stringtranslate.com

Закон сохранения

В физике закон сохранения гласит, что конкретное измеримое свойство изолированной физической системы не изменяется по мере развития системы с течением времени. Точные законы сохранения включают сохранение массы-энергии , сохранение импульса , сохранение момента импульса и сохранение электрического заряда . Существует также много приближенных законов сохранения, которые применяются к таким величинам, как масса , четность , лептонное число , барионное число , странность , гиперзаряд и т. д. Эти величины сохраняются в определенных классах физических процессов, но не во всех.

Локальный закон сохранения обычно выражается математически как уравнение непрерывности , частное дифференциальное уравнение , которое дает связь между количеством количества и «переносом» этого количества. Он утверждает, что количество сохраняющегося количества в точке или внутри объема может изменяться только на количество количества, которое втекает или вытекает из объема.

Из теоремы Нётер следует , что каждая дифференцируемая симметрия приводит к закону сохранения. [1] [2] [3] Могут существовать и другие сохраняющиеся величины.

Законы сохранения как фундаментальные законы природы

Законы сохранения имеют основополагающее значение для нашего понимания физического мира, поскольку они описывают, какие процессы могут или не могут происходить в природе. Например, закон сохранения энергии гласит, что общее количество энергии в изолированной системе не изменяется, хотя может изменять форму. В общем, общее количество свойства, регулируемого этим законом, остается неизменным в ходе физических процессов. Что касается классической физики, законы сохранения включают сохранение энергии, массы (или материи), линейного импульса, углового момента и электрического заряда. Что касается физики элементарных частиц, частицы не могут быть созданы или уничтожены, кроме как парами, где одна является обычной, а другая является античастицей. Что касается принципов симметрии и инвариантности, были описаны три специальных закона сохранения, связанных с инверсией или обращением пространства, времени и заряда.

Законы сохранения считаются фундаментальными законами природы, имеющими широкое применение в физике, а также в других областях, таких как химия, биология, геология и инженерия.

Большинство законов сохранения являются точными или абсолютными в том смысле, что они применимы ко всем возможным процессам. Некоторые законы сохранения являются частичными, в том смысле, что они справедливы для некоторых процессов, но не для других.

Одним из особенно важных результатов, касающихся законов сохранения, является теорема Нётер , которая утверждает, что существует взаимно-однозначное соответствие между каждым из них и дифференцируемой симметрией Вселенной . Например, сохранение энергии следует из однородности времени , а сохранение момента импульса возникает из изотропии пространства , [4] [5] [6] т.е. потому, что нет выделенного направления пространства . Примечательно, что не существует закона сохранения, связанного с обращением времени , хотя известны более сложные законы сохранения , объединяющие обращение времени с другими симметриями .

Точные законы

Частичный список физических уравнений сохранения, обусловленных симметрией , которые считаются точными законами , или, точнее, никогда не было доказано, что они нарушаются:

Другая точная симметрия — это CPT-симметрия , одновременная инверсия пространственных и временных координат, вместе с заменой всех частиц их античастицами; однако, будучи дискретной симметрией, теорема Нётер к ней неприменима. Соответственно, сохраняющаяся величина, CPT-чётность, обычно не может быть осмысленно рассчитана или определена.

Приблизительные законы

Существуют также приближенные законы сохранения. Они приблизительно верны в определенных ситуациях, таких как низкие скорости, короткие временные масштабы или определенные взаимодействия.

