stringtranslate.com

Числовая цифра

Цифры от 0 до 9
Десять цифр арабских цифр в порядке возрастания значения.

Числовая цифра ( часто сокращается до просто цифры ) или цифра — это одиночный символ, используемый отдельно (например, «1») или в комбинациях (например, «15») для представления чисел в позиционной системе счисления. Название «цифра» происходит от того факта, что десять цифр ( латинское digiti означает пальцы) [1] рук соответствуют десяти символам общей десятичной системы счисления , то есть десятичным (древнелатинское прилагательное decem означает десять) [2] цифрам.

Для данной системы счисления с целочисленным основанием количество требуемых различных цифр определяется абсолютным значением основания. Например, десятичная система (основание 10) требует десять цифр (от 0 до 9), тогда как двоичная система (основание 2) требует две цифры (0 и 1).

Обзор

В базовой цифровой системе число представляет собой последовательность цифр, которая может быть произвольной длины. Каждая позиция в последовательности имеет разрядное значение , а каждая цифра имеет значение. Значение числа вычисляется путем умножения каждой цифры в последовательности на ее разрядное значение и суммирования результатов.

Цифровые ценности

Каждая цифра в системе счисления представляет целое число. Например, в десятичной системе цифра «1» представляет целое число один , а в шестнадцатеричной системе буква «A» представляет число десять . Позиционная система счисления имеет одну уникальную цифру для каждого целого числа от нуля до основания системы счисления, но не включая его.

Таким образом, в позиционной десятичной системе числа от 0 до 9 могут быть выражены с помощью соответствующих им цифр «0» — «9» в крайней правой позиции «единиц». Число 12 может быть выражено цифрой «2» в позиции единиц и цифрой «1» в позиции «десятков», слева от «2», в то время как число 312 может быть выражено тремя цифрами: «3» в позиции «сотней», «1» в позиции «десятков» и «2» в позиции «единиц».

Вычисление разрядных значений

В десятичной системе счисления используется десятичный разделитель , обычно точка в английском языке или запятая в других европейских языках, [3] для обозначения "места единиц" или "места единиц", [4] [5] [6] который имеет разрядное значение один. Каждое последующее место слева от него имеет разрядное значение, равное разрядному значению предыдущей цифры, умноженному на основание . Аналогично, каждое последующее место справа от разделителя имеет разрядное значение, равное разрядному значению предыдущей цифры, деленному на основание. Например, в числе 10,34 (записанном в десятичной системе счисления ),

0 находится сразу слева от разделителя, то есть на месте единиц или единиц, и называется цифрой единиц или цифрой единиц ; [7] [8] [9]
1 слева от разряда единиц находится в разряде десятков и называется цифрой десятков ; [10]
3 находится справа от разряда единиц, поэтому она находится в разряде десятых и называется цифрой десятых ; [11 ]
4 справа от десятых находится в сотых и называется сотыми . [ 11]

Общее значение числа — 1 десяток, 0 единиц, 3 десятых и 4 сотых. Ноль, который не вносит никакого вклада в число, указывает на то, что 1 находится в разряде десятков, а не единиц.

Значение разряда любой заданной цифры в числе может быть задано простым вычислением, которое само по себе является дополнением к логике, лежащей в основе систем счисления. Вычисление включает умножение заданной цифры на основание, возведенное в степень n − 1 , где n представляет положение цифры от разделителя; значение n положительно (+), но это только если цифра находится слева от разделителя. А справа цифра умножается на основание, возведенное в степень, отрицательную (−) n . Например, в числе 10,34 (записанном в десятичной системе счисления),

1 стоит второй слева от разделителя, поэтому на основе расчета ее значение равно:
4 стоит вторым справа от разделителя, поэтому на основе расчета ее значение равно:

История

Первой настоящей письменной позиционной системой счисления считается индо-арабская система счисления . Эта система была создана в 7 веке в Индии, [12] но еще не была в своей современной форме, потому что использование цифры ноль еще не было широко принято. Вместо нуля иногда цифры отмечались точками, чтобы указать их значение, или в качестве заполнителя использовался пробел. Первое широко признанное использование нуля было в 876 году. [13] Первоначальные цифры были очень похожи на современные, вплоть до глифов, используемых для представления цифр. [12]

