколько релятивистских эффектов напрямую связаны с относительностью направления. [100] Одним из них является геодезическая прецессия : направление оси гироскопа , находящегося в свободном падении в искривленном пространстве-времени, изменится при сравнении, например, с направлением света, полученного от далеких звезд, — даже если такой гироскоп представляет собой способ поддержания направления как можно более стабильным (« параллельный перенос »). [101] Для системы Луна-Земля этот эффект был измерен с помощью лазерной локации Луны . [102] Совсем недавно он был измерен для тестовых масс на борту спутника Gravity Probe B с точностью лучше 0,3%. [103] [104]
Вблизи вращающейся массы существуют гравитомагнитные эффекты или эффекты увлечения кадра . Удаленный наблюдатель определит, что объекты, близкие к массе, «увлекаются». Это наиболее экстремально для вращающихся черных дыр , где для любого объекта, входящего в зону, известную как эргосфера , вращение неизбежно. [105] Такие эффекты снова можно проверить через их влияние на ориентацию гироскопов в свободном падении. [106] Несколько спорные тесты были проведены с использованием спутников LAGEOS , подтвердивших релятивистское предсказание. [107] Также использовался зонд Mars Global Surveyor вокруг Марса. [108]
Астрофизические приложения
Гравитационное линзирование
Отклонение света под действием гравитации является причиной нового класса астрономических явлений. Если массивный объект находится между астрономом и удаленным целевым объектом с соответствующей массой и относительными расстояниями, астроном увидит несколько искаженных изображений цели. Такие эффекты известны как гравитационное линзирование. [109] В зависимости от конфигурации, масштаба и распределения массы может быть два или более изображений, яркое кольцо, известное как кольцо Эйнштейна , или частичные кольца, называемые дугами. [110]
Самый ранний пример был обнаружен в 1979 году; [111] с тех пор было обнаружено более сотни гравитационных линз. [112] Даже если несколько изображений находятся слишком близко друг к другу, чтобы их можно было разрешить, эффект все равно можно измерить, например, как общее увеличение яркости целевого объекта; было замечено несколько таких « событий микролинзирования ». [113]
Гравитационное линзирование превратилось в инструмент наблюдательной астрономии . Оно используется для обнаружения присутствия и распределения темной материи , обеспечивает «естественный телескоп» для наблюдения за далекими галактиками и получения независимой оценки постоянной Хаббла . Статистические оценки данных линзирования дают ценную информацию о структурной эволюции галактик . [114]
Гравитационно-волновая астрономия
Наблюдения за двойными пульсарами дают весомые косвенные доказательства существования гравитационных волн (см. Орбитальный распад выше). Обнаружение этих волн является основной целью современных исследований, связанных с теорией относительности. [115] В настоящее время работают несколько наземных детекторов гравитационных волн , в частности, интерферометрические детекторы GEO 600 , LIGO (два детектора), TAMA 300 и VIRGO . [116] Различные массивы пульсарной синхронизации используют миллисекундные пульсары для обнаружения гравитационных волн в диапазоне частот от 10−9 до 10−6 герц , которые исходят от двойных сверхмассивных черных дыр. [117] Европейский космический детектор eLISA / NGO в настоящее время находится в стадии разработки, [118] а предшествующая миссия ( LISA Pathfinder ) была запущена в декабре 2015 года. [119]
Наблюдения за гравитационными волнами обещают дополнить наблюдения в электромагнитном спектре . [120] Ожидается, что они дадут информацию о черных дырах и других плотных объектах, таких как нейтронные звезды и белые карлики, об определенных видах взрывов сверхновых и о процессах в очень ранней Вселенной, включая сигнатуру определенных типов гипотетических космических струн . [121] В феврале 2016 года команда Advanced LIGO объявила, что они обнаружили гравитационные волны от слияния черных дыр. [81] [82] [83]
Черные дыры и другие компактные объекты
Всякий раз, когда отношение массы объекта к его радиусу становится достаточно большим, общая теория относительности предсказывает образование черной дыры, области пространства, из которой ничто, даже свет, не может вырваться. В принятых в настоящее время моделях звездной эволюции нейтронные звезды массой около 1,4 солнечных и звездные черные дыры массой от нескольких до нескольких десятков солнечных считаются конечным состоянием эволюции массивных звезд. [122] Обычно в центре галактики находится одна сверхмассивная черная дыра массой от нескольких миллионов до нескольких миллиардов солнечных масс, [123] и ее присутствие, как полагают, сыграло важную роль в формировании галактики и более крупных космических структур. [124]
С астрономической точки зрения, наиболее важным свойством компактных объектов является то, что они обеспечивают чрезвычайно эффективный механизм для преобразования гравитационной энергии в электромагнитное излучение. [125] Аккреция , падение пыли или газообразной материи на звездные или сверхмассивные черные дыры, как полагают, ответственна за некоторые впечатляюще яркие астрономические объекты, в частности, разнообразные виды активных галактических ядер в галактических масштабах и объекты звездного размера, такие как микроквазары. [126] В частности, аккреция может привести к релятивистским струям , сфокусированным пучкам высокоэнергетических частиц, которые выбрасываются в космос почти со скоростью света. [127]
Общая теория относительности играет центральную роль в моделировании всех этих явлений, [128] и наблюдения предоставляют убедительные доказательства существования черных дыр со свойствами, предсказанными теорией. [129]
Черные дыры также являются желанными целями в поиске гравитационных волн (ср. Гравитационные волны, выше). Слияние двойных черных дыр должно привести к некоторым из самых сильных сигналов гравитационных волн, достигающих детекторов здесь, на Земле, и фаза непосредственно перед слиянием («чирп») может быть использована как « стандартная свеча » для определения расстояния до событий слияния и, следовательно, служить зондом космического расширения на больших расстояниях. [130] Гравитационные волны, создаваемые при погружении звездной черной дыры в сверхмассивную, должны предоставлять прямую информацию о геометрии сверхмассивной черной дыры. [131]
Космология
Современные модели космологии основаны на уравнениях поля Эйнштейна , которые включают космологическую постоянную, поскольку она оказывает важное влияние на крупномасштабную динамику космоса,
где — метрика пространства-времени. [132] Изотропные и однородные решения этих расширенных уравнений, решения Фридмана–Лемэтра–Робертсона–Уокера , [133] позволяют физикам моделировать вселенную, которая развивалась в течение последних 14 миллиардов лет из горячей ранней фазы Большого взрыва. [134] Как только небольшое количество параметров (например, средняя плотность материи вселенной) зафиксировано астрономическими наблюдениями, [135] можно использовать дополнительные данные наблюдений для проверки моделей. [136] Прогнозы, все успешные, включают начальное обилие химических элементов, образованных в период первичного нуклеосинтеза , [137] крупномасштабную структуру вселенной, [138] и существование и свойства « теплового эха» из раннего космоса, космического фонового излучения . [139]
Астрономические наблюдения за скоростью космологического расширения позволяют оценить общее количество материи во Вселенной, хотя природа этой материи отчасти остается загадочной. Около 90% всей материи, по-видимому, является темной материей, которая имеет массу (или, что эквивалентно, гравитационное влияние), но не взаимодействует электромагнитно и, следовательно, не может наблюдаться напрямую. [140] Не существует общепринятого описания этого нового вида материи в рамках известной физики элементарных частиц [141] или иным образом. [142] Наблюдательные данные из обзоров красного смещения далеких сверхновых и измерений космического фонового излучения также показывают, что эволюция нашей Вселенной существенно зависит от космологической постоянной, приводящей к ускорению космического расширения или, что эквивалентно, от формы энергии с необычным уравнением состояния , известной как темная энергия , природа которой остается неясной. [143]
Инфляционная фаза [144] дополнительная фаза сильно ускоренного расширения за космическое время около 10 −33 секунд была выдвинута в 1980 году для объяснения нескольких загадочных наблюдений, которые не были объяснены классическими космологическими моделями, такими как почти идеальная однородность космического фонового излучения. [145] Недавние измерения космического фонового излучения привели к первым доказательствам этого сценария. [146] Однако существует ошеломляющее разнообразие возможных инфляционных сценариев, которые не могут быть ограничены текущими наблюдениями. [147] Еще более масштабный вопрос — это физика самой ранней Вселенной, до инфляционной фазы и близко к тому месту, где классические модели предсказывают сингулярность Большого взрыва . Авторитетный ответ потребовал бы полной теории квантовой гравитации, которая еще не разработана [148] (см. раздел о квантовой гравитации ниже).
Экзотические решения: путешествия во времени, варп-двигатели
Курт Гёдель показал [149] , что существуют решения уравнений Эйнштейна, содержащие замкнутые времениподобные кривые (ЗВК), которые допускают петли во времени. Решения требуют экстремальных физических условий, которые вряд ли когда-либо возникнут на практике, и остается открытым вопрос, устранят ли их полностью дальнейшие законы физики. С тех пор были найдены другие — столь же непрактичные — решения ОТО, содержащие ЗВК, такие как цилиндр Типлера и проходимые червоточины . Стивен Хокинг ввел гипотезу о защите хронологии , которая является предположением, выходящим за рамки стандартной общей теории относительности, для предотвращения путешествий во времени .
Группа симметрии пространства-времени для специальной теории относительности — это группа Пуанкаре , которая является десятимерной группой из трех лоренцевских бустов, трех вращений и четырех пространственно-временных трансляций. Логично спросить, какие симметрии, если таковые имеются, могут применяться в общей теории относительности. Поддающимся решению случаем может быть рассмотрение симметрий пространства-времени, как их видят наблюдатели, находящиеся далеко от всех источников гравитационного поля. Наивное ожидание асимптотически плоских симметрий пространства-времени может заключаться в простом расширении и воспроизведении симметрий плоского пространства-времени специальной теории относительности, а именно группы Пуанкаре.
