Правильный додекаэдр

Выпуклый многогранник с 12 правильными пятиугольными гранями.

Правильный додекаэдр или пятиугольный додекаэдр — это додекаэдр , состоящий из правильных пятиугольных граней, по три сходящихся в каждой вершине . Это пример платоновых тел , описанных Платоном в его диалогах как космическое созвездие, и оно использовалось как часть Солнечной системы , предложенной Иоганном Кеплером . Однако правильный додекаэдр, включая другие платоновы тела, уже был описан другими философами с древности.

Правильный додекаэдр — это семейство усеченных трапецоэдров, поскольку он является результатом усечения осевых вершин пятиугольного трапецоэдра . Это также многогранник Гольдберга, поскольку это исходный многогранник, из которого строятся новые многогранники путем снятия фасок . Он имеет связь с другими платоновыми телами, одним из которых является правильный икосаэдр, как и его двойственный многогранник . Другие новые многогранники можно построить, используя правильный додекаэдр.

Метрические свойства и конструкция правильного додекаэдра связаны с золотым сечением . Правильный додекаэдр можно найти во многих популярных культурах: римский додекаэдр , детские сказки, игрушки и живопись. Его также можно найти в природе и супрамолекулах, а также в форме Вселенной. Скелет правильного додекаэдра можно представить в виде графа , называемого додекаэдрическим графом , платоновым графом . Его свойство гамитониана — путь посещает все свои вершины ровно один раз — можно найти в игрушке под названием икосианская игра .

Как платоново тело

Правильный додекаэдр — это многогранник с 12 пятиугольными гранями, 30 ребрами и 20 вершинами. ^[1] Это одно из Платоновых тел , набор многогранников, грани которых представляют собой правильные многоугольники , конгруэнтные и одинаковое количество граней сходятся в вершинах. ^[2] Этот набор многогранников назван в честь Платона . В диалоге Платона «Теэтет » Платон выдвинул гипотезу, что классические элементы состоят из пяти однородных правильных тел. Платон описал правильный додекаэдр, неясно заметил: «...бог использовал [его] для расположения созвездий на всем небе». Тимей , как персонаж диалога Платона, связывает остальные четыре платоновых тела — правильный тетраэдр , куб , правильный октаэдр и правильный икосаэдр — с четырьмя классическими элементами , добавляя, что существует пятое твердое тело, которое, хотя и обычно ассоциируется с правильным додекаэдр никогда прямо не упоминается как таковой; «этот Бог использовал при описании вселенной». ^[3] Аристотель также постулировал, что небеса состоят из пятого элемента, который он назвал aithêr ( эфир на латыни, эфир на американском английском). ^[4]

Следуя Платону за приписыванием его природе, Иоганн Кеплер в своих «Гармониях мира» нарисовал каждое из платоновых тел, одно из которых представляет собой правильный додекаэдр. ^[5] В своей «Mysterium Cosmographicum» Кеплер также предложил Солнечную систему , используя Платоновы тела, входящие в одно другое, и разделяя их шестью сферами, напоминающими шесть планет. Упорядоченные тела начинались от самого внутреннего к самому внешнему: правильный октаэдр, правильный икосаэдр, правильный додекаэдр, правильный тетраэдр и куб. ^[6]

3D модель правильного додекаэдра

Многие философы античности описывали правильный додекаэдр, включая остальные платоновы тела. Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, был ответственным за первое известное доказательство того, что других выпуклых правильных многогранников не существует. Евклид полностью математически описал Платоновы тела в «Началах» , последняя книга (книга XIII) которых посвящена их свойствам. Предложения 13–17 в книге XIII описывают построение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в указанном порядке. Для каждого твердого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В предложении 18 он утверждает, что больше не существует выпуклых правильных многогранников. Ямвлих утверждает, что Гиппас , пифагорейец, погиб в море, потому что он хвастался, что первым раскрыл «сферу с двенадцатью пятиугольниками». ^[7]

Связь с правильным икосаэдром

Правильный икосаэдр внутри правильного додекаэдра.