Цифры системы счисления майя

К XIII веку западные арабские цифры были приняты в европейских математических кругах ( Фибоначчи использовал их в своей Liber Abaci ). Они начали входить в общее употребление в XV веке. [14] К концу XX века практически все некомпьютерные вычисления в мире выполнялись с помощью арабских цифр, которые заменили родные системы счисления в большинстве культур.

Другие исторические системы счисления, использующие цифры

Точный возраст цифр майя неясен, но возможно, что она старше, чем индо-арабская система. Система была двадцатеричной (основание 20), поэтому в ней было двадцать цифр. Майя использовали символ ракушки для обозначения нуля. Цифры писались вертикально, с единицами внизу. У майя не было эквивалента современного десятичного разделителя , поэтому их система не могла представлять дроби.

Тайская система счисления идентична индо-арабской системе счисления, за исключением символов, используемых для представления цифр. Использование этих цифр в Таиланде менее распространено , чем когда-то, но они все еще используются наряду с арабскими цифрами.

Стержневые цифры, письменные формы счетных палочек , когда-то использовавшиеся китайскими и японскими математиками, представляют собой десятичную позиционную систему, способную представлять не только ноль, но и отрицательные числа. Сами счетные палочки появились раньше индо-арабской системы счисления. Цифры Сучжоу являются вариантами стержневых цифр.

Современные цифровые системы

В области компьютерных наук

Двоичная (основание 2), восьмеричная (основание 8) и шестнадцатеричная (основание 16) системы, широко используемые в информатике , следуют соглашениям индо-арабской системы счисления . [15] Двоичная система использует только цифры «0» и «1», в то время как восьмеричная система использует цифры от «0» до «7». Шестнадцатеричная система использует все цифры из десятичной системы, а также буквы от «A» до «F», которые представляют числа от 10 до 15 соответственно. [16] Когда используется двоичная система, термин «бит(ы)» обычно используется как альтернатива для «цифры(ов)», являясь портманто термина «двоичная цифра».

Необычные системы

Иногда использовались троичные и сбалансированные троичные системы. Они обе являются системами с основанием 3. [ 17 ]

Сбалансированная троичная система необычна тем, что имеет цифровые значения 1, 0 и –1. Сбалансированная троичная система, как оказалось, имеет некоторые полезные свойства, и эта система использовалась в экспериментальных российских компьютерах «Сетунь» . [18]

Несколько авторов за последние 300 лет отметили удобство позиционной нотации , которая представляет собой модифицированное десятичное представление . Приводятся некоторые преимущества использования числовых цифр, представляющих отрицательные значения. В 1840 году Огюстен-Луи Коши отстаивал использование знакового представления чисел, а в 1928 году Флориан Каджори представил свою коллекцию ссылок для отрицательных чисел . Концепция знакового представления цифр также была принята в компьютерном проектировании .

Цифры в математике

Несмотря на существенную роль цифр в описании чисел, они относительно не важны для современной математики . [19] Тем не менее, существует несколько важных математических концепций, которые используют представление числа в виде последовательности цифр.

Цифровые корни

Цифровой корень — это однозначное число, полученное путем суммирования цифр заданного числа, затем суммирования цифр результата и так далее, пока не будет получено однозначное число. [20]

Выбрасывание девяток

Выбрасывание девяток — это процедура проверки арифметики, выполняемой вручную. Чтобы описать ее, представим цифровой корень из , как описано выше. Выбрасывание девяток использует тот факт, что если , то . В процессе выбрасывания девяток вычисляются обе стороны последнего уравнения , и если они не равны, то первоначальное сложение, должно быть, было неверным. [21]