В 1962 году Герман Бонди , М. Г. ван дер Бург, А. В. Метцнер [151] и Райнер К. Сакс [152] обратились к этой проблеме асимптотической симметрии , чтобы исследовать поток энергии на бесконечности из-за распространяющихся гравитационных волн . Их первым шагом было принятие решения о некоторых физически разумных граничных условиях, которые можно было бы наложить на гравитационное поле на светоподобной бесконечности, чтобы охарактеризовать, что значит сказать, что метрика является асимптотически плоской, не делая никаких априорных предположений о природе группы асимптотической симметрии — даже предположения о том, что такая группа существует. Затем, после разработки того, что они считали наиболее разумными граничными условиями, они исследовали природу результирующих преобразований асимптотической симметрии, которые оставляют инвариантной форму граничных условий, соответствующих асимптотически плоским гравитационным полям. Они обнаружили, что асимптотические преобразования симметрии на самом деле образуют группу, и структура этой группы не зависит от конкретного гравитационного поля, которое случайно присутствует. Это означает, что, как и ожидалось, можно отделить кинематику пространства-времени от динамики гравитационного поля, по крайней мере, на пространственной бесконечности. Озадачивающим сюрпризом в 1962 году стало их открытие богатой бесконечномерной группы (так называемой группы BMS) в качестве асимптотической группы симметрии вместо конечномерной группы Пуанкаре, которая является подгруппой группы BMS. Преобразования Лоренца являются не только асимптотическими преобразованиями симметрии, но существуют также дополнительные преобразования, которые не являются преобразованиями Лоренца, но являются асимптотическими преобразованиями симметрии. Фактически, они обнаружили дополнительную бесконечность генераторов преобразований, известных как супертрансляции . Это подразумевает вывод о том, что общая теория относительности (ОТО) не сводится к специальной теории относительности в случае слабых полей на больших расстояниях. Оказывается, что симметрия БМС, соответствующим образом модифицированная, может рассматриваться как переформулировка универсальной теоремы о мягком гравитоне в квантовой теории поля (КТП), которая связывает универсальную инфракрасную (мягкую) КТП с асимптотическими симметриями пространства-времени ОТО. [153]
Причинно-следственная структура и глобальная геометрия
В общей теории относительности ни одно материальное тело не может догнать или перегнать световой импульс. Никакое влияние от события A не может достичь любого другого места X до того, как свет будет послан из A в X. В результате исследование всех световых мировых линий ( нулевых геодезических ) дает ключевую информацию о причинной структуре пространства-времени. Эту структуру можно отобразить с помощью диаграмм Пенроуза-Картера , в которых бесконечно большие области пространства и бесконечные временные интервалы сжимаются (« компактифицируются ») так, чтобы поместиться на конечной карте, в то время как свет по-прежнему движется по диагоналям, как в стандартных диаграммах пространства-времени . [154]
Осознавая важность причинной структуры, Роджер Пенроуз и другие разработали то, что известно как глобальная геометрия . В глобальной геометрии объектом изучения является не одно конкретное решение (или семейство решений) уравнений Эйнштейна. Скорее, для получения общих результатов используются соотношения, которые справедливы для всех геодезических, такие как уравнение Райчаудхури , и дополнительные неспецифические предположения о природе материи (обычно в форме энергетических условий ). [155]
Горизонты
Используя глобальную геометрию, можно показать, что некоторые пространства-времена содержат границы, называемые горизонтами , которые разграничивают одну область от остального пространства-времени. Наиболее известными примерами являются черные дыры: если масса сжимается в достаточно компактную область пространства (как указано в гипотезе обруча , соответствующая шкала длины — радиус Шварцшильда [156] ), никакой свет изнутри не может вырваться наружу. Поскольку ни один объект не может обогнать световой импульс, вся внутренняя материя также оказывается в заточении. Переход из внешнего пространства во внутреннее все еще возможен, показывая, что граница, горизонт черной дыры , не является физическим барьером. [157]
Ранние исследования черных дыр опирались на явные решения уравнений Эйнштейна, в частности, на сферически симметричное решение Шварцшильда (используемое для описания статической черной дыры) и осесимметричное решение Керра (используемое для описания вращающейся, стационарной черной дыры и введения интересных особенностей, таких как эргосфера). Используя глобальную геометрию, более поздние исследования выявили более общие свойства черных дыр. Со временем они становятся довольно простыми объектами, характеризующимися одиннадцатью параметрами, определяющими: электрический заряд, массу-энергию, линейный импульс , угловой момент и местоположение в определенное время. Это утверждается теоремой об уникальности черных дыр : «у черных дыр нет волос», то есть нет отличительных признаков, таких как прически людей. Независимо от сложности гравитирующего объекта, коллапсирующего с образованием черной дыры, объект, который получается (испускающий гравитационные волны), очень прост. [158]
Еще более примечательно, что существует общий набор законов, известный как механика черных дыр , который аналогичен законам термодинамики . Например, по второму закону механики черных дыр, площадь горизонта событий общей черной дыры никогда не будет уменьшаться со временем, аналогично энтропии термодинамической системы. Это ограничивает энергию, которая может быть извлечена классическими средствами из вращающейся черной дыры (например, с помощью процесса Пенроуза ). [159] Существуют веские доказательства того, что законы механики черных дыр, по сути, являются подмножеством законов термодинамики, и что площадь черной дыры пропорциональна ее энтропии. [160] Это приводит к модификации исходных законов механики черных дыр: например, поскольку второй закон механики черных дыр становится частью второго закона термодинамики, возможно уменьшение площади черной дыры до тех пор, пока другие процессы обеспечивают общее увеличение энтропии. Как термодинамические объекты с ненулевой температурой, черные дыры должны испускать тепловое излучение . Полуклассические расчеты показывают, что это действительно так, причем поверхностная гравитация играет роль температуры в законе Планка . Это излучение известно как излучение Хокинга (см. раздел квантовой теории ниже). [161]
Существует много других типов горизонтов. В расширяющейся Вселенной наблюдатель может обнаружить, что некоторые регионы прошлого не могут быть замечены (« горизонт частиц »), а некоторые регионы будущего не могут быть затронуты (горизонт событий). [162] Даже в плоском пространстве Минковского, описываемом ускоренным наблюдателем ( пространство Риндлера ), будут горизонты, связанные с полуклассическим излучением, известным как излучение Унру . [163]
Сингулярности
Другой общей чертой общей теории относительности является появление границ пространства-времени, известных как сингулярности. Пространство-время можно исследовать, следуя времениподобным и светоподобным геодезическим — всем возможным путям, по которым могут перемещаться свет и частицы в свободном падении. Но некоторые решения уравнений Эйнштейна имеют «рваные края» — области, известные как сингулярности пространства-времени , где пути света и падающих частиц резко обрываются, и геометрия становится плохо определенной. В более интересных случаях это «сингулярности кривизны», где геометрические величины, характеризующие кривизну пространства-времени, такие как скаляр Риччи , принимают бесконечные значения. [164] Хорошо известными примерами пространства-времени с будущими сингулярностями — где заканчиваются мировые линии — являются решение Шварцшильда, которое описывает сингулярность внутри вечной статической черной дыры, [165] или решение Керра с его кольцеобразной сингулярностью внутри вечно вращающейся черной дыры. [166] Решения Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера и другие пространственно-временные решения, описывающие вселенные, имеют прошлые сингулярности, на которых начинаются мировые линии, а именно сингулярности Большого взрыва, а некоторые также имеют будущие сингулярности ( Большое сжатие ). [167]
Учитывая, что все эти примеры высоко симметричны — и, таким образом, упрощены — возникает соблазн заключить, что возникновение сингулярностей является артефактом идеализации. [168] Знаменитые теоремы о сингулярностях , доказанные с использованием методов глобальной геометрии, говорят об обратном: сингулярности являются общей чертой общей теории относительности и неизбежны, как только коллапс объекта с реалистичными свойствами материи вышел за пределы определенной стадии [169], а также в начале широкого класса расширяющихся вселенных. [170] Однако теоремы мало говорят о свойствах сингулярностей, и большая часть текущих исследований посвящена характеристике общей структуры этих сущностей (предполагаемой, например, гипотезой БКЛ ) . [171] Гипотеза космической цензуры утверждает, что все реалистичные будущие сингулярности (без идеальной симметрии, материя с реалистичными свойствами) надежно спрятаны за горизонтом и, таким образом, невидимы для всех удаленных наблюдателей. Хотя формального доказательства пока не существует, численное моделирование предоставляет подтверждающие доказательства ее обоснованности. [172]
Уравнения эволюции
Каждое решение уравнения Эйнштейна охватывает всю историю вселенной — это не просто некий снимок того, как обстоят дела, а целое, возможно, заполненное материей, пространство-время. Оно описывает состояние материи и геометрии везде и в каждый момент в этой конкретной вселенной. Из-за своей общей ковариантности теория Эйнштейна сама по себе недостаточна для определения временной эволюции метрического тензора. Она должна быть объединена с координатным условием , которое аналогично фиксации калибровки в других теориях поля. [173]
Чтобы понять уравнения Эйнштейна как уравнения в частных производных, полезно сформулировать их таким образом, чтобы описать эволюцию Вселенной с течением времени. Это делается в формулировках «3+1», где пространство-время разделено на три пространственных измерения и одно временное измерение. Наиболее известным примером является формализм ADM . [174] Эти разложения показывают, что уравнения эволюции пространства-времени общей теории относительности ведут себя хорошо: решения всегда существуют и однозначно определены, как только были указаны подходящие начальные условия. [175] Такие формулировки уравнений поля Эйнштейна являются основой численной теории относительности. [176]
Глобальные и квазилокальные величины
Понятие уравнений эволюции тесно связано с другим аспектом общей релятивистской физики. В теории Эйнштейна оказывается невозможным найти общее определение для, казалось бы, простого свойства, такого как общая масса (или энергия) системы. Основная причина в том, что гравитационному полю — как и любому физическому полю — необходимо приписать определенную энергию, но локализовать эту энергию оказывается принципиально невозможно. [177]
Тем не менее, существуют возможности определить общую массу системы, используя гипотетического «бесконечно удаленного наблюдателя» ( массу ADM ) [178] или подходящие симметрии ( массу Комара ). [179] Если исключить из общей массы системы энергию, уносимую в бесконечность гравитационными волнами, результатом будет масса Бонди на нулевой бесконечности. [180] Так же, как и в классической физике , можно показать, что эти массы положительны. [181] Соответствующие глобальные определения существуют для импульса и углового момента. [182] Также было предпринято несколько попыток определить квазилокальные величины, такие как масса изолированной системы, сформулированная с использованием только величин, определенных в конечной области пространства, содержащей эту систему. Надежда состоит в том, чтобы получить величину, полезную для общих утверждений об изолированных системах , таких как более точная формулировка гипотезы обруча. [183]
Связь с квантовой теорией
Если бы общая теория относительности считалась одним из двух столпов современной физики, то квантовая теория, основа понимания материи от элементарных частиц до физики твердого тела , была бы другим. [184] Однако вопрос о том, как примирить квантовую теорию с общей теорией относительности, все еще остается открытым.
Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени
Обычные квантовые теории поля , которые составляют основу современной физики элементарных частиц, определяются в плоском пространстве Минковского, которое является превосходным приближением, когда дело доходит до описания поведения микроскопических частиц в слабых гравитационных полях, подобных тем, что обнаружены на Земле. [185] Для того чтобы описать ситуации, в которых гравитация достаточно сильна, чтобы влиять на (квантовую) материю, но недостаточно сильна, чтобы требовать квантования, физики сформулировали квантовые теории поля в искривленном пространстве-времени. Эти теории опираются на общую теорию относительности для описания искривленного фонового пространства-времени и определяют обобщенную квантовую теорию поля для описания поведения квантовой материи в этом пространстве-времени. [186] Используя этот формализм, можно показать, что черные дыры испускают спектр частиц черного тела, известный как излучение Хокинга, что приводит к возможности их испарения с течением времени. [187] Как кратко упоминалось выше, это излучение играет важную роль в термодинамике черных дыр. [188]
Квантовая гравитация
Требование согласованности между квантовым описанием материи и геометрическим описанием пространства-времени [189] , а также появление сингулярностей (где масштабы длины кривизны становятся микроскопическими) указывают на необходимость полной теории квантовой гравитации: для адекватного описания внутренностей черных дыр и очень ранней Вселенной требуется теория, в которой гравитация и связанная с ней геометрия пространства-времени описываются на языке квантовой физики. [190] Несмотря на значительные усилия, в настоящее время не известно ни одной полной и согласованной теории квантовой гравитации, хотя существует ряд многообещающих кандидатов. [191] [192]
Попытки обобщить обычные квантовые теории поля, используемые в физике элементарных частиц для описания фундаментальных взаимодействий, с тем, чтобы включить гравитацию, привели к серьезным проблемам. [193] Некоторые утверждают, что при низких энергиях этот подход оказывается успешным, поскольку он приводит к приемлемой эффективной (квантовой) полевой теории гравитации. [194] Однако при очень высоких энергиях пертурбативные результаты сильно расходятся и приводят к моделям, лишенным предсказательной силы («пертурбативная неперенормируемость »). [195]
Одной из попыток преодолеть эти ограничения является теория струн , квантовая теория не точечных частиц , а мельчайших одномерных протяженных объектов. [196] Теория обещает быть единым описанием всех частиц и взаимодействий, включая гравитацию; [197] цена, которую приходится платить, — необычные особенности, такие как шесть дополнительных измерений пространства в дополнение к обычным трем. [198] В том, что называется второй революцией суперструн , было высказано предположение, что как теория струн, так и объединение общей теории относительности и суперсимметрии, известное как супергравитация [199], образуют часть гипотетической одиннадцатимерной модели, известной как М-теория , которая будет представлять собой однозначно определенную и непротиворечивую теорию квантовой гравитации. [200]
Другой подход начинается с канонических процедур квантования квантовой теории. Используя начальную формулировку общей теории относительности (ср. уравнения эволюции выше), результатом является уравнение Уиллера–деВитта (аналог уравнения Шредингера ), которое, к сожалению, оказывается плохо определенным без надлежащего ультрафиолетового (решеточного) обрезания. [201] Однако с введением того, что теперь известно как переменные Аштекара , [202] это приводит к многообещающей модели, известной как петлевая квантовая гравитация . Пространство представлено паутинообразной структурой, называемой спиновой сетью , развивающейся со временем дискретными шагами. [203]
В зависимости от того, какие особенности общей теории относительности и квантовой теории принимаются неизменными, и на каком уровне вносятся изменения, [204] существует множество других попыток прийти к жизнеспособной теории квантовой гравитации, некоторыми примерами являются решеточная теория гравитации, основанная на подходе интеграла по траекториям Фейнмана и исчислении Редже , [191] динамические триангуляции , [205] причинные множества , [206] твисторные модели [207] или модели квантовой космологии , основанные на интеграле по траекториям . [208]
Все теории-кандидаты все еще имеют серьезные формальные и концептуальные проблемы, которые необходимо преодолеть. Они также сталкиваются с общей проблемой, что пока нет способа подвергнуть предсказания квантовой гравитации экспериментальным проверкам (и, таким образом, выбрать между кандидатами, где их предсказания различаются), хотя есть надежда, что это изменится, поскольку будущие данные космологических наблюдений и экспериментов по физике частиц станут доступными. [209]
Текущий статус
Общая теория относительности возникла как весьма успешная модель гравитации и космологии, которая до сих пор прошла множество однозначных наблюдательных и экспериментальных проверок. Однако есть веские основания полагать, что эта теория неполна. [210] Проблема квантовой гравитации и вопрос о реальности сингулярностей пространства-времени остаются открытыми. [211] Данные наблюдений, которые принимаются в качестве доказательства темной энергии и темной материи, могут указывать на необходимость новой физики. [212]
Даже взятая как есть, общая теория относительности богата возможностями для дальнейшего исследования. Математические релятивисты стремятся понять природу сингулярностей и фундаментальные свойства уравнений Эйнштейна, [213] в то время как числовые релятивисты запускают все более мощные компьютерные моделирования (например, те, которые описывают слияние черных дыр). [214] В феврале 2016 года было объявлено, что существование гравитационных волн было напрямую обнаружено командой Advanced LIGO 14 сентября 2015 года. [83] [215] [216] Спустя столетие после своего появления общая теория относительности остается весьма активной областью исследований. [217]
Смотрите также
Двигатель Алькубьерре – Гипотетическая сверхсветовая транспортировка с помощью искривления пространства (варп-двигатель)
^ "GW150914: LIGO обнаруживает гравитационные волны". Black-holes.org . Получено 18 апреля 2016 г. .
^ Ландау и Лифшиц 1975, стр. 228 «... общая теория относительности ... была создана Эйнштейном и представляет собой, вероятно, самую красивую из всех существующих физических теорий».
^ Пуанкаре 1905
^ О'Коннор, Дж. Дж.; Робертсон, Э. Ф. (май 1996 г.). «Общая теория относительности». Темы истории: Индекс математической физики, Шотландия: Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс , архивировано из оригинала 4 февраля 2015 г. , извлечено 4 февраля 2015 г.
^ Pais 1982, гл. 9–15, Janssen 2005; актуальная коллекция текущих исследований, включая перепечатки многих оригинальных статей, — Renn 2007; доступный обзор можно найти в Renn 2005, стр. 110 и далее. Оригинальные статьи Эйнштейна можно найти в Digital Einstein, тома 4 и 6. Ранняя ключевая статья — Einstein 1907, см. Pais 1982, гл. 9. Публикация, в которой представлены уравнения поля, — Einstein 1915, см. Pais 1982, гл. 11–15
^ Моше Кармели (2008). Относительность: Современные крупномасштабные структуры космоса. стр. 92, 93. World Scientific Publishing
^ Гроссманн по математической части и Эйнштейн по физической части (1913). Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation (Очерк обобщенной теории относительности и теории гравитации), Zeitschrift für Mathematik und Physik, 62, 225–261. английский перевод
^ Schwarzschild 1916a, Schwarzschild 1916b и Reissner 1916 (позже дополнено в Nordström 1918)
↑ Эйнштейн 1917, ср. Pais 1982, гл. 15e
↑ Оригинальная статья Хаббла — Hubble 1929; доступный обзор дан в Singh 2004, гл. 2–4.