Глобальные и местные законы охраны природы

Общее количество некоторой сохраняющейся величины во Вселенной может остаться неизменным, если равное количество появится в одной точке A и одновременно исчезнет из другой отдельной точки B. Например, некоторое количество энергии может появиться на Земле, не изменив общего количества во Вселенной, если такое же количество энергии исчезнет из какой-то другой области Вселенной. Эта слабая форма «глобального» сохранения на самом деле не является законом сохранения, поскольку она не является инвариантной относительно Лоренца , поэтому явления, подобные вышеприведенным, не встречаются в природе. [7] [8] Согласно специальной теории относительности , если появление энергии в точке A и исчезновение энергии в точке B происходят одновременно в одной инерциальной системе отсчета , они не будут происходить одновременно в других инерциальных системах отсчета, движущихся относительно первой. В движущейся системе отсчета одно произойдет раньше другого; либо энергия в точке A появится до или после исчезновения энергии в точке B. В обоих случаях в течение интервала энергия не будет сохраняться.

Более сильная форма закона сохранения требует, чтобы для изменения величины сохраняющейся величины в точке должен быть поток или поток величины в точку или из нее. Например, величина электрического заряда в точке никогда не изменяется без электрического тока в точку или из нее, который переносит разницу в заряде. Поскольку он включает только непрерывные локальные изменения, этот более сильный тип закона сохранения является инвариантным относительно Лоренца ; величина, сохраняющаяся в одной системе отсчета, сохраняется во всех движущихся системах отсчета. [7] [8] Это называется локальным законом сохранения. [7] [8] Локальное сохранение также подразумевает глобальное сохранение; что общая величина сохраняющейся величины во Вселенной остается постоянной. Все перечисленные выше законы сохранения являются локальными законами сохранения. Локальный закон сохранения математически выражается уравнением непрерывности , которое гласит, что изменение величины в объеме равно общему чистому «потоку» величины через поверхность объема. В следующих разделах обсуждаются уравнения непрерывности в целом.

Дифференциальные формы

В механике сплошных сред наиболее общая форма точного закона сохранения задается уравнением непрерывности . Например, сохранение электрического заряда q имеет вид , где ∇⋅ — оператор дивергенции , ρ — плотность q (количество на единицу объема), j — поток q (количество, пересекающее единичную площадь за единицу времени), а t — время.

Если предположить, что движение заряда u является непрерывной функцией положения и времени, то

В одном пространственном измерении это можно представить в виде однородного квазилинейного гиперболического уравнения первого порядка : [9] : 43  где зависимая переменная y называется плотностью сохраняющейся величины , а A ( y ) называется текущим якобианом , и для частных производных были использованы нижние индексные обозначения. Более общий неоднородный случай: не является уравнением сохранения, а представляет собой общий вид уравнения баланса, описывающего диссипативную систему . Зависимая переменная y называется несохраняющейся величиной , а неоднородный член s ( y , x , t ) является источником , или диссипацией . Например, уравнения баланса такого рода являются уравнениями импульса и энергии Навье-Стокса или балансом энтропии для общей изолированной системы .

В одномерном пространстве уравнение сохранения представляет собой квазилинейное гиперболическое уравнение первого порядка , которое можно представить в адвективной форме: где зависимая переменная y ( x , t ) называется плотностью сохраняющейся (скалярной) величины, а a ( y ) называется текущим коэффициентом , обычно соответствующим частной производной по сохраняющейся величине от текущей плотности сохраняющейся величины j ( y ) : [9] : 43 

В этом случае, поскольку применяется цепное правило , уравнение сохранения можно представить в виде плотности тока:

В пространстве с более чем одним измерением предыдущее определение можно расширить до уравнения, которое можно представить в виде:

где сохраняющаяся величина равна y ( r , t ) , обозначает скалярное произведение , — оператор набла , здесь указывающий градиент , а a ( y ) — вектор коэффициентов тока, аналогично соответствующий дивергенции векторной плотности тока, связанной с сохраняющейся величиной j ( y ) :

Это касается уравнения непрерывности :

Здесь сохраняющейся величиной является масса с плотностью ρ ( r , t ) и плотностью тока ρu , идентичной плотности импульса , тогда как u ( r , t )скорость потока .