Репьюниты и репандигиты

Репьюниты — это целые числа, представленные только цифрой 1. Например, 1111 (тысяча сто одиннадцать) — это репьюнит. Репьюниты — это обобщение репьюнитов; это целые числа, представленные повторными экземплярами одной и той же цифры. Например, 333 — это репьюнит. Простота репьюнитов представляет интерес для математиков. [22]

Палиндромные числа и числа Лишрела

Палиндромные числа — это числа, которые читаются одинаково, если их цифры переставить местами. [23] Число Лишрел — это положительное целое число, которое никогда не даёт палиндромного числа, если подвергнуть его итеративному процессу сложения с самим собой с переставленными цифрами. [24] Вопрос о том, существуют ли числа Лишрел в десятичной системе счисления, является открытой проблемой в развлекательной математике ; наименьшим кандидатом является 196. [25 ]

История древних чисел

Вспомогательные средства для счета, особенно использование частей тела (счет на пальцах), безусловно, использовались в доисторические времена, как и сегодня. Существует множество вариаций. Помимо счета десяти пальцев, некоторые культуры считали костяшки пальцев, пространство между пальцами рук и ног, а также пальцы. Культура Оксапмин в Новой Гвинее использует систему из 27 верхних частей тела для представления чисел. [26]

Для сохранения числовой информации с доисторических времен использовались бирки , вырезанные из дерева, кости и камня. [27] Культуры каменного века, включая древние коренные народы Америки, использовали бирки для азартных игр, личных услуг и торговли товарами.

Метод сохранения числовой информации в глине был изобретен шумерами между 8000 и 3500 годами до нашей эры. [28] Это делалось с помощью небольших глиняных жетонов различной формы, которые нанизывались как бусины на нить. Начиная примерно с 3500 года до нашей эры, глиняные жетоны постепенно заменялись числовыми знаками, отпечатанными круглым стилусом под разными углами на глиняных табличках (первоначально контейнерах для жетонов), которые затем обжигались. Около 3100 года до нашей эры письменные числа отделились от подсчитываемых вещей и стали абстрактными цифрами.

Между 2700 и 2000 годами до нашей эры в Шумере круглый стилус постепенно заменялся тростниковым стилусом, который использовался для вдавливания клиновидных клиновидных знаков в глину. Эти клинописные числовые знаки напоминали круглые числовые знаки, которые они заменили, и сохраняли аддитивную знаковую нотацию круглых числовых знаков. Эти системы постепенно сходились на общей шестидесятеричной системе счисления; это была система с позиционным значением, состоящая всего из двух вдавленных знаков, вертикального клина и шеврона, которые также могли представлять дроби. [29] Эта шестидесятеричная система счисления была полностью разработана в начале периода Старой Вавилонии (около 1950 года до нашей эры) и стала стандартной в Вавилонии. [30]

Шестидесятеричные числа были смешанной системой счисления , которая сохранила чередующиеся основания 10 и 6 в последовательности клинописных вертикальных клиньев и шевронов. К 1950 году до нашей эры это была позиционная система записи . Шестидесятеричные числа стали широко использоваться в торговле, но также использовались в астрономических и других расчетах. Эта система была экспортирована из Вавилонии и использовалась по всей Месопотамии, а также каждой средиземноморской страной, которая использовала стандартные вавилонские единицы измерения и счета, включая греков, римлян и египтян. Шестидесятеричная система счисления в вавилонском стиле все еще используется в современных обществах для измерения времени (минут в час) и углов (градусов). [31]

История современных чисел

В Китае армии и провизия подсчитывались с помощью модульных счетов простых чисел . Уникальные числа войск и меры риса появляются как уникальные комбинации этих счетов. Большое удобство модульной арифметики заключается в том, что ее легко умножать. [32] Это делает использование модульной арифметики для провизии особенно привлекательным. Обычные счеты довольно трудно умножать и делить. В наше время модульная арифметика иногда используется в цифровой обработке сигналов . [33]

Древнейшей греческой системой была система аттических цифр , [34] но в 4 веке до н. э. они начали использовать квазидесятичную алфавитную систему (см. Греческие цифры ). [35] Евреи начали использовать похожую систему ( еврейские цифры ), самые древние известные примеры — монеты, датируемые примерно 100 годом до н. э. [36]