^ Как сообщалось в Gamow 1970. Осуждение Эйнштейна оказалось преждевременным, см. раздел Космология ниже.
↑ Паис 1982, стр. 253–254.
^ Кеннефик 2005, Кеннефик 2007
^ Паис 1982, гл. 16
^ Торн 2003, стр. 74
↑ Израиль 1987, гл. 7.8–7.10, Торн 1994, гл. 3–9
^ Разделы Орбитальные эффекты и относительность направления, Гравитационное замедление времени и сдвиг частоты и Отклонение света и гравитационная задержка времени, а также ссылки в них.
^ Раздел «Космология» и ссылки в нем; историческое развитие см. в Overbye 1999
^ Вальд 1984, стр. 3
^ Rovelli 2015, стр. 1–6 «Общая теория относительности — это не просто необычайно красивая физическая теория, дающая лучшее описание гравитационного взаимодействия, которое у нас есть на данный момент. Это нечто большее».
^ Чандрасекар 1984, стр. 6
^ Энглер 2002
^Albert Einstein (2011). Relativity – The Special and General Theory. Read Books Ltd. p. 4. ISBN 978-1-4474-9358-7. Extract of page 4
^The following exposition re-traces that of Ehlers 1973, sec. 1
^Al-Khalili, Jim (26 March 2021). "Gravity and Me: The force that shapes our lives". www.bbc.co.uk. Retrieved 9 April 2021.
^Arnold 1989, ch. 1
^Ehlers 1973, pp. 5f
^Will 1993, sec. 2.4, Will 2006, sec. 2
^Wheeler 1990, ch. 2
^Ehlers 1973, sec. 1.2, Havas 1964, Künzle 1972. The simple thought experiment in question was first described in Heckmann & Schücking 1959
^Ehlers 1973, pp. 10f
^Good introductions are, in order of increasing presupposed knowledge of mathematics, Giulini 2005, Mermin 2005, and Rindler 1991; for accounts of precision experiments, cf. part IV of Ehlers & Lämmerzahl 2006
^An in-depth comparison between the two symmetry groups can be found in Giulini 2006
^Rindler 1991, sec. 22, Synge 1972, ch. 1 and 2
^Ehlers 1973, sec. 2.3
^Ehlers 1973, sec. 1.4, Schutz 1985, sec. 5.1
^Ehlers 1973, pp. 17ff; a derivation can be found in Mermin 2005, ch. 12. For the experimental evidence, cf. the section Gravitational time dilation and frequency shift, below
^Rindler 2001, sec. 1.13; for an elementary account, see Wheeler 1990, ch. 2; there are, however, some differences between the modern version and Einstein's original concept used in the historical derivation of general relativity, cf. Norton 1985
^Ehlers 1973, sec. 1.4 for the experimental evidence, see once more section Gravitational time dilation and frequency shift. Choosing a different connection with non-zero torsion leads to a modified theory known as Einstein–Cartan theory
^Ehlers 1973, p. 16, Kenyon 1990, sec. 7.2, Weinberg 1972, sec. 2.8
^Ehlers 1973, pp. 19–22; for similar derivations, see sections 1 and 2 of ch. 7 in Weinberg 1972. The Einstein tensor is the only divergence-free tensor that is a function of the metric coefficients, their first and second derivatives at most, and allows the spacetime of special relativity as a solution in the absence of sources of gravity, cf. Lovelock 1972. The tensors on both side are of second rank, that is, they can each be thought of as 4×4 matrices, each of which contains ten independent terms; hence, the above represents ten coupled equations. The fact that, as a consequence of geometric relations known as Bianchi identities, the Einstein tensor satisfies a further four identities reduces these to six independent equations, e.g. Schutz 1985, sec. 8.3
^Kenyon 1990, sec. 7.4
^Weinberg, Steven (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley. ISBN 978-0-471-92567-5.
^Cheng, Ta-Pei (2005). Relativity, Gravitation and Cosmology: a Basic Introduction. Oxford and New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852957-6.
^Brans & Dicke 1961, Weinberg 1972, sec. 3 in ch. 7, Goenner 2004, sec. 7.2, and Trautman 2006, respectively
^Wald 1984, ch. 4, Weinberg 1972, ch. 7 or, in fact, any other textbook on general relativity
^At least approximately, cf. Poisson 2004a
^Wheeler 1990, p. xi
^Wald 1984, sec. 4.4
^Wald 1984, sec. 4.1
^For the (conceptual and historical) difficulties in defining a general principle of relativity and separating it from the notion of general covariance, see Giulini 2007
^section 5 in ch. 12 of Weinberg 1972
^Introductory chapters of Stephani et al. 2003
^A review showing Einstein's equation in the broader context of other PDEs with physical significance is Geroch 1996
^For background information and a list of solutions, cf. Stephani et al. 2003; a more recent review can be found in MacCallum 2006
^Chandrasekhar 1983, ch. 3,5,6
^Narlikar 1993, ch. 4, sec. 3.3
^Brief descriptions of these and further interesting solutions can be found in Hawking & Ellis 1973, ch. 5
^Lehner 2002
^For instance Wald 1984, sec. 4.4
^Will 1993, sec. 4.1 and 4.2
^Will 2006, sec. 3.2, Will 1993, ch. 4
^Rindler 2001, pp. 24–26 vs. pp. 236–237 and Ohanian & Ruffini 1994, pp. 164–172. Einstein derived these effects using the equivalence principle as early as 1907, cf. Einstein 1907 and the description in Pais 1982, pp. 196–198
^Pound–Rebka experiment, see Pound & Rebka 1959, Pound & Rebka 1960; Pound & Snider 1964; a list of further experiments is given in Ohanian & Ruffini 1994, table 4.1 on p. 186
^Greenstein, Oke & Shipman 1971; the most recent and most accurate Sirius B measurements are published in Barstow, Bond et al. 2005.
^Starting with the Hafele–Keating experiment, Hafele & Keating 1972a and Hafele & Keating 1972b, and culminating in the Gravity Probe A experiment; an overview of experiments can be found in Ohanian & Ruffini 1994, table 4.1 on p. 186
^GPS is continually tested by comparing atomic clocks on the ground and aboard orbiting satellites; for an account of relativistic effects, see Ashby 2002 and Ashby 2003
^Stairs 2003 and Kramer 2004
^General overviews can be found in section 2.1. of Will 2006; Will 2003, pp. 32–36; Ohanian & Ruffini 1994, sec. 4.2
^Ohanian & Ruffini 1994, pp. 164–172
^Cf. Kennefick 2005 for the classic early measurements by Arthur Eddington's expeditions. For an overview of more recent measurements, see Ohanian & Ruffini 1994, ch. 4.3. For the most precise direct modern observations using quasars, cf. Shapiro et al. 2004
^This is not an independent axiom; it can be derived from Einstein's equations and the Maxwell Lagrangian using a WKB approximation, cf. Ehlers 1973, sec. 5
^Blanchet 2006, sec. 1.3
^Rindler 2001, sec. 1.16; for the historical examples, Israel 1987, pp. 202–204; in fact, Einstein published one such derivation as Einstein 1907. Such calculations tacitly assume that the geometry of space is Euclidean, cf. Ehlers & Rindler 1997
^From the standpoint of Einstein's theory, these derivations take into account the effect of gravity on time, but not its consequences for the warping of space, cf. Rindler 2001, sec. 11.11
^For the Sun's gravitational field using radar signals reflected from planets such as Venus and Mercury, cf. Shapiro 1964, Weinberg 1972, ch. 8, sec. 7; for signals actively sent back by space probes (transponder measurements), cf. Bertotti, Iess & Tortora 2003; for an overview, see Ohanian & Ruffini 1994, table 4.4 on p. 200; for more recent measurements using signals received from a pulsar that is part of a binary system, the gravitational field causing the time delay being that of the other pulsar, cf. Stairs 2003, sec. 4.4
^Einstein, A (31 January 1918). "Über Gravitationswellen". Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften Berlin (part 1): 154–167. Bibcode:1918SPAW.......154E. Archived from the original on 21 March 2019. Retrieved 12 February 2016.
^ a bCastelvecchi, Davide; Witze, Witze (11 February 2016). "Einstein's gravitational waves found at last". Nature News. doi:10.1038/nature.2016.19361. S2CID 182916902. Retrieved 11 February 2016.
^ a bB. P. Abbott; et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) (2016). "Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger". Physical Review Letters. 116 (6): 061102. arXiv:1602.03837. Bibcode:2016PhRvL.116f1102A. doi:10.1103/PhysRevLett.116.061102. PMID 26918975. S2CID 124959784.
^ a b c"Gravitational waves detected 100 years after Einstein's prediction". NSF – National Science Foundation. 11 February 2016.
^Most advanced textbooks on general relativity contain a description of these properties, e.g. Schutz 1985, ch. 9
^For example Jaranowski & Królak 2005
^Rindler 2001, ch. 13
^Gowdy 1971, Gowdy 1974
^See Lehner 2002 for a brief introduction to the methods of numerical relativity, and Seidel 1998 for the connection with gravitational wave astronomy
^Schutz 2003, pp. 48–49, Pais 1982, pp. 253–254
^Rindler 2001, sec. 11.9
^Will 1993, pp. 177–181
^In consequence, in the parameterized post-Newtonian formalism (PPN), measurements of this effect determine a linear combination of the terms β and γ, cf. Will 2006, sec. 3.5 and Will 1993, sec. 7.3
^The most precise measurements are VLBI measurements of planetary positions; see Will 1993, ch. 5, Will 2006, sec. 3.5, Anderson et al. 1992; for an overview, Ohanian & Ruffini 1994, pp. 406–407
^Kramer et al. 2006
^Dediu, Magdalena & Martín-Vide 2015, p. 141.
^ a bKramer, M.; Stairs, I. H.; Manchester, R. N.; Wex, N.; Deller, A. T.; Coles, W. A.; Ali, M.; Burgay, M.; Camilo, F.; Cognard, I.; Damour, T. (13 December 2021). "Strong-Field Gravity Tests with the Double Pulsar". Physical Review X. 11 (4): 041050. arXiv:2112.06795. Bibcode:2021PhRvX..11d1050K. doi:10.1103/PhysRevX.11.041050. ISSN 2160-3308. S2CID 245124502.
^Stairs 2003, Schutz 2003, pp. 317–321, Bartusiak 2000, pp. 70–86
^Weisberg & Taylor 2003; for the pulsar discovery, see Hulse & Taylor 1975; for the initial evidence for gravitational radiation, see Taylor 1994
^A mission description can be found in Everitt et al. 2001; a first post-flight evaluation is given in Everitt, Parkinson & Kahn 2007; further updates will be available on the mission website Kahn 1996–2012.
^Townsend 1997, sec. 4.2.1, Ohanian & Ruffini 1994, pp. 469–471
^Ohanian & Ruffini 1994, sec. 4.7, Weinberg 1972, sec. 9.7; for a more recent review, see Schäfer 2004
^For overviews of gravitational lensing and its applications, see Ehlers, Falco & Schneider 1992 and Wambsganss 1998
^For a simple derivation, see Schutz 2003, ch. 23; cf. Narayan & Bartelmann 1997, sec. 3
^Walsh, Carswell & Weymann 1979
^Images of all the known lenses can be found on the pages of the CASTLES project, Kochanek et al. 2007
^Roulet & Mollerach 1997
^ Нараян и Бартельманн 1997, раздел 3.7
^ Бариш 2005, Бартусяк 2000, Блэр и Макнамара 1997
^ Хаф и Роуэн 2000
^ Хоббс, Джордж; Арчибальд, А.; Арзуманян, З.; Бэкер, Д.; Бейлс, М.; Бхат, НДР; Бергей, М.; Берк-Сполаор, С.; и др. (2010), «Международный проект по измерению времени пульсаров: использование пульсаров в качестве детектора гравитационных волн», Classical and Quantum Gravity , 27 (8): 084013, arXiv : 0911.5206 , Bibcode : 2010CQGra..27h4013H, doi : 10.1088/0264-9381/27/8/084013, S2CID 56073764
^ Данцманн и Рюдигер 2003
^ "Обзор LISA pathfinder". ESA . Получено 23 апреля 2012 г. .
^ Торн 1995
^ Катлер и Торн 2002
^ Миллер 2002, лекции 19 и 21
^ Челотти, Миллер и Скиама 1999, разд. 3
^ Springel et al. 2005 и прилагаемое резюме Gnedin 2005
^ Блэндфорд 1987, раздел 8.2.4.
