1 ( один , единица , единица ) — это число , обозначающее один или единственный объект . 1 также является числовой цифрой и представляет собой единую единицу счета или измерения . Например, сегмент линии единичной длины — это сегмент линии длиной 1. В соглашениях о знаках, где ноль не считается ни положительным, ни отрицательным, 1 — это первое и наименьшее положительное целое число . Его также иногда считают первым из бесконечной последовательности натуральных чисел , за которым следует 2 , хотя по другим определениям 1 является вторым натуральным числом после .
Фундаментальное математическое свойство числа 1 — быть мультипликативным тождеством , что означает, что любое число, умноженное на 1, равно одному и тому же числу. Из этого можно вывести большинство, если не все, свойств числа 1. В высшей математике мультипликативное тождество часто обозначается 1, даже если оно не является числом. 1 по соглашению не считается простым числом ; это не было общепринятым до середины 20 века. Кроме того, 1 — это наименьшая возможная разница между двумя различными натуральными числами .
Уникальные математические свойства числа привели к его уникальному использованию в других областях, от науки до спорта. Обычно он обозначает первое, ведущее или главное в группе.
Одно происходит от древнеанглийского слова an , происходящего от германского корня *ainaz , от протоиндоевропейского корня *oi-no- (что означает «единый, уникальный»). [1]
С лингвистической точки зрения единица — это кардинальное число , используемое для подсчета и выражения количества предметов в коллекции вещей. [2] One обычно используется в качестве определителя для исчисляемых существительных в единственном числе , например, в один день за раз . [3] One также является гендерно-нейтральным местоимением , используемым для обозначения неопределенного человека или людей в целом, поскольку человек должен заботиться о себе . [4] Слова, которые получают свое значение от слова «один» , включают « один », что означает «все единое» в смысле бытия самим собой, « ни один» не означает « не один », однажды обозначая одно время , и «искупить» , означающее стать единым целым с кем-то. Сочетание «один с только » (подразумевающее одноподобное ) приводит к «одинокому» , передающему ощущение одиночества. [5] Другие распространенные цифровые префиксы для числа 1 включают uni- (например, одноколесный велосипед , вселенная , единорог ), sol- (например, сольный танец ), производные от латыни, или моно- (например, монорельс , моногамия , монополия ), производные с греч. [6] [7]
Среди самых ранних известных записей о системе счисления — шумерская десятично - шестидесятеричная система на глиняных табличках, датируемая первой половиной третьего тысячелетия до нашей эры. [8] Архаичные шумерские цифры 1 и 60 состояли из горизонтальных полукруглых символов. [9] К ок. В 2350 году до н.э. старые шумерские криволинейные цифры были заменены клинописными символами, причем 1 и 60 обозначались одним и тем же символом.. Шумерская клинописная система является прямым предком эблаитской и ассиро -вавилонской клинописной десятичной системы. [10] Сохранившиеся вавилонские документы датируются в основном эпохами Старого Вавилона (ок. 1500 г. до н. э.) и эпохи Селевкидов (ок. 300 г. до н. э.). [11] В вавилонской клинописи для записи чисел использовался тот же символ для 1 и 60, что и в шумерской системе. [12]
Наиболее часто используемым глифом в современном западном мире для обозначения цифры 1 является арабская цифра , вертикальная линия, часто с засечкой вверху и иногда с короткой горизонтальной линией внизу. Его можно проследить до брахмического письма древней Индии, представленного Ашокой в виде простой вертикальной линии в его «Указах Ашоки» ок. 250 г. до н.э. [13] Цифровые формы этого письма были переданы в Европу через Магриб и Аль-Андалус в средние века через научные труды, написанные на арабском языке . [ нужна цитация ] В некоторых странах засечка вверху может быть расширена до длинной линии вверх, равной длине вертикальной линии. Этот вариант может привести к путанице с глифом, используемым для обозначения семи в других странах, поэтому, чтобы обеспечить визуальное различие между ними, цифра 7 может быть написана горизонтальной чертой через вертикальную линию. [ нужна цитата ]