Двойственный многогранник додекаэдра — это правильный икосаэдр . Одним из свойств двойственного многогранника обычно является то, что исходный многогранник и его двойственный многогранник имеют одну и ту же трехмерную группу симметрии . В случае правильного додекаэдра он имеет ту же симметрию, что и правильный икосаэдр, — икосаэдрическую симметрию . ^[8] ${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$

Правильный додекаэдр, вписанный в сферу , занимает больший объём сферы (66,49 %), чем икосаэдр, вписанный в ту же сферу (60,55 %). ^[9] Получение объемов обеих сфер изначально началось с задачи древних греков, определявшей, какая из двух фигур имеет больший объем: икосаэдр, вписанный в сферу, или додекаэдр, вписанный в ту же сферу. Проблему решили, среди прочих, Герой Александрийский , Папп Александрийский и Фибоначчи . ^[10] Аполлоний Пергский обнаружил любопытный результат: соотношение объемов этих двух фигур такое же, как и соотношение площадей их поверхностей. ^[11] В обоих томах есть формулы, включающие золотое сечение, но они приведены к разным степеням. ^[1]

Золотой прямоугольник также может относиться как к правильному икосаэдру, так и к правильному додекаэдру. Правильный икосаэдр можно построить, пересекая перпендикулярно три золотых прямоугольника, расположенных ортогонально два на два, и соединяя каждую вершину золотого прямоугольника сегментной линией. В правильном икосаэдре 12 вершин, которые считаются центрами 12 граней правильного додекаэдра. ^[12]

Связь с правильным тетраэдром

Пять тетраэдров вписаны в додекаэдр. Также можно вписать пять противоположных тетраэдров (не показаны).

Как в куб можно вписать два противоположных тетраэдра, а в додекаэдр — пять кубов, так и в додекаэдр можно вписать десять тетраэдров, состоящих из пяти кубов: два противоположных набора по пять, каждый из которых охватывает все 20 вершин и каждую вершину в два тетраэдра (по одному из каждого набора, но не из противостоящей пары). Как цитирует Коксетер и др. (1938), ^[13]

«Как тетраэдр можно вписать в куб, так и куб можно вписать в додекаэдр. Взаимно-поступательным движением это приводит к октаэдру, описанному около икосаэдра. Фактически, каждая из двенадцати вершин икосаэдра делит ребро октаэдр согласно « золотому сечению ». Учитывая икосаэдр, описанный октаэдр можно выбрать пятью способами, образуя соединение пяти октаэдров , которое подпадает под наше определение звездчатого икосаэдра (взаимное соединение пяти кубов, вершины которых совпадают). принадлежат додекаэдру, является звездчатым триаконтаэдром .) Другой звездчатый икосаэдр можно сразу вывести, превратив каждый октаэдр в звездчатую октангулу , образовав таким образом соединение десяти тетраэдров . Далее, мы можем выбрать один тетраэдр из каждой звездчатой ​​октангулы, так что. как получить соединение пяти тетраэдров , которое по-прежнему обладает всей вращательной симметрией икосаэдра (т.е. икосаэдрической группы), хотя и утратило отражения. Отражая эту фигуру в любой плоскости симметрии икосаэдра, мы получаем дополнительную. набор из пяти тетраэдров. Эти два набора из пяти тетраэдров энантиоморфны, то есть не конгруэнтны напрямую, а связаны, как пара обуви. [Такая] фигура, не имеющая плоскости симметрии (так что она энантиоморфна своему зеркальному изображению), называется киральной » .

Матрица конфигурации

Матрица конфигурации — это матрица , в которой строки и столбцы соответствуют элементам многогранника, таким как вершины, ребра и грани. Диагональ матрицы обозначает количество каждого элемента, который появляется в многограннике, тогда как недиагональ матрицы обозначает количество элементов столбца, которые встречаются в элементе строки или рядом с ним . Правильный додекаэдр можно представить в виде следующей матрицы: ^{[14] [15]} $${\displaystyle {\begin{bmatrix}20&3&3\\2&30&2\\5&5&12\end{bmatrix}}}$$