^ Для основного механизма см. Carroll & Ostlie 1996, раздел 17.2; для получения дополнительной информации о различных типах астрономических объектов, связанных с этим, см. Robson 1996
^ Для обзора см. Begelman, Blandford & Rees 1984. Для удаленного наблюдателя некоторые из этих струй даже кажутся движущимися быстрее света ; однако это можно объяснить как оптическую иллюзию, которая не нарушает принципов теории относительности, см. Rees 1966
^ Для конечных состояний звезд см. Oppenheimer & Snyder 1939 или, для более поздних численных работ, Font 2003, sec. 4.1; для сверхновых все еще есть серьезные проблемы, которые нужно решить, см. Buras et al. 2003; для моделирования аккреции и образования струй, см. Font 2003, sec. 4.2. Также считается, что релятивистские эффекты линзирования играют роль для сигналов, полученных от рентгеновских пульсаров , см. Kraus 1998
^The evidence includes limits on compactness from the observation of accretion-driven phenomena ("Eddington luminosity"), see Celotti, Miller & Sciama 1999, observations of stellar dynamics in the center of our own Milky Way galaxy, cf. Schödel et al. 2003, and indications that at least some of the compact objects in question appear to have no solid surface, which can be deduced from the examination of X-ray bursts for which the central compact object is either a neutron star or a black hole; cf. Remillard et al. 2006 for an overview, Narayan 2006, sec. 5. Observations of the "shadow" of the Milky Way galaxy's central black hole horizon are eagerly sought for, cf. Falcke, Melia & Agol 2000
^Dalal et al. 2006
^Barack & Cutler 2004
^Einstein 1917; cf. Pais 1982, pp. 285–288
^Carroll 2001, ch. 2
^Bergström & Goobar 2003, ch. 9–11; use of these models is justified by the fact that, at large scales of around hundred million light-years and more, our own universe indeed appears to be isotropic and homogeneous, cf. Peebles et al. 1991
^E.g. with WMAP data, see Spergel et al. 2003
^These tests involve the separate observations detailed further on, see, e.g., fig. 2 in Bridle et al. 2003
^Peebles 1966; for a recent account of predictions, see Coc, Vangioni‐Flam et al. 2004; an accessible account can be found in Weiss 2006; compare with the observations in Olive & Skillman 2004, Bania, Rood & Balser 2002, O'Meara et al. 2001, and Charbonnel & Primas 2005
^Lahav & Suto 2004, Bertschinger 1998, Springel et al. 2005
^Alpher & Herman 1948, for a pedagogical introduction, see Bergström & Goobar 2003, ch. 11; for the initial detection, see Penzias & Wilson 1965 and, for precision measurements by satellite observatories, Mather et al. 1994 (COBE) and Bennett et al. 2003 (WMAP). Future measurements could also reveal evidence about gravitational waves in the early universe; this additional information is contained in the background radiation's polarization, cf. Kamionkowski, Kosowsky & Stebbins 1997 and Seljak & Zaldarriaga 1997
^Evidence for this comes from the determination of cosmological parameters and additional observations involving the dynamics of galaxies and galaxy clusters cf. Peebles 1993, ch. 18, evidence from gravitational lensing, cf. Peacock 1999, sec. 4.6, and simulations of large-scale structure formation, see Springel et al. 2005
^Peacock 1999, ch. 12, Peskin 2007; in particular, observations indicate that all but a negligible portion of that matter is not in the form of the usual elementary particles ("non-baryonic matter"), cf. Peacock 1999, ch. 12
^Namely, some physicists have questioned whether or not the evidence for dark matter is, in fact, evidence for deviations from the Einsteinian (and the Newtonian) description of gravity cf. the overview in Mannheim 2006, sec. 9
^Carroll 2001; an accessible overview is given in Caldwell 2004. Here, too, scientists have argued that the evidence indicates not a new form of energy, but the need for modifications in our cosmological models, cf. Mannheim 2006, sec. 10; aforementioned modifications need not be modifications of general relativity, they could, for example, be modifications in the way we treat the inhomogeneities in the universe, cf. Buchert 2008
^A good introduction is Linde 2005; for a more recent review, see Linde 2006
^More precisely, these are the flatness problem, the horizon problem, and the monopole problem; a pedagogical introduction can be found in Narlikar 1993, sec. 6.4, see also Börner 1993, sec. 9.1
^Spergel et al. 2007, sec. 5,6
^More concretely, the potential function that is crucial to determining the dynamics of the inflaton is simply postulated, but not derived from an underlying physical theory
^Brandenberger 2008, sec. 2
^Gödel 1949
^Finazzi, Stefano; Liberati, Stefano; Barceló, Carlos (15 June 2009). "Semiclassical instability of dynamical warp drives". Physical Review D. 79 (12): 124017. arXiv:0904.0141. Bibcode:2009PhRvD..79l4017F. doi:10.1103/PhysRevD.79.124017. S2CID 59575856.
^Bondi, H.; Van der Burg, M.G.J.; Metzner, A. (1962). "Gravitational waves in general relativity: VII. Waves from axisymmetric isolated systems". Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 269 (1336): 21–52. Bibcode:1962RSPSA.269...21B. doi:10.1098/rspa.1962.0161. S2CID 120125096.
^Sachs, R. (1962). "Asymptotic symmetries in gravitational theory". Physical Review. 128 (6): 2851–2864. Bibcode:1962PhRv..128.2851S. doi:10.1103/PhysRev.128.2851.
^Strominger, Andrew (2017). "Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory". arXiv:1703.05448 [hep-th]. ...redacted transcript of a course given by the author at Harvard in spring semester 2016. It contains a pedagogical overview of recent developments connecting the subjects of soft theorems, the memory effect and asymptotic symmetries in four-dimensional QED, nonabelian gauge theory and gravity with applications to black holes. To be published Princeton University Press, 158 pages.
^Frauendiener 2004, Wald 1984, sec. 11.1, Hawking & Ellis 1973, sec. 6.8, 6.9
^Wald 1984, sec. 9.2–9.4 and Hawking & Ellis 1973, ch. 6
^Thorne 1972; for more recent numerical studies, see Berger 2002, sec. 2.1
^Israel 1987. A more exact mathematical description distinguishes several kinds of horizon, notably event horizons and apparent horizons cf. Hawking & Ellis 1973, pp. 312–320 or Wald 1984, sec. 12.2; there are also more intuitive definitions for isolated systems that do not require knowledge of spacetime properties at infinity, cf. Ashtekar & Krishnan 2004
^For first steps, cf. Israel 1971; see Hawking & Ellis 1973, sec. 9.3 or Heusler 1996, ch. 9 and 10 for a derivation, and Heusler 1998 as well as Beig & Chruściel 2006 as overviews of more recent results
^The laws of black hole mechanics were first described in Bardeen, Carter & Hawking 1973; a more pedagogical presentation can be found in Carter 1979; for a more recent review, see Wald 2001, ch. 2. A thorough, book-length introduction including an introduction to the necessary mathematics Poisson 2004. For the Penrose process, see Penrose 1969
^Bekenstein 1973, Bekenstein 1974
^The fact that black holes radiate, quantum mechanically, was first derived in Hawking 1975; a more thorough derivation can be found in Wald 1975. A review is given in Wald 2001, ch. 3
^Hawking & Ellis 1973, sec. 8.1, Wald 1984, sec. 9.1
^Townsend 1997, ch. 2; a more extensive treatment of this solution can be found in Chandrasekhar 1983, ch. 3
^Townsend 1997, ch. 4; for a more extensive treatment, cf. Chandrasekhar 1983, ch. 6
^Ellis & Van Elst 1999; a closer look at the singularity itself is taken in Börner 1993, sec. 1.2
^Here one should remind to the well-known fact that the important "quasi-optical" singularities of the so-called eikonal approximations of many wave equations, namely the "caustics", are resolved into finite peaks beyond that approximation.
^The conjecture was made in Belinskii, Khalatnikov & Lifschitz 1971; for a more recent review, see Berger 2002. An accessible exposition is given by Garfinkle 2007
^The restriction to future singularities naturally excludes initial singularities such as the big bang singularity, which in principle be visible to observers at later cosmic time. The cosmic censorship conjecture was first presented in Penrose 1969; a textbook-level account is given in Wald 1984, pp. 302–305. For numerical results, see the review Berger 2002, sec. 2.1
^Hawking & Ellis 1973, sec. 7.1
^Arnowitt, Deser & Misner 1962; for a pedagogical introduction, see Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 21.4–§ 21.7
^Fourès-Bruhat 1952 and Bruhat 1962; for a pedagogical introduction, see Wald 1984, ch. 10; an online review can be found in Reula 1998
^Gourgoulhon 2007; for a review of the basics of numerical relativity, including the problems arising from the peculiarities of Einstein's equations, see Lehner 2001
^Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 20.4
^Arnowitt, Deser & Misner 1962
^Komar 1959; for a pedagogical introduction, see Wald 1984, sec. 11.2; although defined in a totally different way, it can be shown to be equivalent to the ADM mass for stationary spacetimes, cf. Ashtekar & Magnon-Ashtekar 1979
^For a pedagogical introduction, see Wald 1984, sec. 11.2
^Wald 1984, p. 295 and refs therein; this is important for questions of stability—if there were negative mass states, then flat, empty Minkowski space, which has mass zero, could evolve into these states
^Townsend 1997, ch. 5
^Such quasi-local mass–energy definitions are the Hawking energy, Geroch energy, or Penrose's quasi-local energy–momentum based on twistor methods; cf. the review article Szabados 2004
^An overview of quantum theory can be found in standard textbooks such as Messiah 1999; a more elementary account is given in Hey & Walters 2003
^Ramond 1990, Weinberg 1995, Peskin & Schroeder 1995; a more accessible overview is Auyang 1995
^Wald 1994, Birrell & Davies 1984
^For Hawking radiation Hawking 1975, Wald 1975; an accessible introduction to black hole evaporation can be found in Traschen 2000
^Wald 2001, ch. 3
^Put simply, matter is the source of spacetime curvature, and once matter has quantum properties, we can expect spacetime to have them as well. Cf. Carlip 2001, sec. 2
^Schutz 2003, p. 407
^ a bHamber 2009
^A timeline and overview can be found in Rovelli 2000
^'t Hooft & Veltman 1974
^Donoghue 1995
^In particular, a perturbative technique known as renormalization, an integral part of deriving predictions which take into account higher-energy contributions, cf. Weinberg 1996, ch. 17, 18, fails in this case; cf. Veltman 1975, Goroff & Sagnotti 1985; for a recent comprehensive review of the failure of perturbative renormalizability for quantum gravity see Hamber 2009
^An accessible introduction at the undergraduate level can be found in Zwiebach 2004; more complete overviews can be found in Polchinski 1998a and Polchinski 1998b
^At the energies reached in current experiments, these strings are indistinguishable from point-like particles, but, crucially, different modes of oscillation of one and the same type of fundamental string appear as particles with different (electric and other) charges, e.g. Ibanez 2000. The theory is successful in that one mode will always correspond to a graviton, the messenger particle of gravity, e.g. Green, Schwarz & Witten 1987, sec. 2.3, 5.3
^Green, Schwarz & Witten 1987, sec. 4.2
^Weinberg 2000, ch. 31
^Townsend 1996, Duff 1996
^Kuchař 1973, sec. 3
^These variables represent geometric gravity using mathematical analogues of electric and magnetic fields; cf. Ashtekar 1986, Ashtekar 1987
^For a review, see Thiemann 2007; more extensive accounts can be found in Rovelli 1998, Ashtekar & Lewandowski 2004 as well as in the lecture notes Thiemann 2003
^Isham 1994, Sorkin 1997
^Loll 1998
^Sorkin 2005
^Penrose 2004, ch. 33 and refs therein
^Hawking 1987
^Ashtekar 2007, Schwarz 2007
^Maddox 1998, pp. 52–59, 98–122; Penrose 2004, sec. 34.1, ch. 30
^section Quantum gravity, above
^section Cosmology, above
^Friedrich 2005
^A review of the various problems and the techniques being developed to overcome them, see Lehner 2002
^See Bartusiak 2000 for an account up to that year; up-to-date news can be found on the websites of major detector collaborations such as GEO600 and LIGO
^For the most recent papers on gravitational wave polarizations of inspiralling compact binaries, see Blanchet et al. 2008, and Arun et al. 2008; for a review of work on compact binaries, see Blanchet 2006 and Futamase & Itoh 2006; for a general review of experimental tests of general relativity, see Will 2006
Alpher, R. A.; Herman, R. C. (1948), "Evolution of the universe", Nature, 162 (4124): 774–775, Bibcode:1948Natur.162..774A, doi:10.1038/162774b0, S2CID 4113488