Римская империя использовала бирки, написанные на воске, папирусе и камне, и примерно следовала греческому обычаю присваивать буквы различным числам. Римская система цифр оставалась общепринятой в Европе до тех пор, пока позиционная нотация не вошла в обиход в XVI веке. [37]

Майя Центральной Америки использовали смешанную систему счисления с основанием 18 и основанием 20, возможно, унаследованную от ольмеков , включая такие расширенные функции, как позиционная нотация и ноль . [38] Они использовали эту систему для выполнения сложных астрономических вычислений, включая высокоточные вычисления длины солнечного года и орбиты Венеры . [39]

Империя инков управляла крупной командной экономикой, используя кипу — метки, сделанные путем связывания цветных волокон. [40] Знание кодировок узлов и цветов было подавлено испанскими конкистадорами в XVI веке и не сохранилось, хотя простые записывающие устройства, похожие на кипу, все еще используются в Андском регионе.

Некоторые специалисты полагают, что позиционная арифметика началась с широкого использования счетных палочек в Китае. [41] Самые ранние письменные позиционные записи, по-видимому, являются результатами исчисления палочек в Китае около 400 г. Ноль был впервые использован в Индии в 7 веке н. э. Брахмагуптой . [42]

Современная позиционная арабская система счисления была разработана математиками в Индии и передана мусульманским математикам вместе с астрономическими таблицами, привезенными в Багдад индийским послом около 773 года. [43]

Из Индии процветающая торговля между исламскими султанами и Африкой принесла эту концепцию в Каир . Арабские математики расширили систему, включив в нее десятичные дроби , а Мухаммад ибн Муса аль-Хваризми написал важную работу об этом в IX веке. [44] Современные арабские цифры были введены в Европу с переводом этой работы в XII веке в Испании и Liber Abaci Леонардо Пизанского 1201 года. [ 45] В Европе полная индийская система с нулем была получена от арабов в XII веке. [46]

Двоичная система (основание 2) была распространена в 17 веке Готфридом Лейбницем . [47] Лейбниц разработал эту концепцию в начале своей карьеры и пересмотрел ее, когда просматривал копию И Цзин из Китая. [48] Двоичные числа стали широко использоваться в 20 веке из-за компьютерных приложений. [47]