Связь с золотым сечением

Золотое сечение — это отношение двух чисел, равное отношению их суммы к большей из двух величин. ^[16] Это один из двух корней многочлена, выраженного как . ^[17] Золотое сечение можно применить к метрическим свойствам правильного додекаэдра, а также для построения правильного додекаэдра. ${\textstyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}$

Площадь поверхности и объем правильного додекаэдра с длиной ребра равны: ^[18] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle A={\frac {15\phi }{\sqrt {3-\phi }}}a^{2},\qquad V={\frac {5\phi ^{3}}{6-2\phi }}a^{3}.}$$

Декартовы координаты правильного додекаэдра:

•  : оранжевые вершины лежат в точках (±1, ±1, ±1) .
•  : зеленые вершины лежат в точках (0, ± φ , ± ⁠1/φ⁠ ) ​​и образуем прямоугольник на плоскости yz .
•  : синие вершины лежат в (± ⁠1/φ⁠ , 0, ± φ ) и образуют прямоугольник на плоскости xz .
•  : розовые вершины лежат в точках (± φ , ± ⁠1/φ⁠ , 0) и образуют прямоугольник на плоскости xy .

Следующие декартовы координаты определяют 20 вершин правильного додекаэдра с центром в начале координат, соответствующим масштабом и ориентацией: ^[19] $${\displaystyle {\begin{aligned}(\pm 1,\pm 1,\pm 1),&\qquad (0,\pm \phi ,\pm 1/\phi ),\\(\pm 1/\phi ,0,\pm \phi ),&\qquad (\pm \phi ,\pm 1/\phi ,0).\end{aligned}}}$$

Если длина ребра правильного додекаэдра равна , радиус описанной сферы (той, которая касается правильного додекаэдра во всех вершинах), радиус вписанной сферы ( касательная к каждой из граней правильного додекаэдра) и мидрадиус (одна который касается середины каждого ребра): ^[20] Обратите внимание, что для правильного додекаэдра с длиной ребра один - радиус описанной сферы вокруг куба с длиной ребра , а - апофема правильного пятиугольника с длиной ребра . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r_{u}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{u}&={\frac {\phi {\sqrt {3}}}{2}}a\approx 1.401a,\\r_{i}&={\frac {\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}a\approx 1.114a,\\r_{m}&={\frac {\phi ^{2}}{2}}a\approx 1.309a.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r_{u}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \phi }$

Двугранный угол правильного додекаэдра между всеми двумя соседними пятиугольными гранями равен примерно 116,565°. ${\displaystyle 2\arctan(\phi )}$

Другие связанные геометрические объекты

Правильный додекаэдр можно интерпретировать как усеченный трапецоэдр . Это набор многогранников, которые можно построить путем усечения двух осевых вершин трапецоэдра . Здесь правильный додекаэдр построен путем усечения пятиугольного трапецоэдра.

Правильный додекаэдр можно интерпретировать как многогранник Гольдберга . Это набор многогранников, содержащих шестиугольные и пятиугольные грани. За исключением двух платоновых тел — тетраэдра и куба — правильный додекаэдр является начальным элементом конструкции многогранника Гольдберга, а следующий многогранник получается в результате усечения всех его ребер — процесса, называемого фаской . Этот процесс можно повторять постоянно, в результате чего появляется больше новых многогранников Гольдберга. Эти многогранники классифицируются как первый класс многогранников Гольдберга. ^[21]

Звездочки правильного додекаэдра составляют три из четырех многогранников Кеплера-Пуансо . Первая звёздчатка правильного додекаэдра строится путём скрепления его слоя пятиугольными пирамидами, образующими небольшой звёздчатый додекаэдр . Вторая звездчатость заключается в соединении маленького звездчатого додекаэдра с помощью клиньев , образуя большой додекаэдр . Третья звездчатость — это соединение большого додекаэдра с острыми треугольными пирамидами, образуя большой звездчатый додекаэдр . ^[22]

Появления

В изобразительном искусстве

Римский додекаэдр

Правильные додекаэдры использовались в качестве игральных костей и, вероятно, также как приспособления для гаданий. В эллинистическую эпоху были изготовлены небольшие полые бронзовые римские додекаэдры , которые были найдены в различных римских руинах в Европе. ^{[23] [24]} Его цель не определена.