Anderson, J. D.; Campbell, J. K.; Jurgens, R. F.; Lau, E. L. (1992), "Recent developments in solar-system tests of general relativity", in Sato, H.; Nakamura, T. (eds.), Proceedings of the Sixth Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, World Scientific, pp. 353–355, ISBN 978-981-02-0950-6
Arun, K.G.; Blanchet, L.; Iyer, B. R.; Qusailah, M. S. S. (2008), "Inspiralling compact binaries in quasi-elliptical orbits: The complete 3PN energy flux", Physical Review D, 77 (6): 064035, arXiv:0711.0302, Bibcode:2008PhRvD..77f4035A, doi:10.1103/PhysRevD.77.064035, S2CID 55825202
Ashby, Neil (2002), "Relativity and the Global Positioning System" (PDF), Physics Today, 55 (5): 41–47, Bibcode:2002PhT....55e..41A, doi:10.1063/1.1485583
Ashby, Neil (2003), "Relativity in the Global Positioning System", Living Reviews in Relativity, 6 (1): 1, Bibcode:2003LRR.....6....1A, doi:10.12942/lrr-2003-1, PMC 5253894, PMID 28163638
Ashtekar, Abhay (1986), "New variables for classical and quantum gravity", Phys. Rev. Lett., 57 (18): 2244–2247, Bibcode:1986PhRvL..57.2244A, doi:10.1103/PhysRevLett.57.2244, PMID 10033673
Ashtekar, Abhay (1987), "New Hamiltonian formulation of general relativity", Phys. Rev. D, 36 (6): 1587–1602, Bibcode:1987PhRvD..36.1587A, doi:10.1103/PhysRevD.36.1587, PMID 9958340
Ashtekar, Abhay (2007), "Loop Quantum Gravity: Four Recent Advances and a Dozen Frequently Asked Questions", Proceedings of the Eleventh Marcel Grossmann Meeting Meeting on General Relativity, p. 126, arXiv:0705.2222, Bibcode:2008mgm..conf..126A, doi:10.1142/9789812834300_0008, ISBN 978-981-283-426-3, S2CID 119663169
Ashtekar, Abhay; Krishnan, Badri (2004), "Isolated and Dynamical Horizons and Their Applications", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 10, arXiv:gr-qc/0407042, Bibcode:2004LRR.....7...10A, doi:10.12942/lrr-2004-10, PMC 5253930, PMID 28163644
Ashtekar, Abhay; Lewandowski, Jerzy (2004), "Background Independent Quantum Gravity: A Status Report", Class. Quantum Grav., 21 (15): R53–R152, arXiv:gr-qc/0404018, Bibcode:2004CQGra..21R..53A, doi:10.1088/0264-9381/21/15/R01, S2CID 119175535
Ashtekar, Abhay; Magnon-Ashtekar, Anne (1979), "On conserved quantities in general relativity", Journal of Mathematical Physics, 20 (5): 793–800, Bibcode:1979JMP....20..793A, doi:10.1063/1.524151
Auyang, Sunny Y. (1995), How is Quantum Field Theory Possible?, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-509345-2
Bania, T. M.; Rood, R. T.; Balser, D. S. (2002), "The cosmological density of baryons from observations of 3He+ in the Milky Way", Nature, 415 (6867): 54–57, Bibcode:2002Natur.415...54B, doi:10.1038/415054a, PMID 11780112, S2CID 4303625
Barish, Barry (2005), "Towards detection of gravitational waves", in Florides, P.; Nolan, B.; Ottewil, A. (eds.), General Relativity and Gravitation. Proceedings of the 17th International Conference, World Scientific, pp. 24–34, Bibcode:2005grg..conf.....F, ISBN 978-981-256-424-5
Barstow, M.; Bond, Howard E.; Holberg, J. B.; Burleigh, M. R.; Hubeny, I.; Koester, D. (2005), "Hubble Space Telescope Spectroscopy of the Balmer lines in Sirius B", Mon. Not. R. Astron. Soc., 362 (4): 1134–1142, arXiv:astro-ph/0506600, Bibcode:2005MNRAS.362.1134B, doi:10.1111/j.1365-2966.2005.09359.x, S2CID 4607496
Bartusiak, Marcia (2000), Einstein's Unfinished Symphony: Listening to the Sounds of Space-Time, Berkley, ISBN 978-0-425-18620-6
Begelman, Mitchell C.; Blandford, Roger D.; Rees, Martin J. (1984), "Theory of extragalactic radio sources", Rev. Mod. Phys., 56 (2): 255–351, Bibcode:1984RvMP...56..255B, doi:10.1103/RevModPhys.56.255
Beig, Robert; Chruściel, Piotr T. (2006), "Stationary black holes", in Françoise, J.-P.; Naber, G.; Tsou, T.S. (eds.), Encyclopedia of Mathematical Physics, Volume 2, Elsevier, p. 2041, arXiv:gr-qc/0502041, Bibcode:2005gr.qc.....2041B, ISBN 978-0-12-512660-1
Bekenstein, Jacob D. (1973), "Black Holes and Entropy", Phys. Rev. D, 7 (8): 2333–2346, Bibcode:1973PhRvD...7.2333B, doi:10.1103/PhysRevD.7.2333, S2CID 122636624
Bekenstein, Jacob D. (1974), "Generalized Second Law of Thermodynamics in Black-Hole Physics", Phys. Rev. D, 9 (12): 3292–3300, Bibcode:1974PhRvD...9.3292B, doi:10.1103/PhysRevD.9.3292, S2CID 123043135
Belinskii, V. A.; Khalatnikov, I. M.; Lifschitz, E. M. (1971), "Oscillatory approach to the singular point in relativistic cosmology", Advances in Physics, 19 (80): 525–573, Bibcode:1970AdPhy..19..525B, doi:10.1080/00018737000101171; original paper in Russian: Belinsky, V. A.; Lifshits, I. M.; Khalatnikov, E. M. (1970), "Колебательный Режим Приближения К Особой Точке В Релятивистской Космологии", Uspekhi Fizicheskikh Nauk, 102 (11): 463–500, Bibcode:1970UsFiN.102..463B, doi:10.3367/ufnr.0102.197011d.0463
Bennett, C. L.; Halpern, M.; Hinshaw, G.; Jarosik, N.; Kogut, A.; Limon, M.; Meyer, S. S.; Page, L.; et al. (2003), "First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Preliminary Maps and Basic Results", Astrophys. J. Suppl. Ser., 148 (1): 1–27, arXiv:astro-ph/0302207, Bibcode:2003ApJS..148....1B, doi:10.1086/377253, S2CID 115601
Berger, Beverly K. (2002), "Numerical Approaches to Spacetime Singularities", Living Reviews in Relativity, 5 (1): 1, arXiv:gr-qc/0201056, Bibcode:2002LRR.....5....1B, doi:10.12942/lrr-2002-1, PMC 5256073, PMID 28179859
Bergström, Lars; Goobar, Ariel (2003), Cosmology and Particle Astrophysics (2nd ed.), Wiley & Sons, ISBN 978-3-540-43128-2
Bertotti, Bruno; Ciufolini, Ignazio; Bender, Peter L. (1987), "New test of general relativity: Measurement of de Sitter geodetic precession rate for lunar perigee", Physical Review Letters, 58 (11): 1062–1065, Bibcode:1987PhRvL..58.1062B, doi:10.1103/PhysRevLett.58.1062, PMID 10034329
Bertotti, Bruno; Iess, L.; Tortora, P. (2003), "A test of general relativity using radio links with the Cassini spacecraft", Nature, 425 (6956): 374–376, Bibcode:2003Natur.425..374B, doi:10.1038/nature01997, PMID 14508481, S2CID 4337125
Bertschinger, Edmund (1998), "Simulations of structure formation in the universe", Annu. Rev. Astron. Astrophys., 36 (1): 599–654, Bibcode:1998ARA&A..36..599B, doi:10.1146/annurev.astro.36.1.599
Birrell, N. D.; Davies, P. C. (1984), Quantum Fields in Curved Space, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-27858-4
Blair, David; McNamara, Geoff (1997), Ripples on a Cosmic Sea. The Search for Gravitational Waves, Perseus, ISBN 978-0-7382-0137-5
Blanchet, L.; Faye, G.; Iyer, B. R.; Sinha, S. (2008), "The third post-Newtonian gravitational wave polarisations and associated spherical harmonic modes for inspiralling compact binaries in quasi-circular orbits", Classical and Quantum Gravity, 25 (16): 165003, arXiv:0802.1249, Bibcode:2008CQGra..25p5003B, doi:10.1088/0264-9381/25/16/165003, S2CID 54608927
Blanchet, Luc (2006), "Gravitational Radiation from Post-Newtonian Sources and Inspiralling Compact Binaries", Living Reviews in Relativity, 9 (1): 4, Bibcode:2006LRR.....9....4B, doi:10.12942/lrr-2006-4, PMC 5255899, PMID 28179874
Blandford, R. D. (1987), "Astrophysical Black Holes", in Hawking, Stephen W.; Israel, Werner (eds.), 300 Years of Gravitation, Cambridge University Press, pp. 277–329, ISBN 978-0-521-37976-2
Börner, Gerhard (1993), The Early Universe. Facts and Fiction, Springer, ISBN 978-0-387-56729-7
Brandenberger, Robert H. (2008), "Conceptual problems of inflationary cosmology and a new approach to cosmological structure formation", in Lemoine, Martin; Martin, Jerome; Peter, Patrick (eds.), Inflationary Cosmology, Lecture Notes in Physics, vol. 738, pp. 393–424, arXiv:hep-th/0701111, Bibcode:2007LNP...738..393B, doi:10.1007/978-3-540-74353-8_11, ISBN 978-3-540-74352-1, S2CID 18752698
Brans, C. H.; Dicke, R. H. (1961), "Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation", Physical Review, 124 (3): 925–935, Bibcode:1961PhRv..124..925B, doi:10.1103/PhysRev.124.925
Bridle, Sarah L.; Lahav, Ofer; Ostriker, Jeremiah P.; Steinhardt, Paul J. (2003), "Precision Cosmology? Not Just Yet", Science, 299 (5612): 1532–1533, arXiv:astro-ph/0303180, Bibcode:2003Sci...299.1532B, doi:10.1126/science.1082158, PMID 12624255, S2CID 119368762
Bruhat, Yvonne (1962), "The Cauchy Problem", in Witten, Louis (ed.), Gravitation: An Introduction to Current Research, Wiley, p. 130, ISBN 978-1-114-29166-9
Buchert, Thomas (2008), "Dark Energy from Structure—A Status Report", General Relativity and Gravitation, 40 (2–3): 467–527, arXiv:0707.2153, Bibcode:2008GReGr..40..467B, doi:10.1007/s10714-007-0554-8, S2CID 17281664
Buras, R.; Rampp, M.; Janka, H.-Th.; Kifonidis, K. (2003), "Improved Models of Stellar Core Collapse and Still no Explosions: What is Missing?", Phys. Rev. Lett., 90 (24): 241101, arXiv:astro-ph/0303171, Bibcode:2003PhRvL..90x1101B, doi:10.1103/PhysRevLett.90.241101, PMID 12857181, S2CID 27632148
Caldwell, Robert R. (2004), "Dark Energy", Physics World, 17 (5): 37–42, doi:10.1088/2058-7058/17/5/36
Carlip, Steven (2001), "Quantum Gravity: a Progress Report", Rep. Prog. Phys., 64 (8): 885–942, arXiv:gr-qc/0108040, Bibcode:2001RPPh...64..885C, doi:10.1088/0034-4885/64/8/301, S2CID 118923209
Carroll, Bradley W.; Ostlie, Dale A. (1996), An Introduction to Modern Astrophysics, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-54730-6
Carroll, Sean M. (2001), "The Cosmological Constant", Living Reviews in Relativity, 4 (1): 1, arXiv:astro-ph/0004075, Bibcode:2001LRR.....4....1C, doi:10.12942/lrr-2001-1, PMC 5256042, PMID 28179856
Carter, Brandon (1979), "The general theory of the mechanical, electromagnetic and thermodynamic properties of black holes", in Hawking, S. W.; Israel, W. (eds.), General Relativity, an Einstein Centenary Survey, Cambridge University Press, pp. 294–369 and 860–863, ISBN 978-0-521-29928-2
Celotti, Annalisa; Miller, John C.; Sciama, Dennis W. (1999), "Astrophysical evidence for the existence of black holes", Class. Quantum Grav., 16 (12A): A3–A21, arXiv:astro-ph/9912186, Bibcode:1999CQGra..16A...3C, doi:10.1088/0264-9381/16/12A/301, S2CID 17677758
Chandrasekhar, Subrahmanyan (1984), "The general theory of relativity – Why 'It is probably the most beautiful of all existing theories'", Journal of Astrophysics and Astronomy, 5 (1): 3–11, Bibcode:1984JApA....5....3C, doi:10.1007/BF02714967, S2CID 120910934
Charbonnel, C.; Primas, F. (2005), "The Lithium Content of the Galactic Halo Stars", Astronomy & Astrophysics, 442 (3): 961–992, arXiv:astro-ph/0505247, Bibcode:2005A&A...442..961C, doi:10.1051/0004-6361:20042491, S2CID 119340132
Ciufolini, Ignazio; Pavlis, Erricos C. (2004), "A confirmation of the general relativistic prediction of the Lense–Thirring effect", Nature, 431 (7011): 958–960, Bibcode:2004Natur.431..958C, doi:10.1038/nature03007, PMID 15496915, S2CID 4423434
Ciufolini, Ignazio; Pavlis, Erricos C.; Peron, R. (2006), "Determination of frame-dragging using Earth gravity models from CHAMP and GRACE", New Astron., 11 (8): 527–550, Bibcode:2006NewA...11..527C, doi:10.1016/j.newast.2006.02.001
Coc, A.; Vangioni-Flam, Elisabeth; Descouvemont, Pierre; Adahchour, Abderrahim; Angulo, Carmen (2004), "Updated Big Bang Nucleosynthesis confronted to WMAP observations and to the Abundance of Light Elements", Astrophysical Journal, 600 (2): 544–552, arXiv:astro-ph/0309480, Bibcode:2004ApJ...600..544C, doi:10.1086/380121, S2CID 16276658
Cutler, Curt; Thorne, Kip S. (2002), "An overview of gravitational wave sources", in Bishop, Nigel; Maharaj, Sunil D. (eds.), Proceedings of 16th International Conference on General Relativity and Gravitation (GR16), World Scientific, p. 4090, arXiv:gr-qc/0204090, Bibcode:2002gr.qc.....4090C, ISBN 978-981-238-171-2
Dalal, Neal; Holz, Daniel E.; Hughes, Scott A.; Jain, Bhuvnesh (2006), "Short GRB and binary black hole standard sirens as a probe of dark energy", Phys. Rev. D, 74 (6): 063006, arXiv:astro-ph/0601275, Bibcode:2006PhRvD..74f3006D, doi:10.1103/PhysRevD.74.063006, S2CID 10008243
Danzmann, Karsten; Rüdiger, Albrecht (2003), "LISA Technology—Concepts, Status, Prospects" (PDF), Class. Quantum Grav., 20 (10): S1–S9, Bibcode:2003CQGra..20S...1D, doi:10.1088/0264-9381/20/10/301, hdl:11858/00-001M-0000-0013-5233-E, S2CID 250836327, archived from the original (PDF) on 26 September 2007
Donoghue, John F. (1995), "Introduction to the Effective Field Theory Description of Gravity", in Cornet, Fernando (ed.), Effective Theories: Proceedings of the Advanced School, Almunecar, Spain, 26 June–1 July 1995, Singapore: World Scientific, p. 12024, arXiv:gr-qc/9512024, Bibcode:1995gr.qc....12024D, ISBN 978-981-02-2908-5
Dediu, Adrian-Horia; Magdalena, Luis; Martín-Vide, Carlos, eds. (2015). Theory and Practice of Natural Computing: Fourth International Conference, TPNC 2015, Mieres, Spain, December 15–16, 2015. Proceedings. Springer. ISBN 978-3-319-26841-5.