В современных шрифтах форма символа цифры 1 обычно набирается как фигура на подкладке с восходящим элементом , так что цифра имеет ту же высоту и ширину, что и заглавная буква . Однако в шрифтах с текстовыми фигурами (также известными как цифры старого стиля или цифры без подкладки ) глиф обычно имеет высоту x и предназначен для следования ритму строчных букв, как, например, в. [14] В шрифтах старого стиля (например, Hoefler Text ) шрифт для цифры 1 напоминает версию I с маленькими заглавными буквами , с параллельными засечками вверху и внизу, в то время как заглавная буква I сохраняет форму во всю высоту. Это пережиток системы римских цифр , где я обозначаю 1. [15] [16] Современная цифра «1» не получила широкого распространения до середины 1950-х годов. Таким образом, многие старые пишущие машинки не имеют специальной клавиши для цифры 1, которая может отсутствовать, что требует использования строчной буквы l или прописной буквы I в качестве замены. [16] Строчную букву « j » можно рассматривать как вариант косой черты строчной римской цифры « i », часто используемой для обозначения последней буквы «строчной» римской цифры. Также можно найти исторические примеры использования j или J вместо арабской цифры 1. [17] [18] [19] [20]
С математической точки зрения число 1 имеет уникальные свойства и значение. В обычной арифметике ( алгебре ) число 1 является первым натуральным числом после (нуля) и может использоваться для составления всех других целых чисел (например, ; ; и т. д.). Произведение нулевых чисел ( пустое произведение ) равно 1, а факториал — 0! оценивается как 1, как частный случай пустого произведения. [21] Любое число , умноженное или разделенное на 1, остается неизменным ( ). Это делает ее математической единицей , и по этой причине 1 часто называют единицей . Следовательно, если - мультипликативная функция , то должна быть равна 1. Эта отличительная особенность приводит к тому, что 1 является собственным факториалом ( ), собственным квадратом ( ) и квадратным корнем ( ), собственным кубом ( ) и кубическим корнем ( ) , и так далее. По определению, 1 — это величина , абсолютное значение или норма единичного комплексного числа , единичного вектора и единичной матрицы (чаще называемой единичной матрицей ). Это мультипликативное тождество целых , действительных и комплексных чисел . 1 — единственное натуральное число, которое не является ни составным (число, имеющее более двух различных положительных делителей), ни простым (число, имеющее ровно два различных положительных делителя) относительно деления . [22]
В алгебраических структурах, таких как мультипликативные группы и моноиды, единичный элемент часто обозначается 1, но e (от немецкого Einheit , «единство») также является традиционным. Однако 1 особенно характерна для мультипликативной идентичности кольца, т. е. когда также присутствуют сложение и 0. Более того, если характеристика кольца n не равна 0, элемент, представленный цифрой 1, обладает свойством n 1 = 1 n = 0 (где этот 0 обозначает аддитивную идентичность кольца). Важными примерами, использующими эту концепцию, являются конечные поля . [ нужна цитация ] Матрица единиц или матрица «все единицы» определяется как матрица , состоящая полностью из единиц. [23]
Формализации натуральных чисел имеют свои собственные представления 1. Например, в исходной формулировке аксиом Пеано 1 служит отправной точкой в последовательности натуральных чисел. [24] Позже Пеано пересмотрел свои аксиомы, заявив, что 0 является «первым» натуральным числом, таким образом, что 1 является преемником 0. [ 25] В кардинальном присвоении натуральных чисел фон Неймана числа определяются как набор, содержащий все предыдущие числа. , где 1 представлено как синглтон {0}. [26] В лямбда-исчислении и теории вычислимости натуральные числа представлены кодировкой Чёрча как функции, где число Чёрча для 1 представлено функцией, примененной к аргументу один раз (1 ). [27] 1 является одновременно первым и вторым числом в последовательности Фибоначчи (0 — это ноль), а также является первым числом во многих других математических последовательностях . Как пан- многоугольное число , 1 присутствует в каждой многоугольной числовой последовательности как первое фигурное число каждого вида (например, треугольное число , пятиугольное число , центрированное шестиугольное число ). [ нужна цитата ]
Самый простой способ представления натуральных чисел — это унарная система счисления , используемая при подсчете чисел . [28] Ее часто называют «базой 1», поскольку требуется только одна отметка – сам подсчет. В отличие от базы 2 или базы 10 , это не позиционное обозначение . Поскольку показательная функция по основанию 1 (1 x ) всегда равна 1, ее обратная функция (т. е. логарифм по основанию 1) не существует. [ нужна цитата ]