В искусстве 20-го века додекаэдры появляются в работах М. К. Эшера , таких как его литографии «Рептилии» (1943) и «Гравитация» (1952). На картине Сальвадора Дали «Таинство Тайной Вечери» (1955) комната представляет собой полый правильный додекаэдр. Джерард Кэрис основал все свое художественное творчество на правильном додекаэдре и пятиугольнике, представленных как новое художественное направление, получившее название пентагонизм.

В игрушках и популярной культуре

В современных ролевых играх правильный додекаэдр часто используется как двенадцатигранная игральная кость, одна из наиболее распространенных многогранных игральных костей . Извилистая головоломка Megaminx имеет форму правильного додекаэдра наряду с его аналогами большего и меньшего порядка .

В детском романе «Призрачная платная будка» правильный додекаэдр появляется как персонаж страны математики. Каждая грань правильного додекаэдра описывает различные выражения лица , поворачиваясь вперед в зависимости от настроения. ^{[ нужна цитата ]}

В природе и супрамолекулах

Ископаемый кокколитофор Braarudosphaera bigelowii (см. рисунок), одноклеточная прибрежная фитопланктонная водоросль , имеет оболочку из карбоната кальция с правильной додекаэдрической структурой диаметром около 10 микрометров. ^[26]

Некоторые квазикристаллы и каркасы имеют додекаэдрическую форму (см. рисунок). Говорят, что некоторые обычные кристаллы, такие как гранат и алмаз, также обладают «додекаэдрической» формой , но на самом деле это утверждение относится к форме ромбического додекаэдра . ^{[27] [25]}

Форма Вселенной

Были предложены различные модели глобальной геометрии Вселенной. Эти предложения включают додекаэдрическое пространство Пуанкаре , положительно искривленное пространство, состоящее из правильного додекаэдра, противоположные грани которого соответствуют (с небольшим поворотом). Это было предложено Жан-Пьером Люмине и его коллегами в 2003 году ^{[28] [29]} , а оптимальная ориентация модели на небе была оценена в 2008 году. ^[30]

В рассказе Бертрана Рассела 1954 года «Кошмар математика: видение профессора Скверпунта» число 5 гласило: «Я — количество пальцев на руке. Я создаю пятиугольники и пентаграммы. И без меня додекаэдры не могли бы существовать». ; и, как всем известно, Вселенная представляет собой додекаэдр. Итак, если бы не я, Вселенной не было бы». ^{[ нужна цитата ]}

Додекаэдрический граф

Гамильтоновость додекаэдрального графа и математическая игрушечная икосианская игра

По теореме Стейница граф можно представить как остов многогранника; грубо говоря, каркас многогранника. Такой граф имеет два свойства. Он плоский , то есть ребра графа соединены с каждой вершиной, не пересекая другие ребра. Это также 3-связный граф , что означает, что всякий раз, когда в графе более трех вершин и две вершины удаляются, ребра остаются связными. ^{[31] [32]} Скелет правильного додекаэдра можно представить в виде графа, и он называется додекаэдрическим графом , платоновым графом . ^[33]

Этот граф также можно построить как обобщенный граф Петерсена , где вершины десятиугольника соединены с вершинами двух пятиугольников: один пятиугольник соединен с нечетными вершинами десятиугольника, а другой пятиугольник соединен с четными вершинами. ^[34] Геометрически это можно представить как 10-вершинный экваториальный пояс додекаэдра, соединенный с двумя 5-вершинными полярными областями, по одной на каждой стороне. ${\displaystyle G(10,2)}$

Высокая степень симметрии многоугольника воспроизводится в свойствах этого графа, который является дистанционно-транзитивным , дистанционно-регулярным и симметричным . Группа автоморфизмов имеет порядок 120. Вершины, как и ребра, можно раскрасить в 3 цвета, а диаметр равен 5. ^[35]

Додекаэдрический граф является гамильтоновым , что означает, что путь посещает все свои вершины ровно один раз. Название этого свойства названо в честь Уильяма Роуэна Гамильтона , который изобрел математическую игру, известную как икосианская игра . Целью игры было найти гамильтонов цикл по ребрам додекаэдра. ^[36]