Duff, Michael (1996), "M-Theory (the Theory Formerly Known as Strings)", Int. J. Mod. Phys. A, 11 (32): 5623–5641, arXiv:hep-th/9608117, Bibcode:1996IJMPA..11.5623D, doi:10.1142/S0217751X96002583, S2CID 17432791
Ehlers, Jürgen (1973), "Survey of general relativity theory", in Israel, Werner (ed.), Relativity, Astrophysics and Cosmology, D. Reidel, pp. 1–125, ISBN 978-90-277-0369-9
Ehlers, Jürgen; Falco, Emilio E.; Schneider, Peter (1992), Gravitational lenses, Springer, ISBN 978-3-540-66506-9
Ehlers, Jürgen; Lämmerzahl, Claus, eds. (2006), Special Relativity—Will it Survive the Next 101 Years?, Springer, ISBN 978-3-540-34522-0
Ehlers, Jürgen; Rindler, Wolfgang (1997), "Local and Global Light Bending in Einstein's and other Gravitational Theories", General Relativity and Gravitation, 29 (4): 519–529, Bibcode:1997GReGr..29..519E, doi:10.1023/A:1018843001842, hdl:11858/00-001M-0000-0013-5AB5-4, S2CID 118162303
Einstein, Albert (1907), "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogene Folgerungen", Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, 4: 411 See also English translation at Einstein Papers Project
Einstein, Albert (1915), "Die Feldgleichungen der Gravitation", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 844–847 See also English translation at Einstein Papers Project
Einstein, Albert (1917), "Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie", Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften: 142 See also English translation at Einstein Papers Project
Ellis, George F R; Van Elst, Henk (1999), "Cosmological Models", in Lachièze-Rey, Marc (ed.), Theoretical and Observational Cosmology, vol. 541, pp. 1–116, arXiv:gr-qc/9812046, Bibcode:1999ASIC..541....1E, doi:10.1007/978-94-011-4455-1_1, ISBN 978-0-7923-5946-3, S2CID 122994560
Engler, Gideon (2002), "Einstein and the most beautiful theories in physics", International Studies in the Philosophy of Science, 16 (1): 27–37, doi:10.1080/02698590120118800, S2CID 120160056
Everitt, C. W. F.; Buchman, S.; DeBra, D. B.; Keiser, G. M. (2001), "Gravity Probe B: Countdown to launch", in Lämmerzahl, C.; Everitt, C. W. F.; Hehl, F. W. (eds.), Gyros, Clocks, and Interferometers: Testing Relativistic Gravity in Space (Lecture Notes in Physics 562), Springer, pp. 52–82, ISBN 978-3-540-41236-6
Everitt, C. W. F.; Parkinson, Bradford; Kahn, Bob (2007), The Gravity Probe B experiment. Post Flight Analysis—Final Report (Preface and Executive Summary) (PDF), Project Report: NASA, Stanford University and Lockheed Martin, archived (PDF) from the original on 9 June 2007, retrieved 5 August 2007
Falcke, Heino; Melia, Fulvio; Agol, Eric (2000), "Viewing the Shadow of the Black Hole at the Galactic Center", Astrophysical Journal, 528 (1): L13–L16, arXiv:astro-ph/9912263, Bibcode:2000ApJ...528L..13F, doi:10.1086/312423, PMID 10587484, S2CID 119433133
Font, José A. (2003), "Numerical Hydrodynamics in General Relativity", Living Reviews in Relativity, 6 (1): 4, Bibcode:2003LRR.....6....4F, doi:10.12942/lrr-2003-4, PMC 5660627, PMID 29104452
Fourès-Bruhat, Yvonne (1952), "Théoréme d'existence pour certains systémes d'équations aux derivées partielles non linéaires", Acta Mathematica, 88 (1): 141–225, Bibcode:1952AcMa...88..141F, doi:10.1007/BF02392131
Frauendiener, Jörg (2004), "Conformal Infinity", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 1, Bibcode:2004LRR.....7....1F, doi:10.12942/lrr-2004-1, PMC 5256109, PMID 28179863
Friedrich, Helmut (2005), "Is general relativity 'essentially understood'?", Annalen der Physik, 15 (1–2): 84–108, arXiv:gr-qc/0508016, Bibcode:2006AnP...518...84F, doi:10.1002/andp.200510173, S2CID 37236624
Futamase, T.; Itoh, Y. (2006), "The Post-Newtonian Approximation for Relativistic Compact Binaries", Living Reviews in Relativity, 10 (1): 2, Bibcode:2007LRR....10....2F, doi:10.12942/lrr-2007-2, PMC 5255906, PMID 28179819
Geroch, Robert (1996). "Partial Differential Equations of Physics". General Relativity: 19. arXiv:gr-qc/9602055. Bibcode:1996gere.conf...19G.
Giulini, Domenico (2005), Special Relativity: A First Encounter, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856746-2
Giulini, Domenico (2006), "Algebraic and Geometric Structures in Special Relativity", in Ehlers, Jürgen; Lämmerzahl, Claus (eds.), Special Relativity—Will it Survive the Next 101 Years?, Lecture Notes in Physics, vol. 702, pp. 45–111, arXiv:math-ph/0602018, Bibcode:2006math.ph...2018G, doi:10.1007/3-540-34523-X_4, ISBN 978-3-540-34522-0, S2CID 15948765
Giulini, Domenico (2007), "Remarks on the Notions of General Covariance and Background Independence", in Stamatescu, I. O. (ed.), Approaches to Fundamental Physics, Lecture Notes in Physics, vol. 721, pp. 105–120, arXiv:gr-qc/0603087, Bibcode:2007LNP...721..105G, doi:10.1007/978-3-540-71117-9_6, ISBN 978-3-540-71115-5, S2CID 14772226
Gnedin, Nickolay Y. (2005), "Digitizing the Universe", Nature, 435 (7042): 572–573, Bibcode:2005Natur.435..572G, doi:10.1038/435572a, PMID 15931201, S2CID 3023436
Goenner, Hubert F. M. (2004), "On the History of Unified Field Theories", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 2, Bibcode:2004LRR.....7....2G, doi:10.12942/lrr-2004-2, PMC 5256024, PMID 28179864
Goroff, Marc H.; Sagnotti, Augusto (1985), "Quantum gravity at two loops", Phys. Lett., 160B (1–3): 81–86, Bibcode:1985PhLB..160...81G, doi:10.1016/0370-2693(85)91470-4
Gourgoulhon, Eric (2007). "3+1 Formalism and Bases of Numerical Relativity". arXiv:gr-qc/0703035.
Gowdy, Robert H. (1971), "Gravitational Waves in Closed Universes", Phys. Rev. Lett., 27 (12): 826–829, Bibcode:1971PhRvL..27..826G, doi:10.1103/PhysRevLett.27.826
Gowdy, Robert H. (1974), "Vacuum spacetimes with two-parameter spacelike isometry groups and compact invariant hypersurfaces: Topologies and boundary conditions", Annals of Physics, 83 (1): 203–241, Bibcode:1974AnPhy..83..203G, doi:10.1016/0003-4916(74)90384-4
Greenstein, J. L.; Oke, J. B.; Shipman, H. L. (1971), "Effective Temperature, Radius, and Gravitational Redshift of Sirius B", Astrophysical Journal, 169: 563, Bibcode:1971ApJ...169..563G, doi:10.1086/151174
Hamber, Herbert W. (2009), Hamber, Herbert W (ed.), Quantum Gravitation – The Feynman Path Integral Approach, Springer Publishing, doi:10.1007/978-3-540-85293-3, hdl:11858/00-001M-0000-0013-471D-A, ISBN 978-3-540-85292-6
Gödel, Kurt (1949). "An Example of a New Type of Cosmological Solution of Einstein's Field Equations of Gravitation". Rev. Mod. Phys. 21 (3): 447–450. Bibcode:1949RvMP...21..447G. doi:10.1103/RevModPhys.21.447.
Hafele, J. C.; Keating, R. E. (14 July 1972). "Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains". Science. 177 (4044): 166–168. Bibcode:1972Sci...177..166H. doi:10.1126/science.177.4044.166. PMID 17779917. S2CID 10067969.
Hafele, J. C.; Keating, R. E. (14 July 1972). "Around-the-World Atomic Clocks: Observed Relativistic Time Gains". Science. 177 (4044): 168–170. Bibcode:1972Sci...177..168H. doi:10.1126/science.177.4044.168. PMID 17779918. S2CID 37376002.
Havas, P. (1964), "Four-Dimensional Formulation of Newtonian Mechanics and Their Relation to the Special and the General Theory of Relativity", Rev. Mod. Phys., 36 (4): 938–965, Bibcode:1964RvMP...36..938H, doi:10.1103/RevModPhys.36.938
Hawking, Stephen W. (1966), "The occurrence of singularities in cosmology", Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 294 (1439): 511–521, Bibcode:1966RSPSA.294..511H, doi:10.1098/rspa.1966.0221, JSTOR 2415489, S2CID 120730123
Hawking, S. W. (1975), "Particle Creation by Black Holes", Communications in Mathematical Physics, 43 (3): 199–220, Bibcode:1975CMaPh..43..199H, doi:10.1007/BF02345020, S2CID 55539246
Hawking, Stephen W. (1987), "Quantum cosmology", in Hawking, Stephen W.; Israel, Werner (eds.), 300 Years of Gravitation, Cambridge University Press, pp. 631–651, ISBN 978-0-521-37976-2
Heckmann, O. H. L.; Schücking, E. (1959), "Newtonsche und Einsteinsche Kosmologie", in Flügge, S. (ed.), Encyclopedia of Physics, vol. 53, p. 489
Heusler, Markus (1998), "Stationary Black Holes: Uniqueness and Beyond", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 6, Bibcode:1998LRR.....1....6H, doi:10.12942/lrr-1998-6, PMC 5567259, PMID 28937184
Heusler, Markus (1996), Black Hole Uniqueness Theorems, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-56735-0
Hey, Tony; Walters, Patrick (2003), The new quantum universe, Cambridge University Press, Bibcode:2003nqu..book.....H, ISBN 978-0-521-56457-1
Hough, Jim; Rowan, Sheila (2000), "Gravitational Wave Detection by Interferometry (Ground and Space)", Living Reviews in Relativity, 3 (1): 3, Bibcode:2000LRR.....3....3R, doi:10.12942/lrr-2000-3, PMC 5255574, PMID 28179855
Hubble, Edwin (1929), "A Relation between Distance and Radial Velocity among Extra-Galactic Nebulae", Proc. Natl. Acad. Sci., 15 (3): 168–173, Bibcode:1929PNAS...15..168H, doi:10.1073/pnas.15.3.168, PMC 522427, PMID 16577160
Hulse, Russell A.; Taylor, Joseph H. (1975), "Discovery of a pulsar in a binary system", Astrophys. J., 195: L51–L55, Bibcode:1975ApJ...195L..51H, doi:10.1086/181708
Ibanez, L. E. (2000), "The second string (phenomenology) revolution", Class. Quantum Grav., 17 (5): 1117–1128, arXiv:hep-ph/9911499, Bibcode:2000CQGra..17.1117I, doi:10.1088/0264-9381/17/5/321, S2CID 15707877
Iorio, L. (2006), "A note on the evidence of the gravitomagnetic field of Mars", Classical and Quantum Gravity, 23 (17): 5451–5454, arXiv:gr-qc/0606092, Bibcode:2006CQGra..23.5451I, doi:10.1088/0264-9381/23/17/N01, S2CID 118233440
Iorio, L. (2009), "An Assessment of the Systematic Uncertainty in Present and Future Tests of the Lense–Thirring Effect with Satellite Laser Ranging", Space Sci. Rev., 148 (1–4): 363–381, arXiv:0809.1373, Bibcode:2009SSRv..148..363I, doi:10.1007/s11214-008-9478-1, S2CID 15698399
Iorio, L. (2010), "On the Lense–Thirring test with the Mars Global Surveyor in the gravitational field of Mars", Central European Journal of Physics, 8 (3): 509–513, arXiv:gr-qc/0701146, Bibcode:2010CEJPh...8..509I, doi:10.2478/s11534-009-0117-6, S2CID 16052420
Isham, Christopher J. (1994), "Prima facie questions in quantum gravity", in Ehlers, Jürgen; Friedrich, Helmut (eds.), Canonical Gravity: From Classical to Quantum, Springer, ISBN 978-3-540-58339-4
Israel, Werner (1971), "Event Horizons and Gravitational Collapse", General Relativity and Gravitation, 2 (1): 53–59, Bibcode:1971GReGr...2...53I, doi:10.1007/BF02450518, S2CID 119645546
Israel, Werner (1987), "Dark stars: the evolution of an idea", in Hawking, Stephen W.; Israel, Werner (eds.), 300 Years of Gravitation, Cambridge University Press, pp. 199–276, ISBN 978-0-521-37976-2
Janssen, Michel (2005), "Of pots and holes: Einstein's bumpy road to general relativity", Annalen der Physik, 14 (S1): 58–85, Bibcode:2005AnP...517S..58J, doi:10.1002/andp.200410130, S2CID 10641693, archived from the original (PDF) on 25 August 2020, retrieved 28 August 2010
Jaranowski, Piotr; Królak, Andrzej (2005), "Gravitational-Wave Data Analysis. Formalism and Sample Applications: The Gaussian Case", Living Reviews in Relativity, 8 (1): 3, Bibcode:2005LRR.....8....3J, doi:10.12942/lrr-2005-3, PMC 5253919, PMID 28163647
Kahn, Bob (1996–2012), Gravity Probe B Website, Stanford University, retrieved 20 April 2012
Kahn, Bob (14 April 2007), Was Einstein right? Scientists provide first public peek at Gravity Probe B results (Stanford University Press Release) (PDF), Stanford University News Service, archived (PDF) from the original on 23 April 2007
Kennefick, Daniel (2005), "Astronomers Test General Relativity: Light-bending and the Solar Redshift", in Renn, Jürgen (ed.), One hundred authors for Einstein, Wiley-VCH, pp. 178–181, ISBN 978-3-527-40574-9
Kennefick, Daniel (2007), "Not Only Because of Theory: Dyson, Eddington and the Competing Myths of the 1919 Eclipse Expedition", Proceedings of the 7th Conference on the History of General Relativity, Tenerife, 2005, vol. 0709, p. 685, arXiv:0709.0685, Bibcode:2007arXiv0709.0685K, doi:10.1016/j.shpsa.2012.07.010, S2CID 119203172
Kenyon, I. R. (1990), General Relativity, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-851996-6
Kochanek, C.S.; Falco, E.E.; Impey, C.; Lehar, J. (2007), CASTLES Survey Website, Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics, retrieved 21 August 2007
Komar, Arthur (1959), "Covariant Conservation Laws in General Relativity", Phys. Rev., 113 (3): 934–936, Bibcode:1959PhRv..113..934K, doi:10.1103/PhysRev.113.934
Kramer, Michael (2004). "Millisecond Pulsarsas Tools of Fundamental Physics". In Karshenboim, S. G.; Peik, E. (eds.). Astrophysics, Clocks and Fundamental Constants. Lecture Notes in Physics. Vol. 648. pp. 33–54. arXiv:astro-ph/0405178. Bibcode:2004LNP...648...33K. doi:10.1007/978-3-540-40991-5_3. ISBN 978-3-540-21967-5.