В общем случае уравнение сохранения может быть также системой такого рода уравнений ( векторное уравнение ) в виде: [9] : 43  где y называется сохраняющейся ( векторной ) величиной, y — ее градиентом , 0нулевым вектором , а A ( y ) называется якобианом плотности тока. Фактически, как и в предыдущем скалярном случае, также и в векторном случае A ( y ) обычно соответствует якобиану матрицы плотности тока J ( y ) : и уравнение сохранения можно представить в виде:

Например, это касается уравнений Эйлера (гидродинамика). В простом несжимаемом случае они имеют вид:

где:

Можно показать, что сохраняющаяся (векторная) величина и матрица плотности тока для этих уравнений равны соответственно:

где обозначает внешнее произведение .

Целостные и слабые формы

Уравнения сохранения обычно также могут быть выражены в интегральной форме: преимущество последней по существу состоит в том, что она требует меньшей гладкости решения, что открывает путь к слабой форме , расширяя класс допустимых решений, включая разрывные решения. [9] : 62–63  Интегрируя в любой пространственно-временной области форму плотности тока в одномерном пространстве: и используя теорему Грина , интегральная форма имеет вид:

Аналогичным образом, для скалярного многомерного пространства интегральная форма имеет вид: где интегрирование по линии выполняется вдоль границы области против часовой стрелки. [9] : 62–63 

Более того, определив тестовую функцию φ ( r , t ), непрерывно дифференцируемую как во времени, так и в пространстве с компактным носителем, слабую форму можно получить, поворачивая начальное условие . В одномерном пространстве это:

В слабой форме все частные производные плотности и плотности тока были переданы тестовой функции, которая при первой гипотезе является достаточно гладкой, чтобы допустить эти производные. [9] : 62–63 

Смотрите также

Примеры и приложения

Примечания

  1. ^ Ибрагимов, Н. Х. CRC HANDBOOK OF LIE GROUP ANALYSIS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS VOLUME 1 -SYMMETRIES EXACT SOLUTIONS AND CONSERVATION LAWS. (CRC Press, 2023)
  2. ^ Косманн-Шварцбах, Ю. в Философия и физика теорем Нётер: Столетие Том 4-24 (Издательство Кембриджского университета, 2022)
  3. ^ Рао, АК, Трипати, А., Чаухан, Б. и Малик, Р. П. Теорема Нётер и свойство нильпотентности (анти-)BRST-зарядов в формализме BRST: краткий обзор. Вселенная 8 (2022). https://doi.org/10.3390/universe8110566
  4. ^ Ибрагимов, Н. Х. CRC HANDBOOK OF LIE GROUP ANALYSIS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS VOLUME 1 -SIMMETRIES EXACT SOLUTIONS AND CONSERVATION LAWS. (CRC Press, 2023).
  5. ^ Косманн-Шварцбах, Ю. в книге «Философия и физика теорем Нётер: столетие», том 4–24 (Издательство Кембриджского университета, 2022).
  6. ^ Рао, АК, Трипати, А., Чаухан, Б. и Малик, Р. П. Теорема Нётер и свойство нильпотентности (анти-)BRST-зарядов в формализме BRST: краткий обзор. Вселенная 8 (2022). https://doi.org/10.3390/universe8110566
  7. ^ abc Aitchison, Ian JR; Hey, Anthony JG (2012). Калибровочные теории в физике элементарных частиц: практическое введение: от релятивистской квантовой механики к QED, четвертое издание, том 1. CRC Press. стр. 43. ISBN 978-1466512993. Архивировано из оригинала 2018-05-04.
  8. ^ abc Уилл, Клиффорд М. (1993). Теория и эксперимент в гравитационной физике. Cambridge Univ. Press. стр. 105. ISBN 978-0521439732. Архивировано из оригинала 2017-02-20.
  9. ^ abcdef Toro, EF (1999). "Глава 2. Понятия о гиперболических уравнениях в частных производных". Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65966-2.

Ссылки

Внешние ссылки