Смотрите также

• 120-ячеечный , правильный полихорон (4D-многогранник, поверхность которого состоит из 120 додекаэдрических ячеек)
• Braarudosphaera bigelowii — кокколитофор в форме додекаэдра( одноклеточные водоросли фитопланктона ).
• Додекаэдран (молекула)
• Додекаэдр Пентакиса
• Курносый додекаэдр
• Усеченный додекаэдр

Рекомендации

1. Саттон, Дауд (2002). Платоновые и архимедовы тела. Деревянные книги. Издательство Блумсбери США. п. 55. ИСБН 9780802713865.
2. Херрманн, Дайан Л.; Салли, Пол Дж. (2013). Число, форма и симметрия: введение в теорию чисел, геометрию и теорию групп. Тейлор и Фрэнсис. п. 252. ИСБН 978-1-4665-5464-1.
3. Платон, Тимей , перевод Джоветта [строка 1317–8]; греческое слово, переведенное как очертание, — диазографеин , то есть изображение, напоминающее жизнь.
4. Вильдберг, Кристиан (1988). Критика Иоанном Филопоном теории эфира Аристотеля. Вальтер де Грюйтер . стр. 11–12. ISBN 9783110104462.
5. Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Издательство Кембриджского университета. п. 57.
6. Ливио (2003), с. 147.
7. Флориан Каджори , История математики (1893)
8. Эриксон, Мартин (2011). Красивая математика. Математическая ассоциация Америки . п. 62. ИСБН 978-1-61444-509-8.
9. Букер, МЫ; Эгглтон, РБ (1969). «Платоновы тела (Решение задачи E2053)». Американский математический ежемесячник . 76 (2): 192. дои : 10.2307/2317282. JSTOR  2317282.
10. Герц-Фишлер, Роджер (2013). Математическая история золотого числа. Публикации Courier Dover. стр. 138–140. ISBN 9780486152325.
11. Симмонс, Джордж Ф. (2007). Жемчужины исчисления: краткие жизни и памятная математика. Математическая ассоциация Америки. п. 50. ISBN 9780883855614.
12. Марар, Тон (2022). Игровое путешествие в геометрическую топологию. п. 23. дои : 10.1007/978-3-031-07442-4. ISBN 978-3-031-07442-4.
13. Коксетер, HSM ; дю Валь, Патрик ; Флатер, ХТ; Петри, Дж. Ф. (1938). Пятьдесят девять икосаэдров . Том. 6. Исследования Университета Торонто (математическая серия). п. 4.
14. Коксетер, HSM (1973) [1948]. «§1.8 Конфигурации». Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications .
15. Коксетер, HSM (1991). Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 117.
16. Шилак, Винсент П. (1987). «Последовательность Фибоначчи и золотое сечение». Учитель математики . 80 (5): 357–358. дои : 10.5951/MT.80.5.0357. JSTOR  27965402.Этот источник содержит элементарный вывод значения золотого сечения.
17. Питерс, JMH (1978). «Приблизительная связь между π и золотым сечением». Математический вестник . 62 (421): 197–198. дои : 10.2307/3616690. JSTOR  3616690. S2CID  125919525.
18. Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (первое издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Broadway Books . стр. 70–71. ISBN 0-7679-0816-3.
19. Пэт, Алан В. (1991). «Точная двугранная метрика для обыкновенных многогранников». В Арво, Джеймс (ред.). Графические драгоценности II . Академическая пресса . п. 177.
20. Коксетер (1973) Таблица I (i), стр. 292–293. См. столбцы с пометками , и , обозначения Коксетера для радиуса описанной окружности, среднего радиуса и внутреннего радиуса соответственно, также отметив, что Коксетер использует в качестве длины ребра (см. стр. 2). ${\displaystyle {}_{0}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle {}_{2}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle 2\ell }$
21. Харт, Джордж (2012). «Многогранники Гольдберга». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства (2-е изд.). Спрингер. п. 127. дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_9. ISBN 978-0-387-92713-8.