Kramer, M.; Stairs, I. H.; Manchester, R. N.; McLaughlin, M. A.; Lyne, A. G.; Ferdman, R. D.; Burgay, M.; Lorimer, D. R.; et al. (2006), "Tests of general relativity from timing the double pulsar", Science, 314 (5796): 97–102, arXiv:astro-ph/0609417, Bibcode:2006Sci...314...97K, doi:10.1126/science.1132305, PMID 16973838, S2CID 6674714
Kraus, Ute (1998), "Light Deflection Near Neutron Stars", Relativistic Astrophysics, Vieweg, pp. 66–81, ISBN 978-3-528-06909-4
Kuchař, Karel (1973), "Canonical Quantization of Gravity", in Israel, Werner (ed.), Relativity, Astrophysics and Cosmology, D. Reidel, pp. 237–288, ISBN 978-90-277-0369-9
Künzle, H. P. (1972), "Galilei and Lorentz Structures on spacetime: comparison of the corresponding geometry and physics", Annales de l'Institut Henri Poincaré A, 17: 337–362
Lahav, Ofer; Suto, Yasushi (2004), "Measuring our Universe from Galaxy Redshift Surveys", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 8, arXiv:astro-ph/0310642, Bibcode:2004LRR.....7....8L, doi:10.12942/lrr-2004-8, PMC 5253994, PMID 28163643
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975), The Classical Theory of Fields, v. 2, Elsevier Science, Ltd., ISBN 978-0-08-018176-9
Lehner, Luis (2001), "Numerical Relativity: A review", Class. Quantum Grav., 18 (17): R25–R86, arXiv:gr-qc/0106072, Bibcode:2001CQGra..18R..25L, doi:10.1088/0264-9381/18/17/202, S2CID 9715975
Lehner, Luis (2002). "Numerical Relativity: Status and Prospects". In Nigel T. Bishop; Sunil D. Maharaj (eds.). General Relativity and Gravitation. General Relativity and Gravitation: Proceedings of the 16th International Conference, Durban, South Africa, 15–21 July 2001. p. 210. arXiv:gr-qc/0202055. Bibcode:2002grg..conf..210L. doi:10.1142/9789812776556_0010. ISBN 978-981-238-171-2. S2CID 9145148.
Linde, Andrei (2005), Particle Physics and Inflationary Cosmology, Contemporary Concepts in Physics, vol. 5, pp. 1–362, arXiv:hep-th/0503203, Bibcode:2005hep.th....3203L, ISBN 978-3-7186-0489-0
Linde, Andrei (2006), "Towards inflation in string theory", J. Phys. Conf. Ser., 24 (1): 151–160, arXiv:hep-th/0503195, Bibcode:2005JPhCS..24..151L, doi:10.1088/1742-6596/24/1/018, S2CID 250677699
Loll, Renate (1998), "Discrete Approaches to Quantum Gravity in Four Dimensions", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 13, arXiv:gr-qc/9805049, Bibcode:1998LRR.....1...13L, doi:10.12942/lrr-1998-13, PMC 5253799, PMID 28191826
Lovelock, David (1972), "The Four-Dimensionality of Space and the Einstein Tensor", J. Math. Phys., 13 (6): 874–876, Bibcode:1972JMP....13..874L, doi:10.1063/1.1666069
MacCallum, M. (2006), "Finding and using exact solutions of the Einstein equations", in Mornas, L.; Alonso, J. D. (eds.), AIP Conference Proceedings (A Century of Relativity Physics: ERE05, the XXVIII Spanish Relativity Meeting), vol. 841, pp. 129–143, arXiv:gr-qc/0601102, Bibcode:2006AIPC..841..129M, doi:10.1063/1.2218172, S2CID 13096531
Mannheim, Philip D. (2006), "Alternatives to Dark Matter and Dark Energy", Prog. Part. Nucl. Phys., 56 (2): 340–445, arXiv:astro-ph/0505266, Bibcode:2006PrPNP..56..340M, doi:10.1016/j.ppnp.2005.08.001, S2CID 14024934
Mather, J. C.; Cheng, E. S.; Cottingham, D. A.; Eplee, R. E.; Fixsen, D. J.; Hewagama, T.; Isaacman, R. B.; Jensen, K. A.; et al. (1994), "Measurement of the cosmic microwave spectrum by the COBE FIRAS instrument", Astrophysical Journal, 420: 439–444, Bibcode:1994ApJ...420..439M, doi:10.1086/173574
Nordström, Gunnar (1918), "On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory", Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., 26: 1238–1245, Bibcode:1918KNAB...20.1238N
Norton, John D. (1985), "What was Einstein's principle of equivalence?" (PDF), Studies in History and Philosophy of Science, 16 (3): 203–246, Bibcode:1985SHPSA..16..203N, doi:10.1016/0039-3681(85)90002-0, archived (PDF) from the original on 22 September 2006, retrieved 11 June 2007
Ohanian, Hans C.; Ruffini, Remo (1994), Gravitation and Spacetime, W. W. Norton & Company, ISBN 978-0-393-96501-8
Olive, K. A.; Skillman, E. A. (2004), "A Realistic Determination of the Error on the Primordial Helium Abundance", Astrophysical Journal, 617 (1): 29–49, arXiv:astro-ph/0405588, Bibcode:2004ApJ...617...29O, doi:10.1086/425170, S2CID 15187664
O'Meara, John M.; Tytler, David; Kirkman, David; Suzuki, Nao; Prochaska, Jason X.; Lubin, Dan; Wolfe, Arthur M. (2001), "The Deuterium to Hydrogen Abundance Ratio Towards a Fourth QSO: HS0105+1619", Astrophysical Journal, 552 (2): 718–730, arXiv:astro-ph/0011179, Bibcode:2001ApJ...552..718O, doi:10.1086/320579, S2CID 14164537
Oppenheimer, J. Robert; Snyder, H. (1939), "On continued gravitational contraction", Physical Review, 56 (5): 455–459, Bibcode:1939PhRv...56..455O, doi:10.1103/PhysRev.56.455
Overbye, Dennis (1999), Lonely Hearts of the Cosmos: the story of the scientific quest for the secret of the Universe, Back Bay, ISBN 978-0-316-64896-7
Pais, Abraham (1982), 'Subtle is the Lord ...' The Science and life of Albert Einstein, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853907-0
Peacock, John A. (1999), Cosmological Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41072-4
Peebles, P. J. E. (1966), "Primordial Helium abundance and primordial fireball II", Astrophysical Journal, 146: 542–552, Bibcode:1966ApJ...146..542P, doi:10.1086/148918
Peebles, P. J. E. (1993), Principles of physical cosmology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01933-8
Peebles, P.J.E.; Schramm, D.N.; Turner, E.L.; Kron, R.G. (1991), "The case for the relativistic hot Big Bang cosmology", Nature, 352 (6338): 769–776, Bibcode:1991Natur.352..769P, doi:10.1038/352769a0, S2CID 4337502
Penrose, Roger (1965), "Gravitational collapse and spacetime singularities", Physical Review Letters, 14 (3): 57–59, Bibcode:1965PhRvL..14...57P, doi:10.1103/PhysRevLett.14.57
Penrose, Roger (1969), "Gravitational collapse: the role of general relativity", Rivista del Nuovo Cimento, 1: 252–276, Bibcode:1969NCimR...1..252P
Penzias, A. A.; Wilson, R. W. (1965), "A measurement of excess antenna temperature at 4080 Mc/s", Astrophysical Journal, 142: 419–421, Bibcode:1965ApJ...142..419P, doi:10.1086/148307
Peskin, Michael E. (2007), "Dark Matter and Particle Physics", Journal of the Physical Society of Japan, 76 (11): 111017, arXiv:0707.1536, Bibcode:2007JPSJ...76k1017P, doi:10.1143/JPSJ.76.111017, S2CID 16276112
Poincaré, M. H. (1905), "Sur la dynamique de l'électron", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 140: 1504–1508
Poisson, Eric (27 May 2004a). "The Motion of Point Particles in Curved Spacetime". Living Reviews in Relativity. 7 (1). 6. arXiv:gr-qc/0306052. Bibcode:2004LRR.....7....6P. doi:10.12942/lrr-2004-6. PMC 5256043. PMID 28179866.
Poisson, Eric (2004), A Relativist's Toolkit. The Mathematics of Black-Hole Mechanics, Cambridge University Press, Bibcode:2004rtmb.book.....P, ISBN 978-0-521-83091-1
Polchinski, Joseph (1998b), String Theory Vol. II: Superstring Theory and Beyond, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63304-8
Pound, R. V.; Rebka, G. A. (1959), "Gravitational Red-Shift in Nuclear Resonance", Physical Review Letters, 3 (9): 439–441, Bibcode:1959PhRvL...3..439P, doi:10.1103/PhysRevLett.3.439
Pound, R. V.; Rebka, G. A. (1960), "Apparent weight of photons", Phys. Rev. Lett., 4 (7): 337–341, Bibcode:1960PhRvL...4..337P, doi:10.1103/PhysRevLett.4.337
Pound, R. V.; Snider, J. L. (1964), "Effect of Gravity on Nuclear Resonance", Phys. Rev. Lett., 13 (18): 539–540, Bibcode:1964PhRvL..13..539P, doi:10.1103/PhysRevLett.13.539
Rees, Martin (1966), "Appearance of Relativistically Expanding Radio Sources", Nature, 211 (5048): 468–470, Bibcode:1966Natur.211..468R, doi:10.1038/211468a0, S2CID 41065207
Reissner, H. (1916), "Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie", Annalen der Physik, 355 (9): 106–120, Bibcode:1916AnP...355..106R, doi:10.1002/andp.19163550905
Remillard, Ronald A.; Lin, Dacheng; Cooper, Randall L.; Narayan, Ramesh (2006), "The Rates of Type I X-Ray Bursts from Transients Observed with RXTE: Evidence for Black Hole Event Horizons", Astrophysical Journal, 646 (1): 407–419, arXiv:astro-ph/0509758, Bibcode:2006ApJ...646..407R, doi:10.1086/504862, S2CID 14949527
Renn, Jürgen, ed. (2007), The Genesis of General Relativity (4 Volumes), Dordrecht: Springer, ISBN 978-1-4020-3999-7
Renn, Jürgen, ed. (2005), Albert Einstein—Chief Engineer of the Universe: Einstein's Life and Work in Context, Berlin: Wiley-VCH, ISBN 978-3-527-40571-8
Reula, Oscar A. (1998), "Hyperbolic Methods for Einstein's Equations", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 3, Bibcode:1998LRR.....1....3R, doi:10.12942/lrr-1998-3, PMC 5253804, PMID 28191833
Rovelli, Carlo, ed. (2015), General Relativity: The most beautiful of theories (de Gruyter Studies in Mathematical Physics), Boston: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3-11-034042-6
Rovelli, Carlo (2000). "Notes for a brief history of quantum gravity". arXiv:gr-qc/0006061.