Числа в самых популярных системах

Дополнительные цифры

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ""Digit" Origin". dictionary.com . Получено 23 мая 2015 г. .
  2. ^ ""Десятичное" происхождение". dictionary.com . Получено 23 мая 2015 г. .
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Decimal Point". mathworld.wolfram.com . Получено 22 июля 2020 г. .
  4. ^ Снайдер, Барбара Боде (1991). Практическая математика для технарей: основы . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. стр. 225. ISBN 0-13-251513-X. OCLC  22345295. единицы или единицы место
  5. ^ Эндрю Джексон Рикофф (1888). Прикладные числа. D. Appleton & Company. стр. 5–. единицы или единицы
  6. ^ Джон Уильям МакКлимондс; DR Jones (1905). Элементарная арифметика. RL Telfer. стр. 17–18. единицы или единицы
  7. ^ Ричард Э. Джонсон; Лона Ли Лендси; Уильям Э. Слесник (1967). Вводная алгебра для студентов колледжей. Addison-Wesley Publishing Company. стр. 30. единицы или единицы, цифра
  8. ^ RC Pierce; WJ Tebeaux (1983). Операционная математика для бизнеса. Wadsworth Publishing Company. стр. 29. ISBN 978-0-534-01235-9. цифра единиц или единиц
  9. ^ Макс А. Собель (1985). Алгебра один из Harper & Row. Harper & Row. стр. 282. ISBN 978-0-06-544000-3. единицы, цифра
  10. ^ Макс А. Собель (1985). Алгебра один из Harper & Row. Harper & Row. стр. 277. ISBN 978-0-06-544000-3. каждое двузначное число можно выразить как 10t+u, где t — это цифра десятков
  11. ^ ab Taggart, Robert (2000). Математика. Десятичные дроби и проценты . Портленд, Мэн.: J. Weston Walch. стр. 51–54. ISBN 0-8251-4178-8. OCLC  47352965.
  12. ^ ab O'Connor, JJ и Robertson, EF Арабские цифры. Январь 2001 г. Получено 20 февраля 2007 г.
  13. ^ Билл Кассельман (февраль 2007 г.). "Все за ничто". Тематическая колонка . AMS.
  14. ^ Брэдли, Джереми. «Как были изобретены арабские цифры». www.theclassroom.com . Получено 22 июля 2020 г. .
  15. ^ Равичандран, Д. (1 июля 2001 г.). Введение в компьютеры и связь. Tata McGraw-Hill Education. стр. 24–47. ISBN 978-0-07-043565-0.
  16. ^ "Hexadecimals". www.mathsisfun.com . Получено 22 июля 2020 г. .
  17. ^ "Third Base" (PDF) . 30 октября 2019 г. Архивировано из оригинала (PDF) 30 октября 2019 г. Получено 22 июля 2020 г.
  18. ^ "Развитие троичных компьютеров в МГУ. Российский виртуальный компьютерный музей". www.computer-museum.ru . Получено 22 июля 2020 г.
  19. ^ Кириллов, А.А. «Что такое числа?» (PDF) . math.upenn . стр. 2. Правда, если вы откроете современный математический журнал и попытаетесь прочитать любую статью, то весьма вероятно, что вы вообще не увидите никаких чисел.
  20. ^ Weisstein, Eric W. "Digital Root". mathworld.wolfram.com . Получено 22 июля 2020 г. .
  21. ^ Weisstein, Eric W. "Casting Out Nines". mathworld.wolfram.com . Получено 22 июля 2020 г. .
  22. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Repunit». Математический мир .
  23. ^ Weisstein, Eric W. "Palindromic Number". mathworld.wolfram.com . Получено 22 июля 2020 г. .
  24. ^ Weisstein, Eric W. "Lychrel Number". mathworld.wolfram.com . Получено 22 июля 2020 г. .
  25. ^ Гарсия, Стефан Рамон; Миллер, Стивен Дж. (13 июня 2019 г.). 100 лет математических вех: коллекция столетия Пи Мю Эпсилон. Американское математическое общество. стр. 104–105. ISBN 978-1-4704-3652-0.
  26. ^ Сакс, Джеффри Б. (2012). Культурное развитие математических идей: исследования Папуа-Новой Гвинеи . Эсмонд, Индиго. Кембридж: Cambridge University Press. стр. 44–45. ISBN 978-1-139-55157-1. OCLC  811060760. Система организма Окспамин включает 27 частей тела...
  27. ^ Тунис, К. (Клаудио) (24 мая 2016 г.). Люди: несанкционированная биография . Тибери Випрайо, Патриция, Хейдок, Джульетта. Швейцария. стр. 101. ISBN 978-3-319-31021-3. OCLC  951076018. ...ровные зарубки, вырезанные на палочках из дерева, кости или других материалов, возраст которых составляет 30 000 лет (часто называемые «зарубчатыми билли»).{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  28. ^ Ифра, Жорж (1985). От единицы до нуля: универсальная история чисел . Нью-Йорк: Викинг. п. 154. ИСБН 0-670-37395-8OCLC  11237558. Итак, к началу третьего тысячелетия до нашей эры шумеры и эламиты переняли практику записи числовой информации на небольших, обычно прямоугольных глиняных табличках.