22. Кромвель (1997), с. 265.
23. Гуггенбергер, Майкл (2013). «Галло-римский додекаэдр». Математический интеллект . 35 (4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 56–60. дои : 10.1007/s00283-013-9403-7. ISSN  0343-6993. S2CID  122337773.
24. Хилл, Кристофер (1994). «Галло-римские додекаэдры: отчет о ходе работы». Журнал антикваров . 74 . Издательство Кембриджского университета : 289–292. дои : 10.1017/s0003581500024458. ISSN  0003-5815. S2CID  161691752.
25. Кай Ву; Джонатан Ничке (2023). «Систематическое создание капсул все большего размера из пятикомпонентного субкомпонента на основе пиррола». Синтез природы . дои : 10.1038/s44160-023-00276-9.
26. Хагино К., Онума Р., Кавачи М. и Хоригучи Т. (2013) «Открытие эндосимбиотической азотфиксирующей цианобактерии UCYN-A у Braarudosphaera bigelowii (Prymnesiophyceae)». PLoS One , 8 (12): e81749. дои : 10.1371/journal.pone.0081749.
27. Привычка додекаэдрического кристалла. Архивировано 12 апреля 2009 г. в Wayback Machine.
28. Дюме, Белль (8 октября 2003 г.). «Является ли Вселенная додекаэдром?». Мир Физики . Архивировано из оригинала 25 апреля 2012 г.
29. Люмине, Жан-Пьер ; Джефф Уикс; Ален Риасуэло; Роланд Леук; Жан-Филипп Узан (9 октября 2003 г.). «Топология додекаэдрического пространства как объяснение слабых широкоугольных температурных корреляций в космическом микроволновом фоне». Природа . 425 (6958): 593–5. arXiv : astro-ph/0310253 . Бибкод : 2003Natur.425..593L. дои : 10.1038/nature01944. PMID  14534579. S2CID  4380713.
30. Рукема, Будевейн; Збигнев Булинский; Агнешка Саневска; Николя Э. Годен (2008). «Проверка гипотезы топологии додекаэдрического пространства Пуанкаре с данными WMAP CMB». Астрономия и астрофизика . 482 (3): 747. arXiv : 0801.0006 . Бибкод : 2008A&A...482..747L. дои : 10.1051/0004-6361: 20078777. S2CID  1616362.
31. Грюнбаум, Бранко (2003), «13.1 Теорема Стейница», Выпуклые многогранники , Тексты для выпускников по математике , том. 221 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 235–244, ISBN. 0-387-40409-0
32. Циглер, Гюнтер М. (1995). «Глава 4: Теорема Стейница для 3-многогранников». Лекции о многогранниках . Тексты для аспирантов по математике . Том. 152. Шпрингер-Верлаг. стр. 103–126. ISBN 0-387-94365-Х.
33. Рудольф, Майкл (2022). Математика конечных сетей: введение в теорию операторных графов. Издательство Кембриджского университета . п. 25. дои : 10.1007/9781316466919. ISBN 9781316466919.
34. Писанский, Томаж; Серватиус, Бриджит (2013). Конфигурация с графической точки зрения. Спрингер. п. 81. дои : 10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
35. Вайсштейн, Эрик В. «Додекаэдрический граф». Математический мир .
36. Бонди, Дж.А .; Мурти, USR (1976), Теория графов с приложениями , Северная Голландия, с. 53, ISBN 0-444-19451-7

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Правильный додекаэдр». Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники o3o5x – лань».
• Редактируемая для печати развертка додекаэдра с интерактивным 3D-просмотром
• Однородные многогранники
• Многогранники оригами – модели, сделанные с помощью модульного оригами.
• Додекаэдр – 3D модель, которая работает в вашем браузере
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
  • VRML #Правильный додекаэдр
• К.Дж.М. Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
• Додекаэдр 3D-визуализация
• Stella: Polyhedron Navigator: Программное обеспечение, использованное для создания некоторых изображений на этой странице.
• Как сделать додекаэдр из пенопластового куба.
• Греческие, индийские и китайские элементы – Теория семи элементов