Число 1 может быть представлено в десятичной форме двумя повторяющимися обозначениями: 1,000..., где цифра 0 повторяется бесконечно после десятичной точки, и 0,999... , которая содержит бесконечное повторение цифры 9 после десятичной точки. Последнее возникает из-за определения десятичных чисел как пределов их суммированных компонентов, например, «0,999...» и «1» представляют собой одно и то же число. [29]
Хотя 1, кажется, соответствует наивному определению простого числа, поскольку оно делится без остатка только на 1 и на себя (также на 1), по соглашению 1 не является ни простым числом , ни составным числом . Это связано с тем, что 1 — единственное положительное целое число, которое делится ровно на одно положительное целое число, тогда как простые числа делятся ровно на два положительных целых числа, а составные числа делятся более чем на два положительных целых числа. Еще в начале 20 века некоторые математики считали 1 простым числом. [30] Однако преобладающим и устойчивым математическим консенсусом было исключение из-за его влияния на фундаментальную теорему арифметики и другие теоремы, связанные с простыми числами. Например, основная теорема арифметики гарантирует уникальную факторизацию целых чисел только до единиц, т. е. 4 = 2 2 представляет собой уникальную факторизацию. Однако, если включены единицы, 4 также можно выразить как (−1) 6 × 1 23 × 2 2 среди бесконечного множества подобных «факторизаций». [31] Более того, функция тотента Эйлера и функция суммы делителей для простых чисел отличаются от 1. [32] [33]
Во многих математических и инженерных задачах числовые значения обычно нормализуются так, чтобы они попадали в единичный интервал от 0 до 1, где 1 обычно представляет собой максимально возможное значение в диапазоне параметров. Например, по определению 1 — это вероятность события, которое абсолютно или почти наверняка произойдет. [34] Аналогично, векторы часто нормализуются в единичные векторы (т.е. векторы величины один), потому что они часто имеют более желательные свойства. Функции также часто нормализуются при условии, что они имеют целочисленное значение, максимальное значение или квадратичное целое, в зависимости от приложения. [35] [36]
В теории категорий 1 является конечным объектом категории, если существует уникальный морфизм . [37] В теории чисел 1 — это значение константы Лежандра , которая была введена в 1808 году Адриеном-Мари Лежандром для выражения асимптотического поведения функции подсчета простых чисел . Первоначально Лежандр предполагал, что это значение составляет примерно 1,08366, но в 1899 году Шарль Жан де ла Валле Пуссен доказал, что оно равно ровно 1 . [38] [39]
Определение поля требует , чтобы 1 не было равно . Таким образом, полей характеристики 1 не существует. Тем не менее абстрактная алгебра может рассматривать поле с одним элементом , которое не является одноэлементным и вообще не является множеством. [ нужна цитата ]
В числовых данных 1 является наиболее распространенной ведущей цифрой во многих наборах данных (встречается примерно в 30% случаев), что является следствием закона Бенфорда . [40]
1 — единственное известное число Тамагавы для односвязной алгебраической группы над числовым полем. [41] [42]
Производящая функция , все коэффициенты которой равны 1, представляет собой геометрическую прогрессию , определяемую формулой [ нужна ссылка ]
Нулевое металлическое среднее равно 1, с золотым сечением , равным цепной дроби [1;1,1,...], и бесконечно вложенным квадратным корнем .
Ряды единичных дробей , которые быстрее всего сходятся к 1, являются обратными последовательности Сильвестра , которые порождают бесконечную египетскую дробь . [ нужна цитата ]
В цифровой технологии данные представляются двоичным кодом , т. е. системой счисления с основанием -2, где числа представлены последовательностью единиц и нулей . Оцифрованные данные представлены в физических устройствах, таких как компьютеры , в виде импульсов электричества, проходящих через переключающие устройства, такие как транзисторы или логические элементы , где «1» представляет собой значение «включено». Таким образом, числовое значение true во многих языках программирования равно 1 . [43] [44]
В философии Плотина (и других неоплатоников ) Единое — это высшая реальность и источник всего существования. [45] Филон Александрийский (20 г. до н. э. – 50 г. н. э.) считал число один числом Бога и основой всех чисел («De Allegoriis Legum», ii.12 [i.66]).
Неопифагорейский философ Никомах из Герасы утверждал, что единица — это не число, а источник числа. Он также считал, что число два является воплощением начала инаковости . Его теория чисел была восстановлена Боэцием в его латинском переводе трактата Никомаха «Введение в арифметику» . [46]