  29. ↑ Лондонская энциклопедия, или Универсальный словарь науки, искусства, литературы и практической механики: включающий популярный взгляд на современное состояние знаний; иллюстрированный многочисленными гравюрами и соответствующими диаграммами. Т. Тегг. 1845. стр. 226.
  30. ^ Нойгебауэр, О. (11 ноября 2013 г.). Избранные эссе по астрономии и истории. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-5559-8.
  31. ^ Powell, Marvin A. (2008). «Шестидесятеричная система». Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в не-западных культурах . Берлин/Гейдельберг: Springer-Verlag. стр. 1998–1999. doi :10.1007/978-1-4020-4425-0_9055. ISBN 978-1-4020-4559-2.
  32. ^ Кнут, Дональд Эрвин (1998). Искусство программирования . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-201-03809-9OCLC  823849. Преимущества модульного представления в том, что сложение, вычитание и умножение очень просты .
  33. ^ Эхтле, Клаус; Хаммер, Дитер; Пауэлл, Дэвид (21 сентября 1994 г.). Надежные вычисления - EDCC-1: Первая европейская конференция по надежным вычислениям, Берлин, Германия, 4-6 октября 1994 г. Труды. Springer Science & Business Media. стр. 439. ISBN 978-3-540-58426-1.
  34. ^ Woodhead, AG (Arthur Geoffrey) (1981). Изучение греческих надписей (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. С. 109–110. ISBN 0-521-23188-4. OCLC  7736343.
  35. ^ Ушаков, Игорь (22 июня 2012). В начале было число (2). Lulu.com. ISBN 978-1-105-88317-0.
  36. ^ Chrisomalis, Stephen (2010). Числовая нотация: сравнительная история . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 157. ISBN 978-0-511-67683-3OCLC  630115876. Первый достоверно датированный случай, в котором использование еврейских буквенных цифр достоверно, относится к монетам времен правления царя Хасмонеев Александра Янея (103–76 гг. до н. э.) ...
  37. ^ Silvercloud, Терри Дэвид (2007). Облик Бога: Секреты, Сказки и Легенды Воинов Рассвета. Терри Дэвид Silvercloud. стр. 152. ISBN 978-1-4251-0836-6.
  38. ^ Уилер, Рюрик Э.; Уилер, Эд Р. (2001), Современная математика, Кендалл Хант, стр. 130, ISBN 9780787290627.
  39. ^ Свами, Девамрита (2002). Поиски Ведической Индии. The Bhaktivedanta Book Trust. ISBN 978-0-89213-350-5. Астрономия майя точно рассчитала как продолжительность солнечного года, так и синодическое обращение Венеры.
  40. ^ "Quipu | Инструмент для подсчета инков". Encyclopedia Britannica . Получено 23 июля 2020 г. .
  41. ^ Чэнь, Шэн-Хун (21 июня 2018 г.). Вычислительная геомеханика и гидравлические конструкции. Springer. стр. 8. ISBN 978-981-10-8135-4. … определенно до 400 г. до н.э. у них существовала похожая позиционная система обозначений, основанная на древних счетных стержнях.
  42. ^ "Основания математики – Переосмысление бесконечности". Encyclopaedia Britannica . Получено 23 июля 2020 г.
  43. ↑ Энциклопедия Британника. 1899. С. 626.
  44. ^ Struik, Dirk J. (Dirk Jan) (1967). Краткая история математики (3-е переиздание). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-60255-9. OCLC  635553.
  45. ^ Sigler, Laurence (11 ноября 2003 г.). Liber Abaci Фибоначчи: перевод на современный английский язык Книги вычислений Леонардо Пизано. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-40737-1.
  46. ^ Деминг, Дэвид (2010). Наука и техника в мировой истории. Том 1, Древний мир и классическая цивилизация . Джефферсон, Северная Каролина: McFarland & Co. стр. 86. ISBN 978-0-7864-5657-4. OCLC  650873991.
  47. ^ аб Янушкевич, Светлана Н. (2008). Введение в логическое проектирование . Шмерко, Влад П. Бока-Ратон: CRC Press. п. 56. ИСБН 978-1-4200-6094-2. OCLC  144226528.
  48. ^ Слоан, Сара (2005). И-Цзин для писателей: поиск страницы внутри себя . Новато, Калифорния: New World Library. стр. 9. ISBN 1-57731-496-4. OCLC  56672043.