Rovelli, Carlo (1998), "Loop Quantum Gravity", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 1, arXiv:gr-qc/9710008, Bibcode:1998LRR.....1....1R, CiteSeerX10.1.1.90.7036, doi:10.12942/lrr-1998-1, PMC 5567241, PMID 28937180
Schäfer, Gerhard (2004), "Gravitomagnetic Effects", General Relativity and Gravitation, 36 (10): 2223–2235, arXiv:gr-qc/0407116, Bibcode:2004GReGr..36.2223S, doi:10.1023/B:GERG.0000046180.97877.32, S2CID 14255129
Schödel, R.; Ott, T.; Genzel, R.; Eckart, A.; Mouawad, N.; Alexander, T. (2003), "Stellar Dynamics in the Central Arcsecond of Our Galaxy", Astrophysical Journal, 596 (2): 1015–1034, arXiv:astro-ph/0306214, Bibcode:2003ApJ...596.1015S, doi:10.1086/378122, S2CID 17719367
Schutz, Bernard F. (1985), A first course in general relativity, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-27703-7
Schutz, Bernard F. (2003), Gravity from the ground up, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45506-0
Schwarz, John H. (2007), "String Theory: Progress and Problems", Progress of Theoretical Physics Supplement, 170: 214–226, arXiv:hep-th/0702219, Bibcode:2007PThPS.170..214S, doi:10.1143/PTPS.170.214, S2CID 16762545
Schwarzschild, Karl (1916a), "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsber. Preuss. Akad. D. Wiss.: 189–196, Bibcode:1916SPAW.......189S
Schwarzschild, Karl (1916b), "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsber. Preuss. Akad. D. Wiss.: 424–434, Bibcode:1916skpa.conf..424S
Seidel, Edward (1998), "Numerical Relativity: Towards Simulations of 3D Black Hole Coalescence", in Narlikar, J. V.; Dadhich, N. (eds.), Gravitation and Relativity: At the turn of the millennium (Proceedings of the GR-15 Conference, held at IUCAA, Pune, India, December 16–21, 1997), IUCAA, p. 6088, arXiv:gr-qc/9806088, Bibcode:1998gr.qc.....6088S, ISBN 978-81-900378-3-9
Seljak, Uros̆; Zaldarriaga, Matias (1997), "Signature of Gravity Waves in the Polarization of the Microwave Background", Phys. Rev. Lett., 78 (11): 2054–2057, arXiv:astro-ph/9609169, Bibcode:1997PhRvL..78.2054S, doi:10.1103/PhysRevLett.78.2054, S2CID 30795875
Shapiro, S. S.; Davis, J. L.; Lebach, D. E.; Gregory, J. S. (2004), "Measurement of the solar gravitational deflection of radio waves using geodetic very-long-baseline interferometry data, 1979–1999", Phys. Rev. Lett., 92 (12): 121101, Bibcode:2004PhRvL..92l1101S, doi:10.1103/PhysRevLett.92.121101, PMID 15089661
Shapiro, Irwin I. (1964), "Fourth test of general relativity", Phys. Rev. Lett., 13 (26): 789–791, Bibcode:1964PhRvL..13..789S, doi:10.1103/PhysRevLett.13.789
Sorkin, Rafael D. (2005), "Causal Sets: Discrete Gravity", in Gomberoff, Andres; Marolf, Donald (eds.), Lectures on Quantum Gravity, Springer, p. 9009, arXiv:gr-qc/0309009, Bibcode:2003gr.qc.....9009S, ISBN 978-0-387-23995-8
Sorkin, Rafael D. (1997), "Forks in the Road, on the Way to Quantum Gravity", Int. J. Theor. Phys., 36 (12): 2759–2781, arXiv:gr-qc/9706002, Bibcode:1997IJTP...36.2759S, doi:10.1007/BF02435709, S2CID 4803804
Spergel, D. N.; Verde, L.; Peiris, H. V.; Komatsu, E.; Nolta, M. R.; Bennett, C. L.; Halpern, M.; Hinshaw, G.; et al. (2003), "First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Determination of Cosmological Parameters", Astrophys. J. Suppl. Ser., 148 (1): 175–194, arXiv:astro-ph/0302209, Bibcode:2003ApJS..148..175S, doi:10.1086/377226, S2CID 10794058
Spergel, D. N.; Bean, R.; Doré, O.; Nolta, M. R.; Bennett, C. L.; Dunkley, J.; Hinshaw, G.; Jarosik, N.; et al. (2007), "Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Three Year Results: Implications for Cosmology", Astrophysical Journal Supplement, 170 (2): 377–408, arXiv:astro-ph/0603449, Bibcode:2007ApJS..170..377S, doi:10.1086/513700, S2CID 1386346
Springel, Volker; White, Simon D. M.; Jenkins, Adrian; Frenk, Carlos S.; Yoshida, Naoki; Gao, Liang; Navarro, Julio; Thacker, Robert; et al. (2005), "Simulations of the formation, evolution and clustering of galaxies and quasars", Nature, 435 (7042): 629–636, arXiv:astro-ph/0504097, Bibcode:2005Natur.435..629S, doi:10.1038/nature03597, PMID 15931216, S2CID 4383030
Stairs, Ingrid H. (2003), "Testing General Relativity with Pulsar Timing", Living Reviews in Relativity, 6 (1): 5, arXiv:astro-ph/0307536, Bibcode:2003LRR.....6....5S, doi:10.12942/lrr-2003-5, PMC 5253800, PMID 28163640
Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003), Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2 ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46136-8
Szabados, László B. (2004), "Quasi-Local Energy–Momentum and Angular Momentum in GR", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 4, Bibcode:2004LRR.....7....4S, doi:10.12942/lrr-2004-4, PMC 5255888, PMID 28179865
Taylor, Joseph H. (1994), "Binary pulsars and relativistic gravity", Rev. Mod. Phys., 66 (3): 711–719, Bibcode:1994RvMP...66..711T, doi:10.1103/RevModPhys.66.711, S2CID 120534048
Thiemann, Thomas (2007), "Loop Quantum Gravity: An Inside View", Approaches to Fundamental Physics, Lecture Notes in Physics, vol. 721, pp. 185–263, arXiv:hep-th/0608210, Bibcode:2007LNP...721..185T, doi:10.1007/978-3-540-71117-9_10, ISBN 978-3-540-71115-5, S2CID 119572847
Thiemann, Thomas (2003). "Lectures on Loop Quantum Gravity". In Domenico J.W. Giulini; Claus Kiefer; Claus Lämmerzahl (eds.). Quantum Gravity: From Theory to Experimental Search. Lecture Notes in Physics. Vol. 631. pp. 41–135. arXiv:gr-qc/0210094. Bibcode:2003LNP...631...41T. doi:10.1007/978-3-540-45230-0_3. ISBN 978-3-540-40810-9. S2CID 119151491.
't Hooft, Gerard; Veltman, Martinus (1974), "One Loop Divergencies in the Theory of Gravitation", Annales de l'Institut Henri Poincaré A, 20 (1): 69, Bibcode:1974AIHPA..20...69T
Thorne, Kip S. (1972), "Nonspherical Gravitational Collapse—A Short Review", in Klauder, J. (ed.), Magic without Magic, W. H. Freeman, pp. 231–258
Thorne, Kip S. (1994), Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy, W W Norton & Company, ISBN 978-0-393-31276-8
Thorne, Kip S. (1995), "Gravitational radiation", Particle and Nuclear Astrophysics and Cosmology in the Next Millennium: 160, arXiv:gr-qc/9506086, Bibcode:1995pnac.conf..160T, ISBN 978-0-521-36853-7
Thorne, Kip (2003). "Warping spacetime". In G.W. Gibbons; E.P.S. Shellard; S.J. Rankin (eds.). The future of theoretical physics and cosmology: celebrating Stephen Hawking's 60th birthday. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82081-3.
Townsend, Paul K. (1997). "Black Holes (Lecture notes)". arXiv:gr-qc/9707012.
Townsend, Paul K. (1996). "Four Lectures on M-Theory". High Energy Physics and Cosmology. 13: 385. arXiv:hep-th/9612121. Bibcode:1997hepcbconf..385T.
Traschen, Jennie (2000), Bytsenko, A.; Williams, F. (eds.), "An Introduction to Black Hole Evaporation", Mathematical Methods of Physics (Proceedings of the 1999 Londrina Winter School), World Scientific: 180, arXiv:gr-qc/0010055, Bibcode:2000mmp..conf..180T
Trautman, Andrzej (2006), "Einstein–Cartan theory", in Françoise, J.-P.; Naber, G. L.; Tsou, S. T. (eds.), Encyclopedia of Mathematical Physics, Vol. 2, Elsevier, pp. 189–195, arXiv:gr-qc/0606062, Bibcode:2006gr.qc.....6062T
Unruh, W. G. (1976), "Notes on Black Hole Evaporation", Phys. Rev. D, 14 (4): 870–892, Bibcode:1976PhRvD..14..870U, doi:10.1103/PhysRevD.14.870
Veltman, Martinus (1975), "Quantum Theory of Gravitation", in Balian, Roger; Zinn-Justin, Jean (eds.), Methods in Field Theory – Les Houches Summer School in Theoretical Physics., vol. 77, North Holland
Wald, Robert M. (1975), "On Particle Creation by Black Holes", Commun. Math. Phys., 45 (3): 9–34, Bibcode:1975CMaPh..45....9W, doi:10.1007/BF01609863, S2CID 120950657
Wald, Robert M. (1994), Quantum field theory in curved spacetime and black hole thermodynamics, University of Chicago Press, Bibcode:1994qftc.book.....W, ISBN 978-0-226-87027-4
Wald, Robert M. (2001), "The Thermodynamics of Black Holes", Living Reviews in Relativity, 4 (1): 6, arXiv:gr-qc/9912119, Bibcode:2001LRR.....4....6W, doi:10.12942/lrr-2001-6, PMC 5253844, PMID 28163633
Walsh, D.; Carswell, R. F.; Weymann, R. J. (1979), "0957 + 561 A, B: twin quasistellar objects or gravitational lens?", Nature, 279 (5712): 381–4, Bibcode:1979Natur.279..381W, doi:10.1038/279381a0, PMID 16068158, S2CID 2142707
Wambsganss, Joachim (1998), "Gravitational Lensing in Astronomy", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 12, arXiv:astro-ph/9812021, Bibcode:1998LRR.....1...12W, doi:10.12942/lrr-1998-12, PMC 5567250, PMID 28937183
Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley, ISBN 978-0-471-92567-5
Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7
Weinberg, Steven (1996), The Quantum Theory of Fields II: Modern Applications, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4
Weinberg, Steven (2000), The Quantum Theory of Fields III: Supersymmetry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66000-6
Weisberg, Joel M.; Taylor, Joseph H. (2003), "The Relativistic Binary Pulsar B1913+16"", in Bailes, M.; Nice, D. J.; Thorsett, S. E. (eds.), Proceedings of "Radio Pulsars," Chania, Crete, August, 2002, ASP Conference Series
Will, Clifford M. (2006), "The Confrontation between General Relativity and Experiment", Living Reviews in Relativity, 9 (1): 3, arXiv:gr-qc/0510072, Bibcode:2006LRR.....9....3W, doi:10.12942/lrr-2006-3, PMC 5256066, PMID 28179873
Geroch, R. (1981), General Relativity from A to B, Chicago: University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-28864-2
Lieber, Lillian (2008), The Einstein Theory of Relativity: A Trip to the Fourth Dimension, Philadelphia: Paul Dry Books, Inc., ISBN 978-1-58988-044-3
Schutz, Bernard F. (2001), "Gravitational radiation", in Murdin, Paul (ed.), Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics, Institute of Physics Pub., ISBN 978-1-56159-268-5
Wald, Robert M. (1992), Space, Time, and Gravity: the Theory of the Big Bang and Black Holes, Chicago: University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87029-8
Wheeler, John; Ford, Kenneth (1998), Geons, Black Holes, & Quantum Foam: a life in physics, New York: W. W. Norton, ISBN 978-0-393-31991-0
Beginning undergraduate textbooks
Callahan, James J. (2000), The Geometry of Spacetime: an Introduction to Special and General Relativity, New York: Springer, ISBN 978-0-387-98641-8
Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald (2000), Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, Addison Wesley, ISBN 978-0-201-38423-9
Advanced undergraduate textbooks
Cheng, Ta-Pei (2005), Relativity, Gravitation and Cosmology: a Basic Introduction, Oxford and New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852957-6
Stephani, Hans (1990), General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37941-0
Will, Clifford; Poisson, Eric (2014). Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-03286-6.
Poisson, Eric (2007). A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53780-3.
Journal articles
Einstein, Albert (1916), "Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie", Annalen der Physik, 49 (7): 769–822, Bibcode:1916AnP...354..769E, doi:10.1002/andp.19163540702 See also English translation at Einstein Papers Project
Flanagan, Éanna É.; Hughes, Scott A. (2005), "The basics of gravitational wave theory", New J. Phys., 7 (1): 204, arXiv:gr-qc/0501041, Bibcode:2005NJPh....7..204F, doi:10.1088/1367-2630/7/1/204
Landgraf, M.; Hechler, M.; Kemble, S. (2005), "Mission design for LISA Pathfinder", Class. Quantum Grav., 22 (10): S487–S492, arXiv:gr-qc/0411071, Bibcode:2005CQGra..22S.487L, doi:10.1088/0264-9381/22/10/048, S2CID 119476595
Nieto, Michael Martin (2006), "The quest to understand the Pioneer anomaly" (PDF), Europhysics News, 37 (6): 30–34, arXiv:gr-qc/0702017, Bibcode:2006ENews..37f..30N, doi:10.1051/epn:2006604, archived (PDF) from the original on 24 September 2015
Shapiro, I. I.; Pettengill, Gordon; Ash, Michael; Stone, Melvin; Smith, William; Ingalls, Richard; Brockelman, Richard (1968), "Fourth test of general relativity: preliminary results", Phys. Rev. Lett., 20 (22): 1265–1269, Bibcode:1968PhRvL..20.1265S, doi:10.1103/PhysRevLett.20.1265
Valtonen, M. J.; Lehto, H. J.; Nilsson, K.; Heidt, J.; Takalo, L. O.; Sillanpää, A.; Villforth, C.; Kidger, M.; et al. (2008), "A massive binary black-hole system in OJ 287 and a test of general relativity", Nature, 452 (7189): 851–853, arXiv:0809.1280, Bibcode:2008Natur.452..851V, doi:10.1038/nature06896, PMID 18421348, S2CID 4412396
External links
Wikimedia Commons has media related to General relativity.
Wikibooks has more on the topic of: General relativity
Wikiquote has quotations related to General relativity.
Wikiversity has learning resources about General relativity
Wikisource has original works on the topic: Relativity
Wikisource has original text related to this article: